多面体的外接球问题精品教学设计
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变，又该如何求解？ 设计意图：掌握求直棱柱外接球的方法. （四）棱锥的外接球 1、有侧棱垂直于底面
例 2：在三棱锥中， OA, OB, OC 两两垂直， OA 3, OB 1, OC 2 ，则该三棱锥外接球
的半径为（ ）
6
A.1 B.
2
C. 2
3
D.
2
变式 1：在三棱锥中， OA 面O，BC,OC BC,OA 3 CB 1,OC 2 ，则该三棱锥外
纵观近几年高考题，几何体的外接球问题在高考中既是考查的热点又是考查的难点。与球 有关的几何体问题能很好地考查学生的空间想象能力以及化归转化能力.本节课我们将着重研究 多面体的外接球问题. 三、 教学目标：
通过对多面体外接球典型例题的图示和推演，让学生掌握确定球心、求解半径的基本方 法；通过同类问题的变式探究，培养学生空间问题平面化、几何问题代数化的能力，深刻体会 化归的数学思想；通过对问题难度的升级及总结，锻炼学生的几何直观和空间想象能力，培养 学生的数学直观想象素养. 四、教学重难点：
教学重点：会求正棱柱、正棱锥及一般三棱锥的外接球半径； 教学难点：确定多面体外接球的球心并求出半径. 五、 教学活动： （一）课前准备：观看导学视频，回顾相关知识，完成【课前预习案】. （二）高考真题回顾： 1.（2008 年全国卷二）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点
9
A.169π B.163π C. 649π
D. 643π
变式 4：已知三棱锥 P ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为 1 的正三角
形， PC 为球 O 的直径,该三棱锥的体积为 2 6 ，则球 O 的表面积为_________.
设计意图：针对考试热点及难点的一般三棱锥求解问题进行分析和训练，突出“立体问题平面 化”的思想方法. 六、课堂总结：
若三棱锥 O ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为（ ）
A. 36
B. 64 C. 144 D. 256
设计意图：通过真题发现考试热点，确定学习目标及方向.
（三）直棱柱的外接球
例 1：若棱长为,2 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的半径为
.
变式 1：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为 2,2,3，则此球
上，则该球的体积为（ ）
32
A.
3
B. 4
C. 2
4
D.
3
4.（2014 年大纲卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该
球的表面积为（ ）
81
A.
4
B. 16
C. 9
27
D.
4
5.（2015 年全国卷二）已知 A, B 是球 O 的球面上两点， AOB 90o ， C 为该球面上的动点.
例 3：正三棱锥 S ABC 的底面边长为 3 ，各侧棱长为 2 ，则其外接球的半径为______.
变式 1：正四棱锥 S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ，点 S、A、、B、C D 都在同一
球面上，则此球的半径为
.
变式 2：在三棱锥 A BCD 中， ABC 与 BCD 都是边长为 6 的正三角形,平面 ABC ⊥平面
BCD ，则该三棱锥的外接球的体积为( )
A. 5 15 B. 60 C. 60 15 D. 20 15
变式 3： 已知球 O 的半径为 R ，、A 、B C 三点在球 O 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距离 为12R, AB AC 2, BAC 120o ，则球 O 的体积为（ ）
多面体外接球
直棱柱
棱锥
有侧棱垂直于底面 无侧棱垂直于底面
Leabharlann Baidu
七、课后反思： __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
《多面体的外接球问题》教学设计
一、 课标要求： 三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形、培养和发展学生的空间想象能力、推理
论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的 基本要求.1、认识柱、锥、台、球极其简单组合体的结构特征；2、了解球、棱柱、棱锥、台 的表面积和体积的计算公式. 二、 考纲要求：
都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为 3，那么这个球的体积为
8
_________.
2.（2010 年全国卷二）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a ，顶点都在一个球面上，
则该球的表面积为（ ）
A． a2
B. 7 a2 3
C. 11 a2 3
D. 5 a2
3.（2014 年陕西卷）已知底面边长为 1，侧棱长为 2 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面
接球的半径为（ ）
6
A.1 B.
2
C. 2
3
D.
2
变式 2：在三棱锥中， OA 面O，B，C, A=1200 OA 2 OB OC 3 ，则该三棱锥外接
球的半径为（ ）
A.1 B. 3
C. 2 D. 2
设计意图：掌握有侧棱垂直于底面的棱锥的外接球求法，突出“补体”的数学思想. 2、无侧棱垂直于底面
的半径为
.
变式 2：一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个
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球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为 3，则这个球的半径为
.
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变式 3：已知正三棱柱的侧棱长为 2，底面三角形的边长为 1.过三棱柱的各顶点做外接球，则 该球的半径为__________.
变式 4：在上一问中，将底面三角形变成顶角为1200 ，腰长为 1 的等腰三角形，其他条件不
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例 2：在三棱锥中， OA, OB, OC 两两垂直， OA 3, OB 1, OC 2 ，则该三棱锥外接球
的半径为（ ）
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A.1 B.
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C. 2
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D.
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变式 1：在三棱锥中， OA 面O，BC,OC BC,OA 3 CB 1,OC 2 ，则该三棱锥外
纵观近几年高考题，几何体的外接球问题在高考中既是考查的热点又是考查的难点。与球 有关的几何体问题能很好地考查学生的空间想象能力以及化归转化能力.本节课我们将着重研究 多面体的外接球问题. 三、 教学目标：
通过对多面体外接球典型例题的图示和推演，让学生掌握确定球心、求解半径的基本方 法；通过同类问题的变式探究，培养学生空间问题平面化、几何问题代数化的能力，深刻体会 化归的数学思想；通过对问题难度的升级及总结，锻炼学生的几何直观和空间想象能力，培养 学生的数学直观想象素养. 四、教学重难点：
教学重点：会求正棱柱、正棱锥及一般三棱锥的外接球半径； 教学难点：确定多面体外接球的球心并求出半径. 五、 教学活动： （一）课前准备：观看导学视频，回顾相关知识，完成【课前预习案】. （二）高考真题回顾： 1.（2008 年全国卷二）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点
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A.169π B.163π C. 649π
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变式 4：已知三棱锥 P ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为 1 的正三角
形， PC 为球 O 的直径,该三棱锥的体积为 2 6 ，则球 O 的表面积为_________.
设计意图：针对考试热点及难点的一般三棱锥求解问题进行分析和训练，突出“立体问题平面 化”的思想方法. 六、课堂总结：
若三棱锥 O ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为（ ）
A. 36
B. 64 C. 144 D. 256
设计意图：通过真题发现考试热点，确定学习目标及方向.
（三）直棱柱的外接球
例 1：若棱长为,2 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的半径为
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变式 1：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为 2,2,3，则此球
上，则该球的体积为（ ）
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B. 4
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4.（2014 年大纲卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该
球的表面积为（ ）
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A.
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B. 16
C. 9
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5.（2015 年全国卷二）已知 A, B 是球 O 的球面上两点， AOB 90o ， C 为该球面上的动点.
例 3：正三棱锥 S ABC 的底面边长为 3 ，各侧棱长为 2 ，则其外接球的半径为______.
变式 1：正四棱锥 S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ，点 S、A、、B、C D 都在同一
球面上，则此球的半径为
.
变式 2：在三棱锥 A BCD 中， ABC 与 BCD 都是边长为 6 的正三角形,平面 ABC ⊥平面
BCD ，则该三棱锥的外接球的体积为( )
A. 5 15 B. 60 C. 60 15 D. 20 15
变式 3： 已知球 O 的半径为 R ，、A 、B C 三点在球 O 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距离 为12R, AB AC 2, BAC 120o ，则球 O 的体积为（ ）
多面体外接球
直棱柱
棱锥
有侧棱垂直于底面 无侧棱垂直于底面
Leabharlann Baidu
七、课后反思： __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
《多面体的外接球问题》教学设计
一、 课标要求： 三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形、培养和发展学生的空间想象能力、推理
论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的 基本要求.1、认识柱、锥、台、球极其简单组合体的结构特征；2、了解球、棱柱、棱锥、台 的表面积和体积的计算公式. 二、 考纲要求：
都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为 3，那么这个球的体积为
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_________.
2.（2010 年全国卷二）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a ，顶点都在一个球面上，
则该球的表面积为（ ）
A． a2
B. 7 a2 3
C. 11 a2 3
D. 5 a2
3.（2014 年陕西卷）已知底面边长为 1，侧棱长为 2 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面
接球的半径为（ ）
6
A.1 B.
2
C. 2
3
D.
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变式 2：在三棱锥中， OA 面O，B，C, A=1200 OA 2 OB OC 3 ，则该三棱锥外接
球的半径为（ ）
A.1 B. 3
C. 2 D. 2
设计意图：掌握有侧棱垂直于底面的棱锥的外接球求法，突出“补体”的数学思想. 2、无侧棱垂直于底面
的半径为
.
变式 2：一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个
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球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为 3，则这个球的半径为
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变式 3：已知正三棱柱的侧棱长为 2，底面三角形的边长为 1.过三棱柱的各顶点做外接球，则 该球的半径为__________.
变式 4：在上一问中，将底面三角形变成顶角为1200 ，腰长为 1 的等腰三角形，其他条件不
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