大学物理实验基础知识_1
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上式表示被测量的真值落在 式表示被测量的真值落在 范围之内的可能性为95% （N - U N ， N U N）
N ：多次直接测量的平均值 一次直接测量值 间接测量值
我们的测量结果不是一个数，而是一个区域。
§1‐4：直接测量结果的表示 接 果
一、多次直接测量：（等精度） 测量列：x1，x2，x3，…，xn 仪器误差：ΔX仪
三、系统误差和随机误差的关系： 在任何一次测量中，测量误差既不会是单纯的系统误差，也不会是 单一的随机误差，两者都有。 严格划分系统误差和随机误差是不可能的，也没有必要。 四、仪器误差：在正确使用仪器的条件下，测量所得结果的最大误差限
仪器 钢皮直尺
量程(mm) 0～150/300
分度值(mm) 1
四 预习
五 实验
六 实验
七 预习
八 实验
九
十
实验 操作考试 100分 30%
（20+40+40）×6=100分×6 70%
• • • 第一周之前必须在实验中心网站选定实验方案。 实验中心网站_首页右上方_大学物理实验选课系统 ID和Password都是学号， 都是学号 Password可以自行更改
§1‐1：测量与误差
分度值(mm)
Δ仪(mm)
估读(mm) 不估读
0.02/0.05/0.1 0.02/0.05/0.1
仪器 外径千分尺
量程(mm) 0～25
分度值(mm) 0.01
Δ仪(mm) 0.004
估读(mm) 0.001
仪器
准确度等级 a
Δ仪 量程×a% 量程
估读 0.1格
指针式电表 0.1/0.2/0.5/1.0/1.5/2.5/5.0
ΔA ≌ S Sx时的置信概率： 时的置信概率：
测量次数 2 3 4 5 6 7 8 9 10
置信概率 0.610 0 610 0.775 0 775 0.861 0 861 0.911 0 911 0.942 0 942 0.962 0 962 0.974 0 974 0.983 0 983 0.988 0 988
E
A0
x 100 % A
测量最佳值 公认值或理论值 公认值或理论值
§1‐2：误差分类
一、系统误差： 系统误差 相同条件下多次测量同一物理量时，误差的绝对值和符号保持恒定； 或在测量条件改变时，误差按某 确定规律变化。 或在测量条件改变时，误差按某一确定规律变化。 来源：仪器缺陷 刻度不准、零点未校准、等臂天平不等臂 理论公式 公式本身具有近似性 实验条件 实验不能达到理论公式适用的条件和要求 测量环境 不符合测量要求，温度、压强等 操作习惯 个人习惯与偏向、斜视、读数总是偏大或偏小 个人习惯与偏向 斜视 读数总是偏大或偏小 处理：在相同条件下多次测量求平均值并不能减少或消除系统误差。 已定系统误差：找出原因，采取措施，减小、消除或修正 未定系统误差：比较复杂，用误差限进行估算
Sx测量列的标准偏差 S x 区间半径： Sx 区间中心： Xi
(x
i 1
n
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x)2
n 1
区间半径大小与置信概率的关系：
A0 xi S x
P=68.3%
A0 xi 2 S x P=95.4% A0 xi 3S x P=99.7%
x 比 Xi 更可靠，真值落在以 x
大学物 实 大学物理实验基础知识 知识
耿在斌 F楼110 如何正确表达测量结果: x ( x U x ) 单位 误差的基本概念 本概 1. 误 2. 实验不确定度及估算 3 有效数字及运算 3. 4. 数据处理 参考文献：《实验误差与数据处理》 实 《物理实验研究》 腾敏康 朱鹤年
课程介绍
n 时， 时 A0 xi S x n 时 时， P 68 3% P=68.3% P=68.3%
A0 x S x
实际测量中，n为有限次，区间半径为:
t ( p, k ) t ( p, k ) s x sx n
A0 x t ( p, k ) S x
P=68.3%
t ( p, k ) A t ( p, k ) s x sx n
二、随机误差（偶然误差）： 排除产生系统误差的因素后，在同样条件下，对一物理量进行多次重复测量， 各次测量值彼此还是会有差异。它们分散在一定范围内，其误差值时正时负， 绝对值时大时小，无规则地涨落，具有随机性。 来源：测量过程中一些随机的或不确定的因素。无规则，不可避免。 人的感官灵敏度 仪器的稳定性 实验环境的起伏 温度、湿度、电源电压 不规则的脉动和微小振动 杂散电磁场 相同条件下，对某一物理量进行无限次测量，测量值符合正态分布（高斯）。
•
天平：△仪为分度值的一半
§1‐3：测量不确定度与实验结果的表示形式 确定度 实 果 式
一、不确定度：Uncertainty of measurement 测量量的真值以 定的概率落在某 范围的估算。 测量量的真值以一定的概率落在某一范围的估算。 不确定度的大小，反映了测量结果的可信赖程度。
U
1 n 1. 测量值的最佳值——算术平均值 x xi n i 1
2 2. 不确定度的A类分量ΔA ：对应于测量值的分散性 对应于测量值的分散性
2 ( X A ) i 0 i 1 n
如何评价测量值的分散性 均方根差： x
n
统计意义：任意一个测量值落在 统计意义：任意 个测量值落在A0 x , A0 x 内的概率为68.3% 68 3% 区间半径： σx 区间中心： A0
概率密度函数： μ 总体平均值，表示测量值的集中趋势； σ 总体标准偏差，反映测量值的分散程度， σ 总体标准偏差 反映测量值的分散程度 σ越小数据精密度越高。 越小数据精密度越高
随机误差的标准正态分布：
单峰性：绝对值小的误差出现概率大，绝对值大的误差出现概率小 对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等 有界性：绝对值很大的误差出现的概率趋于零，误差不超过一定限度 抵偿性：随机误差的算术平均值随着测量次数的增加越来越趋于零 在相同测量条件下，增加测量次数可以减小随机误差，提高算术平均值的可靠性。
更正（P10_公式13_表3）： ）
t (0.95, n 1) sx A n
t (0.95, n 1) t (0.95, n 1) n
3.
不确定度的B类分量ΔB ：对应于仪器误差限 （P ≥ ≥ 0.95） ΔB = Δ仪 （ P ≥ 0.95 ） 不确定度Ux的估算：
2 2
一、测量 测量 目的：得到一个测量值，尽可能接近其真值。 方法：选定测量单位，计数，确定各种误差的综合影响（不确定度）。 构成：数值_不确定度_单位 → 测量值 例如测量 支铅笔的长度，得到： 例如测量一支铅笔的长度，得到： L=165.3±0.5 mm
二、测量的分类 直接测量：直接读出测量值 → 直接测量量 例：电压表测电压、米尺测长度 间接测量：由直接测量量经计算得到测量值→ → 间接测量量 例：测电压、电流计算电阻 R=U/I 例 测直径 高度计算圆柱体体积 V=1/4πD2H 例：测直径、高度计算圆柱体体积 欧姆表测电阻？量筒测体积？ 组合测量：对一系列直接测量量进行相关分析，确定它们的相关公式 及参数。 描点作图法：伏安法测电阻 S‐t图求v 逐差法 最小二乘法
为中心的某一区间的概率：
增加测量次数到n+m，得到另外一个平均值，继续增加测量次数， 得到另外 个平均值 继续增加测量次数 得到一系列平均值： x1 ， x2 ， ， xn
Sx n
n
平均值的标准偏差： S x
n
i 1
( xi x )2
n ( n 1)
S x 的统计意义：真值A0落在x S x , x S x 内的概率为68.3%， S x 同样 表明了测量结果的可靠性。
四、测量误差 真值：被测物理量的客观大小。 绝对误差：测量值x与真值A0的差别 Ɛ=x‐A0 误差Ɛ反应了测量值偏离真值的大小和方向 误差估算：真值无法得到，所以绝对误差也无法确定，只能估算 近似真值（约定真值） 近似真值（约定真值）：公认值 公认值 / 较高准确度仪器的测量值 多次测量结果的算术平均值 偏差：测量值x与约定真值A的差别 Δx=x‐A 相对误差： 百分误差：
三、等精度测量和不等精度测量 测量条件：一切能影响测量结果，本质上又能控制的全部因素。 测量人员 测量方法 测量仪器 测量环境 测量人员、测量方法、测量仪器、测量环境 等精度测量：在相同的测量条件下，对某一物理量进行多次重复测量。 同 个人，同样的方法，同样的仪器，同样的环境 同一个人，同样的方法，同样的仪器，同样的环境 各测量值可能不相等，但没有理由认为哪一个数据更可靠 实验中对某个量进行多次测量，一般都是指等精度测量。 不等精度测量：测量条件中的任何一个因素发生了变化 保持测量条件完全相同是极其困难的 保持测量条件完全相同是极其困难的。如果某一条件的变化对测量结 如果某 条件的变化对测量结 果影响不大，这样的多次重复测量仍可以看作等精度测量。 精密度：测量数据的彼此接近程度，随机误差大小。 简称精度，最小分度。精度的倒数就是灵敏度。 准确度：平均值与真值的接近程度，测量所能达到的最小误差 精确度：所有测量数据与真值的接近程度
N
(p 0 . 68 ) (p 0 . 95 ) (p 0 . 99 )
EN EN EN
N
N
UN 100% N UN 100% N UN 100% N
P=0.95是广泛采用的约定概率，可以不必注明。 本课程使用约定概率表示测量结果。
N （ N U N ）单位 UN E 100% N N
可以证明：真值A0落在 X i x , X i x 内的概率也为68.3% 区间半径 σx 区间半径： 区间中心： Xi 所以：σx既反映了各测量值的分散性，也表明了测量值的可靠性， 区间半径σx的大小，反映了测量结果的可靠程度。 的大小 反映了测量结果的可靠程度
σx的最佳近似值： 的最佳近似值
4. 5
例1：(P46) 现用50分度的游标卡尺测量圆柱体的高度h，共测6次，测量 列如下，试用不确定度表示高度h的测量结果。
i 1 2.452 452 hi(cm) ( ) 2 2 2 450 2.450 3 2 452 2.452 4 2 454 2.454 5 2 452 2.452 6 2 450 2.450
Δ仪(mm) 0.5
估读(mm) 0.1
L测量=94.5mm Δ仪=0.5mm 表示L在区间 [94.0mm，95.0mm] 中的概率在95%以上 L=(94.5±0.5)mm
仪器 钢卷尺
量程(mm) 0～2000
分度值(mm) 1
Δ仪(mm) 1
估读(mm) 1
仪器 游标卡尺
量程(mm) 0～150
2A 2B
ΔA ：用统计方法得到的A类分量。例：随机误差中的标准偏差 ΔB ：非统计方法得到的 非统计方法得到的B类分量。例：以估算方法评定的仪器误差 类分量 例 以估算方法评定的仪器误差 二、测量结果的表示形式：测量值 、测量结果的表示形式：测量值_不确定度_相对不确定度_置信概率
N N U N N U N N U
5<n ≤10时，取A类分量ΔA=Sx，可使被测量量的真值落在 （x - S x ， x S x） 范围内的概率接近或大于0.95。
t (0.95, n 1) n ≤ 5时，如果仍要求P=0.95，相应的 值为： n
n=2 ΔA=8.984 Sx n=3 ΔA=2.484 Sx n=4 4 Δ ΔA=1.592 1 592 S Sx n=5 ΔA=1.242 Sx
• 大学物理实验 A( (一)：
一
二 基础知识
三
四 预习
五 实验
六 实验
七 预习
八 实验
九
十
实验 操作考试 100分 30%
上课50分+作业50分
（20+40+40）×4=100分×4 70%
•
在第三周之前必须在实验中心网站选定实验方案。
•
大学物理实验 A(二)、 A(三) ：
一 预习
二 实验
三 实验
N ：多次直接测量的平均值 一次直接测量值 间接测量值
我们的测量结果不是一个数，而是一个区域。
§1‐4：直接测量结果的表示 接 果
一、多次直接测量：（等精度） 测量列：x1，x2，x3，…，xn 仪器误差：ΔX仪
三、系统误差和随机误差的关系： 在任何一次测量中，测量误差既不会是单纯的系统误差，也不会是 单一的随机误差，两者都有。 严格划分系统误差和随机误差是不可能的，也没有必要。 四、仪器误差：在正确使用仪器的条件下，测量所得结果的最大误差限
仪器 钢皮直尺
量程(mm) 0～150/300
分度值(mm) 1
四 预习
五 实验
六 实验
七 预习
八 实验
九
十
实验 操作考试 100分 30%
（20+40+40）×6=100分×6 70%
• • • 第一周之前必须在实验中心网站选定实验方案。 实验中心网站_首页右上方_大学物理实验选课系统 ID和Password都是学号， 都是学号 Password可以自行更改
§1‐1：测量与误差
分度值(mm)
Δ仪(mm)
估读(mm) 不估读
0.02/0.05/0.1 0.02/0.05/0.1
仪器 外径千分尺
量程(mm) 0～25
分度值(mm) 0.01
Δ仪(mm) 0.004
估读(mm) 0.001
仪器
准确度等级 a
Δ仪 量程×a% 量程
估读 0.1格
指针式电表 0.1/0.2/0.5/1.0/1.5/2.5/5.0
ΔA ≌ S Sx时的置信概率： 时的置信概率：
测量次数 2 3 4 5 6 7 8 9 10
置信概率 0.610 0 610 0.775 0 775 0.861 0 861 0.911 0 911 0.942 0 942 0.962 0 962 0.974 0 974 0.983 0 983 0.988 0 988
E
A0
x 100 % A
测量最佳值 公认值或理论值 公认值或理论值
§1‐2：误差分类
一、系统误差： 系统误差 相同条件下多次测量同一物理量时，误差的绝对值和符号保持恒定； 或在测量条件改变时，误差按某 确定规律变化。 或在测量条件改变时，误差按某一确定规律变化。 来源：仪器缺陷 刻度不准、零点未校准、等臂天平不等臂 理论公式 公式本身具有近似性 实验条件 实验不能达到理论公式适用的条件和要求 测量环境 不符合测量要求，温度、压强等 操作习惯 个人习惯与偏向、斜视、读数总是偏大或偏小 个人习惯与偏向 斜视 读数总是偏大或偏小 处理：在相同条件下多次测量求平均值并不能减少或消除系统误差。 已定系统误差：找出原因，采取措施，减小、消除或修正 未定系统误差：比较复杂，用误差限进行估算
Sx测量列的标准偏差 S x 区间半径： Sx 区间中心： Xi
(x
i 1
n
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x)2
n 1
区间半径大小与置信概率的关系：
A0 xi S x
P=68.3%
A0 xi 2 S x P=95.4% A0 xi 3S x P=99.7%
x 比 Xi 更可靠，真值落在以 x
大学物 实 大学物理实验基础知识 知识
耿在斌 F楼110 如何正确表达测量结果: x ( x U x ) 单位 误差的基本概念 本概 1. 误 2. 实验不确定度及估算 3 有效数字及运算 3. 4. 数据处理 参考文献：《实验误差与数据处理》 实 《物理实验研究》 腾敏康 朱鹤年
课程介绍
n 时， 时 A0 xi S x n 时 时， P 68 3% P=68.3% P=68.3%
A0 x S x
实际测量中，n为有限次，区间半径为:
t ( p, k ) t ( p, k ) s x sx n
A0 x t ( p, k ) S x
P=68.3%
t ( p, k ) A t ( p, k ) s x sx n
二、随机误差（偶然误差）： 排除产生系统误差的因素后，在同样条件下，对一物理量进行多次重复测量， 各次测量值彼此还是会有差异。它们分散在一定范围内，其误差值时正时负， 绝对值时大时小，无规则地涨落，具有随机性。 来源：测量过程中一些随机的或不确定的因素。无规则，不可避免。 人的感官灵敏度 仪器的稳定性 实验环境的起伏 温度、湿度、电源电压 不规则的脉动和微小振动 杂散电磁场 相同条件下，对某一物理量进行无限次测量，测量值符合正态分布（高斯）。
•
天平：△仪为分度值的一半
§1‐3：测量不确定度与实验结果的表示形式 确定度 实 果 式
一、不确定度：Uncertainty of measurement 测量量的真值以 定的概率落在某 范围的估算。 测量量的真值以一定的概率落在某一范围的估算。 不确定度的大小，反映了测量结果的可信赖程度。
U
1 n 1. 测量值的最佳值——算术平均值 x xi n i 1
2 2. 不确定度的A类分量ΔA ：对应于测量值的分散性 对应于测量值的分散性
2 ( X A ) i 0 i 1 n
如何评价测量值的分散性 均方根差： x
n
统计意义：任意一个测量值落在 统计意义：任意 个测量值落在A0 x , A0 x 内的概率为68.3% 68 3% 区间半径： σx 区间中心： A0
概率密度函数： μ 总体平均值，表示测量值的集中趋势； σ 总体标准偏差，反映测量值的分散程度， σ 总体标准偏差 反映测量值的分散程度 σ越小数据精密度越高。 越小数据精密度越高
随机误差的标准正态分布：
单峰性：绝对值小的误差出现概率大，绝对值大的误差出现概率小 对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等 有界性：绝对值很大的误差出现的概率趋于零，误差不超过一定限度 抵偿性：随机误差的算术平均值随着测量次数的增加越来越趋于零 在相同测量条件下，增加测量次数可以减小随机误差，提高算术平均值的可靠性。
更正（P10_公式13_表3）： ）
t (0.95, n 1) sx A n
t (0.95, n 1) t (0.95, n 1) n
3.
不确定度的B类分量ΔB ：对应于仪器误差限 （P ≥ ≥ 0.95） ΔB = Δ仪 （ P ≥ 0.95 ） 不确定度Ux的估算：
2 2
一、测量 测量 目的：得到一个测量值，尽可能接近其真值。 方法：选定测量单位，计数，确定各种误差的综合影响（不确定度）。 构成：数值_不确定度_单位 → 测量值 例如测量 支铅笔的长度，得到： 例如测量一支铅笔的长度，得到： L=165.3±0.5 mm
二、测量的分类 直接测量：直接读出测量值 → 直接测量量 例：电压表测电压、米尺测长度 间接测量：由直接测量量经计算得到测量值→ → 间接测量量 例：测电压、电流计算电阻 R=U/I 例 测直径 高度计算圆柱体体积 V=1/4πD2H 例：测直径、高度计算圆柱体体积 欧姆表测电阻？量筒测体积？ 组合测量：对一系列直接测量量进行相关分析，确定它们的相关公式 及参数。 描点作图法：伏安法测电阻 S‐t图求v 逐差法 最小二乘法
为中心的某一区间的概率：
增加测量次数到n+m，得到另外一个平均值，继续增加测量次数， 得到另外 个平均值 继续增加测量次数 得到一系列平均值： x1 ， x2 ， ， xn
Sx n
n
平均值的标准偏差： S x
n
i 1
( xi x )2
n ( n 1)
S x 的统计意义：真值A0落在x S x , x S x 内的概率为68.3%， S x 同样 表明了测量结果的可靠性。
四、测量误差 真值：被测物理量的客观大小。 绝对误差：测量值x与真值A0的差别 Ɛ=x‐A0 误差Ɛ反应了测量值偏离真值的大小和方向 误差估算：真值无法得到，所以绝对误差也无法确定，只能估算 近似真值（约定真值） 近似真值（约定真值）：公认值 公认值 / 较高准确度仪器的测量值 多次测量结果的算术平均值 偏差：测量值x与约定真值A的差别 Δx=x‐A 相对误差： 百分误差：
三、等精度测量和不等精度测量 测量条件：一切能影响测量结果，本质上又能控制的全部因素。 测量人员 测量方法 测量仪器 测量环境 测量人员、测量方法、测量仪器、测量环境 等精度测量：在相同的测量条件下，对某一物理量进行多次重复测量。 同 个人，同样的方法，同样的仪器，同样的环境 同一个人，同样的方法，同样的仪器，同样的环境 各测量值可能不相等，但没有理由认为哪一个数据更可靠 实验中对某个量进行多次测量，一般都是指等精度测量。 不等精度测量：测量条件中的任何一个因素发生了变化 保持测量条件完全相同是极其困难的 保持测量条件完全相同是极其困难的。如果某一条件的变化对测量结 如果某 条件的变化对测量结 果影响不大，这样的多次重复测量仍可以看作等精度测量。 精密度：测量数据的彼此接近程度，随机误差大小。 简称精度，最小分度。精度的倒数就是灵敏度。 准确度：平均值与真值的接近程度，测量所能达到的最小误差 精确度：所有测量数据与真值的接近程度
N
(p 0 . 68 ) (p 0 . 95 ) (p 0 . 99 )
EN EN EN
N
N
UN 100% N UN 100% N UN 100% N
P=0.95是广泛采用的约定概率，可以不必注明。 本课程使用约定概率表示测量结果。
N （ N U N ）单位 UN E 100% N N
可以证明：真值A0落在 X i x , X i x 内的概率也为68.3% 区间半径 σx 区间半径： 区间中心： Xi 所以：σx既反映了各测量值的分散性，也表明了测量值的可靠性， 区间半径σx的大小，反映了测量结果的可靠程度。 的大小 反映了测量结果的可靠程度
σx的最佳近似值： 的最佳近似值
4. 5
例1：(P46) 现用50分度的游标卡尺测量圆柱体的高度h，共测6次，测量 列如下，试用不确定度表示高度h的测量结果。
i 1 2.452 452 hi(cm) ( ) 2 2 2 450 2.450 3 2 452 2.452 4 2 454 2.454 5 2 452 2.452 6 2 450 2.450
Δ仪(mm) 0.5
估读(mm) 0.1
L测量=94.5mm Δ仪=0.5mm 表示L在区间 [94.0mm，95.0mm] 中的概率在95%以上 L=(94.5±0.5)mm
仪器 钢卷尺
量程(mm) 0～2000
分度值(mm) 1
Δ仪(mm) 1
估读(mm) 1
仪器 游标卡尺
量程(mm) 0～150
2A 2B
ΔA ：用统计方法得到的A类分量。例：随机误差中的标准偏差 ΔB ：非统计方法得到的 非统计方法得到的B类分量。例：以估算方法评定的仪器误差 类分量 例 以估算方法评定的仪器误差 二、测量结果的表示形式：测量值 、测量结果的表示形式：测量值_不确定度_相对不确定度_置信概率
N N U N N U N N U
5<n ≤10时，取A类分量ΔA=Sx，可使被测量量的真值落在 （x - S x ， x S x） 范围内的概率接近或大于0.95。
t (0.95, n 1) n ≤ 5时，如果仍要求P=0.95，相应的 值为： n
n=2 ΔA=8.984 Sx n=3 ΔA=2.484 Sx n=4 4 Δ ΔA=1.592 1 592 S Sx n=5 ΔA=1.242 Sx
• 大学物理实验 A( (一)：
一
二 基础知识
三
四 预习
五 实验
六 实验
七 预习
八 实验
九
十
实验 操作考试 100分 30%
上课50分+作业50分
（20+40+40）×4=100分×4 70%
•
在第三周之前必须在实验中心网站选定实验方案。
•
大学物理实验 A(二)、 A(三) ：
一 预习
二 实验
三 实验