信号与系统(郑君里)习题答案

（2） （2） 写出 t ≥ 0+ 时间内描述系统的微分方程表示，求 i(t)的完全响应； （3） （3） 写出一个方程式，可在时间 − ∞ < t < ∞ 内描述系统，根据此式利用冲
激函数匹配原理判断 0-时刻和 0+时刻状态的变化，并与（1）的结果比较。
解： （1） t = 0− 时刻， uc (0− ) = 10v
（3） dt
dt 2
dt
H ( p) = p2 + 3p + 3 + p +1+ 1
p+2
p+2
∴ h(t) = H ( p)δ (t) = δ ' (t) + δ (t) + e−2tu(t)
t≥0
∫ ∫ g(t) = t h(τ )dτ = δ (t) + u(t) + t e−2τ dτ = δ (t) + ( 3 − 1 e−2t )u(t)
2 j2 3
− 1t
h(t) = e 2 (cos
3 t + 1 sin
3 t)u(t)
2 32
∫ ∫ g(t) = t h(τ )dτ = t h(τ )dτ
∴
−∞
0
− 1t
= [e 2 (− cos
3 t + 1 sin
3 t) + 1]u(t)
2 32
d r(t) + 2r(t) = d 2 e(t) + 3 d e(t) + 3e(t)
转至“2”，求输出电压 v0(t)的完全响应，并指出其零输入、零状态、自由、强迫各响应分
量（E 和 IS 各为常量）。
题图 2-7
解： t = 0− 时刻， uc (0− ) = E = v0 (0− )
pCuc
(t)
+
v0 (t) R
=
I su(t)
v0 (t) = uc (t)
C
∴系统微分方程：
信号与系统习题答案（注：教材---郑君里编） 习题二
2-1 对下图所示电路图分别列写求电压的微分方程表示。
图(a)：微分方程：
2i1
(t
)
+
1∗
di1 (t dt
)
+
uc
(t
)
=
e(t
)
u20d(itd2)(t=t)2+di2id2((ttt))= uc (t)
⇒
duc (t) dt
=
i1 (t )
∴ h(t) = 2δ (t) - 6e-3tu(t) e(t) = u(t) 对应于系统的阶跃响应 g(t)
d r(t) + 3r(t) = 2δ (t) 则有： dt
g(t) = Ae−3tu(t)
d g(t) = aδ (t) + b∆u(t) 设： dt
g(t) = a∆u(t) ⇒ a = 2, b = −6 ⇒ g(t) = 2e−3tu(t)
(2) dt
dt
Q
d dt
e(t)
=
δ
(t
)
，即方程右边有冲激函数
δ
(t
)
d r(t) = aδ (t) + b∆u(t) 设： dt
r(t) = a∆u(t) 则有： aδ (t) + b∆u(t) + 2a∆u(t) = 3δ (t)
⇒ a = 3, b = -6
∴ r(0+ ) = r(0− ) + a = 3
(3)
2
d2 dt 2
r(t)
+
3
d dt
r(t)
+
4r(t)
=
d dt
e(t)
Q
d dt
e(t
)
=
δ
(t
)
即方程右边含有
δ
(t )
d 2 r(t) = aδ ' (t) + bδ (t) + c∆u(t) 设： dt 2
d r(t) = aδ (t) + b∆u(t) dt r(t) = a∆u(t)
uc
(t)
)
=
0
⇒ d 2 i(t) + d i(t) + i(t) = 0
dt 2
dt
(−1+ j 3 )t
(−1 − j 3 )t
全解： i(t) = A1e 2 2 + A2e 2 2
代入初始条件 i(0+ ) = 0,i ' (0+ ) = 10
⇒ i(t) =
20
−1t
e2
sin(
3 t)
∴
−∞
0
22
2-10 一因果性的 LTI 系统，其输入、输出用下列微分—积分方程表示：
∫ d r(t) + 5r(t) = ∞ e(τ ) f (t − τ )dτ − e(t)
dt
−∞
其中 f (t) = e−tu(t) + 3δ (t) ，求该系统的单位冲激 h(t) 。
∫ d r(t) + 5r(t) = ∞ e(τ ) f (t − τ )dτ − e(t)
r(t) = −eα1t + 2eα2t = e−t (cos t − 3sin t)
d 2 r(t) + 2 d r(t) + r(t) = 0
（2） dt 2
dt
给定：r(0+ ) = 1, r ' (0+ ) = 2 ；
特征方程： α 2 + 2α + 1 = 0
特征根： α1 = α 2 = −1
用冲激函数匹配法，设：
d h(t) = aδ ' (t) + bδ (t) + c∆u(t) dt h(t) = aδ (t) + b∆u(t)
则有： aδ ' (t) + bδ (t) + c∆u(t) + 3aδ (t) + 3b∆u(t) = 2δ ' (t)
∴ a = 2,b = −6, c = 18
解： dt
−∞
f (t) = e−tu(t) + 3δ (t) ， e(t) = δ (t) 代入
d r(t) + 5r(t) = f (t) ∗ e(t) − e(t) = e−tu(t) + 3δ (t) − δ (t) = e−tu(t) + 2δ (t) dt
d r(t) + 5r(t) = e−tu(t) + 2δ (t) dt
( p + 5)r(t) = 1 δ (t) + 2δ (t) = ( 1 + 2)δ (t)
用算子表示为：
p +1
p +1
H ( p) = 1 ( 1 + 2) = 1 ( 1 + 7 )
p +5 p +1
4 p +1 p +5
h(t) = H ( p)δ (t) = ( 1 e−t + 7 e−5t )u(t)
dt
d 2 r(t) + d r(t) + r(t) = d e(t) + e(t)
（2） dt 2
dt
dt
（3）
d dt
r(t)
+
2r(t)来自百度文库
=
d2 dt 2
e(t)
+
3
d dt
e(t)
+
3e(t)
解：（1） e(t) = δ (t) 对应 系统冲激响应 h(t)
d r(t) + 3r(t) = 2δ ' (t) dt h(t) = Ae−3tu(t)
d r(t) + 2r(t) = e(t), r(0 _) = 0, e(t) = u(t) （1） dt
d r(t) + 2r(t) = 3 d e(t), r(0 _) = 0, e(t) = u(t)
（2） dt
dt
2 d 2 r(t) + 3 d r(t) + 4r(t) = d e(t), r(0 _) = 1, r ' (0 _) = 1, e(t) = u(t)
+
2
d dt
r(t)
+
2r(t)
=
0
给定：r(0+ ) = 1, r ' (0+ ) = 2 ；
特征方程：α 2 + 2α + 2 = 0
特征根： α1 = −1 + j
α 2 = −1 − j
零输入响应： r(t) = A1eα1t + A2eα2t
代入初始条件， ⇒ A1 = −1
A2 = 2
特征方程： α 3 + 2α 2 + α = 0
特征根： α1 = α 2 = −1 α = 0
零输入响应： r(t) = ( A1t + A2 )e−t + A3
代入初始条件， ⇒ A1 = A 2 = −1 A3 = 1
r(t) = 1 − (t + 1)e−t
2-5 给定系统微分方程、起始状态以及激励信号分别为以下三种情况：
∴
44
2-12 有一系统对激励为 e1 = u(t )时的完全响应为 r1 (t) = 2e−tu(t) ，对激励为
3
2
（3）在 − ∞ < t < ∞ 时间内，系统微分方程：
⇒
d2 dt 2
i(t)
+
d dt
i(t)
+
i(t)
=
d dt
e(t) ，其中 e(t)
= 10
+ 10u(t)
2-9 求下列微分方程描述的系统冲激响应 h(t) 和阶跃响应 g (t)
d r(t) + 3r(t) = 2 d e(t)
（1） dt
则有： 2aδ ' (t) + 2bδ (t) + 2c∆u(t) + 3aδ (t) + 3b∆u(t) + 4a∆u(t) = δ (t)
∴ a=0 b= 1 c=−3
2
4
∴ r(0+ ) = r(0− ) + a = 1
r ' (0+
)
=
r ' (0− )
+
b
=
3 2
2-7 电路如图所示，t=0 以前开关位于“1”，已进入稳态，t=0 时刻，S1 和 S2 同时自“1”
d dt
v0 (t)
+
1 R
v0 (t)
=
I su(t)
− 1t
−1t
零状态响应： rzi (t) = ( A1e RC + B)u(t) = (−RI se RC + RI s )u(t)
−1t
−1t
零输入响应： rzs (t) = A2e RC u(t) = Ee RC u(t)
完全响应： r(t)
v1 (t) = −Ri1 (t) + e(t)
⇒
(1 −
µ)
d dt
v1
+
1 RC
V1
=
1 CR
e(t)
∵ v0 (t) = µv1 (t)
⇒
(1
−
v)Cv
' 0
+
1 R
v0
(t
)
=
v R
e(t)
2-4 已知系统相应的其次方程及其对应的 0+状态条件，求系统的零输入响应。
（1）
d2 dt 2
r(t)
=
rzi (t) + rzs (t)
=
(
−1t
Ee RC
−
− 1t
RI s e RC
+
RI s )u(t)
2-8 电路如图所示， t < 0 时，开关位于“1”且已达到稳定状态， t = 0 时刻，开关自“1”
转至“2”。 （1） （1） 试从物理概念判断 i(0-)，i’(0-)和 i(0+)，i’(0+)；
零输入响应： r(t) = ( A1t + A2 )e−t
代入初始条件， ⇒ A1 = 3 A2 = 1
r(t) = (3t + 1)e−t
d 3 r(t) + 2 d 2 r(t) + d r(t) = 0
（3）dt 3
dt 2
dt
给定：r(0+ ) = r ' (0+ ) = 0, r " (0+ ) = 1
h(t) = [ A1e 2 2 + A2e 2 2 ]u(t)
j 3 +1
j 3 −1
H ( p) =
p +1 p2 + p +1
=
p−
j2 3 −1+ j
2
+ j2 3 3 p − −1− j
2
3
h(t) = (1 +
1
−1+ j
)e 2
3t
+ (1 −
1
−1− j 3 t
)e 2
∴
2 j2 3
i(0- ) = il (0− ) = 0
i(0+ ) = 0
i ' (0− )
=
1 L
ul (0− )
=
0
i ' (0+ )
=
1 L
ul
(0− )
=
1 L
[e(0)
−
u
c
(0
−
)]
= 10
（2） t > 0+ 时间内系统的微分方程：
uc
(t)
+L i(t)
d i(t) + Ri(t
dt
=
C
d dt
d 2 r(t) + d r(t) + r(t) = d e(t) + e(t)
(2) dt 2
dt
dt
e(t) = δ (t) 对应 系统冲激响应 h(t)：
d 2 h(t) + d h(t) + h(t) = δ ' (t) + δ (t)
dt 2
dt
(−1+ j 3 )t
(−1− j 3 )t
（3） dt 2
dt
dt
试判断在起始点是否发生跳变，据此对（1）（2）分别写出其 r(0+)值，对（3）写出 r(0+)
和 r’(0+)值。
(1) (1) 由于方程右边没有冲激函数 δ (t) 及其导数，所以在起始点没有跳变。
∴ r(0+ ) = r(0- ) = 0
d r(t) + 2r(t) = 3 d e(t)
−
i2
(t)
1
∫ C1
∫
C
i1dt + Li1' + Mi2' + Ri1 = e(t)
i2 dt
+
Li '2
+
Mi
' 1
+
Ri2
=
0
v0 (t) = −Ri2
图（b）：微分方程：
⇒
(L2
−
M
2)
d4 dt 4
v0 (t)
+
2RL
d3 dt 3
v0 (t)
+
(R2
+
2L) C
d2 dt 2
v0 (t)
= i1
+ C1L1
d2 dt 2
i1 (t)
⇒
CC1
d3 dt 3
v0
+[ C R1
+
C1 ] d 2 R dt 2
v0
+[C L1
+
1 ]d RR1 dt
v0
+
1 RL1
v0 (t0
=
µ R1
d dt
e(t)
∫ e(t)
=
Ri1 (t)
+
1 C
i1 (t)dt + µv1 (t)
图(d)微分方程：
+
2R C
d dt
v0 (t)
+
1 C2
v0 (t)
=
MR
d3 dt 3
e(t)
∫ v0 (t)
图(c)微分方程：
=
L1i
' 1
=
1 C1
i2 dt
⇒
d
dt d2 dt 2
i1 i1
= =
1 L1 1 L1
v0 (t) v '0 (t)
∫
i1
=
1 L1
v0 (t)dt
∵
i3
= i1
+ i2