第二章-多自由度振动

第 1 阶振型
第 2 阶振型
例 2 (解)
思路：可以根据任意初始条件下的一般解得到按两阶主振型振动 时的特殊解，再求解相应的方程得到所需初始条件。 由前面分析，我们已得到系统一般解的形式如下
将
和
代入初始条件的解得到振幅
例 2 (解)
以及相角
由于第一阶主振型为
故系统的一般解必须满足条件 和
，此时有
第一部分 二自由度系统的振动
2.1 受迫振动的运动微分方程
二自由系统的例子（1）
图1 置于弹簧上的电机-水泵系统
用两个独立坐标可以描述其运动的系统 独立坐标的选择不唯一
二自由系统的运动方程
图2 二自由度弹簧-质量-阻尼系统
（首先画出分离体图，然后根据牛顿运动定律写出每个物体的平衡方程）
动力学方程
初值响应
未知常量 ， ， 和 可由下列初始条件确定
将初始条件代入响应表达式得到
上式是关于未知量 的代数方程组，其解可以表示为
初值响应
由此得到振幅
初值响应
初相位可以表示为
例1
求如图所示弹簧-质量系统的 固有频率和振型，并取n=1。
例 1 (解)
因为 则运动方程为 ，
假设谐波解的形式为
代入运动方程得到如下频率方程
第 2 阶振型 ( second mode ) 式中，常量 ， ， 和 由初始条件确定。
初值响应
对于二自由度系统，在特殊的初始激励下，系统可能在其第 i 阶 正交振型 上振动，即 某一常量，
但一般的初始条件将同时激起系统的二阶主振型，则系统的运 动可以通过二阶主振型的叠加得到
式中 和
和wk.baidu.com
均为常量。因二阶主振型中已包含两个未知常量 ，可令 ， 则响应 可以写成
耦合系统
一般情况下，二自由系统具有以下形式的运动微分方程
刚度阵非对角时-------系统含有 弹性耦合（静力）耦合 质量阵非对角时-------系统含有 质量耦合（惯性）耦合 阻尼阵非对角时-------系统含有 阻尼耦合（速度）耦合 速度耦合和质量耦合统称 动力耦合 系统按其固有方式所作的振动与选取的坐标没有关系 如果找到一组坐标，可以使系统的运动微分方程不含静力耦合 也不含动力耦合，则这样的坐标称为 主坐标 或 自然坐标
对列出的平衡方程稍加整理，得到系统的运动微分方程
上式表明两个质量的运动会互相影响，即存在所谓耦合效应。 上面两式可表达为如下矩阵形式
其中
和
分别称为系统的质量、阻尼和刚度矩阵，具体形式如下
，
，
动力学方程
和 分别称为系统的位移向量和力向量，具体形式如下 ， 质量、刚度、阻尼矩阵都是 2x2 矩阵且均具有对称特性，即
，则耦合项系数为零，两个坐标
和
互相独立，
此时对应的两种运动之间彼此解耦，互不影响。 则两个坐标彼此耦合，称为 弹性耦合 或 静力耦合。
不同的运动方程
2、用 和 表示的运动方程
同样方法可得到平动和转动的运动微分方程如下
则写成矩阵形式有
此时方程中除了刚度矩阵为非对角阵外，质量矩阵也为非对角阵，亦即 系统除了存在静力（弹性）耦合项外，还存在动力（质量/惯性）耦合。
具有 零固有频率 的系统称为 半正定系统。
系统发生共振的二个条件：
半正定系统
半正定系统
半正定系统 也叫 非约束系统 或 退化系统
半正定系统
系统的运动微分方程
对于自由振动，设解是简谐的，即
代入前式后，我们有
由此可得频率方程
半正定系统
系统的两个固有频率为
系统的一个固有频率为零，表明无振动，亦即系统运动时两个 质量间无相对运动，而是作刚性平动（刚体模态）。
只有当 个质量块 时矩阵
时，两个运动方程才不是耦合的，对应于两 和 无任何物理连接，彼此作相互独立的运动，此 和 都是对角的。
两个质量块的初始位移和初始速度通常用以下形式描述：
2.2 无阻尼系统的自由振动分析
无阻尼自由振动
当不考虑阻尼和外载荷时，动力学方程变成齐次形式
假设两个质量可以都按同一频率及相角作简谐振动
例 2 (解)
对于第二阶主振型
故系统的一般解必须满足条件 和
，因此有
实际系统中 如何做到？
（第 1 阶振型） （第 2 阶振型）
2.3 坐标耦合与主坐标
坐标耦合与主坐标

描述物理系统空间构型的坐标可以有很多组 每一组坐标都称为广义坐标（generalized coordinates）
车床（lathe）
例1
求系统的主坐标？？？？
例 1 （解）
系统的一般运动可以表示为
其中
。定义两个新坐标，使之满足
例 1 （解）
由于 和 是简谐函数，则相应的运动微分方程变为
该方程代表着两个频率分别为 和 的 一个二自由度系统，且无静/动力耦合，即为系统主坐标，因此有
由此得主坐标
例 2
求汽车俯仰振动（角运动）和 跳动（上下垂直运动）的频率 及振动中心（结点）的位置??
不同的广义坐标
描述系统运动的广义坐标可以包括: （1）AB 两个端点的偏移量 和 （2）质心处的偏移量 与转角 （3）A点处的偏移量 与转角 （4）离质心距离 处点 P 的偏移
和转角
不同的运动方程
1、用 和 表示的运动方程
垂直方向上力的平衡方程
绕质心转动的运动微分方程
写成矩阵形式有
如果 如果
则受迫振动的解可以写成
受迫振动
其中，阻抗矩阵的逆阵（机械导纳矩阵）为
则强迫振动的振幅为
例3
求二自由度系统的稳态受 迫振动并画出频响曲线。
例 3（解）
系统的运动微分方程为
将其与运动方程的一般形式相比可知
设受迫稳态响应为
可得到
例 3（解）
因此，系统的稳态解为
令
，
代入上式并整理后有
频响曲线
稳态响应振幅 和 与无量纲参数 的关系如下图所示
或
例 1 (解)
系统的固有频率
振幅比
例 1 (解)
主振型为
第 1 阶主振型
第 2 阶主振型
系统的一般解为
例 1 (解)
节点
节点
第 1 阶振型
第 2 阶振型
振动振型（模态）、模态节点、同相、反相
例2
求例1中的二自由系统分别按第 1 阶主振型和第 2 阶主振型 振动时所需的初始条件。
节 点 节 点
已知：
例 2 （解）
以 和 为坐标，由前面的推导可知，系统运动微分方程为
式中 对于自由振动，设有如下形式的简谐解
代入运动方程，可得
例 2 （解）
亦即
由此可得频率方程
求解该方程，得到系统的两个固有频率
代入前式，得到与该两个频率对应的振幅比为
例 2 （解）
在小转角的情况下，因 tan ，所以与 和 对应的两 个结点距中心的距离分别为 -2.6461 m 和 0.3061 m。由此可得 汽车的两个主振型如下图虚线所示
和
称为系统的 特征频率 或 固有频率（natural frequencies）。
特征向量
因方程中 和 是待定的，它们的值依赖于固有频率。设 和 和 对应的振幅为 对应的振幅为
由于是齐次方程，所以只能求得振幅比，设它们分别为 ， 将 和 分别代入齐次方程后可得
特征向量
对应的两个振动模式分别为 ，
特征向量 和 称为 模态向量（modal vectors），也叫（主） 振型（vibration modals） 、固有振型（natural modals）或（主）模态。 系统自由振动的解为 第 1 阶振型 ( first mode )
第 1 阶主振型
第 2 阶主振型
2.4 受迫振动分析
受迫振动
一个受外部激励下的二自由度系统的运动微分方程
考虑外部激励形式
式中
为外部激励频率。则稳态解为
式中
和
通常是复数，并且取决于激励频率
和系统参数。
将上面二式代入运动方程并整理后可得
受迫振动
定义 机械阻抗 如下
则运动方程可写为
其中 阻抗矩阵， ，
带入运动方程，则有
要使以上两式对于任意的时刻 t 都成立，则只有中括号里的系数为零
无阻尼自由振动
因此我们有
上式是关于 和 的两个联立齐次代数方程。要使其有非零解 （否则系统不发生振动），其系数矩阵的行列式必须为零，亦即
展开该行列式，可以得到所谓 频率方程 或 特征方程
特征频率
由此得到特征方程的两个根即 特征值为
高等结构动力学
第二章 多自由度系统的振动
本章内容
第一部分 二自由度系统的振动 2.1 受迫振动的运动微分方程 2.2 无阻尼系统的自由振动分析 2.3 坐标耦合与主坐标 2.4 受迫振动分析 2.5 半正定系统 第二部分 多自由度系统 2.6 多自由度系统运动方程的建立 2.7 特征值问题 2.8 展开定理、无约束系统 2.9 模态分析法 2.10 固有频率与振型计算的几种近似方法