21.1二次根式精品PPT课件
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二次根式的ppt课件
将二次根式化简成最简二 次根式，即根号内不含能 开方的因数或因式。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
九年级数学21.1.1二次根式课件
1.假设a5 2b3 =0，那么ab 2 =_____.
2.a.b为实数，且满足 a2b112b1
求出a及a+b 的值吗？
3 、 |1若 9 a |9 a 5 20 a ， 00 a 1 求 9 2 的 9 . 5
〔1〕二次根式的概念 〔2〕根号内字母的取值范围 〔3〕二次根式的非负性
隋堂练习 1
1 x1 2 244x 3 5x
x≥1
x≤6
〔3〕-5x≥0 ∴x≤0
这会有 意义吗？
即当x≤0时， 5x在实数范围内有意义.
当x为怎样的实数时，以下各式
有意义？
1
x≥3
x36xx≤6
∴3≤x≤6
21xx1
x≥1 x≤1
∴x=1
3 x2 2
4 x 1
x为任何实数.
x为任何实数.
b-3
2的圆形喷水池，
它的半径为
2 m〔 取3.14〕.
4、关系式中 h 5t2，用含有h的式子
表示t，那么t为 h
.
5
新授:
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2500 b 3
2
h 5
表示一些正数的算术平方根．
二次根式的定义：
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
a
被开方数 二次根号
注意：a可以是数,也可以是式子.
说一说:
以下各式是二次根式吗?
(1) 32, (2)6,(3) 12,
(4)-mm0, (5) xy， 6 6-x, (7) a2 1 ,(8)3 5,9 x2 8
在实数范围内,负数没有平方根.
二次根式有意义的条件
当a是怎样的实数时，以下二次根式有意义？
2019年【精品课件】21.1二次根式精品教育.ppt
• （1）二次根式的概念 • （2）根号内字母的取值范围 • （3）二次根式的性质
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a2 =∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a≤0)
归纳
形 如5，a, a b, ab, s , x2 , 3, a (a≥ 0 )
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用 基本 运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘 、除 、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母 连接 起 来 的 式 子 ，
3、已知 1有意义,那A(a, a )在 第二象限.
a
4、2+√3-x的最小值为＿2＿，此时x的值为＿＿3。
已知 ：a b 6与 a b 8 互为相反数， 求： a,b的值。
探究
2 2 2
2
4 4
2
17 17
1 3
2
1 3
练习
计算： ( 10 )2 (3 3)2 解： ( 10 )2 (3 3)2
10 (3)2 ( 3)2 10 27 17
探究
22 2
02 0
0.12 0.1
2 2 2 3 3
一般地，根据算术平方根的意义，
a2 a a (a≥0)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
说一说:
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a2 =∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a≤0)
归纳
形 如5，a, a b, ab, s , x2 , 3, a (a≥ 0 )
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用 基本 运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘 、除 、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母 连接 起 来 的 式 子 ，
3、已知 1有意义,那A(a, a )在 第二象限.
a
4、2+√3-x的最小值为＿2＿，此时x的值为＿＿3。
已知 ：a b 6与 a b 8 互为相反数， 求： a,b的值。
探究
2 2 2
2
4 4
2
17 17
1 3
2
1 3
练习
计算： ( 10 )2 (3 3)2 解： ( 10 )2 (3 3)2
10 (3)2 ( 3)2 10 27 17
探究
22 2
02 0
0.12 0.1
2 2 2 3 3
一般地，根据算术平方根的意义，
a2 a a (a≥0)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
说一说:
数学：21.1《二次根式》课件(人教版九年级上)
“往事依依一梦间，流涟万事且呢喃。平和地俊千般醉，就有芦溪落沙潭。”每当我和老伴回到故乡福建省平和县霞寨镇钟腾村横路下组去，我都会绕道到芦溪镇双峰村落沙潭组去，去看看我的老 朋友、好朋友叶顺成和叶雄坤，这其中自然也就少不了:“举杯邀明月，一醉叙芳心”了。
而可惜的是，由于今年的特殊情况也构成了特殊时期，叶顺成却“只躲深山中，举笔练书法。忘了老朋友，只作傻书童。”我惦记着这个:“金沙落下金满天，碧潭生辉潭织锦”的落沙潭，也许，远 栖在乡间别墅的叶顺成、叶雄坤两兄弟，你们都还好吗？也许这场疫情很快就要过去了，你们也应该各自回到厦门和漳州去了吧，告别那可爱的故乡——落沙潭，去金沙落下，去碧潭织锦了吧！家乡故 然可爱，但“外面江ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ万里长，鹰飞雁击更迷人”呀！
福建省平和县的霞寨镇与芦溪镇，山水相连，唇齿相依，以前都是被人誉为“山高皇帝远”的地方，但自然风光却是十分的旖旎，风景这边独好，自然也就地灵人杰，人才倍出的。av女优
而这个落沙潭组，也蕴育出不少英才，如叶顺成、叶雄坤等人。这两位先生都是我很好的朋友，都是经济成功人士，叶顺成的网名昵称叫淡定哥，他打拼创业的经历，曾经被我写成三篇散文，分别 为《淡定哥》、《淡定哥的爱情故事》、《再，实则应该是一篇报告文学，是由大江山时代的湖北武戈老 师编辑的，也是我第一篇获《江山文学》散文精品的文章。
而可惜的是，由于今年的特殊情况也构成了特殊时期，叶顺成却“只躲深山中，举笔练书法。忘了老朋友，只作傻书童。”我惦记着这个:“金沙落下金满天，碧潭生辉潭织锦”的落沙潭，也许，远 栖在乡间别墅的叶顺成、叶雄坤两兄弟，你们都还好吗？也许这场疫情很快就要过去了，你们也应该各自回到厦门和漳州去了吧，告别那可爱的故乡——落沙潭，去金沙落下，去碧潭织锦了吧！家乡故 然可爱，但“外面江ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ万里长，鹰飞雁击更迷人”呀！
福建省平和县的霞寨镇与芦溪镇，山水相连，唇齿相依，以前都是被人誉为“山高皇帝远”的地方，但自然风光却是十分的旖旎，风景这边独好，自然也就地灵人杰，人才倍出的。av女优
而这个落沙潭组，也蕴育出不少英才，如叶顺成、叶雄坤等人。这两位先生都是我很好的朋友，都是经济成功人士，叶顺成的网名昵称叫淡定哥，他打拼创业的经历，曾经被我写成三篇散文，分别 为《淡定哥》、《淡定哥的爱情故事》、《再，实则应该是一篇报告文学，是由大江山时代的湖北武戈老 师编辑的，也是我第一篇获《江山文学》散文精品的文章。
九年级数学上册第21章二次根式21.1二次根式ppt作业课件新版华东师大版
解：π－3.14
9．(绍兴期中)若实数 x 满足|x－3|＋ x2＋8x＋16＝7，化简 2|x＋4|
－ （2x－6）2的结果是( A )
A．4x＋2
B．－4x－2
C．－2
D．2
10．已知实数 x，y 满足|x－3|＋x y－8＝0，则以 x，y 的值为两边长
的等腰三角形的周长是( C )
A．14 或 19
19．(汶上县期中)在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有 用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较 明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图 形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样 的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
【阅读理解】 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：( 1－3x)2－|1－x|
解：隐含条件 1－3x≥0，解得 x≤13，∴1－x＞0. ∴原式＝(1－3x)－(1－x)＝1－3x－1＋x＝－2x. 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简： （x－3）2－( 2－x)2； 【类比迁移】 (2)实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，化简 a2＋ （a＋b）2－|b－a|；
A. （－3）2＝－3 B．－ 32＝－3 C. （±3）2＝±3 D. 32＝±3
6. （2a－1）2＝1－2a，则( B )
A．a＜12 B．a≤12
C．a＞12 D．a≥12
7．当 m＜0 时，化简 mm2的结果是__－__1____．
8．化简： (1) （－412）2；
解：412
(2) （3.14－π）2.
B．14
C．19
二次根式ppt课件
02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。
九年级数学上册 第21章 二次根式 21.1 二次根式 1 二次根式课件
3
2
⑦ x ＋2x＋3.
A．2
B．3 C．4
D．5
2021/12/11
第四页，共十四页。
C
)
12
；⑥ 1－x；
3
第1课时(kèshí)
二次根式
[解析]②中的被开方数－3 小于零，故 －3不是二次根式；④中
根指数不为 2，不是二次根式；⑥中当 x＞1 时， 1－x无意义，
不是二次根式．二次根式有①③⑤⑦，共 4 个．
a≥0
在 a中，a 的取值必须满足________，
即二次根式的被开方数必须
是非负数．
[点拨] 若 a和 －a都有意义，则 a＝0.
2021/12/11
第十一页，共十四页。
第1课时(kèshí) 二次根式
3a－1
当 a 是怎样的实数时，
在实数范围内有意义？
a－3
1
解：由题意，得 3a－1≥0，解得 a≥ .
“三注意”：(1)对于单个二次根式或多个二次根式，可以列不等式(组
)，求得相应的未知字母的取值范围；
(2)若被形数中含分式、零指数幂、负整数指数幂等，则未知字母的取
值还应该使它们都有意义；
(3)实际问题中除了要使二次根式有意义外，还必须使实际问题有意义．
2021/12/11
第九页，共十四页。
第1课时(kèshí) 二次根式
2．在理解概念的基础上，能够探究出二次根式有意义的条
件，并能求出被开方数所含字母的取值范围．
2021/12/11
第三页，共十四页。
第1课时(kèshí)
二次根式
目标突破
目标(mùbiāo)一 能识别二次根
式
例 1 教材补充例题下列各式中，二次根式的个数为(
2
⑦ x ＋2x＋3.
A．2
B．3 C．4
D．5
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C
)
12
；⑥ 1－x；
3
第1课时(kèshí)
二次根式
[解析]②中的被开方数－3 小于零，故 －3不是二次根式；④中
根指数不为 2，不是二次根式；⑥中当 x＞1 时， 1－x无意义，
不是二次根式．二次根式有①③⑤⑦，共 4 个．
a≥0
在 a中，a 的取值必须满足________，
即二次根式的被开方数必须
是非负数．
[点拨] 若 a和 －a都有意义，则 a＝0.
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第十一页，共十四页。
第1课时(kèshí) 二次根式
3a－1
当 a 是怎样的实数时，
在实数范围内有意义？
a－3
1
解：由题意，得 3a－1≥0，解得 a≥ .
“三注意”：(1)对于单个二次根式或多个二次根式，可以列不等式(组
)，求得相应的未知字母的取值范围；
(2)若被形数中含分式、零指数幂、负整数指数幂等，则未知字母的取
值还应该使它们都有意义；
(3)实际问题中除了要使二次根式有意义外，还必须使实际问题有意义．
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第九页，共十四页。
第1课时(kèshí) 二次根式
2．在理解概念的基础上，能够探究出二次根式有意义的条
件，并能求出被开方数所含字母的取值范围．
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第三页，共十四页。
第1课时(kèshí)
二次根式
目标突破
目标(mùbiāo)一 能识别二次根
式
例 1 教材补充例题下列各式中，二次根式的个数为(
华东师大版九年级数学上册21.1二次根式课件 (共54张PPT)
拓展练习 深化新知
1 1.当 x 是多少时， 2 x 3 在实数范 x +1 围内有意义？ x 3 且x 1 2 x 2.已知 y 2 x x 2 5 ，求 的 y 2
值.
5
3.若 a 1 b 1 0 ，求 a 值.
0
2009
b
2009
2
2
2
-5 3
2
16
.
-30
做一做
填空：
0.01 ； 2 22 = _______ ；0.012 = _______ 1 2 2 2 1 2 10 ； = _______; 3 10 = _______ 3 3 2 3 2 0 ； = _______. 0 = _______ 7 7
解：二次根式有：
2， x x 0 , 0, 2, x y x 0, y 0 ；
不是二次根式的有：
3
1 4 1 3， , , 2, . x x y
交流归纳
从形式上看，一个代数式是二次根式必
须具备以下两个条件： （1）必须有二次根号； （2）被开方数不能小于0.
例2：x 取何值时，下列二次根式有意义？
a +1 是不是二次根式？
的式子叫做
不是
a +1 呢?
是
议一议
二次根式 a 1 表示什么意义？ 此算术平方根的被开方数是什么？ a 1 被开方数必须满足什么条件时二次根式才 有意义？ 被开方数大于或等于零.
其中字母 a 需满足什么条件？为什么？
a -1
总结
二次根式根号内字母的取值范围必须满 足被开方数大于或等于零.
a0 . 2. a 2 a成立的条件是_______
数学九年级华师大上册第二十一章二次根式教学课件
意义？
分析：要使二次根式有意义，被开方数必须 是非负数.
解: 被开方数 x-1≥0,即x≥1.
所以，当x≥1时，二次根式 x 1
有意义.
x是怎样的数时,下列各式在实数范围 内有意义?
(1) x 3; (2) 2 4 x ; (3) 5x ; (4) 2
x 1
计算： (1) 9 3 (2) 64 8
(3) 4 2 93
(4) (6)2 6
性质2：
a2
| a |
a(a 0), a(a 0).
课堂小结
通过本节课的学习，对本章的知识你 有哪些新的认识和体会？
获得哪些解决二次根式问题的方法？ 你还有哪些问题？请与同伴交流.
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
21.2 二次根式 的乘除
能猜想出 a b 的结论是什么？说
说你的理由。
a b a b(a 0,b 0)
积的算术平方根:
积的算术平方根，等于各因式算术 平方根的积.
利用这个性质 可以进行二次
根式的化简
➢例2 化简 12，使被开方数不含完全平方的
因数.
解： 12= 22 3
= 22 3
=2 3
这里，被开方数12=22×3，含有完全平方 的因数22，通常可以根据积的算术平方根的
练一 1.下列计算正确的是（ B ） 练
演练
2.计算：
练一 练
(2)( 2 1)2 ( 2)2 2 2 1
（3)
22 21 32 2
回顾反思
回忆一下这节课我们学了哪些内容？
1.什么是同类二次根式； 2.二次根式的加减法的关键就是合 并同类二次根式； 3. 以前学过的运算律和运算公式在 二次根式的四则运算中依然适用．
华东师大版数学九年级上册21.1二次根式课件(共14张PPT)
4、x取何值时,下列根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2 x为全体实数(4) 1 x
(5) x3 x 0
x0
解 :求(1)二次x 根1式 中0 字母x的取1 值范围的基本 依(①2据)被是开什3方x么数呢0不？小于x零 0；
(3)②分无母论中x为有何字实母数时,，4x要2 保0证分x为母全不体为实零数。.
2、二次根式的特点：
1.表示a的算术平方根
2.a可以是数,也可以是式.
3.形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)5. 既可表示开方运算,也可表 Nhomakorabea运算的结果.
3、二次根式有意义的条件。 a≥0
作业
P5 1、3、4
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什 么特点：
1、要做一个两条直角边的长分别是7cm和4cm的三
角尺，斜边的长应为 65 cm。
2、面积为S的正方形的边长为 s 。
3、要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，它的 半径为 2 m（π取3.14）。
4、一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时
间t（单位：s）与开始落下时的高度h（单位：m）
二次根式的特点： 1.表示a的算术平方根
2.a可以是数,也可以是式.
3.形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
5. 既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
二次根式有意义的条件。 a≥0
反馈达标
3、当X是怎样的实数时，x 2 在实数范 围内有意义？ 解：由X-2≥0，得
X≥2. 当X≥2时，x 2 在实数范围内有意义。
满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示，
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用 a (a≥0)表示。
平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根是0； 负数没有平方根。
1、16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
只有非负数才有平方根和算术平方根。
复习
1、如果 x2 4，那么 x ±2 ；
练习
计算： ( 10 )2 (3 3)2 解： ( 10 )2 (3 3)2
10 (3)2 ( 3)2 10 27 17
探究
22 2 02 0
0.12 0.1
(5)2
2 2
2
3 3
=5
一般地，根据算术平方根的意义，
a2 a a (a≥0)
-a (a≤0)
123 456 x
BC AB2 AC 2 32 22 13
答：BC长为 13 .
3. 当a是怎样的实数时，下列各式在实数 范围内有意义？
(1) a 1
解：由a-1≥0，得 a≥1
当a 1时，a 1在实数范围内有意义.
(2) 2a 3
解：由2a+3≥0，得 a 3 2
当a 3 时，2a 3在实数范围内有意义. 2
⑴
1 2
（3） a2 2a 2
（5）
m 32
， ⑵ 16
，（4） x
x0
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1
3 a 32
2 1
1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
想一想
➢在上面的问题中，结果分别是 65, S , 2, h
它们都是表示一些正数算术平方根.
5
➢我们知道一个正数有两个平方根；0的平方根为0； 在实数范围内，负数没有平方根.因此，开平方时， 被开数只能是正数和0.
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式 子叫做二次根式，“ ”称为二次根式.
例题解析 例1 当x是怎样的实数时， 数范围内有意义？
2、如果 x2 3，那么 x 3 ； 3、如果 x2 a(a 0) ，
那么x a 。
50米 ?米
a米
塔座所形成的这个直角三角形的
斜边长为____a_2___2_5__0_0__米。
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
S
则半径为____________.
如图所示的值表示正方形的面
积，则正方形的边长是 b 3
3.要使下列式子有意义，x需要满足什么 条件？
(1) 3 x (2) x 3 8 x
(3) 1
2x 5
(4) x 2 2 x
(5) x2 2x 1
P3 练习
练习
1. 要画一个面积为18cm2的矩形，使它的边 长之比为为2：3，它的边长应取多少？
解：设其宽为2x，长为3x
2x 3x 18 6x2 18
探究
2 2 2
2
4 4
2
17 17
1 3
2
1
3
2 0 0
2是2的算术平方根，根据算 术平方根的意义， 2是一个平方等于 2的非负数，因此有（ 2）2 2
归纳
一般地，
( a )2 a（a≥0）
例题讲解
计算：
(1)( 1.5)2
(2)(2 5)2
解：(1)( 1.5)2 1.5 (2)(2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 12 , (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
21.1二次根式
a (a≥0)
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
0的平方根是0
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 一般地，若一个正数的平方等于a，则 这个正数就叫做a的算术平方根。
a的算术平方根是 a 0的算术平方根是0
x2 3 解得x1 3, x2 3
所以长方形宽为2 3，长为3 3.
练习
2. 如图，在平面直角坐标系中，A（2，3）、B（5，
3）、C（2，5）是三角形的三个顶点，求BC的长.
解：由图示知
y
6 5
C(2,5)
AC=5－3=2 AB=5－2=3 根据勾股定理
4
3 2
A(2,3)
B(5,3)
1
解： x 2 0，得
x2
x 2 在实
当x 2时，x 2在实数范围内有意义。
当x是怎样的实数时，x2 在实数范围内有意义？ x3 ?
x为任意实数 x为大于等于零的实数
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2500
s
b3
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫被开方数
本课学习目标：
• （1）二次根式的概念 • （2）根号内字母的取值范围 • （3）二次根式的性质
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）如图，要做一个两条直角边的长
分别是7cm和4cm的三角尺，斜边的长
7cm
应为 65 cm;
（2）面积为S的正方形的边长为 s ； 4cm
（3）要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池,它的半径为
____2__ m(π取3.14);
(4)一个物体从高处自由下落,落到地面所用的时间为t， （单位：s）与开始下落的高度h（单位：米）满足关系 h=5t2。如果用含有h的式子表示t, 则t=____h 5 __.
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x
(5) x3
x0
1 (6) x2
x0
x0
1.若 a 2 2b 7 =0，则 a 2b =__3___。
2 1 2b 1
你能求出a+b 的值吗？ 3、已知 1 有意义,那A(a, a )在 第二象限.
a
4、2+√3-x的最小值为＿2＿，此时x的值为＿＿3。
平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根是0； 负数没有平方根。
1、16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
只有非负数才有平方根和算术平方根。
复习
1、如果 x2 4，那么 x ±2 ；
练习
计算： ( 10 )2 (3 3)2 解： ( 10 )2 (3 3)2
10 (3)2 ( 3)2 10 27 17
探究
22 2 02 0
0.12 0.1
(5)2
2 2
2
3 3
=5
一般地，根据算术平方根的意义，
a2 a a (a≥0)
-a (a≤0)
123 456 x
BC AB2 AC 2 32 22 13
答：BC长为 13 .
3. 当a是怎样的实数时，下列各式在实数 范围内有意义？
(1) a 1
解：由a-1≥0，得 a≥1
当a 1时，a 1在实数范围内有意义.
(2) 2a 3
解：由2a+3≥0，得 a 3 2
当a 3 时，2a 3在实数范围内有意义. 2
⑴
1 2
（3） a2 2a 2
（5）
m 32
， ⑵ 16
，（4） x
x0
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1
3 a 32
2 1
1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
想一想
➢在上面的问题中，结果分别是 65, S , 2, h
它们都是表示一些正数算术平方根.
5
➢我们知道一个正数有两个平方根；0的平方根为0； 在实数范围内，负数没有平方根.因此，开平方时， 被开数只能是正数和0.
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式 子叫做二次根式，“ ”称为二次根式.
例题解析 例1 当x是怎样的实数时， 数范围内有意义？
2、如果 x2 3，那么 x 3 ； 3、如果 x2 a(a 0) ，
那么x a 。
50米 ?米
a米
塔座所形成的这个直角三角形的
斜边长为____a_2___2_5__0_0__米。
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
S
则半径为____________.
如图所示的值表示正方形的面
积，则正方形的边长是 b 3
3.要使下列式子有意义，x需要满足什么 条件？
(1) 3 x (2) x 3 8 x
(3) 1
2x 5
(4) x 2 2 x
(5) x2 2x 1
P3 练习
练习
1. 要画一个面积为18cm2的矩形，使它的边 长之比为为2：3，它的边长应取多少？
解：设其宽为2x，长为3x
2x 3x 18 6x2 18
探究
2 2 2
2
4 4
2
17 17
1 3
2
1
3
2 0 0
2是2的算术平方根，根据算 术平方根的意义， 2是一个平方等于 2的非负数，因此有（ 2）2 2
归纳
一般地，
( a )2 a（a≥0）
例题讲解
计算：
(1)( 1.5)2
(2)(2 5)2
解：(1)( 1.5)2 1.5 (2)(2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 12 , (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
21.1二次根式
a (a≥0)
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
0的平方根是0
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 一般地，若一个正数的平方等于a，则 这个正数就叫做a的算术平方根。
a的算术平方根是 a 0的算术平方根是0
x2 3 解得x1 3, x2 3
所以长方形宽为2 3，长为3 3.
练习
2. 如图，在平面直角坐标系中，A（2，3）、B（5，
3）、C（2，5）是三角形的三个顶点，求BC的长.
解：由图示知
y
6 5
C(2,5)
AC=5－3=2 AB=5－2=3 根据勾股定理
4
3 2
A(2,3)
B(5,3)
1
解： x 2 0，得
x2
x 2 在实
当x 2时，x 2在实数范围内有意义。
当x是怎样的实数时，x2 在实数范围内有意义？ x3 ?
x为任意实数 x为大于等于零的实数
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2500
s
b3
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫被开方数
本课学习目标：
• （1）二次根式的概念 • （2）根号内字母的取值范围 • （3）二次根式的性质
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）如图，要做一个两条直角边的长
分别是7cm和4cm的三角尺，斜边的长
7cm
应为 65 cm;
（2）面积为S的正方形的边长为 s ； 4cm
（3）要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池,它的半径为
____2__ m(π取3.14);
(4)一个物体从高处自由下落,落到地面所用的时间为t， （单位：s）与开始下落的高度h（单位：米）满足关系 h=5t2。如果用含有h的式子表示t, 则t=____h 5 __.
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x
(5) x3
x0
1 (6) x2
x0
x0
1.若 a 2 2b 7 =0，则 a 2b =__3___。
2 1 2b 1
你能求出a+b 的值吗？ 3、已知 1 有意义,那A(a, a )在 第二象限.
a
4、2+√3-x的最小值为＿2＿，此时x的值为＿＿3。