量子力学复习指南 - 中国人民大学

人做了书的奴隶，便把活人带死了。……把书作为人的工具，则书本上的知识便活了。有了生命力了。——华罗庚
量子力学复习指南

参考书目：曾谨言《量子力学》（卷I，第四版）科学出版社


第一章：量子力学基本概念及其物理起源
要求了解经典物理在解释黑体辐射、光电效应、原子光谱、固体比热等现象时面临的困难，了解量子假设在解决这些困难时所起到的作用。了解光量子论的具体内容及其实验验证过程。掌握氢原子玻尔理论，了解导致电子能级量子化的关键假设。了解德布罗意波的意义，熟练掌握德布罗意关系。
例题1：我们是否可以采用中子测量一个晶体的晶格常数？如果可以，请给出测量方案。如果设被测晶体的晶格常数为1个埃的量级，应选用什么能量范围的中子？
例题2：请列举三种测量普朗克常数的实验方法。

第二章：波函数的统计诠释与薛定谔方程
要求掌握波粒二象性的物理意义以及德布罗意波的统计诠释。熟练掌握态的线性叠加原理和不确定关系。能根据体系的物理条件正确写出哈密顿量和波函数的形式以及相应的薛定谔方程。掌握量子力学时间演化的幺正性和几率守恒定律的证明以及几率流密度的计算。掌握能量本征态的意义及其物理特征。
例题3: 请论述波粒二象性与不确定关系两者的关系。
例题4：请利用不确定关系估计一维谐振子的基态能量。
例题5：请写出氦原子的薛定谔方程。
例题6：证明一个实的波函数对应的量子态中不存在粒子流。

第三章：一维定态问题的求解
要求掌握一维能量定态的一般性质，例如束缚态和散射态在波函数、边界条件、能级分布上的差异。了解波函数连接条件的种类和物理起源。掌握一维有限深和无限深方势阱的能量定态的求解和解的物理性质。了解在求解过程中空间反演对称性起到的作用。了解束缚态和能级分立性的相互关系。掌握一维方势阱和势阱散射的反射和透射系数的计算。掌握一维谐振子能量本征值分布规律和本征态的物理性质。
例题7：证明一维谐振子的基态是满足不确定关系的最小不确定态。
例题8：检验一维无限深方势阱中能量定态上的不确定关系。
例题9：给出一维有限深方势阱出现第一个奇宇称束缚态的最小势阱深度。
例题10：证明一维散射问题中反射系数与透射系数之和为1.
例题11：设一个宽度为a的无限深方势阱中被一个不可穿透的隔板分为左右两个等宽度的势阱，一个粒子在初始时刻处于左半阱的基态，如果将隔板移除，讨论粒子的中心位置如何随时间演化。

第四章：物理量与算符，表象与表象变换

要求掌握描述物理量的算符的基本数学性质，熟练掌握算符的基本代数运算，尤其是对易运算和算符等式的证明，掌握算符本征值和本征态的概念，了解力学量完全集和守恒量完全集的概念以及不确定关系的一般形式。掌握轨道角动量的本征态和本征值的一般规律。了解表象和基函数的概念和量子力学的矩阵形式，能熟练进行波函数和算符矩阵的表象变换。正确掌握非束缚态的归一化方法。
例12：证明雅克比恒等式
例13：证明角动量分量间的对易关系
例14：证明角动量分量与坐标以及动量分量间的对易关系。
例15：写出动量表象下坐标的算符形式。
例16：试用量子力学的矩阵形式近似求解一维位移谐振子的能量本征态和本征值。选用未位移谐振子的能量定态为基函数。讨论近似结果随保留基函数的数目的变化。

第五章：量子力学中的对称性与守恒量
要求掌握量子力学中物理量平均值的时间演化方程和能量定态的时间演化特点。掌握量子力学中时间演化的三种不同图像并能够利用海森堡运动方程求解简单的量子力学体系的时间演化问题。掌握量子力学中对称性和守恒量之间的对应关系，能具体推导动量及角动量守恒与相应的对称操作的数学联系。
例17：证明维里定理
例18：利用海森堡运动方程求解一维谐振子的时间演化问题
例19：证明空间旋转对称性导致角动量守恒。
例20：试问一个量子力学中的粒子的波包中心的运动在什么情况下满足牛顿定律。

第六章：中心力场与氢原子的解的性质
要求掌握中心力场中粒子运动的能量定态的一般特征及其物理原因。能正确写出径向方程和径向波函数的边界条件。掌握实验室坐标系到质心坐标系到变换关系。掌握深球方势阱s态的求解，了解非s态求解的一般过程。了解氢原子能量定态的求解的一般过程，掌握求解过程中边界条件的作用，掌握氢原子的能级的结构以及圆轨道定态波函数的形式。掌握氢原子能量定态的一般物理性质（例如电子分布特征，旋转对称性质，磁矩），了解维里定理以及Hellmann-Feymann定理在计算氢原子能量定态物理性质时的作用。
例21：确定一个有限深球方势阱中出现首个s- 波束缚态的条件
例22：检验氢原子基态中的不确定关系。
例23：确定三维各向同性谐振子的能级和本征态波函数。

第七章：自旋与角动量的性质
掌握电子自旋的物理性质和数学描述，掌握基本的自旋代数运算，能够证明相应的自旋恒等式。掌握自旋轨道耦合的物理起源和数学描述，掌握总角动量本征态的求解方法。了解角动量算符的一般代数性质以及角动量耦合

的基本规则，掌握C-G系数的物理意义。掌握两个1/2自旋耦合的总自旋本征态的求解过程，能够求解包含两个相互耦合的 1/2自旋的量子体系的能量本征态和时间演化问题。
例27：求自旋沿任意一个空间方向的分量的本征值和相应的本征态。
例24：证明
例25：证明
例26：证明
例27：写出两个1/2自旋耦合的C-G系数
例28：讨论两个1/2自旋耦合的量子体系的一般时间演化。
例29：计算，其中为两个1/2自旋形成的自旋单态。

第八章：定态微扰理论
掌握定态微扰理论的基本计算公式，能够将其应用到典型的可解量子力学体系（例如两能级体系、方势阱体系、谐振子体系、氢原子体系）。掌握反常塞曼效应和斯塔克效应的微扰计算方法。掌握空间旋转对称性和空间反演对称性在微扰矩阵元计算中的应用方法。
例30：讨论氢原子n=2的能级的斯塔克效应，不考虑自旋效应。
例31：将电子间的库伦作用当做微扰，利用微扰理论求解氦原子的基态能量。

第九章：量子跃迁与散射
掌握量子跃迁的物理意义以及费米黄金规则，并可将其应用到典型的可解量子力学体系（范围同微扰论要求）。了解跃迁选择定则的物理来源和分析方法，掌握电偶极跃迁的选择定则。了解跃迁几率与能级宽度间的关系。掌握散射截面、散射波幅的物理意义和计算公式，掌握一阶玻恩近似下散射截面的计算方法，了解分波法计算散射截面的物理原理和散射相移的物理意义，能够根据实际情况估计所需分波的数目，判断散射相移的正负。
例32：计算氢原子2p态的寿命。
例33：利用玻恩近似计算处于基态的氢原子对于电子的弹性散射截面。

第十章：带电粒子在电磁场中的量子运动
掌握带电粒子在电磁场中运动的薛定谔方程。了解规范对称性和波函数相位的物理意义。了解规范变换的物理意义。掌握均匀静磁场中带电粒子的本征态和本征能级的求解过程。
例34：求氢原子基态的磁化率
例35：讨论氢原子塞曼效应

第十一章：全同粒子体系和氦原子的量子理论
掌握氦原子的谱系结构以及造成这一结构的物理原因。掌握量子力学中全同粒子的概念和波函数的交换对称性质。熟练掌握两电子体系波函数的结构以及交换统计性质对于粒子空间关联的影响，了解全同粒子体系状态空间的结构和一般多电子体系波函数的特点。
例36：一个二维无限深方势阱中放入两个电子，先不考虑电子间的相互作用，请写出基态和第一激发态的波函数。若电子间存在一个短程排斥相互作用，若将其视为微扰，问体系的基态和第一激发态将作怎样的微扰修正。


人做了书的奴

隶，便把活人带死了。……把书作为人的工具，则书本上的知识便活了。有了生命力了。——华罗庚