数值分析课后习题部分参考答案

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数值分析课后习题部分参考答案

数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1(P10) 5.求.2的近似值x *，使其相对误差不超过 0.1%。

解：,2 =1.4…。

、I **n设X 有n 位有效数字，则|e(x)|乞0.5 10 10』。

0.5 101』从而，|e r (x)匡。

1故，若0.5 101』乞0.1%，则满足要求。

解之得，n 丄4。

x =1.414。

(P10) 7.正方形的边长约100cm ，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过 1 cm 2。

解：设边长为a ，则a 100 cm 。

设测量边长时的绝对误差为e ，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计：：、2 100 e 。

按测量要求，|2 100 e|_1 解得，|e|空 0.5 10 °。

Chapter 2(P47) 5.用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵1 1-PA = 2 1 0 。

-1 0丿解：设A 4'。

分别求如下线性方程组:V'0 '■0 '0 ，A B =1 ，AY = 06"(1)1(1)1 (-1) -1"(2)2(1) -1 (0)2.(1)1 (-1)2 (0)-3」「10 0^「1 1 —1 '即，L = 2 1 0 ，U = 0 -1 2 。

2 b1° 0 -3」经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组,3 1 3 2(P47)6.分别用平方根法和改进平方根法求解方程组:(1 2 1 -3、15、 2 5 0-5 1 X 22 1 014 1 X 3161—3 -51 15丿 <X O解：平方根法：先求系数矩阵 A 的Cholesky 分解(利用分解的紧凑格式)Ly = 0 和 U 。

= y ，得， 0Ly = 1 和 U0 =y ，得，P 0广0、Ly = 0 和 U Y = y ，得，；丫31 3>A 的形如A 二LDL T 的分解，其中L 二(l j )44为单位下三角矩阵，D =diag{d 1,d 2,d 3,d 4}为对角矩阵。

数值分析课后习题及答案

第一章绪论（12）第二章插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。

若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。

数值分析课后习题答案

0 1
0 10 1 1 0 0 0 1
0 0 12 1 1 2 0 0 0

1 2
0 0 0 1 1 0
1 2

1 2

1 2
1
0 0 0 1 0

1 2

1 2

0
1 2

1 2
0
0
0
341 1 1
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组
Ax=b，其中
16 4 8
1
A 4 5 4 , b 2
8 4 22
3
解
16 A 4
4 5
84
44 11
2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中
2 1 1 A1 3 2
4 ,b6
1 2 2
5
解
2 A 1
1 3
1 2

2 11
22
1
5 2
1

3 21来自，所以 A12
1
2 1 1

5 3
2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组
3 2 6x1 4 10 7 0x2 7 5 1 5x3 6
解
3 2 6 4 10 7 0 7 10 7 0 7

r1r2
消元

10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.1
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623

数值分析书本答案

习题一1、取3.14,3.15，722，113355作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。

解：14.31=x312110211021--⨯=⨯≤-x π 所以，1x 有三位有效数字绝对误差：14.3-=πe ，相对误差：ππ14.3-=r e 绝对误差限：21021-⨯≤ε，相对误差限：213106110321-+-⨯=⨯⨯=r ε21122105.0105.01084074.000840174.015.315.3---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，2x 有两位有效数字绝对误差：15.3-=πe ，相对误差：ππ15.3-=r e 绝对误差限：11021-⨯=ε，相对误差限：11061-⨯=r ε31222105.0105.01012645.00012645.0722722---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，3x 有三位有效数字绝对误差：722-=πe ，相对误差：ππ722-=r e绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差限：21061-⨯=r ε1133551=x 7166105.0105.01032.000000032.0113355---⨯=⨯≤⨯==-π 所以，4x 有七位有效数字绝对误差：113355-=πe ，相对误差：ππ113355-=r e绝对误差限：61021-⨯=ε，相对误差限：61061-⨯=r ε3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。

5000,50.31,3015.0,0315.04321====x x x x解：0315.01=x m=-13141*10211021---⨯=⨯≤-x x 所以，n=3，1x 有三位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：2110611021-+-=⨯=n r a ε3015.02=x m=04042*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50.313=x m=24223*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50004=x m=44404*10211021-⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：5.010210=⨯=ε，相对误差：23110105211021--+-=⨯=⨯=n r a ε 4、计算10的近似值，使其相对误差不超过%1.0。

数值分析课后习题答案

第一章习题解答1. 在下列各对数中，X 是精确值ａ的近似值（1）ａ=π，x=3.1 （2）ａ=1/7，x=0.143 （3）ａ=π/1000，x=0.0031 （4）ａ=100/7，x=14.3 试估计x 的绝对误差和相对误差。

解：（1） e=∣3.1-π∣≈0.0416， δr = e/∣x ∣≈0.0143 （2） e=∣0.143-1/7∣≈0.0143 δr = e/∣x ∣≈0.1 （3） e=∣0.0031-π/1000∣≈0.0279 δr = e/∣x ∣≈0.9 (4) e=∣14.3-100/7∣≈0.0143 δr = e/∣x ∣≈0.0012. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。

试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。

解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10-4x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σni=1∣∂f/∂x i ∣δx ie r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049e r （μ2）≦1/∣μ2∣［-x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3/ x 1δx 4］ =0.497073. 设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。

数值分析课程第五版课后习题答案

数值分析课程第五版课后习题答案课后习题一：a) 求解非线性方程f(x) = x^3 - 2x - 5的根。

解答：可使用牛顿迭代法来求解非线性方程的根。

牛顿迭代法的迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中x_n为第n次迭代的近似解。

对于给定的方程f(x) = x^3 - 2x - 5，计算f'(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 2。

选择一个初始近似解x_0，并进行迭代。

迭代的终止条件可以选择两次迭代间的解的差值小于某个预设的精度。

b) 计算矩阵加法和乘法的运算结果。

解答：设A和B为两个矩阵，A = [a_ij]，B = [b_ij]，则A和B的加法定义为C = A + B，其中C的元素为c_ij = a_ij + b_ij。

矩阵乘法定义为C = A * B，其中C的元素为c_ij = ∑(a_ik * b_kj)，k的取值范围为1到矩阵的列数。

c) 使用插值方法求解函数的近似值。

解答：插值方法可用于求解函数在一组给定点处的近似值。

其中，拉格朗日插值法是一种常用的方法。

对于给定的函数f(x)和一组插值节点x_i，i的取值范围为1到n，利用拉格朗日插值多项式可以构建近似函数P(x)，P(x) = ∑(f(x_i) * l_i(x))，其中l_i(x)为拉格朗日基函数，具体表达式为l_i(x) = ∏(x - x_j)/(x_i - x_j)，j的取值范围为1到n并且j ≠ i。

课后习题二：a) 解决数值积分问题。

解答：数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。

常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。

矩形法采用矩形面积的和来近似曲边梯形的面积，梯形法采用等距离子区间上梯形面积的和来近似曲边梯形的面积，而辛普森法则利用等距离子区间上梯形和抛物线面积的加权和来近似曲边梯形的面积。

b) 使用迭代方法求解线性方程组。

解答：线性方程组的求解可以通过迭代方法来进行。

数值分析课后习题部分参考答案.doc

数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1(P10) 5.求厲的近似值x*,使其相对误差不超过0.1%。

解：V2 = 1.4 ••- o设X*有"位有效数字，则le(x*)lV0.5xl0xl(T"。

,*““0.5x10-" 牛(x )1< ] 。

从而，丨<故，若0.5x10-" <0.1%,则满足要求。

解之得，M>4O %* =1.414 O(P10) 7.正方形的边长约100cm ,问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过1 cm2 o解：设边长为a ,则a心100cm。

设测量边长时的绝对误差为e,由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计:® 2xl00xe…按测量要求，l2xl00xel<l解得，lel< 0.5x10 2 oChapter 2(P47) 5.用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：‘1 1 -1]A = 2 1 0 。

J j 0丿解：设A1 =(«0 /)=分别求如下线性方程组:先求A的LU分解(利用分解的紧凑格式),气1)1 (1)1 (-D-(2)2(D-1(0)2、⑴1(-1)2 (0) —3,(1 0 0、 ri 1 -1] 即，厶=2 1 0 ,U =0-12 J 2 1丿<0 0-3经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组,1 0Ly =0 和 Ua = v ,得，a = 0J3 2 3 1(P47) 6.分别用平方根法和改进平方根法求解方程组:(1 2 1 -3兀1)2 50 -5兀2 2 10 14 1 x 3 16 、一 -5 1 15丿3解：平方根法：先求系数矩阵4的Cholesky 分解(利用分解的紧凑格式),'(1)1、< 1 0 0 0、(2)2(5)1,即，L =2 1 0 0 (1)1 (0)-2 (14)3 1 -2 3 、(_3) _ 3 (-5)1 (1)2 (15<-31 2 b216 改进平方根Ly = 和 II x = y ,得，x = 先求系数矩阵A 的形如A = LDU 的分解，其中厶-(/y .)4x4为单位下二角矩阵,D = diag{d l ,d 2,d 3,d 4}为对角矩阵。

数值分析课后部分

数值分析课后部分习题答案习题1（P.14）1. 下列各近似值均有4个有效数字,300.2,521.13,001428.0***===z y x ,试指出它们的绝对误差和相对误差限.解 *20.001428=0.142810x -=⨯有4个有效数，即4n =，2m =- 由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为611101022m n --⨯=⨯，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为(1)3111101022n a ---⨯=⨯； *213.521=0.1352110y =⨯有4个有效数，即4n =，2m =由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为211101022m n --⨯=⨯，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为(1)3111101022n a ---⨯=⨯； *12.300=0.230010z =⨯有4个有效数，即4n =，1m =由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为311101022m n --⨯=⨯，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为(1)3111101024n a ---⨯=⨯. 2．下列各近似值的绝对误差限都是31021-⨯,试指出它们各有几位有效数字.***2.00021,0.032,0.00052x y z ===解 *12.000210.20002110x ==⨯，即1m =由有效数字与绝对误差的关系得 311101022m n --⨯=⨯，即 3m n -=-，所以，4n =；*10.0320.3210y ==⨯，即1m =-由有效数字与绝对误差的关系得 311101022m n --⨯=⨯，即 3m n -=-，所以，2n =；*30.000520.5210z -==⨯，即3m =-由有效数字与绝对误差的关系得 311101022m n --⨯=⨯，即 3m n -=-，所以，0n =.4.设有近似数35.2,84.1,41.2***===z y x 且都有3位有效数字，试计算***z y x S +=，问S 有几位有效数字.解方法一因*1*1*12.41=0.24110, 1.840.18410, 2.350.23510x y z =⨯==⨯==⨯都有3位有效数字，即3n =，1m =，则211|(*)|101022m n e x --≤⨯=⨯，211|(*)|101022m n e y --≤⨯=⨯，211|(*)|101022m n e z --≤⨯=⨯，|(**)||*(*)*(*)|*|(*)|*|(*)|e y z z e y y e z z e y y e z ≈+≤+222112.3510 1.8410 2.0951022---≤⨯⨯+⨯⨯=⨯，221|(***)||(*)(**)|10 2.095102e x y z e x e y z --+≈+≤⨯+⨯1110.259510102--=⨯≤⨯，又 1***=2.41 1.84 2.350.673410x y z ++⨯=⨯，此时1m =，1m n -=-，从而得2n =.方法二因*1*1*12.41=0.24110, 1.840.18410, 2.350.23510x y z =⨯==⨯==⨯都有3位有效数字，即3n =，1m =，则211|(*)|101022m n e x --≤⨯=⨯，2110(*)2|(*)|=||* 2.41r e x e x x -⨯≤， 211|(*)|101022m n e y --≤⨯=⨯，2110(*)2|(*)|=||* 1.84r e y e y y -⨯≤， 211|(*)|101022m n e z --≤⨯=⨯，2110(*)2|(*)|=||* 2.35r e z e z z -⨯≤|(**)||(*)(*)|r r r e y z e y e z ≈+，***|(***)||(*)(**)|******r r r x y z e x y z e x e y z x y z x y z +≈+++2.41 1.84 2.35|(*)||(*)+(*)|2.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35r rr e x e y e z ⨯≤++⨯+⨯22211110 1.8410 2.35102222.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35---⨯⨯⨯⨯⨯≤+++⨯+⨯+⨯20.385410-<⨯21102-<⨯，由有效数字与绝对误差的关系得2n =.5.序列{}n y 有递推公式),2,1(,1101Λ=-=-n y y n n若41.120≈=y （三位有效数字），问计算10y 的误差有多大，这个计算公式稳定吗？解用0ε表示0y 的误差，由41.120≈=y ，得0=0.0042εL ，由递推公式 ),2,1(,1101Λ=-=-n y y n n ，知计算10y 的误差为810=0.4210ε⨯L ，因为初始误差在计算的过程中被逐渐的放大，这个计算公式不稳定.习题2 ( P.84)3.证明 0()1nk k l x ==∑，对所有的x其中()k l x 为Lagrange 插值基函数. 证明令()1f x =，则()1i f x =，从而 0()()()()nnn k k k k k L x l x f x l x ====∑∑，又 (1)1()()()0(1)!n n n f R x x n ξω++==+，可得 ()()1n L x f x ==，从而 0()1nk k l x ==∑.4. 求出在=012x ，，和3处函数2()1f x x =+的插值多项式. 解方法一因为给出的节点个数为4，而2()1f x x =+从而余项(4)34()()()04!f R x x ξω==，于是 233()()()()=+1L x f x R x f x x =-=（n 次插值多项式对次数小于或等于n 的多项式精确成立）. 方法二因为(0)1(1)2(2)5(3)10f f f f ====，，，，而 0(1)(2)(3)1()=-(1)(2)(3)(01)(02)(03)6x x x l x x x x ---=------，1(2)(3)1()=(2)(3)(10)(12)(13)2x x x l x x x x --=-----，2(1)(3)1()=-(1)(3)(20)(21)(23)2x x x l x x x x --=-----，3(1)(2)1()=(1)(2)(30)(31)(32)6x x x l x x x x --=-----，从而 30123()()(0)()(1)()(2)()(3)L x l x f l x f l x f l x f =+++2=+1x .5. 设2()[,]f x C a b ∈且()()0f a f b ==，求证21max |()|()max |()|8a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤''≤-.证明因()()0f a f b ==，则1()0L x =，从而 1()()()()()2!f f x R x x a x b ξ''==--，由极值知识得 21max |()|()max |()|8a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤''≤-6. 证明 (()())()()()(+)f x g x f x g x f x g x h ∆=⋅∆+∆⋅. 证明由差分的定义(()())(+)()()()f xg x f xh g x h f x g x ∆=+-[(+)()()(+)][()()()()]f x hg xh f x g x h f x g x h f x g x =+-++-()()()(+)f x g x f x g x h =⋅∆+∆⋅或着 (()())(+)()()()f x g x f x h g x h f x g x ∆=+-[(+)()()()][()()()()]f x h g x h f x h g x f x h g x f x g x =+-+++- ()()()()f x h g x f x g x =+⋅∆+∆⋅7. 证明 n 阶差商有下列性质(a ) 如果()()F x cf x =，则0101[,,,][,,,]n n F x x x cf x x x =L L . (b ) 如果()()()F x f x g x =+，则010101[,,,][,,,][,,,]n n n F x x x f x x x g x x x =+L L L .证明归纳法：由差商的定义 (a ) 如果()()F x cf x =，则12011010[,,,]-[,,,][,,,]n n n n F x x x F x x x F x x x x x -=-L L L120110[,,,]-[,,,]n n n cf x x x cf x x x x x -=-L L120110[,,,]-[,,,]n n n f x x x f x x x c x x -=⋅-L L 01[,,,]n cf x x x =L .(b ) 如果()()()F x f x g x =+，则12011010[,,,]-[,,,][,,,]n n n n F x x x F x x x F x x x x x -=-L L L12120110110[[,,,][,,,]]-[[,,,][,,,]]n n n n n f x x x g x x x f x x x g x x x x x --++=-L L L L120111201100,,,]-[,,,][,,,][,,,]+n n n n n n f x x x f x x x g x x x g x x x x x x x ---=--L L L L [ 0101[,,,][,,,]n n f x x x g x x x =+L L8. 设74()3431f x x x x =+++，求0172,2,,2]f L [，0182,2,,2]f L [. 解由P.35定理7的结论(2)，得7阶差商0172,2,,2]=3f L [ (()f x 的最高次方项的系数)， 8阶差商0182,2,,2]=0f L [ (8阶以上的差商均等与0). 9. 求一个次数不超过4次的多项式()P x ，使它满足：(0)(0)0P P '==，(1)(1)1P P '==，(2)1P =.解方法一先求满足插值条件(0)0P =，(1)=1P ，(2)1P =的二次插值多项式2()P x 213=22x -+(L-插值基函数或待定系数法)，设()P x 22=()(1)(2)(1)(2)P x Ax x x Bx x x +--+--213=22x x -+2+(1)(2)(1)(2)Ax x x Bx x x --+-- 从而()P x '323=4B +(39)(641)(2)2x A B x A B x A -+-+-++，再由插值条件(0)0P '=，(1)1P '=，得3=,4A -1=,4B所以 ()P x 213=22x x -+231(1)(2)(1)(2)44x x x x x x ---+--，即()P x 41=4x 332x -29+4x . 方法二设()P x 23401234=a a x a x a x a x ++++，则 ()P x '231234=234a a x a x a x +++由插值条件(0)(0)0P P '==，(1)(1)1P P '==，(2)1P =，得010********0123400++++1+2+3+41+2+4+8+161a a a a a a a a a a a a a a a a =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩ 解得 234931=,=-,=424a a a ，从而 ()P x 41=4x 332x -29+4x . 方法三利用埃尔米特插值基函数方法构造. 10. 下述函数()S x 在[1,3]上是3次样条函数吗？3232321,12()=92217,23x x x x S x x x x x ⎧-++≤≤⎨-+-+≤≤⎩ 解因为 22362,12()=31822,23x x x S x x x x ⎧-+≤≤'⎨-+-≤≤⎩， 66,12()=618,23x x S x x x -≤≤⎧''⎨-+≤≤⎩而 12(2)=1=(2)S S ，12(2)=2=(2)S S ''，12(2)=6=(2)S S ''''，又()S x 是三次函数，所以函数()S x 在[1,3]上是3次样条函数.补设f (x )=x 4，试利用L-余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式.解因为 (4)34()()()(+1)(1)(2)4!f R x x x x x x ξω==--，从而 3233()()()22L x f x R x x x x =-=+-习题3 ( P.159)1．设n k k x 0)}({=ϕ为],[b a 上具有权函数0)(≥x ω的正交多项式组且)(x k ϕ为首项系数为1的k 次的多项式，则n k k x 0)}({=ϕ于],[b a 线性无关.解方法一因为n k k x 0)}({=ϕ为],[b a 上具有权函数0)(≥x ω的正交多项式组,则其Gram 行列式不等于零，采用反证法：若{}n ϕϕϕ,,,10Λ于],[b a 线性相关，于是，存在不全为零,,,,10n c c c Λ使0011()()()0,[,]n n c x c x c x x a b ϕϕϕ+++=∈L上式两边与i ϕ作内积得到0011(,)(,)(,)0(0,1,,)i i n i n c c c i n ϕϕϕϕϕϕ+++==L L ，由于{}i c 不全为零，说明以上的齐次方程组有非零解),,,,(10n c c c Λ故系数矩阵的行列式为零，即{}0,,,10=n G ϕϕϕΛ与假设矛盾.方法二因为n k k x 0)}({=ϕ为],[b a 上具有权函数0)(≥x ω的正交多项式组,则其Gram 行列式不等于零，由( P.95)定理2得n k k x 0)}({=ϕ于],[b a 线性无关.2．选择α，使下述积分取得最小值1221()[],a x x dx α--⎰120()()x b e x dx α-⎰解 1221()[]a x x dx αα-∂-∂⎰1221=[]x x dx αα-∂-∂⎰1221=2[]()x x x dx α--⋅-⎰5112=5x α-4=5α，令1221[]=0x x dx αα-∂-∂⎰，得=0α.12()()x b e x dx αα∂-∂⎰120=()xe x dx αα∂-∂⎰1=2()()x e x x dx α-⋅-⎰2=23α- 令120()=0x e x dx αα∂-∂⎰，得=3α.3．设],3,1[,1)(∈=x xx f 试用},1{1x H 求)(x f 一次最佳平方逼近多项式.解取权函数为()x x ω=(为了计算简便)，则32311(1,1)42x xdx ===⎰,33321126(1,)(,1)33x x x x dx ====⎰, 343311(,)204x x x x dx ===⎰,33111((),1)2f x xdx x x=⋅==⎰，3232111((),)42x f x x x dx x =⋅==⎰，得法方程 0126423264203a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，解得011211311a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以)(x f 的一次最佳平方逼近多项式1123()1111P x x =-. 8．什么常数C 能使得以下表达式最小？ ∑=-ni x i iCe x f 12))((解 21(())i n x i i f x Ce C =∂-∂∑1=2(())()i i nx x i i f x Ce e =-⋅-∑，令 21(())=0i nx i i f x Ce C =∂-∂∑，得121()(),iinx x ii nx xx i f x ef x e C e e e==⋅==∑∑（）（，）. 14．用最小二乘法求解矛盾方程组2+314921x y x y x y =⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩. 解方法一方程组可变形为 AX F = ，其中23114,9211A F ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦2321290914,3410264021A A A F T T ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦, 求解法方程 90902640x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得到矛盾方程组的解为12013x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩.方法二令(,)I x y 222=+31+4+9++1x y x y x y ---（2）（）（2）(,)I x y x∂∂=4+31+24+9+4+1x y x y x y ⨯-⨯-⨯-（2）（）（2）=18+18x ，(,)I x y y∂∂=6+3184+92+1x y x y x y ⨯--⨯--⨯-（2）（）（2） =5280y -令 (,)0(,)0I x y x I x y y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩，得 1818052800x y +=⎧⎨-=⎩，解之得矛盾方程组的解为12013x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩.习题4 (P. 207)7. 对列表函数124810()152127x f x求(5)(5).f f '''，解一阶微商用两点公式(中点公式),得(8)(2)10(5),63f f f -'≈= 二阶微商用三点公式(中点公式),首先用插值法求(5)f , 由(4)5,(8)21,f f ==得一次插值函数1()411,L x x =- 从而 1(5)(5)9f L ≈=, 于是, 2(2)2(5)(8)4(5).39f f f f -+''≈=8. 导出数值微分公式)]23()2(3)2(3)23([1)(3)3(h x f h x f h x f h x f hx f ---++-+≈并给出余项级数展开的主部.解由二阶微商的三点公式(中点公式),得213()[()2()()]2222h h h f x f x f x f x h h ''-≈+--+-,213()[()2()()]2222h h h hf x f x f x f x h ''+≈+-++-从而 (3)()()22()h h f x f x f x h''''+--≈3133=[()3()3()()]2222h h f x h f x f x f x h h +-++--- 将33()()()()2222h h f x h f x f x f x h ++--，，，分别在x 处展开,得2(3)3(4)4(5)55331313()=()()()()()()222!23!21313()()()()+()(1)4!25!2f x h f x f x h f x h f x h f x h f x h O h '''++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅2(3)3(4)4(5)5511()=()()()()()()222!23!211()()()()()(2)4!25!2h h h h f x f x f x f x f x h h f x f x O h '''++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+2(3)3(4)4(5)5511()=()()()()()()()222!23!211()()()()()(3)4!25!2h h h hf x f x f x f x f x h h f x f x O h '''-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+2(3)3(4)4(5)55331313()=()()()()()()()222!23!21313()()()()()(4)4!25!2f x h f x f x h f x h f x h f x h f x h O h '''-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+(1)－(2)×3 +(3)×3－(4), 得(5)2232311311{()[()2()()]}()[()()]22228h h h f x f x f x f x h f x f x h O h h h h '''''--+--+-=-+,即余项主部为(5)1()8f x h-习题 5 (P. 299)3. 设n n R A ⨯∈为对称矩阵，且011≠a ，经高斯消去法一步后，A 约化为11120Ta a A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦r ，试证明2A 亦是对称矩阵. 证明设1111()=T ij a a A a A α⎛⎫= ⎪⎝⎭r，其中21311=n a a a α⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ，121311=n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭r M ，22232123=n n n nn a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则经高斯消去法一步后，A 约化为111111110TT a a A a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦r r ，因而211111T A A a a α=-r，若n n R A ⨯∈为对称矩阵，则1A 为对称矩阵，且1=a αr，易知211111T A A a a α=-r 为对称矩阵. 13. 设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A (1) 计算2||||,||||A A ∞；(2) 计算∞)(A Cond ，及2)(A Cond . 解 (1) 计算||||=199A ∞,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A ，其特征值为1,2999802λ=±，又⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A 为对称矩阵，则2=T A A A 的特征值为221,2(999802)λ=±，因此22max max ||||()999802T A A A A λλ===+(2) 1989999100A --⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦，1||||=199A -∞，所以12()=||||||||=19939601Cond A A A -∞∞∞⋅=，1989999100A --⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦为对称矩阵，其特征值为1,2999802λ=-± 则1112()=()T A A A ---的特征值为221,2(999802)λ=±，因此111122max max ||||(())()999802T A A A A λλ----===+ 所以 1222()=||||||||Cond A A A -⋅2(999802)=+ 15. 设,n n n A R x R ⨯∈∈r，求证（1）1x x n x ∞∞≤≤r r r； (2)∞∞≤≤A n A A n11.证明 (2) 由（1）1x x n x ∞∞≤≤r r r ，得1AxAx n Ax ∞∞≤≤rr r，则 11AxAx n Ax n xx x ∞∞∞∞≤≤r r r rr r ，从而 11max max max n nn x R x R x R Ax Ax n Ax n x x x ∞∞∀∈∀∈∀∈∞∞≤≤r rrr r r r r r ，由算子范数的定义max n x R Ax A x ∞∞∀∈∞=r r r ，111max nx R Ax A x ∀∈=r r r ，得∞∞≤≤A n A A n11.17. 设n n R W ⨯∈为非奇异阵，又设x r为n R 上一向量范数，定义Wx Wx =rr ，求证：Wxr是n R 上向量的一种范数（称为向量的W一范数）.证明 ①正定性，因Wx r为一向量，0WxWx =≥r r，下证=0=0W x x ⇔rr r ，⇒“”若=0W x r即=0Wx r ，由向量范数的正定性得 =0Wx r r ，nn R W ⨯∈为非奇异阵，所以=0x r r ；⇐“”若=0x r r ，则=0Wx rr ，由向量范数的正定性得=0Wx r 即=0W x r.②齐次性，任意实数α有=W x W x Wx ααα=r r r，由向量范数的齐次性，得=W Wx W x Wx Wx xααααα===r r r r r ；③ 三角不等式，任意实数,n n x R y R ∈∈r r，有+(+)=+W x y W x y Wx Wy =r r r r r r，再由向量范数的三角不等式，得+(+)=+WWWx yW x y Wx Wy Wx Wy xy=≤+=+r r r r r r r r rr .习题 6 (P.347)1. 设有方程组(b ) 1231231232211221x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，考查用Jacobi 迭代法,G-S 迭代法解此方程组的收敛性.解系数矩阵分裂如下,122111221A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭D L U =--1002211112200-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭Jacobi 迭代矩阵为1()J D L U -=+=022101220-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭， J 的特征方程为 2211022λλλ-=，展开得 30λ=，即01λ=<，所以用Jacobi 迭代法解此方程组是收敛的.G-S 迭代矩阵为1()G D L U -=-1122=11012210--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭100022=110010210-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⋅- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭122=02302-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭， G 的特征方程为122021002λλλ---=-，展开得 (1)(2)(2)0λλλ---=，即1λ=或2λ=，由迭代基本定理得用G-S 迭代法解此方程组是不收敛的.4. 设有方程组Ax b =r r，其中A 为对称正定阵，且有迭代公式(1)()()()k k k x x b Ax ω+=+-r r r r(0,1,k =L )，试证明当20ωβ<<时，上述迭代法收敛(其中A 的特征值满足0()A αλβ<≤≤).证明 A 为对称正定阵， A 的特征值满足 0()A αλβ<≤≤，且20ωβ<<，则0()2A ωλ<<又迭代公式可变形为(1)()()k k x I A x b ωω+=-+r r r (0,1,k =L )，从而迭代矩阵 B I A ω=-，迭代矩阵的特征值为1()A ωλ-，且满足11()1A ωλ-<-<，即 |()|1B λ<，由迭代基本定理得该迭代法是收敛的.5. 设111a a A a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中a 为实数，试确定a 满足什么条件时，解Ax b =r r的Jacobi 迭代法收敛.解系数矩阵分裂如下,111a a A aa a a⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭D L U =-- 1001100a a aa aa--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭Jacobi 迭代矩阵为1()J D L U -=+=000a a aa a a--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，J 的特征方程为 0a aaa aaλλλ=，展开得 323320a a λλ--=，即a λ=-或2a λ=-，()max{||,|2|}J a a ρ=--()1J ρ<当且仅当1122a -<<，所以当1122a -<<时，解Axb =r r的Jacobi 迭代法收敛.。

数值分析第三版课本习题及答案

第一章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12.计算61)f =,1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i)0()(0,1,,);nkkj jj x l x x k n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下:试求三次样条插值并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='=ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbba a a a f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx "-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一? 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式. 10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式. 13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n nF x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26. 用最小二乘法求一个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.27.28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: (1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A fh --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x fx -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰; (4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4.用辛普森公式求积分1xedx-⎰并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰.6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7.用复化梯形公式求积分()b af x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1xedx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n nnnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差.()f x 的值由下表给出:第五章常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。

数值分析习题参考答案1

部分习题参考答案习题一1. 分别有3位、5位与4位有效数字2. 分别有５位、3位、4位与３位有效数字3. 有３位有效数字; 绝对误差为－０、0012;相对误差-０、0005570514. (1) (2）(3)６、提示:注意字长为８位得计算机上得机器数系得特点与计算机对数得接收与运算处理。

7、提示:通过证明进行说明,这里 8、,不稳定 9、最好10、采用j 从10000到２得顺序相加,或通过进行化简计算。

11、本题有递推公式得出得就就就是。

算法１、2、For k=n-1,n-2,…,1,0 做12、提示：仿照例１、9做之。

习题二 2、提示:3、取迭代函数讨论之。

4、由确定k,迭代次数59、5、迭代公式及区间为,数列得极限值。

6、x 3=０、567１43 ７、，用New ｔo ｎ迭代公式及定理６做，根1、03０ 8、两个根: ;9、取,当时，取区间,用定理6做，当时,由做转换讨论。

极限为１1提示:由可得,或由用定理2、4 １2、()()()()()()()()()()()()()()()()()222******1*22*****1*2***2*3(),()2'()2!()'()'()2'()'()'()2()'()2k k kk k k k k k k k k k k k kk k k k k k f f y x x x f y f x f x y x y x f x f x f f y x x y x y x y x y x f x f x f x y x f f x f x y x f x y x f x x f f x ξξξξξξ+'''''-=-=+-+-'''∴-=--=------''⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭-''''=-+()()()()()2*13*121*32()2'()()()()4'()2'()k k kk k k f x x f x x xf f f f x x f x f x ξξξξξ⎛⎫''⨯- ⎪⎝⎭''-''''⎛⎫''=+- ⎪⎝⎭１3、提示:借助代入中约化。

数值分析书本答案

习题一1、取3.14,3.15，722，113355作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。

数值分析第三版课本习题及答案

数值分析第三版课本习题及答案第⼀章绪论1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、3.下列各数都就是经过四舍五⼊得到得近似数,即误差限不超过最后⼀位得半个单位,试指出它们就是⼏位有效数字:4.利⽤公式(3、3)求下列各近似值得误差限:其中均为第3题所给得数、5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少?6.设按递推公式( n=1,2,…)计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多⼤误差?7.求⽅程得两个根,使它⾄少具有四位有效数字(≈27、982)、8.当N充分⼤时,怎样求?9.正⽅形得边长⼤约为100㎝,应怎样测量才能使其⾯积误差不超过1㎝?10.设假定g就是准确得,⽽对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增加,⽽相对误差却减⼩、11.序列满⾜递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多⼤?这个计算过程稳定吗?12.计算,取,利⽤下列等式计算,哪⼀个得到得结果最好?13.,求f(30)得值、若开平⽅⽤六位函数表,问求对数时误差有多⼤?若改⽤另⼀等价公式计算,求对数时误差有多⼤?14.试⽤消元法解⽅程组假定只⽤三位数计算,问结果就是否可靠?15.已知三⾓形⾯积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明⾯积得误差满⾜第⼆章插值法1.根据(2、2)定义得范德蒙⾏列式,令证明就是n次多项式,它得根就是,且、2.当x= 1 , 1 , 2 时, f(x)= 0 , 3 , 4 ,求f(x)得⼆次插值多项式、3.给出f(x)=ln x得数值表⽤线性插值及⼆次插值计算ln 0、54 得近似值、4.,研究⽤线性插值求cos x 近似值时得总误差界、5.设,k=0,1,2,3,求、6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证:i)ii)7.设且,求证8.在上给出得等距节点函数表,若⽤⼆次插值求得近似值,要使截断误差不超过,问使⽤函数表得步长应取多少?9.若,求及、10.如果就是次多项式,记,证明得阶差分就是次多项式,并且为正整数)、11.证明、12.证明13.证明14.若有个不同实根,证明15.证明阶均差有下列性质:i)若,则;ii)若,则、16.,求及、17.证明两点三次埃尔⽶特插值余项就是并由此求出分段三次埃尔⽶特插值得误差限、18.求⼀个次数不⾼于4次得多项式,使它满⾜并由此求出分段三次埃尔⽶特插值得误差限、19.试求出⼀个最⾼次数不⾼于4次得函数多项式,以便使它能够满⾜以下边界条件,,、20.设,把分为等分,试构造⼀个台阶形得零次分段插值函数并证明当时,在上⼀致收敛到、21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处得与得值,并估计误差、22.求在上得分段线性插值函数,并估计误差、23.求在上得分段埃尔⽶特插值,并估计误差、24.给定数据表如下:i)ii)25.若,就是三次样条函数,证明i)[][][][] 222()()()()2()()()b b b ba a a af x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-";ii) 若,式中为插值节点,且,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'?、26. 编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点得值得程序框图(可⽤(8、7)式得表达式)、第三章函数逼近与计算1. (a)利⽤区间变换推出区间为得伯恩斯坦多项式、(b)对在上求1次与三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应得马克劳林级数部分与误差做⽐较、 2. 求证:(a)当时,、 (b)当时,、3. 在次数不超过6得多项式中,求在得最佳⼀致逼近多项式、4. 假设在上连续,求得零次最佳⼀致逼近多项式、5. 选取常数,使达到极⼩,⼜问这个解就是否唯⼀?6. 求在上得最佳⼀次逼近多项式,并估计误差、7. 求在上得最佳⼀次逼近多项式、8. 如何选取,使在上与零偏差最⼩?就是否唯⼀? 9. 设,在上求三次最佳逼近多项式、 10. 令,求、11. 试证就是在上带权得正交多项式、12. 在上利⽤插值极⼩化求1得三次近似最佳逼近多项式、13. 设在上得插值极⼩化近似最佳逼近多项式为,若有界,证明对任何,存在常数、,使14. 设在上,试将降低到3次多项式并估计误差、15. 在上利⽤幂级数项数求得3次逼近多项式,使误差不超过0、005、16. 就是上得连续奇(偶)函数,证明不管就是奇数或偶数,得最佳逼近多项式也就是奇(偶)函数、 17. 求、使为最⼩、并与1题及6题得⼀次逼近多项式误差作⽐较、 18. 、,定义()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+??问它们就是否构成内积?19. ⽤许⽡兹不等式(4、5)估计得上界,并⽤积分中值定理估计同⼀积分得上下界,并⽐较其结果、 20. 选择,使下列积分取得最⼩值:、21. 设空间,分别在、上求出⼀个元素,使得其为得最佳平⽅逼近,并⽐较其结果、 22. 在上,求在上得最佳平⽅逼近、23. 就是第⼆类切⽐雪夫多项式,证明它有递推关系、24. 将在上按勒让德多项式及切⽐雪夫多项式展开,求三次最佳平⽅逼近多项式并画出误差图形,再计算均⽅误差、25.把在上展成切⽐雪夫级数、26.⽤最⼩⼆乘法求⼀个形如得经验公式,使它与下列数据拟合,并求均⽅误差、27.28.在某化学反应⾥,根据实验所得分解物得浓度与时间关系如下:29.编出⽤正交多项式做最⼩⼆乘拟合得程序框图、30.编出改进FFT算法得程序框图、31.现给出⼀张记录,试⽤改进FFT算法求出序列得离散频谱第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中得待定参数,使其代数精度尽量⾼,并指明所构造出得求积公式所具有得代数精度:(1);(2);(3);(4)、2.分别⽤梯形公式与⾟普森公式计算下列积分:(1); (2);(3); (4)、3.直接验证柯特斯公式(2、4)具有5次代数精度、4.⽤⾟普森公式求积分并计算误差、5.推导下列三种矩形求积公式:(1);(2);(3)、6.证明梯形公式(2、9)与⾟普森公式(2、11)当时收敛到积分、7.⽤复化梯形公式求积分,问要将积分区间分成多少等分,才能保证误差不超过(设不计舍⼊误差)?8.⽤龙贝格⽅法计算积分,要求误差不超过、9.卫星轨道就是⼀个椭圆,椭圆周长得计算公式就是,这⾥就是椭圆得半长轴,就是地球中⼼与轨道中⼼(椭圆中⼼)得距离,记为近地点距离,为远地点距离,公⾥为地球半径,则、我国第⼀颗⼈造卫星近地点距离公⾥,远地点距离公⾥,试求卫星轨道得周长、10.证明等式试依据得值,⽤外推算法求得近似值、11.⽤下列⽅法计算积分并⽐较结果、(1)龙贝格⽅法;(2)三点及五点⾼斯公式;(3)将积分区间分为四等分,⽤复化两点⾼斯公式、12.⽤三点公式与五点公式分别求在1、0,1、1与1、2处得导数值,并估计误差、得值由下表给出:第五章常微分⽅程数值解法1、就初值问题分别导出尤拉⽅法与改进得尤拉⽅法得近似解得表达式,并与准确解相⽐较。

数值分析课后习题答案

x2 6.6667x2 8.205
再解
1
15 56
x31.785,7得 x35.769
1 25069x4 0.47847x4 1.4872
1 x5 5.3718 x5 5.3718
2-10.证明下列不等式:
(1)x-yx-z+z-y; (2)|x-y|x-y;
证明 (1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y
b.用Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=0.
102 x Байду номын сангаасy 1
100y 100
再用列主元Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=1.
x y
y 1
2
2-8.用追赶法求解方程组:
4 1
x1 100
1 4 1
x2 0
3-8.判定求解下列方程组的SOR方法的收敛性.
2 1 0 0 x1 1
1
0 0
2 1 0
1 2 1
0 12
x2 x3 x4
0 00
解直接可验证系数矩阵A是负定矩阵,所以-A是对称
1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位有效数字?
解因为101/2=3.162…=0.3162…10,若具有n位有效数字,则其绝对误差限为0.5 101-n ,于是有
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
1 2
0
12 1,
1 2
1 2
0
12

数值分析课后部分习题答案

证明由差商的定义 (a) 如果 F ( x ) = cf ( x ) ，则
F [ x0 , x1 ,⋯ , xn ] =
=
F [ x1 , x2 ,⋯ , xn ]-F [ x0 , x1 ,⋯ , xn− 1 ] x n − x0
cf [ x1 , x2 , ⋯ , xn ]-cf [ x0 , x1 ,⋯ , xn −1 ] x n − x0 f [ x1 , x2 , ⋯ , xn ]-f [ x0 , x1 ,⋯ , xn−1 ] = cf [ x0 , x1 , ⋯ , xn ] . x n − x0
1 1 1 1 |e( x*)| ≤ × 10m − n = × 10−2 ， |e( y*)| ≤ × 10m − n = × 10 −2 ， 2 2 2 2 1 1 |e( z*)| ≤ × 10 m − n = × 10 −2 ， 2 2 | e( y * z*) |≈| z * e ( y*) + y * e ( z *) |≤ z * | e ( y *) | + y * | e (z *) |
m − n = −3 ，所以， n = 4 ； z * = 0.00052 = 0.52 × 10−3 ，即 m = −3
1 1 × 10m − n = × 10−3 ， 2 2
由有效数字与绝对误差的关系得即
m − n = −3 ，所以， n = 0 .
1 1 × 10m − n = × 10−3 ， 2 2
1 1 ≤ 2.35 × × 10−2 + 1.84 × × 10−2 = 2.095 × 10−2 ， 2 2 1 | e( x * + y * z*) |≈| e( x*) + e( y * z*) |≤ × 10 −2 + 2.095 × 10−2 2 1 = 0.2595 × 10−1 ≤ × 10−1 ， 2

(完整版)数值分析课后习题答案

第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。

线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。

数值分析课后题答案

数值分析第二章2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。

解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 6．设,0,1,,j x j n =为互异节点，求证：（1）0()nkkj j j x l x x=≡∑ (0,1,,);k n =（2）0()()0nk jj j xx l x =-≡∑ (0,1,,);k n =证明（1）令()kf x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()nk n j j j L x x l x ==∑。

插值余项为(1)1()()()()()(1)!n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+又,k n ≤(1)()0()0n n f R x ξ+∴=∴=0()nk kj j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =000(2)()()(())()()(())nk j j j n nj i k i k j j j i nnik ii kj j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑0i n ≤≤又由上题结论可知()nk ij jj x l x x ==∑()()0ni k i ik i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式∴得证。

(完整版)数值分析部分课后答案第二版朱晓临

数值分析第二版朱晓临第一章习题3.324.045≈324.0 60.0876≈60.090.00035167≈0.0003517 2.00043≈2.000 6.①**x x x-≤51441111111010100.005%222a a -+--⨯=⨯⨯≤⨯=（1≤1a ≤9）故它的相对误差限为0.005%②∵*12120....100....10n n n n x a a a a a a =±⨯=⨯＜()10.110na +⨯相对误差限＝0.03%***3311*n n n x x x x x x----=⨯⨯⨯⨯⨯⨯＜0.03%0.(a +1)10=0.3(0.a +1)10＜0.510 ∴至少有3位有效数字。

7.6*1), 1.4,0.004096A A =≈=则1.4≈时，⑴()610.005232781≈⑵(330.008-≈⑶()310.0051252613≈+⑷991-≈所以利用第三个得到的计算结果的绝对误差最小。

8.由函数的绝对误差公式：***(())'()()e f x f x e x ≈ ① 令2**2*(),()(),100f x x f x x x ===cm由题目得，*(())1e f x =，**'()2f x x = ②把②代入①，得： 1≈**2()x e x ⋅ 1≈*2100()e x ⨯⋅ *()e x 0.005cm ≈边长的测量误差不超过0.005cm 时，才能使其面积的误差不超过12cm 。

11.**()ln ,()ln f x x f x x ==令则由公式***(())'()()e f x f x e x ≈，得： ***1(())0.510e f x x x l x≈-<⨯- 又***()r x x x xε-≤，由此可知，*()0.510l r x ε-=⨯所以*x 的相对误差限为0.510l -⨯，有l 位有效数字。

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

第一章绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ，相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。

数值分析参考答案

数值分析参考答案1.4 习题解答或提示1、解：（1）>> a=[1 2 3 ;4 5 6 ]'a =1 42 53 6（2）>> b=[9;7;5;3;1]b =97531（3）>> c=b(2:4)c =753（4）>> d=b(4:-1:1)d =3579（5）>> e=sort(b)e =13579（6）>> f=[3:b']f =3 4 5 6 7 8 92、解：>> x=[7 4 3 ];y=[-1 -2 -3];（1）>> u=[y,x]u =-1 -2 -3 7 4 3 （2）>> u=[x,y]u =7 4 3 -1 -2 -33、解：sum=0;a=[4 -1 2 -8 4 5 -3 -1 6 -7]; for i=1 : length(a)if a(i)>0, sum=sum+a(i); endendsumsum =214、解：m=input('input an array:')input an array:[1 2 5;3 1 2;4 1 3]m =1 2 53 1 24 1 35、解：sum(m)ans =8 4 10>> max(m)ans =4 2 5>> min(m)ans =1 1 26、解：function y=fun_es(x)y=0.5.*exp(x./3)-x.^2.*sin(x);>> fun_es(3)ans =0.0891>> fun_es([1 2 3])ans =-0.1437 -2.6633 0.08917、提示：本题主要考查的是随机数生成函数rand的使用方法，以及选取种子数的方法之一：使用clock命令。

可以参照课本的例1.5来编写函数。

8、解：function y=fun_xa()x=input('input the value of x：');n=input('input the value of n：');y=1;for i=1:1:ny=y+x^i/factorial(i); end>> fun_xa()input the value of x ：1 input the value of n ：4ans =2.70832.4 习题解答1 解：E(lnx)=(ln ’E(x)=)(1x E x =xδ=Er(x) 2. 解 Er(x 2)＝)(22x Er x xx ⨯=4% 3. 解：123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0x x x x x *****=====⨯分别有5 位，2位，4位，5位，2位有效数字4 解 4*1105.0)(-⨯=x E3*2105.0)(-⨯=x E1*3105.0)(-⨯=x E3*4105.0)(-⨯=x E=++)(*4*2*1x x x E +)(*1x E +)(*2x E )(*4x E =0.00105))()((*4*2x E x E E =)()()(*42*4*2*4*2x E x x x x E -5. 解 V=334r π Er(v)=)(//x Er V x dx dV ⨯⨯=3Er(x)%1)(3≤x Er%33.0)(≤x Er6. 解 7830100-=Y Y)783()(100E Y E =＝0.00057．解 x 1，2＝24561122-±＝56783±21,2105.0)x (-⨯=E 2105.0)783(-⨯=E98.27783≈x 1，2＝83.98 或 28.02 8．略。

数值分析课后习题及答案

数值分析课后习题及答案第一章绪论（12）第二章插值法（40-42）2、当时，，求的二次插值多项式。

[解]。

3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 [解]若取，，则，，则，从而。

若取，，，则，，，则，从而补充题：1、令，，写出的一次插值多项式，并估计插值余项。

[解]由，可知，，余项为，故。

2、设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。

[解]由插值余项定理，有，从而。

5、给定数据表：，1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。

[解]一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 1 42 1 -34 0 6 17 1 0 由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为。

第三章函数逼近与计算（80-82）26、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。

19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8[解]由。

又，，，故法方程为，解得。

均方误差为。

27、观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t（秒）0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s（米）0 10 30 5080 110 [解]设直线运动为二次多项式，则由。

，。

又，，，故法方程为，解得。

故直线运动为。

补充题：1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表：I ……U ……试用最小二乘原理确定电阻R的大小。

[解]电流、电阻与电压之间满足如下关系：。

应用最小二乘原理，求R使得达到最小。

对求导得到：。

令，得到电阻R为。

2、对于某个长度测量了n次，得到n个近似值，通常取平均值作为所求长度，请说明理由。

[解]令，求x使得达到最小。

对求导得到：，令，得到，这说明取平均值在最小二乘意义下误差达到最小。

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数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1（P10）5. 求2的近似值*x ，使其相对误差不超过%1.0。

解： 4.12=。

设*x 有n 位有效数字，则nx e -⨯⨯≤10105.0|)(|*。

从而，1105.0|)(|1*nr x e -⨯≤。

故，若%1.0105.01≤⨯-n，则满足要求。

解之得，4≥n 。

414.1*=x 。

（P10）7. 正方形的边长约cm 100，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过12cm 。

解：设边长为a ，则cm a 100≈。

设测量边长时的绝对误差为e ，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计:e ⨯⨯≈1002。

按测量要求，1|1002|≤⨯⨯e 解得，2105.0||-⨯≤e 。

Chapter 2（P47）5.用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011012111A 。

解：设()γβα=-1A。

分别求如下线性方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001αA ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010βA ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100γA 。

先求A 的LU 分解（利用分解的紧凑格式），⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3)0(2)1(1)1(2)0(1)1(2)2(1)1(1)1(1)1(。

即，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121012001L ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=300210111U 。

经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001Ly 和y U =α，得，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100α；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010Ly 和y U =β，得，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323131β；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100Ly 和y U =γ，得，；⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=313231γ。

所以，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3132132310313101A 。

（P47）6. 分别用平方根法和改进平方根法求解方程组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----816211515311401505231214321x x x x 解:平方根法：先求系数矩阵A 的Cholesky 分解（利用分解的紧凑格式），⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1)15(2)1(1)5(3)3(3)14(2)0(1)1(1)5(2)2(1)1(，即，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121332100120001L ，其中，TL L A ⨯=。

经平方根法的回代程，分别求解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=81621Ly 和y x L T =，得，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111x 。

改进平方根法：先求系数矩阵A 的形如T LDL A =的分解，其中44)(⨯=ij l L 为单位下三角矩阵，},,,{4321d d d d diag D =为对角矩阵。

利用计算公式，得11=d ；;1,2,222121===d l t;9,2,1,2,1332313231=-==-==d l l t t1,32,1,3,6,1,34434241434241===-===-=d l l l t t t 。

分别求解方程组，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=81621Ly 和y x DL T =，得，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111x 。

（P48）12. 已知方程组⎩⎨⎧=+=+198.099.0199.02121x x x x 的解为100,10021-==x x 。

（1）计算系数矩阵的条件数；（2）取TT x x )5.99,5.100(,)0,1(*2*1-==，分别计算残量)2,1(*=-=i Ax b r i i 。

本题的计算结果说明了什么？解：（1）设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=98.099.099.01A ，求得，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-100009900990098001A 。

从而，39601)(1=A Cond 。

（2）计算得，Tr )01.0,0(1=，01.011=r ；T r )985.0,995.0(2--=，98.112=r 。

这说明，系数矩阵的条件数很大时，残量的大小不能反映近似解精度的高低。

Chapter 3（P72）3. 用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+1221122321321321x x x x x x x x x 取初值T x)0,0,0()0(=，迭代4次，并比较它们的计算结果。

解：由方程组得，1221122213312321+--=+--=++-=x x x x x x x x x从而，Jacobi 迭代格式为：1221122)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1+--=+--=++-=+++k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，.,2,1,0 =k Gauss-Seidel 迭代格式为：1221122)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1+--=+--=++-=++++++k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，.,2,1,0 =k 整理得，1232122)(3)1(3)(3)(2)1(2)(3)(2)1(1-=-=++-=+++k k k k k k k k x x x x x x x x ，.,2,1,0 =kJacobi 迭代：TT T T T x x x x x )1,3,3()1,3,3()3,1,1()1,1,1()0,0,0()4()3()2()1()0(-=→-=→--=→=→=Gauss-Seidel 迭代：TT T T T x x x x x )15,51,43()7,15,11()3,3,1()1,0,1()0,0,0()4()3()2()1()0(--=→--=→--=→-=→=Jacobi 迭代中)3(x已经是方程组的精确解，而从Gauss-Seidel 迭代的计算结果，可以预见它是发散的。

（P73）9.设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++33122113214bx ax b x ax b ax ax x （1）分别写出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的计算公式，（2）用迭代收敛的充要条件给出这两种迭代法都收敛的a 的取值范围。

解: 由方程组得，3132********b ax x b x ax x b ax ax x +-=+--=+--= 从而，Jacobi 迭代格式为：3)(1)1(32)(1)1(21)(3)(2)1(14b ax x b ax x b ax ax x k k k k k k k +-=+-=+--=+++，.,2,1,0 =k迭代矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000040a aa a B 设0||=-B I λ，求得，||5|,|5,0321a a -===λλλ，故||5)(a B =ρ。

另由Jacobi 迭代格式，得Gauss-Seidel 迭代格式为：31)(32)(22)1(321)(32)(22)1(21)(3)(2)1(1444b ab x a x a x b ab x a x a x b ax ax x k k k k k k k k k +-+=+-+=+--=+++，.,2,1,0 =k 迭代矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=222204400a a a aa a G 设0||=-G I λ，求得，23215,0,0a ===λλλ，故25)(a G =ρ。

另外，应保证方程组的系数矩阵非奇异，解得，55±≠a 。

由迭代收敛的充要条件得， Jacobi 迭代收敛55||<⇔a ；Gauss-Seidel 迭代收敛55||<⇔a 。

故，使得两种迭代法都收敛的a 的取值范围是相同的：55||<a 。

（P74）12.证明对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111a a a a a a A 当121<<a 时为正定矩阵，且只有当21||<a 时，Jacobi 迭代解b Ax =才收敛。

解: A 为正定当且仅当以下三个不等式同时成立：0111,011,01>>>a a a a aa a a ，解之得，121<<a 。

此时解方程组的Gauss-Seidel 迭代收敛。

另外，可得解方程组的Jacobi 迭代格式的迭代矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=000a a a a a a B解得，||2)(a B =ρ。

由收敛的充要条件，Jacobi 迭代收敛当且仅当21||<a 。

Chapter 5（P140）7.设n x x x ,,,10 为1+n 个互异节点，),1,0)((n j x l j =为这组节点上的n 次Lagrange 插值基函数，试证：（1）∑===nj k jk j n k x x l x,1,0,)( ；（2）∑==≡-nj j k jn k x l x x,1,0,0)()( 。

证：（1）对于固定的},,2,1{n k ∈，设∑==nj jkj x l xx P 0)()(，则)(x P 为次数不超过n 的多项式，且k i i x x P =)(，n i ,,1,0 =而对于多项式函数kx 当然也满足如上的等式条件以及次数n ≤，由Lagrange 插值问题的适定性，kx x P =)(。

（2）对于固定的},,2,1{n k ∈，∑∑∑∑∑==---===--=-=-nj ji j ki ik ik i kik i jnj n j ki ik i kj j kjx lx xC xx C x l x l x x)()1()1()()()(0)()1(0≡-=-=∑=--k i ki i k i k i k x x x x C ，证完。