点到直线的距离公式和两平行线间的距离
点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离2024-2025学年高二上学期人教A版2019选择性必修一
即|a|＝ 2，∴a＝± 2.
2．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小
值是( B ) A. 10
B．3 5 5
C． 6
D．3 5
[解析] 点 M 到直线 2x＋y－1＝0 的距离，即为|MP|的最小值，所以 |MP|的最小值为|2＋222＋－112 |＝3 5 5.
做一做：已知直线 l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且两直线间的 距离为 2，则 a＝__1_或__－__3____.
[解析]
由 a1＋2＋11 2＝ 2得 a＋1＝±2，解得 a＝1 或－3.
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
求点到直线的距离
1．求点P(－2,1)到下列直线的距离： (1)3x＋4y－1＝0； (2)y＝2x＋3； (3)2x＋5＝0. [解析] (1)根据点到直线的距离公式，得 d＝3×－23＋2＋44×2 1－1＝35.
题型二
两平行线间的距离
2．(1)已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之
间的距离是( D ) A．4
B．2
13 13
C．5
13 26
D．7
13 26
(2)若动点 A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线 l1：x＋y－11＝0 和 l2：x ＋y－1＝0 上移动，则 AB 中点 M 所在直线的方程为___x_＋__y_－__6_＝__0_____.
综上所述，所求直线 l 的方程为 x＝1 或 3x－4y＋5＝0.
[误区警示] 应用直线方程时，各种直线方程的适用条件要清楚．
课堂检测•固双基
1．(多选题)已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值可能
3.3.3点到直线的距离3.3.4两平行线间的距离简化向量处理
12 ( 3 )2
122 (5)2
x 1 或 x 171 37
所以P点坐标为：
d Ax0 By0 C A2 B2
练习2
(1)已知点A(-2,3)到直线y=ax+1的距离为 2，求a的值. (2)已知点A(-2,3)到直线y=-x+a的距离为 2，求a的值.
解 : (1) y ax 1,ax y 1 0,
2a 3 1 2a 2
d
2,
a2 1
a2 1
2a 2 2a2 2, 4a2 8a 4 2a2 2,
解 : 由点到直线的距离公式：
(2)dd
3|
A(x01) By002C A322 0B22
2|
5 3
可得：思(1考)d： |还2有(1其) 他2 解10法| 吗2？ 5 41
点到直线的距离：
练习1 求点 P0 2到，下3列直线的距离：
(1) 3x+4y+3=0; (2) 3y=2 ； (3)-x+3y=7.
3.3.3《点到直线的距离》 3.3.4《平行线间的距离》
导入
铁路
仓库
导入
l
仓库
点到直线的距离 l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
. P(x0,y0)
o
x
引入新课
已知点 P0 x0 , y0 ，直线 l : Ax By C 0，
如何求点 P0到直线 l 的距离？ 点 P0 到直线 l 的距离，是指从点 P0到直线 l 的
|n|
y
l : Ax By C 0
| A(x1 x0 ) B( y1 y0 ) | A2 B2
点到直线的距离两条平行直线间的距离讲课文档
点P(2,3)关于直线x－y＋4＝0的对称点坐标(x0，y0)求法， 在方程中解出x＝y－4，∴x0＝3－4＝－1，在方程中解出y ＝x＋4，∴y0＝2＋4＝6.
曲线y＝x2关于直线x＋y－1＝0的对称曲线方程为：(1 －x)＝(1－y)2(∵x＝1－y，y＝1－x)．
第十六页，共56页。
[例2] 两平行直线3x＋4y－12＝0和6x＋8y＋11＝0的 距离为________．
[解析] 将直线方程3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0. 则所求两平行线间的距离为|－2642＋－8121|＝72. 故两平行线间的距离为72.故填72.
第二十三页，共56页。
[点评] 求两平行直线之间的距离，应用公式前，必 须将两直线方程中x、y的系数化成相同的情形，这是易错 的地方．
①设M(x，y)为直线l2上任一点，它关于l的对称点M′(x′， y′)在l1上，则由MM′⊥l及MM′中点在l上列出方程组解出x′， y′，由M′在l1上代入可得l2的方程．
②在l1上取异于P的另一点Q，求出Q关于直线l的对称 点Q′，则直线PQ′即为直线l2.
第十二页，共56页。
3．关于轴对称问题要牢记两点：一是对称的两点连线 与轴垂直．通过直线斜率来体现；二是对称的两点的中点 在轴上，由中点坐标代入轴的方程来表达．另外一些特殊 的轴对称问题也应注意．
第十七页，共56页。
[例 1] 求点 P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝34x＋14；(2)y＝6；(3)x＝4. [解析] (1)把方程 y＝34x＋14写成 3x－4y＋1＝0 由点到直线的距离公式得 d＝|3×3－324＋×(－(－42)2)＋1|＝158. (2)因为直线y＝6平行于x轴，所以d＝|6－(－2)|＝8. (3)因为直线x＝4平行于y轴， 所以d＝|4－3|＝1.
点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳
点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳【知识梳理】点到直线的距离与两条平行线间的距离题型一、点到直线的距离【例1】 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.【类题通法】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．【对点训练】1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A .2 B ．2－ 2 C .2－1D .2＋12．点P(2,4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．题型二、两平行线间的距离【例2】求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．【类题通法】求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝|b1－b2|k2＋1；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝|C1－C2|A2＋B2.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．【对点训练】3．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．题型三、距离的综合应用【例3】求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．【类题通法】解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．【对点训练】4．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．5. 已知A(-2,0),B(2,-2),C(0,5),过点M(-4,2)且平行于AB的直线l将△ABC分成两部分,求此两部分面积的比.题型四距离最值问题例4.已知P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+6=0上任一点,则|PQ|的最小值为()A.B.C.3 D.6例5.已知x+y-3=0,则的最小值为.例6.已知直线l1过A(3,0),直线l2过B(0,4),且l1∥l2,用d表示l1与l2间的距离,则d的取值范围是.【练习反馈】1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1B. 3C．2 D. 52．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1 B. 2C. 3 D．23．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．4．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．5．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳参考答案【例1】[解] (1)185.(2) 8.(3) 1.【对点训练】 1．选C 2．答案：3【例2】设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋－2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 【对点训练】 3．104【例3】[解]当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. 【对点训练】4．x ＝2或4x －3y －10＝0. 5.两部分的面积之比为. 例4.答案:C 例5.答案:例6.答案:(0,5] 【练习反馈】1．选D 2．选B 3．12 4．答案：－3或1735．解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y2－0＝x ＋31＋3，即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得|BC |＝－3－2＋－2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高，d ＝|－1－2×3＋3|12＋－2＝455，所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4， 即△ABC 的面积为4.。
3.3.3点到直线的距离公式
即bx－ay＋ab＝0；
直线BC： ，即bx＋ay－ab＝0，
∴点B（a，0）．
在线段AB上任取一点D（m，0），
则－a≤m≤a．
∴d1＋d2＝ ，即等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
1.点到直线的距离公式应用非常广泛，你能举例说明它在解决实际问题中的应用吗？
注意：（1）在求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式．
（2）当直线与x轴或y轴平行时，公式也成立，但此时求距离一般不用公式．
［例 题］
1.求点P（－1，2）到下列直线的距离：
l1：2x＋y＝5，l2：3x＝2．
注意：规范解题格式．
2.求两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝０，（C1≠C2）之间的距离．
由Ax1＋By0＋C＝0，Ax0＋By2＋C＝0得
易证A＝0或B＝0，公式也成立．
（2）点到直线的距离公式也可用向量的知识求得，此法更能体现出代数与几何的联系，比其他方法更简单，直观，易懂．求法如下：
①如图24-4，证明向量n＝（A，B）与直线l垂直．
不妨设A≠0，直线l与x轴的交点是Q（－ ，0）．
课堂检测
教学效果
自我评估：
⑴教学任务完成情况
⑵学生掌握情况
分层作业
课后反思
改进设想
分析：求两条平行线间的距离，就是在其中一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离．
解：在l1上任取一点P（x1，y1），则Ax1＋By＝－C1，点P到l2的距离
3.建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
解：以等腰三角形底边所在的直线为x轴，底边上的高所在的直线为ｙ轴，建立直角坐标系（如图24-2）．
点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离(人教A版2019选修一高二数学
由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由
A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
[方法技巧]
光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点
距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．
(1)点 A(x0，y0)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 的对称点 M(x，y)，
yx－－yx00·(－AB )＝－1AB≠0
可由方程组 A·x＋x0＋B·y＋y0＋C＝0
2
2
求得．
(2)常用对称的特例有： ①A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； ②B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； ③C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； ④D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； ⑤P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； ⑥Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
[方法技巧] 点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直 接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线 x＝a 或 y＝b，求点到它 们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 d＝ |x0－a|或 d＝|y0－b|.
解析：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝ 0，
则由点到直线的距离公式知： d＝|3×3－2＋1－－01＋2 m|＝|m－103|＝35 10. 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6. 得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 答案：3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0
333点到直线、两平行线间的距离
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直
线间的公垂线段的长.
y
P l1
d C1 - C2 A2 B2
l2
Q
o
x
例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是
d
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C1 - C2
A2 B2
例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是 d C1 - C2
§3.3. 3 点到直线的距离
两点间的距离公式是什么？
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
y P1(x1,y1) Q(x2,y1)
P2(x2,y2)
o
x
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别地,原点O与任一点P(x, y)的距离:
y
A2 B2
P
l1 证明：B l2
0时，在l1上取一点P
0，-
C1 B
，
o
Q
x
则P到l2的距离d
A
0
B
C1 B
C2
A2 B2
注意:两直线方程的 A,B应相同
C1 C2 A2 B2
B 0时，则A 0，同理可证它们之间的距离为 d C1 C2
A2 B2
练习2
14 53
1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是___5_3__;
d RS PR • PS PR • PS
d RS
d Ax0 By0 C A2 B2
点到直线的距离公式2
小值是( B )
A. 10
B．2 2
C. 6 【解析】
D．2 |OP|min 即为 O 到直线的距离，d＝|0－10＋－14|＝2 2
(3)求过点 M(－2，1)，且与 A(－1，2)，B(3，0)两点距离相 等的直线方程．
【解析】 方法一：当直线斜率存在时，设直线方程为 y－1＝ k(x＋2)，
点，PQ 的最小值为( C )
9 A.5 C．3
18 B. 5 D．6
【解析】 |PQ|min 即为两条直线间的距离.6x＋8y＋6＝0 即 3x ＋4y＋3＝0，∴d＝|－3122＋－432|＝3.
(4)已知直线 l1 过点 A(0，1)，l2 过点 B(5，0)，如果 l1∥l2， 且 l1 与 l2 之间的距离为 5，求 l1，l2 的方程．
(2)运用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式．
思考题 1 求点 P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)3x－4y＋1＝0； (2)y＝6； (3)y 轴． 【思路分析】 直接应用点到直线的距离公式． 【解析】 (1)根据点到直线的距离公式，得 d＝|3×3－324＋×（（－－42））2＋1|＝158. (2)因为直线 y＝6 平行于 x 轴，所以 d＝|6－(－2)|＝8. (3)d＝|3|＝3.
题型一 点到直线的距离问题
例 1 求点(－1，2)到直线 2x＋y－10＝0 的距离． 【解析】 由点到直线的距离公式，可得 d＝|2×（－1）＋5 1×2－10|＝2 5.
探究 1 (1)解决与点到直线的距离有关问题的关键是熟练运 用点到直线的距离公式 d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|.
∵点 P(a，b)在直线 x－y－5＝0 上，故 a－b－5＝0. 又|4a＋423＋b－322|＝2，解方程组a|4－a＋b－3b5－＝20|＝，10，得ab＝＝1－，4或 ab＝＝2－77，87. ∴所求的点为 P(1，－4)，或 P277，－87.
点到直线的距离公式两条平行直线间的距离
点到直线的距离公式两条平行直线间的距离要计算点到直线的距离，我们需要知道直线的方程以及点的坐标。
一般来说，直线的方程可以用一般式（Ax + By + C = 0）或截距式（y = mx + b）表示。
点的坐标通常以（x，y）的形式给出。
我们以一般式为例来介绍如何计算点到直线的距离。
假设我们有一个直线的一般式方程为Ax+By+C=0，点的坐标为（x0，y0）。
要计算这个点到直线的距离，我们可以使用以下公式：距离=，Ax0+By0+C，/√(A²+B²)下面我们来详细解释这个公式。
首先，我们可以通过将点的坐标代入直线方程得到：Ax0+By0+C=0根据这个等式，我们可以得到点在直线上的投影点(xp，yp)：xp = x0 - (A(Ax0 + By0 + C) / (A² + B²))yp = y0 - (B(Ax0 + By0 + C) / (A² + B²))接下来，我们可以计算这两个点之间的距离。
使用两点间距离公式：距离= √((xp - x0)² + (yp - y0)²)代入xp和yp的值，我们可以得到：距离=√((x0-(A(Ax0+By0+C)/(A²+B²))-x0)²+(y0-(B(Ax0+By0+C)/(A²+B²))-y0)²)化简这个表达式，我们可以得到：距离= √((A²(x0 - xp)² + B²(y0 - yp)²) / (A² + B²))因为xp和yp是点到直线上的投影点，所以(x0 - xp)是点到投影点的水平距离，(y0 - yp)是点到投影点的垂直距离。
因此，我们可以将上述公式进一步简化为：距离= √((A²(x0 - xp)² + B²(y0 - yp)²) / (A² + B²))最后，我们可以再次替换xp和yp的值，将它们表示为点的坐标和直线方程：距离=√((A²(x0-(x0-(A(Ax0+By0+C)/(A²+B²))))²+(B²(y0-(y0-(B(Ax0+By0+C)/(A²+B²))))²)/(A²+B²))进一步简化，我们可以得到最终的公式：距离=，Ax0+By0+C，/√(A²+B²)这就是点到直线的距离公式。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式
行()1112222220A B CA B CA B CÛ=¹¹。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）轴时需要单独讨论） 3.相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
1）斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+相交12k k Û¹2）一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=相交1221A B A B Û¹ 3）对于特殊情况（如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交）。
例1：已知直线()212:260,:110l ax y l x a y a ++=+-+-=，求适合下列条件的a的取值范围。
的取值范围。
1）1l 与2l 相交；相交； 2）12//l l ； 3）1l 与2l 重合。
重合。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式两条直线位置关系以及点到直线距离公式一、两条直线相交、平行、重合条件一、两条直线相交、平行、重合条件1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程方程是相同的，具体为：是相同的，具体为：1） 斜截式：直线111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+重合1212,k k b b Û==。
2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=重合()1112222220A B C A B C A B C Û==¹。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）。
2．平行：如果两条．平行：如果两条直线斜率直线斜率相同或垂直于x 轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。
两直线之间的距离公式
两直线之间的距离公式
两直线间的距离公式如下：
1、两平行线分别为L1：Ax+By+C1=0，L2：Ax+By+C2=0。
在L2上任取一点P（x0，y0）。
则Ax0+By0+C2=0，Ax0+By0=-C2。
2、根据点到直线距离公式：
P到L1距离为：
|Ax0+By0+C1|/√（A²+B²）。
=|-C2+C1|/√（A²+B²）。
=|C1-C2|/√（A²+B²）。
两点间距离公式常用于函数图形内求两点之间距离、求点的坐标的基本公式，是距离公式之一。
两点间距离公式叙述了点和点之间距离的关系。
先看在X轴上的两点之间的距离，高两点的坐标分别是X1和X2，那么两点间距离是|X1-X2|，同理在Y轴上也是一样。
即|Y1-Y2|那么在平面直角坐标系中，任意两点间距离，可以连接两点，再分别过两点作两坐标轴的平行线，这样就构成了一个直角三角形。
通过第一段的叙述可以知道两的直角边分别是|X1-X2|，|Y1-Y2|，则利用勾股定理可知，斜边是根号下（|X1-X2|的平方+|Y1-Y2|的平方）这个就是两点间距离公式。
高中数学必修2直线与圆常考题型：点到直线的距离、两条平行线间的距离(教师版)
点到直线的距离、两条平行线间的距离【知识梳理】点到直线的距离与两条平行线间的距离题型一、点到直线的距离【例1】 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.【类题通法】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．【对点训练】1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋12．点P(2,4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．题型二、两平行线间的距离【例2】求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．【类题通法】求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝|b1－b2|k2＋1；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝|C1－C2|A2＋B2.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．【对点训练】3．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．题型三、距离的综合应用【例3】求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．【类题通法】解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．【对点训练】4．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．【练习反馈】1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1 B. 3C．2 D. 52．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1 B. 2C. 3 D．23．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．4．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．5．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.【例1】 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.[解] (1)直线y ＝34x ＋14化为一般式为3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2＝185. (2)因为直线y ＝6与y 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x ＝4与x 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|3－4|＝1. 【类题通法】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．【对点训练】1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋1解析：选C 由点到直线的距离公式知 d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2＝1，得a ＝－1±2.又∵a ＞0，∴a ＝2－1.2．点P (2,4)到直线l ：3x ＋4y －7＝0的距离是________． 解析：点P 到直线l 的距离d ＝|3×2＋4×4－7|32＋42＝155＝3.答案：3【例2】 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． [解] 法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0. 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×12＋C |52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋(－12)2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 【类题通法】求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等．【对点训练】3．两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________． 解析：因为两直线平行，所以m ＝2.法一：在直线3x ＋y －3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得d ＝|6×0＋2×3－1|62＋22＝104. 法二：将6x ＋2y －1＝0化为3x ＋y －12＝0，由两条平行线间的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪－3＋1232＋12＝104. 答案：104题型三、距离的综合应用【例3】 求经过点P (1,2)，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线l 的方程． [解] 法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过线段AB 的中点． ∵直线AB 的斜率k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.若l 过AB 的中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1， 故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. 【类题通法】解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l 的特征，然后由已知条件写出l 的方程．【对点训练】4．求经过两直线l 1：x －3y －4＝0与l 2：4x ＋3y －6＝0的交点，且和点A (－3,1)的距离为5的直线l 的方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －4＝0，4x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－23，即直线l 过点B ⎝⎛⎭⎫2，－23. ①当l 与x 轴垂直时，方程为x ＝2，点A (－3,1)到l 的距离d ＝|－3－2|＝5，满足题意． ②当l 与x 轴不垂直时，设斜率为k ， 则l 的方程为y ＋23＝k (x －2)，即kx －y －2k －23＝0，由点A 到l 的距离为5，得⎪⎪⎪⎪－3k －1－2k －23k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43，所以l 的方程为43x －y －83－23＝0，即4x －3y －10＝0.综上，所求直线方程为x ＝2或4x －3y －10＝0.【练习反馈】1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 5解析：选D d ＝|－5|5＝ 5.2．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2 解析：选B 在l 1上取一点(1，－2)，则点到直线l 2的距离为|1－2－1|12＋12＝ 2.3．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0的距离为________．解析：直线8x －6y ＋5＝0化简为4x －3y ＋52＝0，则由两平行线间的距离公式得⎪⎪⎪⎪5－5242＋32＝12. 答案：124．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________． 解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或1735．已知△ABC 三个顶点坐标A (－1,3)，B (－3,0)，C (1,2)，求△ABC 的面积S . 解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y 2－0＝x ＋31＋3， 即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得 |BC |＝(－3－1)2＋(0－2)2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高， d ＝|－1－2×3＋3|12＋(－2)2＝455，所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4，即△ABC 的面积为4.。
高中数学选择性必修第一册精品课件：2 3 3 点到直线的距离公式-2 3 4 两条平行直线间的距离
思维升华
求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般 式再用公式；直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)中A＝0或B＝0时，公式 也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点 到直线的距离.
【训练1】 已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝( C )
解 (1)由题意，将 l2 的方程化为 3x＋5y＋25＝0，
∴d＝ 13－2＋5252＝
3 234＝3 6834.
(2)由题意设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0(C≠4且C≠－2).
由直线 l 与两条平行线的距离相等，得 22＋|C（－－4|3）2＝ 22＋|C（＋－2|3）2， 即|C－4|＝|C＋2|，解得C＝1.
故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.
思维升华
求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式.若直线 l1：y＝kx ＋b1，l2：y＝kx＋b2(b1≠b2)，则 d＝|b1k－2＋b21|；若直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2： Ax＋By＋C2＝0(A，B 不全为 0 且 C1≠C2)，则 d＝ |CA1－2＋CB2|2.但必须注意两直线方 程中 x，y 的系数分别对应相等.
2
课堂互动
题型剖析
题型一 点到直线的距离
【例1】 求过点P(1，2)且与点A(2，3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程.
解 法一 由题意知kAB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)， 所以过点P(1，2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)， 即4x＋y－6＝0.此直线符合题意. 过点 P(1，2)与线段 AB 中点 C(3，－1)的直线方程为－y－1－22＝x3－ －11， 即3x＋2y－7＝0.此直线也符合题意. 故所求直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.
2.3.3-2.3.4 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离 课件(42张)
所以直线l2的方程可化为 x2-2y+2=0,
所以直线l1,l2之间的距离d= | 2 （1）.|
24
6 2
答案: 6
2
2.选B.因为直线2x+3y-9=0与直线6x+my+12=0平行,所6 以m 12 ,
2 3 9
所以m=9,故平行直线即6x+9y-27=0与直线6x+9y+12=0,距｜12离为27｜ 13 .
62 92
【内化·悟】 应用两条平行直线距离公式的前提是什么? 提示:两条直线方程中x,y的系数相同.
【类题·通】 两条平行线距离的求法
(1)化为一般式,且两条平行线方程中x,y的系数化为相同的,代入两条平行线 的距离公式. (2)一条直线上任取一点,求该点到另一条直线的距离.
【习练·破】
1.P,Q分别为3x+4y-10=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )
d= | 2m m2 7 | m 12 6 6 3 2.
2
2
2
【加练·固】
点(-1,0)到直线x+y-1=0的距离是
()
A. 2
B. 2
2
C.1
D. 1
2
【解析】选A.由点到直线的距离公式可得:d= ｜11｜ 2 .
2
类型二 两条平行直线间距离公式的应用
【典例】1.已知直线l1: 2 x-2y-1=0,l2:x- 2 y+ 2 =0,则直线l1,l2之间的距离 为_______.
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选A.直线3x+4y+5=0与直线3x+4y-5=0的距离为d= ｜5 （ 5）｜ 2.
点到直线的距离、两条平行直线间的距离
0 A B
2 2
0,
【知识点拨】 1.对点到直线的距离的三点说明 (1)点到直线的距离的本质:其本质是点与直线上任意一点连 线长度的最小值,可用最小值的方法求出. (2)从几何特征上分析:点到直线的距离是点与过该点且垂直 于已知直线的直线与已知直线的交点间的距离 .
(3)点到直线的距离的几种特殊情况 ①点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; ②点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; ③点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a(a≠0)的距离d=|y0-a|; ④点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=a(a≠0)的距离d=|x0-a|.
解得k=-7或k=-1.
故直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0.
【拓展提升】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式. (2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用. (3)直线方程Ax+By+C=0中,A=0或B=0公式也成立,但由于直线 是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.
2. 求点B（-5，7）到直线12x+5y+3=0的距离.
3、求点P0（-1，2）到直线2x+y-10=0的距离.
两条平行直线间的距离： 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直 y l1 线间的公垂线段的长. P l2 Q x o 两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是
2.对两条平行直线间的距离的理解 (1)这个距离与所选点的位置无关,但一般要选取特殊的点(如 与坐标轴的交点). (2)两条平行直线间的距离是分别在两条直线上的两点间的距 离的最小值.
点到直线的距离公式两条平行线间距离(课件)(人教A版2019选择性必修第一册)
A．8
B．2 2
C． 2
D．16
(2)若 P(x，y)在直线 x＋y－4＝0 上，则 x2＋y2－2x－4y＋5的最小值为多少？
(1)A 解析：x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2 表示点(x，y)与原点(0,0)的距离的平方， 故等价
于原点(0,0)到直线 x＋y－4＝0 的距离的平方，即 d＝ 4 ＝2 2，∴d2＝8，故选 A． 2
当堂达标
2.两条平行线 l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0 间的距离等于( )
7
7
4
2
A.5
B.15
C.15
D.3
C 解析：l1 的方程可化为 9x＋12y－6＝0，由平行线间的距离 公式得 d＝|－962＋＋11202|＝145.
当堂达标
3.已知 O 为原点，点 P 在直线 x＋y－1＝0 上运动，那么|OP|的 最小值为( )
经典例题
题型一 点到直线的距离
跟踪训练1
已知点(a，2)(a>0)到直线 l：x－y＋3＝0 的距离为 1，则 a＝( )
A. 2
B．2－ 2 C. 2－1
D. 2＋1
C 解析：由点到直线的距离公式得： 1|2a＋－（2＋－31|）2＝|a＋21|＝1， ∴|a＋1|＝ 2. ∵a>0， ∴a＝ 2－1.故选 C.
√
)
小试牛刀
2.原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离为( )
A．1
B. 3
C．2
D. 5
D 解析：利用点到直线的距离公式可得：原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离
d＝|0＋120＋－252|＝ 5.
3.两条平行线 l1：3x＋4y－7＝0 和 l2：3x＋4y－12＝0 的距离为( )