多面体的外接球问题精品教学设计

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简单多面体的外接球问题新教材教案

教学设计课题：简单多面体的外接球问题学校：姓名：教案教学过程（师生活动）设计意图知识梳理4.三角形外接圆的圆心与半径直角三角形等边三角形一般三角形正弦定理：数学来源于生活，培养从数学的角度看待问题，用数学的思维方法思考问题，用数学的方法解决问题的数学素养.通过展示模型让学生直观感受多面体的外接球，激发学生的学习兴趣，使学生产生探索欲望.让学生回顾已学的知识，有利于本节课的顺利进行，从学生已有的认知水平出发，引发学生积极思考，相互交流.1.球的体积公式：343V Rπ=2.球的表面积公式：24S Rπ=3.球的截面圆圆心与球心dO'O历年涉及真题2016Ⅱ文4 2017Ⅰ文162017Ⅲ文9 理8 2018Ⅲ文12 理102020Ⅰ文12 理10 2020Ⅱ文11 理10重心圆心：半径：高的OACBOCBA圆心：斜边的中点半径：斜边的一半R——外接圆半径ABC球的半径圆的半径两心距RCcBbAa2sinsinsin===''OOO截面圆⊥知识梳理例题讲解5.长方体的外接球6.正方体的外接球二、割补法通过视频探究演示，体会求长方体外接球半径的方法，并再此方法的基础上归纳求外接球半径的公式.培养学生空间问题平面化、几何问题代数化的能力，深刻体会化归的数学思想.利用类比的数学方法快速得到正方体外接球的半径计算公式.以高考真题开篇，充分调动学生的积极性，提高重视程度.长方体外接球的直径等于长方体的体对角线.正方体外接球的直径等于正方体的体对角线.A BCDD1C1B1A1O1.（2017Ⅱ文15）长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.球表面积外接球半径长宽高长方体体对角线分析：解：设外接球半径为，表面积为R S2222cbaR++=ππ144144214141232222=⨯===++=SRR，aaaaR⋅=++=32222自主探究归纳方法探究一割补长方体和正方体师：小组合作，试一试能在长方体和正方体中割补出哪些简单的多面体.生：小组活动后展示成果.师：将小组成果画下来.引导学生探究可以补成长方体和正方体的类型，动态演示割补过程，将问题简单化.各小组进行模型操作，理解补体法，培养动手操作能力与合作交流能力.教师通过引导，鼓励学生自主探索、动手实践、合作交流，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．通过图形动态演示与动手操作模型，发展几何直观和空间想象能力，培养学生的数学直观想象素养.注重分析的过程，理清解题思路，强调计算方法.2.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且则此三棱锥的外接球的体积为__________ .ABCP-，，，257===PCPBPA527ACBP分析墙角型三棱锥墙角型补成长方体长方体外接球半径3.已知三棱锥中则该三棱锥外接球的半径为__________ .BCDA-，，，52513======CDABBCADBDACABCDabc三式相加⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+202513222222bacbca⎪⎩⎪⎨⎧===？222cba()582222=++cba归纳方法加强练习师：不能借助长方体和正方体解题的题型，一般通过确定球心构造直角三角形来解决外接球问题.探究二外接球的球心师：请一位同学发表自己的看法.培养学生观察与归纳的能力，帮助学生进一步巩固知识，并能运用构造直角三角形解决问题.通过图形动态演示，归纳解题方法，明确构造直角三角形关键在于定两心：底面外接圆圆心和外接球的球心.学以致用，强调具体问题具体分析，考虑问题要全面.CBAA'B'C'底面是一般三角形的直三棱柱它的外接球球心在哪？外接球的半径怎么求？4.已知正三棱锥的底面外接圆半径为1，侧棱长为3，则该正三棱锥外接球半径为_________．BCDA-1O13AOBCDRd-=22()12222=--RR课堂小结数学方法：①类比②数形结合③化归通过反思进行小结归纳，培养概括能力.帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.布置作业学生独立完成例题解题过程，巩固今天的内容.板书设计简单多面体的外接球问题长方体：割补法：多面体外接球墙角型双垂直正四面体对棱相等构造直角三角形：定两心（圆心，球心）2.完成课后练习.1. 完成今天所有题目的解答过程；1.长方体：3.割补法：①墙角型②双垂直③正四面体④对棱相等4.构造法：直角三角形2.正方体：定两心（圆心，球心）正方体：球的半径圆的半径两心距球的半径圆的半径两心距2222aaaR++=a⋅=32222cbaR++=2222cbaR++=2222aaaR++=a⋅=3。

高中数学_球与多面体的切接问题教学设计学情分析教材分析课后反思

球与多面体切接问题教学设计《课程标准》指出：几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科．人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质．三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求．教学目标核心素养1.掌握长方体、正方体与球的切接问题2.掌握正四面体与球切接问题三种方法，能运用三种方法解决类似问题1直观想象能直观感受空间正多面体与球内切与外接的位置2数学抽象能由实物抽象出数学平面的直观图，并能具体画出某一截面的情况；能抽象出正方体切截出正四面体的方法。

3逻辑推理能由平面二维的等面积推理到三维等体积4数学计算能通过在截面找到球心位置计算推演出球心精确的位置重点：长方体、正方体、正四面体与球的切接问题难点：正四面体内切球、外接球半径与棱长的关系一复习引入：球的基本性质：性质1：用一个平面去截球，截面是圆______________--截面过球心，半径等于球半径；_______--截面不过球心. 性质2:球心和截面圆心的连线_________于截面性质3: 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r , 有下面的关系_________二新课探究1长方体与球探究：长方体的（体）对角线等于球________一般的长方体有内切球吗？设长方体长宽高分别为a,b,c则球的直径为_________练习12正方体与球通过视频学习，以动画的形式，让学生更直观的想象正方体的外接球，棱切球，内切球的情况，加深印象，更容易理解。

探究：棱长为a的正方体的内切球直径为_______棱切球直径为_________外接球直径为_________内切球，棱切球，外接球半径之比_________练习23正四面体与球探究：求棱长为 a 的正四面体 P– ABC 的外接球的半径_____内切球的半径______活动一：法一（截面法）通过建立勾股关系，在RT△OAD中求解外接球半径通过三角形相似，建立数学等量关系，求解内切球半径小组活动：通过小组讨论，运用学过的球的性质，建立几何关系，通过推理运算，得出外接球及内切球半径。

《多面体的外接球问题》教案—— 高三数学一轮复习微专题湘教版

《多面体的外接球问题》一、教学内容立体儿何初步的教学重点是帮助学生形成空间观念，开展学生空间想象能力。

本章节中学生己经认识了简单儿何体的多面体和旋转体，初步掌握了这些儿何体的图形和性质，以及它们的外表积和体积公式。

本节课《多面体的外接球问题》是在此根底上的章节复习的一个微专题课，利用信息技术手段提供几何直观，运用直观感知、动手操作、推理论证等认识探索空间中简单多面体的外接球的图形结构，运用数学知识解决问题，开展学生的空间想象能力。

二、设计理念本节课力图让学生从不同角度去研究特殊几何体的外接球，从一道高考题入手，利用外接球的概念, 找球心位置和半径，通过方程计算解决外接球的体积。

重新分析条件，进一步化归转化条件，得出此三棱锥的特殊性，让学生意识到“长方体”模型解决问题的便捷，接着让学生自主探究，体会哪些特殊的几何体能用此模型解决问题。

然后引入例题及变式，发现模型化并不能解决所有几何体的外接球问题，从而回归到通性通法。

经历从一般一一特殊一一一般的过程，体验知识的产生、形成过程，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、转化、归纳，抽象概括等思维过程, 培养学生的逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算等核心素养。

三、教学目标 1、利用信息技术展示立体儿何直观图，结合学生动手操作，培养学生的空间想象能力和作图能力； 2、复习稳固本章第一节所学的简单多面体和球体的结构特征，以及几何公式等，熟练的解决与简单几何体有关的外接球的问题，培养学生良好的空间想象能力，培养学生直观想象和数学运算等核心素养。

四、教学重难点 1、确定几何体外接球的球心的位置和半径，培养学生的空间想象能力。

2、学会运用模型化思想解决特殊儿何体的外接球问题，培养学生数学建模的核心素养。

五、教学方法利用信息技术融合，启发诱导式教学六、教学过程（一）课前热身，知识梳理两道习题，唤起回忆，知识回忆练1.在矩形ABCD 中，AB=4,体ABCD 的外接球体积为（ 125〃 125兀A. -----------B. -------------------912BC = 3,沿AC 将矩形ABCQ 折成一个二面角B-AC-O,那么四面）C125） C. -------6练2.求长方体（长宽高分别为ci,b,c ）D125兀 D. --------3的外接球半径.R = -y/a 2+b 2+c 22ACB【用授课助手上传学生课前完成的作业，即此题的分析解答过程】师：让我们一起来点评这两位同学的作业！很好，都正确！师：我们知道多面体的各个顶点都在它的外接球面上，因此球心到所有顶点的距离都相等，也就是球的半径。

外接球公开课教学设计

微专题《载体法处理几何体的外接球》（一）高考地位有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点；也是高考考查的一个热点；是培养直观想象的核心素养的重要载体。

研究多面体外接球相关问题既要运用多面体的知识，又要运用球的知识；并且还要注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的联系，解法灵法多变；成为学生无法解决的难题。

今天我们以专题形式帮助同学掌握两种方法来突破外接球问题。

（二）知识储备1.外接球的定义及常见几何体的外接球（1）什么是外接球？外接球全称叫几何体的外接球，是指几何体在球内顶住球，球在几何体外面包住几何体；进一步地：若几何体是多面体，则该多面体至多一个外接球，此时多面体的顶点都在球面上，球心到各顶点的距离都相等进一步地：若几何体是旋转体，则该旋转体恰有一个外接球，此时旋转体的圆周和顶点都在球面上，球心到顶点与圆周上的每一点的距离都相等（2）外接球与内切球、棱切球的区别2.外接球的确定及度量（1）性质法利用球的性质先确定球心再用垂径定理计算半径理论依据：类比圆，球体也具备如下性质①用一个平面截球面得到的截面是一个圆，我们称作是截面圆②用一个过球心的平面截球面得到的截面圆是一个大圆，此时球心与大圆的圆心是重合③用一个不过球心的平面截球面得到的截面圆是一个小圆，此时小圆圆心与球心的连线垂直于小圆所在的平面④过截面圆圆心作截面圆的垂线必过球心⑤球面上任意三个点所在的外接圆就是球的截面圆实战演练：根据球的性质可知，我们可以通过一个大圆或者两个小圆来确定球心，通过垂径定理来计算半径。

所以球的问题，我们可以转成圆（外心）的问题。

①通过一个大圆来确定球心正方体的外接球：球心位置：大圆的圆心即体中心半径R满足：2R=a2+b2+c2圆柱的外接球：球心位置：大圆的圆心也是中间轴的中点半径R满足：R2=(h2)2+r2圆锥的外接球：球心位置--大圆的圆心半径R满足：R2=(h-R)2+r2②通过两个小圆来确定球心小结：性质法就是利用球心正好是球的大圆圆心或者是两个小圆的垂线的交点来确定的。

多面体的外接球问题 -【完整版】

多面体的外接球授课教师：刘春华授课学校：沈阳市第二十二中学课型：复习课教学目标：1、按课标要求，示范以正方体为载体，处理立体几何中的基本问题的一些方法；2、给学生示范复习和探究问题中的一些做法；提高学生总结，类比等能力，激起学生探索问题本质的兴趣和意识；3、在问题中渗透数学化归思想与数学的建模思想。

重点难点：高考问题与基本模型的相互转化。

教学过程：一、课堂引入:在高考题中我们经常碰到有关柱体和锥体的问题，这两类几何体锥体问题我们解决起来相对有困难，那我们能不能把锥体问题转化成柱体问题来解决呢在柱体中我们最熟悉的几何体就是正方体，今天我们就借助正方体来研究有关三棱锥的问题一、直接法1、求正方体的外接球的有关问题例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方2、求长方体的外接球的有关问题例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球的表面积为变式题1：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）A16π B 20π C 24π D 32π二、构造法例3、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且各棱长均为，则其外接球的表面积是变式题1、（浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D，则球O的体积等于变式2、求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积。

三、确定球心位置法例4、在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一3,===⊥⊥BCABDABCABABCDA，平面个直二面角B-AC-D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为四、构造直角三角形例5、侧棱长为4，底面边长为√3 的正三棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（）A 、76πB 、68πC 、20πD 、9π变式题、正四棱锥S-ABCD 的底面边长和各侧棱长都为，点S,A,B,C,D 都在同一球面上，则此球的体积为课堂练习1、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）π12125.A π9125.B π6125.C π3125.D 252、一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）6 6 63、已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO 垂直于平面ABC, 2AC=√3 AB ,若四面体P-ABC的体积为,则该球的体积为4、如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD= 2,BD CD,将其沿对角线BD折成四面体A`-BCD,使平面A`BD 平面BCD，A444444若四面体A`-BCD的顶点 B D 在同一个球面上，求该球的体积。

多面体外接球的教学设计

几个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球一、教学内容解析本节课是在全面学习了立体几何中的空间几何体之后，对空间中简单多面体与球相结合的综合问题的研究，是建立在学生熟练掌握平面几何的相关知识，类比得到空间几何体的一些结论，其中涉及到长方形外接圆的半径，三角形外接圆的半径的求法，需要学生充分发挥空间想象能力，在球中构建直角三角形求外接圆的半径。

本节课较全面的总结了多面体的外接球问题，既有对简单问题的快速便捷处理方法，又有对常见考法的系统探究，是属于中高考复习备考方法，策略的研究案例。

二、教学目标设置知识与技能：1、掌握与长方体有关的外接球问题2、理解用定义法和截面性质解决空间几何体的外接球问题。

过程与方法：通过类比平面的相关知识，建立空间感，运用外接球的定义求解外接球的半径。

情感、态度、价值观：充分发挥学生的空间想象能力，通过体会外接球半径的探索过程，正确地拓展已学知识，适时地建立模型归纳所学内容，从而完善地建立知识模块体系。

三、学生学情分析多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点，在近几年的高考题中都有出现。

球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。

在平时学习中，学生已经掌握了正方体、长方体的外接球，了解了补形法，但对一般三棱锥的外接球相关问题的求解仍有困难，主要是因为不善于抓住几何体的结构特征，不能正确回归外接球定义，寻找球心和半径。

四、教学过程设计（一）、新课引入1、图片展示：通过爱因斯坦的名言，及两幅有趣的图片，让学生感知想象力的重要。

复习球的定义，及球的有关性质，让生对球有一个整体把握。

2、学生活动：展示长方形外接圆的求法（二）、新课讲解通过几个模型，让学生突破这类问题，遇到问题能快速找到方法。

一、直接法类型1、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1-1图1-2图1-3方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R类型2、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；图2-1第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=++=，第三步：根据墙角模型，22222222z y x c b a R ++=++=，8222z y x R ++=，求出R .类型3、矩形模型（棱锥有两个平面为直角三角形且斜边为同一边）练习题：1.（2020·辽宁省高三）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，BD ⊥平面ADC ，BD ＝1，AB ＝2，BC ＝3，AC ＝11，则三棱锥A ﹣BCD 外接球的体积为（）A ．4πB ．3πC ．23πD ．43π2、（2019年高考全国卷Ⅰ理科第12题）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，E 、F 分别是PA 、PB 的中点，90CEF ∠=，则球O 的体积为（）A ．86πB ．46πC ．26πD ．6π3、（2020·四川省眉山市彭山区第二中学）在四面体ABCD 中，若3AB CD ==，2==AC BD ，5AD BC ==，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（）A ． 2πB ．4πC ．6πD ．8π4、（2020·新疆维吾尔自治区）在四面体ABCD 中，2AB =，1DA DB CA CB ====，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π设计意图：通过例题展示，学生合作探究，从理论和实践上掌握补成长方体模型的方法。

高中数学外接球教案模板

教学目标：1. 理解外接球的概念，掌握求外接球半径的方法。

2. 通过实例，学会运用几何知识解决实际问题。

3. 培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。

教学重点：1. 外接球的概念2. 求外接球半径的方法教学难点：1. 理解外接球与内切球的关系2. 运用几何知识解决实际问题教学过程：一、导入1. 提问：什么是球的内接体？什么是球的外接体？2. 引入外接球的概念：如果一个多面体的所有顶点都在一个球的球面上，那么这个球称为该多面体的外接球。

二、新授课1. 讲解外接球的概念，结合实例让学生理解。

2. 介绍求外接球半径的方法：a. 利用球心到多面体顶点的距离相等求半径；b. 利用几何关系，如勾股定理、相似三角形等求半径；c. 利用长方体、正方体等特殊几何体的性质求半径。

3. 通过实例讲解，让学生掌握求外接球半径的方法。

三、课堂练习1. 完成以下练习题，巩固所学知识：a. 已知一个正方体的棱长为a，求其外接球的半径。

b. 已知一个正四面体的棱长为a，求其外接球的半径。

c. 已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求其外接球的半径。

2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调外接球的概念和求半径的方法。

2. 引导学生总结外接球与内切球的关系。

五、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 预习下一节课内容。

教学反思：本节课通过讲解外接球的概念、求半径的方法，并结合实例进行讲解，让学生掌握了求外接球半径的基本技能。

在教学过程中，要注意以下几点：1. 注重学生的空间想象能力培养，引导学生从几何图形中抽象出外接球的概念。

2. 通过实例讲解，让学生理解外接球与内切球的关系，提高学生的逻辑思维能力。

3. 在课堂练习环节，注重培养学生的动手能力和解题技巧。

4. 课后作业布置要合理，既要巩固所学知识，又要培养学生的自主学习能力。

专题多面体的外接球问题讲课教案

专题多面体的外接球问题专题多面体的外接球问题一、考点分析：有关多面体外接球问题，是立体几何中的一个重点，也是近几年高考考题的一个热点，研究多面体外接球的知识，既要运用多面体的知识又要运用球的相关知识；特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中会起着至关重要的作用。

二、教学目标1、了解多面体与其外接球的关系2、掌握几种常见的多面体的外接球的计算方法。

三、教学重点、难点不同类型的多面体与其外接球半径的求法四、教学过程（一）球的性质性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截线是圆。

大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面不过球心性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面．性质3: 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 下面的关系:22d R r -= （二）球体的体积与表面积：3413球、V R π=224球面、S R π= （三）球与多面体的接、切1.外接球球心到各顶点的距离相等(R )2. 内切球球心到各面的距离相等(r ) 五、经典模型：(一)汉堡模型（直棱柱和圆柱外接球问题）例1、已知正四棱柱的各个顶点都在同一个球面上，且高为4，体积为16.其外接球的表面积是111120ABC A B C -∠o1例2：直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若AB=AC=AA =2，BAC=，则此球的表面积等于（）(二)对棱相等模型题型：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等（AB=CD,AD=BC,AC=BD ），求外接球问题画出一个长方体(补形)，标出三组互为异面直线第一步：的对棱；()2222222222222222228a b x x y z x y z b c y R a b c R a c z ⎧+=⎪+++++=⇒=++==⎨⎪+=⎩222第二步：设长方体的长宽高分别为a,b,c.AD=BC=x,AB=CD=y,AC=BD=z,列出方程，例3：三棱锥A-BCD 中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4，则三棱锥A-BCD 的外接球的表面积为（）（三）墙角模型（三条两两垂直的棱）解题方法：找三条两两垂直的线段，直接利长方体对角线公式即可：A1C 1B BC1A CBDA()2222222a b c R a b c R ++=++⇒=2例题4：（1）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，其外接球的表面积是（）（2）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1正方形，则该几何体外接球的体积 . (四)垂面模型PA ABC ⊥题型一、侧棱垂直于底面的棱锥（平面）步骤：ABC ∆将画在小圆面上，以A 为小第一步：圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O1111O ABC OO ABC O O D r∆⊥=为的外心，所以平面，计算出小圆的半径第二步：()r 利用正弦定理计算可得利用勾股定第三步：理即可：2221R r OO =+ ,3=23S ABC SA ABC ABC SA -⊥例5：三棱锥中，侧棱平面底面是边长为的正三角形，，则该三棱锥的外接球体积等于（）P ABC -题型二：三棱锥的三条侧棱相等，且各个顶点都球面上 ∆11确定球心O 的位置，取ABC 的外心O ，则P,第一O,O 三步：点共线；ASCB11,;AO r PO =1第二步：先计算出小圆O 的半径，再算出棱锥的高()22222211,OA O A O O R h R r R =+⇒=-+勾股定理第三步：：解出 ()2sin aR a θθ=为棱长，为侧棱与底方法二：面所成角 32S ABC ABC -例6：正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该三棱锥的外接球体积等于（）(五)折叠模型题型:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起或菱形折叠BCD ∆先画出如图所示的图形，将画在第一步：小圆上， 12'BCD A BD H H ∆∆找出和的外心和12过H 和H 分别作平面BCD 和平面A'BD 的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OE 第二步：,OC;1OCH R ∆∆1122211解OEH ，算出OH ，在RT 中，勾股第三步：OH +即CH 定理=可：60,BAD BCD ∠=⊥o 例7：棱形ABCD 的边长为2，且,将棱形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面A'BD 平面则三棱锥A'-BCD 的外接球的半径为（）120BCD BCD ⊥o“平面A'BD 平面”改为“平面A'BD 与平面所成角为”则三棱锥 A'-BCD 的外接球的半径为（变式：）六、课堂小结1、汉堡型（直棱柱或圆柱）如何找外接球的半径呢？（1）先找外接球的球心：它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点；（2）再构造直角三角形，勾股定理求解2、三组对棱分别型的三棱锥如何找外接球的半径呢？方法：直接补成长方体，求其体对角线；3、三条棱两两垂直的三棱锥如何找外接球的半径呢？方法：直接补成长方体，求其体对角线；ASCBCDB A4、墙面型（侧棱垂直于底面的棱锥）如何找外接球的半径呢？111();O O O D r r =找底面多边形外接圆的圆心，计算出小圆的半径利用正弦定理第：计算可得一步1111=()2O OO O O O h h ⊥第二步：过作底面，为球心且为椎体的高利用勾股定第三步：理即可：5、侧棱不垂直于底面且侧棱都相等的棱锥，如何找外接球的半径呢？111();O O O D r r =找底面多边形外接圆的圆心（顶点在底面的投影），计算出小圆的半径利用正弦定理计算（可得1）O （2）在高线上取一点作为球心；利用勾股定理求出（3）半径即可6、折叠问题（对称性）12();O O r r 找两底面多边形外接圆的圆心、，计算出小圆的半径利用正弦定理计算（可得1）O 12在过小圆圆心O ,O 作两面的垂线，两高线交点为（）球心2；利用勾股定理求出（3）半径即可七、课后作业,,,,S ABCD S A B C D -1、正四棱锥都在同一个球面上，则该球的体积是（）2、在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=PC= ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60o ，则该三棱锥外接球的体积为( ) 八、教学反思ABCDP。

简单多面体的外接球问题优秀教案

1简单多面体的外接球问题【学习目标】能求简单多面体的外接球半径。

【问题】1.什么是多面体的外接球？2.外接球的球心有什么特点？一、棱柱的外接球问题【思考1】正方体的外接球球心在哪里？外接球半径是多少？长方体呢？答案：2223122a abc ++例1．直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,,12AB AC AB AC AA ==⊥=，求该三棱柱的外接球半径。

答案：132【思考2】如果底面是“边长为6的等边三角形”呢？答案：43例2．右图是某空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图是矩形，俯视图是等腰三角形，求该几何体的外接球半径。

13例3．正六棱柱所有棱长均为1，求它的外接球的体积。

答案：555,26R V ==【思考3】是不是所有的棱柱都有外接球？二、棱锥的外接球问题班级姓名C 1 A 1 B 1C B A 442222正视图侧视图俯视图2例4．已知三棱锥P ABC -中，侧棱PA 垂直于底面ABC ，若2,3,3AB AC PA ===，且AB AC ⊥，求该三棱柱的外接圆半径。

答案：2【变式】右图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图是直角三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，若该几何体外接球的表面积为6π，则正视图中三角形的高x =（）A.1B.2C.3D.2 答案：D【思考4】如果底面是“边长为2的等边三角形”呢？答案：63例5．正四棱锥V ABCD -的底面是边长为22的正方形，侧棱长为4，求该四棱锥的外接球半径。

答案：433【思考5】（1）若例5的题目中的“侧棱长为4”改为“侧棱长为22”呢？（2）若例5的题目中的“侧棱长为4”改为“侧棱长为6”呢？答案：（1）2；（2）32【变式】右图是某多面体的三视图，其中正视图和侧视图是棱形，C ABP 正视图33 侧视图1 x正视图侧视图俯视图俯视图是正方形，则该多面体外接球的表面积为（）A.8πB.18πC.24πD.答案：C【思考6】棱长为a的正四面体的外接球半径？答案：2a（高的34）例6．右图是某几何体的三视图，其中正视图是等腰三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是矩形，求该几何体的外接球半径。

微专题——多面体的外接球(教案)

微专题：多面体的外接球高三数学组一、课程标准1、运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间概念；2、利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

二、学习目标与目标分解：通过常见模型的分析，掌握找外接球球心，计算半径的统一方法与基本套路。

1、通过小题1回顾长方体的外接球，会用半径公式2222c b a R ++=；通过画图，培养直观能力，理解长方体或正方体的外接球的球心就是体对角线的中点，为墙角模型铺垫。

2、通过小题2直棱柱外接球的解法，掌握所有柱体的外接球——汉堡模型。

3、通过小题3三棱锥外接球的解法回顾，需要立体转平面计算，进一步理解球心位置，。

4、通过小题4得出找球心的常用方法：“垂径定理”画图，勾股定理计算。

牢记三者之间的关系：2122OO r R +=。

5、通过课前预习4个题的求解与画图，从想象与直观两个方面，进行分析比较，交流讨论，总结出几何体外接球问题的关键核心是什么，通性通法是什么，难点又是什么。

6、通过例题（仅线面垂直的墙角模型）、变式1（面面垂直的切瓜模型）、变式2（非直二面角的模型），让学生应用刚才总结的理论。

可以采取补形法，也可以利用“垂径定理”找球心，难点是球心在垂线上，到底在何处，为何在中点，第2题为何在三分之一处。

7、通过针对练习1，检查学生对例题的掌握程度，体现教学评一致性。

8、通过针对练习2，检查学生对变式1的掌握程度，体现教学评一致性。

9、通过针对练习3，检查学生对变式2的掌握程度，体现教学评一致性。

三、教学重点：理解并能运用“垂径定理”计算外接球半径四、教学难点：画图、确定小圆、1OO 长度的理解。

五、教学过程环节一课前预习（请画出每小题的空间图形）. . ..1、（2010全国7）设长方体的长､宽､高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A ． 3πa 2B ． 6πa 2C ． 12πa 2D ． 24πa 22、（2010全国10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有的棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A ．πa 2 B． 73πa 2 C ． 113πa 2 D ． 5πa 2 3、（2018全国12改编）已知正四棱锥P ABCD -的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为（）A. 1243πB. 62581πC. 50081πD. 2569π 4、（2020全国 11）已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为16π，则球O 到平面ABC 的距离为（）A 。

公开课课件：多面体的外接球问题

多面体与球的切接问题
基本知识回顾：
一、球体的体积与表面积
二、球与多面体的接、切
4 3 ① V球 R 3
②
S球面 4 R
2
外接球球心到各顶点的距离相等 (R) 定义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
(r) 定义内切球球心到各面的距离相等 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
球与正方体的“切”“接”问题
一、直棱柱与球
若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ ⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
D A B
C
中截面 O

D1
C1
A1
B1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
D A B
C
中截面
O D1 C1

.
A1
B1 正方形的对角线等于球的直径。
D A O D1 A1
2. （ 2013 郑州质检）在三棱锥 A-BCD 中， AB=CD=6 ， AC=BD=AD=BC=5.则三棱锥的外接球的表面积为________
总结求棱锥外接球半径常见的补形有：正四面体常补成正方体；三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体；三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体；侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱
法1.勾股定理法
P
P
O
O

A
M
D
A M B D
E
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法2.补成正方体
A B A B
O

人教A版高中数学必修二高三专题复习《多面体的外接球问题》教学设计

高三专题复习—多面体的外接球问题【教学分析】有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.【考情分析】近年来高考题常把球与其它几何体相结合，对内切、外接问题进行考查.多以选择题、填空题的形式出现，难度不大，但设问方式多种多样，对空间想象能力的要求较高.【教学目标】知识与技能：学生掌握多面体外接球半径的常用方法，进而解决多面体的外接球的问题。

过程与方法：培养空间想象能力和感性认识，体会转化的数学思想方法。

教学重点：多面体外接球的半径的求法教学难点：利用空间想象能力分析图形，明确接点及球心的位置，求出多面体的外接球半径。

【教学过程】知识回顾：性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截线是圆。

性质2：球心和截面圆心的连线垂直于截面球心到截面的距离与球的半径R 及截面的半径的关系：新授课：一、直接法——构造直角三角形例1 求棱长为1的正四面体外接球的体积。

小结：本例是直接构造直角三角形，运用公式222R r d =+来求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.秒杀公式1：222h r R h+=. 限制条件：各顶点都在球面上，顶点到底面的距离为h ，且顶点在底面的射影为底面外接圆圆心.典型222r d R +=例子为：正三棱锥，正四棱锥。

秒杀训练1.正四棱锥S ABCD-的底面边长和各侧棱长，点S A B C D、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .二、补形法——构造长（正）方体引例：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .例 2.已知球O的面上四点ABCD，DA⊥平面ABC，,AB BC DA AB BC⊥===O的体积等于小结：本例可先补成长(正)方体，再运用“长(正)方体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解.训练1（2012辽宁，16）已知正三棱锥P ABC-，点,,,P A B C的球面上，若,,PA PB PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为 .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有:2R =训练2：（2013.辽宁理，10）已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若13,4,,12AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的半径为（）13.2A B C D训练3：已知直三棱柱111ABC A B C -的各个顶点都在同一球面上，若012,120,AB AC AA BAC ===∠=则此球的表面积为训练4:已知在三棱锥A BCD -中，,AD ABC ⊥面120,BAC ︒∠= 2,AB AD AC ===则该棱锥的外接球半径为秒杀公式2：=R 限制条件：各顶点都在球面上，且有条棱垂直于底面，且垂点是顶点。

2019届高三上学期数学一轮复习教案：简单多面体外接球问题

小组讨论探究
1、分小组讨论，从长方体或正方体的八个顶点中，任取不共面的四个顶点，可以构造出什么样的特殊三棱锥？
2、讨论完后，小组选一名代表上黑板，在长方体或正方体上将三棱锥构造出来。
师：课堂巡视，个别辅导。
通过学生讨论，培养学生交流合作能力。
4种特殊三棱锥可用补体法（补全长方体或正方体）求外接球问题
学习目标：1、长方体、正方体外接球问题
2、补体法求特殊三棱锥外接球问题
五、教学重点和难点
重点：学会转化的思想方法。
难点：补体法的要点。
六、教学过程设计
【课前准备】
1、每人准备一个长方体，或正方体盒子（分小组讨论，从长方体或正方体的八个顶点中，任取四个顶点，可以构造出什么样的三棱锥？）
2、分组：4～6人为一个实习小组，确定一人为组长，教师需要做好协调工作，确保每位学生都参加。
近年来，高考题中常常出现简单多面体外接球问题，此类问题能有效考查学生的空间想象能力，它自然受到命题者的青睐.简单多面体外接球问题实质上是解决球的半径和确定球心的位置问题。球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。
二、学生学习情况分析
学生在高二系统的学习了立体几何，理解球的定义及多面体外接球的定义，掌握球的性质，知道球的半径能熟练应用公式求出球的体积与表面积。对简单多面体外接球有了一定的了解和把握，但学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。因此进行本堂课的教学，首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提高综合能力，对新知识的传授，即特殊三棱锥外接球利用补体法（补全长方体或正方体）来解决，则应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化繁为简，突破难点。
三、设计理念

高中数学必修二《简单多面体外接球问题》教学设计

教学设计课题：简单几何体的外接球问题一．教学分析：球是高考出题的热点之一，在近几年的高考题中都有出现。

球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。

二．学情分析：学生在必修二初，对立体几何不是很熟悉，加上线面位置关系没上，所以本节课只解决几类特殊的几何体外接球问题。

有一部分学生已经能解决长方体的外接球问题。

三.预设目标：知识与技能：学生学会用构造法解决空间几何体的外接球问题。

过程与方法：学生建立空间感，体会转化的数学思想方法。

情感、态度、价值观：完善学生知识体系，增进学生对数学的信心和兴趣。

四.教学重点及难点：重点：学会转化的思想方法。

难点：构造法的要点；球心位置的确定五、学法分析高中的学生已经具备一定的动手能力，虽然空间想象能力不够完善，将班级的空间几何体的实物模型提前一天分给各个学习小组，加上辅助线，合作，构造自己需要的模型。

因此，在教学中，安排学生以小组为单位讨论交流，对什么样的三棱锥可以构造成长方体一目了然。

从中体现出学生活跃的思维、浓厚的兴趣、强烈的参与意识和自主探究能力．六 .教学准备：几何体实物模型，微课，预习讲义教法过程：（一）复习球的性质1. 球心和截面圆心的连线垂直于截面2.球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 的关系：222d r R +=3.外接球的定义：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个几何体的外接球。

4.正方体，长方体的外接球问题A正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。

设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，长方体外接球的直径等于长方体体对角线教学设想：通过这4个问题的设置，强化外接圆的性质，为确定圆心具体位置做铺垫。

知道正方体，长方体两个特殊的几何体外接球问题，将解决一系列问题。

（二）两招搞定简单多面体外接球问题外接球的问题：简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键．1.构造正方体或长方体长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．教学设想：通过几个特殊问题的设置，让学生理解并应用球的性质，确定球心位置，计算求出球的半径。

高中数学简单多面体与球的切接问题探究教案

简单多面体与球的切接问题探究（第一课时）一、教学目标：1、从找特殊简单多面体（正方体、长方体、正棱柱、直三棱柱、正棱锥等）的外接球球心推广到一般的外接球球心的确定，让学生经历直观感知、分析、演算等过程，获得并掌握研究一般多面体外接球球心找法的方法，从而体验特殊到一般的认知过程。

（体现核心素养中的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养）2、运用正方体（长方体）外接球的模型解决相关几何体的外接球问题。

（体现核心素养中的数学建模、直观想象等素养）3、从正方体和正四面体两个特殊内切球半径的求法，掌握分割法的思想方法。

（体现核心素养中的直观想象、逻辑推理、数学抽象等素养）二、教学重难点：教学重点：会找简单多面体外接球的球心，会求简单多面体外接球与内切球的半径。

教学难点：接切关系的典型处理技巧。

三、教学过程：引入：一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体体积的最大值为.探究一、简单多面体的外接球1、正方体的外接球例1（1）（2017天津试题）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.（借助正方体的外接球结论解决（2）（3））（2）已知正三棱锥A-BCD的侧棱长为1，且三条侧棱两两垂直，则这个三棱锥的外接球的表面积为.结论1：三条侧棱两两垂直的正三棱锥外接球问题可以转化成正方体外接球问题。

（3）棱长为a的正四面体的外接球的表面积为.结论2：正四面体的外接球问题可以转化成正方体的外接球问题。

自主探究1：长方体的外接球的球心在哪呢？自主探究2：类比刚才构造正方体的思路，哪些类型题可以构造长方体来解答？（一个顶点出发的三条侧棱两两垂直的四面体；对棱相等的四面体）（4）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长为1，顶点都在同一个球面上，则该球的半径为.自主探究3：正棱柱的外接球的球心在哪呢？自主探究4：直三棱柱的外接球的球心在哪呢？自主探究5：正棱锥的外接球的球心在哪呢？（5）沿矩形ABCD的对角线AC折起，形成空间四边形ABCD，使得二面角B-AC-D为120°，若AB=2，BC=1，则此时四面体ABCD的外接球的体积为.变式：沿四边形形ABCD的对角线AC折起，形成空间四边形ABCD，使得二面角B-AC-D 为120°，若该几何体有外接球，你能找出外接球的球心吗？（从特殊到一般，让学生掌握一般几何体外接球的找法）探究二简单多面体的内切球正方体的内切球正四面体内切球（分割法求内切球的半径）（6）点D C B A ,,,在同一个球的球面上，22,2===AC BC AB 若四面体ABCD 体积的最大值为34，则该球的表面积为.例2如图，已知球O 是棱长为1的正方体D C B A ABCD ''''-的内切球，(1)内切球的体积为;(2)平面D AC '截球O 的截面面积为.。

高中数学_球与多面体的切接问题教学设计学情分析教材分析课后反思

人教版2019届高三溧水二轮复习多面体的外接球问题教案

多面体的外接球问题教学目标：进一步熟悉常见几何体的结构特征，熟练的解决与简单几何体有关的外接球的问题，培养学生良好的空间想象能力，培养学生直观想象和数学计算等核心素养。

教学难点：确定几何体相关球的球心的位置和半径，培养学生的空间想象能力。

一、考情分析，感受高考近年来，与多面体相关的外接球的表面积或体积问题几乎每年都出现在全国卷中，属于必考知识点，主要以选择题和填空题的形式出现，分值在5分左右。

1、棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的8个顶点都在球O 表面上，则球O 22、同一顶点出发的三条棱长分别为123、、的长方体1111ABCD A BC D -的8个顶点都在球O 表面上，则球O 的表面积是14π3、自半径为3的球面上的一点M ，引球的三条两两垂直的弦MA MB MC 、、，则222++=MA MB MC 36三、知识梳理，打牢基础：四、互动探究，感悟真谛1、直棱柱的外接球例1、已知直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒,侧面11BCC B 的面积为4，则直三棱柱111ABC A B C -变式训练：已知直三棱柱111ABC A B C -中，60BAC ∠=︒，|BC 11BCC B 的面积为111ABC A B C -归纳总结：D C B A2棱锥的外接球（1）正棱锥的外接球例2 一个正四棱锥的底面边长为2面积为9π变式训练：已知正四面体P ABC -P ABC -的棱长为 4（2）其他棱锥的外接球例3 （1）如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===,BD =BD CD ⊥,将其沿对角线BD 折成四面体1A BCD -，使面1A BD ⊥面BCD ，若四面体1A BCD -的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）（2）三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2,1,30PA AB BCA ==∠=︒,则三棱柱P ABC -的外接球的体积是3 变式训练：已知四面体A BCD -中，10,AB CD AC BD ====AD BC==则四面体A BCD -外接球的表面积为200π归纳总结：五、回顾总结，归纳提升。

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