高斯公式
高斯公式
高斯公式 仍成立. 好抵消，因而
例1 利用高斯公式计算曲面积分：
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
其中 为柱面x 2 y 2 1及平面z 0, z 3所围成的空间 闭区域Ω的整个边界曲面的外侧 .
解:因由已知： P ( y-z ) x , Q 0,
2 2 2
xy
而 (简写)
1 1
π , cos 0, cos 0, cos 1 2
( x cos y cos z cos )ds
2 2 2
1
z ds h dxdy πh
或
P Q R x y z dv ( P cos Q cos R cos )dS
此时， 是Ω的整个边界曲面的外侧， 、 、 cos cos cos 是 上点( x，y，z )处的法向量的方向余弦，以上 二式称为 高斯公式 .
D xy
对于(1)与(2)式，同样可得:
如果穿过Ω内部，且平行于x轴的直线与Ω的边界曲 面 的 交点恰好为两个，
P 有： x dv P( x, y, z )dydz 成立. Ω
如果穿过Ω内部，且平行于y轴的直线与Ω的边界 曲面的 交点恰好为两个，
Q 有： dv Q( x, y, z )dzdx 成立. y
z z 2 ( x, y )
z1 ( x, y ) z 2 ( x, y )
(4) 1取下侧， 2 取上侧， 3是以Dxy的边界 曲线为准 线， 母线平行于z轴的柱面上的一 部分，取外侧.
则(3)式左边：
z2 ( x , y ) R R z dv z dz dxdy Ω Dxy z1 ( x , y ) Rx, y, z 2 ( x, y ) Rx, y, z1 ( x, y )dxdy
高斯公式含义
高斯公式含义高斯公式是数学中的一个重要公式，它描述了平面上一个简单闭合曲线所围成的区域的面积与曲线上某个向量场的环绕积分之间的关系。
该公式由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初提出，因此得名。
具体而言，高斯公式表达了一个向量场的环绕积分与该向量场的散度在闭合曲线所围成区域内的体积积分之间的关系。
散度可以理解为向量场在某一点的流出量，而环绕积分则表示了向量场沿曲线的环绕情况。
高斯公式的数学表达式如下：S (·F) dS = ∫C F · ds其中，S表示闭合曲线所围成的区域的曲面，C表示闭合曲线，F表示向量场，·F表示向量场F的散度，dS表示曲面上的面积元素，ds 表示曲线上的长度元素。
高斯公式的含义可以从几个方面来理解和拓展。
首先，高斯公式可以用于计算平面上某个向量场的散度。
散度反映了向量场的局部特性，即在某一点上向量场的变化情况。
通过计算向量场在闭合曲线所围成区域内的体积积分，可以得到该向量场的散度的值。
其次，高斯公式可以用于计算平面上一个简单闭合曲线所围成的区域的面积。
通过计算向量场沿闭合曲线的环绕积分，可以得到这个曲线所围成的区域的面积。
这个曲线可以是任意形状的，但要满足“简单闭合”的条件。
此外，高斯公式还可以推广到三维空间中，这时曲线变成了曲面，体积积分变成了曲面积分。
这个推广被称为高斯-斯托克斯定理，它是数学物理中的一个重要定理，用于描述曲面和曲线之间的关系。
总之，高斯公式是数学中一个重要且广泛应用的公式，它将向量场的散度和曲线的环绕积分联系在一起，提供了一种计算曲线所围成区域的面积和向量场的散度的方法。
通过对高斯公式的理解和应用，可以更深入地研究和理解向量场、曲线和曲面之间的关系。
高斯公式
R( x , y , z )dxdy = ∫∫ R[ x , y , z 2 ( x , y )]dxdy , ∫∫ Σ D
2 xy
R( x , y , z )dxdy = 0. ∫∫ Σ
3
于是 =
∂R ∴ ∫∫∫ dv = ∫∫ R( x , y , z )dxdy. Ω ∂z Σ
{ R[ x , y , z2 ( x , y )] − R[ x , y , z1 ( x , y )]}dxdy, ∫∫ D
∂v ∂v ∂v ∂v 证明： = cosα + cos β + cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z
∂u ∂u ∂u ∂u = cosα + cos β + cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z
∂v ∂v ∂v ∂v ∴ u = u cosα + u cos β + u cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u ∂u v = v cos α + v cos β + v cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z
高斯公式
表达了空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系.
使用Guass公式时注意: 1、 P , Q , R 是对什么变量求偏导数;
2、是否满足高斯公式的条件;
2 2 2 ∂2 ∂ v ∂ v ∂ v 3、∆ = 2 + 2 + 2 （拉普拉斯算子） ∆v = + 2+ 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
z = y − 1 绕 y 轴旋转面方程为 解 x = 0 x y − 1 = z2 + x2
∑
x = 0
∑*
o
1
3
高斯定律的公式
高斯定律的公式高斯定律是电磁学中的一个重要定律，它的公式为：∮E·dS =Q/ε₀。
这个公式看起来可能有点复杂，但其实理解起来也没有那么难啦。
先来说说这个公式里的各个部分。
“∮”表示的是闭合曲面的面积分，简单说就是对一个封闭的曲面进行某种计算。
“E”呢，代表电场强度。
“dS”表示面积元，想象一下把一个曲面切成一小块一小块的，每一小块就是一个面积元。
“Q”表示封闭曲面内包含的电荷量，而“ε₀”是真空介电常数，这是一个固定的值。
咱们来想象一个有趣的场景，就像一个装满了小球（电荷）的大箱子。
箱子的表面就好比是那个闭合曲面。
电场就像是从这些小球向外发射的“力量线”。
高斯定律说的就是，通过计算箱子表面上这些“力量线”的总和，就能知道箱子里面到底有多少小球。
那高斯定律在实际中有啥用呢？比如说，在设计电容器的时候就派上大用场啦。
电容器就是能够储存电荷的器件。
通过高斯定律，工程师们可以算出电容器内部电场的分布情况，从而优化电容器的设计，让它能储存更多的电荷，或者在更小的体积内实现相同的储存效果。
再比如，在研究带电粒子在电场中的运动时，高斯定律能帮助我们更好地理解电场对粒子的作用。
想象一下一个带电的小粒子在电场中飘来飘去，就像一只迷路的小蜜蜂。
高斯定律可以告诉我们，周围的电场是怎么影响它的飞行轨迹的。
给大家讲个我曾经的经历吧。
有一次，我给学生们讲解高斯定律，他们一个个都皱着眉头，满脸困惑。
我就想啊，得找个形象的例子让他们明白。
于是我拿出了一堆小磁珠，还有一块大板子，模拟电场和电荷。
当我用这个简单的道具演示了一遍之后，孩子们的眼睛突然亮了起来，纷纷说：“老师，我懂啦！”那一刻，我真的特别有成就感。
学习高斯定律，就像是打开了一扇通往电磁世界的神秘大门。
虽然一开始可能会觉得有点难，但只要耐心琢磨，多联系实际，就能发现其中的乐趣和奇妙之处。
回到公式本身，大家可别被它的外表吓到。
只要我们一步一步来，先理解每个符号的含义，再通过实际的例子去感受，掌握高斯定律并不是遥不可及的梦想。
高斯公式
2. 简单应用
例1 计算曲面积分
∫∫ ( x − y )dxdy + ( y − z ) xdydz，
Σ
其 中 Σ 为 柱 面 x + y = 1及 平 面 z = 0， z = 3
2 2
所 围 成 的 空 间 闭 区 域 Ω的 整 个 边 界 曲 面 的 外 侧.
4
解 P = ( y − z ) x , Q = 0, R = x − y , z 3 ∂P ∂Q ∂R = y − z, = 0, = 0, ∂x ∂y ∂z
其中 Σ 为锥面 x + y = z 介于平面 z = 0 及 z = h( h > 0 )之间的部分的下侧， cos α , cos β , 之间的部分的下侧， cos γ 是 Σ 在 ( x , y , z ) 处的法向量的方向余弦 .
解 由第二型曲面积分的定义
原式 = ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
Σ Ω . 这里 是 的整个边界曲面的外侧
2
由两类曲面积分之间的关系知
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dv Ω = ∫∫ ( P cosα + Qcos β + Rcosγ )dS.
Σ
Gauss公式的实质 Gauss公式的实质 揭示了空间闭区域上的三重积分与 其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 其边界曲面上的曲面积分之间的关系
原式 = ∫∫∫ ( y − z )dxdydz
= ∫∫∫ ( ρ sinθ − z ) ρ d ρ dθ dz
= ∫ dθ ∫ ρdρ ∫ ( ρ sin θ − z )dz
高数高斯公式
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
2、高斯公式的实质
（1）应用的条件
（2）物理意义 divAdv AdS
21
习题10 6
P174
高斯 ( Gauss ) 公 式25
1(2)(3)(4),2(3),3(2)
22
1
3
x2 y2 dxdy
Dxy
2
d
R
r rdr
2 R3
0
0
3
1
1
1
高斯
1 4 R3 2 R3 4 R3
( Gauss ) 公 式10
23
3
3
9
例 3 计算曲面积分
高斯
( x2 cos y2 cos z2 cos )ds,其中Σ为
( Gauss ) 公 式11
解 P ( y z)x, Q 0, x R x y,
1
3
z
o1
y
5
P y z, Q 0, R 0,
x
y
z
z
高斯 ( Gauss ) 公
式7
1
3
原式 ( y z)dxdydz
(利用柱面坐标得)
(r sin z)rdrddz
o1
y
x
2
1
3
0 d 0 rdr 0 (r sin z)dz
A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为
AdS Pdydz Qdzdx Rdxdy
如E为称电为场向强量 度,场单A位(时x,间y,通z)过向正的侧电穿通过量曲面I Σ的E通dS量.
高斯公式
高斯公式（Gauss Formula ）(一) 高斯公式：1st 导论：格林公式表达了平面闭区域D 上的二重积分与D的边界曲线的曲线积分的关系，而gauss formula 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲线上的曲面积分之间的关系。
2nd 定理1：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面组成，函数∑(,,)P x y z ，，(,,)Q x y z (,,)R x y z 在上具有一阶连续偏导数，则： ∑()(P Q R dv Pd )ydz Qdxdz Rdxdy x y z Ω∑∂∂∂++=++∂∂∂∫∫∫∫∫ 或者： ……gauss formula ()(cos cos co P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑∂∂∂++=++∂∂∂∫∫∫∫∫ s )这里，是整个边界区域的外侧，∑(cos ,cos ,cos )αβγ是上点∑(,,)x y z 处的法向量的方向余弦。
(二) 沿任意闭区曲面的曲面积分等于0的条件：A. 二维单连通区域：对空间区域G ，如果G 内任意闭曲面所围成的闭曲面总是属于G ，则称空间区域G 是二维单连通区域。
B. 设G 是空间而为单连通区域，，，(,,)P x y z (,,)Q x y z (,,)R x y z 在G 内具有一阶连续偏导数，则曲面积分：(P Q R dv x y z )Ω∂∂∂++∂∂∂∫∫∫在G 上与所取曲面∑无关，而只取决于∑的边界曲线（或者沿G 内任一闭曲面的曲面积分为0）的充要条件是：0P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂；、(三)通量与散度总结：一般地，设某向量场由：(,,)(,,)(,,)(,,)x y z P x y z Q i j x y A z R x y z =++u r k r r r给出，其中 PQR 具有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面，是上一点n r ∑(,,)x y z 处的单位法向量，则A n dS ∑⋅⋅∫∫u r r 叫做向量场A u r 通过曲面指定侧的通量（或者流量），而∑P Q R x y ∂∂∂++∂∂∂z 称作向量场A u r 的散度：P Q R x v zdi A y ∂∂∂++∂∂∂=u r GAUSS FORMULA 可以写成：()(nP Q R dv Pdydz Qdxdz Rdxdy x y z div AdS A dSΩ∑Ω∑∂∂∂++=++∂∂∂==∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫r u r u r )其中是空间闭区域的边界曲面，而∑Ωcos cos cos n A P Q R αβγ=++r表示向量A u r 在曲面外侧法向量上的投影。
高等数学11.6高斯(Gauss)公式
一、高斯公式
P Q R )dV ( x y z Pdydz Qdzdx Rdxdy
其中 取外侧 .
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( ) dv x y z
对图中区域 , 可添加曲面 3 ( 上侧 ),
1 2 ,
1 2 ,
1 1 3 , 2 2 3 ,
1 2
z
2
3
2
1
1 3
2 3
2
z=h
1
法向量 y z h( h 0) (0,0,1)
2 2
h
D xy
o
y
2 2 2 1 4 ( x cos y cos z cos ) dS 2 ( x y z ) dv h . 2 1
x
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS z 2 dS
2
y z h( h 0)
2 2
h
D xy
o
y
2
x P Q R ( P cos Q cos R cos )dS . ( ) dv x y z
2 2 2 ( x cos y cos z cos )dS ( x y z )dv 1
0,
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
高斯定理等差数列求和公式
高斯定理等差数列求和公式
高斯定理，又称高斯求和公式，是指对于等差数列的前n项和
的求和公式。
设等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为S_n。
高斯定理给出了S_n的计算公式：
S_n = n/2 (2a + (n 1)d)。
其中，n为项数，a为首项，d为公差。
这个公式的推导可以通过多种方法，其中一种常见的方法是利
用等差数列的性质，将数列的前n项和S_n与数列的倒序排列的前
n项和相加，得到一个常数，再通过这个常数的求和公式进行推导。
这个公式在数学和物理等领域有着广泛的应用，可以用来快速计算
等差数列的前n项和，从而简化问题的求解过程。
除了高斯定理，还有其他方法可以求解等差数列的前n项和，
比如利用数学归纳法、通项公式等。
在实际问题中，根据具体情况
选择合适的方法进行求解，可以提高计算效率和准确性。
总之，高斯定理是求解等差数列前n项和的一种常用公式，通
过这个公式可以快速、准确地计算等差数列的和，对于数学和实际问题的求解都具有重要意义。
高斯公式
(
u x
v x
u v y y
u v )dv z z
二、通量与散度
定义1 给了向量场
A(x, y, z) ( P (x, y, z) ,Q (x, y, z) , R (x, y, z) )
又 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，则称
P Q R 为向量场 A 的散度，记为 x y z
S 1
S
2
R[x, y, z1( x, y)]dxdy
1 : z z1(x, y) y
Dxy
o
0
Dxy
x
R[x, y, z2( x, y)]dxdy
Dxy
{R[x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy
D xy
z 2 : z z2( x, y)
(0 , 0, 1) (cos ,cos ,cos )
cos 0，cos 0，cos 1
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS
1
( x2 0 y2 0 z2 1)dS
z
1
z2dS
o
(x, y)
R( x, y, z)
z2(x, y)
dxdy
x
Dxy
D xy
z1( x, y)
{R[x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy
D xy
z 2 : z z2( x, y)
Rdxdy
Rdxdy Rdxdy Rdxdy
1(外) S0 (下)
高斯公式
5
二、简单的应用
例1 计算曲面积分 其中Σ 为柱面 x y 1 及平 面 z 0, z 3 所围成的空间闭 区域 的整个边界曲面的外侧.
2 2
z
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
3
1
o
1
y
解 P ( y z ) x,
Q 0,
x
R x y,
xy 2 例6 A e i cos(xy) j sin(xz )k 求divA
解:
P Q R divA x y z
ye x sin(xy) 2 xz cos(xz )
xy 2
20
习题 10 6 P 135
A : 1,2,5,7,13
6
P y z, x
Q 0, y
R 0, z
3
高斯 ( Gauss ) 公 式7
z
原式 ( y z )dxdydz
(利用柱面坐标得)
( sin z ) dddz
2
1
o
1
y
d d ( sin z )dz
其中V { P, Q, R}
16
1、通量的定义
设有向量场
A( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k
沿场中某一有向曲面Σ 的第二类曲面积分为
称为向量场 A( x , y , z ) 向正侧穿过曲面Σ 的通量. 如E为电场强度 , 单位时间通过 的电通量 I EdS B为磁感应强度 , 单位时间通过 的磁通量 I BdS
高斯求积公式
高斯求积公式
高斯求积公式，也称为高斯积分公式，是一个数学上的重要公式，它是由德国数学家卡尔·高斯提出的。
高斯求积公式可以用来计算一个函数在某个区间内的积分值，因此也可以称为“求积公式”。
高斯求积公式的具体形式如下：
∫a^b f(x)dx = (b-a)/2[f(a)+f(b)+2∑f(x_i)]
其中，f(x)是区间[a,b]内的某个函数，x_i是区间[a,b]的某个中间点，i=1,2,…,n。
为了简化计算，一般情况下，n取值为2或3。
高斯求积公式有许多应用，它可以用来解决许多不同类型的积分问题。
它能够求解函数在某个区间内的积分值，也可以用来求解多元函数的最大值或最小值问题。
此外，它还可以用来计算曲线下面积，求解复杂微分方程等。
总之，高斯求积公式是一个非常有用的数学公式，它可以用来解决许多积分问题，因此被广泛应用于科学研究和工程计算中。
高斯公式
(8 y 1 4 y 4 y )dV
x(8 y 1)dydz 2(1 y 2 )dzdx 4 yzdxdy
S1
dV 0 2(1 y 2 ) dzdx 0 (因为 S1 yOz, xOy 面)
S1
( y 1) dy 2( 3 2 1) dxdz
Dxy
2π 0
d 0
1
rdr
π 4
2π 0
cos 2 d
围立体 的体
积为V, 是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径
的夹角, 试证
证: 设 的单位外法向量为 则
nr cos n r
x y z cos cos cos r r r
5
例2 计算第二类曲面积分 z cos dS ，其中 S 是抛物面
S
z x y 与平面z 4 所围区域的曲面，法向取外侧.
2 2
解
S
z z cos dS dV z
4 x y
2 2
z
4
dV d
D
dz
2 0
d r dr 2 dz
1 2
2
ax dydz ( z a ) dxdy a
2 S1
2
dxdy
a 2 a 2 a 4 , 1 3 4 1 3 4 所以 原式 （ a a ） a . a 2 2
D
10
例5
利用高斯公式计算曲面积分
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) dS
高斯定理的解释和公式
高斯定理的解释和公式
高斯定理，也称为散度定理，是数学中的一个重要定理。
它描述了一个向量场通过一个封闭曲面的总量。
高斯定理在物理学和工程学的许多领域中都有广泛的应用，如电磁学、流体力学和热传导等。
高斯定理的数学表达形式如下：
对于一个平滑的三维矢量场F=(Fx,Fy,Fz)，定义一个封闭曲面S来围绕一个具有体积V的区域D。
那么，高斯定理可以写作：
∬S F·dS = ∭D ∇·F dV
其中，F·dS表示向量场F在曲面元dS上的点积积分，∇·F表示向量场F的散度，dV表示体积元。
这个定理的物理解释是，对于一个流经封闭曲面的流体量，其发散性（流出和流入区域的总和）等于其在包围该区域的体积中的源和汇的总量。
高斯定理的应用非常广泛。
在电磁学中，它可以用来计算通过一个闭合曲面的电场强度和磁场强度的总量。
在流体力学中，它可以用来计算液体或气体通过一个封闭曲面的流量。
在热传导中，它可以用来计算热量通过一个封闭曲面的扩散量。
总之，高斯定理提供了一个非常强大的工具，用于计算向量场通过封闭曲面的总量。
它在物理和工程学中的应用使得我们能够更好地理解和分析各种自然现象和工程问题。
高斯Gauss公式
则下面结论彼此等价： P Q R 1） 0 在G内 恒 成 立 ； x y z 2） Pdydz Qdzdx Rdxdy 沿G内 任 一 闭 曲 面 的
积分为零； 3） Pdydz Qdzdx Rdxdy在G内 与 所 取 曲 面
无关而只取决于 的 边 界 曲 线 。
12/16
二、*等价结论
对空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的 区域全属于G, 则称G是空间二维单连通区域; 如果G内任一闭曲线总可以张成一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G G
G
一维单连通 二维单连通
一维单连通 非二维单连通
一维不连通 二维单连通
13/16
1 推论 设G是二维单连通 区域， P、Q、R CG ，
顶
柱
底
顶
R[ x, y, z底 ( x, y )]}dxdy o x R dv R( x , y , z )dxdy . z
D xy
{ R[ x , y, z
D xy
底
柱
顶
( x , y )]
y
D xy
4/16
一般地, 可用垂直于 xOy面的柱面将 分割成 若干个如前讨论的子域 1、 、 n , 则
5/16
P dv P ( x , y , z )dydz , x Q dv Q( x , y , z )dzdx , y
例 1 求 ( x y )dxdy ( y z ) xdydz ，Σ ：x2+y2=1 及 z= 0、z= 3 所围闭区域边界曲面的外侧。
格林第一公式
v v v v u dS u( cos cos cos )dS n x y z
10.5 高斯公式
Ω 2π
0
D xy
dθ ∫ 0dr
1
−∫
2 π 0
cos2θ dθ
13 π = 12
在闭区域 Ω上具有一阶和 例4. 设函数 ∂v 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公 P=u 式 ∂x ∂2v ∂2v ∂2v ∂v ∫∫∫Ωu ∂x2 +∂y2 +∂z2 dxd ydz Q= u ∂y ∂v ∂v ∂v ∂v = ∫∫ u cosα + cos β + cosγ dS R=u Σ ∂y ∂z ∂x ∂z ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v + + ) dxd ydz −∫∫∫ ( Ω ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 其中 ∑ 是整个 Ω 边界面的外侧. ∂P ∂Q ∂R 分析: 分析 高斯公式 ∫∫∫Ω( ∂x + ∂y + ∂z )dxd ydz = ∫∫ Pd yd z +Qdzd x + Rdxd y
=∫
2 π
Ω
o 1 x
y
0
9 π dθ∫ rdr∫ (rsinθ − z) dz = − 0 0 2
1 3
例2. 利用Gauss 公式计算积分
z
其中 ∑ 为锥面 x2 + y2 = z2 介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面
∑h 1h
o x
∑
y
(x, y)∈Dxy : x2 + y2 ≤ h2, 取上侧 ∑ : z = h, 1
移项即得所证公式.
高斯(1777 – 1855) 高斯 德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 在对天文学、大 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 恪守这样的 原则: “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.
高斯公式正负
高斯公式正负正文：高斯公式正负高斯公式，又称为高斯定理，是微积分中的重要定理之一，通过计算向量场在曲线或曲面上的积分，将一个复杂的积分转化为更简单的形式。
在物理学和工程学中，高斯公式被广泛应用于电场、磁场和流体力学等领域的问题求解。
高斯公式的数学表达为：∮∮S F·dS = ∭V ∇·F dV其中，∮∮S表示对曲面S的面积分，F为向量场，dS表示曲面元素，∭V表示对体积V的体积分，∇·F表示向量场F的散度。
在高斯公式中，正负号的选择非常重要，它决定了积分结果的符号。
根据公式的不同形式，我们可以进行以下讨论。
1. 曲面积分中的正负号对于曲面积分∮∮S F·dS，根据曲面方向的选择，正负号有以下两种情况：- 如果曲面的法向量与积分的方向相同，即曲面的正方向与积分方向一致，那么对应的积分结果为正。
- 如果曲面的法向量与积分的方向相反，即曲面的正方向与积分方向相反，那么对应的积分结果为负。
2. 体积积分中的正负号对于体积积分∭V ∇·F dV，根据积分体积的选择，正负号有以下两种情况：- 如果体积的取正与坐标轴的正方向一致，那么对应的积分结果为正。
- 如果体积的取正与坐标轴的正方向相反，那么对应的积分结果为负。
需要注意的是，在实际应用中，高斯公式的正负号通常需要结合具体问题进行判断。
对于给定的问题，我们需要根据问题中给出的条件确定积分的方向、曲面的方向以及坐标轴的正方向，进而确定高斯公式中正负号的具体选择。
举个例子，假设我们有一个半径为R的球面，球内部存在一个电荷密度分布为ρ的电荷。
要求在球面上计算电场强度的通量，即∮∮S E·dS，其中E为电场强度向量，S为球面。
根据高斯定理，我们可以通过计算球内的电荷总量来得到电场通量。
在这个例子中，曲面和积分方向已经确定为球面外侧到内侧，球面法向量指向外侧。
根据高斯公式，由于球内的电荷总量为正值，所以电场通量为正。
高斯公式
四、小结
1、高斯公式
P + Q + R)dv = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy. ∫∫∫( x y z ∫∫ Σ
2、高斯公式的实质 （1）应用的条件 （2）物理意义
∫∫∫div Adv = ∫∫ AndS.
Σ
作业： 页 作业：213页 1.
o x
y
在 上使用高斯公式,
P= x ,
2
Q = y2 ,
R = z2 ,
P Q R 2( x y z). = + + + + x y z
z
在 上使用高斯公式,
P= x ,
2
Q = y2 ,
R = z2 ,
Σ1
h h
P + Q + R = 2( x + y + z). x y z
Σ+Σ1
( x2 cosα + y2 cos β + z2 cosγ )dS ∫∫
o x
y
Σ1 : z = h ( x2 + y2 ≤ h2 )
解 曲面 Σ 不是封闭曲面， 不是封闭曲面， 不能直接用高斯公式。 不能直接用高斯公式。 高斯公式 补充
z
Σ1
h h
Σ1 : z = h ( x2 + y2 ≤ h2 )
取上侧， Σ1 取上侧，
Σ + Σ1 围成空间区域. 恰好是空间区域 . Σ + Σ1 恰好是空间区域的外侧
P + Q + R = lim 1 v dS x y z →M V ∫∫ n Σ
P + Q + R . div A = x y z
高斯 公式
高斯公式
高斯公式，也称为高斯定理，是数学物理中一个重要的定理，它描述了在三维空间中一个封闭曲面的电场通量与该曲面所包围的电荷量的关系。
这个公式的形式非常简洁，但背后蕴含的物理概念和数学原理却非常深刻。
我们来看一下高斯公式的表达方式。
高斯公式可以写成如下形式：
∫∫∫V (∇·E)dV = ∮S (E·n)dS
其中，∇·E表示电场E的散度，V表示一个封闭曲面S所包围的空间，∮S表示曲面S的闭合曲线，E·n表示电场E与曲面法向量n 的点积。
这个公式的意义是：一个封闭曲面内部的电场通量等于该曲面所包围的电荷量的比例。
高斯公式的应用非常广泛。
在电磁学中，它可以用来计算电场的分布，从而推导出库仑定律和电场强度的计算公式。
在静电场问题中，高斯公式可以大大简化计算过程，使得问题求解更加方便快捷。
在电场分布对称的情况下，高斯公式更是发挥了巨大的作用。
除了在电磁学中的应用，高斯公式还被广泛应用于流体力学、热力学等领域。
在流体力学中，高斯公式可以用来计算流体的体积流量和质量流量，从而分析流体的运动规律。
在热力学中，高斯公式可以用来计算热流的传递和热传导的问题，从而分析热力学的过程和现象。
总的来说，高斯公式是数学物理中的一个基本定理，它描述了封闭曲面内部的电场通量与该曲面所包围的电荷量的关系。
它的应用非常广泛，不仅在电磁学中发挥着重要作用，还在流体力学、热力学等领域有着广泛的应用。
通过对高斯公式的理解和应用，我们可以更好地理解和解决各种物理问题，推动科学的进步和发展。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六节 高斯公式 通量与散度
格林公式揭示了平面区域上的二重积分与该区域的边界曲线上的曲线积分之间的关系. 本节要介绍的高斯公式则揭示了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 可以认为高斯公式是格林公式在三维空间中的推广.
内容分布图示
★ 高斯公式
★ 例1 ★ 例2
★ 例3
★ 例4
★ 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
★ 通量与散度 ★ 例5
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题10-6
★ 返回
内容要点：
一、高斯公式
定理1设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式
⎰⎰⎰⎰⎰∑
Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P (6.1) 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦. (6.1)式称为高斯公式.
若曲面∑与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域Ω分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.
此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为
.)cos cos cos (⎰⎰⎰⎰⎰∑
Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂dS R Q P dv z R y Q x P γβα 二、通量与散度
一般地，设有向量场
k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ),,(),,(),,(),,(++=,
其中函数P 、Q 、R 有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面， n 是曲面∑的单位法
向量. 则沿曲面∑的第二类曲面积分 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑
∑∑++=⋅=⋅=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz S d n A S d A
称为向量场A 通过曲面∑流向指定侧的通量. 而
z
R y Q x P ∂∂+∂∂+∂∂ 称为向量场A 的散度，记为A div ，即
z
R y Q x P A div ∂∂+∂∂+∂∂= . (6.4)
例题选讲：
利用高斯公式计算
例1（讲义例1）计算曲面积分,)()(⎰⎰∑-+-xdydz z y dxdy y x 其中∑为柱面1
22=+y x
及平面3,0==z z 所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧（图10-6-2）.
例2（讲义例2）计算
,)()(22⎰⎰∑-+-dxdy z x dzdx y z 其中∑为旋转抛物面221y x z --=在10≤≤z 部分的外侧.
例3（讲义例3）计算,)c o s c o s c o s (222⎰⎰∑++dS z y x
γβα 其中∑为锥面
222z y x =+)0(h z ≤≤, γβαcos ,cos ,cos 为此曲面外法线向量的方向余弦.
例4（讲义例4）证明: 若∑为包围有界域Ω的光滑曲面, 则
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑Ω⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=∆dV z v z u y v y u x v x u dS n u v
udV v 其中n
u ∂∂为函数u 沿曲面∑的外法线方向的方向导数，u ,v 在Ω上具有一阶和二阶连续偏导数，符号22
2222z
y x ∂∂+∂∂+∂∂=∆称为拉普拉斯算子. 这个公式称为格林第一公式. 通量与散度
例5（讲义例5）求向量场k z j y i x r ++=的流量
(1) 穿过圆锥)0(222h z z y x ≤≤≤+的底(向上);
(2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.
课堂练习
1.利用高斯公式计算
,)()()(222⎰⎰+-+-+-S dxdy xy z dzdx xz y dydz yz x
其中+S 为球2222)()()(R c z b y a x =-+-+-面的外侧.
2.求向量场j xy x i y y x a )()(2332-++=的散度.。