物理：力矩的平衡问题

力矩的平衡问题

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1 (典型例题)有人设计了一种新型伸缩拉杆秤．结构如图2-3-l，秤杆的一端固定一配重物并悬一挂钩，秤杆外面套有内外两个套筒，套筒左端开槽使其可以不受秤纽阻碍而移动到挂钩所在位置(设开槽后套筒的重心仍在其长度中点位置)，秤杆与内层套筒上刻有质量刻度．空载(挂钩上不挂物体，且套筒未拉出)时，用手提起秤纽，杆秤恰好平衡．当物体挂在挂钩上时，往外移动内外套筒可使杆秤平衡，从内外套筒左端的位置可以读得两个读数，将这两个读数相加，即可得到待测物体的质量．已知秤杆和两个套筒的长度均为16cm，套筒可移出的最大距离为15cm，秤纽到挂钩的距离为2cm，两个套筒的质量均为0.1 Lg．取重力加速度g=10m/s2．求：

(1)当杆秤空载平衡时，秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩；

(2)当在秤钩上挂一物体时，将内套筒向右移动5cm，外套筒相对内套筒向右移动8cm，杆秤达到平衡，物体的质量多大?

(3)若外层套筒不慎丢失，在称某一物体时，内层套筒的左端在读数为1千克处杆秤恰好平衡，则该物体实际质量多大?

命题目的与解题技巧：本题是一道联系实际的问题，考查了力矩平衡条件、分析综合能力以及运用已学知识处理新情景中所提出的问题的迁移能力和创新意识。此题解题方法是，注意分析物体的受力，和力矩情

况，利用力矩平衡的条件即可求解．

【解析1 】 (1)套筒不拉出时杆秤恰好于衡，此时两套筒的重力相对秤纽的力矩与所求的合力矩相等，设套筒长度为L，合力矩

M=2mg

=2×O.1 ×10×(0.08-0.02) N·m=0.12 N·m

(2)力矩平衡

m1gd=mgx1+mg(x1+x2)

所以m1=

(3)正常称1 kg重物时，左边的重物使得逆时针转动的力矩增加了m2gd．为了平衡，内外两个套筒可一起向外拉出x′由于套筒向外拉出

使得顺时针转动的力矩增大了2mgx′

由力矩的平衡得：m2gd=2mgx′

外层套筒丢失后称物，此时内套筒左端离秤纽距离为x′— d=0.08 m

力矩平衡 m2gd+M=mg(x′-d+)

所以 m2

2 (典型例题)下图2-3-2是正在治疗的骨折病人腿 部示意图．假定腿和石膏的总质量为15ke，其重心A距支点O的距离为

35cm，悬挂处B距支点O的距离为阻5cm，则悬挂物的质量为

____________kg.(保留两位小数)

**6．5 kg 指导：O点为固定转动轴，F A=M A g，L A=0．35m，F B=mg定滑轮的性质：L B=0．805 m．

据平衡条件：

FA·LA=FB·LB=mgL B，

代入数据得m=6．5kg

3 (典型例题)如图2-3-3所示，一自行车上连接踏脚板的连杆长R1，

由踏脚板带动半径为r1的大齿盘，通过链条与半径为r2的

后轮齿盘连接，带动半径为穴：的后轮转动。

(1)设自行车在水平路面上匀速行进时，受到的平均阻力为f，人蹬踏脚板的平均作用力为F，链条中的张力为T，地面对后轮的静摩擦力为f，通过观察，写出传动系统中有几个转动轴，分别写出对应的力矩平衡表达式；

(2)设R1=20cm，R2=33 cm，踏脚大齿盘与后轮齿盘的齿数分别为48和24，计算人蹬踏脚板的平均作用力与平均阻力之比；

(3)自行车传动系统可简化为一个等效杠杆。以R1为一力臂，在框中画出这一杠杆示意图，标出支点、力臂尺寸和作用力方向．

**(1)对脚踏板齿轮转动轴，FR1=F′r1；对后轮转动轴可列出

F=fR2(2)3．3(3)见图D2-10

指导：(1)自行车传动系统中的转动轴个数2，设前、后转动齿轮半径分别为r1：r2，链条中张力为F′，地面对后轮的静摩擦力为f3，则对脚踏齿轮中心的转轴的平衡式有：FR1，=F′r1；对后齿轮中心的转轴的平衡式有：F′r2=f R2。

(2)由FR1=F′r1，F′r2=f1R2得：

(3)见图D2-10

4(典型例题)图2-3-4中AC为竖直墙面，AB为均匀横梁，其重为c．处于水平位置．BC为支撑横梁的轻杆，它与竖直方向成角

A、B、C三处均用铰链连接．轻杆所承受的力为

A.Gcos a B．cos a

C.

**C 指导：分析AB横梁受重力G，其力臂为，同时受CB轻杆的作用力F，其力臂为ABcosα，据转动平衡条件

G ·AB=F ·ABcos α解得

C·AB=F．ABCOSO解得F=上，即C为正确答案．

Ⅲ 新高考命题方向预测

1 如图2-3-5所示，一半径为R的圆球，其重心不在球心上，现将它置于水平地面上，则平衡时球与地面的接触点为A，若将它置于倾角为30°的粗糙斜 面上(静摩擦力足够大)则平衡时球与斜面的接触点为B，已知AB对应圆心角是30°，则圆球重心离球心的距离是一

**答案：指导：当球在斜面上平衡时，根据力矩的关系，即重力的方向恰好经过B点，即重力的力矩为零．则2xcos 30°=R

2 如图2-3-6所示是一种手控制动器，a是一个转动着的轮子，b是摩擦制动片，c是杠杆，O是其固定转动轴．手在A点施加一个作用力F时，b 将压紧轮子，使轮子制动．若使轮子制动所需的力矩是一定的，则下列说法正确的是

A.轮a逆时针转动时，所需的力F较小

B．轮a顺时针转动时，所需的力F较小

C.无论逆时针还是顺时针转动，所需的力F相同

D.无法比较F的大小

**A 指导：当轮逆时针转动时，轮a作用在摩擦制动片b上的摩擦力向上，此摩擦力对固定转动轴O的力矩是顺时针，与手加在制动器上的作用力F的力矩同方向，起帮助制动的作用，因而此时需加的作用力F轻小．

3 如图2-3-7所示，质量不计的杆O1B和O2A，长度均为l，O1和O2为光滑固定转轴，A处有一凸起物搁在O2B的中点，B处用绳系在

O1A的中点，此时两短杆便组合成一根长杆．今在O1g杆上的C点(C为AB 的中点)悬挂一重为G的物体．则A处受到的支承力大小为_______，B处绳的拉力大小为___________.