东北大学管理科学与工程运筹学必备知识点

第一章线性规划与单纯性法

1、线性规划问题的数学模型及各要素的基本特征

线性规划问题的三个要素的基本特征

（1）决策变量：每一个问题都用一组决策变量 ( x1 , x2 ,… , x n )表示某一方案，这组决策变量的值就代表一个具体方案。一般这些变量取值是非负且连续的。

（2）约束条件：存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示。

（3）目标函数：都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。

数学模型，其一般形式为：

标准型式为：

其中，x j(j=1,2,...,n)为决策变量，a ij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)为工艺系数，b i(i=1,2,..,m）为资源系数，

c j(j=1,2,...,n)为价值系数。

2、如何将线性规划问题转变为标准型

（1）若目标函数要实现最小化，minZ=CX。需将最小化转变为最大化，令Z’=-Z，的maxZ’=-CX。

（2）约束方程为不等式

A：约束方程为≤的不等式，左端加入非负松弛变量。

B: 约束方程为≥的不等式，左端减去非负松弛变量。

（3）若变量x k 无约束时，令x k=x k’-x k’’ ，x k’,x k’’≥0

3、可行解，基，基可行解，可行基的概念及相互关系

可行解：满足约束方程不等式，并且满足x k≥0，称为线性规划问题的可行解。其中使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。

基：设A是约束方程组m×n维系数矩阵，其秩为m，B是矩阵A中的m×m阶的非奇异子矩阵，则称B为线性规划问题的一个基。

基可行解：满足非负条件（x k≥0）的基解，称为基可行解。

可行基：基可行解对应的基，称为可行基。

4、解的几何意义

5、线性规划问题的几何意义

定理 1：“若线性规划问题存在可行域，则其可行域是凸集”，要会证明。

引理 1：“线性规划问题的可行解X = ( x1 , x2 , ⋯ , x n ) T为基可行解的充要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的”，要会证明（记住从必要性和充分性两方面证明）。

定理 2 “线性规划问题的基可行解 X 对应于可行域 D 的顶点。”要会证明（利用反证法，从两个方面证明）。

定理 3 “若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优”要会证明。

6、单纯形法求解线性规划的思路

一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数，这时有不定的解。但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形，每一个单纯形可以求得一组解，然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小，决定下一步选择的单纯形。这就是迭代，直到目标函数实现最大值或最小值为止。（从可行域中的某个基可行解开

始到另一个基可行解，直到目标函数达到最优）

7、线性规划解的判别定理

8、单纯形法的计算步骤

9、单纯形法的进一步讨论

（1）大M法

在一个线性规划问题的约束条件中加进人工变量后，要求人工变量对目标函数取值不受影响，为此假定人工变量在目标函数中的系数为( - M) ( M为任意大的正数) ，这样目标函数要实现最大化时，必须把人工变量从基变量换出。否则目标函数不可能实现最大化。

（2）两阶段法

第一阶段：不考虑原问题是否存在基可行解；给原线性规划问题加入人工变量，并构造仅含人工变量的目标函数和要求实现最小化。

然后用单纯形法求解上述模型，若得到ω= 0 ，这说明原问题存在基可行解，可以进行第二段计算。否则原问题无可行解，应停止计算。

第二阶段：将第一阶段计算得到的最终表，除去人工变量。将目标函数行的系数，换原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始表。

10、退化解及勃兰特规则

退化：单纯形法计算中用θ规则确定换出变量时，有时存在两个和两个以上最小比值，这样在下一次的迭代中就有一个或者几个基变量等于零，这就出现退化解。

勃兰特规则：（1）选取c j-z j>0中下标最小的非基变量x k为换入变量。

（2）当按θ规则存在两个和两个以上最小比值时，选取下标最小的基变量为换出变量时。

11、（实际问题）建立线性规划模型的条件

(1 ) 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数；

(2 ) 存在着多种方案；

(3 ) 要求达到的目标是在一定约束条件下实现的，这些约束条件可用线性等式或不等式来描述。

12、图解法

第二章对偶理论和灵敏度分析

1、对偶问题的基本性质

（1）对称性：对偶问题的对偶是原问题。

（2）弱对偶性：若 X 是原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解。则存在CX≤Yb。

（3）无界性：若原问题( 对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问题) 无可行解。

（4）可行解的最优性质：设X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解，当C X = Y b 时，X，Y是最优解。

（5）对偶定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相等。

（6）互补松弛性：若X，Y分别是原问题和对偶问题的可行解。那么Y XS = 0 和 YS X= 0 ，当且仅当X，Y为最优解。

（必须都会证明）

2、对偶问题的经济解释——影子价格

*

y的值代表对第i 种资源的估价。这种估价是针对具体工厂的具体产品而存在的一种特殊价格，称它i

为“影子价格”。影子价格随具体情况而异，在完全市场经济的条件下，当某种资源的市场价低于影子价格时，企业应买进该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价高于企业影子价格时，则企业的决策者应把已有资源卖掉。可见影子价格对市场有调节作用。

3、对偶单纯形法的计算步骤如下

4、对偶单纯行法与单纯行法的区别

对偶单纯行法是运用对偶原理求解原问题的一种方法，而不是求解对偶问题的单纯行法。它和单纯行法的主要区别在于：单纯行法是从一个原问题的基本可行解转到另一个基本可行解，即迭代中始终保持原问题