第五章流体动力学微分形式基本方程

的数值应是给出的，即
二、理想流体运动方程的求解 对不可压缩流体的流动，未知量为p
w x ( x , y , z , t0 ) = f 1 ( x , y , z )
w y ( x , y , z , t0 ) = f 2 ( x , y , z )
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第五章
流体动力学微分形式基本方程
第二节
第五章
流体动力学微分形式基本方程
第一节
连续性方程
同理可得： 沿 y 方向在单位时间内净流出六面体的流体质量为 ∂ (ρw y ) dxdydz ∂y 沿 z 方向在单位时间内净流出六面体的流体质量为 ∂ ( ρw z ) dx dy d z ∂z 单位时间内净流出整个六面体的流体质量为 ∂ (ρwx ) ∂ (ρw y ) ∂ (ρwz ) 另外，流体密度随时间的变化也影响六面体中流体的质量。设在 t
∇ ⋅ ( ρw ) = 0
对于不可压缩流体， ρ 为常数，则连续性方程为
∂w x ∂w y ∂wz + + =0 ∂x ∂y ∂z
即
（5.5） （5.5a）
∇⋅w = 0
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流体动力学微分形式基本方程
第一节
连续性方程
二、圆柱坐标系统的连续性方程 在圆柱坐标系统中，取一扇形六面体流 体微团ABCD，如图5.2所示。单位时间内 z 流入AB、BC、CA面的流体质量分别为 ρwr rdθdz，ρwθ drdz， ρwz rdθdr
∂x + ∂y + ∂z dx dy dz
∂ρ ρ + dt ，则在单位时间 时刻流体密度为 ρ ， t + dt 时刻流体密度为 ∂t 内由于密度变化而使六面体中增加的流体质量为 ∂ρ dxdydz 第3页 ∂t
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流体动力学微分形式基本方程
第一节
连续性方程
根据连续流动原理，净流出六面体的流体质量与六面体中流体的增加量之 和为零，六面体中流体的质量是不变的，即
∂ρ ρwr ∂ (ρwr ) 1 ∂ (ρwθ ) ∂ (ρwz ) + + + + =0 ∂r ∂z ∂t r r ∂θ
（5.6）
此即圆柱坐标系统的连续性方程。 对于不可压缩流体， ρ 为常数，连续性方程为
wr ∂wr 1 ∂wθ ∂wz + + + =0 r ∂r r ∂θ ∂z
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第五章 流体动力学微分形式基本方程
第一节 第二节 第三节
连续性方程 理想流体运动方程 实际流体运动方程
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第五章
流体动力学微分形式基本方程
流体运动须遵循物质运动的某些普遍规律，如质量、动 量和能量守恒定律。这些普遍规律应用于流体运动就可 得到联系流体速度、密度、压力、温度等参数之间的关系 式，这些关系式称为流体动力学的基本方程。基本方程可 以对微元体建立，得到微分形式的基本方程；也可以对控 制体建立，通过对控制体和控制面的积分而得到流体参数 间的积分关系式。求解微分形式基本方程或求解对微元控 制体建立的积分形式的基本方程，可以给出流场细节，即 空间各点上压力、温度、速度、密度等流体参数的分布。 本章讨论微分形式的基本方程。
y
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第二节
理想流体运动方程
同理可推导得到
dw ∂p pdydz − p + dx dydz + Xρdxdydz = ρdxdydz x ∂x dt 1 ∂p dwx − = X 化简得 dt ρ ∂x
z 轴方向力的平衡关系式，于是有 y、
X− 1 ∂p dwx = ρ ∂x dt 1 ∂p dw y Y− = ρ ∂y dt
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流体动力学微分形式基本方程
第二节
理想流体运动方程
w y、 wx 、 wz ，故欧拉方程加上 、 wy、 连续性方程就能求解。对可压缩流体的流动，其未知量有 w x 、 wz 、 ρ、p、T，除了用欧拉方程和连续性方程外，还要增加状态方程和能量 方程来求解。 求解理想流体运动问题主要依靠欧拉方程和连续性方程。方程是普遍 的，但各个问题的初始条件和边界条件不同，因此对各个具体问题应作 具体分析。 初始条件是指流体运动开始瞬时所对应的条件。在理想流体力学问题 ρ 、p、T，因此，在 t = t0时，这些物理量 中，所要求的是 w x 、 wz 、 wy 、
Z− 1 ∂p dwz = ρ ∂z dt
（5.8）
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流体动力学微分形式基本方程
第二节
1
理想流体运动方程
（5.8a）
Dw F − ∇p = Dt ρ
式中， F = Xi + Yj + Zk
称为单位质量的体积力矢量。
（5.8）式就是理想流体的运动方程，它是欧拉于1755年提出的，故又称 欧拉运动方程。它给出了压力、体积力与惯性力的关系。对于给定的流体 （密度已知，或者已知压力与密度的关系，例如气体方程），在已知体积 力场（即X、Y、Z已知）内，根据此式和连续性方程进行积分，可解出任 意时刻 t ，流场中任意位置（x，y，z）的p，wx，wy，wz。但是实际对该 式进行解析计算是有困难的，往往需要给定限制条件。最简单的限制条件 是讨论沿流线的运动和无旋流场。这两种情况都是有现实意义的，后面将 详细讨论。 第3页 退出 返回
其中，f1至f6是给定的函数。 对于稳定流动，流场中各点的物理量不随时间改变，所以不存在初始条 件。 边界条件是指所求物理量在边界上的取值。如对静止的固体壁面，由于 流体不能穿过这种壁面，同时流体与边界壁面间不会形成空隙，则紧贴边 界壁面的那层流体沿壁面法线方向的流体速度分量为零，即 wn = 0 ，而其 切向分量不为零。对移动的固体壁面，该层流体速度的法向分量必须等于 固体边界壁面上相应点的速度的法向分量，即 (wn )F = (wn )W 又如根据作用力和反作用力相等的定律，流体作用于边界壁面或自由 面上外界介质流体质点的力，等于边界壁面或外界介质作用于该流体上的 力，即 (F )F = −(F )W 第6页 退出 返回
研究生教材
流 体 力 学
顾伯勤 主编
中国科学文化出版社
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第二篇 流体动力学基本原理及流体工程
第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章
流体动力学微分形式基本方程 流体动力学积分形式基本方程 伯努利方程及其应用 量纲分析和相似原理 流动阻力与管道计算 边界层理论 流体绕过物体的流动 气体动力学基础
对不可压缩流动连续性方程变为
∇⋅w = 0
将速度分布代入上式得到
A + A − 2A = 0
因此，该流动为不可压缩流动。 第7页 退出 返回
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流体动力学微分形式基本方程
第一节
连续性方程
单位时间内，微团中净流出的流体质量为 ∂ (ρwr ) ∂ (ρwθ ) ∂ (ρwz ) + + + ρ drdθdz w r r r ∂ ∂ ∂ θ r z 由于微团中流体密度增加而使微团中增加的流体质量为 ∂ρ rdθdrdz ∂t 根据连续性原理，微团中流体质量的总变化应等于零，所以
（5.7）
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流体动力学微分形式基本方程
第二节
理想流体运动方程
运动方程描述流体在运动中所受的力与流动参量之间的关系。理想 流体是指无粘性的流体。工程实践中的流体都是具有粘性的，它们并不 是理想的流体，但在很多情况下，流体的粘性力和其他力比起来作用很 小，因而可视为理想流体。 一、理想流体运动方程的建立 建立运动方程的基础是牛顿第二运动定 dy ∂p dx dydz p+ pdydz X ∂x 律。在理想流体流场中取出一微小六面体 微团。微团所受的力有表面力（压力）和 dz 体积力（质量力）。六面体在 x 轴方向上 dx x o 所受的表面力和单位质量的体积力如图5.3 所示。设单位质量的体积力为X、Y、Z， x 轴方向根据牛顿第二运动定律 z 则在 应有 图 5.3 流体微团在x方向所受的力 第1页 退出 返回
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流体动力学微分形式基本方程
第一节
连续性方程
在研究流体运动时，对于流体量的处理上必须遵循物质不灭原理。因 为流体充满整个流场，连续不断运动，所以在流体力学中物质不灭原理 又称为连续性原理。反映这个原理的数学关系式叫做连续性方程。 一、笛卡儿坐标系统的连续性方程 ∂ ( ρw x ) y + dx dy dz ρ w 在流场中取一六面体微团，其边长为 x ∂ x d y， d z（图5.1）。沿 x 方向在单位时间 d x， ρwxdydz dy 内流入六面体的流体质量为
r
dθ
B dr dz D C
∂ (ρwr ) dr ∂r
ρwr + 单位时间内流出CD、DA、BD面的流体质量 ρwr A 分别为 ∂ (ρwr ) + w ρ dr (r + dr )dθdz ， r r ∂r o ∂ (ρwθ ) ρ w + dθ drdz ， θ ∂θ 图 5.2 扇形六面体流体微团 ∂ (ρwz ) ρwz + dz rdθdr ∂ z 第6页
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流体动力学微分形式基本方程
第二节
理想流体运动方程
欧拉方程在圆柱坐标系统中的形式，可以用上述同样的方法得到，在流场 中取微小扇形六面体微团，然后根据牛顿第二运动定律列出微团的力的平 衡方程，从而得到该坐标系统的欧拉运动方程，具体形式如下
2 1 ∂p ∂wr ∂wr wθ ∂wr ∂wr wθ + wr + + wz − = Fr − r ∂θ r ∂t ∂r ∂z ρ ∂r
∂ρ ∂ (ρwx ) ∂ (ρw y ) ∂ (ρwz ) + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z
（5.1）
式（5.1）就是流体的连续性方程。将上式展开，并且注意到
dρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ + wz = + wx + wy dt ∂x ∂y ∂z ∂t
则连续性方程也可写成 1 dρ ∂wx ∂w y ∂wz + + + =0 ρ dt ∂x ∂y ∂z 写成向量形式 或 第4页
wz ( x , y , z , t0 ) = f 3 ( x , y , z )
理想流体运动方程
p ( x , y , z , t0 ) = f 4 ( x , y , z )
T ( x , y , z , t0 ) = f 6 ( x , y , z )
ρ ( x , y , z , t0 ) = f 5 ( x , y , z )
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流体动力学微分形式基本方程
第二节
理想流体运动方程
−1
A = 1.0 s 。 例题5.1 有一稳定流场，其速度分布为 w = Axi + Ayj − 2 Azk ， 试证明它是不可压缩流动。又假定质量力为重力，z 轴垂直向上， ρ = 1000kg/m3，长度单位为m，试计算点M（2，2，5）处的压力梯度。 解：连续性方程和运动方程分别为 1 Dw ∂ρ F − ∇ = p + ∇ ⋅ ( ρw ) = 0 Dt ρ ∂t
∂wθ ∂w w ∂wθ ∂w ww 1 ∂p + wr θ + θ + wz θ + r θ = Fθ − ∂t ∂r r ∂θ ∂z r ρ r∂θ
（5.9）
1 ∂p ∂wz ∂wz wθ ∂wz ∂wz + wr + + wz = Fz − ρ ∂z r ∂θ ∂t ∂r ∂z
式中 Fr 、 Fθ 、 Fz 分别为单位质量的体积力在r、θ、z方向的分量。
dz dx x 沿 x 方向在单位时间内流出六面体的流体 o 质量为 ∂ ( ρw x ) + dx dydz w ρ x ∂x z 沿 x 方向在单位时间内净流出 图 5.1 正六面体流体微团 六面体的流体质量为 ∂ ( ρw x ) dxdydz ∂x 退出 返回 第2页
ρwx dydz
∂ρ + ∇ ⋅ ( ρw ) = 0 ∂t
Dρ + ρ∇ ⋅ w = 0 Dt
（5.2） （5.3） （5.3a）
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流体动力学微分形式基本方程
第一节
对于稳定流动，
连续性方程
（5.4） （5.4a）
即
∂ρ ≡ 0 ，于是式（5.1）变为 ∂t ∂ (ρwx ) ∂ (ρw y ) ∂ (ρwz ) + + =0 ∂x ∂y ∂z