湖北省襄阳市四校2020学年高二数学下学期期中联考试题理
湖北省襄阳市四校2013-2014学年下学期高二年级期中联考数学试卷(理科)
湖北省襄阳市四校2013-2014学年下学期高二年级期中联考数学试卷（理科）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 30<<x 是21<-x 成立的 （ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件2.已知三点)143()152()314(--，，、，，、，，λC B A 满足⊥，则λ的值 ( )A 、14B 、-14C 、7D 、-73.在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度)(m h 与起跳后的时间t )(s 存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h ，则瞬时速度为0s m /的时刻是 （ ）A 、s 9865B 、s 4965C 、s 6598D 、s 6549 4、由变量x 与y 相对应的一组数据)11y ，（、)5(2y ，、)7(3y ，、)13(4y ，、)19(5y ，得到的线性回归方程为452+=∧x y ，则=y （ ）A 、135B 、90C 、67D 、63 5.若椭圆经过原点，且焦点分别为），，（），，（301021F F 则该椭圆的短轴长为 （ ） A 、3 B 、32 C 、2 D 、46.给定命题p :{x x ∈∀x 是无理数}.，2x 是无理数；命题q :已知非零向量、，则“⊥+=.则下列各命题中，假命题是 ( )A 、p q ∨B 、()p q ⌝∨C 、()p q ⌝∧D 、()()p q ⌝∧⌝7.已知函数x bx x a x f 2cos )(2-+=，若0)(0='x f 则=-')(0x f （ ）A 、0B 、a 2C 、b 2D 、22-8.已知双曲线13222=-y x 的左右焦点分别是21F F 、,过1F 的直线l 与双曲线相交于A 、 B 两点，则满足23=AB 的直线l 有 ( )A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条9.如图所示，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ， AB ⊥BC ，侧棱SA ⊥底面ABCD ，且1,2====AD BC AB SA ，则点B 到平面SCD 的距离为（ ）A 、58B 、22C 、15152D 、362 10.过椭圆)1(1222>=+a y ax 的右焦点F 作相互垂直的两条弦AB 和CD ，若||||CD AB + 的最小值为32，则椭圆的离心率=e （ ）A 、33B 、36C 、22D 、66 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡上)11.命题“若A b A a ∉∈，则”的否命题是 ▲12.在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长均相等，C B BC 11与的交点为D ，则AD 与平面C C BB 11所成角的大小是 ▲13.若曲线x y =在点)(a a P ，处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是____▲____14．已知，，x xe x g m x x f =+--=)()1()(2若R x x ∈∃21，,使得)()(21x g x f ≥成立，则实数m 的取值范围是__▲___15.抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，其准线经过双曲线12222=-b y a x 0(>a ，)0>b 的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且p MF 2=，则双曲线的渐近线的方程为____▲____．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.（本小题满分12分）已知命题)3)(1()3()1(22m m y m x m p --=-+-：方程表示的曲线是双曲线；命题：q 函数mx x x f -=3)(在区间(]1-∞-，上为增函数，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m 的取值范围.17．（本小题满分12分） 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 和,离心率22=e ，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为24.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B A 、是直线22=x l ：上的不同两点，若021=⋅BF ,求AB 的最小值.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，PCD ∆ 为等边三角形，AB BC 2=，点M 为BC 中点，平面⊥PCD 平面ABCD .（1）求异面直线PD 和AM 所成角的余弦值；（2）求二面角D AM P --的大小.19. （本小题满分12分）已知()f x '是()f x 的导函数，()ln(1)2(1),f x x m f m R '=++-∈，且函数()f x 的图象过点)20(-，.（1）求函数()y f x =的表达式；（2）求函数16)()(+++=x x x f x g 的单调区间和极值. 20.（本小题满分13分） 已知定点F )02(，与分别在x 轴、y 轴上的动点)0()0(n N m M ，、，满足：0=⋅,动点P 满足=．（1）求动点P 的轨迹的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于B A 、两点，直线OB OA 、与直线2-=x l ：分别交于点T S 、（O 为坐标原点）；（i ）试判断直线2-=x l ：与以AB 为直径的圆的位置关系；（ii ）探究FT FS ⋅是否为定值？并证明你的结论．21.（本小题满分14分）已知函数1ln )(+=x x x f（1）求函数)(x f 在][22e e x ，-∈上的最大值与最小值；（2）若1>x 时，函数)(x f y =的图像恒在直线kx y =上方，求实数k 的取值范围；（3）证明：当*∈N n 时，11413121)1ln(+++++>+n n ．“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，∴q p 、一真一假。
2023-2024学年湖北省四校协作体高二年级11月联考(数学)+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2022-2023学年湖北省四校协作体高二年级11月联考(数学)的。
1.已知集合( )A. B.C.D.2.已知其中i 为虚数单位，则复数( )A. B.C.D. 3.“”是“方程为椭圆”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.如图，在四面体OABC 中，点D 是AC 的中点，则( )A. B. C. D.5.已知直线平行，则a 的值为( )A.B. 3C.或3D.无法确定6.如图所示，在正方体中，点E是棱BC的中点，点G是棱的中点，则异面直线GB 与所成的角为( )A. B. C. D.7.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则( )A. 为奇函数B. 的图象关于直线对称C. 的图象关于点对称D. 在上单调递减8.若直线l：与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是( )A. B.C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设、为两个不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，以下结论正确的是( )A. 若，，，则B. 若，，则C. 若，，，，则D. 若，，则10.已知直线以下结论正确的是( )A. 当时，直线的倾斜角为B. 不论a为何值时，与都互相垂直C. 当a变化时，与分别经过定点和D. 不论a为何值时，与都关于直线对称11.已知椭圆的左、右焦点分别为F、E，直线与椭圆相交于A、B两点，则( )A. 当时的面积为B. 不存在使为直角三角形C. 存在使四边形面积最大D. 的周长没有最大值12.如图，在长方体中，点P是线段上的动点，则下列结论正确的是( )A. 当时，B、P、三点共线B. 当时，C.当时，平面D. 当时，平面三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省襄阳市四校(襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2013-2014学年高一下学期期中联考 数学试题
一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．）1. 等比数列}{n a 中，如果5a 5=，8a 25=，则2a 等于 （ ）B.C.5D.12.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c,若cos cos a cA C=，则△ABC 的形状是 （ ） A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 3. 在等差数列{a n }中, 若357911200a a a a a ++++=, 则5342a a -的值为（ ） A. 80 B. 60 C. 40 D. 204. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A cos C ＋sin C cos A ＝12 ，且a ＞b ，则∠B 等于 ( ) A. 5π6 B. 2π3 C. π3 D. π6 5. 已知首项为1的等比数列{a n }是摆动数列, S n 是{a n }的前n 项和, 且425S S =, 则数列{na 1}的前5项和为 （ ）A.31B.1631 C.1116D. 116.在△ABC 中, 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2a =, b+c=7, cosB=14-, 则c = （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 67. 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥,D 为垂足，AD 在ABC ∆的外部，且BD : CD :AD=2:3:6，则tan BAC ∠= （ ）A. 1B. 17C. 15D. 578.等差数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项的和分别为S ，T ，R ，则 （ ） .A ()22S T S T R +=+ .B 3()R T S =- .C 2T S R = .D 2S R T += 9. 已知数列{n a }中，1a =21，n n a a =+1+2312++n n （n )+∈N ，则数列{n a }的通项公式为 （ ）A.11+=n a n B. 21212++-+=n n n a n C. 1n n a n =+ D. 12n n a n +=+10.已知函数()sin cos =+f x m x n x ，且()6f π是它的最大值，(其中m 、n 为常数且0≠mn )给出下列命题：①()3f x π+是偶函数； ②函数()f x 的图象关于点8(,0)3π对称；③3()2-f π是函数()f x 的最小值；④m n =. 其中真命题有 ( )A. ①②③④B.②③C. ①②④D.②④第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡上) 11.sin105cos105 的值为 .12. 数列｛n a ｝中，5,2,2121==-=++a a a a a n n n ，则5a 为___________.13.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若32,2ABC b c S ∆===，则A=__________.14. 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为35,24n n a n b n =+=+，则它们的公共项按从小到大的顺序组成的新数列{}n c 的通项公式为___________.15. 将正奇数排成如下图所示的三角形数阵（第k 行有k 个奇数），其中第i 行第j 个数表示为ij a (i,j ∈N *).例如4215a =,若ij a =2013,则i-j=______.三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.（本题满分12分） 已知3cos()cos sin()sin 5α-ββ-α-ββ=-，(,)2πα∈π，求sin(2)3πα+的值．17.（本题满分12分）在△ABC 中，已知 A B >,且tan A 、tan B 是方程26510x x -+=的两个根.（1）求tan A 、tan B 、tan()A B +的值;（2）若AB △ABC 的面积.18. （本题满分12分）如图，小岛A 的周围3.8海里内有暗礁.一艘渔船从B 地出发由西向东航行，观测到小岛A 在北偏东75°，继续航行8海里到达C 处，观测到小岛A 在北偏东60°.若此船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？19.（本题满分12分）设数列{}n a 是首项为()a a 11>0，公差为2的等差数列，其前n 项和为n S 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记2nn na b =的前n 项和为n T ，求n T .20.（本题满分13分）已知函数2()2sin ()234f x x x π=--，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(1)求()f x 的最大值和最小值;(2)若方程()f x m =仅有一解,求实数m 的取值范围.21.（本题满分14分）在等比数列.,,64,65,}{*15371N n a a a a a a a n n n ∈<==++且中 （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n }的前5项的和5S ；（3）若n n a a a T 242lg lg lg +⋅⋅⋅++=，求T n 的最大值及此时n 的值.2013—2014学年度下学期高一期中考试数学试题 参考答案一．选择题 1---10 DAADC ABBCD 二．填空题 11.1-412. 19 13. 233ππ或 14. 62n c n =+ 15. 28三．解答题16． 解：由33cos()cos sin()sin cos 55α-ββ-α-ββ=-⇒α=- ···················· 2分 又由(,)2πα∈π及22sin cos 1x x +=得4sin 5α= ·············································· 4分所以4324sin 22sin cos 2()5525α=αα=⨯⨯-=- ············································· 6分2222347cos 2cos sin ()()5525ααα=-=--=-·············································· 8分s i n (2)s i n 2c o s c o s 2s i n3332417323()()25225250πππ∴α+=α+α+=-⨯+-⨯=-··················································· 12分17、解：（1）由所给条件，方程26510x x -+=的两根11tan ,tan 23A B ==.………2分 ∴tan tan tan()1tan tan A BA B A B++=-………………………………………………………………4分1123111123+==-⨯……………………………………………………………………………… 6分（或由韦达定理直接给出）(2)∵ 180=++C B A ,∴)(180B A C +-=.由（1）知，tan tan()1C A B =-+=-，∵C为三角形的内角，∴sin C =分 ∵，1tan ,2A =A为三角形的内角，∴sin 5A =， 由正弦定理得：sin sin AB BCC A= ∴.5BC ==分 襄州一中 枣阳一中 宜城一中 曾都一中由1tan 3B =∴sin 10B =∴1sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅⋅112102==………………………………12分 （亦可由其它边角关系求） 18解法1在ABC ∆中，000000907515,9060150B C =-==+=,所以015A =.……4分 又已知BC=8，所以AC=8. ……8分 过点A 作AD ⊥BC,垂足为D,在直角三角形ACD 中，01sin 30842AD AC ==⨯=＞3.8 ……11分 所以此船继续前行没有触礁的危险 . ……12分解法2 过点A 作AD ⊥BC,垂足为D,由已知，BC=8，∠BAD=75°, ∠CAD=60°…4分在直角三角形ABD 中，0tan tan 75BD AD BAD AD =∠=，在直角三角形ACD 中，同法可得0tan tan 60CD AD CAD AD =∠=,……………8分所以BC=BD-CD=00(tan75tan60)AD -，所以0084tan 75tan 60AD ==-＞3.8 ……………………11分 所以此船继续前行没有触礁的危险 . ………………………………12分 19. 解：（1）∵11S a =，212122S a a a =+=+，3123136S a a a a =++=+，……2分由成等差数列得，=，即136+ ……3分 解得11a =，故21n a n =-； ……6分 （2）211(21)()222nn n n n a n b n -===-， 12311111()3()5()(21)()2222n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ， ① ①12⨯得，23411111111()3()5()(23)()(21)()222222n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ， ② ……8分①-②得，2311111112()2()2()(21)()222222n n n T n +=+⨯+⨯++⨯--⨯11111(1)11222(21)()22123121222n n n n n n +-+-=⨯---⨯--=-- …… 10分 ∴4212333222n n n nn n T -+=--=-． …… 12分20.解：(1)2()2sin ()234cos(2)222f x x x x x ππ=-+-=--+- ………………1分2sin 222cos(2)26x x x π=--=+- ………………3分27,(2),42636x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ………………4分所以当7266x ππ+=，即2x π=时，m ()2ax f x = …………5分当26x ππ+=，即512x π=时，min ()4f x =- ………………6分(2) 方程()f x m =仅有一解，则函数()2cos(2)26f x x π=+-在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，的图像与函数()g x m =的图像仅有一个交点。
2022-2023学年湖北省十堰市四校联考高二年级下册学期5月联考数学试题【含答案】
高二下学期五月联考高二数学试卷命题学校：考试时间：2023年5月11日下午试卷满分：150分一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若其中的甲､乙､丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序种数为（）A.20B.120C.360D.7202.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，2651116a a a a +=，则48a a 的最大值是（）A.4B.8C.16D.323.近期襄阳三中在举行新团员竞选活动，已知襄阳三中优秀学生的概率约为10%，在全体学生中有20%是团员，团员中优秀学生概率约为40%，则非团员中优秀学生的概率约为（）A.2.5%B.3.2%C.4.8%D.2%4.襄阳一桥全称“襄阳江汉大桥”，于1970年正式通车，在和襄阳城长达53年的相处里，于襄阳人来说一桥早已无可替代.江汉大桥由主桥架､上下水平纵向联结系､桥门架和中间横撑架以及桥面系组成，下面是一桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成.其中AB =BH ，那么直线AH 与直线IG 所成角的余弦值为（）A.32-B.32C.12-D.125.衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（）A.25B.45C.89D.8156.已知函数()33f x x x =-，若函数()f x 在区间()2,8m m-上有最大值，则实数m 的取值范围为（）A.(3,6⎤--⎦B.()3,1-- C.()7,1- D.[)2,1-7.已知P 为椭圆()22114x y y +=≠-上任一点，过P 作圆22:(2)1C x y ++=的两条切线,PM PN ，切点分别为M ，N ，则CM CN ⋅的最小值为（）A.0B.34-C.79-D.1114-8.已知函数()()22ln ,1f x a x g x ax =+=+，若存在两条不同的直线与函数()y f x =和()y g x =图像均相切，则实数a 的取值范围为（）A.()2,0,1ln2∞∞⎛⎫-⋃+⎪+⎝⎭B.1,ln2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2,1ln2∞⎛⎫+⎪+⎝⎭D.12,,ln21ln2∞∞⎛⎤⎛⎫-⋃+ ⎪⎥+⎝⎦⎝⎭二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.下列说法中正确的是（）A.已知随机变量X 服从二项分布14,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()89E X =B.“A 与B 是互斥事件”是“A 与B 互为对立事件”的必要不充分条件C.已知随机变量X 的方差为()D X ，则()()2323D X D X -=-D.已知随机变量X 服从正态分布()24,N σ且()60.85P X ≤=，则(24)0.35P X <≤=10.已知O 为坐标原点，M 为抛物线2:4C y x =上一点，直线:3l x my =+与C 交于,A B 两点，过,A B 作C的切线交于点P ，则下列结论正确的是（）A.3OA OB ⋅=-B.若点M 为()9,6-，且直线AM 与BM 倾斜角互补，则3m =或1m =-C.点P 在定直线3x =-上D.设Q 点为()3,0，则MQ 的最小值为311.已知正四面体A BCD -的棱长为2，点,M N 分别为ABC 和ABD 的重心，P 为线段CN 上一点，则下列结论正确的是（）A.直线MN ∥平面ACDB.若3CP PN =，则DP ⊥平面ABCC.直线MN 到平面ACD 的距离为269D.若AP BP +取得最小值，则CP PN=12.已知12,x x 是函数()()e exxf x x a -=-⋅+的零点，34,x x 是函数()1ln g x x x a x ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭的零点，且1234,x x x x <<下列说法正确的是（）（参考数据：ln3 1.099≈）A.0a ≤B.若3a <-.则34103x x +>C.存在实数a ，使得23x x =，且124,,x x x 成等差数列D.存在实数a ，使得234,,x x x 成等比数列三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知9290129(32)x a a x a x a x -=++++ ，则91229333a a a +++= __________.14.已知(),,0,1abc ∈，且222232ln 1e,2ln 2e ,2ln 3e a a b b c c -+=-+=-+=，其中e 是自然对数的底数，则实数,,a b c 的大小关系是__________.（用“<”连接）15.如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线E 的一部分，设该双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线E 的右支交于,B C 两点，且3CF FB =，点B 关于原点O 的对称点为点A ，若0AF BF ⋅=，则双曲线E 的离心率为__________.16.有n 个编号分别为1，2，...，n 的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是__________，从第n 个盒子中取到白球的概率是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.快到采摘季节了，某农民发现自家果园里的某种果实每颗的重量有一定的差别，故随机采摘了100颗，分别称出它们的重量（单位：克），并以每10克为一组进行分组，发现它们分布在区间[]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，并据此画得频率分布直方图如下：（1）求a 的值，并据此估计这批果实的第70百分位数；（2）若重量在[]5,15（单位：克）的果实不为此次采摘对象，则从果园里随机选择3颗果实，其中不是此次采摘对象的颗数为X ，求X 的分布列和数学期望.注意：把频率分布直方图中的频率视为概率.18.记数列{}n a 的前n 项和为n T ，且()111,2n n a a T n -==≥.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意*n ∈N ，求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和n S .19.如图，S 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 内接于32,,2O AC BC AC BC ⊥==，2,3,AM MS AS PQ ==为O 的一条弦，且SB ∥平面PMQ.（1）求PQ 的最小值；（2）若SA PQ ⊥，求直线PQ 与平面BCM 所成角的正弦值.20.某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择：方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为X ，则每位员工颁发奖金X 万元；方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为Y ，则每位员工颁发奖金Y 万元.（1）若用方案一，求X 的分布列与数学期望；（2）比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高？请说明理由；（3）若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布()2,N μσ，μ为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为100万元，2σ为数据的方差，计算结果为225万元，若规定奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得，若按方案一与方案二两种抽奖方式获得奖金的数学期望值的最大值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<≤+≈21.已知过点(1,0)P 的直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>相交于A ，B 两点，当直线l 过抛物线C 的焦点时，||8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）若点(0,2)Q -，连接QA ，QB 分别交抛物线C 于点E ，F ，且QAB 与QEF △的面积之比为1:2，求直线AB 的方程.22.设定义在R 上的函数()()e xf x ax a =-∈R .（1）若存在[)01,x ∈+∞，使得()0e f x a <-成立，求实数a 的取值范围；（2）定义：如果实数s ，t ，r 满足s r t r -≤-，那么称s 比t 更接近r .对于（1）中的a 及1x ≥，问：ex和1e x a -+哪个更接近ln x ？并说明理由.答案123456789101112B BADCADABDACABCBD13.51114.c b a<<15.10216.59；111232n⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭17.（1）解：因为频率分布直方图的组距为10，所以，落在区间[]5,15，(]15,25，(]35,45上的频率分别为0.20，0.32，0.18，所以，10.180.320.200.03010a ---==.因为落在区间[]5,25上的频率为0.200.320.52+=，而落在区间[]5,35上的频率为0.200.320.300.82++=，所以第70百分位数落在区间[]25,35之间，设为x ，则()0.52250.030.70x +-⨯=，解得31x =，所以估计第70百分位数为31.（2）解：由（1）知，重量落在[]5,15的频率为0.2，由样本估计总体得其概率为0.2，因为X 可取0，1，2，3，且13,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，则()3034640C 5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21314481C 55125P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()22314122C 55125P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()333113C 5125P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：X0123P6412548125121251125所以X 的数学期望为()48243301251251255E X =+++=（或直接由()13355E X =⨯=）.18.（1）因为()111,2n n a a T n -==≥，所以211a a ==，当2n ≥时，112n n n n a T a a +-=+=，所以{}n a 从第2项起为以2为公比的等比数列，所以22n n a -=，所以数列{}n a 的通项公式21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩；（2）由（1）知21,1,22n n n n n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则013223112222n n n n n S ---=+++++ ①，122111*********n n n n nS ---=+++++ ②，①-②得2122111111511152212222222212n n n n n n n S ----⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++-=+- ⎪⎝⎭- ，化简得2272n n n S -+=-.19.（1）过点M 作MH SB ∥交AB 于点H ，过点H 作PQ ⊥AB ，此时满足SB ∥平面PMQ ，由平面几何知识易知，222PQ r d =-，当弦心距d 最大时，d OH =，弦长最短，即PQ 取得最小值，因为2,3AM MS AS ==，所以2AH HB =，因为32,2AC BC AC BC ⊥==，由勾股定理得32232AB =⋅=，故2,1AH HB ==，连接OQ ，则32OQ =，由勾股定理得2291244HQ OQ OH =-=-=，所以222PQ HQ ==；（2）连接OS ，则OS ⊥平面ACB ，因为PQ ⊂平面ACB ，故OS ⊥PQ ，而SA PQ ⊥，OS SA S ⋂=，所以PQ ⊥平面AOS ，即有PQ AB ⊥.以O 为坐标原点，过点O 且平行PQ 的直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，OS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则113312,,0,2,,0,0,,0,,0,0,0,,322222P Q B C M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面BCM 的法向量为(),,m x y z = ，则()()()3333,,,,002222,,0,2,3230m CB x y z x y m MB x y z y z ⎧⎛⎫⋅=⋅-=-+= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅-=-=⎩，令1x =，则231,3y z ==，故231,1,3m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设直线PQ 与平面BCM 所成角的大小为θ，则()2322,0,01,1,330sin cos ,10422113PQ m PQ m PQ mθ⎛⎫⋅ ⎪⋅⎝⎭====⋅⨯++.故直线PQ 与平面BCM 所成角的正弦值为3010.20.（1）对于方案一，由条件可知X 有可能取值为3，4，5，6，()111132228P X ==⨯⨯=，()12211211137423322322272P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()115121111152362332233P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()1111623636P X ==⨯⨯=，∴X 的分布列为：X3456P183********期望值()13711307345687233672E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）对于方案二，由条件可得Y 值为3，4，5，6，()3336C 13C 20P Y ===，()123336C C 94C 20P Y ===，()123336C C 95C 20P Y ===，()3336C 16C 20P Y ===，∴Y 的期望值()199193456202020202E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=∵()()E Y E X >所以方案二员工获得奖金数额的数学期望值会更高.（3）由（1）（2）可知，平均每位员工获得奖金的数学期望的最大值为() 4.5E Y =，则给员工颁发奖金的总数为4.510004500⨯=（万元），设每位职工为企业的贡献的数额为ξ，所以获得奖金的职工数约为()()()10001100011510002P P P μσξμσξξμσ--<≤+⎡⎤⎣⎦>=>+=.()100010.6826158.71592-≈=≈（人）则获奖员工可以获得奖金的平均数值为450028159≈（万元）.21.（1）设()()1122,,,A x y B x y ，因为抛物线C 的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以当直线l 过C 的焦点时，直线AB 的方程为(1)2py x =--，由()2122p y x x py⎧=--⎪⎨⎪=⎩得2220x p x p +-=.则221212,x x p x x p +=-=-，()()()22224221122214||1114844442p p p p p AB x x x x x x p p +⎛⎫=+-=++=++=⎭-=⎪⎝，整理得()32416(2)280p p p p p +-=-++=，所以2p =，故抛物线C 的方程为24x y =.（2）易知直线AB 的斜率在且不为零，设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，由2(1)4y k x x y=-⎧⎨=⎩得2440x kx k -+=，则216160k k ∆=->，即1k >或0k <，124x x k =.易知直线AQ 的方程为1122y y x x +=-，由112224y y x x x y+⎧=-⎪⎨⎪=⎩得()1214280y x x x +-+=，设()33,E x y ，则133188,x x x x ==，设()44,F x y ，同理可得428x x =，则12341||||sin 22||||21||||22||||sin 2QAB QEFQA QB AQBS y y QA QB S QE QF y y QE QF AQB ⋅∠++⋅===⋅⋅++⋅∠△△()()2222121222342212111228844161111112216164488x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212161646442x x k k ====，得22,2k k ==±，故直线AB 的方程为2(1)y x =±-.22.（1）因为存在[)01,x ∈+∞，使得()0e f x a <-成立，即()min e f x a <-由题设知，()e xf x a '=-，①当0a ≤时，()0f x ¢>恒成立，()f x 在R 上单调递增；即()f x 在[)1,+∞单调递增，()min (1)e f x f a ==-，不满足()min e f x a <-，所以0a ≤舍去.②当0a >时，令()0f x '=，得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时()0f x '<，()f x 单调递减，当()ln ,x a ∈+∞时()0f x ¢>，()f x 单调递增；当e a ≤时，()f x 在[)1,+∞单调递增，()min (1)e f x f a ==-，不满足()min e f x a <-，所以e a ≤，舍去.当e a >时，ln 1a >，()f x 在()1,ln a 单调递减，在()ln ,a +∞单调递增，所以()min (ln )(1)e f x f a f a =<=-成立，故当e a >时成立.综上：实数a 的取值范围e a >.（2）令()eln p x x x=-，1x ≥()2e 10p x x x'=--<，()p x 在[)1,+∞单调递减.因为()e 0p =故当1e x ≤≤时，()()e 0p x p ≥=；当e x >时，()0p x <；令()1e ln x q x a x -=+-，1x ≥()11e x q x x -'=-，令()11e x h x x -=-，()121e 0x h x x-=+>'，()h x 在[)1,+∞单调递增，故()()10h x h ≥=，所以()()0q x h x '=>，则()q x 在[)1,+∞单调递增，所以()()11q x q a ≥=+，由（1）知e a >，()()110q x q a ≥=+>；①当1e x ≤≤时，()0p x ≥，()0q x >，令()()()()()1e e x m x p x q x p x q x a x-=-=-=--，所以()12e e 0x m x x -'=--<，故()m x 在[]1,e 单调递减，所以()()1e 1m x m a ≤=--，由（1）知e a >，所以()()1e 10m x m a ≤=--<，即()()()0m x p x q x =-<，故()()p x q x <，所以e x比1e x a -+更接近ln x ；②当e x >时，()0p x <，()0q x >，令()()()()()1e (ln )(eln )x n x p x q x p x q x x a x x -=-=--=---+-1e 2ln e x x a x -=-+--，()12e 2e x n x x x -'=+-，令()12e 2e x p x x x -=+-，()3122e 20e x p x x x -'=---<，()p x 在(e,+)∞上单调递减，所以()e 13(e)e 0e p x p -<=-<，()()0n x p x '=<，()n x 在(e,)+∞单调递减，所以()()e 1e 1e n x n a -≤=--，由（1）知e a >，所以()()e 1e 1e 0n x n a -<=--<，即()()()0n x p x q x =-<，故()()p x q x <，所以e x 比1e x a -+更接近ln x ；综上：当e a >及1x ≥，e x 比1e x a -+更接近ln x .。
2024高二数学期中考试题及答案
2024高二数学期中考试题及答案一、选择题（每小题3分，共计60分）1. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5，求f(-1)的值是多少？A) -9 B) -7 C) 7 D) 92. 若集合A={1,2,3,4}，集合B={2,3,4,5}，则A∪B的元素个数是多少？A) 4 B) 5 C) 7 D) 83. 设函数f(x)=4x-1，g(x)=2x+3，求满足f(g(x))=1的x的值。
A) 0 B) -1 C) 1 D) 24. 在等差数列an中，若a1=3，d=4，an=19，则n的值是多少？A) 4 B) 5 C) 6 D) 75. 已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度是多少？A) 5 B) 7 C) 25 D) 49二、填空题（每小题4分，共计40分）1. 若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={4,5,6,7}，则A∩B的元素个数是_________。
2. 设函数f(x)=3x+2，则f(-1)的值是_________。
3. 在等差数列an中，若a1=2，d=3，an=23，则n的值是_________。
4. 男生与女生的比例是3:5，班级总人数为80，女生人数是_________。
5. 若正方形的边长为x+2，其面积是_________。
6. 已知平行四边形的底边长为5，高为3，其面积是_________。
7. 若正方形的对角线长为10，边长是_________。
8. 设函数f(x)=x^2+2x-1，g(x)=x-1，则f(g(2))的值是_________。
9. 若直角三角形的两条直角边分别为6和8，斜边的长度是_________。
10. 设集合A={a,b,c}，集合B={c,d,e}，则A×B的元素个数是_________。
三、解答题（共计40分）1. 若函数f(x)满足f(2x-1)=2x^2-2x，则求f(x)的表达式。
2. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2-3n-4，求数列{an}的首项和前6项的和。
湖北四校(曾都一中枣阳一中襄州一中宜城一中)2020学年下学期高二期中考试数学试题含答案
---------------------4 分
展开式中共有 8 项，其中二项式系数最大的项为第 4，第 5 项
79
所以 T4 2 3C73x 2 280x1 ， T5
2
7 12
4
C
4 7
x
2
5
560 x 2 -----------6 分
(2) 展开式中系数最大的项必须在正的系数项中产生，即在 r 0,2,4,6 时，
-----------------------------------------------2 分
四校联考数学试题参考答案 第 1页，共 4 页
又 x 2 7 展开式的通项为： x
Tr1 C7r
x 7r 2 r x
2
C x r
r
7r r 2
7
73r
2 r C7r x 2
f xmax maxf 2, f 3
因为 f (2) 4 8 f (4) f (3) ln 2 ln 4
f
xmax
f
2
4 ln 2
所以
f
(x)
的值域为
2e,
4 ln 2
-----------------------------12 分
19.(1) 由题意知 Cn3 Cn4 ， n 7
(2)若函数 f x 有两个零点，求实数 a 的取值范围.
21. (本题满分 12 分)
已知各项均正的数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 1，6Sn an2 3an 2 n 2，n N
(1)求数列{an} 的通项公式；
(2)若数列 bn满足 bn
Sn nc
，是否存在非零实数 c 使得 bn为等差数列?
湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题(解析版)
的极大值点为 ，选项B判断错误；
函数 在（a，b）上的极值点为 ， 共2个.选项D判断正确；故选：D.
3.某铁球在 时，半径为 ．当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为 时铁球的半径为 ，其中a为常数，则在 时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（）
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
10.已知数列 中， ， ， ，则下列说法正确的是（）．
A. B. 是等比数列
C. D.
12.已知函数 （ ， 且 ），则（）
A.当 时， 恒成立
B.若 有且仅有一个零点，则
C.当 时， 有两个零点
D.存 ，使得 有三个极值点
〖答案〗AC
〖解析〗对于A， 即 ，两边取对数， ，
令 ， ，
单调递增； 单调递减；
的最大值为 ， ，A正确；
对于B，若 有且仅有一个零点，则 ，两边取对数，有： ，
湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2021-2022学年
高二下学期期中联考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. “ ”是“直线 与直线 互相垂直”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
当 时，直线 ，圆心 到直线 的距离 ,所以直线m与圆C相离，不合题意.
2020-2021学年湖北省部分重点中学高二(下)联考数学试卷(2021.03) (解析版)
2020-2021学年湖北省部分重点中学高二（下）联考数学试卷（3月份）一、单选题（共8小题）.1．在直角坐标系中，直线x+y﹣3＝0的倾斜角是（）A．B．C．D．2．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n 等于（）A．660B．720C．780D．8003．下列不等式中成立的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＞b，则a3＞b34．在A，B，C，D4本不同的书中，任取2本，则取到A的概率为（）A．B．C．D．5．已知m，n为两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．m⊥n，m∥α⇒n⊥αB．n∥β，β⊥α⇒n⊥αC．m∥n，m⊥β⇒n⊥βD．m∥α，n⊂α⇒m∥n6．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且，则＝（）A．10B．C．D．157．若函数y＝﹣的图象与直线x﹣2y+m＝0有公共点，则实数m的取值范围为（）A．[﹣2﹣1，﹣2+1]B．[﹣2﹣1，1]C．[﹣2+1，﹣1]D．[﹣3，1]8．已知p：∃x＞0，e x﹣ax＜1成立，q：函数f（x）＝﹣（a﹣1）x是减函数，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、多项选择题（共4小题）.9．下列命题为真命题的是（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3＝iC．复数的共轭复数为﹣2﹣iD．复数为﹣2﹣i的虚部为﹣110．在△ABC中，如下判断正确的是（）A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形B．若A＞B，则sin A＞sin BC．若△ABC为锐角三角形，则sin A＞cos BD．若sin A＞sin B，则A＞B11．定义在上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且f'（x）＜﹣tan x•f（x）恒成立，则（）A．B．C．D．12．设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A．|AB|≥4B．|OA|+|OB|＞8C．若点P（4，1），则|PA|+|AF|的最小值是5D．若AB倾斜角为，且|AF|＞|BF|，则|AF|＝3|BF|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．曲线y＝xlnx+3x+2的一条切线的斜率为4，则该切线的方程是．14．已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值为．15．有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，点A为两曲线的一个公共点，且满足∠F1AF2＝90°，则的值为．16．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD＝1，BC＝CD＝BD＝，则四棱锥的外接球的表面积为．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a cos B+b cos A＝2c cos B，．（1）求B；（2）若a﹣c＝2，求△ABC的面积．18．某研究机构对某校高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得如表数据．x681012y2356（1）根据表中的数据可知x、y具有较强的线性相关性，求出y关于x的线性回归方程；（2）预测记忆力为19的同学的判断力．（附参考公式：，a＝﹣）19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E为PD中点．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣BE﹣C的正弦值．20．已知数列{a n}满足a n+1﹣2a n+2＝0，且a1＝8．（1）证明：数列{a n﹣2}为等比数列；（2）设b n＝，记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，m ≥T n恒成立，求m的取值范围．21．在△ABP中，点B（﹣2，0），A（2，0），顶点P满足：．（1）求顶点P的轨迹方程E；（2）过点的直线l与E交于不同的两点M，N，求△MAN面积的最大值．22．已知函数．（1）判断f（x）的单调性，并比较20212022与20222021的大小；（2）若函数，其中1≤a＜e，判断g（x）的零点的个数，并说明理由．参考答案一、单选题（共8小题）.1．在直角坐标系中，直线x+y﹣3＝0的倾斜角是（）A．B．C．D．解：直线x+y﹣3﹣0的斜率等于﹣，设此直线的倾斜角为θ，则tanθ＝﹣，又0≤θ＜π，∴θ＝，故选：C．2．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n 等于（）A．660B．720C．780D．800解：∵高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，∴，解得n＝720，故选：B．3．下列不等式中成立的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＞b，则a3＞b3解：对于选项A：当c＝0时，由于a＞b，所以c2（a﹣b）＝0，故选项A错误．对于选项B：由于a＞b，当a与b互为相反数时，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝0，故选项B错误．对于选项C：a＜b＜0，所以a2＞ab＞b2，故选项C错误．对于选项D：由于a＞b，所以a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）＝（a﹣b）[]＞0，故选项D正确．4．在A，B，C，D4本不同的书中，任取2本，则取到A的概率为（）A．B．C．D．解：在A，B，C，D4本不同的书中，任取2本，基本事件总数n＝＝6，取到A包含的基本事件个数m＝＝3，则取到A的概率为P＝＝＝．故选：B．5．已知m，n为两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．m⊥n，m∥α⇒n⊥αB．n∥β，β⊥α⇒n⊥αC．m∥n，m⊥β⇒n⊥βD．m∥α，n⊂α⇒m∥n解：由m，n为两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：对于A，∵m⊥n，m∥α，∴n与α相交、平行或n⊂α，故A错误；对于B，∵n∥β，β⊥α，∴n与α相交、平行或n⊂α，故B错误；对于C，∵m∥n，m⊥β，∴由线面垂直的判定定理得n⊥β，故C正确；对于D，∵m∥α，n⊂α，∴m与n平行或异面，故D错误．故选：C．6．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且，则＝（）A．10B．C．D．15解：∵，∴＝＝＝＝＝＝10，故选：A．7．若函数y＝﹣的图象与直线x﹣2y+m＝0有公共点，则实数m的取值范围为A．[﹣2﹣1，﹣2+1]B．[﹣2﹣1，1]C．[﹣2+1，﹣1]D．[﹣3，1]解：根据题意，函数y＝﹣，变形可得（x﹣1）2+y2＝4，（﹣2≤y≤0），其图象为圆（x﹣1）2+y2＝4的下半部分，如图：直线x﹣2y+m＝0即y＝x+，必有直线与半圆有公共点，当m＝﹣2﹣1时，直线x﹣2y+m＝0在圆心的下方且与圆相切，当m＝1时，直线经过点（﹣1，0），则m的取值范围为[﹣2﹣1，1]；故选：B．8．已知p：∃x＞0，e x﹣ax＜1成立，q：函数f（x）＝﹣（a﹣1）x是减函数，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：p：令f（x）＝e x﹣ax﹣1，f（0）＝0．由∃x＞0，e x﹣ax＜1成立，∴f（x）min＜0．f′（x）＝e x﹣a．可知：a≤0时，函数f（x）单调递增，舍去．a＞0时，f（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．因此x＝lna时，函数f（x）取得极小值即最小值．∴f（lna）＝a﹣alna﹣1＜0．令g（a）＝a﹣alna﹣1，g（1）＝0．g′（a）＝1﹣lna﹣1＝﹣lna，可知：a＝1时，g（a）取得最大值，因此a＞0且a≠1．q：函数f（x）＝﹣（a﹣1）x是减函数，则a﹣1＞1，解得a＞2．则p是q的必要不充分条件．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．下列命题为真命题的是（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3＝iC．复数的共轭复数为﹣2﹣iD．复数为﹣2﹣i的虚部为﹣1解：若z1，z2互为共轭复数，设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi，则z1z2＝a2+b2是实数，所以A正确；若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3＝i3＝﹣i，所以b不正确；复数＝＝﹣2﹣i，所以复数的共轭复数为﹣2+i，所以C不正确；复数为﹣2﹣i的虚部为﹣1，满足复数的定义，所以D正确；故选：AD．10．在△ABC中，如下判断正确的是（）A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形B．若A＞B，则sin A＞sin BC．若△ABC为锐角三角形，则sin A＞cos BD．若sin A＞sin B，则A＞B解：A：∵sin2A＝sin2B，A，B∈（0，π），∴2A＝2B或2A+2B＝180°，∴A＝B或A+B＝90°，则△ABC为等腰或直角三角形．故A错误．B：∵A＞B，∴a＞b，∴2r sin A＞2r sin B，∴sin A＞sin B，故B正确．C：∵△ABC为锐角三角形，∴∠C为锐角，∴A+B＞，∴A＞﹣B，∴sin A＞sin （﹣B），∴sin A＞cos B，故C正确．D：∵sin A＞sin B，∴2r sin A＞2r sin B，∴a＞b，∴A＞B，故D正确．故选：BCD．11．定义在上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且f'（x）＜﹣tan x•f（x）恒成立，则（）A．B．C．D．解：由f'（x）＜﹣tan x•f（x），得cos xf′（x）+sin xf（x）＜0，令g（x）＝，x∈（0，），则g′（x）＝＝＜0，故g（x）在（0，）单调递减，由g（）＞g（），得＞，故f（）＞f（），故A错误，D正确；由g（）＞g（），得＞，故f（）＞f（），故B错误，C正确；故选：CD．12．设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A．|AB|≥4B．|OA|+|OB|＞8C．若点P（4，1），则|PA|+|AF|的最小值是5D．若AB倾斜角为，且|AF|＞|BF|，则|AF|＝3|BF|解：y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x＝my+1，与抛物线的方程联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝m（y1+y2）+2＝4m2+2，则|AB|＝x1+x2+2＝4m2+4≥4，m＝0时取得等号，故A正确；当直线AB的方程为x＝1时，不妨取A（1，2），B（1，﹣2），此时|OA|+|OB|＝+＝2＜8，故B错误；根据抛物线的定义，可得|PA|+|PF|的最小值是P到抛物线的准线的距离，即|PA|+|PF|的最小值为4+1＝5，故C正确；当AB的倾斜角为时，m＝，不妨取A在第一象限，B在第四象限，由y1+y2＝，y1y2＝﹣4，解得y1＝2，y2＝﹣，所以＝＝3，即|AF|＝3|BF|，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．曲线y＝xlnx+3x+2的一条切线的斜率为4，则该切线的方程是y＝4x+1．解：设切点为（m，n），y＝xlnx+3x+2的导数为y′＝1+lnx+3＝4+lnx，可得切线的斜率为k＝4+lnm＝4，解得m＝1，则n＝mlnm+3m+2＝5，所以切线的方程为y﹣5＝4（x﹣1），即为y＝4x+1．故答案为：y＝4x+1．14．已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值为．解：正数x，y满足x+y＝1，即有（x+2）+（y+1）＝4，则＝[（x+2）+（y+1）]（）＝[5++]≥[5+2]＝×（5+4）＝，当且仅当x＝2y＝时，取得最小值．故答案为：．15．有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，点A为两曲线的一个公共点，且满足∠F1AF2＝90°，则的值为2．解：可设A为第一象限的点，|AF1|＝m，|AF2|＝n，由椭圆的定义可得m+n＝2a，由双曲线的定义可得m﹣n＝2a'可得m＝a+a'，n＝a﹣a'，由∠F1AF2＝90°，可得m2+n2＝（2c）2，即为（a+a'）2+（a﹣a'）2＝4c2，化为a2+a'2＝2c2，则+＝2，即有＝2．故答案为：2．16．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD＝1，BC＝CD＝BD＝，则四棱锥的外接球的表面积为5π．解：如图，由已知，在底面ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，由PA⊥底面ABCD，易得△PAC，△PBC，△PCD都是直角三角形，所以球心是PC的中点，，S＝4πR2＝5π．故答案为：5π四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a cos B+b cos A＝2c cos B，．（1）求B；（2）若a﹣c＝2，求△ABC的面积．解：（1）∵a cos B+b cos A＝2c cos B，∴sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos B，∴sin（A+B）＝2sin C cos B，∴sin C＝2sin C cos B，∵sin C≠0，∴cos B＝，∵B∈（0，π），∴B＝．（2）由余弦定理得，7＝a2+c2﹣2ac cos，∴a2+c2﹣ac＝7，∵a﹣c＝2，∴a＝3，c＝1，∴S△ABC＝ac sin B＝×3×＝．18．某研究机构对某校高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得如表数据．x681012y2356（1）根据表中的数据可知x、y具有较强的线性相关性，求出y关于x的线性回归方程；（2）预测记忆力为19的同学的判断力．（附参考公式：，a＝﹣）解：（1）由题意可得，，，，所以＝，则＝＝4﹣0.7×9＝﹣2.3，故线性回归方程为y＝0.7x﹣2.3；（2）当x＝19时，解得y＝0.7×19﹣2.3＝11，故记忆力为19的同学的判断力为11．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E为PD中点．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣BE﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）∵底面ABCD为正方形，∴BC⊥AB，又BC⊥PB，AB∩PB＝B，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA．同理CD⊥PA，BC∩CD＝C，∴PA⊥平面ABCD．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图的空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），B（2，0，0），设＝（x，y，z）为平面ABE的一个法向量，又＝（0，1，1），＝（2，0，0），则，令y＝﹣1，得＝（0，﹣1，1）．设平面BCE的法向量＝（x，y，z），＝（0，2，0），＝（﹣2，1，1），则，取x＝1，得＝（1，0，2），∴cos＜＞＝＝＝，∴二面角A﹣BE﹣C的正弦值为．20．已知数列{a n}满足a n+1﹣2a n+2＝0，且a1＝8．（1）证明：数列{a n﹣2}为等比数列；（2）设b n＝，记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，m ≥T n恒成立，求m的取值范围．【解答】（1）证明：因为数列{a n}满足a n+1﹣2a n+2＝0，所以a n+1＝2a n﹣2，整理得a n+1﹣2＝2（a n﹣2），即（常数）．所以数列{a n﹣2}是以6为首项，2为公比的等比数列．（2）解：由（1）知，即．所以＝．当n为偶数时，＝＝．当n为奇数时，＝．当n为偶数时，是递减的，此时当n＝2时，T n取最大值，则m；当n为奇数时，是递增的，此时，则m．综上，m的取值范围是[．21．在△ABP中，点B（﹣2，0），A（2，0），顶点P满足：．（1）求顶点P的轨迹方程E；（2）过点的直线l与E交于不同的两点M，N，求△MAN面积的最大值．解：（1）设顶点P（x，y），x≠±2，因为A（﹣2，0），B（2，0），，所以，整理可得，故顶点P的轨迹方程E为（x≠±2）；（2）由题意可知，过点的直线l斜率不为0，故设直线l的方程为：x＝ty+，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程，消去x可得，，所以，所以，令μ＝t2+1，则μ≥1，令f（μ）＝，当且仅当μ＝1时取等号，所以|y1﹣y2|max＝2，故＝．22．已知函数．（1）判断f（x）的单调性，并比较20212022与20222021的大小；（2）若函数，其中1≤a＜e，判断g（x）的零点的个数，并说明理由．解：（1），f（x）的定义域是（0，+∞），故f′（x）＝，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）＜0，解得：x＞e，故f（x）在（0，e）单调递增，在（e，+∞）单调递减，则f（2021）＞f（2022），即＞，故2022ln2021＞2021ln2022，故ln20212022＞ln20222021，故20212022＞20222021；（2）∵＝（x﹣1）2+lnx﹣x，其中1≤a＜e，∴g′（x）＝a（x﹣1）+﹣1＝＝，x＞0，a∈[1，e），令g′（x）＝0，解得：x＝1或x＝，①a＝1时，则g′（x）＝≥0，g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（1）＝﹣1＜0，g（3）＝ln3﹣1＞0，故g（1）g（3）＜0，故存在x0∈（1，3），使得g（x0）＝0，故g（x）在（0，+∞）上只有1个零点；②若1＜a＜e，则＜1，则g（x）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，且g（1）＝﹣1＜0，g（3）＝2a+ln3﹣3＞ln3﹣1＞0，故g（1）g（3）＜0，故存在x1∈（1，3），使得g（x1）＝0，故g（x）在（1，+∞）上只有1个零点，而g（）＝﹣﹣lna﹣1，则令φ（a）＝﹣﹣lna﹣1，a∈（1，e），则φ′（a）＝+﹣＝＞0，故φ（a）即g（a）在（1，e）单调递增，而g（e）＝e﹣﹣2＜0，则g（）＜0，故g（x）在（0，+∞）上只有1个零点，综上：g（x）只有1个零点．。
湖北省襄阳市四校(南漳一中、襄州一中、枣阳二中、襄阳一中)高二12月联考数学(理)试题
襄阳高二联考试题数学（理科）命题人：王必挺审题人：周雪丽学校：襄阳市第一中学注意事项：1、答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卡和答题卷上填写清楚。
2、选择题答案用2B铅笔直接填涂在答题卡上，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效。
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．）1．在下列各数中，最大的数是（）A． B. C. D.2.已知直线：,：,若,则的值为（）A．0或2 B．0或C．2 D．-23.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为( )A．11 B．02 C．05 D．044．如图给出的是计算1＋＋＋＋的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是()A．B．C．D．5.将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为004，这600名学生分住在三个营区．从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为()A．24,17,9 B．25,16,9 C．25,17,8 D．26,16,86.根据如下样本数据：得到的回归方程为,则()A．B．C．D．7.某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过两次而接通电话的概率为A. B. C. D.8．已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则＝( )A ．B ．C ．D ．9．若圆2221:()()1C x a y b b -+-=+始终平分圆222:(1)(1)4C x y +++=的周长,则实数应满足的关系是( )A ．B ． 0122222=++++b a b aC ．D ． 01222322=++++b a b a10.圆的方程为，圆的方程为22(5cos )(5sin )1()x y R θθθ-+-=∈，过圆上任意一点作圆的两条切线，切点分别是，则的最小值是( )A.12B.10C.6D.5第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．) 11.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为 _______．12.已知532()31f x x x x x =-+-+，应用秦九韶算法计算时的值时，的值为________．13.设随机变量，，若，则________.14.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学排在上午(前4节)，体育排在下午（后2节），不同的排法种数是______. 15．设有一组圆：2224)1()12(m m y m x =--+--(为正整数．．．)，下列四个命题： ①存在一条定直线与所有的圆均相交 ②存在一条定直线与所有的圆均不．相交 ③所有的圆均不．经过原点 ④存在一条定直线与所有的圆均相切 其中真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16. （本小题满分12分）已知的顶点边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求（1）顶点的坐标； （2）直线的方程.17.(本小题满分12分）已知：设.(1) 求的值；(2)的展开式中的哪几项是有理项（回答项数即可．．．．．．）； （3）求的展开式中系数最大的项和系数最小的项.18．（本小题满分12分）某班级共有60名学生，先用抽签法抽取10名学生调查他们的学习情况。
湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2024年高二上学期期中联考数学试卷(原卷版)
2024年秋“荆､荆､襄､宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学试题命题学校：襄阳四中 命题人：胡凤鸣 审题人：韩正洪 曹文君 李光益联合审题单位：圆创教育研究中心考试时间：2024年11月12日 考试用时：120分钟 试卷满分：150分★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.一､选择题：本题共85分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数2(1i)z =+的共轭复数z =（ ）A. 2i −B. 2iC. 2−D. 22. 如图，ABC 斜二测画法的直观图是A B C ′′′ ，A B C ′′′ 的面积为2a ，那么ABC 的面积为( ).A. 2B. 2C. 2D. 2 3. 在ABC 中，设AB a =，AC b = ，若D 是线段BC 中点，2AE ED = ，则BE = （ ）A. 1133a b −−B. 1133a b −+ C. 2133a b −− D. 2133−+ a b 4. 如图，三个元件123,,T T T 正常工作的概率均为13，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ） A. 19 B. 127 C. 527 D. 7275. 已知点()0,0O ，若曲线C 上存在两点,A B ，使OAB △为正三角形，则称C 为Γ型曲线.给定下列三条曲线：①5y x =−+；②y=；③()10y x x =−>.其中，是Γ型曲线的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 36. 若圆台有内切球（与圆台上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为12，则此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为（ ） A. 43 B. 2 C. 136 D. 737. 小明同学在某次数学测试中的成绩是班级第十五名（每位同学测试的成绩两两不同），且小明同学的成绩恰好是该班成绩的第60百分位数，则该班的人数可能为（ ）A. 36B. 41C. 46D. 518. 正四面体Q ABC −中，QA a =，点M 满足()2QMxQA yQB x y QC =++−− ，则AM 长度的最小值为（ ）A. aB.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 设l m ,是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，下列命题为真命题的是（ ）A. 若,l αβα⊥⊥，则l ∥β或l β⊂的B. 若,l m l α⊥⊥，则m ∥α或m α⊂C. 若l ∥,m α∥α，则l ∥mD. 若,l m βα⊥⊥，则αβ⊥10. 有以下说法，其中错误的是（ ）A. 互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B. 互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C. 事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大D. 事件A 与事件B 同时发生概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率小11. 某四面体的棱中恰好有一条的长度大于2，则此四面体的体积可能是（ ） A. 14 B. 12 C. 1 D. 2三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知复数z 满足34i 1z −+=，则z 的最大值是_________． 13. 如图，在梯形ABCD中，45,6B AB BC ∠== ，且16AD BC = ，若,M N 是线段BC 上的动点，且1MN = ，则DM DN ⋅ 的取值范围为__________.14. 已知圆22:4240C x y x my +−−+=和直线1:2C y x =+，折线2:22C y x =−+，若C 与1C 恰有一个公共点，则实数m =__________；若C 与2C 恰有两个公共点，则实数m 取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在三角形ABC 中，内角A B C ､､所对边分别为a b c ､､，已知πsin cos 6a B b A =−. （1）求角A 的大小；（2）若2c b =，三角形ABCABC 的周长. 16. 在如图所示的四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 是梯形，且AD ∥,BC SA ⊥面ABCD ，,AB BC Q ⊥为SD 的中点.的的（1）若QA QC =，证明：CD ⊥平面SAC ；（2）已知8,4,2AD BC AB ===，斜线SB 和平面ABCD 所成角正切值为2，求平面ACQ 和平面SCD 的夹角的余弦值.17. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的焦点为()1F −和()2F ，短轴长为4. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆上､下顶点分别为12P P ､，过点()0,1Q 的直线1l 与椭圆E 交于A B ､两点（不与12P P ､两点重合）.证明直线1AP 与直线2BP 交点的纵坐标为定值，并求出该值.18. 某校艺术团共有150人，男生与女生的比例是2:1.为了解艺术团全体学生的身高，按性别比例进行分层随机抽样，抽取样本量为30的样本，并观测样本身高数据（单位：cm ）.已知男生样本的身高平均数为169.下表是抽取的女生样本的数据：记抽取的第i 个女生的身高为()1,2,3,,10i x i =⋅⋅⋅，样本平均数160x =，标准差s =. （1）用女生样本的身高频率分布情况估计艺术团女生总体的身高频率分布情况，试估计艺术团女生总体身高在[]160,165范围内的人数；（2）用总样本的平均数和方差估计艺术团总体身高的平均数µ和方差2σ，求2,µσ的值；（3）若女生样本数据在()2,2x s x s −+之外的数据称为偏离值，剔除偏离值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差.（其中，样本平均数160x =，标准差s =.）3.9≈，215925281=，216928561=.】19. 球面几何学是非欧几何例子，是在球表面上的几何学.对于半径为R 的球O ，过球面上一点A 作两条大圆的弧 AB ，AC ，它们构成的图形叫做球面角，记作BAC （或A ），其值为二面角B AO C −−的的的大小，其中点A 称为球面角的顶点，大圆弧 ,AB AC 称为球面角的边.不在同一大圆上的三点,,A B C ，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧 ,,AB BCCA ，这三条劣弧组成的图形称为球面ABC ，这三条劣弧称为球面ABC 的边，,,A B C 三点称为球面ABC 的顶点；三个球面角,,A B C 称为球面ABC 的三个内角.已知球心为O 的单位球面上有不同在一个大圆上的三点,,A B C .（1）球面ABC 的三条边相等（称为等边球面三角形），若π2A = ，请直接写出球面ABC 的内角和（无需证明）；（2）与二面角类比，我们称从点P 出发的三条射线,,PM PN PQ 组成的图形为三面角，记为P MNQ −.其中点P 称为三面角的顶点，,,PM PN PQ 称为它的棱，,,MPN NPQ QPM ∠∠∠称为它的面角.若三面角O ABC −的三个面角的余弦值分别为13. ①求球面ABC 的三个内角的余弦值； ②求球面ABC 的面积.。
2020-2021学年湖北省部分重点中学高二下学期期中数学复习卷(含答案解析)
2020-2021学年湖北省部分重点中学高二下学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列说明正确的是()A. “若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”B. {a n}为等比数列，则“a1<a2<a3”是“a4<a5”的既不充分也不必要条件C. ∃x0∈(−∞,0)，使3x0<4x0成立D. “tanα≠√3”必要不充分条件是“a≠π3”2.设复数z1=1−i，z2=2+i，其中i为虚数单位，则z1⋅z2的虚部为()A. −1B. 1C. −iD. i3.“∃x0∈R,x02+1<0”的否定是()A. ∀x∈R，x2+1≥0B. ∀x∈R，x2+1<0C. ∃x0∈R,x02+1≥0D. ∃x0∈R,x2+1<04.若，则等于()A. −2B. −4C. 2D. 05.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B的在x轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为23，则k的值为()A. −13B. 13C. ±13D. ±126.方程|x|+|y|=1所表示的图形在直角坐标系中所围成的面积是()A. 2B. 1C. 4D. √27.直线l1:y=mx+1，直线l2的方向向量为a⃗=(1,2)，且l1⊥l2，则m=A. 12B. −12C. 2D. −28.已知F1，F2是双曲线E：x2a2−y2b2=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=13，则双曲线E的渐近线方程为()A. y=±12x B. y=±x C. y=±√3 D. y=±2x9. 已知A 、B 两点均值焦点为F 的抛物线y 2=2px(p >0)上，若|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，线段AB 的中点到直线x =p2的距离为1，则p 的值为( )A. 1B. 1或3C. 2D. 2或610. 已知命题p ：f(x)=12+12x −1为奇函数；命题q ：∀x ∈(0,π2)，sinx <x <tanx ，则下面结论正确的是( )A. p ∧(￢q)是真命题B. (￢p)∨q 是真命题C. p ∧q 是假命题D. p ∨q 是假命题11. 直线y =kx 与函数f(x)=|x 2−1|x−1图象有两个交点，则k 的范围是( )A. (0,√3)B. (0,1)∪(1,√3)C. (1,√3)D. (0,1)∪(1,2)12. 抛物线y =ax 2的准线方程为y =−1，则实数a =( )A. 4B. 14C. 2D. 12二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知M(2,0)，N(3,0)，P 是抛物线C ：y 2=3x 上一点，则PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是______ ． 14. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c ，下列结论中正确的序号是______ ．①∃x 0∈R ，使f(x 0)=0；②若x 0是f(x)的极值点，则f′(x 0)=0；③若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(−∞,x 0)上单调递减； ④函数y =f(x)的图象是中心对称图形． 15. 设F 1、F 2为曲线C 1：的焦点，P 是曲线：与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为_______________________． 16. 设函数，若在区间内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (12分)(I)求函数图象上的点处的切线方程；(Ⅱ)已知函数，其中是自然对数的底数，对于任意的，恒成立，求实数的取值范围。
高二数学期中试题(含答案)
班级 姓名 学号 装 订 线高二年级文科数学试题一、选择题（本题共12个小题）1．下面四个命题(1) 0比i -大(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数(3) 1x yi i +=+的充要条件为1x y ==(4)如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应， 其中正确的命题个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．13()i i --的虚部为 ( ) A ．8i B ．8i - C ．8 D ．8-3．使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )A ．z z -= B ．z z = C ．2z 为实数D ．z z -+为实数4．设456124561212,,z i i i i z i i i i =+++++⋅⋅⋅⋅ 则12,z z 的关系是（ ) A ．12z z = B ．12z z =- C ．121z z =+ D ．无法确定 5． 2020(1)(1)i i +--的值是 ( )A ． 1024-B ． 1024C ． 0D ．10246．已知2()(1,)n n f n i i i n N -=-=-∈集合{}()f n 的元素个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 无数个7．正三棱锥的侧棱与底面的对边 （ ） A. 平行 B. 垂直 C.相交 D.以上皆错8．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于 （ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．279．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2；③ED FE +；④FA ED -2中，与AC 等价的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内 （ ） A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．只有最大值或只有最小值D ．既有最大值又有最小值11．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ） A ．5481a a a a > B ．5481a a a a < C ．5481a a a a +>+ D ．5481a a a a = 12．函数xy 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81 B ．81- C ．161 D ．161- 二、填空题（本题共4个小题）13．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=_________。
湖北省部分学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
湖北省部分学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题一、单选题1．书架上放有2本不同的科学类图书，3本不同的文学类图书和5本不同的历史类图书，小李从中任选1本阅读，不同的选法共有（ ） A ．9种B ．10种C ．30种D ．45 种二、解答题2．已知函数()e ln xf x x x =+.(1)求曲线y =f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若a >0，b >0，且221a b +=，证明：()()e 1f a f b +<+. 3．已知数列{}n a 满足 12323.n a a a na n ++++=L (1)求{}n a 的通项公式；(2)设[]2log n n b a =-，数列 {}n b 的前n 项和为n S ，求 21n S -.（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）4．如图，在一个33⨯的网格中填齐1至9中的所有整数，每个格子只填一个数字，已知中心格子的数字为5．(1)求满足第二横排、第二竖排的3个数字之和均为15的不同的数字填写方案种数； (2)求满足第二横排的数字从左到右依次增大，第二竖排的数字从上到下依次增大的不同的数字填写方案种数．5．已知函数()ln 2f x x ax =--. (1)讨论f x 的单调性；(2)若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.6．在公差不为0的等差数列{}n a 中， 123a =，10a 是6a 与8a 的等比中项. (1)求{}n a 的通项公式；(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值.三、填空题7．提供6种不同颜色的颜料给图中A ，B ，C ，D ，E ，F 六个区域涂色，要求相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有种.8．在数列{}n a 中，12a =，25a =，且21n n n a a a ++=-，则20242023a a -=．9．已知函数()()32213f x x f x '=++，则()2f =.四、多选题10．已知数列{}n a 的前n 项和为12,n S a =，且211n nn a a a +=-+，则（ ） A ．{}n a 是递增数列B ．使2024n S …成立的最大正整数n 的值为5C ．212n n nS S S n ++=++ D ．若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则112n T <…11．在主题为“爱我中华”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5名的决赛（获奖名次不重复）、甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“甲、乙两人之中有一人的成绩为第三人名，丙的成绩不是第五名."根据这个回答，下列结论正确的有（ ）A ．五人名次排列的所有情况共有36种B ．甲、乙的排名不相邻的所有情况共有24种C ．甲、乙的排名均高于丙的排名的所有情况共有8种D ．丙的排名高于甲的排名的所有情况共有24种 12．下列函数求导正确的有（ ）A ．(sin )sin cos x x x x x '=-B ．(π0'=C ．()222ln 11x x x '⎡⎤+=⎣⎦+D ．22111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭五、单选题13．已知函数()ln e mxf x x x =-对定义域内任意x 1<x 2，都有()()12121f x f x x x -<-，则正实数m 的取值范围为（ ）A ． 0,16B ．(]0,eC ．1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)e,+∞14．银行有一种叫做零存整取的储蓄业务，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期可以取出全部本金与利息的和（简称本利和），这是整取．已知一年期的年利率为1.35%，规定每次存入的钱不计复利．若某人采取零存整取的方式，从今年1月开始，每月1日存入4000元，则到今年12月底的本利和为（ ）A ．48027元B ．48351元C ．48574元D ．48744元15．已知函数 f x 的部分图象如图所示，()f x '为 f x 的导函数，则（ ）A ．()()()()1010f f f f '>'->B ．()()()()1010f f f f >>-''C ．()()()()0101f f f f >-'>'D ．()()()()1100f f f f >-'>'16．“数列{n a }是等比数列”是“数列{}1n n a a +是等比数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17．若函数()()322316f x x a x ax =-++的极小值点为1，则（ ）A ．a >1B ．a <1C ．1a ≥D ．1a ≤18．已知数列{}n a 是递增数列，则其通项公式可以是（ ）A ．2n a n n =-B ．39n n a n =-C ．2,21,n n n a n n ⎧=⎨+⎩为奇数为偶数D ．132n n n a -=-19．已知函数f x 的导函数为()f x '，若()21f ¢=，则()()Δ02Δ2limΔx f x f x→--=（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．−2。
湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高二下学期期中数学试题(含答案解析)
湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知函数()cos f x x =，则0222lim x f x f xππ∆→⎛⎫⎛⎫+∆-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=∆（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．1-2．由数字0，1，2，3，4可组成多少个无重复数字的四位数奇数（ ） A ．18B ．36C ．54D ．723．函数()f x 的图像如图所示，下列数值排序正确的是( )A ．()()()()1234f f f f ''''<<<B ．()()()()1234f f f f ''''>>>C ．()()()()2143f f f f ''''>>>D ．()()()()2314f f f f ''''>>>4．数学上有很多著名的猜想，“角谷猜想”又称“冰雹猜想”就是其中之一，它是指任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．记正整数0a 按照上述规则实施第()N n n ∈次运算的结果为n a ，若61a =，则0a 不可能为（ ） A ．64B ．10C ．5D ．85．某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（ ） A ．150B ．300C ．450D ．2256．已知()()37121001210121x x a a x a x a x -+=++++，则246810++++=a a a a a （ ）A ．64B ．64-C ．63-D ．65-7．函数()33f x x x =-在区间()m,2上有最小值，则m 的取值范围是( )A ．()2,1-B ．[)2,1-C ．()2,1--D ．(]1,1-8．已知函数()21ln 2f x a x x =+，若对任意正数1x ，()212x x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、多选题9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且斜率为2的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率可以是（ ）A ．2B C ．D ．310．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ） 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 …… ……A ．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：11r r r n n n C C C -+=+B ．22222234512286C C C C C +++++=C ．第7行中从左到右第5与第6个数的比为5：2D ．由“第n 行所有数之和为2”猜想：0122nn nn n n C C C C ++++=11．以下关于数列的结论正确的是（ ）A ．若数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-+，则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n b 的前n 项和121n n T +=-，则数列{}n b 为等比数列C ．若数列{}n a 满足()*1122,N n n n a a a n n -+=+≥∈，则数列{}n a 为等差数列D ．若数列{}n b 满足()2*112,N n n n b b b n n -+=⋅≥∈．则数列{}n b 为等比数列12．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x ，()f x 在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若区间(),a b 上()0f x ''<，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凸函数”．已知()5421122012f x x mx x =--在()1,2上为“凸函数”则实数m 的取值范围的一个必要不充分条件为（ ） A ．1m >- B ．m 1≥ C ．1m D ．0m >三、填空题13．若函数()2cos f x ax b x c =++满足()20222f '=，则()2022f '-=________．14．已知函数()ln f x x x =+．()f x '为函数()f x 的导函数，若()()ln 11kf x x '>++对任意0x >恒成立，则整数k 的最大值为________． 四、解答题15．设抛物线C 的方程为218y x =，直线l 过其焦点F 与抛物线C 交于点A 、B 两点，若12BF FA =，则线段AB 的长为________． 16．若1x =是函数()()()32211333f x x a x a a x =++-+-的极大值点．(1)求a 的值；(2)求函数()y f x =在区间[]0,4上的最值．17．根据上级要求，某市人民医院要选出呼吸，护理，心理治疗方面的专家支援X 城市抗疫，该院有3名呼吸专家1A ，2A ，3A ，4名护理专家1B ，2B ，3B ，4B ，2名心理专家1C ，2C ．(1)从中选出4人组成支援团，求4人中至少有1名心理专家的概率；(2)从中选出4人组成支援团，求呼吸，护理，心理专家都有的概率． 18．已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d ≠，且1a ，2a ，5a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()()*1N 212nn b n n a =∈-+，123nn Sb b b b =++++，问是否存在最大的正整数m ，使得对任意正整数n 均有2022n mS >总成立？若存在求出m ；若不存在，请说明理由．19．已知2nx⎛⎝的展开式的各项的二项式系数之和为64，求：(1)n 的值；(2)2nx⎛⎝的展开式中的有理项：(3)2nx⎛⎝的展开式中系数最大的项20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点⎭，焦距为2． (1)求椭圆C 的标准方程：(2)设M ，N 为椭圆上异于上、下顶点的两个不同的动点，(A ，若直线AM 、AN 的斜率之积为1，求证：直线MN 过定点．21．已知函数()ln af x x x=+在1x =处切线与直线10x y -+=垂直．(1)求()f x 的单调区间；(2)若()f x m =有两零点1x ，()212x x x <，求证()()124f x f x -<． 五、双空题22．将5个不同小球装入编号为1，2，3，4的4个盒子，不允许有空盒子出现，共________种放法；若将5个相同小球放入这4个盒子，允许有空盒子出现，共________种放法．（结果用数字作答）参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据导数的定义，求得原式为2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭，求出()cos f x x '=代入求解即可.【详解】 00222222lim 2lim 222x x f x f f x f f xxπππππ∆→∆→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+∆-+∆- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'=⋅= ⎪∆∆⎝⎭，又()sin f x x '=-，∴22sin 222f ππ⎛⎫⎛⎫'=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C. 2．B 【解析】 【分析】分步计数：先确定末位数字，再确定首位数字，最后确定中间两位数字，由乘法原理可得． 【详解】末位可挑1和3两个数字，共两种情况，然后首位排除0后可挑3个数，中间两位共23A 种排法，因此共11223336C C A =种情况．故选：B ． 3．B 【解析】 【分析】根据函数图像的增减性判断四个导数值的正负，根据在四个点出函数图像切线斜率判断导数值的大小. 【详解】由图可知，在x ＝1和x ＝2在f (x )的增区间内，故()()10,20f f ''>>，且在x ＝1处切线斜率大于在x ＝2处切线斜率，即()()120f f ''>>；x ＝3和x ＝4在f (x )的减区间内，故()()30,40f f ''<<，且在x ＝3出切线斜率比在x ＝4处切线斜率大，即()()034f f ''>>； 综上，()()()()12034f f f f ''''>>>>. 故选：B. 4．C 【解析】 【分析】根据“角谷猜想”进行逆推计算，由此可得结论． 【详解】若6次步骤后变成1，则61a =，52a =，44a =，38a =或1，当38a =时，216a =，132a =或15a =,则132a =时，064a =， 15a =时，010a = ； 当31a =时，22a =，14a =，则01a = 或8，所以0a 的所有可能取值组成的集合为{1,8,10,64}，0a 不可能为5， 故选：C , 5．C 【解析】 【分析】先从后排6人中抽出两名同学，再利用倍缩法即可得出答案. 【详解】解：先从后排6人中抽出两名同学，有26C 种方法， 然后与前排4人排列，有66A 种排法，因为同学的相对顺序不变，则前排4人不要再排，所以共有626644450A C A ⋅=种调整方法.故选：C.6．D 【解析】 【分析】采用赋值法，可求得1x =时，01210128a a a a ++++=-，以及1x =-时，012100a a a a -+++=，两式相加，再求得01a =，可求得答案.【详解】令1x =可得：()()37012101211a a a a -+=++++，即01210128a a a a ++++=-∴,令1x =-，可得：()()37012101211a a a a +-=-+++，即012100a a a a -+++=∴，2+①②可得：02410=64a a a a ++++-，又令0x =，可得01a =，所以24681065a a a a a ++++=-, 故选：D 7．B 【解析】 【分析】根据f (x )的导数求f (x )的单调性和极值，作出f (x )简图，数形结合即可求m 的范围. 【详解】()()()233311f x x x x ==+'--，易知()f x 在(),1-∞-，()1,+∞单调递增，在()1,1-单调递减， 又()22f -=-，()12f -=，12f ，()2f x =，故f (x )图像如图：函数()33f x x x =-在区间()m,2上有最小值，则由图可知21m -≤<.故选：B. 8．C 【解析】 【分析】 根据()()()()121122121f x f x f x x f x x x x ->⇔-<--恒成立，得到()()F x f x x =-在()0,∞+单调递增求解. 【详解】解：不妨令120x x <<，则()()()()121122121f x f x f x x f x x x x ->⇔-<--，即()()F x f x x =-在()0,∞+单调递增， 因为()()21ln 2F x f x x a x x x =-=+-， 则()'10aF x x x=+-≥在()0,∞+上恒成立， 即2a x x ≥-+，在()0,∞+上恒成立，则()2max a x x -+≥，又22111244x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，∴14a ≥． 故选：C 9．BCD 【解析】 【分析】由过点F 且斜率为2的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则2ba≥，即可求出离心率得范围，进而得出答案. 【详解】∴双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，由题意可知：2ba≥，∴2b a ≥，224b a ≥，2224c a a -≥，225c a ≥，25e ≥，e 故选：BCD. 10．ABD 【解析】 【分析】根据杨辉三角，利用组合数性质求解判断ABC.利用二项展开式的二项式系数判断D. 【详解】由组合数性质2可知A 正确； 由组合数性质2得：222223412…++++C C C C ，322233*********…=++++==C C C C C ，故B 正确.第7行从左到右第5与第6个数的比为：4577:5:3C C =，故C 错误；()012=112nn n n n n n C C C C +++++=…，D 正确．故选：ABD 11．AC 【解析】 【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩、等差数列和等比数列的知识求得正确答案.【详解】A ．22n S n n =-+，1n =时，111a S ==，2n ≥时，()()21121n S n n -=--+-，123n n n a S S n -=-=-+，当1n =时，上式也符合，所以23n a n =-+成立，A 选项正确. B ．121n n T +=-，1n =时，113b T ==，2n ≥时，121n n T -=-，12n n n n b T T -=-=，所以3,12,2n n n b n =⎧=⎨≥⎩，数列{}n b 不是等不数列，B 选项错误.C ．由等差中项定义知C 选项成立；D ．若0n b =，则不成立，D 选项错误. 故选：AC 12．AD 【解析】 【分析】先求出函数()f x 的二阶导函数，由“凸函数”的定义可得()0f x ''<在()1,2上成立，整理不等式，可将问题转化为2max 4m x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭在()1,2上成立，再构造函数()24g x x x=-，利用导函数判断()g x 在()1,2x ∈的取值范围，即可得到充要条件，进而根据必要不充分条件与充要条件的关系得到答案. 【详解】 由题，()4311443f x x mx x '=--，()324f x x mx ''=--， 若()f x 在()1,2上为“凸函数”，则()3240f x x mx ''=--<在()1,2上成立，即2max 4m x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，()1,2x ∈，令()24g x x x =-，()1,2x ∈，则()381g x x '=+>0，所以()g x 在()1,2上单调递增，所以()()21g x g <=， 所以m 1≥，为充要条件，由选项可知，必要不充分条件可以是：1m >-或0m >， 故选：AD. 13．2- 【解析】 【分析】求出导函数()'f x ，证明其为奇函数，由奇函数性质计算． 【详解】()2sin f x ax b x '=-，易知()()f x f x -='-'则()f x '为奇函数，则()20222f '-=-．故答案为：2-． 14．3 【解析】 【分析】先求得函数()f x 的导函数，转化问题为()()1ln 11x x k x⎡⎤+++⎣⎦<对0x >恒成立，即求()()1ln 11x x x⎡⎤+++⎣⎦在0x >时的最小值，令1x t ，构造函数()ln 1t t tF t t +=-，则再将问题转化为求()F t 在1t >时的最大值，借助导函数判断()F t 的单调性，进而求解. 【详解】由题，()11f x x '=+，因为()()ln 11kf x x '>++，对0x >恒成立，则()()1ln 11x x k x⎡⎤+++⎣⎦<对0x >恒成立，令11x t +=>， 则ln 1t t tk t +<-对1t >恒成立， 令()ln 1t t tF t t +=-()1t >， 则()()2ln 21t t F t t -+-'=-，令()ln 2g t t t =-+-，则当1t >时，()1110t g t t t -'=-+=>，所以()g t 在()1,+∞上单调递增， 又()31ln30g =-<，()42ln 40g =->，()03,4x ∃∈，当()01,x x ∈，()0g x <，则()'0F t <，此时()F t 单调递减；当()0,x x ∈+∞，()0g x <，则()'0F t >，此时()F t 单调递增， 则()()0000min 0ln 1x x x F t F x x +==-，又00ln 2x x =-，代入()()003,4F x x =∈， 则整数3k =. 故答案为：3 15．9 【解析】 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，设AB 方程为2y kx =+，代入抛物线方程得，应用韦达定理得1212,x x x x +，从而可得1212,y y y y +，由12BF FA =及焦半径公式可得2112(2)2y y +=+，与12y y 结合可解得12,y y ，然后可得弦长．【详解】抛物线标准方程为28x y =，焦点为(0,2)，∴12BF FA =， ∴12BF AF =，AB 斜率显然存在，设1122(,),(,)A x y B x y ，设AB 方程为2y kx =+，代入抛物线方程得：21208x kx --=，所以128x x k +=，1216x x =-， 所以21212()484y y k x x k +=++=+∴，212121()464y y x x ==∴， 22BF y =+，12AF y =+，所以2112(2)2y y +=+∴，由∴∴联立可解得1241y y =⎧⎨=⎩，所以3BF =，6AF =，9AB AF BF =+=． 故答案为：9． 16．(1)3a =-(2)()min 0f x =，()max 43f x = 【解析】 【分析】（1）由()'10f =求得a 的值.（2）结合函数()f x 的单调性来求得函数()f x 在区间[]0,4上的最值. (1)()()()'222133f x x a x a a =++-+-，由题意知()()()'211213303f a a a a =++-+-=⇒=-或2a =3a =-时，()()()'24313f x x x x x =-+=--，()f x 在区间()()()()',1,3,,0,f x f x -∞+∞>递增；在区间()()()'1,3,0,f x f x <递减， 1x =是()f x 的极大值点，符合题意.2a =时，()()()'26771f x x x x x =+-=+-，()f x 在区间()()()()',7,1,,0,f x f x -∞-+∞>递增；在区间()()()'7,1,0,f x f x -<递减， 1x =是()f x 的极小值点，不符合题意.则3a =-. (2)由（1）知321()233f x x x x =-+，且()f x 在[]0,1，[]3,4单调递增，在[]1,3单调递减，又()00f =，()413f =，()30f =，()443f =， 则()min 0f x =，()max 43f x =.17．(1)1318(2)47【解析】 【分析】（1）设4人中至少有一名心理专家为事件A ，利用古典概型的概率公式即可求解； （2）记呼吸、护理、心理专家都有为事件B ，利用古典概型的概率公式即可求解. (1)设4人中至少有一名心理专家为事件A ， ∴从该院9名医生中选4人共49126C =种选法，支援团中没有心理专家共4735C =种选法，∴()12635911312612618P A -=== (2)记呼吸、护理、心理专家都有为事件B ，∴当呼吸、护理专家各一名，心理专家两名时，共11234212C C C =种选法；∴当护理、心理专家各一名，呼吸专家两名时，共11242324C C C =种选法；∴当呼吸、心理专家各一名，护理专家两名时，共11232436C C C =种选法，∴()491224367241267P B C ++===18．(1)21n a n =-； (2)存在，673m =. 【解析】 【分析】（1）利用等比数列列式求出公差d ，写出数列{}n a 的通项公式作答. （2）由（1）求出n b ，再利用裂项相消法求出n S ，然后判断单调性计算作答. (1)在等差数列{}n a 中，11a =，公差0d ≠，由1a ，2a ，5a 成等比数列，得2215a a a =，即()()21114d d +=⨯+，而0d ≠，解得2d =，则()1121n a a n d n =+-=-，所以数列{}n a 的通项公式是：21n a n =-. (2)由（1）知，()()1111()212122121n b n n n n ==--+-+，则有111111[(1)()(11(1)221)]2332112521n n n nn S n =-+-++--=-=+++，因1110(21)(23)n n n S S b n n ++-==>++，则数列{}n S 单调递增，min 111(3n S S b )===， 因对任意正整数n 均有2022n m S >成立，于是得120223m <，解得20226743m <=，而N m *∈，则max 673m =，所以存在最大的正整数673m =，使得对任意正整数n 均有2022n mS >总成立. 19．(1)6(2)6164T x =，33240T x =，560T =，731T x =(3)33240T x = 【解析】 【分析】（1）由二项式系数性质求得n 值；（2）写出二 展开式通项公式，由x 的指数是整数得有理项，依次计算可得；（3）设第1k +项系数最大，解不等式组61766615662222k k k k k k k k C C C C ----+-⎧≥⎨≥⎩得k 值，然后由展开式通项公式计算． (1)由题意可知012264n nn nn n C C C C ++++==…，所以6n =．(2)62x ⎛ ⎝的展开式的通项为()3666216622kk k k k k k C C x T x ---+==，0k =，1，2，…，6 令362kZ -∈，则0k =或2k =或4k =或6k =所以62x ⎛ ⎝的展开式的有理项为：6164T x =，33240T x =，560T =，731T x =． (3)设第1k +项系数最大，则61766615662222k k k kk k k k C C C C ----+-⎧≥⎨≥⎩， 解得4733k ≤≤又∴k ∈N ， ∴2k =，∴展开式中系数最大的项为第3项，且33240T x =． 20．(1)22143x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合222a b c =+列方程组解得,,a b c 得椭圆方程；（2）设直线MN 方程为x ty m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,y y y y +，计算12x x ，计算直线AM 、AN 的斜率之积．由积为1得出,m t 的关系，由此关系可得直线MN 所过定点． (1)由题意可知22222334122a b c a b c ⎧⎪+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩得21a b c =⎧⎪⎨⎪=⎩∴椭圆方程为：22143x y +=(2)设直线MN 方程为x ty m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立22143x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2223463120t y mty m +++-=∴122634mt y y t +=-+，212231234m y y t -=+ ()()221212241234m t x x ty m ty m t -=++=+则)1212121231AM ANy y y y k k x x ++⋅====化简得：()22210t m mm +-=-+=m =或m =（舍）直线MN方程为(x ty m ty t y =+=+=+ 即直线MN过定点(0,-21．(1)()f x 的单调区间为()0,2和()2,+∞ (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出参数a ，再根据导数的符合即可求出函数的单调区间； （2）由（1）知，1202x x <<<，要证()()124f x f x -<成立则只需证124x x -<，即124x x +>，由12,x x 为()f x m =两零点，求得1211221ln x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，2121221ln x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，令()120,1x t x =∈，构造函数()()12ln 01h t t t t t ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭，利用导数证明函数()0h x <即可得证. (1) 解：()21af x x x '=-， 因为函数()ln af x x x=+在1x =处切线与直线10x y -+=垂直，所以()111f a '=-=-，解得2a =， 所以()()2ln 0f x x x x=+>， ()22122x f x x x x='-=-， 令()0f x '>，则2x >，令()0f x '<，则02x <<， 所以()f x 在()0,2单调递减，()2,+∞单调递增， 所以()f x 的单调区间为()0,2和()2,+∞； (2)证明：由（1）知，1202x x <<<， ∴102x <<，∴142x ->， 又()f x 在()2,+∞单调递增，要证()()124f x f x -<成立则只需证124x x -<， 即124x x +>，由12,x x 为()f x m =两零点，得 112ln x m x +=，222ln x m x +=， 两式相减得()1212122ln ln x x x x x x --=，则()1212122ln x x x x x x -=，故1211221ln x xx xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，2121221ln x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=， 令()120,1x t x =∈， 则()()12112122101ln ln ln t t t t x x t t t t⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭+=+=<<，要证124x x +>即证112ln t t t->，构造函数()()12ln 01h t t t t t ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭，∴()()22211210t h t t tt -⎛⎫'=+-=> ⎪⎝⎭， ∴()h t 在()0,1上单调递增，故()()10h t h <=，即12ln 0t t t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，又1 0t t -<，ln 0t <，112ln t t t ->，即124x x +>成立， 所以()()124f x f x -<. 【点睛】本题考查了导数的几何意义和利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式问题，考查了转化思想和数据分析能力，有一定的难度. 22． 240 56 【解析】 【分析】5个不同的球按个数1，1，1，2分成四组，放入4个不同盒子可得第一空答案；第二空由于5个球相同，不同放法只是球的个数不同，因此可先借4个球，相当于9个球，用隔板法分成四组后放入盒子，用组合数定义可得． 【详解】5个不同小球分成4组，每组个数分别为1，1，1，2，不同的分组情况有2510C =种方法，再将4组球放入4个不同盒子，共2454240C A ⋅=种方法.5个相同小球放入4个盒子，若允许有空盒子，可先借4个小球，共9个小球，再用隔板法分成4组放入盒子，共3856C =种方法．故答案为：240；56．。
2020届湖北省襄阳市第四中学高三9月联考数学(理)试题(解析版)
2020届湖北省襄阳市第四中学高三 9月联考数学（理）试题一、单选题1.已知集合A 二｛x|x=3k,k ・N ｝， B=｛x|x=6z,z ・N ｝则下列结论正确的是 A. AR B 二 A B. AR B 二 BC. A = BD.以上均不对【答案】B【解析】根据集合A 、B 中的元素判断即可得出答案。
【详解】集合A 为自然数中3的倍数构成的集合，集合 B 为自然数中6的倍数构成的集合，所 以B A •故选B . 【点睛】本题考查集合与集合的关系，属于基础题。
2 .在复平面内，复数 z 」••3 -' 1的共轭复数z 对应的点位于1 +iA.第一象限B.第二象限C.第二象限D.第四象限【答案】A【解析】化简计算出z =1_i ，写出其共轭复数，即可选出答案。
【详解】【点睛】 本题考查复数运算，共轭复数及其坐标表示。
属于基础题。
x -2y ・・03•设实数x , y 满足＜x+y, 1 ，贝V z = —x — y 的最大值为x + 2yT的最小值。
【详解】 作出可行域，如图 △ ABC 内部（含边界），作出直线l : x - y = 0，平移直线I ，当I 过2-i| . 2 1 i 1 i=1 -i ，所以 z =1 • i ，故选 A.1A. 一一3【答案】D1 B.--2C.2D.1【解析】根据题意画出可行域，求z = -X - y 的最大值等价于y ~ -X-Z 在y 轴上截距C 1,0时，z= -x-y取得最大值1 •故选D.【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数的最值，画出可行域是解本题首要条件，属于基础题。
111 1 14 •如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内2 4 6 4032 4034应填入的是（）A. \ <4032B. i - 4032C. i <4034D. i _ 4034【答案】C【解析】按照程序框图运行程序，可知最后输出时，i =4036，从而确定判断框内容【详解】根据程序框图运行程序1 1 1第一次循环：S , i =4 ；第二次循环：S , i=6 ； ....2 2 41 1 1 1 1直至S ,24036时结束循环，可填入i乞4034 246 4032 4034本题正确选项：C【点睛】本题考查根据程序框图循环结构输出结果补全判断框的问题，关键是确定最终输出时的取值，属于常考题型5•已知｛a n｝为等差数列，a1 ■ a2 ■ a? =165 , a2 ' a g =156 , ｛a.｝的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大值的是 A.19 B.20C.21D.22【答案】B【解析】联立方程即可求出a 1 =58 , d - -3，即可写出a n =61-3n ，要使S n 达到最 大值，即61 -3r r 0,解出即可。
湖北省襄阳四中2020届高三下学期理科数学3月月考试题(解析版)
湖北省襄阳四中2020届高三下学期理科数学（3月份）模拟试卷一、选择题（共12小题）1．已知实数集R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，集合，则A∩B＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|2≤x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜3} 2．已知向量，，若，则在方向上的投影为（）A．B．1C．D．23．“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件为（）A．m∈（2，3）B．m∈（1，4）C．m∈（0，4）D．m∈（4，+∞）4．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数R2＝0.9817，给出下列结论，其中正确的个数是（）①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A．0B．1C．2D．35．已知f（x）＝x•2|x|，，，c＝f（ln3），则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b6．函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．7．现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群（包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”）旅游，假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A．B．C．D．8．已知定义在R上的偶函数f（x）＝对任意x∈R都有f（x）+f （x+）＝0，当ω取最小值时，的值为（）A．1B．C．D．9．在△ABC中，|AC|＝2，|AB|＝2，∠BAC＝120°，＝λ，＝μ，M为线段EF 的中点，若||＝1，则λ+μ的最大值为（）A．B．C．2D．10．已知数列{a n}满足a1＝1，，则na n的最小值是（）A．0B．C．1D．.211．已知P＝{α|f（α）＝0}，Q＝{β|g（β）＝0}，若存在α∈P，β∈Q，使得|α﹣β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n距零点函数”若f（x）＝log2020（x﹣1）与g（x）＝x2﹣ae x（e为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（）A．{t|}B．{t|≤t≤2}C．{t|2}D．{t|2}二、填空题13．已知复数z满足（2﹣i）2•z＝1，则z的虚部为．14．已知实数x、y满足条件，则z＝x﹣3y的最小值为．15．已知椭圆，点P是椭圆上在第一象限上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作∠F1PF2的外角的角平分线的垂线，垂足为A，若|OA|＝2b，则椭圆的离心率为．16．已知直线y＝kx+b与函数y＝e x的图象相切于点P（x1，y1），与函数y＝lnx的图象相切于点Q（x2，y2），若x2＞1，且x2∈（n，n+1），n∈Z，则n＝．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且b2+c2﹣a2＝ac cos C+c2cos A．（1）求A；（2）在△ABC中，，D为边AC的中点，E为AB边上一点，且DE⊥AC，，求△ABC的面积．18．在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，侧面ACC1A1是边长为4的菱形，，A1B＝4，E、F分别为AC、A1B1的中点．（1）求证：BC⊥平面A1EF；（2）若，求二面角A1﹣EF﹣C1的正弦值．19．已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，M（2，y0）（y0≠0）为弦AB的中点，过M作AB的垂线交x轴于点P．（1）求点P的坐标；（2）当弦AB最长时，求直线l的方程．20．有一种叫“对对碰”的游戏，游戏规则如下：一轮比赛中，甲乙两人依次轮流抛一枚质地均匀的硬币，甲先抛，每人抛3次，得分规则如下：甲第一次抛得x（x∈N+）分，再由乙第一次抛，若出现朝上的情况与甲第一次抛的朝上的情况一样，则本次得2分，否则得1分；再甲第二次抛，若出现朝上的情况与乙第一次抛的朝上的情况一样，则本次得分是乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再乙第二次抛，若出现朝上的情况与甲第二次抛的朝上的情况一样，则本次得分是甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；按此规则，直到游戏结束．记甲乙累计得分分别为ξ，η．（1）一轮游戏后，求η＞3的概率；（2）一轮游戏后，经计算得乙的数学期望，要使得甲的数学期望，求x的最小值．21．已知函数f（x）＝e x﹣x﹣axln（x+1）﹣1．（1）若a＝0，证明：f（x）≥0．（2）若函数f（x）在x＝0处有极大值，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题计分．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）已知点M（1，0），直线l与曲线C交于A、B两点，求||MA|﹣|MB||．[选修45：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|+|2x+1|．（1）解不等式：f（x）≥6；（2）设x∈R时，f（x）的最小值为M．若正实数a，b，c满足a+b+c＝M，求ab+bc+ca 的最大值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知实数集R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，集合，则A∩B＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|2≤x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜3}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．故选：B．2．已知向量，，若，则在方向上的投影为（）A．B．1C．D．2【分析】先利用利用两个向量垂直的充要条件，将其转化为坐标运算，解方程可得m值；再由向量数量积运算的几何意义知，向量在方向上的投影为，代入坐标计算即可．解：因为向量，，∴2﹣＝（2﹣m，1）；∵⇒2﹣m+2＝0⇒m＝4；∴＝（4，3）；∴向量在方向上的投影为＝＝2．故选：D．3．“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件为（）A．m∈（2，3）B．m∈（1，4）C．m∈（0，4）D．m∈（4，+∞）【分析】先求出“方程表示双曲线”的m的取值范围，再找它的真子集即可．解：若“方程表示双曲线”，则（m﹣1）（m﹣4）＜0，解得：1＜m＜4，∵“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件为（1，4）的真子集，故选：A．4．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数R2＝0.9817，给出下列结论，其中正确的个数是（）①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A．0B．1C．2D．3【分析】由散点图中各点分布情况和R2的值，判断①正确；由回归直线方程判断②正确；由回归直线方程计算x＝7时的值，判断③正确．解：由散点图中各点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又R2＝0.9817趋近于1，所以相关性较强，所以①正确；由回归直线方程，知②正确；由回归直线方程知，当x＝7时，计算得＝13.743×7+3095.7＝3191.9，其估计值为3191.9≈3192，所以③正确；综上知，正确的命题个数为3．故选：D．5．已知f（x）＝x•2|x|，，，c＝f（ln3），则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得当x＜0，f（x）＝x•（）x＜0，据此可得b＜0，当x≥0时，f（x）＝x•2x，求出其导数，分析可得f（x）在[0，+∞）上为增函数，由此分析可得0＜a＜c，综合可得答案．解：根据题意，f（x）＝x•2|x|＝，当x＜0时，f（x）＝x•（）x＜0，又由log3＝﹣log32＜0，则b＜0，当x≥0时，f（x）＝x•2x，其导数f′（x）＝2x+x•2x ln2＞0，则f（x）在[0，+∞）上为增函数，其f（0）＝0，则当x＞0时，f（x）＞0；又由0＜log3＜1＜ln3，则0＜a＜c，综合可得：c＞a＞b；故选：D．6．函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊值以及函数的图象的变化趋势判断即可解：令函数f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），所以函数f（x）是奇函数，故排除选项B，D，又f（）＝0，f（）＝＜0，故排除C故选：A．7．现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群（包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”）旅游，假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A．B．C．D．【分析】现有4名高三学生进行去四个地方的总排列，再选出一个地方将剩下的三个地方进行四人的排列，捆绑两人即可．解：现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群（包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”）旅游，假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去旅游，基本事件总数44＝256，再四个地方选出一个地方无人选择有种情况，将剩下的三个地方进行4人选择，将4人中捆绑2人有C42种情况，进行排列在三个位置有：A33种排法，∴恰有一个地方未被选中包含的基本事件个数m═C41C42A33＝144，则恰有一个地方未被选中的概率为p＝＝＝．故选：B．8．已知定义在R上的偶函数f（x）＝对任意x∈R都有f（x）+f（x+）＝0，当ω取最小值时，的值为（）A．1B．C．D．【分析】利用三角函数恒等变换化简函数f（x），根据f（x）为偶函数求出φ的值；再由f（x）+f（x+）＝0，结合题意求得ω的最小值，即可计算f（）的值．解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）＝2[sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）]＝2sin（ωx+φ﹣），又f（x）为偶函数，所以φ﹣＝+kπ，k∈Z；解得φ＝+kπ，k∈Z；又φ∈（0，π），所以φ＝；所以f（x）＝2sin（ωx+）＝2cosωx；又对任意x∈R都有f（x）+f（x+）＝0，所以f（0）+f（）＝2cos0+2cos＝0，解得cosω＝﹣1，所以ω＝2kπ+π，k∈Z；解得ω＝4k+2，k∈Z；又ω＞0，所以ω的最小值是2，此时＝2cos（2×）＝2×＝1．故选：A．9．在△ABC中，|AC|＝2，|AB|＝2，∠BAC＝120°，＝λ，＝μ，M为线段EF 的中点，若||＝1，则λ+μ的最大值为（）A．B．C．2D．【分析】建立坐标系，求出各点的坐标，得到关于λ，μ之间的等量关系，再令λ+μ＝t，结合二次方程联立求解即可．解：建立如图所示坐标系；则A（0，0），C（2，0），B（﹣1，）；∵＝λ，＝μ，∴E（﹣λ，λ），F（2μ，0）；∴M（μ﹣，λ）；∴||＝1⇒（μ﹣）2+＝1⇒μ2﹣λμ+λ2＝1；①令λ+μ＝t，则λ＝t﹣μ代入①整理可得：3μ2﹣3μt+t2﹣1＝0；△＝（﹣3t）2﹣4×3×（t2﹣1）≥0⇒﹣2≤t≤2；∴λ+μ的最大值为2．故选：C．10．已知数列{a n}满足a1＝1，，则na n的最小值是（）A．0B．C．1D．.2【分析】两边同时除以a n a n+1，得，利用累加法求出，最后求出na n的最小值．解：，两边同时除以a n a n+1，得，＝2﹣，故，故最小值为n＝1时，na n的最小值是1，故选：C．11．已知P＝{α|f（α）＝0}，Q＝{β|g（β）＝0}，若存在α∈P，β∈Q，使得|α﹣β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n距零点函数”若f（x）＝log2020（x﹣1）与g（x）＝x2﹣ae x（e为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由g（x）＝x2﹣ae x＝0，得x2＝ae x，即．构造函数，结合导数可判断单调性，进而可求．解：易知函数f（x）只有一个零点2，故P＝{2}，由题意知|2﹣β|＜1，即1＜β＜3．由题意知，函数g（x）在（1，3）内存在零点，由g（x）＝x2﹣ae x＝0，得x2＝ae x，所以．记，则．所以当x∈（1，2）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（2，3）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减；所以，而，所以实数a的值范围为．故选：B．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（）A．{t|}B．{t|≤t≤2}C．{t|2}D．{t|2}【分析】设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点．分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，可证出平面A1MN∥平面D1AE，从而得到A1F是平面A1MN内的直线．由此将点F在线段MN上运动并加以观察，即可得到A1F与平面BCC1B1所成角取最大值、最小值的位置，由此不难得到A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围．解：设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN ∥平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ运动点F并加以观察，可得当F与M（或N）重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1，此时所成角θ达到最小值，满足tanθ＝＝2；当F与MN中点重合时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足tanθ＝＝2∴A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围为[2，2]故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z满足（2﹣i）2•z＝1，则z的虚部为．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（2﹣i）2•z＝1，得，∴z的虚部为．故答案为：．14．已知实数x、y满足条件，则z＝x﹣3y的最小值为﹣．【分析】可画出不等式组所表示的平面区域，而由z＝x﹣3y可得出y＝x﹣z，表示斜率为的一族平行直线，当直线在y轴上的截距取最大值时，z取得最小值，从而结合图形即可求出最大截距，即得出z的最小值．解：不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示：由z＝x﹣3y得y＝x﹣z，这是斜率为的一族平行直线，直线在y轴上的截距为﹣z，截距最大时，z最小，根据图形看出，当直线y＝x﹣z经过点B时，截距最大，z取最小值，解得，∴B（3，）．此时z＝x﹣3y的最小值为：z＝3﹣3×＝﹣；故答案为：﹣．15．已知椭圆，点P是椭圆上在第一象限上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作∠F1PF2的外角的角平分线的垂线，垂足为A，若|OA|＝2b，则椭圆的离心率为．【分析】由已知画出图形，利用三角形中位线定理得到|F1B|＝4b，再利用椭圆的定义得到a＝2b，结合隐含条件求解椭圆离心率．解：如图，由题意可得，A为F2B的中点，由|OA|＝2b，得|F1B|＝4b，又|PF2|＝|PB|，∴|F1B|＝|PF1|+|PB|＝|PF1|+|PF2|＝2a＝4b，∴a＝2b，则c＝＝，得e＝，故答案为：．16．已知直线y＝kx+b与函数y＝e x的图象相切于点P（x1，y1），与函数y＝lnx的图象相切于点Q（x2，y2），若x2＞1，且x2∈（n，n+1），n∈Z，则n＝4．【分析】由题意求出函数y＝e x在点P（x1，y1）处的切线方程，函数y＝lnx在点Q（x2，y2）处的切线方程，可得x2lnx2﹣lnx2﹣x2﹣1＝0（x2＞1），构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx ﹣x﹣1，利用导数研究其单调性，再由函数零点的判定得答案．解：由题意，k＝，①曲线y＝e x在点P（x1，y1）处的切线方程为y﹣＝，即y＝；曲线y＝lnx在点Q（x2，y2）处的切线方程为，即．∴b＝，②联立①②可得，x2lnx2﹣lnx2﹣x2﹣1＝0（x2＞1），令g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x﹣1，则g′（x）＝lnx﹣，该函数在（1，+∞）上为增函数，∵g′（1）＝﹣1＜0，g′（2）＝ln2﹣＞0，∴存在x0∈（1，2），使得g′（x0）＝0，则g（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，而g（x0）＝x0lnx0﹣lnx0﹣x0﹣1＝﹣lnx0﹣x0＜0，当x→1+时，g（x）＜0，∴g（x）的零点在（x0，+∞）上，又g（4）＝6ln2﹣5＜0，g（5）＝4ln5﹣6＞0，∴x0∈（4，5），则n＝4．故答案为：4．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且b2+c2﹣a2＝ac cos C+c2cos A．（1）求A；（2）在△ABC中，，D为边AC的中点，E为AB边上一点，且DE⊥AC，，求△ABC的面积．【分析】（1）b2+c2﹣a2＝ac cos C+c2cos A．由余弦定理可得：2bc cos A＝ac cos C+c2cos A．再利用正弦定理即可得出．（2）在△ABC中，DE⊥AC，，A＝．可得＝tan，解得AD．可得AC．利用余弦定理可得AB，利用三角形的面积计算公式即可得出．解：（1）b2+c2﹣a2＝ac cos C+c2cos A．由余弦定理可得：2bc cos A＝ac cos C+c2cos A．化为：2b cos A＝a cos C+c cos A．∴2sin B cos A＝sin A cos C+sin C cos A＝sin（A+C）＝sin B≠0．∴cos A＝，A∈（0，π），∴A＝．（2）在△ABC中，DE⊥AC，，A＝．∴＝tan，解得AD＝．∴AC＝．又BC＝．∴3＝2+AB2﹣2AB cos，解得AB＝∴△ABC的面积S＝×××sin＝．18．在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，侧面ACC1A1是边长为4的菱形，，A1B＝4，E、F分别为AC、A1B1的中点．（1）求证：BC⊥平面A1EF；（2）若，求二面角A1﹣EF﹣C1的正弦值．【分析】（1）结合菱形的性质及沟勾股定理可得A1E⊥BC，再由BC⊥AB，可得BC⊥A1F，进而得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式即可得解．解：（1）证明：依题意，四边形ACC1A1是菱形，，E为AC的中点，∴A1E⊥AC，又∵BE是直角三角形ABC斜边上的中线，∴BE＝2，又，∴，则A1E⊥BE，∵AC∩BE＝E，∴A1E⊥平面ABC，∴A1E⊥BC，又∵BC⊥AB，A1F∥AB，∴BC⊥A1F，∴BC⊥平面A1EF；（2）由（1）知BC⊥平面A1EF，∵BC在平面ABC内，∴平面ABC⊥平面A1EF，又由A1E⊥AC，∴A1E⊥平面ABC，以B为坐标原点，射线BC为x轴，射线BA为y轴，过点B向上作平面ABC的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，A1E∥z轴，则，由（1）知，BC⊥平面A1EF，故平面A1EF的一个法向量为，设平面C1EF的一个法向量为，又，∴，可取，∴，∴二面角A1﹣EF﹣C1的正弦值为．19．已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，M（2，y0）（y0≠0）为弦AB的中点，过M作AB的垂线交x轴于点P．（1）求点P的坐标；（2）当弦AB最长时，求直线l的方程．【分析】（1）设直线l的方程为y＝kx+b，联立抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得k，b的关系式，再由两直线垂直的条件，可得所求坐标；（2）运用弦长公式公式和二次函数的配方法和最值求法，可得最大值．解：（1）设直线l的方程为y＝kx+b，联立y2＝4x，可得k2x2+（2kb﹣4）x+b2═0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝＝4，即kb+2k2＝2，x1x2＝，设P（t，0），由题意可得k MP＝＝﹣，即t＝2+ky0＝2+k（2k+b）＝2+2＝4；可得P（4，0）；（2）由（1）可得x1+x2＝4，x1x2＝，△＝（2kb﹣4）2﹣4k2b2＞0，即kb＜1，则|AB|＝•＝•＝•＝4＝4＝4≤4•＝6，当k2＝2即k＝±时，|AB|取得最大值6．20．有一种叫“对对碰”的游戏，游戏规则如下：一轮比赛中，甲乙两人依次轮流抛一枚质地均匀的硬币，甲先抛，每人抛3次，得分规则如下：甲第一次抛得x（x∈N+）分，再由乙第一次抛，若出现朝上的情况与甲第一次抛的朝上的情况一样，则本次得2分，否则得1分；再甲第二次抛，若出现朝上的情况与乙第一次抛的朝上的情况一样，则本次得分是乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再乙第二次抛，若出现朝上的情况与甲第二次抛的朝上的情况一样，则本次得分是甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；按此规则，直到游戏结束．记甲乙累计得分分别为ξ，η．（1）一轮游戏后，求η＞3的概率；（2）一轮游戏后，经计算得乙的数学期望，要使得甲的数学期望，求x的最小值．【分析】（1）抛硬币出现正面朝上，反面朝上的概率均为，由游戏规则可知η≥3，且每次抛币得分为1分的概率均为，由此能求出P（η＞3）．（2）记ξi，ηi（i＝1，2，3）分别表示甲乙第i次抛币的得分，分别求出乙第一次得分分布列、甲第二次得分分布列、乙第二次得分分布列、甲第三次得分分布列，并分别求出相应的数学期望，列出不等式，能求出x的最小值．解：（1）抛硬币出现正面朝上，反面朝上的概率均为，由游戏规则可知η≥3，且每次抛币得分为1分的概率均为，则P（η＝3）＝＝，则P（η＞3）＝1﹣P（η＝3）＝1﹣＝．（2）记ξi，ηi（i＝1，2，3）分别表示甲乙第i次抛币的得分，乙第一次得分分布列：ηi12PEξi＝＝．甲第二次得分分布列：ξ2123PEξ2＝＝．乙第二次得分分布列：η21234PEη2＝＝．甲第三次得分分布列：ξ312345PEξ3＝＝，∴Eξ＝Eξ1+Eξ2+Eξ3＝＞．∴x＞，∵x∈N+，∴x的最小值为2．21．已知函数f（x）＝e x﹣x﹣axln（x+1）﹣1．（1）若a＝0，证明：f（x）≥0．（2）若函数f（x）在x＝0处有极大值，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出原函数的定义域为（﹣1，+∞）．把a＝0代入函数解析式，求出函数的最小值，由最小值大于等于0即可证明；（2）求出原函数的导函数，要使函数f（x）在x＝0处有极大值，可得f′（0）＝0，且在x＝0处f′（x）左正右负，然后对a分类分析即可求解实数a的取值范围．【解答】（1）证明：函数的定义域为（﹣1，+∞）．当a＝0时，f（x）＝e x﹣x﹣1，f′（x）＝e x﹣1，由f′（x）＝0，得x＝0．当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴f（x）的极小值也是最小值为f（0）＝0，即f（x）≥0．（2）解：f′（x）＝＝，由题意可得：f′（0）＝0，且在x＝0处f′（x）左正右负，必存在ɛ＞0，当x∈（﹣ɛ，0）时，f′（x）＞0，当x∈（0，ɛ）时，f′（x）＜0，记f″（x）＝，若a≤0，f″（x）＝＞0恒成立，则f′（x）＝在定义域上单调递增，当x＞0时，f′（x）＞f′（0）＝0，不合题意，舍去；若0，当x＞0时，e x＞1，＜2，﹣a（）＞﹣2a，f″（x）＝＞1﹣2a≥0，f′（x）在（0，+∞）上单调递增，即x＞0时，f′（x）＞f′（0）＝0，不合题意，舍去；当a＞时，f″（x）＝单调递增，f″（0）＝1﹣2a＜0，必存在ɛ＞0，使得当x∈（﹣ɛ，ɛ）时，f″（x）＜0，此时f′（x）在（﹣ɛ，ɛ）上单调递减．又f′（0）＝0，故当x∈（﹣ɛ，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，ɛ）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，即函数f（x）在x＝0处有极大值．综上所述，a＞．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题计分．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）已知点M（1，0），直线l与曲线C交于A、B两点，求||MA|﹣|MB||．【分析】（1）直接把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣4x＝0．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为，整理得．（2）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程整理为．所以，t1t2＝﹣3．||MA|﹣|MB||＝．[选修45：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|+|2x+1|．（1）解不等式：f（x）≥6；（2）设x∈R时，f（x）的最小值为M．若正实数a，b，c满足a+b+c＝M，求ab+bc+ca 的最大值．【分析】（1）分类讨论，即可求得不等式的解集，得到答案；（2）由绝对值的三角不等式，求得f（x）的最小值M＝4，再结合基本不等式，即可求解．解：（1）当时，不等式等价为﹣2x+3﹣2x﹣1≥6，解得x≤﹣1；当时，不等式等价为﹣2x+3+2x+1≥6，无解；当时，不等式等价为2x﹣3+2x+1≥6，解得x≥2；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）；（2）由|2x﹣3|+|2x+1|≥|2x﹣3﹣2x﹣1|＝4，可得f（x）的最小值为M＝4，即a+b+c＝4，由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，当且仅当“a＝b＝c”时取等号，所以3（ab+bc+ca）≤（a+b+c）2＝16，故，当且仅当“a＝b＝c”时取等号，故ab+bc+ca的最大值为．。
湖北省襄阳市四校(襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2014-2015学年高二上学期期中联考数学理试题
湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）2014-2015学年高二上学期期中联考数学理试题时 间：120分钟 分值：150分 命题牵头学校：宜城一中 命题教师：学 校：曾都一中 枣阳一中 襄州一中 宜城一中 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．把(4)1010化为十进制数为（ ）A ．60B ．68C ．70D ．742．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x -＝3，y -＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．y ^＝－2x ＋9.5B ．y ^＝2x －2.4C ．y ^＝0.4x ＋2.3D ．y ^＝－0.3x ＋4.4 3 正方体1111ABCD A B C D -，棱长为4，点1A 到截面11AB D 的距离为( )A ．163 B ．433C ．34D ．3 4．若直线(1)3ax a y +-=与(1)(23)2a x a y -++=互相垂直，则a 等于（ ）A. 3B. 1C. 0或32-D. 1或－3 5．在面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积大于2S的概率是（ ）A.31 B.21 C.43 D.41 6．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 ( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 57．下列说法中，正确的个数是（ ）(1) 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等.(2) 如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变. (3)一个样本的方差s 2=201[(x 1一3)2+(X 2—3) 2+…+(X n 一3) 2]，则这组数据总和等于60. (4) 数据123,,,...,n a a a a 的方差为2σ，则数据1232,2,2,...,2n a a a a 的方差为24σ. A. 4 B. 3 C .2 D. 18．如图甲所示，三棱锥P ABC -的高8PO =，3AC BC ==，30ACB ∠=︒，M 、N 分别在BC 和PO 上，且CM x =，2((0,3])PN x x =∈，图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥N AMC -的体积y 与x 的变化关系，其中正确的是（ ）9．集合{(,)||1|}A x y y x =≥-,集合{(,)|||6}B x y y x =≤-+，先后掷两颗骰子，掷第一颗骰子得点数为a ,掷第二颗骰子得点数为b ,则B A b a ⋂∈),(的概率等于（ ） A.14B.29C.736D.113610．函数236(10)y x =--的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是（ ） A ．34B ．3C ．2D ．5二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置）11．设1234518,19,20,21,22x x x x x =====，将这五个数据依次输入下面程序框进行计算，则输出的S值_______12．已知,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数z ax y =-+取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为_______13．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为______________14．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为015822=+-+x y x ，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______ 15．,u v 是实数，则222()(125)u v u v -+---的最小值是 三、解答题：（大题共6小题，共75分）16．（满分12分）某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率；并补全频率分布直方图；(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分。
湖北省“荆荆襄宜四地七校考试联盟”2020届高二数学(理科)第二学期期中联考试题及答案
“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高二期中联考试题数学（理）本试题卷共2页， 共22小题．全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在稿纸试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷(60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 命题“若21x =，则1x =”的逆否命题为（ ）A ．若1x ≠，则11x x ≠≠-或B ．若1x =，则11x x ==-或C ．若1x ≠，则11x x ≠≠-且D ．若1x =，则11x x ≠≠-且2． 已知参加某次考试的10万名理科考生的数学成绩ξ近似地服从正态分布(70,25)N ，估算这些考生中数学成绩落在(75,80]内的人数为（ ） （附：2~(,)Z N μσ，则()0.6826,(22)0.9544P Z P Z μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=）A ．4560B ．13590C ． 27180D ． 311740 3．对任意的实数x ，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则“1x y -<”是“[][]x y =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．292)x展开式中含1x的项是（ ） A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项 5．CPI 是居民消费价格指数(consumer price index)的简称．居民消费价格指数，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2020年1月—7月的CPI 同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2020 年2月与2019年2月相比较，叫同比；2020年2 月与2020年1月相比较，叫环比)根据该折线图，则下列结论错误的是（ ） A ．2020年1月—7月CPI 有涨有跌B ．2020年2月—7月CPI 涨跌波动不大,变化比较平稳C ．2020年1月—7月分别与2019年1月一7月相比较，1月CPI 涨幅最大D ．2020年1月—7月分别与2019年1月一7月相比较，CPI 有涨有跌6． 已知双曲线22221x y a b -=-的离心率为135，则它的渐近线为（ ）A ．513y x =±B ．135y x =±C ．125y x =±D ．512y x =± 7． 为了了解奥运五环及其内部所占面积与单独五个圆环及其内部面积之和的比值P ，某同学设计了如右图所示的数学模型，通过随机模拟的方法，在长为8，宽为5的矩形内随机取了N 个点，经统计落入五环及其内部的点的个数为n ，若圆环的半径为1，则比值P 的近似值为（ ）A ．325n N π B ．32n N π C ．8nNπ D ．532nNπ8． 假设有两个分类变量X 和Y 的22⨯列联表如下：X1y2y总计1xa 10 10a +2xc 30 30c +总计 6040100注：2K 的观测值2()()()()()()()n ad bc a b a c k n a b c d a c b d a c b d a b c d-==--++++++++. 对于同一样本，以下数据能说明X 和Y 有关系的可能性最大的一组是（ ）A ．45,15a c ==B ．40,20a c ==C ． 35,25a c ==D ．30,30a c == 9．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=，且13A A =，则1A C 的长为( )A ．5B ．22C ．14D ．1710．已知点A (1,2)在抛物线2:2C y px =，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于,P Q 两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则三角形MFN 的面积MFN S ∆=（ ）A ．83 B ．163C ． 833D ．163311．用五种不同颜色（颜色可以不全用完）给三棱柱ABC DEF -的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色种数有（ ） A ．840 B ．1200 C ． 1800 D ．192012．历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为30，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点O 到圆锥顶点M 的距离为1，对于所得截口曲线给出如下命题： ①曲线形状为椭圆；②点O 为该曲线上任意两点最长距离的三等分点；③该曲线上任意两点间的最长距离为32，最短距离为233； ④该曲线的离心率为33． 其中正确命题的序号为 （ ）A ．①②④B ．①②③④C ．①②③D ．①④第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．总体由编号为01,02,,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为___________．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 748114．已知向量(1,2,1)a =-，(2,2,0)b =-，则a 在b 方向上的投影为________．15．右图中的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x y +的值为___________．16．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)A ，动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相切，过A 作直线(1)250x m y m +-+-=的垂线，垂足为B ，则MA MB +的最小值为___________． 三、 解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知命题P :实数p 使得二项分布ξ～(5,)B p 满足(3)(4)P P ξξ=>=成立；命题Q ：实数p 使得方程22132x y p p+=-表示焦点在x 轴上的椭圆．若P Q ∧为假命题，P Q ∨为真命题，求实数p 的取值范围．18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （Ⅰ）求tan C 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为3，求b 的值．19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，82=a ，前10项和10185S .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若从数列{}n a 中依次取出第 ，，，，，n 2842项，按原来的顺序排列成一个新的数列，试求新数列的前n 项和n A .20．（本小题满分12分）某农科所发现，一种作物的年收获量s （单位：kg ）与它“相近”作物的株数n 具有相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过1m ），并分别记录了相近作物的株数为1,2,3,5,6,7时，该作物的年收获量的相关数据如下：（Ⅰ）根据研究发现，该作物的年收获量s 可能和它“相近”作物的株数n 有以下两种回归方程：2;s bn a s bn a =+=+①②，利用统计知识，结合相关系数r 比较使用哪种回归方程更合适；（Ⅱ）农科所在如右图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每个小正方形的面积为1，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.（注：年收获量以（．．．．．．Ⅰ．）中选择的回归方程计算所得数据为依．．．．．．．．．．．．．．．．．据．） 参考公式：线性回归方程为y bx a =+，其中121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，相关系数12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑；7 2.65≈，61()()664iii w w s s =--=-∑621()43ii w w =-≈∑，其中2i i w n =.21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥底面ABCD ，且P 在底面正投影点在线段AC 上，122BC CD AC ===，3ACB ACD π∠=∠=. （Ⅰ）证明：AP BD ⊥；（Ⅱ）若5AP =AP 与BC 5A BP C --的余弦值．22．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，过点1F 的直线l 交椭圆于A B 、两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若l 的斜率为1，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为34-，求椭圆M 的方程；（Ⅱ）连结AO 并延长，交椭圆于点C ，若椭圆的长半轴长a 是大于1的给定常数，求ABC ∆的面积的最大值()S a ．高二联考数学试题（理科） 参考答案及评分标准二、填空题13. 01 14. 2- 15. 10 16.3 三、解答题17. 对于命题P ：由(3)(4)P P ξξ=>=知，3324455(1)(1)C p p C p p ->-且(0,1)p ∈，得2(0,)3p ∈. ……2分对于命题Q ：由3(2)032p p p p->⎧⎨>-⎩得1(,2)2p ∈. ……4分P Q ∧为假命题，P Q ∨为真命题，则,P Q 一真一假， ……5分若P 真Q 假，则2(0,)3p ∈且1(,][2,)2p ∈-∞+∞，得1(0,]2p ∈. ……7分若Q 真P 假，则1(,2)2p ∈且2(,0][,)3p ∈-∞+∞，得2[,2)3p ∈. ……9分综上可知，满足条件的实数p 的取值范围是1(0,]22[,2)3. ……10分18.（Ⅰ）由22212b ac -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=，∴2cos 2sin B C -=，又由4A π=，即34B C π+=，得cos2sin 22sin cos B C C C -==，由sin 0C 解得tan 2C =； ……6分（Ⅱ）由tan 2C =，(0,)C π∈得25sin 5C =，5cos 5C =， 又∵sin sin()sin()4B A C C π=+=+，∴310sin 10B =，由正弦定理得223c b =，又∵4A π=，1sin 32bc A =，∴62bc =，故3b =. ……12分19．（Ⅰ）由题意得，解得，所以．……6分 （Ⅱ），……8分则==……12分20.（Ⅰ）1(123567)46n =+++++= 16s =(60+55+53+46+45+41)50= ………1分 61()()(3)10(2)5(1)31(4)2(5)3(9)84iii n n s s =--=-⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-=-∑622222221()(3)(2)(1)12328ii n n =-=-+-+-+++=∑622222221()1053(4)(5)(9)256ii s s =-=+++-+-+-=∑………3分1377.950.99375828256r ∴==≈-=-，2830.9658643256r ==-≈-⨯ ………5分知12r r >，回归方程①更合适，（Ⅱ）由（Ⅰ）84328b -==-，则503462a s bn =-=+⨯= 故所求的线性回归方程为362s n =-+ ………7分结合图形可知当2,3,4n =时，与之相对应56,53,50s = ………8分41(56)(2)164P s P n =====，81(53)(3)162P s P n =====41(50)(4)164P s P n =====……10分s 56 53 50P14 12 14∴()56535053424E s =⨯+⨯+⨯=（kg ） ………12分21.（Ⅰ）如图，连接BD 交AC 于O ∵BC CD =，AC 平分BCD ∠∴AC BD ⊥. ………2分∵平面PAC ⊥底面ABCD ，平面PAC 底面=ABCD AC , ∴BD ⊥平面PAC ∵AP ⊂平面PAC ∴AP BD ⊥. ………4分 （Ⅱ）作PE AC ⊥于E ，则PE ⊥底面ABCD ∴PE BD ⊥ ………5分以O 为坐标原点，,,OB OC EP 的方向分别为,,x y z 轴 的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -cos13OC CD π==，而4AC = 则3AO AC OC =-=又sin33OD CD π== 故(0,3,0)A -，3,0,0)B ，(0,1,0)C ，(3,0,0)D - ………6分设(0,,)(0)P y z z > 由5AP =22(3)5y z ++= ①而(0,3,)AP y z =+ (3,1,0)BC =-由5cos ,5AP BC <>=35525y += ② 由①②可知及P 投影位置可知1,1y z =-= ∴(0,1,1)P - ………8分∴(3,3,0)AB =，(3,1,1)BP =--，(3,1,0)BC =- 设平面ABP 的法向量为1111(,,)n x y z =由1100n AB n BP ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111133030x y x y z ⎧+=⎪⎨--+=⎪⎩取11y =-得1(3,1,2)n =- ………10分同理可得BCP 的一个法向量为2(3,3,6)n = ………11分∴121212126cos ,42243n n n n n n <>=== 故钝二面角A BP C --的余弦值为4-………12分22.（Ⅰ）设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，21211y y x x -=-. 由此可得2122121221()1()b x x y y a y y x x +-=-=-+-；………2分因为1202x x x +=，1202y y y +=，0034y x =-，所以2234b a = ………3分 又由左焦点为(1,0)-，故221a b -=，因此224,3a b ==.所以M 的方程为22143x y += ………5分 （Ⅱ）因为椭圆M 的半焦距1c =，所以221a b -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为1x my =-，由方程组222211x y a b x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得:2222222()2(1)0a b m y b my b a +-+-=,2122222,b m y y a b m ∴+=+22412222222(1)b a b y y a b m a b m--==++,且0∆>恒成立， ………7分 连结OB ，由OA OC =知2ABCAOBS S=，112ABCSOF y y ∴=⋅-=， ………9分t =，则222222222222221(1),1(1)1ABC ab t ab t ab m tt S a b t b t b tt=-≥∴===+-++，①若11b ≥，即1a <≤，则212b t b t+≥=，当且仅当1t b =，即m =时，max ()()ABC S a S ∆== ……… 10分②若101b <<，即a >21()f t b t t=+，则1t ≥时，()f t 在[1,)+∞上单调递增，所以22min [()](1)1f t f b a ==+=，当且仅当1t =，即0m =时，2max 2(1)()()ABC a S a S a∆-==；综上可知：2()2(1),a S a a a a ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩………12分。
2020-2021学年湖北省部分高中联考协作体高二(下)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年湖北省部分高中联考协作体高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．给出下列结论：①（cos x）′＝sin x；②（sin）′＝cos；③若y＝，则y′＝﹣；④（﹣）′＝．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．32．已知f'（x）是函数f（x）的导数，且f'（x0）＝2，则＝（）A．8B．2C．﹣4D．不能确定3．五行是中国古代的一种物质观．多用于哲学、中医学和占卜方面．五行指代：金、木、水、火、土．现将“金、木、水、火、土”排成一排，且“木、土”不相邻排法的种数（）A．72B．48C．36D．244．已知直线ax﹣by﹣2＝0与曲线y＝x3在点P（1，1）处的切线互相垂直，则为（）A．B．C．D．5．函数f（x）＝（x2﹣2x）e x（e为自然对数的底数）的图象大致是（）A．B．C．D．6．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n•1•3…（2n﹣1）”（n∈N+）时，从“n＝k到n＝k+1”时，左边应增添的式子是（）A．2k+1B．2（2k+1）C．D．7．《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成3组派去3地执行公务（每地至少去一人），则不同的方案有（）种．A．150B．180C．240D．3008．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f（x）＝﹣4x+2，下列说法中正确的有（）A．函数f（x）的极大值为，极小值为﹣B．当x∈[3，4]时，函数f（x）的最大值为，最小值为C．函数f（x）的单调减区间为[﹣2，2]D．曲线y＝f（x）在点（0，2）处的切线方程为y＝﹣4x+210．高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的有（）A．若任意选择三门课程，选法总数为种B．若物理和化学至少选一门，选法总数为C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种11．为响应政府部门疫情防控号召．某红十字会安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴A，B，C三地参加防控工作，下列选项正确的是（）A．若恰有一地无人去，则共有42种不同的安排方法B．共有64种不同的安排方法C．若甲乙两人不能去A地，且每地均有人去，则共有44种不同的安排方法D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则共有171种不同的安排方法12．对于函数，下列说法正确的有（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两不同零点C．f（2）＜f（3）D．若在（0，+∞）上恒成立，则k＞1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数的导函数f'（x）＝14．4位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则4人取的都不是自己的帽子有种取法．15．某生产厂家生产一种产品的固定成本为1万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.5万元．已知销售收入R（x）（万元）满足（其中x是该产品的月产量，单位：百台，0＜x＜8），假定生产的产品都能卖掉，则当公司每月产量为百台时，公司所获利润最大．16．已知函数f（x）＝，若方程f（x）﹣a＝0有两个不相等的实根，则实数a的取值范围可以是．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.除17题为10分外，18～22题均为12分.17．用五个数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的自然数，问：（1）四位数有几个？（2）比3000大的偶数有几个？18．设数列{a n}满足a1＝3，a n+1＝a n2﹣2na n+2，n＝1，2，3，…．（1）求a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．19．已知函数f（x）＝（x2﹣4）（2x﹣a），a∈R，f'（x）为f（x）的导函数，且f'（﹣1）＝0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）求函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．20．已知函数．（1）若函数f（x）在点（1，f（x））处的切线斜率为1，求a的值及此时的切线方程（2）在（1）的条件下求函数f（x）的极值．21．7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：（1）甲、乙两人相邻；（2）甲、乙之间隔着2人；（3）若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变．22．设函数f（x）＝（x﹣2）lnx﹣ax+1．（1）若f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若存在正数x0，使得f（x0）≤1﹣lnx0成立，求实数a的取值范围．参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．给出下列结论：①（cos x）′＝sin x；②（sin）′＝cos；③若y＝，则y′＝﹣；④（﹣）′＝．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：对于①，（cos x）′＝﹣sin x，故错；对于②，（sin）′＝0，故错；对于③，若y＝，则y′＝﹣2，故错；对于④，（﹣）′＝（﹣x）′＝，故正确．故选：B．2．已知f'（x）是函数f（x）的导数，且f'（x0）＝2，则＝（）A．8B．2C．﹣4D．不能确定解：∵f'（x0）＝2，∴＝4＝4f'（x0）＝8，故选：A．3．五行是中国古代的一种物质观．多用于哲学、中医学和占卜方面．五行指代：金、木、水、火、土．现将“金、木、水、火、土”排成一排，且“木、土”不相邻排法的种数（）A．72B．48C．36D．24解：根据题意，分2步进行分析：①将金、水、火全排列，有种情况，排好后有4个空位，②在4个空位中任选2个，安排木、土插入，有种情况，则甲乙不相邻的排法有12×6＝72种；故选：A．4．已知直线ax﹣by﹣2＝0与曲线y＝x3在点P（1，1）处的切线互相垂直，则为（）A．B．C．D．解：设曲线y＝x3在点P（1，1）处的切线斜率为k，则k＝f′（1）＝3因为直线ax﹣by﹣2＝0与曲线y＝x3在点P（1，1）处的切线互相垂直所以故选：D．5．函数f（x）＝（x2﹣2x）e x（e为自然对数的底数）的图象大致是（）A．B．C．D．解：因为f（0）＝（02﹣2×0）e0＝0，排除C；因为f'（x）＝（x2﹣2）e x，解f'（x）＞0，所以或时f（x）单调递增，排除B，D．故选：A．6．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n•1•3…（2n﹣1）”（n∈N+）时，从“n＝k到n＝k+1”时，左边应增添的式子是（）A．2k+1B．2（2k+1）C．D．解：用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n•1•3•5…（2n﹣1）（n∈N*）时，从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是＝2（2k+1）．故选：B．7．《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成3组派去3地执行公务（每地至少去一人），则不同的方案有（）种．A．150B．180C．240D．300解：由题意知．可分为2种情况讨论：①分组人数为3，1，1，此时共有种方案②分组人数为2，2，1，此时共有种方案因此一共有60+90＝150种方案．故选：A．8．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．解：因为有两个不同的极值点，所以＝＝0在（0，+∞）有2个不同的零点，所以x2﹣x+a＝0在（0，+∞）有2个不同的零点，所以，解可得，0＜a＜．故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f（x）＝﹣4x+2，下列说法中正确的有（）A．函数f（x）的极大值为，极小值为﹣B．当x∈[3，4]时，函数f（x）的最大值为，最小值为C．函数f（x）的单调减区间为[﹣2，2]D．曲线y＝f（x）在点（0，2）处的切线方程为y＝﹣4x+2解：f（x）定义域为R，f′（x）＝x2﹣4，令f′（x）＝0，得x＝﹣2或2，所以在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上f（x）单调递增，在（﹣2，2）上单调递减，故C正确，f（x）极大值＝f（﹣2）＝（﹣2）3﹣4（﹣2）+2＝f（x）极小值＝f（2）＝（2）3﹣4（2）+2＝﹣，故A正确，f（3）＝（3）3﹣4（3）+2＝﹣1，f（4）＝（4）3﹣4（4）+2＝，所以当x∈[3，4]时，f（x）最大值为，最小值为﹣1故B不正确，f′（0）＝﹣4，曲线在点（0，2）处切线方程为y﹣2＝﹣4（x﹣0），即y＝﹣4x+2，故D正确．故选：ACD．10．高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的有（）A．若任意选择三门课程，选法总数为种B．若物理和化学至少选一门，选法总数为C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种解：对于A．若任意选择三门课程，选法总数为种，可判断A正确；对于B．若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误；对于C．若物理和历史不能同时选，选法总数为＝种；对于D．若物理和化学至少选一门，有3种情况，①只选物理有且物理和历史不同时选，有种选法；②选化学，不选物理，有种选法；③物理与化学都选，有种选法，故总数为++＝6+10+4＝20种，故D错误．故选：AC．11．为响应政府部门疫情防控号召．某红十字会安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴A，B，C三地参加防控工作，下列选项正确的是（）A．若恰有一地无人去，则共有42种不同的安排方法B．共有64种不同的安排方法C．若甲乙两人不能去A地，且每地均有人去，则共有44种不同的安排方法D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则共有171种不同的安排方法解：根据题意，依次分析选项：对于A，若恰有一地无人去，需要先在3地中选出2个地方，将4人安排到这两个地方，有C32（24﹣2）＝42种选取方法，A正确；对于B，安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴A，B，C三地参加防控工作，每人有3种安排方法，则有3×3×3×3＝81种安排方法，B错误；对于C，根据题意，需要将4人分为3组，若甲乙在同一组，有1种分组方法，则甲乙所在的组不能去A地，有2种情况，剩余2组安排到其余2地，有A22＝2种情况，此时有2×2＝4种安排方法；若甲乙不在同一组，有C42﹣1＝5种分组方法，若甲乙两人不能去A地，只能安排没有甲乙的1组去A地，甲乙所在的两组安排到B、C两地，有A22＝2种情况，此时有5×2＝10种安排方法；则一共有4+10＝14种安排方法，C错误；对于D，只需要将20辆救护车排成一排，在19个空位中插入挡板，就可以将20辆救护车分为3组，依次对应A，B，C三地即可，有C192＝171种安排方法；故选：AD．12．对于函数，下列说法正确的有（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两不同零点C．f（2）＜f（3）D．若在（0，+∞）上恒成立，则k＞1解：函数（x＞0），则f'（x）＝，令f'（x）＝0，则x＝e，当0＜x＜e时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，当x＞e时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，所以当x＝e时，函数f（x）取得极大值f（e）＝，故选项A正确；当x→0时，f（x）→﹣∞，当x→+∞时，f（x）→0，作出f（x）的图象如图所示，由f（x）＝0，可得lnx＝0，即x＝1，所以函数f（x）只有一个零点，故选项B错误；由图象可知，f（2）＝f（4），f（3）＞f（π）＞f（4），所以f（2）＜f（π）＜f（3），故选项C正确；若在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，令h（x）＝，则h'（x）＝，令h'（x）＝0，则x＝1，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，则h（x）单调递增，当x＞1时，h'（x）＜0，则h（x）单调递减，所以当x＝1时，函数h（x）取得唯一的极大值，即最大值h（1）＝1，则k＞1，故选项D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数的导函数f'（x）＝﹣解：由，所以f′（x）＝﹣，故答案为：﹣．14．4位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则4人取的都不是自己的帽子有9种取法．解：根据题意，四个人每人随意取走一顶帽子，第一个人取走不是自己的帽子，有3种取法，假设他取走的是第二个人的，则第二个人有3种取法，剩下2人各有1种取法，则一共有3×3＝9种取法，故答案为：9．15．某生产厂家生产一种产品的固定成本为1万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.5万元．已知销售收入R（x）（万元）满足（其中x是该产品的月产量，单位：百台，0＜x＜8），假定生产的产品都能卖掉，则当公司每月产量为6百台时，公司所获利润最大．【解答】解，设利润为f（x），则f（x）＝R（x）﹣1﹣0.5x＝﹣1﹣＝﹣1，则f′（x）＝﹣x2+x，（0＜x＜8）当﹣x2+x＝0时，x＝0或6，且当0＜x＜6时，f′（x）＞0，当6＜x＜8时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，6）上单调递增，在（6，8）上单调递减，则当x＝6时，f（x）取得极大值也是最大值，故当公司每月为6百台时，利润最大．16．已知函数f（x）＝，若方程f（x）﹣a＝0有两个不相等的实根，则实数a的取值范围可以是．解：当x≥0时，则f（x）＝x3﹣3x+2，故f′（x）＝3x2﹣3＝0，得x＝﹣1，x＝1，则此时f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当x＜0时，则f（x）＝﹣x2e x，故f′（x）＝﹣2xe x﹣x2e x＝﹣xe x（2+x）＝0，得x＝﹣2，则此时f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；作出函数f（x）图象如图：因为方程f（x）﹣a＝0有两个不相等的实根等价于函数f（x）与y＝a的图象有两个交点，有图可得a∈（f（﹣2），0）∪（0，2]，即a∈（﹣，0）∪（0，2]．故答案为：（﹣，0）∪（0，2]．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.除17题为10分外，18～22题均为12分.17．用五个数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的自然数，问：（1）四位数有几个？（2）比3000大的偶数有几个？解：（1）首位数字不能是0，其他三位数字可以任意，∴四位数有C41A43＝96个；（2）比3 000大的必是四位数或五位数A、若是四位数，则首位数字必是3或4．①若4在首位，则个位数字必是0或2，有C21A32个数，②若3在首位，则个位数字必是0或2或4，有C31A32个数∴比3000大的偶数且是四位数的有C21A32+C31A32＝30个．B、若是五位数，则首位数字不能是0，个位数字必是0或2或4，①若0在个位，则有A44个数，②若0不在个位，则有C21C31A33个数∴比3000大的偶数且是五位数的有A44+C21C31A33＝60故比3000大的偶数共有90个．（1分）18．设数列{a n}满足a1＝3，a n+1＝a n2﹣2na n+2，n＝1，2，3，…．（1）求a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．解：（1）由a1＝3，a n+1＝a n2﹣2na n+2，得a2＝32﹣2×1×3+2＝5＝2×2+1，a3＝52﹣2×2×5+2＝7＝2×3+1，a4＝72﹣2×3×7+2＝9＝2×4+1，猜想a n＝2n+1；（2）下面用数学归纳法证明a n＝2n+1．①当n＝1时，a1＝3＝2×1+1，等式成立；②假设n＝k（k∈N*且k≥1）时，等式也成立，即a k＝2k+1．则n＝k+1时＝（2k+1）2﹣2k（2k+1）+2＝4k+1﹣2k+2＝2（k+1）+1．即n＝k+1时也成立．综①②知，等式a n＝2n+1对任意n∈N*都成立．19．已知函数f（x）＝（x2﹣4）（2x﹣a），a∈R，f'（x）为f（x）的导函数，且f'（﹣1）＝0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）求函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．解：由f（x）＝（x2﹣4）（2x﹣a），则f'（x）＝6x2﹣2ax﹣8，∵f'（﹣1）＝0，∴6+2a﹣8＝0，∴a＝1，∴f'（x）＝6x2﹣2x﹣8＝（2x+2）（2x﹣4），令f'（x）＝0，则x＝﹣1或，∴当x＜﹣1或x＞时，f'（x）＞0；当﹣1＜x＜时，f'（x）＜0，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）知，f（x）在（﹣2，﹣1）和（，2）上单调递增，在（﹣1，）上单调递减，又f（﹣2）＝f（2）＝0，f（﹣1）＝9，，∴当x∈[﹣2，2]时，f（x）max＝9，．20．已知函数．（1）若函数f（x）在点（1，f（x））处的切线斜率为1，求a的值及此时的切线方程（2）在（1）的条件下求函数f（x）的极值．解：（1），x＞0，所以＝1，即a＝2，所以f（1）＝0，切线方程y＝（x﹣1），即x﹣y﹣1＝0；（2）由（1）得：f（x）＝x2﹣1﹣lnx（x＞0），f′（x）＝（x＞0），令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故f（x）在单调递减，在单调递增，故f（x）的极小值是f（）＝，无极大值．21．7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：（1）甲、乙两人相邻；（2）甲、乙之间隔着2人；（3）若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变．解：（1）（捆绑法），把甲乙二人捆绑在一起，再和其他5人全排列，故有，（2）（捆绑法），先从5人选2人放着甲乙二人之间，并捆绑在一起，再和其他3人全排列，故有，（3）（插空法），原先7人排列形成8个空，先插入1人，再从形成的9个空再插入1人，再从10个空中插入1人，故有．22．设函数f（x）＝（x﹣2）lnx﹣ax+1．（1）若f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若存在正数x0，使得f（x0）≤1﹣lnx0成立，求实数a的取值范围．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝lnx+1﹣﹣a，要使f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，只需f′（x）≥0，即lnx+1﹣≥a在[1，+∞）上恒成立即可，由对数函数、反比例函数的性质可得y＝lnx+1﹣在[1，+∞）上单调递增，所以只需a≤y min即可，当x＝1时，y取最小值，y min＝ln1+1﹣2＝﹣1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（2）存在正数x0，使得f（x0）≤1﹣lnx0成立，即（x0﹣1）lnx0≤ax0，即存在x0∈（0，+∞）使得a≥，令g（x）＝，x∈（0，+∞），则g′（x）＝，令h（x）＝lnx+x﹣1，x∈（0，+∞），则h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（1）＝0，所以当x∈（0，1）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，所以g（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增，则g（x）min＝g（1）＝0，故a≥0，即实数a的取值范围为[0，+∞）．。
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湖北省襄阳市四校2016-2017学年高二数学下学期期中联考试题 理第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、命题“1ln ),,0(000-=+∞∈∃x x x ”的否定是（ ） A 、1ln ),,0(000-≠+∞∈∃x x xB 、1ln ),,0(-≠+∞∉∀x x xC 、1ln ),,0(-≠+∞∈∀x x xD 、1ln ),,0(000-=+∞∉∃x x x2、若两个不同平面α、β的法向量分别为)2,2,2(),1,2,1(-=-=v u ，则（ ） A 、α、β相交但不垂直B 、α⊥βC 、α∥βD 、以上均不正确3、双曲线)(122R m my x ∈=-的右焦点坐标为()0,2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A 、x y 3±=B 、x y 33±= C 、x y 31±= D 、x y 3±= 4、已知向量n m ,分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若m 与n 夹角的余弦等于21，则l 与α所成的角为（ ） A 、︒60B 、︒30C 、︒120D 、︒1505、下列命题中正确的是（ ）A 、“1-<x ”是“022>--x x ”的必要不充分条件 B 、“P 且Q ”为假，则P 假且 Q 假C 、命题“0322>+-ax ax 恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围是30<≤a D 、命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若0232=+-x x ，则2≠x ”6、已知椭圆141622=+y x 以及椭圆内一点)1,2(P ，则以P 为中点的弦所在直线斜率为（ ） A 、21B 、21-C 、2D 、2-7、已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是OA 、CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG=3GN ，用向量OC OB OA ,,表示向量OG ，则（ ） A 、OC OB OA OG 838183++=B 、OC OB OA OG 838387++=C 、OC OB OA OG 3232++= D 、OC OB OA OG 838381++=8、过椭圆的右焦点2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于B A ,两点，1F 为椭圆的左焦点， 若AB F 1∆为正三角形，则椭圆的离心率为（ ） A 、 3 B 、33C 、 32-D 、 12- 9、21,F F 分别是双曲线 )0(1222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于A,B 两点，若1ABF ∆是等边三角形， 则该双曲线的虚轴长为（ ） A 、62B 、22C 、6D 、2410、在三棱柱111C B A ABC -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，6,21==AA AB 。
若F E ,分别是棱11,CC BB 上的点，且11131,CC F C E B BE ==，则异面直线E A 1与AF 所成角的余弦值为（ ） A 、1365-B 、1365C 、102-D 、102 11、已知抛物线x y C 4:2=的焦点是F ，过点F 的直线与抛物线C 相交于P 、Q 两点，且点Q 在第一象限，若FQ PF =2，则直线PQ 的斜率是（ ） A 、42B 、1C 、2D 、2212、已知椭圆123:221=+y x C 的左、右焦点分别为21,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若点Q 是2C 上任意的一点，定点()34，A ，()01，B ，则QB QA +的最小值为（ ）A 、 6B 、 23C 、 4D 、 5第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上） 13、抛物线241y x =的焦点坐标为 。
14、已知集合{}31<<-=x x A ，{}22+<<-=m x x B ，若B x ∈是A x ∈的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是 。
15、在平行六面体D C B A ABCD ''''-中，5=AB ，3=AD ，7='A A ， ='∠='∠=∠A DA A BA BAD 60°，则D B '的长为 。
16、已知直线l 与抛物线()022>=p px y 交于B A ,两点，O 为坐标原点，且OB OA ⊥,AB OD ⊥于点D ，点D 的坐标为()2,1，则=p 。
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17、（本小题满分10分）命题p ：方程11122=-++m y m x 表示焦点在x 轴上的双曲线。
命题q ：直线m x y +=与抛物线x y 42=有公共点。
若“q p ∨”为真，求实数m 的取值范围。
18、（本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的一个顶点坐标为()1,0，其离心率为36()1求椭圆的标准方程；()2椭圆上一点P 满足︒=∠6021PF F ,其中21F F ，为椭圆的左右焦点， 求21PF F ∆的面积。
19、（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体C B A O OABC ''''-中 ，F E , 分别是棱BC AB ,上的动点。
（1）当BF AE =时，求证F A '⊥E C '；（2）若F E ,分别为BC AB ,的中点，求直线B O '与 平面EF B '所成角的正弦值。
20、（本小题满分12分）在圆922=+y x 上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PD ，D为垂足，当P 为圆与y 轴交点时，P 与D 重合，动点M 满足MP DM 2=； （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）抛物线C '的顶点在坐标原点，并以曲线C 在y 轴正半轴上的顶点为焦点，直线3+=x y 与抛物线C '交于A 、B 两点，求线段AB 的长。
21、（本小题满分12分）在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，AB ∥CD ，222===CD AD AB ，E 是PB 的中点。
（1）求证：平面⊥EAC 平面PBC ；（2）若2=PC ，求二面角E AC P --的余弦值。
22、（本小题满分12分）动点P ()y x ,满足()()32222222=++++-yx yx（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线l 与曲线C 交于B A ,两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求OAB ∆面 积的最大值。
2016—2017学年下学期高二期中考试 数学参考答案一、选择题 1-6 CBABCB 7-12 DBABDD 二、填.1空题 13、()0,1 14、[)+∞,115、6316、25 三、解答题17、解：p 真，则，⎩⎨⎧>->+0101m m ，得11<<-m………………………2分q 真，则方程组⎩⎨⎧=+=xy m x y 42有解，消去x 得 )(42m y y -=，即0442=+-m y y01616≥-=∆m 得1≤m ………………………………4分“q p ∨”为真，则p 真或q 真，所以 ………………………………6分 11<<-m 或 1≤m ………………………………8分 即1≤m………………………………10分18、（1）设椭圆的标准方程为()012222>>=+b a by a x ，椭圆的一个顶点为（0,1）则b =1， ……………2分Θ 36=a c ∴ 32122=-a a 解得32=a ……………4分 椭圆的标准方程为1322=+y x …………………6分 （2）设m PF n PF ==21, ︒=∠6021PF F︒-+=60cos 24222mn n m c =()mn a mn n m 34322-=-+ ……………8分得34=mn ， ………………10分 3323342121=⨯⨯=∆PF F S ………………12分 曾都一中 枣阳一中 宜城一中 襄州一中19、（1）证明：以C C '为z 轴，CO 为x 轴，CB 为y 轴建立空间直角坐标系，如图所示设()0,,0y F ∵BF AE = ∴CF BE = ∴()0,2,y E …………2分又)2,2,2(A ' )2,0,0(C '∴)2,2,2(---='y F A )2,2,(-='y E C …………………………3分 ∵04422=+-+-='⋅'y y E C F A …………………………4分 ∴E C F A '⊥' ∴E C F A '⊥' …………………………5分 （2）()0,2,1E ()0,1,0F ，()2,2,0B '()2,0,1-='B E ()2,1,0='B F …………………………6分设平面EF B '的法向量为()z y x n ,,=，则取2=x ，则1=z ，2-=y ，()1,2,2-=n …………………………8分又()2,0,2O '()0,2,0B()2,2,2--='B O …………………………9分设B O '与平面EF B '所成的角为θ，则93536244,cos sin =---='=n B O θ ………………………11分 即直线B O '与平面EF B '所成角的正弦值为935 ………………………12分 20、解（1）设),(y x M ，由y PD ⊥轴于点D ，可设),0(),,(0y D y x P …………1分由MP DM 2=得)0,(2)0,(0x x x -=∴ )(20x x x -= 即x x 230=……………………………………3分 Θ动点P 在圆922=+y x 上∴ 9220=+y x ……………………………………4分∴ 94922=+y x ，即19422=+y x ……………………………………5分 ∴动点M 的轨迹C 的方程为14922=+x y ………………………………6分 （2）曲线C 在y 轴正半轴上的顶点为()3,0，由已知可设抛物线方程为)0(22>=p py xzΘ 焦点坐标为()3,0，∴32=p即6=p ∴抛物线C '的方程为y x 122= ………………………………………8分直线3+=x y 与抛物线'C 交于B A ,两点，),(),,(2211y x B y x A方程联立：091812)3(123222=+-⇒=-⇒⎩⎨⎧=+=y y y y yx x y …………9分Θ直线3+=x y 经过抛物线焦点)3,0(F∴2461821=+=++=+=p y y BF AF AB ……………………12分21、解：（1）090,1=∠==ADC DC AD Θ ∴2=AC …………1分作ABCF ⊥与点F，则1,1====CD AF AD CF∴2=BC ………………2分 ∴BC AC ⊥ …………………3分⊥PC Θ平面ABCD∴AC PC ⊥ …………4分C PC BC =⋂且⊂BC 平面PBC ，⊂PC 平面PBC∴⊥AC 平面PBC …………………………5分⊂AC Θ平面EAC ∴平面⊥EAC 平面PBC ………………6分（2）由（1）可以CB 为x 轴，CA 为y 轴，CP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图E Θ是PB 中点 ∴)1,0,22(E )0,2,0(=CA )1,0,22(=CE 设平面EAC 的法向量为),,(z y x m =则⎪⎩⎪⎨⎧=+=0222z x y 取2=x ，则2,0-==z y )2,0,2(-=m …………8分 由（1）知平面PAC 的法向量为)0,0,2(=CB …………………………9分362622,cos =⋅=CB m ………………………………11分 ∴二面角E AC P --的余弦值为36………………………………12分另解：可证PCE ∠为二面角E AC P --的平面角，求出便可22、解：（1）由已知得，点P 到点()021，-F 与()022，F 的距离之和等于32且2232>，所以动点P 的轨迹是以21F F ，为焦点的椭圆 ……………2分设椭圆的标准方程为()012222>>=+b a by a x则222,322==c a 即2,3==c a 12=b动点P 的轨迹C 的方程为1322=+y x …………………4分 （2）设直线l 的方程为n my x +=，原点O 到直线l 的距离为23，即2312=+mn 化简得)1(3422m n +=，即)1(4322m n +=…………………………5分将直线l 与椭圆C 方程联立得⎩⎨⎧=++=3322y x nmy x化简得()0323222=-+++n mny y m0)9(32>+=m………………………… 6分 ………………………… 8分将)1(4322m n +=代入得3913222+++=m m m AB391432321222+++==∴∆m m m AB S OAB………………………… 9分 令32+=m t 3,≥∴∈t R m Θ34)611(1243141243624322+--=++-=+-⋅=∆t t t t t t S OAB ……… 10分 当611=t ，即3,62==m t 时，OAB S ∆最大 ， OAB S ∆的最大值为23……………………12分。