双曲线的简单几何性质(全)
(完整)双曲线的方程及其几何性质
双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质。
1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点,两焦点间的距离｜F 1F 2|是焦距，用2c 表示，常数用2a 表示. (1）若｜MF 1｜-|MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1|—｜MF 2｜=—2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线.(3)若2a =2c 时,动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线。
（4）若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在.2。
双曲线的标准方程：22a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0）表示焦点在x 轴上的双曲线;22a y -22bx =1(a ＞0，b ＞0)表示焦点在y 轴上的双曲线。
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上。
4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。
（1）通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x （或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式∆，则有：⇔>∆0直线与双曲线相交于两个点；⇔=∆0直线与双曲线相交于一个点；⇔<∆0 直线与双曲线无交点．（2）若得到关于x (或y ）的一元二次方程,则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．(3)直线l 被双曲线截得的弦长2212))(1(x x k AB -+=或2212))(11(y y k-+，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标,且212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出．二、例题选讲例1、中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为 ( ）A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 2＝2 C ．x 2－y 2＝错误! D ．x 2－y 2＝错误!解析：由题意，设双曲线方程为x 2a2－错误!＝1(a >0)，则c ＝错误!a ，渐近线y ＝x ，∴错误!＝错误!，∴a 2＝2。
2.3.2-双曲线的简单几何性质-(1-3)
y
图形
. .B2
F1 A1O A2 F2
x
F1(-c,0) B1 F2(c,0)
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c)
x
F1(0,-c)
方程
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0 )
范围 x ≥ a 或 x ≤ a，y R y ≥ a 或 y ≤ a，x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
关于x轴、y轴、原点对称
顶点
离心率 渐近线
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
ybx a
第20页，共59页。
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
ya x b
课外思考:
1.双曲线 x2 y2 1 的两条渐近线的夹角的正切
A1
动画演示
y N(x,y’)
Q
b B2
M(x,y)
A2
o a
x
它与yyb x的x位置的变化趋势 :
a
（3）利画用 出慢渐 双慢近 曲靠线 线近可 的以 草较图准确的
B1
ybx a
ybx a
第5页，共59页。
5、离心率
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做 a
双曲线的 离心率。
（2）e的范围： c>a>0 e >1
x2 y 2 m(m 0)
第4页，共59页。
y
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
4、渐近线
双曲线在第一象限内部分的方程为
2.2.2双曲线的简单几何性质
b y=±－ ax
a y=±－ bx
半轴长
离心率 a,b,c的关系
半实轴长为a, 半虚轴长为b. c e a c2=b2+a2
例3 求双曲线9y2–16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、 离心率及渐进线方程.
例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋 转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口 半径为25m，高为55m，试选择适当的坐标系，求出此双曲线 的方程。
4.渐近线:
b 0 ，即y=±－ ax
y
B2 A1
O
当a=b时，双曲线叫做等轴双曲线。 5.离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比 称为双曲线的离心率，
c 用e表示，即 e a
a
B1
A2
b
x
[1]离心率的取值范围：e>1
[2]离心率对双曲线形状的影响：
渐近线与双曲 线永不相交
e越大，c就越大，从而b就越大，双曲线就开口越阔。
(3)焦点为(0, 6)，(0, -6)，且过点(0, 4)
2.2.2 椭圆的简单几何性质
x y - 2 =1 2 a b
1.范围： 两直线x=±a的外侧 2.对称性：
A1
O
2
2
y
B2
a
B1
A2
b
x
双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形。坐 标轴是它的对称轴，坐标原点是它的对称中心。 双曲线的对称中心叫双曲线的中心。 3.顶点: A1(-a，0)，A2(a，0)叫做双曲线的顶点。 线段A1A2叫做双曲线的实轴，ห้องสมุดไป่ตู้B1B2 叫做双曲线 的虚轴。它们的长分别为2a和2b。
F(±c，0)
双曲线的简单几何性质课件
1(λ≠0，－b2<λ<a2).
x2 y2
x2 y2
(4) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 具 有 相 同 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2 － b2 ＝
λ(λ≠0).
(5)渐近线为 ax±by＝0 的双曲线方程可设为 a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)以直线 2x±3y＝0 为渐近线，过点(1，2)；
b
b
b2
程求解，另一种方法是消去 c 转化成含a 的方程，求出a 后利用 e＝ 1＋a2 求
离心率．
2．求离心率的范围技巧 (1)根据条件建立 a，b，c 的不等式． (2)通过解不等式得ca 或ba 的范围，求得离心率的范围．
(2)双曲线离心率对曲线形状有何影响？ x2 y2
提示：以双曲线a2 －b2 ＝1(a＞0，b＞0)为例．
c
a2＋b2
b2
b
b
e＝a ＝ a ＝ 1＋a2 ，故当a 的值越大，渐近线 y＝a x 的斜率越大，双
曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心
率越大，它的开口就越大．
巧设双曲线方程的方法与技巧
x2 y2 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
y2 x2 (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
x2
y2
x2
y2
(3) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 共 焦 点 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2－λ － b2＋λ ＝
B．y＝±34 x
3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且(4)＝1中的1(5)(6)e ＝2(7)注意：且λ（2）与椭圆2a +2b ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-2a -λ-2b ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆，b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的（2）设A(x 1；对于y 2【变1变4】7、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e ∈()01，，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1来解决。
双曲线的简单几何性质 课件
12 分
双曲线的离心率问题主要有两种，一是求离心率， 二是求离心率的取值范围．求圆锥曲线的离心率的 关键是探寻a与c的关系．在探寻过程中，要充分挖 掘各种隐含条件，结合图形与圆锥曲线的定义，并 要综合运用各种知识，只有这样才能做到“心有灵 犀一‘点’通”，找到最优解法，提高解题速度．
由双曲线的几何性质求标准方程
●
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)实轴长为 8，离心率为54；
(2)已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2 在坐标轴上，
实轴长和虚轴长相等，且过点 P(4，－ 10)；
(3)渐近线方程为 y＝±12x，且经过点 A(2，－3)．
思路点拨： (1)(2)可用待定系数法求出a，b，c后求方程；
思路点拨： 双曲线方程 ―化 变―简 形→ 双曲线的标准方程
―→ a，b，c的值 ―→ 结果
解析： 将方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程4y22－3x22＝1， 由此可知，实半轴长 a＝4，虚半轴长 b＝3；
c＝ a2＋b2＝ 42＋32＝5，焦点的坐标是(0，－5)，(0,5)， 渐近线方程为 x＝±34y，即 y＝±43x.
若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为ax22－by22＝
1(a>0双曲线上，∴a42－b92＝1.
②
由①②联立，无解．
若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为ay22－bx22＝
1(a>0，b>0)，
则ab＝12.
③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴a92－b42＝1.
求双曲线的离心率
点 P 是双曲线 C1：ax22－by22＝1(a>0，b>0)和圆 C2： x2＋y2＝a2＋b2 的一个交点，且有 2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中 F1，F2 是双曲线 C1 的左右两个焦点，求双曲线 C1 的离心率．
双曲线的简单几何性质课件
e c (e 1) a
y b x a
例3：
x2 y2 1 16 9
1、双曲线 9x2-16y2=144的实半轴长
等于 4 虚半轴长等于 3 顶点坐
标是 4,0 渐近线方是y
3 4
x (或 x
4
y
.3
0)
5
离心率e= 4 。
2、离充心要率e=条件2 是。双（曲用线“为充等分轴条双件曲”线“的必要 条件”“充要条件”填空。）
双曲线定义的简单几何性质
定义
图象
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1
o
F2
x
x
F1
x2 a2
y2 b2
1
x≤－a或x≥a
y2 a2
x2 b2
1
y≤－a或y≥a
关于坐标轴、原点对称（实轴、虚轴、中心）
(－a, 0) (a, 0)
法二 由双曲线的渐近线方程为 y＝±12x， 可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即 λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y82－3x22 ＝1.
5 离心率
与椭圆类似,双曲线的焦距与实轴长的比 c , a
叫做双曲线的离心率.因为c a 0,所以双
2 2
y2 b2
1
渐进线方程
k
b a
B2
b
k
y
(a,b)
b a
yb x a
可由双曲线
2.2.2双曲线的简单几何性质(含答案)
D．y＝± 4 x
3．双曲线与椭圆 4x2＋y2＝1 有相同的焦点，它的一条渐近线方程为 y＝ 2x，则双曲
线的方程为( )
A．2x2－4y2＝1
B．2x2－4y2＝2
C．2y2－4x2＝1
D．2y2－4x2＝3
x2 y2
4．设双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3，则双曲线的渐近线方程
2.2.2 双曲线的简单几何性质
课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌 握直线与双曲线的位置关系．
1．双曲线的几何性质 标准方程
x2 y2
a2－b2＝1 (a>0，b>0)
y2 x2
a2－b2＝1 (a>0，b>0)
图形
焦点
焦距
范围
性 对称性
质 顶点
轴长
2 ，又由渐近线方程为 y＝ 2x，得b＝ 2，即 a2＝2b2，
( )3
1
1
又由 2 2＝a2＋b2，得 a2＝2，b2＝4，又由于焦点在 y 轴上，因此双曲线的方程为
2y2－4x2＝1.故选 C.] 4．C [由题意知，2b＝2,2c＝2 3，则 b＝1，c＝ 3，a＝ 2；双曲线的渐近线方程为
x2 y2
9．与双曲线 9 －16＝1 有共同的渐近线，并且经过点(－3，2 3)的双曲线方程为 __________．
三、解答题
10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
( ) 15 ，3 (1)经过点 4 ，且一条渐近线为 4x＋3y＝0；
π
(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为3.
y2 11．设双曲线 x2－ 2 ＝1 上两点 A、B，AB 中点 M(1，2)，求直线 AB 的方程．
双曲线的简单几何性质
(2)∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同， c 2 ∴c＝4.∵e＝ ＝2，∴a＝2，∴b ＝12， a ∴b＝2 3. ∵焦点在 x 轴上，∴焦点坐标为(± 4,0)， b 渐近线方程为 y＝± x，即 y＝± 3x，化 a 为一般式为 3x± y＝0.
【答案】 (1)D (2)(± 4,0) 3x± y＝0
双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程也是从“定形”“定
式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是
指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况
下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”
设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定
义法或待定系数法确定a，b的值．
根据下列条件，求双曲线的标准方程． 5 (1)虚轴长为 12，离心率为 ； 4 3 (2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y＝± x； 2 (3)过点(2，－2)且与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近 线．
【规律方法】 若不能明确双曲线的焦点在哪 条坐标轴上，可设双曲线方程为： mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
双曲线的几何性质
(1)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六
点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)、“四 线”(两条对称轴、两条渐近线)、“两形”(中心、 焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和 两焦点构成的三角形)来研究它们之间的相互联系， 明确a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，简 化解题过程．
变式练习
1．(2010 年高考安徽卷)双曲线方程为 x2－2y2＝1， 则它的右焦点坐标为( C ) 2 5 A. B. ，0 2 2 ，0 6 C. D．( 3，0) ，0 2
2．(教材习题改编)已知双曲线的离心率为 2， 焦点是(－4,0)、(4,0)，则双曲线的方程为( x 2 y2 A. － ＝1 4 12 x y C. － ＝1 10 6
双曲线的简单几何性质
01
课堂小结
渐近线方程
A2
B2
B1
a
b
这时双曲线方程为x2－y2＝a2，渐近线方程为x＝±y，它们互相垂直，并
A
D
B
C
且平分双曲线实轴和虚轴所成的角．
a＝b时，实轴和虚轴等长，这样的
双曲线叫做等轴双曲线.
4．渐近线
新课讲授
渐近线
利用渐近线画双曲线草图 画出双曲线的渐近线； 画出双曲线的顶点、第一象限内双曲 线的大致图象； 利用双曲线的对称性画出完整双曲线.
双曲线
202X
的简单几何性质(一)
两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
1. 双曲线的定义：
我们把平面内与两个定点F1、F2的 距离的差的绝对值等于常数(小于| F1F2 |)的点的轨迹叫做双曲线.
复习引入
202X
这两个定点叫做双曲线的焦点.
新课讲授
2. 双曲线的标准方程：
x
y
F1
F2
O
坐标轴是双曲线的对称轴．
原点是双曲线的对称中心．
双曲线的对称中心叫做 双曲线的中心．
新课讲授
3．顶点
令y＝0，得x＝±a，∴双曲线和x轴 有两个交点A1(－a, 0)、A2(a, 0) .
令x＝0，得y2＝－b2， 这个方程没有实数根， 则双曲线和y轴无交点.
双曲线和它的对称轴 有两个交点，它们叫做双 曲线的顶点．
渐近线方程.
例题讲解
例1. 求双曲线9y2－16x2＝144的实半 轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程.
01
练习.教科书P53练习第1、2、3题.
02
例题讲解
例2:
例题讲解
《双曲线的简单几何性质》课件
当焦点在$x$轴上时，双曲线的标准 方程为$frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$，此时双曲线 的实轴在$x$轴上，顶点坐标为 $(pm a, 0)$，焦点坐标为$(pm c, 0)$。
当焦点在$y$轴上时，双曲线的标准 方程为$frac{y^2}{b^2} frac{x^2}{a^2} = 1$，此时双曲线 的实轴在$y$轴上，顶点坐标为$(0, pm a)$，焦点坐标为$(0, pm c)$。
其中，定点$F_1$和$F_2$称为双曲线的焦点，距离差称为双曲线的 实轴长，常数$2a$称为实轴长，定点$F_1$和$F_2$之间的距离称为 焦距，记作$2c$。
标准方程
双曲线的标准方程为 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2}
= 1$或$frac{y^2}{b^2} frac{x^2}{a^2} = 1$。
详细描述
双曲线的渐近线是与双曲线无限接近但不会相交的直线，它们的方程为y=±(b/a)x。渐近线的斜率等于b/a，与x 轴的夹角等于arctan(b/a)。当双曲线的焦距逐渐增大或减小时，渐近线将逐渐接近于x轴或y轴。
离心率
总结词
双曲线的离心率是用来描述双曲线形状 和大小的参数，它等于焦距除以半轴长 。
02
双曲线的几何性质
焦点位置
总结词
双曲线的焦点位于x轴上，且距离原点的距离等于半轴长。
详细描述
双曲线有两个焦点，它们位于x轴上，且与原点的距离分别为 a和c，其中a为半短轴长，c为半焦距。根据双曲线的性质， 焦点到原点的距离c满足关系式c²=a²+b²，其中b为半长轴长 。
双曲线的性质
双曲线的性质【要点梳理】要点一、双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质范围22221x x a ax a x a即或≥≥∴≥≤- 双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a.对称性对于双曲线标准方程22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴。
实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。
a叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c c e a a==。
②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1ce a=>。
由c 2=a 2+b 2，可得b a ===b a 决定双曲线的开口大小，b a 越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔。
所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。
③等轴双曲线a b =，所以离心率2=e 。
双曲线的简单几何性质
2.椭圆的图像与性质:
标 准 x2 y2 方 程 a2 b2 1
范围
|x|a,|y|≤b
对称性
顶点
关于X,Y轴, 原点对称
±a,0 , 0,±b
焦点
±c,0
A1 F1
长轴、
短轴 A1A2 ; B1B2
离心率
e c a
Y
B2
o
B1
A2
F2
X
课堂新授
一、研究双曲线
法一:直接设标准方程,运用待定系数法
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
a2 b2 20
则
(3 2)2 22 a2 b2
1
解之得
a b
2 2
12 8
或设
x2 m2
y2 20 m2
1,
∴双曲线方程为 x2 y2 1 12 8
求得m2 12(30舍去)
y2 x2 a2b2 1(a0,b0)
x≥ a,或 x≤ a， y R y≥ a,或 y≤ a， x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 A1 - a,0 ,A2 a,0
离心率 渐近线
e c (e 1) a
y b x a
A1 0,-a ,A2 0,a
e c (e 1) a
顶A 点 1 ( a ,0 )、 是 A 2 (a ,0 )
（2）线段 A 1 A 2 叫双曲线的实轴，长为2a，a为实半轴长；
线段B 1 B 2叫双曲线的虚轴，长为2b，b为虚半轴长 y
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线，即a=b
2.3.2 双曲线的简单几何性质(共3课时)
双曲线的简单几何性质
双曲线标准方程： x2 a2
y2 b2
1
y
双曲线性质：
1、范围： x a 或 x a
2、对称性： 关于x轴，y轴，原点对称.
3、顶点：A1（-a，0），A2（a，0） 线段A1A2叫实轴 . 线段B1B2叫虚轴 .
B2
A1
A2
F1 O
F2
x
实轴长|A1A2|=2a ，虚轴 |B1B2|=2b .
解：原方程可化为 :
y2 42
x2 32
1
y
实半轴长 a 4，虚半轴长 b 3 .
c a2 b2 42 32 5
4
焦点坐标 (0， 5)，(0，5) .
离心率 e c 5 . a4
渐近线方程为:
y
4 3
x
.
-3 O 3
x
-4
应用举例:
例1.求双曲线9y2 – 16x2 =144的实半轴与虚半轴 长,焦点坐标,离心率及渐近线方程,并画出双曲线草图.
4 （2）焦点在 y 轴，焦距是 16， e 4 ;
3 （3）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点；
85
（4）一个焦点是 F1（-6，0）的等轴双曲线.
解：(1) 2a 8, c 5 , a4
a 4, c 5, b2 c2 a2 9. 故所求标准方程为：x2 y2 1.
解：原方程可化为 :
y2 42
x2 32
1
y
实半轴长 a 4，虚半轴长 b 3 .
c a2 b2 42 32 5
4
焦点坐标 (0， 5)，(0，5) .
离心率 e c 5 . a4
渐近线方程为:
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∴
双曲线焦点在
x
轴上,∴设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0),
∴
b4 a3 (3)2
a2
(2
3 b2
)2
解之得
a2
9 4
,∴
1
b2 4
双曲线方程为
x2 9 4
y2 4
1
法二：巧设方程,运用待定系数法. ⑴设双曲线方程为 x2 y2 ( 0) ,
9 16
(3)2 (2 3)2
（3）e的含义：
b c2 a2 (c )2 1 e2 1
a
a
a
当e (1,)时，b (0,),且e增大, b 也增大
a
a
e增大时，渐近线与实轴的夹角增大
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
（4）等轴双曲线的离心率e= ?2
离心率e 2的双曲线是等轴双曲线
(5) e c a
c2 a2 b2
例 2：与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ；
9 16
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)
解:双曲线 x2 y2 1 的渐近线为 y 4 x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 ,
9 16
3
故点 (3, 2 3) 在射线 y 4 x （x≤0）及 x 轴负半轴之间, 3
9
16
1
4
双曲线的方程为 x2 y2 1 94 4
“共渐近线”的双曲线的应用源自与 x2 a2y2 b2
1共渐近线的双曲线系
方程为 x2 a2
y2 b2
(
0，为参数)，
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
b
例题讲解
例1变式 :求双曲线 9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
y2 42
x2 32
1
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3 c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率:
e c 5 a4
渐近线方程: y 4 x 3
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y2 m(m 0)
在a、b、c、e四个参数中，知二可求二
双曲线 y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)的简单几何性质
（1）范围: y a, y a （2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
（3）顶点: (0,-a)、(0,a)
-b
（4）渐近线: y a x
b
（5）离心率: e c a
y
a o bx -a
小结
双 曲
性 质 图象
范围
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
线
x2 y2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a 0,b 0)
xa
或
x a
ya
或
y a
关于 坐标 轴和
(a,0) y b x
a
e c a
原点
(其中
都对 称
(0,a) y a x
c2 a2 b2)
A1
动画演示
y N(x,y’)
Q
b B2
M(x,y)
A2
o a
x
它与yyb x的x位置的变化趋势:
a
（3）利画用出慢渐 双慢近 曲靠线 线近可 的以草较图准确的
B1
ybx a
ybx a
5、离心率
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做 a
双曲线的 离心率。
（2）e的范围： c>a>0 e >1
c2 a2 b2 谁正谁对应a
课堂新授
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
的简单几何性质
1、范围
y
x2 a2
1,即x2
a2
(-x,y)
(x,y)
-a o a
x
x a, x a
2、对称性
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
y
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
4、渐近线
双曲线在第一象限内部 分的方程为
（1） y
b
双曲线
x2
x
aa
2
22
(xby22
1(a
0)
0, b
0)
a的渐近线为 y b x 它与y b x的位置关a系:
（2）在等 y(ma轴ba双 0x)的 的曲渐 下线近 方 x2 线 y为2 m
温故知新
双曲线定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（ ０< 2a<|F1F2|）
y 双曲线的图象特点y 与几M 何性质是怎M 样?
双曲线图象
F1 o F2 x
F2
x
F1
类似于椭圆几何性质的研究.
标准方程
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
焦点 a.b.c 的关系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)