04 相似性原理与因次分析-习题与讨论

习题与讨论
4 相似性原理与因次分析
2013-6-11
1
主要内容
思考题 选择题(单选题) 章后习题简解
2013-6-11
2
思考题

什么叫因次?因次和单位有何不同?
因次分析方法的理论根据是什么?
怎样运用瑞利法建立物理方程? 怎样运用定理建立物理方程? 几何相似、运动相似、动力相似的涵义是什么? 何谓相似准则?模型实验怎样选择相似准则?
v m lm
(c)由
Re
v nln
n

m

，得
vm 4 .8 50
Fm 9N
16
vn
nv m lm m ln
Fn
l
2 2
0 . 096 km/h
nln v n Fm m lm v m
2 2
2013-6-11
章后习题简解
10-5 重力、黏性力和表面力同时作用下的相 似关系？
2
0
T : 1 0
可得 2
2013-6-11
0 , 2 1,
2
0
，则 2

l d
23
章后习题简解
由
dim 3 ( T
1
)
3
(L)
3
(L M )
3
3

3
( L MT
1
1
)
L : 3 3 M :
3
1 0
1 0
T : 3 1 0
【解】查表，tn=20º C时，n=998.2kg/m3。由
Eu pn
nvn
2

2
pm
mvm
2
m
nvn pm
2
vm pn
2

998 . 2 4 . 5 55 . 2 30 68 . 95
2
17 . 98 kg/m
3
p m m RT
m
17 . 98 287 273 20
l
1 2
17
章后习题简解
10-6
l 10 , v m 13 m/s , v m ( 0 . 2 m ) 0 . 5 m/s , v n 18 m/s,
v n ( 10 0 . 2 m ) ?
【解】由
v
vn vm

18 13
，可得
18 13
v n ( 10 0 . 2 m ) v v m ( 0 . 2 m )
2940
nv n D n n

mvm Dm m

98
n v m D n / 20 n
得
vm 20 30 vn 20 30 300 200 km/h
(c)t=20℃时，查表，有
n 15 . 7 10
6
m /s ,
2
m
1 . 007 10
6
m /s
3

2
2
)
L : 1 3 1 2 0 M :1 1 0 T : 1 2 0
可解出 1
2, 1 5, 1
1 ，则
1

M
d
2 5
2
由
dim 2 ( T
1
)
2
(L)
2
(L M )
3
L
L : 2 3 1 1 0 M :
【解】(a)该流动的主要作用力为阻力，决定性相似准数 为Re数，则
vnDn
n

vm Dm
m

v m D n / 20
n
v m 20 v p 20 300 6000 km/h
该流速属高超音速，该实验难以实现。
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10
章后习题简解
(b)由

p RT
及tm=tn ，可知=p，故由
2
2
l n A n Q Vm l
2 5 2
5 2
300 20
537 10 L / s 537 m /s
3 3
由 Ne
Pn
nln v n
2
2
2

2
Pm
m lm v m
2 2
2
，得
2 2
Pn
ln v n
2
lm v m
3
2
Pm
l n Q Vn A m l m Q Vm A n
20 , Q Vm 300 L/s , p m 300 N; Q Vn ? p n ?
【解】由
Fr
vn
2

vm gl m
2
gl n
和 Q V Av ，得
Q Vm gl m A m
2 2
Q Vn gl n A n
2
2

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20
章后习题简解
Q Vn
Q Vm lm Am

压力输水管模型实验，长度比尺为8，模 型水管的流量应为原型输水管流量的:
(a)1/2；(b)1/4；(c) 1/8；(d)1/16。
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8
章后习题简解
10–1; 10–2; 103; 105; 106; 107; 104; 108;
109; 1010; 1011; 1012。
2
则由
vnDn 15 . 7 10
6

v m D n / 20 1 . 007 10
1 . 007 15 . 7
6
，得
1 . 007 15 . 7
11
v m 20
v n 20
300 384 . 8 km/h
2013-6-11
章后习题简解
10-2
L 1 . 5 m , B 0 . 3 m, t n 20 C , v 3 m/s , D n 14 N , v m 18 m/s , p abs 101 . 4 kPa, t m 15 C , L m ? B m ? Dm ?
可得 3 1 , 3 1 , 故有
3
2
，则 3

d
2

d
2
M l f2 2 5 , , d d d
2
0
解出M，得
l f3 , 2 5 d d d
M
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2 2 2
Pm l Pm
3 3
20 300 2400 10 N 2400 kN
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21
章后习题简解
10-9 M=f(l,d,,,), 试写出M的无因次表达式。
【解】
f1 ( M , l , d , , , ) 0
其变量n=6，取基本物理量m=3，即、d、，由 nm=63=3知，应有3个项：1、2、3。
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9
章后习题简解
10-1
D n 3 m , v n 300 km/h , t n 20 C , p n 98 kPa , l 20 , ( a ) t m t p , p m p n ; ( b ) t m t n , p m 2940 kPa ; ( c ) 水中实验， t m t n。 v m ?
p
v
2
。
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4
选择题(单选题)

速度v、长度l、时间t的无因次集合是：
(a)
v lt
；(b)
t vl
；(c)
l vt
2
；(d)
l vt
。

压强差Δp、密度ρ、长度l、流量Q的无因 次集合是：
(a)
Q
pl
2
；(b)
l
pQ
2
；(c)
plQ

；(d)

Q
2
p l
。
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【解】由
Fr vn
2

vm gl m
2
gl n
，可得 2 l v
l
由
Re
v nln
n

v m lm
m
，可得 v
l
2 3
则应有
又由
应有
We
nlnv n
n
2

m lm v m
2

，或 v

2 3
2

l
m
l
或
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【解】查表，tn=20ºC时，n=998.2kg/m3， n=1.00710–6m2/s; tm=15ºC时, m=15.210–6m2/s, 由 完全气体状态方程，
m
pm RT m 101 . 4 10
3
287 273 15

1 . 227 kg/m
3
由 Re
2013-6-11
13
章后习题简解
10-3
t n 20 C , v n 4 . 5 m/s , d n 0 . 3 m , p n 68 . 95 kPa ,
l 6 , v m 30 m/s , p m 55 . 2 kPa , t m 20 C, p m ?
6
选择题(单选题)

雷诺数的物理意义表示：
(a)黏滞力与重力之比； (b)重力与惯性力之比；
(c)惯性力与黏滞力之比；
(d)压力与黏滞力之比。
2013-6-11
7
选择题(单选题)

明渠水流模型实验，长度比尺为4，模型 流量应为原型流量的:
(a)1/2；(b)1/4；(c) 1/8；(d)1/32。
3

1512 . 009 10 Pa 1512kPa or 14 . 9 atm ( abs )
2013-6-11
14
章后习题简解
10-4
分别在(a)重力, (b)表面张力, (c)黏性力的作用下。 【解】(a)由 Fr
vn vm
l 50 , v m 4 . 8 k m/h , F m 9 N , v n ? F n ?

v n Ln
n
Lm

v m Lm
m
m
，得
3 1 . 5 15 . 2 10 18 1 . 007 10
6
v n L n v m
n
6
3 . 77 m
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12
章后习题简解
l
Bn
Ln Lm

1 .5 3 . 77
Bm
l
0 .3
2 2
vn

vm gl m
，得
50 33 . 9 km/h
gl n
l 4 .8
由
Fn
nln v n
2
2

Fm
m lm v m
2 2
2 3
，得
Fn
nln v n Fm
2
m lm v m
2 2
l F m 50 9 1125 10 N 1125 kN
5
选择题(单选题)

进行水力模型实验，要实现明渠水流的动 力相似，应选的相似准则是：
(a)雷诺准则； (b)弗诺得准则；
(c)欧拉准则； (d)其它准则。

进行水力模型实验，要实现有压管流的动 力相似，应选的相似准则是:
(a)雷诺准则； (b)弗诺得准则； (c来自百度文库欧拉准则； (d)其它准则。
2013-6-11
f 2 ( 1 , 2 , 3 ) 0
其中
1
2
1 2 3
d d d
1 2 3

1
M l

2
3
3

2013-6-11
22
章后习题简解
将各方程写成因次形式 。由
dim 1 ( T
1
)
1
(L)
1
( L M ) 1 ( L MT
2
，可得
2
p nb
n v n p mb mvm
2
vm
p mb
10 ( 24 ) 37 . 5 Pa 8
2
p nf
2013-6-11
vn
2
2
vm
p mf
10 40 62 . 5 Pa 8
19
章后习题简解
10-8 l
0 . 5 0 . 69 m/s
2013-6-11
18
章后习题简解
10-7
v m 8 m/s , p mb 24 Pa , p mf 40 Pa , v n 10 m/s; v nb ? v nf ?
【解】由 Eu
2

pn
nvn
vn
2 2
2

pm
mvm
3 . 77 1 .5
0 . 75 m
由 Ne

Fn
nln v n
2
2 2
2

Fm
m lm v m
2 2
，得
Dm
m lm v m D n nln v n
2 2

1 . 227 3 . 77 18 14
2 2
998 . 2 1 . 5 3
2
2
3 . 91 N

各相似准数(Re、Fr、Eu、Ma等)的物理意义是什 么?
3
2013-6-11
选择题(单选题)

速度v、长度l、重力加速度g的无因次集合
是：
(a)
lv g

；(b)
v gl
；(c)
l gv
；(d)
v
2
。
gl
速度v、密度、压强p的无因次集合是： (a)
p
v
；(b)
v
p
；(c)
pv
2

；(d)
3 3
2013-6-11
15
章后习题简解
(b)由 We

nlnv n
n
2

m lm v m
2

p m
，得
4 .8 50 0 . 679 km/h
m
vn vm
2 2
m lm n l n

vm
l
Fn
nln v n Fm m lm v m
2 2
l F m 50 9 450 N 0 . 450 kN