湘潭大学数学物理方法之93正则奇点邻域上的级数解法

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第九章第二节常点邻域上的级数解法

1 x2 y 2xy ll 1y 0...9.2.4
解: (9.2.4)即
y
1
2
x x
2
y
ll 1
1 x2
y
0
与 y pxy qxy 0 比较，方程的系数
p
x
1
2x x2
,
q
x
l l 1
1 x2
p(z)和q(z)在x0=0解析，因此x0=0是方程的常点。根据常点邻域上的解的定理，解具有泰勒级数形式：
d 2R dx2
1 x
dR dx
1
m2 x2
R
0...9.1.22
即x2
d 2R dx2
x
dR dx
x2
m2
R0
m阶贝塞尔方程。
这就提出一个问题：如何求线性二阶常微分方程
y pxy qxy 0 yx0 C0 , yx0 C1
这些线性二阶常微分方程往往不能用通常的方法解出，但可用级数解法解出。
3、 x 1 是函数 (9.2.4)的齐点。可以证明 (附录四)， y0(x)和y1(x)在 x 1 不可能都是有限的。也就是说，l 阶勒让德方程没有形如 yx D0 y0 x D1 y1x
而在 x 1 均为有限的无穷级数解。
❖ 当 l =2n 时(n是正整数) ， y0(x)是2n次多项式，不是无
……
37
a5
5!
a1
xk项系数：
k 2k 1 ak2 2kak 1ak 0
由此得到一般项系数递推公式
ak 2
2k 1
k 2k
1
ak
一般解中包含有两个任意常数a0与a1，这正是二阶线性常微分方程的通解中必然出现的两个积分常数。特解y0和y1是线性无关的。

Chap 11 方程的正则奇点及其邻域的幂级数解法-Bessel方程-20131222

s1 k w1 z ak z z0 . k 关的特解: s2 k w z bk z z0 . 2 k
2
定理 : 如果函数 p z 以 z0 为不高于一阶的极点 , 且
或者
y x C1 J v x C2 N v x .
14
1 x J v x 1 v k 1 2 k 0
k

v 2k
,
J v x cos v J v x Nv x ； sin v N m x lim N v x . （m 取整数）

在柱坐标系下对 Laplace 方程和 Helmholtz 方程分离变量得到 Bessel 方程:
d R dR 2 x x x 2 dx dx
2
2
m2 R 0. x

球坐标系下对 Helmholtz 方程分离变量得到球 Bessel 方程:
2 d R dR 2 2 2 r 2 r k r l l 1 R 0. 2 dr dr
4
m 阶 Bessel 方程
x y '' xy ' x m y 0
2 2 2
首先将方程变形为标准形式：
1 y '' y ' 1 m 2 /x 2 y 0 x
易知
z0
分别是 p z 1/ z 和
q z 1 m2 / z 2 的一阶和二阶极点。所以
1 s l . 2
y x C1 J

常点邻域上的级数解法

y( x) D0 y0 ( x) D1 y1 ( x)
且在x=±1均有限的无穷级数解(P193)； (4)自然边界条件构成的本征值问题实际问题中要求解在一切方向保持有限，即在 x∈[-1，1]或θ∈[0，π]上有限物理问题要求解在x=±1保持有限，而y0(x)、 y1(x)不满足该要求。
(两个级数之和) y0(x)只含偶次幂，为偶函数， y1(x)只含奇次幂，为奇函数， a0、a1为任意常数，可由初始条件确定
(l )(l 1) 2 y0 ( x ) 1 x ... 2! (2k 2 l )(2k 4 l )...(l )(l 1)(l 3)...(l 2k 1) 2 k x (2k )! ⑦ (2k l )(2k 2 l )...(l 2k 1)(l 2k 1) 2 k 2 x ... (2k 2)!
R lim (k 1)( k 2)
k
由递推公式得：
例(P195.3): 在x0=0的邻域上求解埃尔米特(厄密) 方程y"-2xy'+(λ -1)y=0，(量子力学谐振子问题中出现)λ 取什么数值可使级数解退化为多项式？这些多项式乘以适当的常数使最高幂项成为 (2x)n形式，叫做厄密多项式，记为Hn(x)，写出前几个Hn(x)。解： y 2 xy ( 1) y 0 ( x )
n2 k 0 n 1 k 1 k 0

代入方程，得
ak 2
2k 1 ak (k 1)(k 2)
推导得 y( x) a0 y0 ( x) a1 y1 ( x) ，其中
1 2 (1 )(5 ) 4 y0 ( x ) 1 x x ... 2! 4! (1 )(5 )...(4k 3 ) 2 k x ... (2k )!

湘潭大学数学物理方法课件之92常点邻域上的级数解法

数学物理方法
k l k l 1 ak 2 ak k 2 k 1
按照递推公式具体进行系数的递推，首先看偶数项 l l 1 a2 a0 2!
a4
2 l l 3 a 43
2
2 l l l 1 l 3 a 4!
的奇点。
数学物理方法
定理：若方程（9.2.2）的系数 p ( z ) 和 q( z ) 为点 z0 的邻域
| z z0 | R 中的解析函数，则方程（9.2.2）在这个圆中存在唯一的解析的解 w( z ) 满足初值条件 w( z 0 ) C0 , w' ( z0 ) C1 。
（9.2.8）
数学物理方法
需要确定级数 y0 ( x) 和 y1 ( x ) 的收敛半径。把幂级数收敛
0
k l k l 1 a3.2.3 半径的公式（）应用于 y ( x) 和 y1a (kx) ，在这里就是 k 2 k 2 k 1 R lim | a / a | . 利用递推公式(9.2.5),
(三) 勒让德方程自然边界条件
(1) 勒让德方程的级数解在 x0 0 的邻域上求解 l 阶勒让德方程
(1 x ) y' '2xy'l (l 1) y 0
2
(9.2.4)
数学物理方法
即: y' '[2x /(1 x 2 )]y'[l (l 1) /(1 x 2 )]y 0 ，方程的系数:
k 0
k 0
将它们代入 (1 x 2 ) y' '2xy'l (l 1) y 0 （9.2.4），合并同幂项，即得到左边是级数形式的勒让德方程

29-1讲常点邻域上的级数解

(1) n c2 n 1 (l 1)(l 3) (l 2n 1) (l 2)(l 4) (l 2n)c1 0. (2n)！
同理，当l=2n-1(奇数)时，系数c2n+1与之后的奇标项系数为0，而偶标项系数均不为0。这说明，通过固定l值的办法只能得到一个勒让德多项式，称为第Ⅰ类勒让德函数，记作Pl(x)。再通过解与系数的关系可以得到另一个勒让德函数，称为第Ⅱ类勒让德函数，记作Ql(x)，但是Ql(x)仍然是发散的。不过我们可以选取0作为其初值，则由递推关系知其所有系数为0，即该函数为0，这样边界上的解只用第Ⅰ类勒让德函数表示即可。
其中： y1 ( x) c2 n x ,
2n n 0

y2 ( x) c2 n 1 x 2 n 1.
n 0

由递推关系可以得到通项系数：
k 2(n 1)时：ck 2 c2 n (l k )(l k 1) ck (k 2)( k 1)
即ck 2
k (k 1) l (l 1) (l k )(l k 1) ck ck , (k 0,1). (k 2)( k 1) (k 2)( k 1)
上式称为系数递推关系。由系数递推关系可知，偶数脚标项(简称偶标项)系数只与偶标项系数有关，奇标项系数只与奇标项系数有关。若已知初值 y (0) c0 , y(0) c1 , 则偶标项系数可由c0决定，奇标项系数可由c1 决定，方程解可写成两个线性无关解的和 y( x) y1 ( x) y2 ( x).
§9.2 常点邻域上的级数解一、解与系数的关系对于二阶线性常微分方程： y( x) p( x) y( x) q( x) y( x) 0, 通常有两个线性无关解y1(x)和y2(x)，将其代入方程得： y2 y1 y1y2 p( x) y y y y , y1 p ( x) y1 q ( x) y1 0, 2 1 1 2 y2 p ( x) y2 q ( x) y2 0. q ( x) y2 y1 y1y2 . y2 y1 y1 y2 该式称为解与系数的关系。这样，只要知道方程的一个解，如y1(x)，由上面的关系，就可以求出另一解y2(x)。引入朗斯基行列式：

§23 常微分方程在正则奇点邻域的级数解法

Hale Waihona Puke 2k+1−
m)
=
0,
当 s = m 时，
c2k
=
−
c2k −2
(2m + 2k )2k
=
−
c2k −2
22(m + k )k
(Qc1 = 0)
下面，利用归纳法推导 c2k 的递推关系
当k
= 1时，c2
=
−
c0
22(m + 1)⋅1
当k
=
2时，c4
=
−
c2
22 (m +
2)2
=
1
22 (m +
2)2
c0
2 π
⎜⎛ − ⎝
1 2
1 x3 2
sin
x
+
1 x1 2
cos x ⎟⎞ ⎠
∑ ∑ 2
π
⎜⎜⎝⎛ −
1 2
1 x3 2
∞
(− 1)n
n=0
1
(2n +
1)!x
2n
+1
+
1 x1 2
∞
(− 1)n
n=0
1
(2n
)!x
2
n
⎟⎟⎠⎞
∑ ∑ 2βxJ ' (x) = β 12
2 π
⎜⎜⎝⎛
−
∞ n=0
(− 1)n
∞
( ) ∑ y2 x = c2n x2n−1 2 = c0 x−1 2 + c2 x3 2 + c4 x7 2 + L n=0
=
c0 x−1
2
+
⎜⎛ ⎝

正则奇点邻域上的级数解法

⑾
虽然s1-s2=2l+1为整数，但可证A=0(见之前⑥式)
w2 ( z ) Aw1 ( z ) ln(z z0 ) bk ( z z0 ) s2 k
k 0
⑥

通解
(1) k x J (l 1/ 2) ( x) k 0 k! ( l 1 / 2 k 1) 2
2k k
4
收敛半径为：
bk 2 R lim lim k (2v k ) k b k k 1 取 b0 v (参见P413) 2 (v 1)
得贝塞尔方程的另一个特解
1 x k y2 ( x) (1) k! (v k 1) 2 k 0
k
s2 k ③ b ( z z ) k 0

其中s1、s2、A、ak、bk(k=0，±1、±2...)为常数。定义：当①②③中只有有限个负幂次(或级数无负幂项，k从0开始)，则称z0为方程的正则奇点，相应的解称为正则解。定理2：方程w"+p(z)w'+q(z)w=0在奇点z0的邻域 0<|z-z0|<R内存在两个正则解的充要条件是： (z-z0)p(z)和(z-z0)2q(z)在0≤|z-z0|<R中解析。
a2k 1 0
得到v阶贝塞尔方程的一个特解：
2 1 x v y1 ( x) a0 x 1 1!(v 1) 2
1 x ... 2!(v 1)(v 2) 2 1 x (1) ... k!(v 1)(v 2)...(v k ) 2
k
......
得到贝塞尔方程的另一个特解：

二阶线性常微分方程的级数解法解析课件

fn
(s)
sPn
Qn
.
(n 1, 2,
)，由于a0 0，必有
f0 (s) s(s 1) sP0 Q0 0 上式为指标方程，其根s1和s2称为正则奇点的指标数.
从而得到方程的一个解w1(z) (z z0 )s1 ak (z z0 )k k 0
求第二个特解
1 s1 s2 整数包括零，则在所设解中取s s2，此时f0 (s2 ) 0，
由于J m
(x)
k 0
k
(1)k !(m
k
1)
( x )m2k，其中m为整数，当 2
k m时， m k 1为负数，函数的值为无穷大，因此对k
求和是从k
m开始，即J m
(x)
k m
k
(1)k !(m
k
1)
( x)m2k 2
令n k m，求和指标从k变到m，则有
Jm (x)
dz2 z dz
z2
在有限远处的奇点为z0 0，且z0 0 是方程的正则奇点.
5.2 方程常点邻域内的解
1.常点邻域内的级数解定理
若p(z)和q(z)在圆形域 | z z0 | R内单值解析，则常微分初值问题
d 2w
dz 2
p(z)
dw dz
q(z)w
0
w(z0 ) a0 , w(z0 ) a1
f0 (s2 k) 0，k 1, 2, 对任选a0 0可唯一确定另外一个解
w2 (z) (z z0 )s2 bk (z z0 )k，w1(z)和w2 (z)线性无关. k 0
2当s1 s2 n 整数，f0 (s2 ) 0，f0 (s2 n) 0，递推到第n步
令a0 a1 an1 0，an 0，可唯一确定ak (k n)，从而

常微分方程级数解法中系数递推公式的一种推导方法

常微分方程级数解法中系数递推公式的一种推导方法杨志坚【摘要】在数学物理方法中常见的几种偏微分方程在柱坐标系或球坐标下分离变量时会出现二阶线性齐次常微分方程,为了求解这类常微分方程,常用级数解法.该方法的核心问题就是找解函数级数的系数递推公式,本文推荐一个比较简单的求系数递推公式的方法.【期刊名称】《西南民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(037)006【总页数】4页(P971-974)【关键词】微分方程;级数解法;递推公式【作者】杨志坚【作者单位】西南民族大学电信学院,四川成都610041【正文语种】中文【中图分类】O175在常见的柱坐标和球坐标系中对数学物理方程进行分离变量时, 就会出现连带勒让德方程, 勒让德方程,贝塞尔方程和球贝塞尔方程等特殊函数方程[1-2]. 它们大多是二阶线性齐次变系数常微分方程. 为了方便将其表示为复函形式：其中已知函数 ()p z、 ()q z为系数函数, 0z是任意指定点, 0c和 1c为任意指定常数.这里不涉及方程解的存在性, 唯一性和敛散性问题, 仅讨论方程的解存在且唯一时,如何求其级数解.我们知道, 微分方程的级数解法就是求级数解的系数递推公式. 大多数教材处理这个问题的方法, 是将级数解代入微分方程, 再比较各同次幂的系数, 从中归纳总结出系数递推公式[3]. 这种处理方法思路简单清晰,初学者容易理解、掌握. 但是其计算过程较繁长, 且不易归纳总结出递推公式. 这里我们给出另一种计算递推公式的方法, 它简便易行, 初学者也容易掌握.为此, 我们将问题分成常点邻域和正则奇点邻域两种情况给予介绍.由于 0z是方程（1）中 ()p z和 ()q z的解析点, 可将其分别展开成泰勒系数其中 na和 nb（n=0.1.2……）是已知的展开系数.又因方程（1）在常点 0z的邻域内存在唯一的解析解, 故可将解函数 ()w z在此邻域内展开泰勒级数：其中, 0c、 1c由初始条件决定的已知常数, 而 2c、3c··nc··是待定常数, 确定了这些待定常数就找到了级数解.为此, 将（2）、（3）和（4）式代入方程（1）得：为了找出系数递推公式, 必须将上式表达成一个无穷级数, 考虑上式第一项故（5）式可变成：利用两幂级数相乘公式, 上式可变为上式即为方程（1）的解函数w(z)的系数递推公式.例如, 求勒让德方程在 0 0z= 的邻域上的级数解：显然 0 0z= 是方程的常点, 令处理上式第一项这里不妨假设 0z是p(z)的一阶奇点, 是q(z)的二阶奇点, 则式中 na、 nb为常数.而正则奇点领域内的级数解可表示为：式中 0c、1c… nc…是待定常数, 且0 0c≠ , 由指标方程将（8）, （9）和（11）代入方程（1）, 并消去( z −z0)s1可得此时方程（12）可变为用前面处理常点邻域相同的方法, 上式可变为z=00是方程的正则奇点, 其指标方程为用同样的方法处理上式第一项, 得【相关文献】[1] 梁昆淼. 数学物理方法[M]. 2版. 北京: 高等教育出版社, 1998.[2] 姚端正, 梁家宝. 数学物理方法[M]. 3版. 北京: 科学出版社, 2010.[3] 胡嗣柱, 倪光炯. 数学物理方法[M]. 2版. 北京: 高等教育出版社, 2002.[4] 王竹溪, 郭敦仁. 特殊函数慨论[M]. 北京: 科学出版社, 1979.[5] C A 克罗克斯顿. 数学物理方程导论[M]. 戴安英钱伯初译. 北京: 高等教育出版社, 1982.[6] 郭敦仁. 数学物理方法. 北京: 人民教育出版社, 1978.[7] R 柯朗, D 希尔伯特. 数学物理方法[M]. 钱敏, 郭敦仁, 译. 北京: 科学出版社, 1981.[8] F W 拜伦, R W 富勒. 物理学中的数学方法[M]. 北京: 科学出版社, 1982.。

大学物理-正则奇点领域内的幂级数解法

可以证明：
J n ( x) (1)n J n ( x)
(7-3-12)
因此它们不能组合成通解，这时与 Jn (x) 线性无关的特解可按式 (7-1-4) 求得到
y2 (x) a J（n x）ln x x Dk xk k 0
但是用这个公式计算 a 与 Dk 通常是很麻烦的。人们宁愿
重新定义一个与 Jn (x) 线性无关的函数作为特解，它就是诺依曼函数。
p(x) 1 x
q(
x)
1
v2 x2
则 x = 0 是 p(x)的一阶极点、q(x) 的二阶极点，因此，x = 0 是方程的正则奇点，方程的第一个解具有的形式：
y x Ck xk Ck xk
k 0
k 0
(2) 指标方程
将式 (7-3-2) 代入方程 (7-1-1)，可得到
(7-3-2)
(k )(k 1)Ck xk (k )Ck xk
7.3 正则奇点邻域内的幂级数解法 (贝塞尔方程的求解)
7.3.1 正则奇点邻域内的幂级数解法
二阶线性齐次常微分方程
x 2 y" xy ' (x 2 v 2)y 0 (0 x b)
(7-3-1)
称为贝塞尔方程。
现在，在 x = 0 的邻域求解贝塞尔方程。
(1) 级数解的形式
由 7.1 节二阶线性齐次常微分方程的标准形式可知
(2) 当不为整数时， J (x) 与 J – (x) 线性无关
实际上，当 x → 0 时
J
v
(
x)
(
x 2
)v
n0
(1)n n！(v n
1)
(
x 2
)2n
（ x）v 1 0 2 (v 1)

梁昆淼_数学物理方法第9章

2
d m 2 0 d 2
2
A cos m B sin m
d R dR r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr
2 2
(m 0,1,2,3)
R Cr Dr
l
( l 1)
（2）、柱坐标系
u 1 u 1 u u u 2 2 2 2 z
2u 2u 2 2u 2u 2 2 cos 2 sin cos 2 sin 2 x xy y
上面第一式两边除以 2
1 2u 2u 2u 2u 1 u u 2 2 2 ( cos sin ) 2 2 x y x y
u 1 u 1 u u 在柱坐标系中 u 2 2 2 2 z
2 2 2
在极坐标系中
u 1 u 1 u u 2 2 2
2 2
（2）、球坐标系中
1 2 u 1 u 1 u u 2 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin r sin 2 2
令
1 d sin d d (sin ) l (l 1) sin 2 d 2 d d
2
d 0 2 d d d 2 sin (sin ) [l (l 1) sin ] 0 d d
2
d 0 2 d d d sin (sin ) [l (l 1) sin 2 ] 0 d d
第九章二阶常微分方程级数解法变换法
本征值问题
§9.1 §9.2 正交曲线坐标系特殊函数常微分方程
§9.3 常点邻域的级数解法 §9.4 正则奇点邻域上的级数解法

第9章：常微分方程的级数解法

p( z ) =
k = −1
∑
∞
pk ( z − z0 ) k ,
q( z ) =
k = −2
∑
∞
qk ( z − z 0 ) k ,
这时方程的二个线性独立解(称为正则解)为
14
w1 ( z ) = ( z − z0 )
s1
∑ a (z − z )
k =0 ∞ k 0 k =0 k 0
∞
k
w2 ( z ) = ( z − z0 ) 或
−l − 1 +2k 2
24
半奇数阶 Bessel 函数可用初等函数表示
2 ∞ 1 x k J 1 ( x) = ( −1) ∑ 2 πx k =0 ( 2k + 1)! 2 2 J − 1 ( x) = cos x 2 πx
2 k +1
（2）Legendre 方程 d 2 dy (1 − x ) + l (l + 1) y = 0 dx dx 问题关键：变系数方程，求解析解的困难、解的特性如何？
2
标准形式
d w dw + p( z ) + q( z ) w = 0 2 dz dz
2
z一般是复的，即在复平面上考虑方程
s2
∑b (z − z )
∞
k
′ ( z ) = Aw1 ( z ) ln(z − z0 ) + ∑ bk ( z − z0 ) s2 + k w2
k =0
其中 s1 和 s2 是判定方程的二个根（且s1> s2 ）
s( s − 1) + sp−1 + q− 2 = 0
方程的解与 s1和s2的关系为 s1-s2≠整数，解为w1 和 w2 s1-s2=整数(包括 0)，解为w1 和

第九章级数解法本征值问题

第九章二阶常微分方程的本征值问题级数解法§9.1 特殊常微分方程的本征值问题§9.2 常点邻域上的级数解法§9.3 正则奇点邻域上的级数解法§9.4 施图姆-刘维尔本征值问题§9.1 特殊常微分方程的本征值问题在球坐标下的分离变量0=∆u 1.θϕθϕθcos sin sin cos sin r z r y r x ===πϕπθ2000≤≤≤≤∞≤≤r 0sin 1sin sin 112222222=∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ϕθθθθθur u r r u r r r ),()(ϕθY r R u =0sin 1sin sin 2222222=∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕθθθθθYr Y r R dr dR r dr d r Y r θφxyz)1(sin 11sin sin 112222+=ϕ∂∂θ-⎪⎭⎫ ⎝⎛θ∂∂θθ∂∂θ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛l l YY Y Y dr dR r dr d R ⇒=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛0)1(2R l l dr dR r dr d 0)1(2222=+-+R l l dr dR r dr R d r 11)(++=l lll rD r C r R 欧勒型常微分方程0)1(sin 1sin sin 1222=++ϕ∂∂θ+⎪⎭⎫ ⎝⎛θ∂∂θθ∂∂θY l l Y Y 这是球函数方程，称为球函数。

),(ϕθY )()(),(ϕθϕθΦΘ=Y 0)1(sin sin sin 222=ΘΦ++ϕ∂Φ∂θΘ+⎪⎭⎫ ⎝⎛θ∂Θ∂θθ∂∂θΦl l欧拉(Euler，1707－1783)，瑞士数学家及自然科学家。

在1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国的彼得堡去逝。

欧拉出生於牧师家庭，自幼已受到父亲的教育。

13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。

湘潭大学《高等数学》课件-第12章无穷级数

级数, 且
则
为正项
证明提示:
对任意给定的正数
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
43
说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
级数收敛 ; 但
级数发散 .
44
例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 . 解:
由定理5可知该级数收敛 . 令
概念:
为收敛级数
绝对收敛
Leibniz判别法:
条件收敛
则交错级数
收敛
55
思考与练习
设正项级数
收敛, 能否推出
收敛 ?
提示:
由比较审敛法可知
收敛 .
注意: 反之不成立. 例如,
收敛 ,
发散 .
56
作业
P271 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (3), (4) ;
*3 (1), (2) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3), (5)
则所求误差为
45
二、交错级数及其审敛法
则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
则级数
收敛 , 且其和
其余项满足
46
证:
是单调递增有界数列, 故又故级数收敛于S, 且
47
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 收敛收敛收敛
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn )
必发散 . (用反证法可证)
n1
但若二级数都发散 ,

数学物理方法_第3章二阶线性常微分方程的幂级数解法本征值问题

y ( x) 2 1a2 3 2a3 x (k 2)( k 1)ak 2 x k
把以上结果代入方程，比较系数得 2 2
2 1a2 a0 0, 3 2a3 a1 0, 4 3a4 2 a2 0, 5 4a5 2 a3 0,
(2k 1)!
a1.
于是方程的级数解为
1 1 1 y( x) a0 1 ( x)2 ( x) 4 (1) k ( x) 2 k 4! (2k )! 2! 2 k 1 a1 1 1 3 5 k ( x) x ( x) ( x) (1) 3! 5! (2k 1)! a a0 cos x 1 sin x.
n 1

n 1
cn1 (n 1)( x x0 )n ,
n 0

可将式（3.1.4）写成
c
n 0 n n
n ( n 2)( n 1)( x x ) [ ( k 1) a c ]( x x ) n2 0 n k k 1 0 n n 0 k 0
y( x) an x n
n 0
(3.3.2)
于是
y( x) nan x
n 1 n 1
(k 1)ak 1 x k ,
k 0

y( x) n(n 1)an x
n2
2 k 0

n2
(k 2)(k 1)ak 2 x k ,
(1 l )(l 2) 3 (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) 5 y1 ( x) x x x 3! 5! (2k 1 l )(2k 3 l ) (1 l )(l 2)(l 4) (l 2k ) 2k 1 x (2k 1)!

9. 二阶常微分方程级数解法

第九章二阶常微分方程级数解法•§9.1 特殊函数常微分方程•§9.2 常点邻域上的级数解法•§9.3 正则奇点邻域上的级数解法•§9.4 施图姆-刘维尔本征值问题•前面讨论的都是两个自变量的偏微分方程，涉及到的本征函数都是三角函数，除了圆形泊松问题外，大多是反射对称的问题；•从现在开始，我们要讨论三维的定解问题。

实际的边界问题可能具有其它对称性，比如球或柱对称边界，这时的本征函数采用三角函数就不方便了，我们将发现新的本征函数和本征值，并且用它们做级数展开来求解偏微分方程。

•本章主要讨论拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程等在球坐标系、柱坐标系满足的常微分方程及其定解。

我们依然采用分离变量法。

§9.2 常点邻域上的级数解法•前面我们通过分离变量法得到了一些特殊的二阶常微分方程，本节讨论这些方程在特定的边界条件下的定解问题。

•这些二阶常微分方程大多不能用通常的方法，比如直接积分的方法求解；•通常采用幂级数解法，即在某一选定的点的邻域上将待求的解表示成系数待定的级数，得到系数之间的递推关系，然后利用边界条件确定所有系数的值。

•级数求解问题的关键在于收敛性。

•考虑一般的复变函数w(z)的线性二阶常微分方程：w’’+p(z)w’+q(z)w=0, w(z 0)=C 0, w’(z 0)=C 1. 其中z 为复变数，z 0为选定的点。

•（一）方程的常点和奇点：在z 0邻域，如果p(z)和q(z)是解析的，则z 0称作方程的常点；如果p(z)和q(z)是奇异的，则z 0称作方程的奇点。

•（二）常点邻域上的级数解：如果线性二阶常微分方程的系数p(z)和q(z)在点z 0的邻域|z-z 0|<R 是解析函数，则方程在这个圆中存在满足初值条件的唯一解析解。

•因此可以把解表示成此邻域上的泰勒级数形式：•后面的任务就是确定这些级数解的系数a k ，通常会得到它们之间的一些递推关系。

洛朗级数和正则奇点求解微分方程

170116 洛朗级数和正则奇点求解微分方程1、洛朗级数 1.1 问题提出已知结果：当f (z )在圆|z -z 0|<R 内解析，Taylor 定理告诉我们，f (z )必可展开成幂级数。

问题是：当f (z )在圆|z -z 0|<R 内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。

1.2 双边幂级数210201020102000()()()()()()()n n n n nnn a z z a z z a z z a a z z a z z a z z a z z ------∞=-∞+-++-+-++-+-++-+≡-∑ (1)其中，00()nn n a z z ∞=-∑被称为双边幂级数的正幂部分；01()n n n a z z -∞=--∑被称为双边幂级数的负幂部分。

1.3 收连环的确定设正幂部分的收敛半径为R 1；而负幂部分在变换=1/(z -z 0)下的级数的收敛半径为1/R 2，则其在|z-z 0|>R 2外收敛。

如果R 2<R 1，那么双边幂级数就在环状域R 2<|z -z 0|<R 1 内收敛，所以R 2<|z -z 0|<R 1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。

双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛。

1.4 洛朗定理定理：设()f z 在201R z z R <-<内单值解析，则对环域上任一点z ，()f z 可展开成为幂级数：()()knk f z a z z ∞=-∞=-∑ (2)其中()()()1011,2,2k k C f a d k i z ζζπζ+==±±-⎰ ，且展开式唯一。

积分路径C 为位于环域内按逆时针方向饶内圆一周的任一闭合曲线。

式（2）称之为()f z 的洛朗展开，右端的级数称为洛朗级数。

说明:(1) 虽然级数中含有z-z 0的负幂项，而这些项在z=z 0时都是奇异的，但点z 0可能是，也可能不是函数f(z)的奇点。