物理：力矩的平衡问题

力矩的平衡问题I高考最新热门题1 (典型例题)有人设计了一种新型伸缩拉杆秤．结构如图2-3-l，秤杆的一端固定一配重物并悬一挂钩，秤杆外面套有内外两个套筒，套筒左端开槽使其可以不受秤纽阻碍而移动到挂钩所在位置(设开槽后套筒的重心仍在其长度中点位置)，秤杆与内层套筒上刻有质量刻度．空载(挂钩上不挂物体，且套筒未拉出)时，用手提起秤纽，杆秤恰好平衡．当物体挂在挂钩上时，往外移动内外套筒可使杆秤平衡，从内外套筒左端的位置可以读得两个读数，将这两个读数相加，即可得到待测物体的质量．已知秤杆和两个套筒的长度均为16cm，套筒可移出的最大距离为15cm，秤纽到挂钩的距离为2cm，两个套筒的质量均为0.1 Lg．取重力加速度g=10m/s2．求：(1)当杆秤空载平衡时，秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩；(2)当在秤钩上挂一物体时，将内套筒向右移动5cm，外套筒相对内套筒向右移动8cm，杆秤达到平衡，物体的质量多大?(3)若外层套筒不慎丢失，在称某一物体时，内层套筒的左端在读数为1千克处杆秤恰好平衡，则该物体实际质量多大?命题目的与解题技巧：本题是一道联系实际的问题，考查了力矩平衡条件、分析综合能力以及运用已学知识处理新情景中所提出的问题的迁移能力和创新意识。

此题解题方法是，注意分析物体的受力，和力矩情况，利用力矩平衡的条件即可求解．【解析1 】 (1)套筒不拉出时杆秤恰好于衡，此时两套筒的重力相对秤纽的力矩与所求的合力矩相等，设套筒长度为L，合力矩M=2mg=2×O.1 ×10×(0.08-0.02) N·m=0.12 N·m(2)力矩平衡m1gd=mgx1+mg(x1+x2)所以m1=(3)正常称1 kg重物时，左边的重物使得逆时针转动的力矩增加了m2gd．为了平衡，内外两个套筒可一起向外拉出x′由于套筒向外拉出使得顺时针转动的力矩增大了2mgx′由力矩的平衡得：m2gd=2mgx′外层套筒丢失后称物，此时内套筒左端离秤纽距离为x′— d=0.08 m力矩平衡 m2gd+M=mg(x′-d+)所以 m22 (典型例题)下图2-3-2是正在治疗的骨折病人腿 部示意图．假定腿和石膏的总质量为15ke，其重心A距支点O的距离为35cm，悬挂处B距支点O的距离为阻5cm，则悬挂物的质量为____________kg.(保留两位小数)**6．5 kg 指导：O点为固定转动轴，F A=M A g，L A=0．35m，F B=mg定滑轮的性质：L B=0．805 m．据平衡条件：FA·LA=FB·LB=mgL B，代入数据得m=6．5kg3 (典型例题)如图2-3-3所示，一自行车上连接踏脚板的连杆长R1，由踏脚板带动半径为r1的大齿盘，通过链条与半径为r2的后轮齿盘连接，带动半径为穴：的后轮转动。

(1)设自行车在水平路面上匀速行进时，受到的平均阻力为f，人蹬踏脚板的平均作用力为F，链条中的张力为T，地面对后轮的静摩擦力为f，通过观察，写出传动系统中有几个转动轴，分别写出对应的力矩平衡表达式；(2)设R1=20cm，R2=33 cm，踏脚大齿盘与后轮齿盘的齿数分别为48和24，计算人蹬踏脚板的平均作用力与平均阻力之比；(3)自行车传动系统可简化为一个等效杠杆。

以R1为一力臂，在框中画出这一杠杆示意图，标出支点、力臂尺寸和作用力方向．**(1)对脚踏板齿轮转动轴，FR1=F′r1；对后轮转动轴可列出F=fR2(2)3．3(3)见图D2-10指导：(1)自行车传动系统中的转动轴个数2，设前、后转动齿轮半径分别为r1：r2，链条中张力为F′，地面对后轮的静摩擦力为f3，则对脚踏齿轮中心的转轴的平衡式有：FR1，=F′r1；对后齿轮中心的转轴的平衡式有：F′r2=f R2。

(2)由FR1=F′r1，F′r2=f1R2得：(3)见图D2-104(典型例题)图2-3-4中AC为竖直墙面，AB为均匀横梁，其重为c．处于水平位置．BC为支撑横梁的轻杆，它与竖直方向成角A、B、C三处均用铰链连接．轻杆所承受的力为A.Gcos a B．cos aC.**C 指导：分析AB横梁受重力G，其力臂为，同时受CB轻杆的作用力F，其力臂为ABcosα，据转动平衡条件G ·AB=F ·ABcos α解得C·AB=F．ABCOSO解得F=上，即C为正确答案．Ⅲ 新高考命题方向预测1 如图2-3-5所示，一半径为R的圆球，其重心不在球心上，现将它置于水平地面上，则平衡时球与地面的接触点为A，若将它置于倾角为30°的粗糙斜 面上(静摩擦力足够大)则平衡时球与斜面的接触点为B，已知AB对应圆心角是30°，则圆球重心离球心的距离是一**答案：指导：当球在斜面上平衡时，根据力矩的关系，即重力的方向恰好经过B点，即重力的力矩为零．则2xcos 30°=R2 如图2-3-6所示是一种手控制动器，a是一个转动着的轮子，b是摩擦制动片，c是杠杆，O是其固定转动轴．手在A点施加一个作用力F时，b 将压紧轮子，使轮子制动．若使轮子制动所需的力矩是一定的，则下列说法正确的是A.轮a逆时针转动时，所需的力F较小B．轮a顺时针转动时，所需的力F较小C.无论逆时针还是顺时针转动，所需的力F相同D.无法比较F的大小**A 指导：当轮逆时针转动时，轮a作用在摩擦制动片b上的摩擦力向上，此摩擦力对固定转动轴O的力矩是顺时针，与手加在制动器上的作用力F的力矩同方向，起帮助制动的作用，因而此时需加的作用力F轻小．3 如图2-3-7所示，质量不计的杆O1B和O2A，长度均为l，O1和O2为光滑固定转轴，A处有一凸起物搁在O2B的中点，B处用绳系在O1A的中点，此时两短杆便组合成一根长杆．今在O1g杆上的C点(C为AB 的中点)悬挂一重为G的物体．则A处受到的支承力大小为_______，B处绳的拉力大小为___________.**G／2 G指导：将O1B和O2A杆隔离分析受力，如图D 2-11所示． O1B在9点必定受向下的拉力T， O2A杆在B点受向上的拉力T，这是一对作用力和反作用力，O2A杆要保持平衡，在A点必受O1B杆受反作用力大小也是N，向下，列力矩平衡方程：解得S4 如图2-3-8所示．光滑斜面的底端。

与一块质量均匀、水平放置的平板光滑相接，平板长为2L，L=1 m，其中心C固定在高为R的竖直支架上，R=1 m，支架的下端与垂直于纸面的固定转轴O连接，因此平板可绕轴O沿顺时针方向翻转．问：(1) 在斜面上离平板高度为h0处放置一块滑块A，使其由静止滑下，滑块与平板间的动摩擦因数μ=0.2．为使平板不翻转，最大为多少? (2) 如果斜面上的滑块离子板的高度h=0.45 m，并在h1处先后由静止释放两块质量相同的滑块A、B时间间隔为△t=0.2s，则B滑块滑上平板后多少时间，平板恰好翻转(重力加速度g取10ms2)．**(1)0．16m(2)0．2s 指导：(1)设A滑到a处的速度为v0，滑块在斜面上运动，机械能守恒，有①滑块在乎板上做减速运动，滑到离。

点的最大距为s0，由动能定理：②由①②两式联立解得：s0=h0/μ ③A在板上不翻转应满足的条件，摩擦力对轻轴O的力矩小于等于正压力的力矩，即：μmgsR≤mg(L-s0) ④整理解得：h0≤μ(L-μR)=0．2×(1-0．2)=0．16m．(2)当h=0．45 m，A、B分别滑至a点的速度为v A和v B，v B= ⑤设从B滑上平板到平板恰好翻转的运动时间为t，A、B在平板上滑行的最大距离分别为s A，和s B，=v A(t+△t)-(t+△t)2⑥⑦两物体在平板上恰好保持不翻转的条件是μ2mg·R=mg(L-s0)+mg(L-s0) ⑧⑥+⑦代入⑧解得：t=0．2s．考场热身探究性命题综合测试1 在力的合成与分解中，下列说法正确的是A.放在斜面上的物体所受的重力可以分解为沿斜面下滑的力和物体对斜面的压力B．合力必大于其中一个分力C.用细绳把物体吊起来，如果说作用力是物体的重力，那反作用力就是物体拉绳的力D．若已知一个力F的大小和方向，则一定可以把它分解为两个大小都和F相等的分力**D 指导：放在斜面上物体重力不可能分解为压力，压力和重力的作用点就不同，所以A错；合力与分力在大小上没有一定的大小关系，所以B错，C项中的重力和绳的拉力是平衡力∴ C错，D项是正确的．2 两人都用100N的力沿水平方向拉弹簧秤的两端。

两拉力的方向在一条直线上，当弹簧秤静止时，它的读数是A．200 N B．100 NC．0 D．50 N**．B 指导：弹簧秤的读数应该等于其中一面受到的力，所以，应该是100N3 如图Z2-1所示，斜面ABC放在粗糙的水平地面上，在斜面上放一重为G的物块，物块静在斜面上，今用一竖直向下的力F作用于物块A上，下列说法错误的是A.斜面对物块的弹力增大B．物块所受的合力不变C.物块受到的摩擦力增大D.当力F增大到一定程度时，物体会运动**D 指导：对物体加上一个力后，物体受到的斜面给它的弹力，摩擦力都增大，但所受合力不变仍然为零．虽然加上一个力，但物体由于所受力不变还等于零，所以物体不会运动．4.A 由物体平衡的条件对物体进行受力分析得到A项正确4 两个物体A和B的质量分别为M和m，用跨过定滑轮的轻绳相连，A物体静止在水平地面上，如图Z2-2所示．不计摩擦，A物体对绳的作用力的大小与地面对A物体的作用力的大小分别是A.mg，(M-m)gB.mg，MgC.(M-m)g，MgD.(M+m)g，(M-m)g**4.A 由物体平衡的条件对物体进行受力分析得到A项正确5 在“互成角度的两个共点力的合成”实验中，橡皮条一端固定在木板上，用两个弹簧把橡皮条的另一端拉到某一位置O点，以下操作中错误的是A.同一次实验过程中，O点的位置允许变动B．在实验中，弹簧秤必须保持与木板平行，读数时视线要正对弹簧秤的刻度C.实验中，先将其中一个弹簧秤沿某一方向拉到最大量程，然后只需调节另一弹簧秤拉力的大小和方向，把橡皮条结点拉到O点D．实验中，把橡皮条的结点拉到O点时，两秤之间的夹角应取90°不变，以便于计算合力的大小**5．B 指导：本题选择的答案为A、C、D、A中O点位置不允许变动，这样才可以使两次效果相同；C中不允许将弹簧秤的拉力大小拉到最大量程，这样不便于调节；D中两秤之间的夹角是任意的，使平行四边形定则具有一般性．6 如图Z2-3所示，质量为m的物体在沿斜面向上的拉力F作用下沿放在水平地面上的质量为"的粗糙斜面匀速下滑，此过程中斜面体保持静止．则地面对斜面A.无摩擦力B．有水平向左的摩擦力C.支持力为(M+m)gD.支持力小于(M+m)g**6．BD 指导：对整体，设斜面的倾角为θ，则水平方向向左的摩擦力F f=Fcosθ ，支持力F=(M+m)g-Fsinθ7 将一个质量为m的物体放在斜面上，并沿斜面方向向上施加一个拉力F，为了使物体能在斜面上处于静止，所加拉力F的最小值为F1，最大值为F2，如图Z2-4所示．则物体受到的最大静摩擦力为_____________.**7．—指导略8 两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m的物体，上端分别固定在水平天花板上的M、N点，M、N两点间的距离为s，如图Z2-5所示．已知两绳所能经受的最大拉力均为FT，则每根轻绳的长度不得短于________**8．指导：以结点O为对象．分析其受力如图D2—12所示，物体处于平衡状态，两绳拉力的合力等于mg，因而，当∠MON越大时，即OP距 图D2—12离越短，绳受拉力越大，绳拉力达到绳能承受的最大拉力时， OP距离最短，此时MO、ON绳长也最短，对物体m受力分析如图D 2—13所示．将两个拉力合成，其合力为9，且F=mg当拉力达最大为F，时，两夹2θ，则有最短绳长为①并且2Frcosθ=mg②.由①、②式得l9 如图Z2-6(a)所示，将一条轻而柔软的细绳一端拴在天花板上的A 点，另一端拴在竖直墙上B点，A和B到O点的距离相等，绳长是OA的2倍．如图(b)所示为一质量可忽略的小动滑轮X，滑轮下面悬挂质量为m 的物体．不计摩擦，现将动滑轮和物体一起挂到细绳上，达到平衡时，绳所受到的拉力多大?**9.指导：如图D2-13所示平衡时.F1=F2=F=Fcosθ2∴θ1+θ2=θ由题意与几何关系：L1+L2=2S L1cos+L2cos =S ∴θ=60°在竖直方向：2Fsinθ=mg F=mg/2sin10 如图Z2-7所示．一条细绳跨过相同 高度的两个定滑轮．两端分别栓上质量为m1和m2(m1>m2)的物体A和B，在滑轮之间一段绳上的某点O系一质量为m的物块P，设悬挂A、B的绳足够长，不计摩擦和绳重，欲使系统保持平衡状态，试求m应满足的条件 .**10． 指导：当m较大时，若系统能得到平衡，则θ1，和θ2必都趋近于0，(但不等于0)，此时 mg<(m1+m2)g即m>m1+m2，又因为m1+m2，故系统平衡时有θ1<θ2，当m很小时，θ1、θ2均增大．θ2必先趋近于90°，此时(mg)2>(m1g)2—(m2g)2，即，故系统平衡的条件是：111999年，中国首次北极科学考察队乘坐我国自行研制的雪龙”号科学考察船对北极地区海域进行了全方位的卓有成效的科学考察．这次考察获得了圆满的成功，并取得一大批极为珍贵的资料．“雪龙”号科学考察船不仅采用特殊的材料，而且船体的结构也应满足一定的条件，以对付北极地区的冰块与冰层．它是靠本身的重力压碎周围的冰块，同时又应将碎冰块挤向船底，如果碎冰块仍挤在冰层与船体之间，船体由于受巨大的侧压力而可能解体，为此，如图Z2-8所示，船体与冰层之间必须有一倾斜角θ，设船体与冰块间的动摩擦因数为μ，试问使压碎的冰块能被挤向船底，θ角应满足什么条件?**11.θ>artanp． 指导：设碎冰保持静止(重力与浮力平衡)．如图D 2—14所示． 将冰层对碎冰块的挤压力F沿船壁方向与垂直于船壁方向进行分解，得到两个分力．由物体的平衡条件建立平衡方程，即Fsinθ—F f=0，Fcosθ—F N=0．解出维持碎冰静止所需的摩擦力F需及支持力FN=Fcos θ、F需=Fsinθ．为了使碎冰块有能保持静止而被挤向船底，必须满足下式：F需>Fm=Fcosθ故椤必须满足的条件为θ>arc tan。