气象统计 回归分析1

上式表明，回归系数b的波动大小不仅与误差e的方差有关， 上式表明，回归系数b的波动大小不仅与误差e的方差有关， 而且还取决于观测数据中自变量X波动的程度。 而且还取决于观测数据中自变量X波动的程度。如果因子取 值范围较大，则估计得到的回归系数b的波动就较小， 值范围较大，则估计得到的回归系数b的波动就较小，估计 就比较精确。 就比较精确。
n
n
p
Q = 0, b0
Q = 0, b1
Q = 0 ,..., b2
Q = 0 b p
p n Q = 2∑( y b0 ∑bj xij ) = 0 b0 i=1 j=1 p n Q = 2xik ∑( y b0 ∑bj xij ) = 0 bk i=1 j=1
(k = 1Lp)
nb0 + ∑bj (∑xij ) = ∑yi
j=1 i=1 i=1
p
n
n
b0 ∑xik + ∑bj (∑xij xik ) = ∑xik yi
i=1 j=1
(k = 1Lp)
X Xb = X y
' '
b = (X X) X y
' '
1
Key Concept: 复相关系数 衡量一个变量（y）与 多个变量（x1,x2,x3,…,xp） 之间的线性关系程度的统计量
36 34 32 30 4 28 26
A Tm
6
Tm
A
24 22 20 18 16 14
2
0
-2 1950 1952 1954 1956 1958 1960 1962 1964 1966 1968 1970 1972
Year
7 6 5 4
Tm vs A_Observed Linear Fit of data_Tm Upper 95% Confidence Limit Lower 95% Confidence Limit
2 2 x 2 y
2
s2 U y 2 = 2 = rxy ≤ 1 Syy sy
3).回归方程显著性检验 回归方程显著性检验
(1) 就 y=β0 + β x +e 给出原假设 H0（事件）:
β =0
(2) 构造与原假设 H0 有关的统计量，该统计量服从已知的 F--分布: F ( p, n-p-1 ) 分布, （例如：一元情况下 p=1, f1=1, f2 =n-2) 例如： (3) 根据样本值计算上述统计量的观测值 (4) 将计算值与查表得到的理论值进行比较，确定对H0 的接受与拒绝
例
多元线性回归
例
例
距平形式回归方程
原值形式回归方程
复相关系数
R=0.79
α=0.05，查表 ，
回归方程是显著的。 回归方程是显著的。
例
例
S yy = ∑ ( yi y ) 2
i =1 n n
= ∑ ( yi y ) 2 + ∑ ( yi yi ) 2
i =1 i =1
n
R = U / S yy
2
回归方程显著性检验
(1) 就 y=Xβ+e 给出原假设 H0（事件）: 事件）
β1= β2= β3 = …= βp= 0
(2) 构造与原假设 H0 有关的统计量，该统计量服从已知的 有关的统计量， F--分布: F～F ( p, n-p-1 ) ～
y = Xβ + e
y = b0 + b1x1 + b2 x2 +... + bp xp
系数的最小二乘估计
Q(b , b ,..., bp ) = ∑( yi yi ) → m in 0 1
i= 1 n 2
Q = ∑( y y)2 = ∑( y b0 ∑bj xij )2
i=1 i=1 j=1
b0 = y bx 1 n ∑xi yi x y Sxy n i=1 = 2 b = 1 n 2 Sx xi x2 ∑ n i=1
[例]:对表2.1中资料,算出
y = 7 . 5 0 . 23 x
^
系数为负数， 系数为负数，表明二者之间为负相关
回归问题的方差分析
回归平方和 U 推导:
∑( yi y)
i=1
n
2
= ∑( yi yi ) + ∑( yi y)
2 i=1 i=1
n
n
2
回归方差的大小,可表明回归模型的优劣 回归方差的大小 可表明回归模型的优劣
Y
yi
* * * * * * *
⊕
y
*
图解： 方差分析
y
* *
X
yi yi y
yi yi
⊕
yi
y
y
yi y
1.回归的基本思想
问题的提出：检测一个非独立变量（dependent,因变量）与一 组独立变量（independent,自变量）之间的关系 (实验数据的曲 线拟合) Y = f (a0,a1,a2…,am;x1,x2,…xm )+error(x1,x2,…xm )
dependent independent
回归分析是用来寻找若干变量之间统计联系关 系的一种方法。利用所找到的统计关系对某一变量 作出未来时刻的估计，称为预报值。例如，假如我 们要预报某地某一月份的平均气温（习惯上称为预 报量）。为了预报这个对象未来时刻的变化，我们 选择预报量前期已发生的多个有关的气象要素或者 其它地球物理要素（把它们称为预报因子）。 利用回归分析方法去分析多个预报因子与这个 预报量之间的相互关系，建立它们统计关系的方程 式，最后利用方程式对未来时刻的平均气温作出预 报估计。
残差平方和 Q
2 n i=1
∑( yi y)
i=1
n i=1 i
n
2
= ∑[( yi yi ) + ( yi y)] = ∑ ( yi yi ) + ( yi y) + 2( yi yi )( yi y)
2 2 i=1
n
[
]
∑( y y )( y y) = 0
i i
回归系数的显著性检验
遵从自由度为n－ 的 分布 式中Q为残差平方和 分布， 为残差平方和. 遵从自由度为 －2的t分布，式中 为残差平方和 统计量
遵从分子自由度为1，分母自由度为（ ） 分布。 遵从分子自由度为 ，分母自由度为（n-2）的F分布。 分布
回归平方和
在进行单个因子作用的检验时，常用下式进行： 在进行单个因子作用的检验时，常用下式进行：
Tm / C
3 2 1 0 -1 -2 10 15 20 25 30 35
0
Y'=7.51- 0.23X
A
从上图可见，点子的散布基本上围绕着一条直线。因此， 可以认为 Tm与A 之间有线性变化趋势。
Regression—回归分析(Chapter 2&8)
回归的基本思想
回归分析的方法 回归的操作步骤 回归的选项和参数设定 应用举例
相关系数与线性回归 拟合效果 (解释方差 解释方差) 解释方差
n
1 n ( yi y) ( yi y)2 s2 ∑ ∑ U n = i=1 = i=1 = y n 1 n Syy s2 2 2 ∑( yi y) n ∑( yi y) y i=1 i=1
2
2
n
s2 y = 2 sy
∑( yi y)
2.回归分析的方法
回归关系的假定： 回归关系的假定： y = f (c, x)+e , 线性或非线性 的估计: 最小二乘法/ 模型参数 c 的估计 最小二乘法/极大似然法 回归效果的检验： TEST 回归效果的检验： 置信区间的估计: 预报问题/关于e 的估计
3回归的操作步骤
1) 散点图 (Scatter)
（例如：一元情况下 p=1, f1=1, f2 =n-2) 例如：
(3) 根据样本值计算上述统计量的观测值 (4) 将计算值与查表得到给定 α下的理论值进行比较，确 计算值与查表得到给定 理论值进行比较 进行比较， 定对H 的接受与拒绝. 定对 0 的接受与拒绝
预报值的置信区间的估计:
y = y ±1.96σ
σ = Q n p 1
[例] 要预报1982年北京1月气温， 选用3个因子…p49 Y vs (X1 X2 X3 )
线性回归模型的其它形式
原始变量形式： 原始变量形式：
距平变量形式： 距平变量形式：
标准化变量形式： 标准化变量形式： 它们之间相互转化的关系为
利用回归方程进行预报的步骤
在气象中利用回归方程进行预报可归结为下列步骤： 在气象中利用回归方程进行预报可归结为下列步骤： 第一步：确定预报量并选择恰当的因子； 第一步：确定预报量并选择恰当的因子； 第二步： 第二步：根据数据计算回归系数标准方程组所包含的有 关统计量（因子的交叉积、矩阵协方差阵或相关阵， 关统计量（因子的交叉积、矩阵协方差阵或相关阵，以及因子 与预报量交叉积向量等）； 与预报量交叉积向量等）； 第三步：解线性方程组定出回归系数； 第三步：解线性方程组定出回归系数； 第四步：建立回归方程并进行统计显著性检验； 第四步：建立回归方程并进行统计显著性检验； 第五步： 第五步：利用已出现的因子值代入回归方程作出预报量 的估计，求出预报值的置信区间。 的估计，求出预报值的置信区间。
第二章 回归分析
回归分析是目前气象统计分析中最为常用的一种方 法。尤其在气象预报业务中为国内外台站所常用。例如 尤其在气象预报业务中为国内外台站所常用。 目前国内外台站常用的 MOS（模式输出统计量）方法中， MOS（模式输出统计量）方法中， 回归分析是最基本的方法之一。 回归分析是最基本的方法之一。
2
( 0.727) = 20.18 r2 F = (n 2) = 18× 2 2 1 r 1 ( 0.727)