离散数学重点笔记

第一章，0命题逻辑

素数 = 质数，合数有因子

和或假必真同为真

(p→q)∧(q←→r)，(p∧q)∧┐r，p∧(q∧┐r)等都是合式公式，而pq→r，（p→(r→q)等不是合式公式。

若公式A是单个的命题变项，则称A为0层合式

(┐p∧q)→r，(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分别为3层和4层公式

【例】求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。 (┐p∧q)→┐r

公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是成真赋值

第二章，命题逻辑等值演算

（1）双重否定律⌝⌝A⇔A

（2）等幂律 A∧A⇔A ； A∨A⇔A

（3）交换律 A∧B⇔B∧A ； A∨B⇔B∨A

（4）结合律（A∧B）∧C⇔A∧（B∧C）；（A∨B）∨C⇔A∨（B∨C）

（5）分配律（A∧B）∨C⇔（A∨C）∧（B∨C）；（A∨B）∧C⇔（A∧C）∨（B∧C）（6）德·摩根律⌝（A∨B）⌝⇔A∧⌝B ；⌝（A∧B）⇔⌝A∨⌝B

（7）吸收律 A∨（A∧B）⇔A；A∧（A∨B）⇔A

（8）零一律 A∨1⇔1 ； A∧0⇔0

（9）同一律 A∨0⇔A ； A∧1⇔A

（10）排中律 A∨⌝A⇔1

（11）矛盾律 A∧⌝A⇔0

（12）蕴涵等值式 A→B⇔⌝A∨B

（13）假言易位 A→B⇔⌝B→⌝A

（14）等价等值式 A↔B⇔（A→B）∧（B→A）

（15）等价否定等值式 A↔B⇔⌝A↔⌝B⇔⌝B↔⌝A

（16）归缪式（A→B）∧（A→⌝B）⇔⌝A

(p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p

(p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r

一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式

一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式

主范式【∧小真，∨大假】

∧成真小写

【例】 (p→q)→(┐q→┐p)

= ┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (消去→)

= (p∧┐q)∨┐p∨q (┐内移) (已为析取范式)

= (p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) （*）

= m2∨m0∨m1∨m1∨m3

= m0∨m1∨m2∨m3 (幂等律、排序)

(*)由┐p及q派生的极小项的过程如下：

┐p = ┐p∧(┐q∨q)

= (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)

q = (┐p∨p)∧q

= (┐p∧q)∨(p∧q)

熟练之后，以上过程可不写在演算过程中。

该公式中含n=2个命题变项，它的主析取范式中含了22=4个极小项，故它为重言式，00，01，10，11全为成真赋值。

【例】(p→q)∧┐p

= (┐p∨q)∧┐p (消去→)

= ┐p∨(┐p∧q) (分配律、幂等律) 已为析取范式

= (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)

= m0∨m1

【例】(p∧┐q)∨(┐p∧q)

= (p∨┐p)∧(p∨q)∧(┐q∨┐p)∧(┐q∨q)

= (p∨q)∧┐(p∧q)

重言蕴涵式

【例】用附加前提证明法证明下面推理。

前提：P→（Q→R），⌝S∨P，Q 结论：S→R

证明：（1）⌝S∨P 前提引入规则

（2）S 附加前提引入规则

（3）P （1）（2）析取三段论规则

（4）P→（Q→R）前提引入规则

（5）Q→R （3）（4）假言推理规则

（6）Q 前提引入规则

（7）R （5）（6）假言推理规则

【例】用归缪法证明。

前提：P∨Q，P→R，Q→S 结论：S∨R

证明（1）⌝（S∨R）附加前提引入规则

（2）⌝S∧⌝R （1）置换规则

（3）⌝S （2）化简规则

（4）⌝R （2）化简规则

（5）Q→S 前提引入规则

（6）⌝Q∨S （5）置换规则

（7）⌝Q （3）（6）析取三段论

（8）P∨Q 前提引入规则

（9）P （7）（8）析取三段论规则

（10）P→R 前提引入规则

（11）⌝P∨R （10）置换规则

（12）R （9）（11）析取三段论规则

（13）⌝R∧R （4）（12）合取引入规则

全称量词"∀"对"∨"无分配律。同样的，存在量词"∃"对"∧"无分配律

(3)x yF(x,y)

x(F(x,a)∧F(x,b)∧F(x,c))

(F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c))∨(F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c))∨(F(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c))谓词逻辑的等价公式

定理1设A（x）是谓词公式，有关量词否定的两个等价公式：

（1）﹁∀x A（x）⇔∃x﹁A（x）

（2）﹁∃x A（x）⇔∀x﹁A（x）

定理2 设A（x）是任意的含自由出现个体变项x的公式，B是不含x出现的公式，则有（1）∀x（A（x）∨B）⇔∀x A（x）∨B

（2）∀x（A（x）∧B）⇔∀x A（x）∧B

（3）∀x（A（x）→ B）⇔∃x A（x）→ B

（4）∀x（B→A（x））⇔B→∀x A（x）

（5）∃x（A（x）∨B）⇔∃x A（x）∨B

（6）∃x（A（x）∧B）⇔∃x A（x）∧B

（7）∃x（A（x）→ B）⇔∀x A（x）→ B

（8）∃x（B→A（x））⇔B→∃x A（x）

定理3 设A（x）、B（x）是任意包含自由出现个体变元x的公式,则有：

（1）∀x（A（x）∧B（x））⇔∀x A（x）∧∀x B（x）

（2）∃x（A（x）∨B（x））⇔∃x A（x）∨∃x B（x）

定理4 下列蕴涵式成立

（1）∀x A（x）∨∀x B（x）⇒∀x（A（x）∨B（x））

（2）∃x（A（x）∧B（x））⇒∃x A（x）∧∃x B（x）

（3）∀x（A（x）→ B（x））⇒∀x A（x）→∀x B（x）

（4）∀x（A（x）→ B（x））⇒∃x A（x）→∃x B（x）

（5）∃x A（x）→∀x B（x）⇒∀x（A（x）→ B（x））