北京市人大附中2018-2019学年度第二学期高二年级期末数学试卷
北京市北京师范大学附属中学2018～2019学年度高2021届高2018级高二第二学期期末及参考答案解析
北京师大附中2018～2019学年度下学期高中二年级年级期末考试 数学试题AP一、选择题。
1.已知条件p:x >2,条件q:x >0,则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【试题参考答案】A将两个条件相互推导,根据能否推导的情况确定正确选项.【试题解答】由于p q ⇒,q p ¿所以p 是q 的充分不必要条件,故选A. 本小题主要考查充分、必要条件的判断,属于基础题.2.“a b =是“直线y x =与圆22()()1x a y b -+-=相切的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件【试题参考答案】A根据直线和圆相切的等价条件求出a ,b 的关系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【试题解答】若直线y x =+22()()1x a y b -+-=, 则圆心(),a b到直线0x y -+=得距离1d ==,即a b -+=即a b -+=a b -+=即0a b -=或a b -=-即a b =是“直线y x =与圆22()()1x a y b -+-=相切的充分不必要条件, 故选:A .本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键.3.设(),1,a b ∈+∞,则“a b > ”是“log 1a b <”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【试题参考答案】C根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可. 【试题解答】∵a ,b ∈(1,＋∞), ∴a ＞b ⇒log a b ＜1, log a b ＜1⇒a ＞b ,∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件, 故选:C .本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的解法是解决本题的关键.4.设m R ∈且0m ≠,“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A. 0m >B. 1m >C. 2m >D. 2m ≥【试题参考答案】C根据基本不等式的性质,结合充分不必要条件的定义进行判断即可. 【试题解答】当m ＜0时,不等式m ＋4m＞4不成立,当m ＞0时,m ＋4m 当且仅当m=4m ,即m=2时,取等号,A.当m=2时,满足m ＞0,但不等式m ＋4m ＞4不成立,不是充分条件, B.当m=2时,满足m ＞1,但不等式m ＋4m＞4不成立,不是充分条件,C.当m ＞2时,不等式m ＋4m＞4成立,反之不一定成立,是充分不必要条件,满足条件.D.当m=2时,满足m ≥2,但不等式m ＋4m＞4不成立,不是充分条件,故选:C.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据基本不等式的性质是解决本题的关键.5.若集合{}{}20,,1,2A m B ==则“1m =”是“{0,1,2}A B =U ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【试题参考答案】A由题得{0,1,2A B ⋃=}所以1m =±,所以“1m =”是“{}0,1,2A B ⋃=”的 充分不必要条件,选A.6.设m α⊂,α,β是两个不同的平面,则“αβ∥”是“m βP ”的( ). A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【试题参考答案】A若m α⊂,αβ∥,则m βP ;反之,若m α⊂,m βP ,则αβ∥或α与β相交. 所以“αβ∥”是“m βP ”的充分不必要条件.选A .7.已知(1,1)a x =-,(1,3)b x =+,则2x =是//a b 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【试题参考答案】A已知()1,1a x =-,()1,3b x =+。
2018北京人大附中高二(下)期末数学(理)
1 / 32018北京人大附中高二（下）期末数 学(理)2018年7月6日制卷人：于金华 杨良庆 审卷人：梁丽平说明：本练习共三道大题20道小题，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸的相应位置.）1．10(e 2)d xx x +⎰等于（ ）（A ）1 （B ）e 1- （C ）e （D ）e 1+2．已知(13)n x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n =（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 3．函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如右图所示，则()y f x =的 图象可能是（ ）4．已知从A 口袋中摸出一个球是红球的概率为14，从B 口袋中摸出一个球是红球的概率为15，现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球至少有一个不是红球的概率是（ ）（A ）120 （B ）1920 （C ）35 （D ）7205．下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A ）65cos ρθ=+ （B ）65sin ρθ=+ （C ）65cos ρθ=- （D ）65sin ρθ=-6．已知随机变量i ξ满足(1)i i P p ξ==,(0)1i i P p ξ==-,1,2i =.若12102p p <<<,则（ ）（A ）12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ< （B ）12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ>（C ）12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ< （D ）12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ>7．集合230123{|222}P x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1},0,1,2,3i a i ∈=．则集合P 中元素的个数及所有元素之和分别是（ ） （A ）16，120 （B ）8，120 （C ）16，60 （D ）8，608．设函数32,e,ln ,e x x x y a x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象上存在两点,P Q ,使得POQ △是以O 为直角顶点的直角三角形(其中O 为坐标原点),且斜边的中点恰好在y 轴上,则实数a 的取值范围是（ ）（A ）1(0,]e 1+ （B ）1(,]e 1-∞+ （C ）1[+)e 1∞+, （D ）R二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸的相应位置.)9．已知复数12i1iz +=+，其中i 是虚数单位，则z 的模是________． 10．圆12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)被x 轴截得的弦长为________．11．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，则不同的带队方案有________种．（用数字作答） 12．观察下列一组等式x O2 / 31+2=3 2+3+4+5=14 3+4+5+6+7+8=33 4+5+6+7+8+9+10+11=60……照此规律，第n 个等式的右端为________．13．已知函数22,0,()ln(1),0.x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩ 若|()|f x ax ≥恒成立，则a 的取值范围是________．14．给定集合{1,2,3,,}n A n =⋅⋅⋅，映射:n n f A A →，若f 满足：① 当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；② 任取n m A ∈，若2m ≥，则有{(1),(2),,()}m f f f m ∈⋅⋅⋅．则称映射f 为n n A A →是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射33:f A A →是一个优映射． 表1 表2（1）已知表2表示的映射44:f A A →是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）； （2）若映射1010:f A A →是“优映射”，且方程()f i i =的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是________．三、解答题 (本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.） 15．（本小题13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：甲 6 6 9 9乙79xy（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ,求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值．（结论不要求证明） 16．（本小题13分）已知数列{}n a 中，11a =，且12()2nn n a a n a *+=∈+N .（Ⅰ）求234,,a a a 的值；（Ⅱ）试猜想这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 17．（本小题13分）已知函数32()4f x ax bx x =++的极小值为8-，其导函数()y f x '=的图象经过点(2,0)-，如图所示． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()y f x k =-在区间[3,2]-上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．i1 2 3 ()f i231i1 2 3 4 ()f i3yxO -23 / 318．（本小题13分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？ 19．（本小题14分）已知函数e ()(ln )()xf x a x x a x=--∈R ．（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若存在12(0,1),(0,1)x x ∈∈，使得12()()f x f x =，试求a 的取值范围．20．（本小题14分）对于项数为m 的有穷数列{}n a ,令12max{,,,}(1,2,,)k k b a a a k m =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅,即k b 为12,a a ,…k a 中的最大值, 称数列{}n b 为{}n a 的上界数列, 如1, 3, 2, 5的上界数列是1, 3, 3, 5．（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{}n a 的上界数列为2, 4, 4, 5, 写出所有的{}n a ；（Ⅱ）设{}n b 是{}n a 的上界数列, 满足1k m k a b C -++=(C 为常数,1,2,,k m =⋅⋅⋅),求证:k k b a =；（Ⅲ）若各项为正整数的数列{}n a 的项数5m =, 其上界数列{}n b 满足11b =, 510b =, 求满足条件的数列{}n a 和{}n b 的个数．频数40208 9 10 11 更换的易损零件数。
2018—2019学年度人大附中期末统考题数学
2018—2019学年度人大附中期末统考题数学2019.01班级 姓名 成绩一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{1,3,5}A =，{(1)(3)0}B x x x =--=，则A B = （ ）A ．∅B ．{1}C ．{3}D ．{1,3}2. 2πsin()=3-（ ）A. 2-B. 12-C.2D.123. 下列函数为奇函数的是 （ ） A. 2x y = B. []sin ,0,2πy x x =∈ C. 3y x =D. lg y x =4. 若幂函数()y f x =的图象经过点(2,4)-，则()f x 在定义域内 （ ） A. 为增函数B. 为减函数C. 有最小值D. 有最大值5. 如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且B C D ，，三点共线，则下列结论不成立．．．的是 （ ） A. 3CD BC =B. 0CA CE ⋅=C. AB 与DE 共线D. CA CB CE CD ⋅=⋅EDCBA6. 函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象 （ ）A. 每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移π3个单位 B. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位C. 先向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D. 先向左平移π个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1（纵坐标不变）8. 如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O （不含A ，B 两点），P 为半圆上一动点，下面关于PA PB PC PD +++的说法正确的是 （ ） A. 无最大值，但有最小值 B. 既有最大值，又有最小值 C. 有最大值，但无最小值 D. 既无最大值，又无最小值二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上） 9. 已知向量=(1,2)a ，写出一个与a 共线的非零向量的坐标 . 10. 已知角θ的终边过点(3,4)-，则cos θ= .11. 向量a ，b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则⋅=a b .12. 函数2,(),0.x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩，（0t >）是区间(0,)+∞上的增函数，则t 的取值范围是 .13. 有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%. 有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾将以此增长率持续增长. 请预测，从 年开始，快递业产生的包装垃圾将超过4000万吨. （参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）14. 已知函数()sin f x x ω=在区间π06（，）上是增函数，则下列结论正确的是 .（将所有符合题意的序号填在横线上） ① 函数()sin f x x ω=在区间(π6-,0)上是增函数； ② 满足条件的正整数ω的最大值为3；③ππ()()412f f ≥.三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （本小题10分）已知向量=(sin ,1)x a ，=(1,)k b ，()f x =⋅a b .（Ⅰ）若关于x 的方程()1f x =有解，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若1()3f k α=+且(0π),α∈，求tan α.16. （本小题12分）已知二次函数2()f x x bx c =++满足(1)(3)3f f ==-.（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）若函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()()g x f x =，（ⅰ）直接写出()g x 的单调递减区间为 ； （ⅱ）若()g a a >，求a 的取值范围. 17. （本小题12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整；函数()f x 的解析式为()f x = （直接写出结果即可）； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）求函数()f x 在区间[,0]2π-上的最大值和最小值．18.（本小题10分）定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期．（Ⅰ）下列函数①2xy =，②2log y x =，③[]y x =（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是 （直接填写序号）；（Ⅱ）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，求证：()()G x g x x =-为周期函数； （Ⅲ）若()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，求k 的值.2018—2019学年度人大附中期末统考题参考答案 数 学阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. 答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可，例如()24,等.10.3511. 3 12. 1t ≥ 13. 2021 14. ①②③ 注：第14题选对一个给1分，选对两个给2分，选对三个给4分.三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15. 解：（Ⅰ）∵向量=(sin ,1)x a ，=(1,)k b ，()f x =⋅a b ， ∴()f x =⋅a b =sin +x k . ---------------2分关于x 的方程()1f x =有解，即关于x 的方程sin 1x k =-有解. ------------3分∵[]sin 11x ∈-,，∴当[]111k ,-∈-时，方程有解. ---------------4分 则实数k 的取值范围为[]02,. --5分 （Ⅱ）因为1()3f k α=+，所以1sin ++3k =k α，即1sin 3=α. -----------6分当π(0]2,α∈时，cos 3α==，sin tan cos 4=ααα=. --------------8分当π(,π)2α∈时，cos 3α==-，tan 4=α-. -------------10分16. 解：（Ⅰ）4b =-； ----2分0c =. ------4分（Ⅱ）（ⅰ）[]22,-. ----6分 （ⅱ）由（Ⅰ）知2()4f x x x =-，则当0x ≥时，2()4g x x x =-；当0x <时，0x ->，则22()()4()4g x x x x x -=---=+因为()g x 是奇函数，所以2()()4g x g x x x =--=--. ------8分若()g a a >，则20,4;a a a a >⎧⎨->⎩或20,4.a a a a ≤⎧⎨-->⎩ -------------10分 解得5a >或50a -<<. ----------12分 综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<. 17. 解:（Ⅰ）------4分解析式为：π()2sin(2)6f x x =+----------6分 （Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. -------------8分（Ⅲ）因为π02x -≤≤，所以5πππ2666x -≤+≤. 得：π11sin(2)62x -≤+≤.所以,当ππ262x +=-即π3x =-时，()f x 在区间[,0]2π-上的最小值为2-.--10分当ππ266x +=即0x =时，()f x 在区间[,0]2π-上的最大值为1. --------12分18. 解：（Ⅰ） ③； -2分 （Ⅱ）证明：∵()g x 为线周期函数，其线周期为T ，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()g x T g x T +=+恒成立. ∵()()G x g x x =-,∴(+)()()G x T g x T x T =+-+()()g x T x T =+-+()g x x =-()G x =. ∴()()G x g x x =-为周期函数. -----------6分（Ⅲ）∵()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，sin()()sin x T k x T x kx T +++=++. ∴sin()sin x T kT x T ++=+．令0x =，得sin T kT T +=； ---------------------① 令πx =，得sin T kT T -+=； ---------------② ①②两式相加，得22kT T =. ∵0T ≠，∴1k =． ---------8分 检验：当1k =时，()sin x x x ϕ=+．存在非零常数2π，对任意x ∈R ，(2π)sin(2π)2πsin 2π()2πx x x x x x ϕϕ+=+++=++=+，∴()sin x x x ϕ=+为线周期函数．综上，1k =. -------10分2018—2019学年度人大附中期末附加题高一数学 2018.1一.填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 19. cos60sin210︒+︒=______.20. 已知向量(2,4)a =,(1,1)b =.若向量()b a b λ⊥+,则实数λ的值是______.21. 已知π(0)2αα<<的终边与单位圆交于点P ,点P 关于直线y x =对称后的点为M ,点M 关于y 轴对称后的点为N ,设角β终边为射线ON . （1）β与α的关系为______;（2）若1sin 3α=,则tan β=______.22. 已知函数()sin 2sin f x x x =⋅,下列结论中正确．．的是______.（把所有正确序号都填上） ①2π是函数()f x 的一个周期; ②存在正数M ,使得对任意x ∈R ,有()f x M ≤;③()f x 的对称轴为πx k =,k ∈Z ;④函数()f x 在π(0,)2内是增函数.23. 如图,已知点(1,1)A 和单位圆上半部分上的动点B .BOX θ∠=,(0)θπ≤≤.（1）B 点的坐标为______（用θ表示）; （2）15OA OB ⋅=,2sin cos 1cos θθθ=+______. 24. 如图所示,已知OAB !,由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区域（不含边界）.（1）若D 为AB 中点,OD =______（用OA ,OB 表示） （2）已知下列四个向量: ①12OM OA OB =+;②23143OM OA OB =+;③31123OM OA OB =+;④43145OM OA OB =+.对于点1M ,2M ,3M ,4M ,落在阴影区域内（不含边界）的点有______（把所有符合条件点都填上）.二.解答题（本大题共1小题，满分14分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）25. 对于数集12{1,,,,}n X x x x =-⋅⋅⋅,其中120n x x x <<<⋅⋅⋅<,2n ≥.定义向量集{|(,),,}Y a a s t s X tX ==∈∈.若对于任意1a Y ∈,存在2a Y ∈,使得120a a ⋅=,则称X 具有性质P .例如{1,1,2}X =-具有性质P .（1）若2x >,且{1,1,2,}x -具有性质P ,求x 的值; （2）若X 具有性质P ,求证:1X ∈,且当1n x >时,11x =.2017-2018人大附高一期末附加卷数学学科测试答案（理工类）2018.1一、填空题:本大题共6小题,每小题6分,共36分.19.020.3-21.90βα=+︒;-22.①②③23.(cos ,sin )θθ;127 24.1()2OA OB +;12,M M 二、解答题:25. （本小题满分14分）解:（1）因为2x >,选取1(,2)a x =,2(1,2)a =-,由120a a ⋅=得40x -=,则4x =.（2）取11(,)p x x Y =∈,设(,)q s t Y =∈, 由0p q ⋅=得()10x s t +=, 则0s t +=,则s 和t 中有一个数是1-, 则s 和t 中有一个数是1,即1x ∈, 假设1(1)k x k n =<<,则101n x x <<<, 再取1(,)n e x x Y =∈,(,)f s t Y =∈, 则10n sx tx +=,所以s 和t 异号,且其中一个值为1-, 若1s =-,则11n x tx t x =>≥,矛盾; 若1t =-,则1n n x sx s x =<≤,矛盾;则假设1(1)k x k n =<<不成立,可得当1n x >时,11x =.。
2018-2019学年北京市人大附中高二(上)期末数学试卷
2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）下列导数公式错误的是（ ） A.（sinx ）'=-cosx B. (lnx )′=1x C. (1x )′=−1x 2 D.（e x ）'=e x2.（单选题.5分）双曲线x 2- y 23 =1的焦点坐标是（ ） A.（0. √2 ）.（0.- √2 ） B.（ √2 .0）.（- √2 .0） C.（0.2）.（0.-2） D.（2.0）.（-2.0）3.（单选题.5分）如图.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a . AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ . AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = c .则 D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. a + b ⃗ - cB. a + b ⃗ + cC. a - b ⃗ - cD.- a + b ⃗ + c4.（单选题.5分）若 a =（a 1.a 2.a 3）. b ⃗ =（b 1.b 2.b 3）.则 a 1b 1= a 2b 2= a 3b3是 a || b ⃗ 的（ ） A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.充分不必要条件5.（单选题.5分）如图.正棱柱ABCD-A1B1C1D1中.AA1=2AB.则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A. 15B. 25C. 35D. 45+lnx .则（）6.（单选题.5分）设函数f（x）= 2xA.x= 1.f（x）取得最大值2.f（x）取得最小值B.x= 12C.x=2.f（x）取得最大值D.x=2.f（x）取得最小值7.（单选题.5分）如果把二次函数f（x）=ax2+bx+c与其导函数f′（x）的图象画在同一个坐标系中．则下面四组图中一定错误的是（）A.B.C.D.8.（单选题.5分）函数f（x）=x3+kx2-7x在区间[-1.1]上单调递减.则实数k的取值范围是（）A.（-∞.-2]B.[-2.2]C.[-2.+∞）D.[2.+∞）9.（填空题.5分）已知函数f（x）=x2.则△x→0f(△x)−f(0)△x=___ ．10.（填空题.5分）已知函数f(x)=e xx.则f′（1）=___ ．11.（填空题.5分）已知空间向量a =（0.1.1）. b⃗ =（x.0.1）.若a . b⃗的夹角为π3.则实数x的值为___ ．12.（填空题.5分）直线y=a与函数f（x）=x3-3x的图象有相异的三个公共点.则a的取值范围是___ ．13.（填空题.5分）电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=13x3−392x2−40x(x＞0) .为使耗电量最小.则其速度应定为___ ．14.（填空题.5分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.M为体对角线BD1上动点．则（1）M到CC1距离的最小值为___ ；（2）M位于BD1三等分点处时.M到各顶点的距离的不同取值有___ 种．15.（问答题.10分）已知抛物线C方程：y2=2px（p＞0）.点（1.2）在C上.F为焦点．（Ⅰ）求抛物线C的方程和焦点F坐标；（Ⅱ）若抛物线C上有两个定点A.B分别在其对称轴的上、下两侧.且|AF|=2.|BF|=5.求原点O 到直线AB的距离．16.（问答题.10分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx.其导函数为f′（x）的部分值如表所示：x -2 1 3 8 f′（x）-10 6 8 -90根据表中数据.回答下列问题：（Ⅰ）实数c的值为___ ；当x=___ 时.f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．（Ⅱ）求实数a.b的值．（Ⅲ）求f（x）的单调区间．17.（问答题.10分）如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为矩形.平面PCD⊥平面ABCD.BC=1.AB=2. PC=PD=√2 .E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC || 平面BED；（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值；的值；若不存在.说明理由．（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M.使得BM⊥AC？若存在.求PMPC18.（单选题.6分）过抛物线y2=2x焦点的直线交抛物线于A.B两点.若|AB|=5.则AB的中点M 到y轴的距离等于（）A.2B.25C.3D.419.（单选题.6分）如图.已知直线y=kx 与曲线y=f （x ）相切于两点.设函数g （x ）=kx+m （m ＞0）.则函数F （x ）=g （x ）-f （x ）（ ）A.有极小值.没有极大值B.有极大值.没有极小值C.至少有两个极小值和一个极大值D.至少有一个极小值和两个极大值20.（单选题.6分）如图所示.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长为3.底面边长A 1C 1=B 1C 1=1.且∠A 1C 1B 1=90°.D 点在棱AA 1上且AD=2DA 1.P 点在棱C 1C 上.则 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ）A. 52B. −14 C. 14 D. −5221.（单选题.6分）已知集合R n ={X|X=（x 1.x 2.….x n ）.x i ∈{0.1}.i=1.2.….n}（n≥2）．对于A=（a 1.a 2.….a n ）∈R n .B=（b 1.b 2.….b n ）∈R n .定义A 与B 之间的距离为d （A.B ）=|a 1-b 1|+|a 2-b 2|+…|a n -b n |= ∑|a i −b i |n i=1 ．若集合M 满足：M⊆R 3.且任意两元素间的距离均为2.则集合M 中元素个数的最大值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.822.（问答题.13分）已知离心率为√32的椭圆C：x2a2+ y2b2=1（a＞b＞0）与直线x=2相交于P.Q两点（点P在x轴上方）.且|PQ|=2．点A.B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点.且∠APQ=∠BPQ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ面积的取值范围．23.（问答题.13分）对于函数f（x）.若存在实数x0满足f（x0）=x0.则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+3.其中a.b∈R（Ⅰ）当a=0时.（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点.又是f（x）的不动点.求b的值；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1.x2.试问：是否存在a.b.使得x1.x2均为f（x）的不动点？证明你的结论．2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）下列导数公式错误的是（）A.（sinx）'=-cosxB. (lnx)′=1xC. (1x )′=−1x2D.（e x）'=e x【正确答案】：A【解析】：根据题意.依次计算选项函数的导数.比较即可得答案．【解答】：解：根据题意.依次分析选项：对于A、（sinx）'=cosx.故A错误；对于B、（lnx）′= 1x.故B正确；对于C、（1x ）′=x-1=（-1）×x-2=- 1x2.故C正确；对于D、（e x）'=e x.故D正确；故选：A．【点评】：本题考查导数的计算.关键是掌握导数的计算公式．2.（单选题.5分）双曲线x2- y23=1的焦点坐标是（）A.（0. √2）.（0.- √2）B.（√2 .0）.（- √2 .0）C.（0.2）.（0.-2）D.（2.0）.（-2.0）【正确答案】：D【解析】：根据题意.由双曲线的方程求出a、b的值.计算可得c的值.结合双曲线的焦点位置.分析可得答案．【解答】：解：根据题意.双曲线的方程为x 2- y 23 =1. 其中a=1.b= √3 .则c= √1+3 =2.又由双曲线的焦点在x 轴上.则其焦点坐标为（2.0）（-2.0）； 故选：D ．【点评】：本题考查双曲线的标准方程.注意分析双曲线的焦点位置.属于基础题．3.（单选题.5分）如图.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a . AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ . AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = c .则 D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. a + b ⃗ - cB. a + b ⃗ + cC. a - b ⃗ - cD.- a + b ⃗ + c 【正确答案】：C【解析】：根据空间向量的加减法运算用已知向量把 D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来即可．【解答】：解： D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ = −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ − AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = −c +a −b ⃗ 故选：C ．【点评】：本题考查了用空间已知向量表示空间未知向量以及向量的加减法.属于基础题型． 4.（单选题.5分）若 a =（a 1.a 2.a 3）. b ⃗ =（b 1.b 2.b 3）.则 a 1b 1= a 2b 2= a 3b3是 a || b ⃗ 的（ ） A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.充分不必要条件 【正确答案】：D【解析】：根据空间向量平行的坐标公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】：解：∵ a =（a1.a2.a3）. b⃗ =（b1.b2.b3）.∴当a1b1 = a2b2= a3b3时.向量a || b⃗成立．当a =（1.0.0）. b⃗ =（2.0.0）.满足a || b⃗ .但a1b1 = a2b2= a3b3不成立.∴ a1 b1 = a2b2= a3b3是a || b⃗的充分不必要条件．故选：D．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.利用空间向量的坐标公式以及空间向量的共线定理是解决本题的关键．5.（单选题.5分）如图.正棱柱ABCD-A1B1C1D1中.AA1=2AB.则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A. 15B. 25C. 35D. 45【正确答案】：D【解析】：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B.得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角.在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】：解．如图.连接BC1.A1C1.∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角.设AB=a.AA1=2a.∴A1B=C1B= √5 a.A1C1= √2 a.∠A1BC1的余弦值为45.故选：D．【点评】：本题主要考查了异面直线及其所成的角.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.属于基础题．6.（单选题.5分）设函数f（x）= 2x+lnx .则（）A.x= 12.f（x）取得最大值B.x= 12.f（x）取得最小值C.x=2.f（x）取得最大值D.x=2.f（x）取得最小值【正确答案】：D【解析】：求出函数的导数.解关于导函数的不等式.求出函数的单调区间.求出函数的最小值即可．【解答】：解：∵f（x）= 2x+lnx .（x＞0）∴f′（x）=- 2x2 + 1x= x−2x2.令f′（x）＞0.解得：x＞2.令f′（x）＜0.解得：0＜x＜2.故f（x）在（0.2）递减.在（2.+∞）递增.故x=2时.f（x）取最小值.故选：D．【点评】：本题考查了函数的单调性.最值问题.考查导数的应用.是一道常规题．7.（单选题.5分）如果把二次函数f（x）=ax2+bx+c与其导函数f′（x）的图象画在同一个坐标系中．则下面四组图中一定错误的是（）A.B.C.D.【正确答案】：B上.从而得到答案．【解析】：根据二次函数的顶点和导函数的解在直线x=- b2a.【解答】：解：二次函数f（x）=ax2+bx+c的对称轴是x=- b2a.故其导函数f′（x）=2ax+b=0的根是- b2a上.二次函数的顶点和导函数的解均在直线x=- b2a故对于选项B是错误的.故选：B．【点评】：本题考查了二次函数的性质.考查数形结合思想.是一道基础题．8.（单选题.5分）函数f（x）=x3+kx2-7x在区间[-1.1]上单调递减.则实数k的取值范围是（）A.（-∞.-2]B.[-2.2]C.[-2.+∞）D.[2.+∞） 【正确答案】：B【解析】：根据题意.求出函数f （x ）的导数.结合函数的导数与函数单调性的关系可得f′（x ）=3x 2+2kx-7≤0在[-1.1]上恒成立.则有 {f′(1)=3+2k −7≤0f′(−1)=3−2k −7≤0 .解可得k 的取值范围.即可得答案．【解答】：解：根据题意.函数f （x ）=x 3+kx 2-7x.其导数f′（x ）=3x 2+2kx-7. 若函数f （x ）=x 3+kx 2-7x 在区间[-1.1]上单调递减. 则f′（x ）=3x 2+2kx-7≤0在[-1.1]上恒成立. 则有 {f′(1)=3+2k −7≤0f′(−1)=3−2k −7≤0 .解可得-2≤k≤2.即k 的取值范围为[-2.2]； 故选：B ．【点评】：本题考查函数的单调性的判定.涉及函数的导数与单调性的关系.属于基础题． 9.（填空题.5分）已知函数f （x ）=x 2.则 △x→0f (△x )−f (0)△x =___ ． 【正确答案】：[1]0 【解析】：先求出f′（x ）.由 △x→0f (△x )−f (0)△x =f′（0）.能求出结果．【解答】：解：∵f （x ）=x 2. ∴f′（x ）=2x. ∴△x→0f (△x )−f (0)△x =f′（0）=0. 故答案为：0．【点评】：本题考查极限的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意导数概念及性质的合理运用． 10.（填空题.5分）已知函数 f (x )=e xx.则f′（1）=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：根据导数的公式求出函数的导数.直接代入即可求值．【解答】：解：∵函数f(x)=e xx.∴f'（x）= e x•x−e xx2.∴f′（1）= e−e1=0 .故答案为：0．【点评】：本题主要考查导数的计算.要求熟练掌握常见函数的导数公式.比较基础．11.（填空题.5分）已知空间向量a =（0.1.1）. b⃗ =（x.0.1）.若a . b⃗的夹角为π3.则实数x的值为___ ．【正确答案】：[1]1或-1【解析】：首先根据向量的坐标求出向量的模.进一步利用向量的夹角求出x的值．【解答】：解：已知a=(0，1，1) . b⃗=(x，0，1)则：|a|=√2 . |b⃗|=√x2+1由于a和b⃗的夹角为π3.则：cosπ3=a⃗ •b⃗|a⃗ ||b⃗|=√2√x2+1=12解得：x=1或-1故答案为：1或-1【点评】：本题考查的知识要点：空间向量的夹角.空间向量的数量积和模的运算.属于基础题型．12.（填空题.5分）直线y=a与函数f（x）=x3-3x的图象有相异的三个公共点.则a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-2.2）【解析】：先求出其导函数.利用其导函数求出其极值以及图象的变化.进而画出函数f（x）=x3-3x对应的大致图象.平移直线y=a即可得出结论．【解答】：解：令f′（x）=3x2-3=0.得x=±1.可求得f（x）的极大值为f（-1）=2.极小值为f（1）=-2.如图所示.当满足-2＜a＜2时.恰有三个不同公共点．故答案为：（-2.2）【点评】：本题主要考查利用导数研究函数的极值以及数形结合思想的应用.是对基础知识的考查.属于基础题．13.（填空题.5分）电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=13x3−392x2−40x(x＞0) .为使耗电量最小.则其速度应定为___ ．【正确答案】：[1]40【解析】：欲求使耗电量最小.则其速度应定为多少.即求出函数的最小值即可.对函数求导.利用导数求研究函数的单调性.判断出最小值位置.代入算出结果．【解答】：解：由题设知y'=x2-39x-40.令y'＞0.解得x＞40.或x＜-1.故函数y=13x3−392x2−40x(x＞0)在[40.+∞）上增.在（0.40]上减.当x=40.y取得最小值．由此得为使耗电量最小.则其速度应定为40；故答案为：40．【点评】：考查用导数研究函数的单调性求最值.本题是导数一章中最基本的应用题型．14.（填空题.5分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.M为体对角线BD1上动点．则（1）M到CC1距离的最小值为___ ；（2）M位于BD1三等分点处时.M到各顶点的距离的不同取值有___ 种．【正确答案】：[1] √22; [2]4【解析】：（1）M到CC1距离的最小值是异面直线BD1和CC1间的距离.由此能求出M到CC1距离的最小值；（2）以D为原点.DA为x轴.DC为y轴.DD1为z轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能求出M 到各顶点的距离的不同取值的种数．【解答】：解：（1）M到CC1距离的最小值是异面直线BD1和CC1间的距离.连结AC.BD.交于点O.则AC⊥BD.AC || DD1.∴AC⊥平面BDD1.∴OC⊥BD1.且OC⊥CC1.∴M到CC1距离的最小值为|OC|= 12√12+12 = √22．故答案为：√22．（2）以D为原点.DA为x轴.DC为y轴.DD1为z轴.建立空间直角坐标系. A（1.0.0）.B（1.1.0）.C（0.1.0）.D（0.0.0）.A1（1.0.1）.B1（1.1.1）.C1（0.1.1）.D1（0.0.1）.M位于BD1三等分点处时.设M（23，23，13）.∴AM= √(23−1)2+(23)2+(13)2= √63.BM= √(23−1)2+(23−1)2+(13)2= √33.CM= √(23)2+(23−1)2+(13)2= √63.DM= √(23)2+(23)2+(13)2=1.A1M= √(23−1)2+(23)2+(13−1)2=1.B1M= √(23−1)2+(23−1)2+(13)2= √33.C1M= √(23)2+(23−1)2+(13−1)2=1.D1M= √(23)2+(23)2+(13−1)2= 2√33．∴M到各顶点的距离的不同取值有4种．故答案为：4．【点评】：本题考查点到直线的距离的最小值的求法.考查点到各顶点的距离的不同取值的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置位置关系等基础知识.考查学生的空间想象能力.考查运算求解能力.是中档题．15.（问答题.10分）已知抛物线C 方程：y 2=2px （p ＞0）.点（1.2）在C 上.F 为焦点． （Ⅰ）求抛物线C 的方程和焦点F 坐标；（Ⅱ）若抛物线C 上有两个定点A.B 分别在其对称轴的上、下两侧.且|AF|=2.|BF|=5.求原点O 到直线AB 的距离．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）将（1.2）代入抛物线方程.可得p=2.可得抛物线的方程和焦点坐标； （Ⅱ）运用抛物线的定义.可得A.B 的坐标.AB 的方程.运用点到直线的距离公式.可得所求值．【解答】：解：（Ⅰ）将（1.2）代入抛物线方程可得4=2p. 解得p=2.即抛物线的方程为y 2=4x.F （1.0）；（Ⅱ）若抛物线C 上有两个定点A.B 分别在其对称轴的上、下两侧. 且|AF|=2.|BF|=5.由抛物线的定义可得x A +1=2.x B +1=5. 即有x A =1.x B =4.即为A （1.2）.B （4.-4）.AB 的斜率为-2. AB 的方程为2x+y-4=0. O 到直线AB 的距离为d= √4+1= 4√55 ．【点评】：本题考查抛物线的定义、方程和性质.考查直线方程的求法和运用.以及点到直线的距离公式的运用.考查运算能力.属于基础题．16.（问答题.10分）已知函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx.其导函数为f′（x ）的部分值如表所示：（Ⅰ）实数c 的值为___ ；当x=___ 时.f （x ）取得极大值（将答案填写在横线上）． （Ⅱ）求实数a.b 的值． （Ⅲ）求f （x ）的单调区间．【正确答案】：6; 3【解析】：（Ⅰ）由极值的定义.通过表格可求解； （Ⅱ）在表格中取两组数据代入解析式即可； （Ⅲ）利用导数求出f （x ）的单调区间【解答】：解：（Ⅰ）6.3 （Ⅱ）：f'（x ）=3ax 2+2bx+c.由已知表格可得 {f′(1)=8f′(3)=0 解得 {a =−23b =2（Ⅲ）：由（Ⅱ）可得f'（x ）=-2x 2+4x+6=-2（x-3）（x+1）. 因为x∈（-∞.-1）和x∈（3.+∞）时f'（x ）＜0.x∈（-1.3）时f'（x ）＞0. 所以f （x ）的单调增区间为（-1.3）.单调减区间为（-∞.-1）和（3.+∞）．【点评】：本题考查了函数的定义及利用导数求单调区间.属于基础题． 17.（问答题.10分）如图.在四棱锥P-ABCD 中.底面ABCD 为矩形.平面PCD⊥平面ABCD.BC=1.AB=2. PC =PD =√2 .E 为PA 中点． （Ⅰ）求证：PC || 平面BED ； （Ⅱ）求二面角A-PC-D 的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M.使得BM⊥AC ？若存在.求 PMPC 的值；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）设AC 与BD 的交点为F.连结EF.推导出EF || PC ．由此能证明PC || 平面BED ．（Ⅱ）取CD 中点O.连结PO ．推导出PO⊥CD .取AB 中点G.连结OG.建立空间直角坐标系O-xyz.利用向量法能求出二面角A-PC-B 的余弦值．（Ⅲ）设M 是棱PC 上一点.则存在λ∈[0.1]使得 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．利用向量法能求出在棱PC 上存在点M.使得BM⊥AC ．此时. PMPC = 12【解答】：（共14分）证明：（Ⅰ）设AC 与BD 的交点为F.连结EF ． 因为ABCD 为矩形.所以F 为AC 的中点． 在△PAC 中.由已知E 为PA 中点. 所以EF || PC ．又EF⊂平面BFD.PC⊄平面BFD. 所以PC || 平面BED ． …（5分） （Ⅱ）取CD 中点O.连结PO ．因为△PCD 是等腰三角形.O 为CD 的中点. 所以PO⊥CD ．又因为平面PCD⊥平面ABCD. PO⊂平面PCD.所以PO⊥平面ABCD ．取AB 中点G.连结OG.由题设知四边形ABCD 为矩形. 所以OF⊥CD ．所以PO⊥OG ．…（1分） 如图建立空间直角坐标系O-xyz.则A （1.-1.0）.C （0.1.0）.P （0.0.1）.D （0.-1.0）. B （1.1.0）.O （0.0.0）.G （1.0.0）． AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.2.0）. PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.-1）． 设平面PAC 的法向量为 n ⃗ =（x.y.z ）. 则 {n ⃗ •AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2y =0n ⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y −z =0.令z=1.得 n ⃗ =（2.1.1）．平面PCD 的法向量为 OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.0.0）．设 n ⃗ ，OG ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α.所以cosα= |n ⃗ •OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n⃗ •OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √63． 由图可知二面角A-PC-D 为锐角.所以二面角A-PC-B 的余弦值为 √63 ．…（10分）（Ⅲ）设M 是棱PC 上一点.则存在λ∈[0.1]使得 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC⃗⃗⃗⃗⃗ ．因此点M （0.λ.1-λ）. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.λ-1.1-λ）. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.2.0）． 由 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .得1+2（λ-1）=0.解得 λ=12． 因为 λ=12 ∈[0.1].所以在棱PC 上存在点M.使得BM⊥AC ． 此时. PMPC = 12 ． …（14分）【点评】：本题考查线面平行的证明.考查二面角的余弦值的求法.考查线段比值的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意向量法的合理运用．18.（单选题.6分）过抛物线y 2=2x 焦点的直线交抛物线于A.B 两点.若|AB|=5.则AB 的中点M 到y 轴的距离等于（ ） A.2 B.25 C.3 D.4【正确答案】：A【解析】：由题意知.求出抛物线的参数p.由于直线过焦点.设出AB 中点的横坐标m.由中点的坐标公式求出x 1+x 2.利用弦长公式x 1+x 2+p.解方程可得m.即可得到所求值．【解答】：解：由抛物线为y 2=2x. 可得p=1．设A 、B 两点横坐标分别为x 1.x 2. 设线段AB 中点的横坐标为m. 则x 1+x 22=m.即x 1+x 2=2m. 由|AB|=x 1+x 2+p=2m+1=5.解得m=2.可得AB 的中点M 到y 轴的距离为2．故选：A．【点评】：本题是直线被圆锥曲线所截.求弦长问题.一般可以由公式：|AB|= √1+k2•|x1-x2|求得；线段中点坐标通常与根与系数的关系相联系.从而简化解题过程．但对于过焦点的弦长注意圆锥曲线定义的应用．19.（单选题.6分）如图.已知直线y=kx与曲线y=f（x）相切于两点.设函数g（x）=kx+m （m＞0）.则函数F（x）=g（x）-f（x）（）A.有极小值.没有极大值B.有极大值.没有极小值C.至少有两个极小值和一个极大值D.至少有一个极小值和两个极大值【正确答案】：C【解析】：F（x）表示两图象上横坐标相同时.纵坐标的差.根据函数图象即可判断出结论．【解答】：解：设y=kx与f（x）的切点横坐标分别为x1.x2.（x1＜x2）.设f（x）的另一条斜率为k的切线与f（x）图象的切点横坐标为x3.如图所示：而F（x）=kx+m-f（x）表示直线g（x）的点（x.g（x））与f（x）上的点的（x.f（x））的纵坐标的差.显然.F（x）在（0.x1）上单调递减.在（x1.x3）上单调递增.在（x3.x2）上单调递减.在（x2.+∞）上单调递增.∴x1.x2为F（x）的极小值点.x3为F（x）的极大值点．∴F（x1）.F（x2）为F（x）的极小值.F（x3）为F（x）的极大值．故选：C．【点评】：本题考查了函数图象的几何意义.函数极值的意义.属于中档题．20.（单选题.6分）如图所示.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长为3.底面边长A 1C 1=B 1C 1=1.且∠A 1C 1B 1=90°.D 点在棱AA 1上且AD=2DA 1.P 点在棱C 1C 上.则 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ）A. 52B. −14 C. 14D. −52【正确答案】：B【解析】：建立如图所示的直角坐标系.设P （0.0.z ）.求出 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 和 PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.求出 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (z −52)2 - 14 .利用二次函数的性质求出它的最小值．【解答】：解：建立如图所示的直角坐标系. 则D （1.0.2）.B 1（0.1.3）. 设P （0.0.z ）.则 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.0.2-z ）. PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.3-z ）.∴ PD ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+0+（2-z ）（3-z ）= (z −52)2- 14 . 故当z= 52 时. PD ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值为- 14 .故选：B ．【点评】：本题主要考查两个向量的数量积的定义.两个向量坐标形式的运算.属于基础题． 21.（单选题.6分）已知集合R n ={X|X=（x 1.x 2.….x n ）.x i ∈{0.1}.i=1.2.….n}（n≥2）．对于A=（a 1.a 2.….a n ）∈R n .B=（b 1.b 2.….b n ）∈R n .定义A 与B 之间的距离为d （A.B ）=|a 1-b 1|+|a 2-b 2|+…|a n -b n |= ∑|a i −b i |n i=1 ．若集合M 满足：M⊆R 3.且任意两元素间的距离均为2.则集合M 中元素个数的最大值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8【正确答案】：A【解析】：由集合的子集得：R 3中含有8个元素.先阅读然后再理解定义得：可将其看成正方体的8个顶点.已知集合M 中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点.即M={（0.0.0）.（1.1.0）.（1.0.1）.（0.1.1）}或M={（0.0.1）.（0.1.0）.（1.0.0）.（1.1.1）}.得解．【解答】：解：由n 元子集个数得：R 3中含有8个元素.可将其看成正方体的8个顶点. 已知集合M 中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点. 所以M={（0.0.0）.（1.1.0）.（1.0.1）.（0.1.1）} 或M={（0.0.1）.（0.1.0）.（1.0.0）.（1.1.1）}. 故集合M 中元素个数最大值为4. 故选：A ．【点评】：本题考查了集合的子集及阅读能力.属难度较大的题型． 22.（问答题.13分）已知离心率为 √32 的椭圆C ： x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）与直线x=2相交于P.Q 两点（点P 在x 轴上方）.且|PQ|=2．点A.B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点.且∠APQ=∠BPQ ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ 面积的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）通过椭圆的离心率.设椭圆方程.利用点在椭圆.求出b 2.然后求出椭圆方程． （Ⅱ）通过∠APQ=∠BPQ .推出k PA =-k PB ．设直线PA 的斜率为k.得到直线PA ：y-1=k （x-2）（k≠0）．与椭圆联立.求出A 、B 坐标.设四边形APBQ 面积为S.表示出三角形的面积.利用基本不等式求出最值.也可以利用函数的导数求解面积的范围．【解答】：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得e= √32 .则 ba = 12 .设椭圆方程为： x 24b 2 + y 2b 2 =1（b ＞0） 由题意可知点P （2.1）在椭圆上. 所以44b 2+1b 2=1 ．解得b 2=2．故椭圆C 的标准方程为 x 28+y 22=1 ． …（4分）（Ⅱ）由题意可知.直线PA.直线PB 的斜率都存在且不等于0． 因为∠APQ=∠BPQ .所以k PA =-k PB ．设直线PA 的斜率为k.则直线PA ：y-1=k （x-2）（k≠0）．由 {x 2+4y 2=8y −1=k (x −2) .得（1+4k 2）x 2+8k （1-2k ）x+16k 2-16k-4=0… ① ．依题意.方程 ① 有两个不相等的实数根.即根的判别式△＞0成立． 即△=64k 2（1-2k ）2-4（1+4k 2）（16k 2-16k-4）＞0. 化简得16（2k+1）2＞0.解得k ≠−12 ． 因为2是方程 ① 的一个解.所以2x A = 16k 2−16k−41+4k 2 ． 所以x A = 8k 2−8k−21+4k 2 ．当方程 ① 根的判别式△=0时.k= −12.此时直线PA 与椭圆相切．由题意.可知直线PB 的方程为y-1=-k （x-2）．同理.易得x B =8(−k)2−8(−k )−21+4(−k )2 = 8k 2+8k−21+4k 2． 由于点A.B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点.∠APQ=∠BPQ . 且能存在四边形APBQ.则直线PA 的斜率k 需满足|t| ＞12 ． 设四边形APBQ 面积为S.则S △APQ +S △BPQ =12|PQ ||2−x A | +12|PQ ||x B −2| = 12|PQ ||x B −x A | = |8k 2−8k−21+4k 2−8k 2+8k−21+4k 2| = |16k1+4k 2| 由于|t| ＞12 . 故S=16|k|1+4k 2 = 161|k|+4|k|当|t| ＞12 时. 1|k|+4|k |＞4 .可得 0＜161|k|+4|k|＜4 .即0＜S ＜4．（此处另解：设t=|k|.讨论函数f （t ）= 1t +4t 在t∈ (12，+∞) 时的取值范围． f′（t ）=4- 1t2 =4t 2−1t 2.则当t ＞12时.f′（t ）＞0.f （t ）单调递增．则当t ＞12 时.f （t ）∈（4.+∞）.即S∈（0.4）．所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是（0.4）．…（14分）【点评】：本题考查椭圆的标准方程的求法.直线与圆锥曲线的综合应用.基本不等式以及函数的导数的应用.考查分析问题解决问题的能力．23.（问答题.13分）对于函数f （x ）.若存在实数x 0满足f （x 0）=x 0.则称x 0为函数f （x ）的一个不动点．已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+3.其中a.b∈R （Ⅰ）当a=0时.（ⅰ）求f （x ）的极值点；（ⅱ）若存在x 0既是f （x ）的极值点.又是f （x ）的不动点.求b 的值；（Ⅱ）若f （x ）有两个相异的极值点x 1.x 2.试问：是否存在a.b.使得x 1.x 2均为f （x ）的不动点？证明你的结论．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）（i ）求出函数的导数.通过讨论b 的范围.求出函数的单调区间.从而求出函数的极值点.（ii）得到函数g（x）有且仅有一个零点x=1.即方程2 x03 +x0-3=0的根为x0=1.从而求出b 的值即可；（Ⅱ）假设存在.根据题意得到x13 +a x12 +（b-1）x1+3=0．① .3 x12 +2ax1+b=0．② .得到a2-3b=- 92.这与a2-3b＞0相矛盾！判断结论即可．【解答】：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R.且f′（x）=3x2+2ax+b．[（1分）]当a=0时.f′（x）=3x2+b；（ⅰ）① 当b≥0时.显然f（x）在R上单调递增.无极值点．[（2分）]② 当b＜0时.令f′（x）=0.解得：x=± √−b3．[（3分）]f（x）和f′（x）的变化情况如下表：所以.x=- √−3是f（x）的极大值点；x= √−3是f（x）的极小值点．[（5分）]（ⅱ）若x=x0是f（x）的极值点.则有3 x02 +b=0；若x=x0是f（x）的不动点.则有x03 +bx0+3=x0.从上述两式中消去b.整理得：2 x03 +x0-3=0．[（6分）]设g（x）=2x3+x-3．所以g′（x）=6x2+1＞0.g（x）在R上单调递增．又g（1）=0.所以函数g（x）有且仅有一个零点x=1.即方程2 x03 +x0-3=0的根为x0=1.所以 b=-3 x02 =-3．[（8分）]（Ⅱ）因为f（x）有两个相异的极值点x1.x2.所以方程3x2+2ax+b=0有两个不等实根x1.x2.所以△=4a2-12b＞0.即a2-3b＞0．[（9分）]假设存在实数a.b.使得x1.x2均为f（x）的不动点.则x1.x2是方程x3+ax2+（b-1）x+3=0的两个实根.显然x1.x2≠0．对于实根x1.有x13 +a x12 +（b-1）x1+3=0．①又因为3 x12 +2ax1+b=0．②① ×3- ② ×x1.得a x12 +（2b-3）x1+9=0．同理可得a x22 +（2b-3）x2+9=0．所以.方程ax2+（2b-3）x+9=0也有两个不等实根x1.x2．[（11分）] 所以x1+x2=- 2b−3a．对于方程3x2+2ax+b=0.有 x1+x2=- 2a3.所以- 2a3 =- 2b−3a.即a2-3b=- 92.这与a2-3b＞0相矛盾！所以.不存在a.b.使得x1.x2均为f（x）的不动点．[（13分）]【点评】：本题考查了函数的单调性、极值问题.考查导数的应用以及新定义问题.分类讨论思想.是一道综合题．。
2018至2019第二学期二年级数学试卷(含答案)
2018-2019学年度二年级数学第二学期期末质量监测一、填一填（每空一分，共28分）1.5218里面有（）个千、（）个百、（）个十和（）个一。
2.一个数由7个千，3个百，6个一组成，这个数写作（），读作（）。
3.用4,6,0,2组成的最大的四位数是（），组成的最小四位数是（）。
4.小狗比小猫重，但是比小猪轻，小猫比小兔重，它们中（）最重，（）最轻。
5.30个）个6.爸爸在笔直的马路上开车，车体向前行是（）现象，车轮的运动是（）现象。
5=8……最大是（），这时是（）。
8.36÷（3×3），应先算（）法，再算（）法。
9.一个西瓜重5（），一个苹果重25（）。
10.从45里连续减去5，减（）次还剩5。
11.按规律填一填。
（1）697，698，699，（），（）；（2）2200，2100，2000，（），（）。
12.括号里最大能填几？（）×7<36 9×（）<4073>8×（）7（）5<784二、我是小法官。
（对的打“√”，错的打“×”）5分1.3050读作三千零五。
（）2.1千克铁比1千克棉花重。
（）3.最小的三位数与最小的四位数相差900。
（）4.6×6÷9与87+24-9的运算顺序是一样的。
（）5.把15块饼干分成3份，每份一定是5。
（）三、我会选。
（将正确答案的序号填在括号里）（10分）1.用一堆小方块拼最多能拼成6个，还剩3个小方块，这堆小方块共有（）个。
A.27B.45C.512.一个足球48元，一个篮球45元，李老师拿100元买了一个足球和一个篮球，应找回多少元？列式正确的是（）。
A.100-（48-45）B.100-（48+45）C.100-48+453.678最接近（）。
A.800B.600C.7004.......，那么第35个图形是（）。
A. B. C.5.图形可以由下面的图形（）旋转得到。
2018-2019学年北京市人大附中高二(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”的相应位置上.）1．（5分）下列导数公式错误的是（）A．（sin x）'＝﹣cos x B．C．D．（e x）'＝e x2．（5分）双曲线x2﹣＝1的焦点坐标是（）A．（0，），（0，﹣）B．（，0），（﹣，0）C．（0，2），（0，﹣2）D．（2，0），（﹣2，0）3．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝，＝，＝，则＝（）A．+﹣B．++C．﹣﹣D．﹣++4．（5分）若＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），则＝＝是∥的（）A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．充分不必要条件5．（5分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）＝，则（）A．x＝，f（x）取得最大值B．x＝，f（x）取得最小值C．x＝2，f（x）取得最大值D．x＝2，f（x）取得最小值7．（5分）如果把二次函数f（x）＝ax2+bx+c与其导函数f′（x）的图象画在同一个坐标系中．则下面四组图中一定错误的是（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）＝x3+kx2﹣7x在区间[﹣1，1]上单调递减，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，+∞）D．[2，+∞）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把结果填在答题纸中，）9．（5分）已知函数f（x）＝x2，则＝．10．（5分）已知函数，则f′（1）＝．11．（5分）已知空间向量＝（0，1，1），＝（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为．12．（5分）直线y＝a与函数f（x）＝x3﹣3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是．13．（5分）电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为，为使耗电量最小，则其速度应定为．14．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为体对角线BD1上动点．则（1）M到CC1距离的最小值为；（2）M位于BD1三等分点处时，M到各顶点的距离的不同取值有种．三、解答题（共3小题，满分30分）15．（10分）已知抛物线C方程：y2＝2px（p＞0），点（1，2）在C上，F为焦点．（Ⅰ）求抛物线C的方程和焦点F坐标；（Ⅱ）若抛物线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|AF|＝2，|BF|＝5，求原点O到直线AB的距离．16．（10分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx，其导函数为f′（x）的部分值如表所示：根据表中数据，回答下列问题：（Ⅰ）实数c的值为；当x＝时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．（Ⅱ）求实数a，b的值．（Ⅲ）求f（x）的单调区间．17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC＝1，AB＝2，，E为P A中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”的相应位置上.）18．（6分）过抛物线y2＝2x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝5，则AB的中点M 到y轴的距离等于（）A．2B．25C．3D．419．（6分）如图，已知直线y＝kx与曲线y＝f（x）相切于两点，设函数g（x）＝kx+m（m ＞0），则函数F（x）＝g（x）﹣f（x）（）A．有极小值，没有极大值B．有极大值，没有极小值C．至少有两个极小值和一个极大值D．至少有一个极小值和两个极大值20．（6分）如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°，D点在棱AA1上且AD＝2DA1，P点在棱C1C上，则的最小值为（）A．B．C．D．21．（6分）已知集合R n＝{X|X＝（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i＝1，2，…，n}（n≥2）．对于A＝（a1，a2，…，a n）∈R n，B＝（b1，b2，…，b n）∈R n，定义A与B之间的距离为d（A，B）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|a n﹣b n|＝．若集合M满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为（）A．4B．5C．6D．8二、解答题（本大题共2小题，每个小题13分，满分26分，请把结果填在答题纸中）.22．（13分）已知离心率为的椭圆C：+＝1（a＞b＞0）与直线x＝2相交于P，Q 两点（点P在x轴上方），且|PQ|＝2．点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，且∠APQ＝∠BPQ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ面积的取值范围．23．（13分）对于函数f（x），若存在实数x0满足f（x0）＝x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R（Ⅰ）当a＝0时，（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b，使得x1，x2均为f （x）的不动点？证明你的结论．2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”的相应位置上.）1．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、（sin x）'＝cos x，故A错误；对于B、（lnx）′＝，故B正确；对于C、（）′＝x﹣1＝（﹣1）×x﹣2＝﹣，故C正确；对于D、（e x）'＝e x，故D正确；故选：A．2．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣＝1，其中a＝1，b＝，则c＝＝2，又由双曲线的焦点在x轴上，则其焦点坐标为（2，0）（﹣2，0）；故选：D．3．【解答】解：═＝故选：C．4．【解答】解：∵＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），∴当＝＝时，向量∥成立．当＝（1，0，0），＝（2，0，0），满足∥，但＝＝不成立，∴＝＝是∥的充分不必要条件．故选：D．5．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB＝a，AA1＝2a，∴A1B＝C1B＝a，A1C1＝a，∠A1BC1的余弦值为，故选：D．6．【解答】解：∵f（x）＝，（x＞0）∴f′（x）＝﹣+＝，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故x＝2时，f（x）取最小值，故选：D．7．【解答】解：二次函数f（x）＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣，故其导函数f′（x）＝2ax+b＝0的根是﹣，二次函数的顶点和导函数的解均在直线x＝﹣上，故对于选项B是错误的，故选：B．8．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x3+kx2﹣7x，其导数f′（x）＝3x2+2kx﹣7，若函数f（x）＝x3+kx2﹣7x在区间[﹣1，1]上单调递减，则f′（x）＝3x2+2kx﹣7≤0在[﹣1，1]上恒成立，则有，解可得﹣2≤k≤2，即k的取值范围为[﹣2，2]；故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把结果填在答题纸中，）9．【解答】解：∵f（x）＝x2，∴f′（x）＝2x，∴＝f′（0）＝0，故答案为：0．10．【解答】解：∵函数，∴f'（x）＝，∴f′（1）＝，故答案为：0．11．【解答】解：已知，则：，由于，则：解得：x＝1或﹣1故答案为：1或﹣112．【解答】解：令f′（x）＝3x2﹣3＝0，得x＝±1，可求得f（x）的极大值为f（﹣1）＝2，极小值为f（1）＝﹣2，如图所示，当满足﹣2＜a＜2时，恰有三个不同公共点．故答案为：（﹣2，2）13．【解答】解：由题设知y'＝x2﹣39x﹣40，令y'＞0，解得x＞40，或x＜﹣1，故函数在[40，+∞）上增，在（0，40]上减，当x＝40，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40；故答案为：40．14．【解答】解：（1）M到CC1距离的最小值是异面直线BD1和CC1间的距离，连结AC，BD，交于点O，则AC⊥BD，AC∥DD1，∴AC⊥平面BDD1，∴OC⊥BD1，且OC⊥CC1，∴M到CC1距离的最小值为|OC|＝＝．故答案为：．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），M位于BD1三等分点处时，设M（），∴AM＝＝，BM＝＝，CM＝＝，DM＝＝1，A1M＝＝1，B1M＝＝，C1M＝＝1，D1M＝＝．∴M到各顶点的距离的不同取值有4种．故答案为：4．三、解答题（共3小题，满分30分）15．【解答】解：（Ⅰ）将（1，2）代入抛物线方程可得4＝2p，解得p＝2，即抛物线的方程为y2＝4x，F（1，0）；（Ⅱ）若抛物线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|AF|＝2，|BF|＝5，由抛物线的定义可得x A+1＝2，x B+1＝5，即有x A＝1，x B＝4，即为A（1，2），B（4，﹣4），AB的斜率为﹣2，AB的方程为2x+y﹣4＝0，O到直线AB的距离为d＝＝．16．【解答】解：（Ⅰ）6，3（Ⅱ）：f'（x）＝3ax2+2bx+c，由已知表格可得解得（Ⅲ）：由（Ⅱ）可得f'（x）＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣3）（x+1），因为x∈（﹣∞，﹣1）和x∈（3，+∞）时f'（x）＜0，x∈（﹣1，3）时f'（x）＞0，所以f（x）的单调增区间为（﹣1，3），单调减区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）．17．【解答】（共14分）证明：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF．因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．在△P AC中，由已知E为P A中点，所以EF∥PC．又EF⊂平面BFD，PC⊄平面BFD，所以PC∥平面BED．…（5分）（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点，所以PO⊥CD．又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．…（1分）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（1，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，﹣1，0），B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．＝（﹣1，2，0），＝（0，1，﹣1）．设平面P AC的法向量为＝（x，y，z），则，令z＝1，得＝（2，1，1）．平面PCD的法向量为＝（1，0，0）．设的夹角为α，所以cosα＝＝．由图可知二面角A﹣PC﹣D为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（10分）（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．因此点M（0，λ，1﹣λ），＝（﹣1，λ﹣1，1﹣λ），＝（﹣1，2，0）．由，得1+2（λ﹣1）＝0，解得．因为∈[0，1]，所以在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，＝．…（14分）一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”的相应位置上.）18．【解答】解：由抛物线为y2＝2x，可得p＝1．设A、B两点横坐标分别为x1，x2，设线段AB中点的横坐标为m，则＝m，即x1+x2＝2m，由|AB|＝x1+x2+p＝2m+1＝5，解得m＝2，可得AB的中点M到y轴的距离为2．故选：A．19．【解答】解：设y＝kx与f（x）的切点横坐标分别为x1，x2，（x1＜x2），设f（x）的另一条斜率为k的切线与f（x）图象的切点横坐标为x3，如图所示：而F（x）＝kx+m﹣f（x）表示直线g（x）的点（x，g（x））与f（x）上的点的（x，f（x））的纵坐标的差，显然，F（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，x3）上单调递增，在（x3，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，∴x1，x2为F（x）的极小值点，x3为F（x）的极大值点．∴F（x1），F（x2）为F（x）的极小值，F（x3）为F（x）的极大值．故选：C．20．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则D（1，0，2），B1（0，1，3），设P（0，0，z），则＝（1，0，2﹣z），＝（0，1，3﹣z），∴•＝0+0+（2﹣z）（3﹣z）＝﹣，故当z＝时，•取得最小值为﹣，故选：B．21．【解答】解：由n元子集个数得：R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以M＝或M＝，（1，1，1），故集合M中元素个数最大值为4，故选：A．二、解答题（本大题共2小题，每个小题13分，满分26分，请把结果填在答题纸中）. 22．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得e＝，则＝，设椭圆方程为：+＝1（b＞0）由题意可知点P（2，1）在椭圆上，所以．解得b2＝2．故椭圆C的标准方程为．…（4分）（Ⅱ）由题意可知，直线P A，直线PB的斜率都存在且不等于0．因为∠APQ＝∠BPQ，所以k P A＝﹣k PB．设直线P A的斜率为k，则直线P A：y﹣1＝k（x﹣2）（k≠0）．由，得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+16k2﹣16k﹣4＝0…（1）．依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式△＞0成立．即△＝64k2（1﹣2k）2﹣4（1+4k2）（16k2﹣16k﹣4）＞0，化简得16（2k+1）2＞0，解得k．因为2是方程（1）的一个解，所以2x A＝．所以x A＝．当方程（1）根的判别式△＝0时，k＝，此时直线P A与椭圆相切．由题意，可知直线PB的方程为y﹣1＝﹣k（x﹣2）．同理，易得x B ＝＝．由于点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，∠APQ＝∠BPQ，且能存在四边形APBQ，则直线P A的斜率k需满足|t |．设四边形APBQ面积为S，则＝＝＝由于|t |，故S ＝＝当|t|时，，可得，即0＜S＜4．（此处另解：设t＝|k|，讨论函数f（t ）＝在t ∈时的取值范围．f′（t）＝4﹣＝，则当t时，f′（t）＞0，f（t）单调递增．则当t时，f（t）∈（4，+∞），即S∈（0，4）．所以四边形APBQ面积S的取值范围是（0，4）．…（14分）23．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且f′（x）＝3x2+2ax+b．[（1分）]当a＝0时，f′（x）＝3x2+b；（ⅰ）①当b≥0时，显然f（x）在R上单调递增，无极值点．[（2分）]②当b＜0时，令f′（x）＝0，解得：x ＝±．[（3分）]f（x）和f′（x）的变化情况如下表：）（﹣）（，所以，x＝﹣是f（x）的极大值点；x＝是f（x）的极小值点．[（5分）]（ⅱ）若x＝x0是f（x）的极值点，则有3+b＝0；若x＝x0是f（x）的不动点，则有+bx0+3＝x0，从上述两式中消去b，整理得：2+x0﹣3＝0．[（6分）]设g（x）＝2x3+x﹣3．所以g′（x）＝6x2+1＞0，g（x）在R上单调递增．又g（1）＝0，所以函数g（x）有且仅有一个零点x＝1，即方程2+x0﹣3＝0的根为x0＝1，所以b＝﹣3＝﹣3．[（8分）]（Ⅱ）因为f（x（有两个相异的极值点x1，x2，所以方程3x2+2ax+b＝0有两个不等实根x1，x2，所以△＝4a2﹣12b＞0，即a2﹣3b＞0．[（9分）]假设存在实数a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点，则x1，x2是方程x3+ax2+（b﹣1）x+3＝0的两个实根，显然x1，x2≠0．对于实根x1，有+a+（b﹣1）x1+3＝0．①又因为3+2ax1+b＝0．②①×3﹣②×x1，得a+（2b﹣3）x1+9＝0．同理可得a+（2b﹣3）x2+9＝0．所以，方程ax2+（2b﹣3）x+9＝0也有两个不等实根x1，x2．[（11分）]所以x1+x2＝﹣．对于方程3x2+2ax+b＝0，有x1+x2＝﹣，所以﹣＝﹣，即a2﹣3b＝﹣，这与a2﹣3b＞0相矛盾！所以，不存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点．[（13分）]。
北京市人大附中2018-2019学年度第二学期高二年级期末数学试卷(解析版)
2019北京人大附中高二（下）期末数学试卷第I 卷(共17题，满分100分)一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分)1.已知集合{}1,2,3,4,5A =，且A B A =I ，则集合B 可以是（ ） A. {}21xx B. {}21x xC. {}2log 1x xD. {}1,2,3【答案】A 【解析】 【分析】由A B A =I 可知，A B ⊆，据此逐一考查所给的集合是否满足题意即可. 【详解】由A B A =I 可知，A B ⊆，对于A ：0{|212}x x >=＝{|0}x x A ⊇＞，符合题意.对于B ：{}21x x ＝{|11}x x x <->或，没有元素1，所以不包含A ； 对于C ：22{|log 1log 2}x x >=＝{|2}x x >，不合题意； D 显然不合题意， 本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（ ） A. 2y x x =+ B. 2ln y x = C. 13y x = D. cos y x =【答案】B 【解析】 【分析】判断各选项中函数的奇偶性与单调性，可得出正确选项.【详解】对于A 选项，二次函数2y x x =+关于直线12x =-对称，该函数既不是奇函数也不是偶函数，不合乎题意；对于B 选项，函数2ln y x =的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()22ln ln x x -=，该函数为偶函数，当0x >时，2ln 2ln y x x ==，则函数2ln y x =在区间()0,∞+上是增函数，合乎题意；对于C 选项，函数13y x ==R =意；对于D 选项，函数cos y x =为偶函数，且在()0,∞+上不单调，不合乎题意.故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，可以利用定义，对于一些常见的基本初等函数，也可以借助其本身的基本性质来进行判断，考查对函数基本性质的了解，属于基础题.3.“3πα=”是“sin α=”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用sin 223x k παπ=⇔=+或223x k ππ=+，结合充分条件与必要条件定义可得结果.【详解】根据题意，由于sin 23x k παπ=⇔=+或223x k ππ=+，因此3πα=可以推出sin 2α=，反之，不成立，因此“3πα=”是“sin α=”的充分而不必要条件，故选A. 【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4.设命题:(0,)P x ∀∈+∞，ln 1x x -„，则p ⌝为（ ） A. (0,)x ∀∈+∞，ln 1x x >-B. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x -„C. (0,)x ∀∉+∞，ln 1x x >-D. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x >-【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题的知识直接选出正确选项.【详解】原命题是全称命题，其否定为特称命题，B,D 选项是特称命题，注意到要否定结论，故D 选项符合.所以本小题选D.【点睛】本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题.5.函数5)(3-=x x f 的零点所在的区间是 A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5)【答案】A 【解析】 【分析】求得 f （1）f （2）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f （x ）的零点所在的区间． 【详解】由函数()35f x x =-可得()11540f =-=-<，()28530f =-=>，故有()()120f f <，根据函数零点判定定理可得，函数()f x 的零点所在区间为()1,2， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基本知识的考查．6.已知2log 6a =，3log 7b =，0.13c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. c b a <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】 利用中间值32和2可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】222log 6log 22a =>=Q ，79<<Q ，所以，333log log 7log 9<<，即322b <<.()20.10.20.53332=<=<Q ，而239224⎛⎫=> ⎪⎝⎭，0.1332∴<，即32c <. 因此，c b a <<，故选：A.【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，常用中间值法来比较三个数的大小关系，常见的中间值为0、1，中间值可以三个数来确定，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.已知ABC ∆中，A 、B 、C 的对边的长分别为a 、b 、c ，120A =o ，a =ABC ∆的c b +=（ ）A. 4.5B.C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式可求出bc 的值，利用余弦定理得出22b c +的值，从而可得出b c +的值.【详解】由三角形的面积公式可得11sin 2224ABC S bc A bc bc ∆==⨯==，4bc ∴=. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即22124212b c ⎛⎫+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，得2217b c +=.所以，()2222172425b c b c bc +=++=+⨯=，因此，5c b +=，故选：C.【点睛】本题考查利用余弦定理和三角形的面积公式解三角形，解题时要根据三角形已知元素类型选择合适的公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.8.已知函数()()2cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭满足：81433f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且区间814,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有最大值但没有最小值，给出下列四个命题：()1:p f x 在[]0,2π上单调递减； ()2:p f x 的最小正周期是4π； ()3:p f x 的图象关于直线2x π=对称；()4:p f x 的图象关于点4,03π⎛⎫-⎪⎝⎭对称. 其中的真命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得出，1123f π⎛⎫=⎪⎝⎭，可得出ω的表达式，由题意得出该函数的周期2T π≥，由此可得出ω的值，求出函数()y f x =的解析式，即可判断出结论. 【详解】Q 函数()y f x =满足81433f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 且在区间814,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有最大值但没有最小值，则11112cos 2336f ππωπ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，()11cos 1036πωπω⎛⎫+=>⎪⎝⎭，得()11236k k N πωππ*+=∈， ()12122k k N ω*-∴=∈， 易知函数()y f x =的最小正周期2212122T k ππ=≥-，解得23112k ≤≤，1k ∴=，12ω=.()12cos 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.对于命题1p ，由[]0,2x π∈，得17,2666x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则函数()y f x =在区间[]0,2π上不单调，命题1p 不正确；对于命题2p ，函数()y f x =的最小正周期为2412T ππ==，命题2p 正确； 对于命题3p ，152cos 2cos 2222612f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，则函数()y f x =的图象不关于直线2x π=对称，命题3p 不正确；对于命题4p ，4412cos 2cos 033262f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则函数()y f x =的图象关于点4,03π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，命题4p 正确.故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题的关键就是根据题中条件求出函数的解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题（本大题共6小题。
2018北京人大附中高二(下)期末数学(理)
① 当 i , j An , i j 时， f (i ) f ( j ) ；
② 任取 m An ，若 m 2 ，则有 m { f (1), f (2), , f (m)} ．
则称映射 f 为 An An 是一个“优映射”．例如：用表 1 表示的映射
表1
表2
f : A
3
f (i ) 2
甲、乙两人进行射击比赛，各射击 4 局，每局射击 10 次，射击命中目标得 1 分，未命中目标得 局的得分情况如下：
0 分．两人 4
甲
6
6
9
9
乙
7
9
x
y
（Ⅰ）若从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，求这 2 局的得分恰好相等的概率；
（Ⅱ）如果 x y 7 ，从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，记这 2 局的得分和为 X , 求 X 的分布列和数学
分别是（ ）
（ A） 16， 120
（ B） 8， 120
（C） 16， 60
（ D） 8， 60
8．设函数 y
x3 x2 , x e,
的图象上存在两点 P, Q , 使得 △ POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形 ( 其中 O 为坐标
a ln x, x e
原点 ), 且斜边的中点恰好在 y 轴上 , 则实数 a 的取值范围是（
17．（本小题 13 分） 已知函数 f ( x) ax3 bx2 4x 的极小值为
（Ⅰ）求 f ( x) 的解析式；
8 ，其导函数 y
（Ⅱ）若函数 y f (x) k 在区间 [ 3, 2] 上有两个不同的零点，
求实数 k 的取值范围．
f (x) 的图象经过点 ( 2, 0) ，如图所示．
北京人大附中2018~度第二学期高二年级期中数学(文科)测试卷 word无答案
人大附中2019~2019学年度第二学期高二年级期中数学练习&选修1-2模块考核试卷（文科）2019年4月26日I 卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸相应的位置上） 1．复数34i +的共轭复数是：（ ）． A ．34i -B ．34i --C ．34i -+D ．43i +2．如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“列举法”，则应该接在（ ）． A ．“集合的概念”的后面 B ．“集合的表示”的后面 C ．“基本关系”的后面D ．“基本运算”的后面3．用反证法证明命题“如果0a b >>，那么a b =”时，假设的内容应是（ ）． A ．a b = B ．a b <C ．a b =且a b <D ．a b ≤4．下列结论正确的个数是（ ）①回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；②为了研究吸烟与患肺病是否有关，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，2x 的观测值为 27.469x =大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人 中必有．．99人患有肺病；③在线性回归分析中，相关系数为r ，1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强． A ．0B ．1C ．2D ．35．函数()f x 的定义域为开区间(,)a b ，导函数()f x '在(,)a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(,)a b 内有极值点．．．（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB ，AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：222AB AC BC +=，若三棱锥A BCD -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 所在平面两两互相垂直，其三个侧面面积分别为1S ，2S ，3S ，则三棱锥的三个侧面积与底面BCD 的面积S 之间满足的关系为（ ）． A ．2222123S S S S =++ B ．2222213S S S S =++ C ．2222123S S S S =++ D ．2222312S S S S =++ 7．为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：km ），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的总长度最短应该是（ ） A ．19.5kmB ．20.5kmC ．21.5kmD ．25.5km8．设函数()f x 定义如下表，数列{}n x 满足15x =，*1()()n n x f x n +=∈N ，则2017x 的值为（ ）．A ．1B ．3C ．5D ．6二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸相应的位置） 9．复数z 1i =-其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应的点在第__________象限．10．经调查某地若干户家庭的年收入x （万元）和年饮食支出y （万元）具有线性相关关系，并得到y 关于x 的线性回归直线方和：$0.20.3y x =+，由回归直线方程预测，家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为__________万元．11．甲、乙、丙三位同学被问到是否正确的回答对A ，B ，C 三个问题，甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B ； 乙说：我没回答对C ；丙说：我们三人都同时答对一个题； 由此可判断乙答对的题为__________．12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是__________．13．观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，⋅⋅⋅，则99a b +=__________．14．若集合M 满足：x ∀，y M ∈，都有x y M +∈，xy M ∈，则称集合M 是封闭的．显然，整数集Z ，有理数集Q ，都是封闭的．在上述定义下， （1）复数集C __________封闭的（填“是”或“否”）；（2）若Q F C ⊆Ü，集合F 是封闭，则满足条件的一个F 可以是__________（只写一个）． 三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸相应的位置上） 15．（本题满分8分）已知复数1z 24i =+，2z i(a )a =+∈R ，12z z (1i)=⋅+，求2z ． 16．（本题满分12分）设函数23()3ln ()2f x x a x a =-∈R ，且曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线的斜率为0． （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）求函数()f x 在区间1,e (e=2.718)e ⎡⎤⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦上的最小值．17．（本题满分10分）对于无穷数列{}n a 与{}n b ，记集合*{|,}n A x x a n ==∈N ，集合*{|,}n B x x b n ==∈N ，若同时满足条件：①数列{}n a ，{}n b 均单调递增；②A B =∅I 且*A B =N U ，则称数列{}n a 与{}n b 是“好友数列”．（1）若2n a n =，*41()n b n n =+∈N ，判断数列{}n a 与{}n b 是否为“好友数列”，并说明理由； （2）若数列{}n a 与{}n b 是“好友数列”，{}n a 为等差数列且1636a =，求数列{}n a 与{}n b 的通项公式．II 卷（共7道题，满分50分）一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上） 18．81i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ）． A ．1- B ．1 C ．i D ．-i19．类比等比数列的定义，定义等积数列为：若数列*{}()n a n ∈N 从第二项起，每一项与前一项的乘积为一个不变的非零常数，则称数列*{}()n a n ∈N 为等积数列，这个常数叫做该数列的公积．若一个等积数列的首项为2，公积为6，则数列的通项公式为（ ）． A ．*2(21)()3(2)n n k a k n k =-⎧=∈⎨=⎩N B ．*3(21)()2(2)n n k a k n k =-⎧=∈⎨=⎩N C ．*6(21)()3(2)n n k a k n k =-⎧=∈⎨=⎩N D ．*6(21)()2(2)n n k a k n k =-⎧=∈⎨=⎩N 20．已知函数()sin e x f x x =+，今1()()f x f x '=，21()()f x f x '=，32()()f x f x '=，⋅⋅⋅，1()()n n f x f x '+=，*()n ∈N 则2017()f x =（ ）．A ．sin e x x +B ．cos e x x +C ．sin e x x -+D ．cos e x x -+二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上） 21．设z C ∈，z 1=，则(1i)z -+的最大值是__________．22．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x '=-的图象如下图所示，则函数()f x 的极大值点为x =__________．23．等差数列*{}()n a n ∈N 中，344a a +=，576a a +=． （1）数列*{}()n a n ∈N 的通项公式为n a =__________．（2）设*[]()n n b a n =∈N ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[2.6]2=．则数列{}n b的前8项和为__________．三、解答题（本题共1小题，满分14分．请把解答过程写在答题纸相应的位置上）24．已知函数321()3f x x ax bx =++，且(1)0f '-=．（1）试用含a 的代数式表示b ；（2）1a ≤时，求函数()f x 的单调区间；（3）令1a =-，并且设方程()f x m =有三个不等的实数根，求实数m 的取值范围．。
北京市人大附中2019-2020学年高二下学期数学期末考试练习试题 Word版含解析
人大附中2019~2020学年度第二学期高二年级数学期末练习说明：本试卷共三道大题，18道小题，考试时间为90分钟；试卷分为I 、Ⅱ卷，其中I 卷为闭卷考题，满分40分，限时30分钟，Ⅱ卷为开卷考题，满分55分，限时60分钟；全卷卷面共95分，加上5分卷面分，满分100分，作为模块2-2成绩；试卷共3页；请在指定位置作答，并在答题卡上填写个人信息.I 卷（闭卷考题，30分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若i 是虚数单位，则(1)(1)i i +-=（ ） A. 0 B. 2 C. 1D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】直接根据复数的运算，计算结果，得到答案 【详解】(1)(1)i i +-=211(1)2i -=--=. 故选：B.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，属于基础题. 2. 下列求导运算不正确的是（ ） A. 211x x '⎛⎫=-⎪⎝⎭B. 1(1ln )1x x'+=+C. ()22ln 2x x '=D. (cos )sin x x '=-【答案】B 【解析】 【分析】直接利用导数公式和运算法则求解.【详解】A. 由导数公式得211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故正确；B. 由导数运算法则得1(1ln )x x'+=，故错误；C. 由导数公式得()22ln 2x x '=，故正确；D. 由导数公式得(cos )sin x x '=-，故正确； 故选：B【点睛】本题主要考查导数公式和运算法则的应用，属于基础题.3. 一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为2()43s t t =-（()s t 的单位：m ，t 的单位：s ），则5t =时的瞬时速度为（ ） A. 7m /sB. 10m /sC. 37m /sD.40m /s【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求瞬时速度即可【详解】∵()22453453404t s t t t+∆--⨯+∆==+∆∆∆，∴()()005lim lim 40440t t ss t t ∆→∆→∆'==∆=∆＋故选：D【点睛】本题考查利用导数求瞬时速度，属于基础题.4. 曲线421y x ax =++在点(1, 2)a -+处的切线斜率为8，则实数a 的值为（ ） A. 6- B. 6 C. 12D. 12-【答案】A 【解析】 【分析】先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得a 的值. 【详解】由421y x ax =++，得342y x ax '=+，则曲线421y x ax =++在点(1, 2)a -+处的切线斜率为428a --=，得6a =-. 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义，函数导数的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.5. 若函数32()()f x x ax x x =++∈R 不存在极值点，则a 的取值范围是（ ）A. a <a >B. a ≤a ≥C a << D. a ≤≤【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件得2()3210f x x ax '=++=只有一个实数根或没有实数根，从而24120,a =-≤ 由此能求出a 的取值范围.【详解】32()f x x ax x =++，2()321f x x ax '∴=++32()2f x x ax x =+++ 在定义域内不存在极值， 2()3210f x x ax '∴=++= 只有一个实数根或没有实数根，24120a ∴∆=-≤，a ≤≤故选：D.【点睛】本題主要考查极值的概念，利用导数研究函数的极值，考查发推理论证能力，转化能力，属于中档题.6. 在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和.那么这四名同学中阅读量最大的是（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】C 【解析】 【分析】设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为1x 、2x 、3x 、4x ，根据题意得出等式与不等式，利用不等式的基本性质可得出1x 、2x 、3x 、4x 的大小关系，进而可得出结论.【详解】设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为1x 、2x 、3x 、4x ，则10x ≥，20x ≥，30x ≥，40x ≥.由于同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，则1324x x x x +=+，① 同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，则1234x x x x +<+，② 乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和，则214x x x >+，③ ②-①得()2332232320x x x x x x x x -<-⇒-<⇒<， ②+①得1232341422x x x x x x x x ++<++⇒<， 由③得21x x >，24x x >，所以，1423x x x x <<<. 即阅读量最大的是丙. 故选：C.【点睛】本题考查推理案例的问题，关键是将语句之间的关系转化为等式与不等式关系，考查推理能力，属于基础题．7. 下列区间是函数sin cos y x x x =+的单调递减区间的是（ ） A. (0,)πB. 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. (,2)ππD.35,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，在给定的区间判断导数的正负，从而判断函数的单调性，逐项排除可得答案. 【详解】由已知得()()sin sin cos sin cos sin cos y x x x x x x x x x x x ''''=++=+-=， A.当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以0y '>，sin cos y x x x =+是单调递增函数，错误； B. 3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x <，cos 0y x x '=<，sin cos y x x x =+是单调递减函数，正确；C. 3,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以0y '>，sin cos y x x x =+是单调递增函数，错误； D. 35,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以0y '>，sin cos y x x x =+是单调递增函数，错误. 故选：B.【点睛】本题考查了利用导数判断函数在给定区间的单调性，属于基础题.8. 设点P 是曲线31y x =+上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为（ ） A. 20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B. 50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C. 2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 5,26ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】A 【解析】 【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围．【详解】由函数31y x =+得23y x '=≥设()00,P x y ，则曲线在点P 处的切线的斜率0|x x k y ='=≥又点P 处的切线倾斜角为α，则tan k α=≥又[0,)απ∈，所以2023ππαπ⎡⎫⎡⎫∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题. 9. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若当2x ≠时满足()02f x x '≤-，则必有（ ） A. ()()()1322f f f +< B. ()()()1322f f f +≤ C. ()()()1322f f f +≥ D. ()()()1322f f f +>【答案】B【解析】 【分析】 根据()02f x x '≤-，得到2x >时，()f x 单调非递增函数，2x <时，()f x 单调非递减函数求解. 【详解】因为()02f x x '≤-， 所以当20x ->，即2x >时，()0f x '≤，则()f x 单调非递增函数，所以()()32f f ≤；当20x -<，即2x <时，()0f x '≥，()f x 单调非递减函数， 所以()()12f f ≤；由不等式的性质得：()()()1322f f f +≤. 故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题.10. 甲乙两人进行乒乓球友谊赛，每局甲胜出概率是()01p p <<，三局两胜制，甲获胜概率是q ，则当q p -取得最大值时，p 的取值为（ ）A.12B.12-C.12 D.23【答案】C 【解析】 【分析】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率，进而求得的最大值.【详解】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜： 甲净胜二局概率为2p ；前二局甲一胜一负，第三局甲胜概率为12(1)C p p p -⋅22(1)p p =-则22(1)q p p p =+-，得q p -222(1)p p p p =+--3223p p p =-+-(01)p <<，设3223y p p p =-+-，(01)p <<，则2661y p p '=-+-33336()()p p -+=--- 则函数y3333(0,),(,1)66-+单调递减，在3333(,)66-+单调递增， 故函数在336p =+处取得极大值，也是最大值. 故选：C.【点睛】本题考查了概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用，属于中档题.Ⅱ卷（开卷考题，60分钟）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）11. 函数()(3)x f x x e =-的单调递减区间是___________. 【答案】(,2)-∞ 【解析】 【分析】首先对()(3)xf x x e =-求导，可得()(2)x f x x e '=-，令()0f x '<，解可得答案．【详解】解：3e ()[()e ]()e (e 2)3x x x xf x x x x '=-'=+-=- 由()0f x '<得2x <，故()f x 的单调递减区间是(,2)-∞ 故答案为：(,2)-∞【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.12. 在复平面上，一个正方形三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+，则该正方形的第四个顶点对应的复数是__________． 【答案】13i -+ 【解析】 【分析】设第4个顶点为(),a b ，利用向量相等列方程求解即可.【详解】因为正方形的三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+， 所以正方形三个顶点对应的坐标为()0,0，()1,2，()2,1-， 设第4个顶点(),a b ，则()()()1,220,102,1a b --=---=-， ∴1a =-，3b =，即第4个顶点为()1,3-． 所以第4个顶点对应的复数为13i -+【点睛】本题主要考查复数的几何意义，向量相等，属于基础题..13. 已知32()(1)3(1)f x x x f xf ''=++-，则(1)(1)f f ''+-的值为___________. 【答案】34-. 【解析】 【分析】求出导函数，分别代入1和-1得到方程组，解得9(1)8f '-=-，3(1)8f '=，再相加可得答案.【详解】由32()(1)3(1)f x x x f xf ''=++-，得2()32(1)3(1)f x x xf f '''=++-，所以(1)32(1)3(1)f f f '''=++-，①(1)32(1)3(1)f f f '''-=-+-②由①②得9(1)8f '-=-，3(1)8f '=, 则3(1)(1)4f f ''+-=-. 故答案为：34-. 【点睛】本题考查了导数的计算，属于基础题.14. 已知函数()f x 的导函数为()f x '，能说明“若()0f x '<对任意的(0,)x ∈+∞都成立且()00f >，则()f x 在(0,)+∞上必有零点”为假命题的一个函数是___________. 【答案】1()2xy = 【解析】 【分析】由题得()f x 在(0,)+∞上递减，且()00f >，在(0)+∞与x 轴无交点，选中这样的一个函数即可.【详解】“若()0f x '<对任意的(0,)x ∈+∞都成立且()00f >”,则在(0,)+∞上递减， 且()00f >，再由“()f x 在(0,)+∞上必有零点”为假命题，可得()f x 的图象在(0)+∞与x 轴无交点，这样的函数可以是xy a =(01)a <<，故答案为：1()2xy =【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的概念的理解，考查了分析推理能力，是一个开放题，答案不唯一，属于基础题. 15. 已知函数ln 1()x f x x-=，下列命题中： ①()f x 在其定义域内有且仅有1个零点； ②()f x 在其定义域内有且仅有1个极值点； ③12,(0,)x x ∃∈+∞，使得()()12f x f x =；④1(0,)x ∀∈+∞，2(0,)x ∃∈+∞，使得()()12f x f x <； ⑤当1x >时，函数()y f x =的图像总在函数21y x=-的图像的下方. 其中真命题有___________.（写出所有真命题的序号） 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】利用导数的单调性和极值，逐个讨论每个命题即可 【详解】22ln '(),0xf x x x-=>，令'()0f x =，有2x e =，20x e <<时，'()0f x >，2x e >时，'()0f x <，()220f e e -=>，又x e >时，()0f x >，而()0f e =，故()f x 有且只有一个零点，①正确；导数为0的点附近的导数值符号不同，故2e 为极值点，从而②正确； 令21()()2h x f x e -=-，由上面分析知，()h x 在()2,e e 上必有一个零点，()33402eh e e-=>，()244602e h e ρ-=<，故必有一个零点，所以，12,(0,)x x ∃∈+∞，()()120h x h x ==，即()()21212f x f x e -==，所以，③正确；取21x e =，为极大值也为最大值，不存在2x 使得()()12f x f x <，④错误；令2ln 1ln 1()11x x g x x x x-+=--=-， 2ln '()0,01xg x x x=<<<，所以，()(1)0g x g >=，所以，⑤正确； 故答案为：①②③⑤【点睛】本题考查导数单调性和极值问题，主要考查学生的数形结合能力，属于难题三、解答题（本大题共3小题，共35分，含卷面分5分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）16. 已知函数3()395f x x x =-+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值. 【答案】（1）()1,1-；（2）最大值为59，最小值为49- 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，令()0f x '<，得到函数()f x 的单调递减区间；（2）求出函数在[]3,3-的单调性，根据极值和端点值，求得最值.【详解】（1）()2999(1)(1)f x x x x =-+-'=，x ∈R令()0f x '<，得11x -<<，所以()f x 的减区间为()1,1-.（2）由（1），令()0f x '>，得1x <-或1x >知：[]3,1x ∈--，()f x 为增函数， []1,1x ∈-，()f x 为减函数，[]1,3x ∈，()f x 为增函数.()349f -=-，()111f -=，()11f =-，()539f =.所以()f x 在区间[]3,3-上的最大值为59，最小值为49-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.17. 如图，广场上有一盏路灯距离地面10米，记灯杆的底部为A .把路灯看作一个点光源，身高1.5米的女孩站在离A 点5米的点B 处.回答下面的问题：（1）设女孩站在B 处看路灯的仰角为θ，则与θ最接近的角度为（ ）A.30B.45︒C.60︒D.75︒（2）若女孩以A 为圆心、以5m 为半径绕着灯杆走一圈，则人影扫过的图形是什么？求这个图形的面积；（结果保留1位小数）（3）以点B 为原点，直线AB 为x 轴（点A 在x 轴的正半轴上），过点B 且与AB 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系.设女孩绕灯杆行走的轨迹为M ，且M 上任意一点(, )P x y 均满足||||PA AB x -=，记点A 关于点B 的对称点为点C ，若直线PC 与曲线M 相切，求||PA 的长.【答案】（1）C ；（2）30.2（3）10【解析】【分析】（1）画出示例图，找到仰角θ，计算正切值，再估计θ的值；（2）人影扫过的图形为圆环，计算两圆的半径，求得圆环的面积；（3）用直译法求出M 的轨迹方程，求得C 点坐标，设出过C 的切线方程，与M 的轨迹方程联立，求出切点P ，求得||PA 的长.【详解】（1）作示意图如图所示：则10 1.58.5DE =-=，5CE =，则8.5tan 1.75DE CE θ===3≈ 故与θ最接近的角度为60︒. （2）由（1）中示意图知，人影为MB ，扫过的图形为圆环，设这个圆环的面积为S ， 则tan DA MA θ=，得10tan 1.7DA MA θ==10017=， 则2222100()[()5]17S MA AB ππ=-=-≈30.2 （3）由题(5,0)A ，则由||||PA AB x -=22(5)5x y x -+=，得220y x =，点A 关于点B 的对称点为点(5,0)C -，设过C 与曲线M 相切的切线方程为5x my =-又220y x =，得220100y my =-，即2201000y my -+=，则2(20)41000m ∆=-⨯=，得1m =±，代回得5,10x y ==±，即切点(5,10)P ±，则10PA =18. 如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD =，BC 中点为O ，连接DO ，已知2DO =，()20BC a a =>，设DOC θ∠=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，梯形ABCD 的面积为()f θ；（1）求函数()y f θ=的表达式；（2）当2a =时，求()y fθ=的极值； （3）若()2f θθ>对定义域内的一切θ都成立，求a 的取值范围.【答案】（1）()fθ4sin 2sin 2θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）33；（3）2a π≥ 【解析】【分析】（1）分别计算OCD ，ABO ，AOD △的面积，得到函数()y fθ=的表达式； （2）利用导数研究函数的极值；（3）由()2f θθ>，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，转化为sin 2sin a θθθ->，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，再构造函数sin 2()sin g θθθθ-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用导数研究函数()g θ的最值，需多次构造函数利用导数研究函数的单调性最值，最终证得()g θ在(0,)2π递增，得到答案. 【详解】（1）连接AO ，作AM BC ⊥于M ，DN ⊥BC 于N ，如图所示则1sin 2ODC ABO SS OD OC θ==⋅sin a θ=，又24cos AD ON θ==， 则1sin 4cos sin 2sin 22AOD S AD OD θθθθ=⋅== 故()y f θ=2DOC AOD S S =+2sin 2sin 2a θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）由2a =，则()y f θ=4sin 2sin 2θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则2()4cos 4cos 24(2cos cos 1)4(2cos 1)(cos 1)f θθθθθθθ'=+=+-=-+， 由0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 10θ+>，当(0,)3πθ∈时，()0f θ'>，当(,)32ππθ∈时，()0f θ'<， 故()f θ在(0,)3π递增，在(,)32ππ递减，故()y f θ=的极值为()3π=f 24sin 2sin 33ππ+=（3）由()2f θθ>，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则2sin 2sin 22a θθθ+>，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 则sin 2sin a θθθ->，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 令sin 2()sin g θθθθ-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2cos sin g θθθθ=- ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 令()sin h θθθ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2sin cos ()sin h θθθθθ-'=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 令()sin cos u θθθθ=-，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin 0u θθθ'=>， 则()u θ在(0,)2π递增，则()(0)0u u θ>=，则()0h θ'>，则()θh 在(0,)2π递增， 则()g θ在(0,)2π递增，则()()22g g ππθ<=，故2a π≥ 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，利用导数研究函数的单调性和最值，考查了学生分析推理能力，考查了分离变量，构造函数等基本技巧，研究函数性质时，需多次构造函数，利用导数研究函数的单调性最值，难度较大.。
2018-2019学年北京市人大附中学年度第二学期高二年级期末数学试卷
2019北京人大附中高二（下）期末数学第I卷(共17题，满分100分)一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分)1. 已知集合A={1，2，3，4，5}，且A∩B=A，则集合B可以是A. {}B. {}C. {x}D. {1，2，3}2. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是A. B. lnC. D. cosx3. “α=”是“sinα=”成立的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设命题P：,lnx≤x-1,则为A. , lnx>x-1B. ，ln≤-1C. , lnx>x-1D. ，ln>-15. 函数f（x）=-5的零点所在的区间是A. （1，2）B. （2，3）C. （3，4）D. （4，5）6. 已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是A. c<b<aB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b7. 已知△ABC中，A，B，C的对边的长分别为a,b,c,A=120°，a=，△ABC的面积为，则c+b=A. 4.5B. 4C. 5D. 68. 已知函数f（x）=2cos（）（）满足：f（）=f（），且区间（，）内有最大值但没有最小值，给出下列四个命题：：f（x）在[0,2]上单调递减；：f（x）的最小正周期是4；：f（x）的图象关于直线x=对称；：f（x）的图象关于点（-，0）对称其中的真命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题。
每小题5分，共30分）9. 函数y=（）的定义域是10. 在△ABC中，A，B，C的对边的长分别为a,b,c,已知a=1,sinA=c=-，则c=11. 设tanα，tanβ是方程-3x+2=0的两个根，则tan（α+β）=12. 小甲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系；F（X）=，某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论；①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%；③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%其中正确的结论序号有。
北京市人大附中2018-2019 学年度第二学期期中高二年级数学练习
人大附中2018-2019学年度第二学期期中高二年级数学练习第Ⅰ卷一、选择题：在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸的相应位置上．）1．一个博物馆有A ，B ，C ，D 共四扇门，为了保证游客安全，要求参观者进出博物馆时不能选择同一扇门，则参观者甲不同的进出方式共有（ ）种． A ．4B ．8C ．12D ．62．已知随机变量ζ服从正态分布()20,N σ，若()20.023P ζ>=，则()22P ζ-≤≤=（ ）． A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.9773．设12,x x C ∈，则“1x ，2x 中至少有一个数是虚数”是“12x x -是虚数”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于11222422226C C C C +的是（ ）． A ．()02P X <≤B ．()1P X ≤C ．()1P X =D ．()2P X =5．根据一组样本数据()(),1,2,,i i x y i n =，用最小二乘法建立的回归方程为0.750.82y x =-，其样本相关系数0.998r =，查表得到相关系数临界值0.050.811r =，则下列结论中不正确的是（ ）． A ．y 与x 具有负的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(),x y C ．x 每增加一个单位，y 平均增加约0.75D ．因为0.05r >，有95％的把握认为x 和y 具有线性相关关系6．在独立性检验中，统计量2χ有两个临界值：3.841和6.635；当26.635χ>时，有99％的把握说明两个事件相关；当23.841χ>时，有95％的把握说明两个事件相关；当2 3.841χ≤时，认为两个事件无关．在一项调查某种药是否对心脏病有治疗作用时，共调查了3000人，经计算24.56χ=．根据这一数据分析，认为此药物与心脏病之间（ ）． A ．有95％的把握认为两者相关B ．约有95％的心脏病患者使用药物有作用C ．有99％的把握认为两者相关D ．约有99％的心脏病患者使用药物有作用7．袋子中装有大小相同的2个红球，1个黑球，3个白球，现从中有放回的随机摸球2次，每次摸出1个小球，则2次摸球颜色不同的概率为（ ）． A ．59B ．23C ．1318D ．11188．()513x -的展开式中2x 的系数为（ ）． A ．270-B ．90-C ．90D ．270二、填空题：9．已知i 为虚数单位，计算457t t t ++=______． 10．已知随机变量X 的分布列为：则随机变量X 的数学期望EX =______，()21E X +=______．11．某个班级共有学生40人，其中有团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员4人．设A =“在班内任选一个学生，该学生属于第一小时”，B =“在班内任选一个学生，该学生是团员”，则()P A B =______． 12．某射手每次射击，击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响，假设这名射手射击5次，则有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率为______．13．若()1nn x *⎫∈⎪⎭N 的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为______．14．一个机器人从数轴的原点出发，当投下的硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位；当投下的硬币反面朝上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位，若机器人跳动4次停止，设停止时机器人在数轴上对应的坐标为ζ，则随机变量ζ的数学期望()E ζ=______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知复数()i 0,0,,z a b a b a b =+>>∈R ，满足z =2z 的虚部是2，且z 在复平面内对应的点为A ． （1）求复数z ；（2）设2z ，2z z -在复平面上的对应点分别为B ，C ，求ABC △的面积．16．为响应低碳绿色出行，某市推出“新能源分时租赁汽车”，已知张先生从家到公司的距离为15公里，每天租用该款汽车上下班各一次，且每次租车时间[]20,60t ∈（单位：分钟），由于墙车、红绿灯等因素，每次路上租车时间t 是一个随机变量，现统计了张先生50次路上租车的时间，整理后得到下表：若张先生一次租车时间不超过40分钟为“路段畅通”，将频率设为概率，设ζ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ζ的分布列与数学期望．17．某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼的时间进行调查，调查结果如下表：将学生日均体育锻炼时间在[)40,60的学生评价为“锻炼达标”，在“锻炼达标”的学生中统计男女生的比例数据如下：在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流． （1）求这10人中，男生、女生各有多少人？（2）从参加体育交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．第Ⅱ卷（本卷所有答案直接写在答题纸上）一、选择题：请把所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸的相应位置上．18．点P 在双曲线2211620x y -=上，若19PF =，则2PF =（ ）． A ．17或1B ．8C ．17D ．119．已知两条直线111:10l k x y k -++=，222:10l k x y k ---=，则“12k k =”是“12l l ”的（ ）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要条件D ．既不充分也不必要20．抛物线24y x =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当FPM △为等边三角形时，其面积为（ ）．A ．B ．4C ．6D ．21．在()22112x x x +=++的展开中，含有x 的项为2x ，2x 两项，则()5132x y -+的展开式中，含有x 但不含有y 的项的系数之和为（ ）． A ．31-B ．32-C ．33-D ．34-22．已知{}1,0,1i x ∈-，1i =，2，3，4，5，6，则满足1234562x x x x x x +++++=的数组()123456,,,,,x x x x x x 的个数为（ ）． A ．60B ．75C ．90D ．12023．已知椭圆22143x y +=上，1F ，2F 为左右焦点，如图所示，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，则下列命题正确的有（ ）个．①1F ，2F 到直线l 的距离分别为1d 和2d ，则12d d ⋅为定值；②直线l 分别与直线2x =-和2x =与交于P ，Q 两点，则11PF QF ⊥； ③直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 和B ，则OA OB +没有最小值；④m ≥ A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．已知椭圆2214x y +=短轴的上下端点分别为A ，B ，点(),M m n 满足0m ≠，且m ≠AM ，BM 分别与椭圆C 交于E ，F 两点．（Ⅰ）若0n =且2AM ME =，求直线AE 的方程；（Ⅱ）若12n且BME △面积是AMF △面积的5倍，求m 的值．。
北京市东城区2018～2019学年度高2021届高2018级高二第二学期期末考试数学试题及参考答案解析
东城区2018—2019学年度第二学期期末试教学统一检测高中二年级数学本试题共4页,共100分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试题上作答无效。
考试结束后,见本试题和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共32分)一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2M =,{}02N x x =≤<,那么集合M N ⋂= A. {}0B. {}0,1C. {}1,2D. {}0,2【试题参考答案】B直接进行交集的运算即可.【试题解答】∵M ＝{0,1,2},N ＝{x |0≤x ＜2}; ∴M ∩N ＝{0,1}. 故选:B .本题考查列举法、描述法的定义,以及交集的运算,属于基础题.2.已知曲线()y f x =在点()5(5),f 处的切线方程是80x y +-=,且()f x 的导函数为()f x ',那么()5f '等于A. 3B. 1C. 8-D. 1-【试题参考答案】D求出切线的斜率即可【试题解答】由题意切线方程是x ＋y ﹣8＝0, 即y ＝8﹣x ,f '(5)就是切线的斜率, f ′(5)＝﹣1,故选:D .本题考查了导数的几何意义,考查了某点处的切线斜率的求法,属于基础题.3.已知,x y R ∈,那么“0xy >”是“0x >且0y >”的 A. 充分而不必要条件 B. 充要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【试题参考答案】C先利用取特殊值法判断x •y ＞0时,x ＞0且y ＞0不成立,再说明x ＞0且y ＞0时,x •y ＞0成立,即可得到结论.【试题解答】若x ＝﹣1,y ＝﹣1, 则x •y ＞0,但x ＞0且y ＞0不成立, 若x ＞0且y ＞0,则x •y ＞0一定成立,故“x •y ＞0”是“x ＞0且y ＞0”的必要不充分条件 故选:C .本题考查的知识点是充要条件的定义,考查了不等式的性质的应用,考查了逻辑推理能力,属于基础题.4.已知随机变量X 满足条件X ～(),B n p ,且()()12125E X ,D X ==,那么n 与p 的值分别为 A. 4165,B. 2205,C. 4155,D. 3125,【试题参考答案】C根据二项分布的均值与方差公式列方程组解出n 与p 的值. 【试题解答】∵X ～B (n ,p )且()()12125E X D X ==，,∴()121215np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩,解得n ＝15,p 45= 故选:C .本题考查了二项分布的均值与方差公式的应用,考查了运算能力,属于基础题.5.已知m n kx y (k 是实常数)是二项式()52x y -的展开式中的一项,其中1m n =+,那么k 的值为 A. 40B. 40-C. 20D. 20-【试题参考答案】A根据二项式定理展开式的通项公式,求出m ,n 的值,即可求出k 的值.【试题解答】展开式的通项公式为T t ＋1＝5t C x 5﹣t (2y )t ＝2t 5tC x 5﹣t y t ,∵kx m y n (k 是实常数)是二项式(x ﹣2y )5的展开式中的一项, ∴m ＋n ＝5, 又m ＝n ＋1, ∴得m ＝3,n ＝2, 则t ＝n ＝2,则k ＝2t 5t C =2225C =4×10＝40, 故选:A .本题主要考查二项式定理的应用,结合通项公式建立方程求出m ,n 的值是解决本题的关键.6.函数()1sin 2=-f x x x 在[0,]2π上的最小值和最大值分别是A.6π- B.1,04π-C.164ππ- D. 1122,-【试题参考答案】A求出f (x )的导数,利用导函数的正负,求出函数的单调区间,从而求出函数的最大值和最小值即可.【试题解答】函数()12f x x sinx =-,()f x '12=-cos x , 令()f x '＞0,解得:2π≥x 3＞π,令()f x '＜0,解得:0≤x 3π＜,∴f (x )[0,3π)递减,在(3π,2π]递增,∴f (x )min ＝f (3π)6π=,而f (0)＝0,f (2π)4π=-1,故f (x )在区间[0,2π]上的最小值和最大值分别是:6π0. 故选:A .本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题,考查函数值的运算,属于基础题.7.从5位男生,4位女生中选派4位代表参加一项活动,其中至少有两位男生,且至少有1位女生的选法共有( ) A. 80种 B. 100种 C. 120种D. 240种【试题参考答案】B【试题解答】由题意知本题要求至少有两位男生,且至少有1位女生,它包括:两个男生,两个女生;三个男生,一个女生两种情况,写出当选到的是两个男生,两个女生时和当选到的是三个男生,一个女生时的结果数,根据分类计数原理得到结果.解:∵至少有两位男生,且至少有1位女生包括:两个男生,两个女生;三个男生,一个女生. 当选到的是两个男生,两个女生时共有C 52C 42=60种结果, 当选到的是三个男生,一个女生时共有C 53C 41=40种结果, 根据分类计数原理知共有60＋40=100种结果, 故选B .8.在一次抽奖活动中,一个箱子里有编号为1至10的十个号码球(球的大小、质地完全相同,但编号不同),里面有n 个号码为中奖号码,若从中任意取出4个小球,其中恰有1个中奖号码的概率为821,那么这10个小球中,中奖号码小球的个数n 为 A. 2B. 3C. 4D. 5【试题参考答案】C利用古典概型列出恰有1个中奖号码的概率的方程,解方程即可.【试题解答】依题意,从10个小球中任意取出4个小球,其中恰有1个中奖号码的概率为821, 所以1310410821n nC C C -⨯=, 所以n (10﹣n )(9﹣n )(8﹣n )＝480,(n ∈N *) 解得n ＝4. 故选:C .本题考查了古典概型的概率公式的应用,考查了计数原理及组合式公式的运算,属于中档题.第二部分(非选择题共68分)二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分9.命题“0x ∃∈R 2000,x x +>”,此命题的否定是___.(用符号表示) 【试题参考答案】∀x ∈R ,x 2＋x ≤0.直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 【试题解答】因为特称命题的否定是全称命题, 所以∃x 0∈R ,x 02﹣2x 0＋1＞0的否定是:∀x ∈R ,x 2＋x ≤0. 故答案为:∀x ∈R ,x 2＋x ≤0.本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系及否定形式,属于基本知识的考查.10.已知集合{}210M x x =-=,集合{}2320N x x x =-+=,那么集合M N ⋃的子集．．个数为___个. 【试题参考答案】8.可以求出集合M ,N ,求得并集中元素的个数,从而得出子集个数. 【试题解答】∵M ＝{﹣1,1},N ＝{1,2}; ∴M ∪N ＝{﹣1,1,2};∴M ∪N 的子集个数为23＝8个. 故答案为:8.本题考查描述法、列举法的定义,以及并集的运算,子集的定义,以及集合子集个数的求法.11.已知随机变量X 服从正态分布N(3.1),且(24)P X ≤≤=0.6826,则p (X>4)= 【试题参考答案】0.1587【试题解答】1(34)(24)0.34132P X P X ≤≤=≤≤=, 观察如图可得,(4)0.5(34)0.50.3413P X P X ∴>=-≤≤=-0.1587=.故答案为0.1587. 正态分布点评:随机变量～2(,)N μδ中,x μ=表示正态曲线的对称轴.12.吃零食是中学生中普遍存在的现象.长期吃零食对学生身体发育有诸多不利影响,影响学生的健康成长.下表给出性别与吃零食的列联表根据下面2K 的计算结果,试回答,有_____的把握认为“吃零食与性别有关”. 参考数据与参考公式:222()85(140480)9826000== 4.722()()()()176845402080800n ad bc K a b c d a c b d --=≈++++⨯⨯⨯【试题参考答案】95%.根据题意得出观测值的大小,对照临界值得出结论. 【试题解答】根据题意知K 2≈4.722＞3.841, 所以有95%的把握认为“吃零食与性别有关”. 故答案为:95%.本题考查了列联表与独立性检验的应用问题,是基础题.13.已知()()321233f x x mx m x =++++在R 上不是．．单调增函数,那么实数m 的取值范围是____.【试题参考答案】(﹣∞,﹣1)∪(2,＋∞).根据函数单调性和导数之间的关系,转化为f ′(x )≥0不恒成立,即可得到结论. 【试题解答】∵函数y 13=x 3＋mx 2＋(m ＋2)x ＋3, ∴f ′(x )＝x 2＋2mx ＋m ＋2, ∵函数y 13=x 3＋mx 2＋(m ＋2)x ＋3在R 上不是增函数, ∴f ′(x )＝x 2＋2mx ＋m ＋2≥0不恒成立, ∴判别式△＝4m 2﹣4(m ＋2)＞0, ∴m 2﹣m ﹣2＞0, 即m ＜﹣1或m ＞2,故答案为:(﹣∞,﹣1)∪(2,＋∞).本题考查了利用导数研究函数的单调性问题,考查了转化思想,考查了二次不等式恒成立的问题,属于中档题.14.已知函数()28f x x x =-+,()6ln g x x m =+,当78m <<时,这两个函数图象的交点个数为____个.(参考数值:2069331099ln .,ln .≈≈) 【试题参考答案】3.原问题等价于函数y ＝﹣x 2＋8x ﹣6lnx 与函数y ＝m ,m ∈(7,8)的交点个数,作出函数图象观察即可得出答案.【试题解答】函数f (x )与函数g (x )的交点个数,即为﹣x 2＋8x ＝6lnx ＋m 的解的个数,亦即函数y ＝﹣x 2＋8x ﹣6lnx 与函数y ＝m ,m ∈(7,8)的交点个数,()22436'28x x y x x x--+=-+-=,令y ′＝0,解得x ＝1或x ＝3,故当x ∈(0,1)时,y ′＜0,此时函数y ＝﹣x 2＋8x ﹣6lnx 单调递减,当x ∈(1,3)时,y ′＞0,此时函数y ＝﹣x 2＋8x ﹣6lnx 单调递增, 当x ∈(3,＋∞)时,y ′＜0,此时函数y ＝﹣x 2＋8x ﹣6lnx 单调递减, 且y |x ＝1＝7,y |x ＝3＝15﹣6ln 3＞8,作出函数y ＝﹣x 2＋8x ﹣6lnx 的草图如下,由图可知,函数y ＝﹣x 2＋8x ﹣6lnx 与函数y ＝m ,m ∈(7,8)有3个交点. 故答案为:3.本题考查函数图象的运用,考查函数交点个数的判断,考查了运算能力及数形结合思想,属于中档题.三、解答题:本大题共6小题,共50分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.已知集合{}61,01A y y x x ==-≤≤,{}220B x x x m =--<. (Ⅰ)当3m =时,求A ∩(∁R B );(Ⅱ)当{}25A B x x ⋃=-<≤时,求实数m 的值. 【试题参考答案】(Ⅰ){x |3≤x ≤5,或x ＝﹣1}(Ⅱ)m ＝8(Ⅰ)求出A ＝{y |﹣1≤y ≤5},m ＝3时,求出B ＝{x |﹣1＜x ＜3},然后进行补集、交集的运算即可; (Ⅱ)根据A ∪B ＝{x |﹣2＜x ≤5}即可得出,x ＝﹣2是方程x 2﹣2x ﹣m ＝0的实数根,带入方程即可求出m .【试题解答】(Ⅰ)A ＝{}61,01=y y x x =-≤≤{y |﹣1≤y ≤5},m ＝3时,B ＝{x |﹣1＜x ＜3}; ∴∁R B ＝{x |x ≤﹣1,或x ≥3}; ∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5,或x ＝﹣1}; (Ⅱ)∵A ∪B ＝{x |﹣2＜x ≤5};∴x ＝﹣2是方程x 2﹣2x ﹣m ＝0的一个实根; ∴4＋4﹣m ＝0; ∴m ＝8.经检验满足题意本题考查交集、补集的运算,涉及不等式的性质,描述法的定义,一元二次不等式的解法的知识方法,属于基础题.16.一个不透明的袋子中,放有大小相同的5个小球,其中3个黑球,2个白球.如果不放回的依次取出2个球.回答下列问题: (Ⅰ)第一次取出的是黑球的概率;(Ⅱ)第一次取出的是黑球,且第二次取出的是白球的概率; (Ⅲ)在第一次取出的是黑球的条件下,第二次取出的是白球的概率. 【试题参考答案】(Ⅰ)35(Ⅱ)310(Ⅲ)12(Ⅰ)黑球有3个,球的总数为5个,代入概率公式即可; (Ⅱ)利用独立事件的概率公式直接求解即可; (Ⅲ)直接用条件概率公式求解.【试题解答】依题意,设事件A 表示“第一次取出的是黑球”,设事件B 表示“第二次取出的是白球”(Ⅰ)黑球有3个,球的总数为5个, 所以P (A )35=; (Ⅱ)第一次取出的是黑球,且第二次取出的是白球的概率为P (AB )3235410=⨯=; (Ⅲ)在第一次取出的是黑球的条件下,第二次取出的是白球的概率为P (B |A )()()3110325P AB P A ===. 本题考查了古典概型的概率公式,考查了事件的相互独立性及条件概率,属于基础题.17.已知函数()32f x x ax bx =++的图象与直线15280x y --=相切于点()2,2.(Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)求函数()f x 的单调区间.【试题参考答案】(Ⅰ)a ＝3,b ＝﹣9(Ⅱ)单调递减区间是(﹣3,1).单调增区间为:(∞,﹣3),(1,＋∞)(Ⅰ)求导函数,利用f (x )的图象与直线15x ﹣y ﹣28＝0相切于点(2,2),建立方程组,即可求a ,b 的值;(Ⅱ)求导函数,利用导数小于0,即可求函数f (x )的单调递减区间. 【试题解答】(I )求导函数可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b , ∵f (x )的图象与直线15x ﹣y ﹣28＝0相切于点(2,2), ∴f (2)＝2,f ′(2)＝﹣15,∴842212415a b a b ++=⎧⎨++=⎩,∴a ＝3,b ＝﹣9.(II )由(I )得f ′(x )＝3x 2＋6x ﹣9, 令f ′(x )＜0,可得3x 2＋6x ﹣9＜0, ∴﹣3＜x ＜1,函数f (x )的单调递减区间是(﹣3,1). 令f ′(x )＞0,可得3x 2＋6x ﹣9＞0, 单调增区间:(∞,﹣3),(1,＋∞).综上:函数f (x )的单调递减区间是(﹣3,1).单调增区间为:(∞,﹣3),(1,＋∞).本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性及计算能力,属于中档题.18.把6本不同的书,全部分给甲,乙,丙三人,在下列不同情形下,各有多少种分法？(用数字作答) (Ⅰ)甲得2本; (Ⅱ)每人2本;(Ⅲ)有1人4本,其余两人各1本.【试题参考答案】(Ⅰ)240种(Ⅱ)90种(Ⅲ)90种(Ⅰ)根据题意,分2步进行分析:①,在6本书中任选2本,分给甲,②,将剩下的4本分给乙、丙,由分步计数原理计算可得答案;(Ⅱ)根据题意,分2步进行分析:①,将6本书平均分成3组,②,将分好的3组全排列,分给甲乙丙三人,由分步计数原理计算可得答案;(Ⅲ)根据题意,分2步进行分析:①,在6本书中任选4本,分给三人中1人,②,将剩下的2本全排列,安排给剩下的2人,由分步计数原理计算可得答案; 【试题解答】(Ⅰ)根据题意,分2步进行分析: ①,在6本书中任选2本,分给甲,有C 62＝15种选法,②,将剩下的4本分给乙、丙,每本书都有2种分法,则有2×2×2×2＝16种分法, 则甲得2本分法有15×16＝240种; (Ⅱ)根据题意,分2步进行分析:①,将6本书平均分成3组,有22264233C C C A 15种分组方法, ②,将分好的3组全排列,分给甲乙丙三人,有A 33＝6种情况, 则有15×6＝90种分法; (Ⅲ)根据题意,分2步进行分析:①,在6本书中任选4本,分给三人中1人,有C 64×C 31＝45种分法, ②,将剩下的2本全排列,安排给剩下的2人,有A 22＝2种情况,则有45×2＝90种分法.本题考查排列、组合的应用,考查了分组分配问题的步骤,涉及分类、分步计数原理的应用,属于中档题.19.甲,乙二人进行乒乓球比赛,已知每一局比赛甲胜乙的概率是23,假设每局比赛结果相互独立.(Ⅰ)比赛采用三局两胜制,即先获得两局胜利的一方为获胜方,这时比赛结束.求在一场比赛中甲获得比赛胜利的概率;(Ⅱ)比赛采用三局两胜制,设随机变量X为甲在一场比赛中获胜的局数,求X的分布列和均值;(Ⅲ)有以下两种比赛方案:方案一,比赛采用五局三胜制;方案二,比赛采用七局四胜制.问哪个方案对甲更有利.(只要求直接写出结果)【试题参考答案】(Ⅰ)2027(Ⅱ)分布列见解析,E(X)4427=(Ⅲ)方案二对甲更有利(Ⅰ)甲获得比赛胜利包含二种情况:①甲连胜二局;②前二局甲一胜一负,第三局甲胜.由此能求出甲获得比赛胜利的概率.(Ⅱ)由已知得X的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量X的分布列和数学期望.(Ⅲ)方案二对甲更有利.【试题解答】(Ⅰ)甲获得比赛胜利包含二种情况:①甲连胜二局;②前二局甲一胜一负,第三局甲胜.∴甲获得比赛胜利的概率为:P＝(23)2122133C⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(23)2027=.(Ⅱ)由已知得X的可能取值为0,1,2,P(X＝0)＝(13)219=,P(X＝1)122114 33327C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,P (X ＝2)＝(23)2122133C ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(23)2027=. ∴随机变量X 的分布列为:∴数学期望E (X )1420440129272727=⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ)方案一,比赛采用五局三胜制;方案二,比赛采用七局四胜制. 方案二对甲更有利.本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力及逻辑推理能力,是中档题.20.已知函数()f x =e x ,()ln g x x =. (Ⅰ)当0x >时,证明:()()g x x f x <<;(Ⅱ)()f x 的图象与()g x 的图象是否存在公切线(公切线:同时与两条曲线相切的直线)？如果存在,有几条公切线,请证明你的结论.【试题参考答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)曲线y ＝f (x ),y ＝g (x )公切线的条数是2条,证明见解析(Ⅰ)当x ＞0时,设h (x )＝g (x )﹣x ＝lnx ﹣x ,设l (x )＝f (x )﹣x ＝e x ﹣x ,分别求得导数和单调性、最值,即可得证;(Ⅱ)先确定曲线y ＝f (x ),y ＝g (x )公切线的条数,设出切点坐标并求出两个函数导数,根据导数的几何意义列出方程组,先化简方程得lnm ﹣121m =-.分别作出y ＝lnx ﹣1和y 21x =-的函数图象,通过图象的交点个数来判断方程的解的个数,即可得到所求结论. 【试题解答】(Ⅰ)当x ＞0时,设h (x )＝g (x )﹣x ＝lnx ﹣x , h ′(x )1x =-11xx-=,当x ＞1时,h ′(x )＜0,h (x )递减;0＜x ＜1时,h ′(x )＞0,h (x )递增;可得h(x)在x＝1处取得最大值﹣1,可得h(x)≤﹣1＜0;设l(x)＝f(x)﹣x＝e x﹣x,l′(x)＝e x﹣1,当x＞0时,l′(x)＞0,l(x)递增;可得l(x)＞l(0)＝1＞0,综上可得当x＞0时,g(x)＜x＜f(x);(Ⅱ)曲线y＝f(x),y＝g(x)公切线的条数是2,证明如下:设公切线与g(x)＝lnx,f(x)＝e x的切点分别为(m,lnm),(n,e n),m≠n,∵g′(x)1x=,f′(x)＝e x,可得11nnemlnm em n m⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩,化简得(m﹣1)lnm＝m＋1,当m＝1时,(m﹣1)lnm＝m＋1不成立;当m≠1时,(m﹣1)lnm＝m＋1化为lnm11 mm+=-,由lnx11xx+==-121x+-,即lnx﹣121x=-.分别作出y＝lnx﹣1和y21x=-的函数图象,由图象可知:y＝lnx﹣1和y21x=-的函数图象有两个交点,可得方程lnm11mm+=-有两个实根,则曲线y＝f(x),y＝g(x)公切线的条数是2条.本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调性、极值和最值,考查方程与构造函数法和数形结合思想,考查化简运算能力,属于较难题.。
北京市人大附中2018-2019学年第一学期期末高二年级数学练习(解析版)
北京市人大附中2018-2019学年第一学期期末高二年级数学练习（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共64.0分）1.下列导数公式错误的是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A、，故A错误；对于B、，故B正确；对于C、，故C正确；对于D、，故D正确；故选：A．根据题意，依次计算选项函数的导数，比较即可得答案．本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式．2.双曲线的焦点坐标是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】解：根据题意，双曲线的方程为，其中，，则，又由双曲线的焦点在x轴上，则其焦点坐标为；故选：D．根据题意，由双曲线的方程求出a、b的值，计算可得c的值，结合双曲线的焦点位置，分析可得答案．本题考查双曲线的标准方程，注意分析双曲线的焦点位置，属于基础题．3.如图，在平行六面体中，若，，，则A.B.C.D.【答案】C【解析】解：故选：C．根据空间向量的加减法运算用已知向量把表示出来即可．本题考查了用空间已知向量表示空间未知向量以及向量的加减法，属于基础题型．4.若，，则是的A. 既不充分也不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 充分不必要条件【答案】D【解析】解：，，当时，向量成立．当0，，0，，满足，但不成立，是的充分不必要条件．故选：D．根据空间向量平行的坐标公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用空间向量的坐标公式以及空间向量的共线定理是解决本题的关键．5.如图，正棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为A.B.C.D.【答案】D【解析】解如图，连接，，是异面直线与所成的角，设，，，，的余弦值为，故选：D．先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角就是异面直线所成的角，在三角形中用余弦定理求解即可．本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．6.设函数，则A. ，取得最大值B. ，取得最小值C. ，取得最大值D. ，取得最小值【答案】D【解析】解：，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故时，取最小值，故选：D．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是一道常规题．7.如果把二次函数与其导函数的图象画在同一个坐标系中则下面四组图中一定错误的是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：二次函数的对称轴是，故其导函数的根是，二次函数的顶点和导函数的解均在直线上，故对于选项B是错误的，故选：B．根据二次函数的顶点和导函数的解在直线上，从而得到答案．本题考查了二次函数的性质，考查数形结合思想，是一道基础题．8.函数在区间上单调递减，则实数k的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，函数，其导数，若函数在区间上单调递减，则在上恒成立，则有，解可得，即k的取值范围为；故选：B．根据题意，求出函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系可得在上恒成立，则有，解可得k的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性的判定，涉及函数的导数与单调性的关系，属于基础题．9.过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，若，则AB的中点M到y轴的距离等于A. 2B. 25C. 3D. 4【答案】A【解析】解：由抛物线为，可得．设A、B两点横坐标分别为，，设线段AB中点的横坐标为m，则，即，由，解得，可得AB的中点M到y轴的距离为2．故选：A．由题意知，求出抛物线的参数p，由于直线过焦点，设出AB中点的横坐标m，由中点的坐标公式求出，利用弦长公式，解方程可得m，即可得到所求值．本题是直线被圆锥曲线所截，求弦长问题，一般可以由公式：求得；线段中点坐标通常与根与系数的关系相联系，从而简化解题过程但对于过焦点的弦长注意圆锥曲线定义的应用．10.如图，已知直线与曲线相切于两点，设函数，则函数A. 有极小值，没有极大值B. 有极大值，没有极小值C. 至少有两个极小值和一个极大值D. 至少有一个极小值和两个极大值【答案】C【解析】解：设与的切点横坐标分别为，，，设的另一条斜率为k的切线与图象的切点横坐标为，如图所示：而表示直线的点与上的点的的纵坐标的差，显然，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，为的极小值点，为的极大值点．，为的极小值，为的极大值．故选：C．表示两图象上横坐标相同时，纵坐标的差，根据函数图象即可判断出结论．本题考查了函数图象的几何意义，函数极值的意义，属于中档题．11.如图所示，直三棱柱的侧棱长为3，底面边长，且，D点在棱上且，P点在棱上，则的最小值为A.B.C.D.【答案】B【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，则0，，1，，设0，，则0，，1，，，故当时，取得最小值为，故选：B．建立如图所示的直角坐标系，设0，，求出和的坐标，求出，利用二次函数的性质求出它的最小值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．12.已知集合，，，2，，对于，，定义A与B之间的距离为．若集合M满足：，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】A【解析】解：由n元子集个数得：R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以M=或M=，，，，，，，，，（1，1，1），故集合M中元素个数最大值为4，故选：A．由集合的子集得：R3中含有8个元素，先阅读然后再理解定义得：可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，即M=或M=，，，，，，，，，（1，1，1），得解．本题考查了集合的子集及阅读能力，属难度较大的题型．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13.已知函数，则______．【答案】0【解析】解：，，，故答案为：0．先求出，由，能求出结果．本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数概念及性质的合理运用．14.已知函数，则______．【答案】0【解析】解：函数，，，故答案为：0．根据导数的公式求出函数的导数，直接代入即可求值．本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．15.已知空间向量1，，0，，若，的夹角为，则实数x的值为______．【答案】1或【解析】解：已知，则：，由于和的夹角为，则：解得：或故答案为：1或首先根据向量的坐标求出向量的模，进一步利用向量的夹角求出x的值．本题考查的知识要点：空间向量的夹角，空间向量的数量积和模的运算，属于基础题型．16. 直线 与函数 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是______． 【答案】【解析】解：令 ， 得 ，可求得 的极大值为 ， 极小值为 ，如图所示，当满足 时，恰有三个不同公共点． 故答案为：先求出其导函数，利用其导函数求出其极值以及图象的变化，进而画出函数 对应的大致图象，平移直线 即可得出结论． 本题主要考查利用导数研究函数的极值以及数形结合思想的应用，是对基础知识的考查，属于基础题．17. 电动自行车的耗电量y 与速度x 之间的关系为，为使耗电量最小，则其速度应定为______． 【答案】40【解析】解：由题设知，令0'/>，解得 ，或 ，故函数在 上增，在 上减，当 ，y 取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40； 故答案为：40．欲求使耗电量最小，则其速度应定为多少，即求出函数的最小值即可，对函数求导，利用导数求研究函数的单调性，判断出最小值位置，代入算出结果．考查用导数研究函数的单调性求最值，本题是导数一章中最基本的应用题型．18. 在棱长为1的正方体 中，M 为体对角线 上动点．则 到距离的最小值为______； 位于 三等分点处时，M 到各顶点的距离的不同取值有______种【答案】4【解析】解： 到 距离的最小值是异面直线 和 间的距离， 连结AC ，BD ，交于点O ，则，，平面，，且，到距离的最小值为．故答案为：．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，0，，1，，1，，0，，0，，1，，1，，0，，M位于三等分点处时，设，，，，，，，，．到各顶点的距离的不同取值有4种．故答案为：4．到距离的最小值是异面直线和间的距离，由此能求出M到距离的最小值；以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出M到各顶点的距离的不同取值的种数．本题考查点到直线的距离的最小值的求法，考查点到各顶点的距离的不同取值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置位置关系等基础知识，考查学生的空间想象能力，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）19.已知抛物线C方程：，点在C上，F为焦点．Ⅰ求抛物线C的方程和焦点F坐标；Ⅱ若抛物线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且，，求原点O到直线AB的距离．【答案】解：Ⅰ将代入抛物线方程可得，解得，即抛物线的方程为，；Ⅱ若抛物线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且，，由抛物线的定义可得，，即有，，即为，，AB的斜率为，AB的方程为，O到直线AB的距离为．【解析】Ⅰ将代入抛物线方程，可得，可得抛物线的方程和焦点坐标；Ⅱ运用抛物线的定义，可得A，B的坐标，AB的方程，运用点到直线的距离公式，可得所求值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程的求法和运用，以及点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．20.已知函数，其导函数为的部分值如表所示：根据表中数据，回答下列问题：Ⅰ实数c的值为______；当______时，取得极大值将答案填写在横线上．Ⅱ求实数a，b的值．Ⅲ求的单调区间．【答案】6 3【解析】解：Ⅰ，3Ⅱ：，由已知表格可得解得Ⅲ：由Ⅱ可得，因为和时，时0'/>，所以的单调增区间为，单调减区间为和．Ⅰ由极值的定义，通过表格可求解；Ⅱ在表格中取两组数据代入解析式即可；Ⅲ利用导数求出的单调区间本题考查了函数的定义及利用导数求单调区间，属于基础题．21.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，，，E为PA中点．Ⅰ求证：平面BED；Ⅱ求二面角的余弦值；Ⅲ在棱PC上是否存在点M，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【答案】共14分证明：Ⅰ设AC与BD的交点为F，连结EF．因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．在中，由已知E为PA中点，所以．又平面BFD，平面BFD，所以平面分Ⅱ取CD中点O，连结PO．因为是等腰三角形，O为CD的中点，所以．又因为平面平面ABCD，平面PCD，所以平面ABCD．取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，所以所以分如图建立空间直角坐标系，则，1，，0，，，1，，0，，0，．2，，1，．设平面PAC的法向量为y，，则，令，得1，．平面PCD的法向量为0，．设的夹角为，所以．由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为分Ⅲ设M是棱PC上一点，则存在使得．因此点，，2，．由，得，解得．因为，所以在棱PC上存在点M，使得．此时，分【解析】Ⅰ设AC与BD的交点为F，连结EF，推导出由此能证明平面BED．Ⅱ取CD中点O，连结推导出，取AB中点G，连结OG，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．Ⅲ设M是棱PC上一点，则存在使得利用向量法能求出在棱PC上存在点M，使得此时，本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．22.已知离心率为的椭圆C：与直线相交于P，Q两点点P在x轴上方，且点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，且．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ求四边形APBQ面积的取值范围．【答案】本小题满分14分解：Ⅰ由已知得，则，设椭圆方程为：由题意可知点在椭圆上，所以解得．故椭圆C的标准方程为分Ⅱ由题意可知，直线PA，直线PB的斜率都存在且不等于0．因为，所以．设直线PA的斜率为k，则直线PA：．由，得．依题意，方程有两个不相等的实数根，即根的判别式成立．即，化简得，解得．因为2是方程的一个解，所以．所以．当方程根的判别式时，，此时直线PA与椭圆相切．由题意，可知直线PB的方程为．同理，易得．由于点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，，且能存在四边形APBQ，则直线PA的斜率k需满足．设四边形APBQ面积为S，则由于，故当时，，可得，即．此处另解：设，讨论函数在时的取值范围．，则当时，，单调递增．则当时，，即．所以四边形APBQ面积S的取值范围是分【解析】Ⅰ通过椭圆的离心率，设椭圆方程，利用点在椭圆，求出，然后求出椭圆方程．Ⅱ通过，推出设直线PA的斜率为k，得到直线PA：与椭圆联立，求出A、B坐标，设四边形APBQ面积为S，表示出三角形的面积，利用基本不等式求出最值，也可以利用函数的导数求解面积的范围．本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与圆锥曲线的综合应用，基本不等式以及函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．23.对于函数，若存在实数满足，则称为函数的一个不动点已知函数，其中a，Ⅰ当时，求的极值点；若存在既是的极值点，又是的不动点，求b的值；Ⅱ若有两个相异的极值点，，试问：是否存在a，b，使得，均为的不动点？证明你的结论．【答案】解：Ⅰ的定义域为R，且分当时，；当时，显然在R上单调递增，无极值点分当时，令，解得：分和的变化情况如下表：所以，是的极大值点；是的极小值点分若是的极值点，则有；若是的不动点，则有，从上述两式中消去b，整理得：分设．所以，在R上单调递增．又，所以函数有且仅有一个零点，即方程的根为，所以分Ⅱ因为有两个相异的极值点，，所以方程有两个不等实根，，所以，即分假设存在实数a，b，使得，均为的不动点，则，是方程的两个实根，显然，．对于实根，有又因为，得．同理可得．所以，方程也有两个不等实根，分所以．对于方程，有，所以，即，这与相矛盾！所以，不存在a，b，使得，均为的不动点分【解析】Ⅰ求出函数的导数，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，得到函数有且仅有一个零点，即方程的根为，从而求出b的值即可；Ⅱ假设存在，根据题意得到，，得到，这与相矛盾！判断结论即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及新定义问题，分类讨论思想，是一道综合题．。
2018北京人大附中高二(下)数学(文)期末
( Ⅰ)当t ＝ 1 时，判断命题 q 的真假；
( Ⅱ)若p∨ q 为假命题，求 t 的取值范围．
17. (本小题满分 13 分 )
已知函数 f(x)＝ 1 x3 1 a x2
3
2
ax ， x∈ R，其中 a＞0.
(Ⅰ )求函数 f(x)的单调区间；
( Ⅱ)若函数 f(x)（ x∈ (－ 2,0)）的图象与直线 y=a 有两个不同交点，求 a 的取值范围．
2018 北京人大附中高二（下）数
学（文）期末
2018 年 7 月 5 日
说明：本练习共 3 道大题 20 道小题，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟； 一、选择题（共 8 道小题，每道小题 5 分，共 40 分 .请将正确答案填涂在答题卡上 .）
1．设集合 A＝ {1,2,3} ， B＝ {2,3,4} ，则 A∪ B＝ ( A )
（Ⅰ）求函数 q(x) 的表达式；
（Ⅱ）当 x 为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．
（ 1）当 0
x ≤ 20 时， f ( x)
126000 x x1
126000
126000 x1
f (x) 在 [0 ，20] 上单调递增，
所以当 x 20 时， f (x ) 有最大值 120000 ． …………………… 8
所以当 x 80 时， f ( x) 有最大值 240000 ．
…………………… 11
（3）当 180 x 时， f (x) 0 ﹒
…………………… 12
答：当 x 等于 80 元时，总利润取得最大值 240000 元． …………………… 13
19. ( 本小题满分 15 分 ) 已知函数 f x ex mx （m 为常数）．
北京市朝阳区2018-2019学年第二学期期末数学试题2019.7
数学 第 1 页（共页（共 11 页）北京市朝阳区2018-2019学年度第二学期期末质量检测高二年级数学试卷 2019.7 （考试时间120分钟 满分150分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{}(1)0A x x x =+£，{}1B x x =<-，则AB =（A ）{}1x x ³- （B ）{}1x x >-（C ）{}0x x £（D ）Æ（2）已知x ，y ÎR ，且0x y >>，则，则（A ）11x y>（B ）11()()22xy< （C ）1122x y < （D ）sin sin x y >（3）如果函数()y f x =在[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，那么“()()0f a f b ×<”是“函数()y f x =在(,)a b 内有零点”的内有零点”的（A ）充分而不必要条件）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件）既不充分也不必要条件（4）二项式61(2)x x-展开式中的常数项为展开式中的常数项为 （A ）960- （B ）160- （C ）160（D ）960（5）已知π(,π)2a Î,π1tan()47a +=,则sin cos a a +=（A ） 17- （B ） 25- （C ）51- （D ）15（6）将函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图象上所有的点向左平移π4个单位长度，则所得图象对应的函数解析式为个单位长度，则所得图象对应的函数解析式为数学 第 2 页（共页（共 11 页）（A ）sin(2)4y x p=+ （B ）sin()24x y p =+ （C ）cos 2xy = （D ）cos2y x= （7）构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设AD BD 2=，则△DEF 与△ABC 的面积之比为的面积之比为 （A ）12（B ）13 （C ）15（D ）17（8）某校有6名志愿者，在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务，任务是组织游客参加“祝福祖国征集留言”、“欢乐世园共绘展板”、“传递祝福发放彩绳”三项活动，其中1人负责“征集留言”，2人负责“共绘展板”，3人负责“发放彩绳”，则不同的分配方案共有，则不同的分配方案共有 （A ）30种 （B ）60种 （C ）120种 （D ）180种 （9）函数ee ()xxf x x-+=的图象大致为的图象大致为（第7题图）题图）已知函数()()sin 21f x k x x k =++ÎR ，当k Î(,2)(2,)-¥-+¥时，()f x 的极值点的个数为的极值点的个数为） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ）：本大题共6小题,每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.3228log 6log 3-=__________．1()1(0)f x x x x=-->的值域为_______．b 3则至少需要经过则至少需要经过为．图1 图2 图3 （第15题图）的最小值为 ；的最小值为的取值范围是 ．的取值范围是3cos数学 第 5 页（共页（共 11 页）（18）（本小题满分14分）分）随着社会的进步与发展，中国的网民数量急剧增加.下表是中国从20092018年网民人数及互联网普及率、手机网民人数（单位：亿）及手机网民普及率的相关数据. 年份年份 网民人数网民人数互联网普及率互联网普及率手机网民人数手机网民人数手机网民普及率手机网民普及率2009 3.8 28.9% 2.3 17.5% 2010 4.5 34.3% 3.0 22.9% 2011 5.1 38.3% 3.6 27.0% 2012 5.6 42.1% 4.2 31.6% 2013 6.2 45.8% 5.0 36.9% 2014 6.5 47.9% 5.6 41.3% 2015 6.9 50.3% 6.2 45.2% 2016 7.3 53.2% 7.0 51.0% 2017 7.755.8%7.554.4%2018 8.3 59.6% 8.2 58.9% （互联网普及率=（网民人数/人口总数）×100%；手机网民普及率=（手机网民人数/人口总数）×100%） （Ⅰ）从20092018这十年中随机选取一年，求该年手机网民人数占网民总人数比值超过80%的概率；的概率；（Ⅱ）分别从网民人数超过6亿的年份中任选两年，记X 为手机网民普及率超过50%的年数，求X 的分布列及数学期望；的分布列及数学期望； （Ⅲ）若记20092018年中国网民人数的方差为21s ，手机网民人数的方差为22s ，试判断21s与22s 的大小关系.（只需写出结论）（只需写出结论）B C；②A 2,3,)n，则称集合具有性质W. 是否具有性质W，并3 )33333)3),数学 第 8 页（共页（共 11 页）所以(0,]12m pÎ，m 的最大值为π12． …………………………………… 14 14分（18）（共14分）分）解：（Ⅰ）设事件A ：“从20092018这十年中随机选取一年，该年手机网民人数占网民总人数比值超过80%”. 由题意可知63()105P A ==. …………………………………… 5 5分 （Ⅱ）网民人数超过6亿的年份有20132018共六年，其中手机网民普及率超过50%的年份有2016,2017,2018这3年.所以X 的取值为012,,. 所以232631(0)155C P X C ====， 1133263(1)5C C P X C ===， 23261(2)5C P X C ===. 随机变量X 的分布列为的分布列为X 012P1535151310121555EX =´+´+´=. …………………………………… 12 12分（Ⅲ）2212s s <. …………………………………… 14 14分 （19）（共14分）分）解：（Ⅰ）当3a =时，32()441f x x x x =-++，所以2()384f x x x ¢=-+．所以(1)2f =，(1)1f ¢=-．所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=． …………………… 4 4分 （Ⅱ）因为321()(1)413f x ax a x x =-+++，所以2()2(1)4(2)(2)f x ax a x ax x ¢=-++=--．数学 第 9 页（共页（共 11 页）（1） 当0a =时，因为()2(2)f x x ¢=--，由()0f x ¢>得2x <， 由()0f x ¢<得2x >，所以()f x 在区间(,2)-¥内单调递增，在区间(2,)+¥内单调递减．内单调递减．（2）当0a ¹时，令()0f x ¢=，得12x =，22x a=．① 当0a <时，由()0f x ¢>得22x a<<；由()0f x ¢<得2x a<或2x >．所以()f x 在区间2(,2)a内单调递增，在区间2(,)a -¥和(2,)+¥内单调递减．② 当01a <<时，时，由()0f x ¢>得2x <或2x a>；由()0f x ¢<得22x a <<．所以()f x 在区间(,2)-¥和2(,)a +¥内单调递增，在区间2(2,)a内单调递减．③ 当1a =时，时， 因为2()(2)0≥f x x ¢=-，所以()f x 在区间(,)-¥+¥内单调递增．内单调递增．④ 当1a >时，由()0f x ¢>得2x a <或2x >；由()0f x ¢<得22x a <<．所以()f x 在区间(2,)a -¥和(2,)+¥内单调递增，在区间2(,2)a内单调递减．综上可知，当0a =时，()f x 在区间(,2)-¥内单调递增，在区间(2,)+¥内单调递减；内单调递减；当0a <时，()f x 在区间2(,2)a 内单调递增，在区间2(,)a -¥和(2,)+¥内单调递减；当01a <<时，()f x 在区间(,2)-¥和2(,)a +¥内单调递增，在区间2(2,)a内单调递减；当1a =时，()f x 在区间(,)-¥+¥内单调递增；(数学 第 11 页（共页（共 11 页） （21）（共14分）分）解：（Ⅰ）（Ⅰ） {1,2,5,6,7,9}E =具有性质W ，如可取{1,2}A =,{5,7}B =,{6,9}C =；{1,2,3,4,5,6}F =不具有性质W ；理由如下：；理由如下：对于F 中的元素6，651=+或者642=+， 如果651=+，那么剩下3个元素4,3,2,不满足条件；不满足条件； 如果642=+，那么剩下3个元素5,3,1,也不满足条件．也不满足条件． 因此，集合{1,2,3,4,5,6}F =不具有性质W . …………………… 6 6分 （Ⅱ）证明：假设符合条件的m M 只有有限个，设其中元素个数最多的为0m M . 对于0m M ，由题设可知，存在012{,,,}m A a a a =，012{,,,}m B b b b =，012{,,,}m C c c c =满足条件. 构造如下集合构造如下集合{}011202,2,,2,1,3,,61m A a a a m =-， {}01120002,2,,2,9,91,,61m B b b b m m m =-+，{}01120002,2,,2,91,92,,12m C c c c m m m =++， 由于}3,,3,2,1{},,,,,,,,,,,{021*******m c c c b b b a a a m m m =，所以}6,,6,4,2{}2,,2,2,2,,2,2,2,,2,2{021*******m c c c b b b a a a m m m =．易验证1A ，1B ，1C 对集合040{1,2,,12}m M m =×××满足条件，而004m m >， 也就是说存在比0m M 的元素个数更多的集合04m M 具有性质W ，与假设矛盾．，与假设矛盾． 因此具有性质W 的集合m M 有无穷多个. (14)。
2018-2019学年高二(下)期末数学试卷(含答案)
高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.（）A. 5B. 5iC. 6D. 6i2.( )B.3.某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6：5，为了解学生的视力情况，若样本中男生比女生多12人，则n=（）A. 990B. 1320C. 1430D. 15604.（2，k（6，4是（）A. （1，8）B. （-16，-2）C. （1，-8）D. （-16，2）5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 3πB. 4πC. 6πD. 8π6.若函数f（x）a的取值范围为（）A. （-5，+∞）B. [-5，+∞）C. （-∞，-5）D. （-∞，-5]7.设x，y z=x+y的最大值与最小值的比值为（）A. -1B.C. -28.x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为（）A. 2B. 1 D. 49.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10=10，S30=30，则S20=（）A. 20B. 10C. 20或-10D. -20或1010.当的数学期望取得最大值时，的数学期望为（）A. 211.若实轴长为2的双曲线C：4个不同的点则双曲线C的虚轴长的取值范围为( )12.已知函数f（x）=2x3+ax+a．过点M（-1，0）引曲线C：y=f（x）的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若|MA|=|MB|，则f（x）的极大值点为（）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.（x7的展开式的第3项为______．14.已知tan（α+β）=1，tan（α-β）=5，则tan2β=______．15.287212,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C面积则椭圆C的标准方程为______.16.已知高为H R的球O的球面上，若二面4三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.nn的通项公式．18.2019年春节档有多部优秀电影上映，其中《流浪地球》是比较火的一部．某影评网站统计了100名观众对《流浪地球》的评分情况，得到如表格：（1）根据以上评分情况，试估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上（包括四星）的频率；（2）以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立．（i）若从全国所有观众中随机选取3名，求恰有2名评价为五星1名评价为一星的概率；（ii）若从全国所有观众中随机选取16名，记评价为五星的人数为X，求X的方差．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b sin A cos C+a sin C cos B A．（1）求tan A的值；（2）若b=1，c=2，AD⊥BC，D为垂足，求AD的长．20.已知B（1，2）是抛物线M：y2=2px（p＞0）上一点，F为M的焦点．（1，M上的两点，证明：|FA|，|FB|，|FC|依次成等比数列．（2）若直线y=kx-3（k≠0）与M交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且y1+y2+y1y2=-4，求线段PQ的垂直平分线在x轴上的截距．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PB=PC，E为线段BC的中点，F为线段PA上的一点．（1）证明：平面PAE⊥平面BCP．（2）若PA=AB，二面角A-BD=F求PD与平面BDF所成角的正弦值．22.已知函数f（x）=（x-a）e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a=2时，F（x）=f（x）-x+ln x，记函数y=F（x1）上的最大值为m，证明：-4＜m＜-3．答案和解析1.【答案】A【解析】故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系，子集与真子集，并集及其运算，属于基础题．先分别求出集合A与集合B，再判别集合A与B的关系，以及元素和集合之间的关系，以及并集运算得出结果．【解答】解：A={x|x2-4x＜5}={x|-1＜x＜5}，B={2}={x|0≤x＜4}，∴∉A，B，B⊆A，A∪B={x|-1＜x＜5}．故选C．3.【答案】B【解析】解：某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6：5，样本中男生比女生多12人，设男生数为6k，女生数为5k，解得k=12，n=1320．∴n=1320．故选：B．设男生数为6k，女生数为5k，利用分层抽样列出方程组，由此能求出结果．本题考查高一学生数的求法，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∴k=-3；∴（-16，-2）与共线．k=-3考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理．5.【答案】A【解析】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴，故选：A．几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．6.【答案】B【解析】解：函数f（x）x≤1时，函数是增函数，x＞1时，函数是减函数，由题意可得：f（1）=a+4≥，解得a≥-5．故选：B．利用分段函数的表达式，以及函数的单调性求解最值即可．本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．7.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：A（2，5），B-2）由z=-x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为Z的一组平行直线，平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大值为7，经过B时则z=x+y的最大值与最小值的比值为：．故选：C．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．【解析】解：由题意，对任意的∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x1）=f（x）min=-3，f（x2）=f（x）max=3．∴|x1-x2|min∵T=4．∴|x1-x2|min=．故选：A．本题由题意可得f（x1）=f（x）min，f（x2）=f（x）max，然后根据余弦函数的最大最小值及周期性可知|x1-x2|min本题主要考查余弦函数的周期性及最大最小的取值问题，本题属中档题．9.【答案】A【解析】解：由等比数列的性质可得：S10，S20-S10，S30-S20成等比数列，（30-S20），解得S20=20，或S20=-10，∵S20-S10=q10S10＞0，∴S20＞0，∴S20=20，故选：A．由等比数列的性质可得：S10，S20-S10，S30-S20成等比数列，列式求解．本题考查了等比数列的通项公式和前n项和及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：∴EX取得最大值．此时故选：D．利用数学期望结合二次函数的性质求解期望的最值，然后求解Y的数学期望．本题考查数学期望以及分布列的求法，考查计算能力．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了双曲线的性质，动点的轨迹问题，考查了转化思想，属于中档题．设P i（x，y）⇒x2+y2（x2。
2018北京人大附中高二(下)数 学(文)期末
2018北京人大附中高二（下）数 学（文）期末2018 年 7 月 5 日说明：本练习共 3 道大题 20 道小题，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟； 一、选择题（共 8 道小题，每道小题5 分，共 40 分.请将正确答案填涂在答题卡上.） 1．设集合 A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则 A ∪B ＝( A )A ．{1,2,3,4}B ．{1,2,3}C ．{2,3,4}D ．{1,3,4}2. 设复数 z =i ⋅(1+i)（其中 i 是虚数单位），则复数 z 对应的点位于（ B ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 执行如图所示的程序框图，若输入的 a 值为 1，则输出的 k 值为（B ） A.1 B.2 C.3 D.44. 下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(D)A ．y ＝e x ＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．sin xy x =D ．1y x x =- 5. 命题“若 x ，y 都是偶数，则 x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( C )A ．若 x ＋y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数B ．若 x ＋y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数C ．若 x ＋y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数D ．若 x ＋y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数6．已知 l g a ＋lg b ＝0，则 l g(a ＋b )的最小值为( A ) A ． lg 2 B ． 22 C ．－lg 2 D ．27．设 U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合 C ，使得 A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B =∅” 的( C)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知函数22()=(ln )x e f x k x x x -+，若 x ＝2 是函数 f (x )的唯一的一个极值点，则实数 k的取值范围为( A)A ．(－∞，e]B ．[0，e]C ．(－∞，e)D ．[0，e)二、填空题（共6 道小题，每道小题 5 分，共 30 分. 请将正确答案填在答题卡上.） 9. 若函数 f (x )满足f (2x) = log 2 x ，则 f (2) = ． 10. 设定义在 R 上的函数 f (x )满足 f (x )＝f (x ＋2)；且当 0≤x <1 时，f (x )＝2x－1，则5()2f =11.若实数 x ，y 满足约束条件10060x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则 x －2y 的最大值为 ．12. 若 f (x )＝x sin x ＋cos x ，则 f (－3)，()2f π，f (2)的大小关系为13.已知函数 f (x ) = x 2 ， g ( x ) =1()2xm -，若对任意x 1∈ [0,2] ，存在 x 2∈ [1,2] ，使得f (x 1 ) ≥ g (x 2 ) ，则实数m 的取值范围为14．设函数 f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中 c >a >0，c >b >0.若 a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，给出下列命题： ①对于∀x ∈(－∞，1)，都有 f (x )>0；②存在 x >0，使 a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则存在 x ∈(1,2)，使 f (x )＝0. 则其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（共 6 道小题，共 80 分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. (本小题满分 12 分)已知集合 A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}． (Ⅰ)求 A ∩B ，(∁R B )∪A ；(Ⅱ)已知非空集合 C ＝{x |1<x <a }，若 C ⊆A ，求实数 a 的取值范围．16. (本小题满分 12 分)给定实数 t ，已知命题 p ：函数 f (x )＝x 2－2tx ＋1 有零点；命题 q ：∀ x ∈[1，＋∞)1x x-≤4t 2－1. (Ⅰ)当 t ＝1 时，判断命题 q 的真假； (Ⅱ)若 p ∨q 为假命题，求 t 的取值范围．17. (本小题满分 13 分)已知函数 f (x )＝321132a x x ax -+-，x ∈R ，其中 a ＞0.(Ⅰ)求函数 f (x )的单调区间；(Ⅱ)若函数 f (x )（x ∈(－2,0)）的图象与直线 y =a 有两个不同交点，求 a 的取值范围．18. (本小题满分 13 分)某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为 x （单位：元， x > 0 ）时，销售量 q (x ) （单位：百台）与 x 的关系满足：若 x 不超过20， 则 1260()1q x x =+若 x 大于或等于180 ，则销售量为零；当 20 ≤ x ≤180 时，()q x a b x =-（a ，b 为实常数）． （Ⅰ）求函数 q (x ) 的表达式；（Ⅱ）当 x 为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．（1）当 0 < x ≤20 时， 126000126000()12600011x f x x x ==-++ f (x ) 在[0，20] 上单调递增，所以当 x = 20 时， f (x ) 有最大值120000 ． (8)（2）当 20 < x ≤180 时， f (x )＝9000x - 3005x x ⋅， f '(x )＝9000 - 4505x ，令 f '(x )＝0 ，得 x = 80 ．当 20 < x < 80 时， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增， 当 80 < x ≤180 时， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单调递减，所以当 x = 80 时， f (x ) 有最大值 240000 ． (11)（3）当180 < x 时， f (x ) = 0 ﹒ (12)答：当 x 等于80 元时，总利润取得最大值 240000 元． (13)19. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x ) = e x - mx （ m 为常数）．（Ⅰ）若曲线 y = f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线斜率为 -1 ，求实数 m 的值．（Ⅱ）求函数f ( x ) 的极值．（Ⅲ）证明：当 x > 0 时， e x > x 2 ．20.(本小题满分 15 分)已知函数 f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )=ln x x，其中 e 是自然对数的底数，a ∈R.(Ⅰ)当 a ＝1 时，求 f (x )的单调区间； (Ⅱ)设函数 F ( x ) = x 2 ⋅ g ( x ) - f ( x ) - ln x + a ， ①求函数 F (x )在区间[1, e ] 上的最大值； ②求证：a >1 是函数 F (x )有两个零点的充分条件.数学试题答案一、选择题（共 8 道小题，每道小题 5 分，共 40 分.请将正确答案填涂在答题卡上.） 1．解析：由题意得 A ∪B ＝{1,2,3,4}． 2.解析： z=i(1+i)=-1+ i 3.解析： k=0,b=1，进入循环体，12a =-，否；k=1,a=-2，否；k=2,a=1,此时 a =b=1，输出 k ，k=2. 4.解析：选项 A ，B 显然是偶函数，排除；选项 C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项 D 中，1y x x=-是奇函数，且 y ＝x 和 1y x=-在(0，＋∞)上均为增函数，故1y x x=-在(0，＋∞)上为增函数，所以选项 D 正确．5.解析： “都是”的否定是“不都是”，故其逆否命题是：“若 x ＋y 不是偶数，则 x 与 y不都是偶数”． 6解析： 由 l g a ＋lg b ＝0，可知 a >0，b >0， 则 l g(ab )＝0，即 a b ＝1.所以 a ＋b ≥ 2 ab ＝2，当且仅当 a ＝b ＝1 时取等号， 所以 lg(a ＋b )≥lg 2.故 l g(a ＋b )的最小值为 l g 2.7．解析：依题意，若 A ⊆C ，则∁U C ⊆∁U A ，若 B ⊆∁U C ，可得 A ∩B ＝∅；若 A ∩B ＝∅，不 妨令 C ＝A ，显然满足 A ⊆C ，B ⊆∁U C ，故满足条件的集合 C 是存在的． 8.解析：函数 f (x )的定义域是(0，＋∞)，所以'2()2()xe k x xf x x--= 因为 x ＝2 是函数 f (x )的唯一一个极值点， 所以 x ＝2 是导函数 f ′(x )＝0 的唯一根．所以0xe k x-=在(0，＋∞)上无变号零点．设 g (x )＝x e x ，则 g ′(x )＝2(1)xx e x-当 x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，当 x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0， 所以 g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以 g (x )min ＝g (1)＝e ，结合 g (x )＝xe x与 y ＝k 的图象知，若 x ＝2 是函数 f (x )的唯一一个极值点，则应需 k ≤e.二、填空题（共6 道小题，每道小题 5 分，共 30 分. 请将正确答案填在答题卡上.） 9. 解析：令 x =1， f (2) = log 2 1=010.解析：5()2f =1()212f =-11. 解析：画出可行域如图中阴影部分所示，令 z ＝x －2y ，可知 z ＝x －2y 在点 A (1,1)处取得 最大值－1.12.()(2)(3)2f f f π-f f解析：函数 f (x )为偶函数，因此 f (－3)＝f (3)． 又 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， 当[,]2x ππ∈时，f ′(x )≤0. 所以f (x )在区间上是减函数， 所以()(2)(3)2f f f π-f f13.14m ≥解析：对任意 x 1 ∈ [0,2] ，存在 x 2 ∈ [1,2]，使得 f (x 1 ) ≥ g (x 2 ) 等价于 g ( x ) =1()2xm -在[1,2]上的最小值14m -不大于 f (x ) = x 2 在 [0,2]上的最小值 0，104m -≤∴14m ≥14．解析： ①因为 a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，所以 a ＋b >c ，因为 c >a >0，c >b >0，所以01a c pp ,01b c p p ，当 x ∈(－∞，1)时，f (x )＝a x ＋b x －c x ＝(()()1)x x x a bc c c +- (1)0x x a b a b c c c c c c+-+-=⋅f f ，故①正确；②令 a ＝2，b ＝3，c ＝4，则 a ，b ，c 可以构成三角形，但 a 2＝4，b 2＝9，c 2＝16 却不能 构成三角形，所以②正确； ③已知 c >a >0，c >b >0，若△ABC 为钝角三角形，则 a 2＋b 2－c 2<0，因为 f (1)＝a ＋b － c >0，f (2)＝a 2＋b 2－c 2<0，根据零点的存在性定理可知在区间(1,2)上存在零点，所以存在 x ∈ (1,2)，使 f (x )＝0，故③正确．三、解答题（共 6 道小题，共 80 分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.解：(Ⅰ)∵3≤3x ≤27，即 31≤3x ≤33，∴1≤x ≤3， ∴A ＝{x |1≤x ≤3}．........................2 ∵log 2x >1，即 log 2x >log 22，∴x >2，∴B ＝{x |x >2}． ........................4 ∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}． (6)∵∁R B ＝{x |x ≤2}， ∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}． ……………………9 (Ⅱ)由(1)知 A ＝{x |1≤x ≤3}， ∵C ⊆A ，∴1<a ≤3.∴实数 a 的取值范围是 1<a ≤3． ……………………12 16.解：(Ⅰ)当 t ＝1 时，max1()0x x-= (3)1x x-≤3 在[1，＋∞)上恒成立，故命题 q 为真命题． (5)(Ⅱ)若 p ∨q 为假命题，则 p ，q 都是假命题． (6)当 p 为假命题时，Δ＝(－2t )2－4<0，解得－1<t <1； (8)当 q 为真命题时，max 1()x x -≤4t 2－1，即 4t 2－1≥0，解得 t ≤12-或 t ≥12∴当 q 为假命题时，12t -p p 12 ……………………10 ∴t 的取值范围是1(,2-1)2 (12)17.解：(Ⅰ)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )． ……………………1 由 f ′(x )＝0，得 x 1＝－1，x 2＝a ＞0. (2)当 x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x(－∞，－1) －1 (－1，a )a(a ，＋∞)f ′(x )＋－0 ＋f (x )极大值极小值 (3)故函数 f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(a ，＋∞)；单调递减区间是(－1，a )． ……………………6 (Ⅱ) 令 g (x )=f (x )-a ，x ∈(－2,0)，则函数 g (x )在区间(－2,0)内有两个不同的零点， (8)由(Ⅰ)知 g (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1，0)内单调递减， 从而((1(0g g g -⎧⎪-⎨⎪⎩p f p…………… (11)解得 0＜a ＜13.所以 a 的取值范围是(0, 13) (13)18.解：（Ⅰ）当 20 ≤ x ≤180 时，（Ⅱ）设总利润 f (x ) = x ⋅ q (x ) ，（1）当 0 < x ≤20 时， 126000126000()12600011x f x x x ==-++ f (x ) 在[0，20] 上单调递增，所以当 x = 20 时， f (x ) 有最大值120000 ． (8)（2）当 20 < x ≤180 时， f (x )＝9000x - 3005x x ⋅， f '(x )＝9000 - 4505x ，令 f '(x )＝0 ，得 x = 80 ．当 20 < x < 80 时， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增， 当 80 < x ≤180 时， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单调递减，所以当 x = 80 时， f (x ) 有最大值 240000 ． (11)（3）当180 < x 时， f (x ) = 0 ﹒ (12)答：当 x 等于80 元时，总利润取得最大值 240000 元． (13)19.【解】（Ⅰ） f ' ( x ) = e x - m ， (1)由已知，得 f ' (0) = -1，e 0 - m = -1，解得 m = 2 ． (2)（Ⅱ）令 f ' ( x ) =0 ，得 x =ln m . (3)列表如下：x (－∞，ln m )ln m (ln m ，+∞)f (x ) － 0+f (x )↘极小值f (ln m ) ↗∴函数f ( x ) 在 (-∞, l n m ) 上是减函数，在 (ln m , +∞) 上是增函数， (5)∴ f (x ) 的极小值为 f (ln m ) = m - m l n m ，无极大值． (7)（Ⅲ）令 g ( x ) = e x - x 2 ， ……………………8 则 g ' ( x ) = e x - 2x ， ……………………9 由（ 2 ）可知， g ' ( x ) min = 2 - 2 l n 2 = 2 - ln 4 > 0 ， ……………………11 ∴ g ' ( x ) > 0 恒成立，∴g ( x ) 在 (0, +∞) 上单调递增， (13)∴ g ( x ) > g (0) = 1 > 0 ， 即 e x - x 2 > 0 ，故当 x > 0 时， e x > x 2 ． (15)20.解：(Ⅰ)∵f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－11=x xx - (1)∴当 0＜x ＜1 时，f ′(x )＜0，此时 f (x )单调递减； 当 1＜x ＜e 时，f ′(x )＞0，此时 f (x )单调递增．∴f (x )的单调增区间为(1,e)，单调减区间为(0,1). ……………………3 (Ⅱ)F (x )=x ln x －ax +a ，①F ' (x )=ln x +1－a ， 令 F ' (x )=0，得 x = ea -1， (5)所以在区间 ( 0, ea -1) 上，F ' (x )<0，F (x )单调递减，在区间 ( e a -1 , + ∞) 上，F ' (x )>0，F (x )单调递增.（ⅰ）当 e a -1≤ 1 ，即 0<a ≤1 时，在区间[1，e]上，F (x )单调递增，所以 F (x )最大值 为 F (e)=e+a －a e ； (6)（ⅱ）当 e a -1≥ e ，即 a ≥2 时，在区间[1，e]上，F (x )单调递减，所以 F (x )最大值为F (1)=0. (7)（ⅲ）当1 < e a -1 < e ，即 1<a <2 时，F (x )的最大值为 F (e)和 F (1)中较大者： 令 F (e) － F (1)= e+a －a e>0，解得 a <1e e -所以当1 < a <1e e -时，F (x )最大值为 F (e)=e+a －a e ，当1e e -≤ a < 2 时，F (x )最大 值为 F (1)=0综上所述，当 0 < a <1ee -时，F (x )最大值为 F (e)=e+a －a e ， 当 a ≥1ee -时，F (x )最大值为 F (1)=0. (10)②“函数 F (x )有两个零点”等价于“方程 x ln x －ax +a=0 两个根”，由于 x >0，也等价于 “函数G ( x ) =ln ax a x-+有两个零点”. (11)则 G '( x ) =2x a x -当 > 0时，令 G ' (x )>0 得 > ，令 G ' (x )<0 得 <即函数 G (x )的单调递增区间为( , +∞)，单调递减区间为(0, )，因此，G (x )min = G (a )= ln a -a +1≤0.. (13)又 G (1)=0，当 > 1时，由于 G (a )<0，G (e a ) =aae> 0 ，故函数 G (x )有两个零点 所以 a > 1 是函数 F (x )有两个零点的充分条件.。
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2019北京人大附中高二（下）期末
数学
第I卷(共17题，满分100分)
一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分)
1. 已知集合A={1，2，3，4，5}，且A∩B=A，则集合B可以是
A. {}
B. {}
C. {x}
D. {1，2，3}
2. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是
A. B. ln
C. D. cosx
3. “α=”是“sinα=”成立的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 设命题P：,lnx≤x-1,则为
A. , lnx>x-1
B. ，ln≤-1
C. , lnx>x-1
D. ，ln>-1
5. 函数f（x）=-5的零点所在的区间是
A. （1，2）
B. （2，3）
C. （3，4）
D. （4，5）
6. 已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是
A. c<b<a
B. a<b<c
C. b<c<a
D. c<a<b
7. 已知△ABC中，A，B，C的对边的长分别为a,b,c,A=120°，a=，△ABC的面积为，则c+b=
A. 4.5
B. 4
C. 5
D. 6
8. 已知函数f（x）=2cos（）（）满足：f（）=f（），且区间（，）内有最大值但没有最小值，给出下列四个命题：
：f（x）在[0,2]上单调递减；
：f（x）的最小正周期是4；
：f（x）的图象关于直线x=对称；
：f（x）的图象关于点（-，0）对称
其中的真命题的个数是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共6小题。
每小题5分，共30分）
9. 函数y=（）的定义域是
10. 在△ABC中，A，B，C的对边的长分别为a,b,c,已知a=1,sinA=c=-，则c=
11. 设tanα，tanβ是方程-3x+2=0的两个根，则tan（α+β）=
12. 小甲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系；
F（X）=
，
某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论；
①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；
②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%；
③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
其中正确的结论序号有。
（注：请写出所有正确结论的序号）
13. 函数f（x）=+cos()的最大值为
，n=，
14. 设A，B是R的两个子集，对任意x∈R,定义：m=
①若A B，则对任意x∈R,m(1-n)= ;
②若对任意x∈R，m+n=1,则A，B的关系为
三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分10分）
已知函数f（x）=
（1）求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程
（2）求函数f（x）的单调区间和极值
16.(本小题满分10分)
甲厂以x千小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10).每小时可获得利润是100(5x+1-)元
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大
问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.
17.（本小题满分10分）
在△ABC中，A，B，C的对边的长分别为a,b,c,且asinB-bcosC=csosB
（1）判断△ABC的形状；
（2）若f(x)=cos2x-cosx+，求f（A）的范围
II卷（共6道题，满分50分）
一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸的相应位置上）
18. △ABC中，A，B，C的对边的长分别为a,b,c,给出下列四个结论：
①以，，为边长的三角形一定存在
②以，，为边长的三角形一定存在
③以，，为边长的三角形一定存在
④以,,为边长的三角形一定存在
那么，正确结论的个数为
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
19.如图，点A，B是函数y=在第I象限的图像上两点且满足∠OAB=90°且=，则△OAB的面积等于
A. B.
C. D.
20. 已知函数f（x）=(a∈R),若存在,使得f(f())=，则α的取值范围是
A.[1,e]
B. [0,1]
C. (-∞,0]
D. (-∞,1]
21. 已知圆C：,直线l:y=kx+b(kb≠0),l和C交于A，B两点，以Ox为始边，小强数学逆时针旋转到OA、OB为终边的最小正角分别为α和β，给出如下3个命题：
①当k为常数，b为变数时，sin（α+β）是定值
②当k为变数，b为变数时，sin（α+β）是定值
③当k和b都是变数时，sin（α+β）是定值
其中正确命题的个数是
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
二、解答题（本大题共2小题，满分26分，请把结果填在答题纸中）
22. （本小题满分13分）
已知函数f(x)=ax-(2a+1)lnx-,g（x）=-2alnx-，其中a∈R
（1）当a>0时，求f（x）的单调区间
（2）若存在x∈[]，使得不等式f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围
23. （本小题满分13分）
设A是一个由0和1构成的m行n列的数表，且A找那个所有数字之和不小于,所有这样的数表构成的集合记为S（m,n）
记为A的第i行各数之和（1≤i≤m）,为A的第j列各数之和（1≤j≤m）K(A)为，，···，,,,···，中的最大值
（1）对如下数表A，求K（A）的值
（3）已知t为正整数，对于所有的A∈S（6，t），=5（1≤i≤6），且A的任意两行中最多有2列各数之和为2，求t的值。