材料力学第4章 弯曲内力
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材料力学刘鸿文第六版最新课件第四章 弯曲内力
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第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切（薄壁圆筒扭转问题） §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形 §3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 非圆截面扭转的概念 §3.8 薄壁杆件的自由扭转
第四章 弯曲内力
M l
e
(l
x2 )
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
FB
B
Me lx
(3)根据方程画内力图
FS
(
x1
)
M l
e
FS (x2 )
Me l
M x
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
M
a l
M
e
+
－
b l
M
e
FB
B
Me
lx
(3)根据方程画内力图
FS
(
x1
)
M l
e
FS (x2 )
M
(x1)
M l
Me
l e x1
a l F(lx2 )
FA a F
b
A x1
C
x2
l
FS
bF
+l
－
M
FB (3)根据方程画内力图
B
b
FS (x1) l F
FS
( x2
)
a l
F
x
a l
F
x
FA a F
b
《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
《材料力学》第四章 弯曲内力
ql FS = R A－qx＝ －qx 2 x qlx qx 2 M = R A x－qx ⋅ ＝ － 2 2 2
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
材料力学——4梁的弯曲内力
21
例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图 解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) F
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
M ( x) Fx
2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：
FQ M
max max
F Fl
22
例题 2简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 由对称关系，可得： 1 FAy FBy ql 2 2.列剪力方程和弯矩方程
Q2 Q1– Q2=P
x
x
梁的内力计算的两个规律：
（1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
FQ
F
yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
12
二、例题
[例1]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 2 解：截面法求内力。 qL 1 1--1截面处截取的分离体 1 a y qL A M1 x1 Q1 图（b） 2 b 如图（b）示。
x
图（a）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA( Fi ) qLx1 M1 0 M1 qLx1
作梁的剪力图 FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0
34
35
27
3. 弯矩图与剪力图的关系
(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面 上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二 次抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时，M图 为斜直线。
材料力学-- 弯曲内力
1 q ( x2 a ) 2 0 2
y
0:
C
qlx2 M 2
1 M 2 q( x2 a) 2 qlx2 2 10
另外还可以直接利用外力简化法求解内力。 内力与外力之间的大小关系规律： （1）横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和。 （2）横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力对截面形心取矩的代数和。 内力符号与外力方向之间的关系规律： （1）“左上右下”的外力引起正值剪力，反之则相反。 （2）“左顺右逆”的外力偶引起正值弯矩，反之则相反 。 （3）所有向上的外力均引起正值弯矩，反之则相反。
q( x )dx dFS ( x )
x q(x) M(x) FS(x) dx
dx
M(x)+d M(x)
dFS x q x dx
剪力图上某点处的切线斜率 FS(x)+dFS(x) 等于该点处的荷载集度。
26
q(x)
dFS x q x dx
第五章
弯曲内力
1
第五章
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §4.5 §5.6
弯曲内力
平面弯曲的概念 梁的计算简图 弯曲内力―剪力和弯矩 剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及 其应用 用叠加法作弯矩图
2
§5.1 平面弯曲的概念
一、弯曲变形
受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。
O FN Fs M F
q
符号规定：使轴线曲率增加的M 为正；引起拉伸变形的FN为正； 将Fs对研究对象上任一点取矩， 若力矩的转向为顺时针的，则剪 24 力为正，反之均为负。
y
0:
C
qlx2 M 2
1 M 2 q( x2 a) 2 qlx2 2 10
另外还可以直接利用外力简化法求解内力。 内力与外力之间的大小关系规律： （1）横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和。 （2）横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力对截面形心取矩的代数和。 内力符号与外力方向之间的关系规律： （1）“左上右下”的外力引起正值剪力，反之则相反。 （2）“左顺右逆”的外力偶引起正值弯矩，反之则相反 。 （3）所有向上的外力均引起正值弯矩，反之则相反。
q( x )dx dFS ( x )
x q(x) M(x) FS(x) dx
dx
M(x)+d M(x)
dFS x q x dx
剪力图上某点处的切线斜率 FS(x)+dFS(x) 等于该点处的荷载集度。
26
q(x)
dFS x q x dx
第五章
弯曲内力
1
第五章
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §4.5 §5.6
弯曲内力
平面弯曲的概念 梁的计算简图 弯曲内力―剪力和弯矩 剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及 其应用 用叠加法作弯矩图
2
§5.1 平面弯曲的概念
一、弯曲变形
受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。
O FN Fs M F
q
符号规定：使轴线曲率增加的M 为正；引起拉伸变形的FN为正； 将Fs对研究对象上任一点取矩， 若力矩的转向为顺时针的，则剪 24 力为正，反之均为负。
材料力学-第四章 弯曲内力
7 . 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
《材料力学》第4章弯曲内力 课后答案
0 ； FS−C
= b F， a+b
M
− C
=
ba a+b
F
FS+C
=
−a a+b
F
，
M
+ C
=
ba a+b
F ； FSB
=
−A a+b
F
,MB
=
0
d解
图（d1）， ∑ Fy
=
0，F
=
1 2
ql
，
∑
M
A
= 0，M A
=
− 3 ql 2 8
仿题 a 截面法得
FSA
=
1 2
ql
，MA
=
−
3 8
ql
2
；
FS−C
FS (x) = −F
⎜⎛ 0 < x < l ⎟⎞
⎝
2⎠
M (x) = −Fx ⎜⎛0 ≤ x ≤ l ⎟⎞
⎝
2⎠
FS (x) = F
⎜⎛ l < x < l ⎟⎞
⎝2
⎠
45
M (x) =
FA x +
FB
⎜⎛ ⎝
x
−
l 2
⎟⎞ ⎠
，
FB
= 2F
M (x) = Fx − Fl ⎜⎛ l ≤ x ≤ l ⎟⎞
( ) 解
∑MB
=
0 ， FA
⋅l
+
ql 2
×
3l 4
− ql 2
=
0
， FA
=
5 ql 8
↑
( ) ∑ Fy
= 0 ， FB
刘鸿文材料力学 I 第6版_4_弯取内力
43
(3) 在剪力Q为零处, 弯矩M取极值。
注意: 以上结论只在该 段梁上无集中力 或集中力偶作用 时才成立。
44
(4) 在集中力作用点： 剪力图有突变，突变值 即为集中力的数值，突 变的方向沿着集中力的 方向(从左向右观察)； 弯矩图在该处为折点。
(5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值 即为集中力偶的数值。
2
AC段: N 1 qa Q qa qy 2
M qa y 1 qy2
2
(3) 轴力图
(4) 剪力图
35
(4) 剪力图
(5) 弯矩图
BC段:
M 1 qa x
2
qa
AC段:
M qa y 1 qy2
特点： 2
在刚节点处，弯矩值连续 ;
Q
1 qa 2
36
特点： 在刚节点处，弯矩值连续; 可以利用刚节点的平衡， 对内力图进行校核。
(2) 求剪力方程和弯矩方程
需分段求解。
分为两段：AC和CB段。 AC段 取x截面，左段受力如图。
由平衡方程，可得:
Q(x) Pb l
(0 x a)
M (x) Pb x
(0 x a)
l
CB段 取x截面，
x
Q
M
17
CB段 取x截面， 左段受力如图。 由平衡方程，可得:
外侧均可，但需标出正 负号； (3) 弯矩画在受压侧。
32
例 5 刚架
已知：q，a。
求：内力图。
解：(1) 求支反力 结果如图。
(2) 求内力 BC段:
X 0
MQ
N Dx
N 0
(3) 在剪力Q为零处, 弯矩M取极值。
注意: 以上结论只在该 段梁上无集中力 或集中力偶作用 时才成立。
44
(4) 在集中力作用点： 剪力图有突变，突变值 即为集中力的数值，突 变的方向沿着集中力的 方向(从左向右观察)； 弯矩图在该处为折点。
(5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值 即为集中力偶的数值。
2
AC段: N 1 qa Q qa qy 2
M qa y 1 qy2
2
(3) 轴力图
(4) 剪力图
35
(4) 剪力图
(5) 弯矩图
BC段:
M 1 qa x
2
qa
AC段:
M qa y 1 qy2
特点： 2
在刚节点处，弯矩值连续 ;
Q
1 qa 2
36
特点： 在刚节点处，弯矩值连续; 可以利用刚节点的平衡， 对内力图进行校核。
(2) 求剪力方程和弯矩方程
需分段求解。
分为两段：AC和CB段。 AC段 取x截面，左段受力如图。
由平衡方程，可得:
Q(x) Pb l
(0 x a)
M (x) Pb x
(0 x a)
l
CB段 取x截面，
x
Q
M
17
CB段 取x截面， 左段受力如图。 由平衡方程，可得:
外侧均可，但需标出正 负号； (3) 弯矩画在受压侧。
32
例 5 刚架
已知：q，a。
求：内力图。
解：(1) 求支反力 结果如图。
(2) 求内力 BC段:
X 0
MQ
N Dx
N 0
刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-弯曲内力(圣才出品)
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图 4-3
2．载荷的简化 （1）集中载荷：载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。 （2）分布载荷：沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用 q 表示单位长度上的载荷，称 为载荷集度，如风力、水力、重力。常用的有均布载荷，线性分布载荷。 （3）集中力偶
3．静定梁的基本形式 为方便梁的求解，通常将梁简化，以便得到计算简图。当梁上支反力数目与静力平衡方 程式的数目相同时，即支反力通过静力平衡方程即可完全确定时，称之为静定梁，以下三种 形式的梁均为静定梁。 （1）简支梁：一端为固定铰支座，一端为可动铰支座，如图 4-4 所示。
图 4-4 （2）外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁，如图 4-5 所示。
4.2 课后习题详解
5 / 49
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4.1 试求图 4-8 所示各梁中截面 1-1，2-2，3-3 上的剪力和弯矩，这些截面无限接近 于截面 C 或截面 D。设 F，q，a 均为已知。
图 4-8 解：（a）①1-1 截面：沿该截面断开，对右部分进行受力分析，根据平衡条件：
④若
FS
(x)
=
0 ，则
dM (x) dx
=
FS
(x)
=
0
。此时该截面上弯矩有极值（极大值或极小
值）。此外，弯矩的极值还可能出现在集中力和集中力偶作用处截面。
3．外力与内力图的内在联系
（1）斜率规律
剪力图在任一截面处的斜率值等于该截面外力分布载荷的集度值，同理弯矩图图在任一
截面处的斜率值等于该截面剪力值：
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图 4-3
2．载荷的简化 （1）集中载荷：载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。 （2）分布载荷：沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用 q 表示单位长度上的载荷，称 为载荷集度，如风力、水力、重力。常用的有均布载荷，线性分布载荷。 （3）集中力偶
3．静定梁的基本形式 为方便梁的求解，通常将梁简化，以便得到计算简图。当梁上支反力数目与静力平衡方 程式的数目相同时，即支反力通过静力平衡方程即可完全确定时，称之为静定梁，以下三种 形式的梁均为静定梁。 （1）简支梁：一端为固定铰支座，一端为可动铰支座，如图 4-4 所示。
图 4-4 （2）外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁，如图 4-5 所示。
4.2 课后习题详解
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4.1 试求图 4-8 所示各梁中截面 1-1，2-2，3-3 上的剪力和弯矩，这些截面无限接近 于截面 C 或截面 D。设 F，q，a 均为已知。
图 4-8 解：（a）①1-1 截面：沿该截面断开，对右部分进行受力分析，根据平衡条件：
④若
FS
(x)
=
0 ，则
dM (x) dx
=
FS
(x)
=
0
。此时该截面上弯矩有极值（极大值或极小
值）。此外，弯矩的极值还可能出现在集中力和集中力偶作用处截面。
3．外力与内力图的内在联系
（1）斜率规律
剪力图在任一截面处的斜率值等于该截面外力分布载荷的集度值，同理弯矩图图在任一
截面处的斜率值等于该截面剪力值：
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弯曲内力的知识点总结
弯曲内力的知识点总结1. 弯曲内力的产生原因弯曲内力的产生原因主要是由于外力作用在梁上产生的弯矩。
当梁在弯曲作用下，上部会产生拉应力，下部产生压应力，由于这些应力的存在，会产生相应的应变。
这些内部的应力和应变就是弯曲内力。
2. 弯曲内力的计算弯曲内力可以通过弯曲方程进行计算。
弯曲方程描述了弯曲时材料内部应力的大小和分布。
在梁的不同截面上，受到的弯曲内力的大小和方向是不同的，需要通过弯曲方程计算得出。
3. 弯曲内力的影响因素弯曲内力的大小和分布受多种因素影响，包括弯矩的大小和方向、梁的截面形状和尺寸、材料的力学性质等。
在进行结构设计时，需要综合考虑这些因素，确保结构受力合理、安全可靠。
4. 弯曲内力的作用弯曲内力是结构中非常重要的一种内力，直接影响结构的稳定性和安全性。
对于梁、柱、桁架等结构，弯曲内力是决定其受力性能的关键因素之一。
合理地分析和设计弯曲内力，可以保证结构的稳定性和安全性。
5. 弯曲内力的分布规律弯曲内力的分布规律是指在杆件或梁上受弯矩作用时，内部产生的应力和应变的分布规律。
这些规律直接影响结构的受力性能和变形特性。
通过对弯曲内力的分布规律进行研究，可以更好地理解结构的受力行为并进行合理的设计与分析。
6. 弯曲内力的应力分析弯曲内力还涉及到应力分析的问题，因为在杆件或梁上不同位置受到的弯曲内力有所不同，从而产生的应力也不同。
合理地进行弯曲内力的应力分析可以帮助工程师更好地理解结构的受力性能，进行合理的设计和施工。
7. 弯曲内力的变形分析弯曲内力还会引起结构的变形，这种变形对于结构的使用性能和安全性都有很大的影响。
通过对弯曲内力的变形分析，可以帮助工程师更好地理解结构的变形特性，并进行合理的设计和施工。
总之，弯曲内力是结构工程中非常重要的一种内力，对结构的稳定性和安全性有着直接的影响。
对弯曲内力的认识和分析是结构工程设计的重要内容之一。
希望以上的知识点总结对您有所帮助。
材料力学考研复习资料第4章弯曲内力
M eb l
发生在C截面右侧
思考：对称性与反对称性
FA
F
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
F/2
x
F/2
x
M
Fl/4
FA
Me
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
Me l
x
Me/2
M
Me/2
x
结论：
• 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷
载集度为q0，试求截面C上的内力。
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
截面3—3 F
C33 M3
1 8
ql
FSB左
1 ql 8
剪力方程为常数，剪力图为
水平线。
M图：
材料力学课件ppt-4弯曲内力
2．确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
材料力学 第四章 弯曲内力
M 2 10kN.m
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
材料力学习题册答案-第4章 弯曲内力
第四章 梁的弯曲内力一、 判断题1． 若两梁的跨度、承受载荷及支承相同，但材料和横截面面积不同，则两梁的剪力图和弯矩图不一定相同。
（ × )2． 最大弯矩必然发生在剪力为零的横截面上。
（ × )3． 若在结构对称的梁上作用有反对称载荷，则该梁具有对称的剪力图和反对称的弯矩图。
图 4-1 二、 填空题1．图 4-2 所示为水平梁左段的受力图，则截面 C 上的剪力 SC F =F ，弯矩C M =2Fa 。
2．图 4-3 所示外伸梁 ABC ，承受一可移动载荷 F ，若 F 、l 均为已知，为减小梁的最大弯矩值，则外伸段的合理长度 a= l/3 。
图 4-2 图4-33． 梁段上作用有均布载荷时，剪力图是一条 斜直 线，而弯矩图是一条 抛物 线。
4． 当简支梁只受集中力和集中力偶作用时，则最大剪力必发生在 集中力作用处 。
三、 选择题1． 梁在集中力偶作用的截面处，它的内力图为（ C )。
A Fs 图有突变， M 图无变化 ；B Fs 图有突变，M 图有转折 ；C M 图有突变，Fs 图无变化 ；D M 图有突变， Fs 图有转折 。
2． 梁在集中力作用的截面处，它的内力图为（ B )。
A Fs 有突变， M 图光滑连续 ；B Fs 有突变， M 图有转折 ；C M 图有突变，凡图光滑连续 ；D M 图有突变， Fs 图有转折 。
3． 在图4-4 所示四种情况中，截面上弯矩 M 为正，剪力 Fs 为负的是（ B ）。
4． 简支梁及其承载如图 4-1 所示，假想沿截面m-m 将梁截分为二。
若取梁左段为研究对象，则该截面上的剪力和弯矩与q 、M 无关；若以梁右段为研究对象，则该截面上的剪力和弯矩与 F 无关。
（ × )图 4-44．梁在某一段内作用有向下的分布力时，则在该段内， M 图是一条（ A ）。
A 上凸曲线； B下凸曲线；C 带有拐点的曲线；D 斜直线。
5．多跨静定梁的两种受载情况分别如图4-5 ( a ）、（ b ）所示，以下结论中（ A ）是正确的。
材料力学图文 (4)
a FS2 FBy l F
0x2 b
(c)
M
2
FBy
x2
bF l
x2
0x2 a
(d)
第4章 弯曲内力
（3）画剪力、弯矩图。根据式(a)、(c)画剪力图（见图
4－11(d)）；根据式(b)、(d)画弯矩图（见图4－11
(e)）。由图可看出，横截面C处的弯矩最大，其值为
M
m
a
x
ab l
F
如果a>b，则CB段的剪力绝对值最大，其值为
3 4
qa,
FB
5 4
qa
第4章 弯曲内力
（2） 计算各指定截面的内力。 对于截面5－5，取该截
面右侧部分为研究对象， 其余各截面均取相应截面左侧部
分为研究对象。 根据静平衡方程可求得:
1－1截面：
FS1
FA
3 4
qa;
M1 FA0
（因为1－1截面从右端无限接近支座A，即Δ→0，以下同样理解。）
2－2截面：
4
如图 4-13c 所示。
第4章 弯曲内力
第4章 弯曲内力
4.1 引言 4.2 梁的计算简图 4.3 弯曲内力及内力图 4.4 剪力、 弯矩与载荷集度间的微分关系 4.5 平面刚架与曲杆的内力
第4章 弯曲内力
4.1 引 言
图 4－1
第4章 弯曲内力
图 4－2
第4章 弯曲内力
图 4－3
第4章 弯曲内力
一般来说， 当杆件承受垂直于轴线的外力， 或在其轴 线平面内作用有外力偶时， 杆的轴线将由直线变为曲线。 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲。 以弯曲为主 要变形的杆件称为梁。
中载荷F的作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
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2m
解：
1、求支反力
20 10 3 160 20 2 10
mB 0, FRA
72kN
72
FQ
72mΒιβλιοθήκη x88A 0, FRB 148kN
(kN)
80
M
2、分段求控制截面内力并绘图 AC段 FQ1 FQ1 72kN
16
(kN· m)
144
极值点
x2
FQ 0
m F q B F RB
梁变形后轴线
纵向对称面
F RA
材料力学
第4章 弯曲内力
§4-1 概述 四、梁的分类 简支梁：一端固定铰支，一端 可动铰支； 悬臂梁：一端为固定端，一端 自由； 外伸梁：简支梁的一端或两端 外伸一部分； 多跨静定梁（联合梁） 简支梁 悬臂梁 外伸梁
F A
主梁 （基本部分）
C 次梁 （附属部分）
材料力学
第4章 弯曲内力
例题3
A
FR A
试作图示简支梁的剪力图和弯矩图
a
F C
b
解： 1、求支反力
B
FR B
x
l
Fb l
m 0 m 0
A B
FRB Fa l FRA Fb l
2、列内力方程 分段函数 AC段
(0 x a ) F FQ ( x) FRA Fb l 有突变 Fa Fb l 值为F M ( x) FRA x x l M CB段 (a x l ) FQ ( x) FRA Fb l 斜向下直线 Fab 无变化 Fb l M ( x) FRA x x l 斜率：FQ Fb l 3、绘制内力图
几何意义：FQ图上某点的切线斜率等于梁上该点处的荷载集度q 几何意义：M图上某点的切线斜率等于梁上该点处的 剪力值FQ 几何意义：反应M图曲线的凹凸方向.
x
M
q (x)
d 2 M ( x) q( x)＞0 2 dx
q (x)
M
d 2 M ( x) x q( x)＜0 2 dx
材料力学
第4章 弯曲内力
x2
x 72 8 x 88
x 3.6m
x1
dM ( x) FQ ( x)dx
x1
M 2 M1 FQ ( x)dx
x1
M1 0 M 2 72 2 144kN m CB段 F 72kN Q3 FQ4 72 20 8 88kN M3 72 2 160 16kN m M 4 20 2 20 2 1 80kN m
x2 2 1
材料力学
第4章 弯曲内力
20kN
例题6
试用简易方法作图示外伸梁的剪力图和弯矩图
160kN· m 20kN/m
1 2 3 A C 3 1 2
FRA
2m 8m
4 5 6 B 5 6 D 4 FRB
2m
解：
1、求支反力 FRA 72kN FRB 148kN
72
FQ
72
60
(kN)
x
88
y A dx q (x) B x
M (x)
M (x) +dM (x)
C
FQ(x) +d FQ (x)
q (x)
dx
推导
规定q( x)向上为正 取dx微段为研究对象.
F
y
0 FQ ( x) [FQ ( x) dFQ ( x)] q( x)dx 0
dFQ ( x) dx
q( x)
FQ
二、剪力图和弯矩图
以x为横坐标，以FQ、M 为纵坐标， 绘制FQ F（ ）、M M （x）的关系图线， Q x 即为剪力图、弯矩图。
x
正的剪力画在x轴的上侧，负的画在下侧. 正的弯矩画在x轴的下侧，负的画在上侧. 弯矩图画在受拉侧.
M
x
材料力学
第4章 弯曲内力
例题2
A
FR A
1 2 ql
材料力学
第4章 弯曲内力
§4-1 概述
外力特点：垂直于杆轴线的横向外 一、工程实际中的受弯杆 力（集中力、分布力）或作用在杆轴 线平面内的力偶。 二、外力特点与变形特点 三、对称弯曲与非对称弯曲 变形特点：杆的轴线弯曲成曲线。 对称弯曲（平面弯曲）：杆有一纵 向对称平面，且外力均作用在该平面 内，由对称性可知，杆轴线变形后将 在此平面内弯曲成一平面曲线，此种 弯曲称为对称弯曲或平面弯曲。 非对称弯曲：杆不具有纵向对称平 面，或虽有纵向对称平面， 但外力不作用在此对称平 对称轴 A 面内，这种弯曲统称为 非对称弯曲。
材料力学
第4章 弯曲内力
第四章 弯曲内力
材料力学
第4章 弯曲内力
• • • • •
本章主要内容 梁的内力（剪力、弯矩） 剪力图、弯矩图 剪力、弯矩与荷载集度之间为微积分关系 叠加法作弯矩图
材料力学
第4章 弯曲内力
梁 斜 水 挡 易 简
§4-1 概述 一、工程实际中的受弯杆
桥大梁
挡 土 墙
工程中存在许多构件，在外力作用下，杆轴线在变形后由直线 变为曲线，此种变形称为弯曲变形。 以弯曲变形为主的杆件称为梁。 二、外力特点与变形特点 外力特点：垂直于杆轴线的横向外力（集中力、分布力）或作 用在杆轴线平面内的力偶。 变形特点：杆的轴线弯曲成曲线。
1 M 极值 （ 16） 72 3.6 2
M极值 113.6kN m
第4章 弯曲内力
例题5
q0 A
1 2 q0l
试作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图
q (x) 一次直线
x
解： 1、求x截面荷载集度
B
l
q0 q ( x ) (l x ) l
2、列内力方程
二次曲线
FQ
1 2 6 q0l
三次曲线
M
1 1 q0 FQ ( x) q ( x)(l x) (l x) 2 2 2 l 1 1 M ( x) q( x)(l x) (l x) 2 3 q0 (l x)3 6l
x
A FR A
C
M
FQ
F a B
弯矩：
M M
M
M
使得梁的底部受拉为正，反之为负.
ΣF
C C
M FQ
ΣF
C C
FR B
FQ
FQ
ΣF
FQ
FQ
ΣF
剪力=截面一侧所有外力的代数和 弯矩=截面一侧所有外力对该截面形心力矩的代数和
不论左段梁、右段梁，向上的外力总是引起该截面正的弯矩
材料力学
第4章 弯曲内力
例题1
第4章 弯曲内力
FQ(x)
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 一、微分关系
y A dx q (x) B x
M (x)
M (x) +dM (x)
C
FQ(x) +d FQ (x)
q (x)
dx
推导
dFQ ( x) dx
q( x)
dM ( x ) FQ ( x) dx
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
80
M
16
(kN· m)
144
113.6
M1 0 M 2 144kN m CB段 FQ3 72kN FQ4 88kN M3 16kN m M 4 80kN m 极值点 x 3.6m
2 M 2 M1 FQ ( x)dx 1 x1 x2
2、分段求控制截面内力并绘图 AC段 FQ1 FQ1 72kN
4 Fa Fa M B 0 FRA 3a 2 F 集中力F作用的左侧与右侧，剪力有 突变，突变值为F，弯矩不变.
4-4 5-5
FQ4 FRA F F
M 4 FRAa Fa Fa
3-3
FQ5 FRB F M 5 FRB a Fa
M 3 FRAa 2Fa
解：
截面法
A
1、求支反力
x l
FR B
F l a FRB l
M
0
M
B
0
A FR A
C
M
FQ
F a B
2、求内力
Fa FQ FRA l
Fa FRA l 取左段梁
F
y
0
M
C
0
M FQ
M FRA x
剪力
若取右段梁
FR B
弯矩
Fa x l
符合作用力与反作用力定律 Fa M FRB (l x) F ( x a) x FQ、M 正负号也要重新规定. l
③
①
x
②
m
②
①
M
④ ⑤ M
① ③ ② x ② ③ M
x
斜直线 或水平直线
向下凸抛物线
C处有 向下的尖角
C处有向突变 逆时针向上
材料力学
第4章 弯曲内力
20kN
例题6
试用简易方法作图示外伸梁的剪力图和弯矩图
160kN· m 20kN/m
1 2 3 A C 3 1 2
FRA
2m 8m
4 5 6 B 5 6 D 4 FRB
3、绘制内力图 微分关系 积分关系
dFQ ( x) dM ( x) FQ ( x), q ( x) dx dx
dM ( x ) F
Q
( x)dx, dFQ ( x) q( x)dx
材料力学
第4章 弯曲内力
FQ(x)
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 一、微分关系
解：
1、求支反力
20 10 3 160 20 2 10
mB 0, FRA
72kN
72
FQ
72mΒιβλιοθήκη x88A 0, FRB 148kN
(kN)
80
M
2、分段求控制截面内力并绘图 AC段 FQ1 FQ1 72kN
16
(kN· m)
144
极值点
x2
FQ 0
m F q B F RB
梁变形后轴线
纵向对称面
F RA
材料力学
第4章 弯曲内力
§4-1 概述 四、梁的分类 简支梁：一端固定铰支，一端 可动铰支； 悬臂梁：一端为固定端，一端 自由； 外伸梁：简支梁的一端或两端 外伸一部分； 多跨静定梁（联合梁） 简支梁 悬臂梁 外伸梁
F A
主梁 （基本部分）
C 次梁 （附属部分）
材料力学
第4章 弯曲内力
例题3
A
FR A
试作图示简支梁的剪力图和弯矩图
a
F C
b
解： 1、求支反力
B
FR B
x
l
Fb l
m 0 m 0
A B
FRB Fa l FRA Fb l
2、列内力方程 分段函数 AC段
(0 x a ) F FQ ( x) FRA Fb l 有突变 Fa Fb l 值为F M ( x) FRA x x l M CB段 (a x l ) FQ ( x) FRA Fb l 斜向下直线 Fab 无变化 Fb l M ( x) FRA x x l 斜率：FQ Fb l 3、绘制内力图
几何意义：FQ图上某点的切线斜率等于梁上该点处的荷载集度q 几何意义：M图上某点的切线斜率等于梁上该点处的 剪力值FQ 几何意义：反应M图曲线的凹凸方向.
x
M
q (x)
d 2 M ( x) q( x)＞0 2 dx
q (x)
M
d 2 M ( x) x q( x)＜0 2 dx
材料力学
第4章 弯曲内力
x2
x 72 8 x 88
x 3.6m
x1
dM ( x) FQ ( x)dx
x1
M 2 M1 FQ ( x)dx
x1
M1 0 M 2 72 2 144kN m CB段 F 72kN Q3 FQ4 72 20 8 88kN M3 72 2 160 16kN m M 4 20 2 20 2 1 80kN m
x2 2 1
材料力学
第4章 弯曲内力
20kN
例题6
试用简易方法作图示外伸梁的剪力图和弯矩图
160kN· m 20kN/m
1 2 3 A C 3 1 2
FRA
2m 8m
4 5 6 B 5 6 D 4 FRB
2m
解：
1、求支反力 FRA 72kN FRB 148kN
72
FQ
72
60
(kN)
x
88
y A dx q (x) B x
M (x)
M (x) +dM (x)
C
FQ(x) +d FQ (x)
q (x)
dx
推导
规定q( x)向上为正 取dx微段为研究对象.
F
y
0 FQ ( x) [FQ ( x) dFQ ( x)] q( x)dx 0
dFQ ( x) dx
q( x)
FQ
二、剪力图和弯矩图
以x为横坐标，以FQ、M 为纵坐标， 绘制FQ F（ ）、M M （x）的关系图线， Q x 即为剪力图、弯矩图。
x
正的剪力画在x轴的上侧，负的画在下侧. 正的弯矩画在x轴的下侧，负的画在上侧. 弯矩图画在受拉侧.
M
x
材料力学
第4章 弯曲内力
例题2
A
FR A
1 2 ql
材料力学
第4章 弯曲内力
§4-1 概述
外力特点：垂直于杆轴线的横向外 一、工程实际中的受弯杆 力（集中力、分布力）或作用在杆轴 线平面内的力偶。 二、外力特点与变形特点 三、对称弯曲与非对称弯曲 变形特点：杆的轴线弯曲成曲线。 对称弯曲（平面弯曲）：杆有一纵 向对称平面，且外力均作用在该平面 内，由对称性可知，杆轴线变形后将 在此平面内弯曲成一平面曲线，此种 弯曲称为对称弯曲或平面弯曲。 非对称弯曲：杆不具有纵向对称平 面，或虽有纵向对称平面， 但外力不作用在此对称平 对称轴 A 面内，这种弯曲统称为 非对称弯曲。
材料力学
第4章 弯曲内力
第四章 弯曲内力
材料力学
第4章 弯曲内力
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本章主要内容 梁的内力（剪力、弯矩） 剪力图、弯矩图 剪力、弯矩与荷载集度之间为微积分关系 叠加法作弯矩图
材料力学
第4章 弯曲内力
梁 斜 水 挡 易 简
§4-1 概述 一、工程实际中的受弯杆
桥大梁
挡 土 墙
工程中存在许多构件，在外力作用下，杆轴线在变形后由直线 变为曲线，此种变形称为弯曲变形。 以弯曲变形为主的杆件称为梁。 二、外力特点与变形特点 外力特点：垂直于杆轴线的横向外力（集中力、分布力）或作 用在杆轴线平面内的力偶。 变形特点：杆的轴线弯曲成曲线。
1 M 极值 （ 16） 72 3.6 2
M极值 113.6kN m
第4章 弯曲内力
例题5
q0 A
1 2 q0l
试作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图
q (x) 一次直线
x
解： 1、求x截面荷载集度
B
l
q0 q ( x ) (l x ) l
2、列内力方程
二次曲线
FQ
1 2 6 q0l
三次曲线
M
1 1 q0 FQ ( x) q ( x)(l x) (l x) 2 2 2 l 1 1 M ( x) q( x)(l x) (l x) 2 3 q0 (l x)3 6l
x
A FR A
C
M
FQ
F a B
弯矩：
M M
M
M
使得梁的底部受拉为正，反之为负.
ΣF
C C
M FQ
ΣF
C C
FR B
FQ
FQ
ΣF
FQ
FQ
ΣF
剪力=截面一侧所有外力的代数和 弯矩=截面一侧所有外力对该截面形心力矩的代数和
不论左段梁、右段梁，向上的外力总是引起该截面正的弯矩
材料力学
第4章 弯曲内力
例题1
第4章 弯曲内力
FQ(x)
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 一、微分关系
y A dx q (x) B x
M (x)
M (x) +dM (x)
C
FQ(x) +d FQ (x)
q (x)
dx
推导
dFQ ( x) dx
q( x)
dM ( x ) FQ ( x) dx
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
80
M
16
(kN· m)
144
113.6
M1 0 M 2 144kN m CB段 FQ3 72kN FQ4 88kN M3 16kN m M 4 80kN m 极值点 x 3.6m
2 M 2 M1 FQ ( x)dx 1 x1 x2
2、分段求控制截面内力并绘图 AC段 FQ1 FQ1 72kN
4 Fa Fa M B 0 FRA 3a 2 F 集中力F作用的左侧与右侧，剪力有 突变，突变值为F，弯矩不变.
4-4 5-5
FQ4 FRA F F
M 4 FRAa Fa Fa
3-3
FQ5 FRB F M 5 FRB a Fa
M 3 FRAa 2Fa
解：
截面法
A
1、求支反力
x l
FR B
F l a FRB l
M
0
M
B
0
A FR A
C
M
FQ
F a B
2、求内力
Fa FQ FRA l
Fa FRA l 取左段梁
F
y
0
M
C
0
M FQ
M FRA x
剪力
若取右段梁
FR B
弯矩
Fa x l
符合作用力与反作用力定律 Fa M FRB (l x) F ( x a) x FQ、M 正负号也要重新规定. l
③
①
x
②
m
②
①
M
④ ⑤ M
① ③ ② x ② ③ M
x
斜直线 或水平直线
向下凸抛物线
C处有 向下的尖角
C处有向突变 逆时针向上
材料力学
第4章 弯曲内力
20kN
例题6
试用简易方法作图示外伸梁的剪力图和弯矩图
160kN· m 20kN/m
1 2 3 A C 3 1 2
FRA
2m 8m
4 5 6 B 5 6 D 4 FRB
3、绘制内力图 微分关系 积分关系
dFQ ( x) dM ( x) FQ ( x), q ( x) dx dx
dM ( x ) F
Q
( x)dx, dFQ ( x) q( x)dx
材料力学
第4章 弯曲内力
FQ(x)
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 一、微分关系