范德蒙行列式的证明及其应用

范德蒙德行列式的证明及其应用

摘要：介绍了n阶范德蒙行列式的定义,用递推法和拉普拉斯定理两种方法证明了范德蒙行列式,辅以实例研究了它在高等代数中的一些应用.向量空间理论用来解决线性问题;在线性变换理论、多项式理论和微积分理论中,主要用它构造线性方程组,进而应用克拉默法则或相关定理判断根的情况;在行列式计算中,主要运用范德蒙行列式的结论简化n阶行列式的计算过程.探究范德蒙行列式的历史及相关应用,为更进一步钻研其相关性质与应用奠定了良好的基础.

关键词：范德蒙德行列式;向量空间;线性变换;应用

1引言

行列式本身有着长远的历史发展过程.它的理论最早可追溯到十七世纪末,

在十九世纪末,其理论体系已基本形成.

1683年,定义行列式概念的是日本数学家关孝和.同一年,德国数学家莱布

尼茨首先开始使用指标数的系数集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的

系数.他这种解决方程组的思维方式为行列式理论的深入研究工作打下了坚实地

基础.1771年,范德蒙创造性的在深入研究行列式理论的基础上,尝试解线性方

程组.他这种勇于创新、敢于探索的精神为大家所认可,被公认为行列式的奠基人.

他以现在被大家所熟悉的拉格朗日著作中的相关知识为理论基础,进行了反复的

钻研,为后来研究群的概念奠定了良好的基础.第一个阐述行列式的数学家便是

范德蒙.他运用自己的聪明才智、活跃的思维、批判的科研态度给出了现代代数

书中二阶子式及余子式的定义,经过推理,演绎这一系列严谨的过程,完善了行列

式的概念,并给出了行列式的数学符号记录.1772年,皮埃尔-西蒙.拉普拉斯在

范德蒙著作和自身灵感的启示下,思维方法发生了变化,得出了子类型的概念.自

此起,人们对行列式展开了单独的研究.

人们为了深入了解行列式理论的本质特征,在19世纪展开了更深层次的研究.柯西积极吸收前人的劳动成果的同时,首次给出了行列式的系统理论.包括双

重组标记法、行列式的乘法定理等.1832年至1833年,问卡尔.雅可给出了一个

特殊的行列式的计算结果.基于此,1839年,卡塔兰发现了Jacobian行列式.

范德蒙行列式整齐、完美的结构形式让我们体验到数学之美.简单探索它的

应用,感悟数学的魅力.如果我们能够深入探索范德蒙行列式并灵活运用它,未来

将更广泛的应用在数学各个领域.

2范德蒙行列式的定义及证明

2.1定义

行列式1

121121

111---n n

n n n

a a a a a a

(1)

称为n 阶的范德蒙（Vandermonde ）行列式.

由范德蒙行列式的定义,我们可以得出结论:对任意的(2)n n ≥错误!未找到引用源。阶范德蒙行列式等于n a a a ,,21这n 个数的所有可能的差

)1(n i j a a j i ≤<≤-错误!未找到引用源。的乘积. 2.2范德蒙德行列式的证明 2.2.1用递推法证明

1

2

112211

12001

111

122

1111a a a a a a a a a a D n n n n n n n n r a r r a r r a r n n n n n -----------−−−−−−→

−---

)

()()()

()

()

(121323122211331221231

21a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n c ---------−−−→

−---

展开

按

上式112312)())((----=n n D a a a a a a

仿上做法,有2224231)())((-----=n n n D a a a a a a D 再递推下去,直到11=D .故

)

()()())()(())((112242311312j i n

i j n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D -=

-------=∏

≤<≤-

2.2.2用Laplace 定理证明 已知在n 级行列式

nn

nj n in ij i n j a a a a a a a a a D 11

1111= 中,除第i 行（或第错误!未找到引用源。列）的元素ij a 以外,行列式中其余元素全是零,则由Laplace 定理得:此行列式等于ij a 与它的代数余子式ij A 错误!未找到引用源。的乘积ij ij A a D =,在

1

1312112

23222

1321

1111----=n n

n n n n

n

n a a a a a a a a a a a a D

中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的1a 倍,得

)

()

()(0)()

()(001

11112

132

3122211331221

1

312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n n n n n n n n ---------=---

根据上述定理

)

()()()

()

()

(121323122211331221

131

2a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n n n n n n n n ---------=

---

错误!未找到引用源。

把每列的公因子提出来,得

22322

32

113121

11

)

())((------=n n

n n n

n n a a a a a a a a a a a a D

错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。

等式右边的第二个因子是错误!未找到引用源。阶行列式,用1-n D 表示,则上式中

111312)())((----=n n n D a a a a a a D

同样地,可以得到

2224231)())((-----=n n n D a a a a a a D