平行四边形单元 易错题难题测试综合卷检测试题
人教版平行四边形单元 易错题难题综合模拟测评检测试题
人教版平行四边形单元易错题难题综合模拟测评检测试题一、选择题1．已知点A（4，0），B（0，﹣4），C（a，2a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD的长的最小值为（）A．655B．1255C．32D．422．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．63．如图，菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，∠DAB＝60°，作DH⊥AB于点H，连接OH，则OH的长为（）A．2 B．3 C．23D．434．点E是正方形ABCD对角线AC上，且EC=2AE，Rt△FEG的两条直角边EF、EG分别交BC、DC于M、N两点，若正方形ABCD的边长为a，则四边形EMCN的面积（）A．23a2B．14a2C．59a2D．49a25．如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 ( )A ．23B ．4C ．232+D ．423+6．如图，点E 在正方形ABCD 外，连接AE BE DE ，，，过点A 作AE 的垂线交DE 于F ，若210AE AF BF ===，，则下列结论不正确的是( )A ．AFD AEB ∆≅∆B ．点B 到直线AE 的距离为2C ．EB ED ⊥D ．16AFD AFB S S ∆∆+=+ 7．已知四边形ABCD 中，对角线BD 被AC 平分，那么再加上下述中的条件（ ） 可以得到结论: “四边形ABCD 是平行四边形”．A ．AB =CD B ．∠BAD=∠BCDC ．∠ABC=∠ADCD ．AC= BD8．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 的中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO.若∠COB ＝60°，FO ＝FC ，则下列结论：①FB ⊥OC ，OM ＝CM ；②△EOB ≌△CMB ；③四边形EBFD 是菱形；④MB ∶OE ＝3∶2.其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE ⊥AB 于 E ，PF ⊥AC 于 F ，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）A ．1B ．1.3C ．1.2D ．1.510．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 在MON ∠的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，4AB =，2BC =，则点D 到点O 的最大距离是（ ）A ．222-B ．222+C ．252-D ．22+二、填空题11．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，对角线长为1cm ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分的面积是_____．12．如图，正方形ABCD 中，DAC ∠的平分线交DC 于点E ，若P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．13．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为_____．14．如图,长方形纸片ABCD 中,AB ＝6 cm,BC ＝8 cm 点E 是BC 边上一点，连接AE 并将△AEB 沿AE 折叠, 得到△AEB′，以C ，E ，B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE 的长为___________cm.15．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是_________．16．在ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则DEF的周长为______．17．如图，在矩形ABCD中，∠ACB=30°，BC=23，点E是边BC上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，AE的中垂线FG分别交AE于点F，交AC于点G，连接DG，GE．设AG=a，则点G到BC边的距离为_____（用含a的代数式表示），ADG的面积的最小值为_____．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以BC为一边作正方形BDEC设正方形的对称中心为O，连接AO，则AO＝_____．19．在菱形ABCD中，M是AD的中点，AB＝4，N是对角线AC上一动点，△DMN 的周长最小是2+3BD的长为___________．20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D 落在AB 边的点F 处，得折痕AE ，再折叠，使点C 落在AE 边的点G 处，此时折痕恰好经过点B ，如果AD=a ，那么AB 长是多少？”常明说；“简单，我会. AB 应该是_____”.常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B ，而是经过了AB 边上的M 点，如果AD=a ，测得EC=3BM ，那么AB 长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.三、解答题21．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC .（1）求证：AEF CGH ∆≅∆（2）若ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+22．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．23．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ．（1）求证：四边形ECFG 是菱形；（2）连结BD 、CG ，若120ABC ∠=︒，则BDG ∆是等边三角形吗？为什么？ （3）若90ABC ∠=︒，10AB =，24AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长．24．综合与探究（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．CE 和CF 之间有怎样的关系．请说明理由．（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果45GCE ∠=︒，请你利用（1）的结论证明：GE BE CD =+．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90B ∠=︒，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，4BE =，求DE 的长．25．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC ，AD 于点E ，F ，连接BF ．（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE ＝OF ；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF 的形状，并证明你的结论； （3）若AB ＝1，BC 5BF ＝DF ，求旋转角度α的大小．26．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BD 与CF 的位置关系为__________；CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系____________________．（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系并加以证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由．27．如图①，已知正方形ABCD 的边长为3，点Q 是AD 边上的一个动点，点A 关于直线BQ 的对称点是点P ，连接QP 、DP 、CP 、BP ，设AQ =x ．（1）BP ＋DP 的最小值是_______，此时x 的值是_______；（2）如图②，若QP 的延长线交CD 边于点M ，并且∠CPD =90°．①求证：点M 是CD 的中点；②求x 的值．（3）若点Q 是射线AD 上的一个动点，请直接写出当△CDP 为等腰三角形时x 的值．28．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．29．如图，点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，垂足为B ，AC y ⊥轴，垂足为C ，点,D E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，45DAE ︒∠=.（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求DOE ∆的周长；（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设ADE ∆的面积为1S ，DOE ∆的面积为2S ，请猜想1S 与2S 之间的等量关系，并证明你的猜想.30．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．(1)如图1，求证：CF ⊥EF;(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据题意可判定此题需分两种情况讨论，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，根据垂直及F点坐标可先求的直线FC的函数解析式，进而通过求得点C坐标来求CD；如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝42，对比两种情况即可求得CD最小值.【详解】解：如图，由题意点C在直线y＝2x上，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，易知直线AB为y＝x﹣4，∵AF＝FB，∴点F坐标为（2，﹣2），∵CF⊥直线y＝2x，设直线CF为y＝﹣12x+b′F（2，﹣2）代入得b′＝﹣1∴直线CF为y＝﹣12x﹣1，由2112y xy x=⎧⎪⎨=--⎪⎩解得2545xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴点C坐标（25-，45-）．∴CD＝2CF＝2×22242255⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝125．如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝42＞1255，∴CD的最小值为1255．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，解本题的关键是找到何时CD最短.2．D解析：D【分析】连接AC、CE，CE交BD于P，此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案．【详解】解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP、PE，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC，AC⊥BD，即A和C关于BD对称，∴AP＝CP，即AP+PE＝CE，此时AP+PE的值最小，所以此时△PAE周长的值最小，∵正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，∴∠ABC＝90°，BE＝4﹣1＝3，由勾股定理得：CE＝5，∴△PAE的周长的最小值是AP+PE+AE＝CE+AE＝5+1＝6，故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质与轴对称——最短路径问题，知识点比较综合，属于较难题型.3．B解析：B【解析】【分析】由菱形四边形相等、OD=OB ，且每边长为6，再有∠DAB ＝60°，说明△DAB 为等边三角形，由DH ⊥AB ，可得AH=HB （等腰三角形三线合一），可得OH 就是AD 的一半，即可完成解答。
人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题难题综合模拟测评学能测试
人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评学能测试一、解答题1．已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点D重合），AB＝AE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF．提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：；（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：．2．如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的，连接CG．中点，延长AE至G，使EG AE（1）求证：AOE COF ∆≅∆；（2）四边形EGCF 是平行四边形吗？请说明理由；（3）若四边形EGCF 是矩形，则线段AB 、AC 的数量关系是______．3．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC BD ⊥，则2222AB CD AD BC +=+．（1）请帮助小明证明这一结论；（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE .已知4AC =，5AB =，求GE 的长，请你帮助小明解决这一问题．4．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC ，AD 于点E ，F ，连接BF ．（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE ＝OF ；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF 的形状，并证明你的结论； （3）若AB ＝1，BC 5BF ＝DF ，求旋转角度α的大小．5．在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上任意一点，连接,AE 过点B 作BF AE ⊥于F ，交AD 于H .()1如图1，过点D 作DG AE ⊥于G .求证:BF DG FG -=；()2如图2，点E 为CD 的中点，连接DF ，试判断,,DF FH EF 存在什么数量关系并说明理由；()3如图3，1AB =，连接EH ，点Р为EH 的中点，在点E 从点D 运动到点C 的过程中，点Р随之运动，请直接写出点Р运动的路径长.6．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE ＝，求证：CE CF ＝；拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠︒＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？ 运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠︒＝＝，16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠︒＝，4BE ＝，求DE 的长．7．如图1，在正方形ABCD （正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB ＝8，P 为线段BC 上一点，连接AP ，过点B 作BQ ⊥AP ，交CD 于点Q ，将△BQC 沿BQ 所在的直线对折得到△BQC ′，延长QC ′交AD 于点N ．（1）求证：BP ＝CQ ；（2）若BP ＝13PC ，求AN 的长； （3）如图2，延长QN 交BA 的延长线于点M ，若BP ＝x （0＜x ＜8），△BMC '的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．8．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAD 的平分线，则线段AB ，AD ，DC 之间的等量关系为 ；（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAF 的平分线，试探究线段AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论；（3）联想拓展：如图③，AB ∥CF ，E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，∠EDF ＝∠BAE ，试探究线段AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．9．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AC 的一点，连接EB ，过点A 做AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于点F ．（1）猜想：如图（1）线段OE 与线段OF 的数量关系为 ；（2）拓展：如图（2），若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，AM 、DB 的延长线相交于点F ，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由．10．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为 ；（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF的形状，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）DE2CF；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF＋CF＝2DF或|AF－CF|2【分析】（1）易证△BCD是等腰直角三角形，得出2CB，即可得出结果；（2）情况1：过点C作CG⊥CF，交DF于G，设BC交DF于P，由ASA证得△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，2CF，连接BE，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF是等腰直角三角形，则EF=BF，推出EF=DG，DE=FG，得出2CF；情况2：过点C作CG⊥CF交DF延长线于G，连接BE，设CD交BF于P，由ASA证得△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，得2CF，设∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF是等腰直角三角形，得出EF=BF，推出DE=FG，得出2CF；（3）①当F在BC的右侧时，作HD⊥DF交FA延长线于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得出∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF是等腰直角三角形，得2DF，DH=DF，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS证得△HDA≌△FDC，得CF=HA，即可得出2；②当F在AB的下方时，作DH⊥DE，交FC延长线于H，在DF上取点N，使CN=CD，连接BN，证明△BFN是等腰直角三角形，得BF=NF，由SSS证得△CNF≌△CBF，得∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°，则△DFH是等腰直角三角形，得2，DF=DH，由SAS证得△ADF≌△CDH，得出CH=AF，即可得出AF+CF=2DF；③当F在DC的上方时，连接BE，作HD⊥DF，交AF于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF是等腰直角三角形，得出HF=2DF，DH=DF，由SAS证得△ADC≌△HDF，得出AH=CF，即可得出AF-CF=2DF；④当F在AD左侧时，作HD⊥DF交AF的延长线于H，连接BE，设AD交BF于P，证明△BFE是等腰直角三角形，得EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则∠DFH=∠EFA=45°，△HDF是等腰直角三角形，得DH=DF，HF=2DF，由SAS证得△HDA≌△FDC，得出AF=CF，即可得出CF-AF=2DF．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BCD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴DB=2CB，当点E、F与点B重合时，则DE=2CF，故答案为：DE=2CF；（2）在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：情况1：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB=AD=AB=AE，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，过点C作CG⊥CF，交DF于G，如图②所示：则∠BCD=∠GCF=90°，∴∠DCG=∠BCF，设BC交DF于P，∵BF⊥DE，∴∠BFD=∠BCD=90°，∵∠DPC=∠FPB，∴∠CDP=∠FBP，在△CDG和△CBF中，DCG BCF CD CBCDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ），∴DG=FB ，CG=CF ，∴△GCF 是等腰直角三角形，∴FG=2CF，连接BE ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠ADE=90°-α，∵AD=AE ，∴∠DEA=∠ADE=90°-α，∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α，∴∠EAB=90°-2α，∵AB=AE ，∴∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB ）=12（180°-90°+2α）=45°+α， ∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α，∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°，∵BF ⊥DE ，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，∴EF=DG ，∴EF+EG=DG+EG ，即DE=FG ，∴DE=2CF ；情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，如图③所示：∵∠GCF=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCF ，∵∠FPD=∠BPC ，∴∠FDP=∠PBC ，在△CDG 和△CBF 中，DCG BCF CD CBCDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ），∴DG=FB ，CG=CF ，∴△GCF 是等腰直角三角形，∴FG=2CF ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，同理可知：∠DEA=∠ADE=90°-α，∠DAE=2α，∴∠EAB=90°+2α，∵AB=AE ，∴∠BEA=∠ABE=45°-α，∴∠FEB=∠DEA-∠AEB=90°-α-（45°-α）=45°，∵BF ⊥DE ，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，∴EF=DG ，∴DE=FG ，∴DE=2CF ；（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，如图④所示：由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中，AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ），∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，∴HF=2DF ，DH=DF ，∵∠HDF=∠ADC=90°，∴∠HDA=∠FDC ，在△HDA 和△FDC 中，DH DF HDA FDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△HDA ≌△FDC （SAS ），∴CF=HA ，∴2DF=HF=HA+AF=CF+AF ，即AF+CF=2DF ；②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，如图⑤所示：设∠DAE=α，则∠CDN=∠CND=90°-α，∴∠DCN=2α，∴∠NCB=90°-2α，∵CN=CD=CB ，∴∠CNB=∠CBN=12（180°-∠NCB ）=12（180°-90°+2α）=45°+α， ∵∠CNE=180°-∠CND=180°-（90°-α）=90°+α，∴∠FNB=90°+α-（45°+α）=45°，∴△BFN 是等腰直角三角形，∴BF=NF ，在△CNF 和△CBF 中，CN CB CF CF NF BF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CNF ≌△CBF （SSS ），∴∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°， ∴△DFH 是等腰直角三角形，∴FH=2DF ，DF=DH ，∵∠ADC=∠HDE=90°，∴∠ADF=∠CDH ，在△ADF 和△CDH 中，AD CD ADF CDH DF DH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△CDH （SAS ），∴CH=AF ，∴FH=CH+CF=AF+CF ，∴AF+CF=2DF ；③当F 在DC 的上方时，连接BE ，作HD ⊥DF ，交AF 于H ，如图⑥所示：由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中，AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ），∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，∴2，DH=DF ，∵∠ADC=∠HDF=90°，∴∠ADH=∠CDF ，在△ADC 和△HDF 中，AD CD ADH CDF DH DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC ≌△HDF （SAS ），∴AH=CF ，∴HF=AF-AH=AF-CF ，∴AF-CF=2DF ；④当F 在AD 左侧时，作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ，连接BE ，设AD 交BF 于P ，如图⑦所示：∵AB=AE=AD ，∴∠AED=∠ADE ，∵∠PFD=∠PAB=90°，∠FPD=∠BPA ，∴∠ABP=∠FDP ，∴∠FEA=∠FBA ，∵AB=AE ，∴∠AEB=∠ABE ，∴∠FEB=∠FBE ，∴△BFE 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中， AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ），∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴∠DFH=∠EFA=45°，∴△HDF 是等腰直角三角形，∴DH=DF ，DF ，∵∠HDF=∠CDA=90°，∴∠HDA=∠FDC ，在△HDA 和△FDC 中，DH DF HDA FDC AD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△HDA ≌△FDC （SAS ），∴AF=CF ，∴AH-AF=CF-AF=HF ，∴DF ，综上所述，线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系：DF 或DF ， 故答案为：DF 或DF ．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．2．（1）见解析；（2）四边形EGCF 为平行四边形，理由见解析；（3）AC=2AB ．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OE=OF 即可证得结论；（2）利用AOE COF ∆≅∆得到∠EAO=∠FCO ，AE=CF ，由此推出AE ∥CF ，EG=CF 即可证得四边形EGCF 是平行四边形；（3）AC=2AB ，根据平行四边形的性质推出AB=AO ，利用点E 是OB 的中点，得到AG ⊥OB ，即可得到四边形EGCF 是矩形.【详解】（1）四边形ABCD 为平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，12OE OB ∴=，12OF OD =， 则OE OF =，在AOE ∆与COF ∆中OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOE COF ∴∆≅∆；（2）AOE COF ∆≅∆，EAO FCO ∴∠=∠，AE CF =，//AE CF ∴，又GE AE =，GE CF ∴=，∴四边形EGCF 为平行四边形；（3）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形.∵AC=2AB ，AC=2AO ，∴AB=AO ，∵点E 是OB 的中点，∴AG ⊥OB ，∴∠GEF=90°，∴四边形EGCF 是矩形.故答案为：AC=2AB .【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，矩形的判定定理，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.3．（1）证明见解析；（2）73．【分析】（1）由题意根据勾股定理分别表示出2222,AB CD AD BC ++进行分析求证即可；（2）根据题意连接CG 、BE ，证明△GAB ≌△CAE ，进而得BG ⊥CE ，再根据（1）的结论进行分析即可求出答案．【详解】解：（1）∵AC ⊥BD ，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，222222AD BC AO DO BO CO +=+++，222222AB CD AO BO CO DO +=+++，∴2222AD BC AB CD +=+；（2）连接CG 、BE ，如图2，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ，在△GAB 和△CAE 中，AG AC GAB CAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAB ≌△CAE （SAS ），∴∠ABG=∠AEC ，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE ⊥BG ，由（1）得，2222CG BE CB GE +=+，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，，，∴222273GE CG BE CB =+-=，∴【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，熟练并正确理解全等三角形的判定和性质以及灵活运用勾股定理是解题的关键．4．（1）证明见解析；（2）平行四边形，理由见解析；（3）45°【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠OAF ＝∠OCE ，OA ＝OC ，进而判断出△AOF ≌△COE ，即可得出结论；（2）先判断出∠BAC ＝∠AOF ，得出AB ∥EF ，即可得出结论；（3）先求出AC ＝2，进而得出A ＝1＝AB ，即可判断出△ABO 是等腰直角三角形，进一步判断出△BFD 是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一得出∠BOF ＝90°，即可得出结论．【详解】（1）证明：在▱ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠OAF ＝∠OCE ，∵OA ＝OC ，∠AOF ＝∠COE ，∴△AOF ≌△COE （ASA ），∴OE ＝OF ；（2）当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形，理由：∵AB ⊥AC ，∴∠BAC ＝90°，∵∠AOF ＝90°，∴∠BAC ＝∠AOF ，∴AB ∥EF ，∵AF ∥BE ，∴四边形ABEF是平行四边形；（3）在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝5，∴AC＝22BC AB＝2，∴OA＝1＝AB，∴△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵BF＝DF，∴△BFD是等腰三角形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∴OF⊥BD（等腰三角形底边上的中线是底边上的高），∴∠BOF＝90°，∴∠α＝∠AOF＝∠BOF﹣∠AOB＝45°．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，判断出△ABO是等腰直角三角形是解本题的关键．5．（1）见解析；（2）FH+FE=2DF，理由见解析；（3）2 2【分析】（1）如图1中，证明△AFB≌△DGA（AAS）可得结论．（2）结论：FH+FE=2DF．如图2中，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J，证明四边形DKFJ是正方形，可得结论．（3）如图3中，取AD的中点J，连接PJ，延长JP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K．设PT=b．证明△KPJ是等腰直角三角形，推出点P在线段JR上运动，求出JR即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵DG⊥AE，AE⊥BH，∴∠AFB=∠DGH=90°，∴∠FAB+∠DAG=90°，∠DAG+∠ADG=90°，∴∠BAF=∠ADG，∴△AFB≌△DGA（AAS），∴AF=DG，BF=AG，∴BF-DG=AG-AF=FG．（2）结论：FH+FE=2DF．理由：如图2中，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ADE=90°，AB=AD，∵AE⊥BH，∴∠AFB=90°，∴∠DAE+∠EAB=90°，∠EAB+∠ABH=90°，∴∠DAE=∠ABH，∴△ABH≌△DAE（ASA），∴AH=AE，∵DE=EC=12CD，CD=AD，∴AH=DH，∴DE=DH，∵DJ⊥BJ，DK⊥AE，∴∠J=∠DKE=∠KFJ=90°，∴四边形DKFJ是矩形，∴∠JDK=∠ADC=90°，∴∠JDH=∠KDE，∵∠J=∠DKE=90°，∴△DJH≌△DKE（AAS），∴DJ=DK，JH=EK，∴四边形DKFJ是正方形，∴FK=FJ=DK=DJ，∴2FJ，∴FH+FE=FJ-HJ+FK+KE=2FJ=2DF；（3）如图3中，取AD的中点J，连接PJ，延长JP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K．设PT=b．∵△ABH≌△DAE，∴AH=DE，∵∠EDH=90°，HP=PE，∴PD=PH=PE，∵PK⊥DH，PT⊥DE，∴∠PKD=∠KDT=∠PTD=90°，∴四边形PTDK是矩形，∴PT=DK=b，PK=DT，∵PH=PD=PE，PK⊥DH，PT⊥DE，∴DH=2DK=2b，DE=2DT，∴AH=DE=1-2b，∴PK=12DE=12-b，JK=DJ-DK=12-b，∴PK=KJ，∵∠PKJ=90°，∴∠KJP=45°，∴点P在线段JR上运动，∵2DJ=22，∴点P的运动轨迹的长为22．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．6．（1）见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析；（3）68 5【分析】（1）利用已知条件，可证出△BCE ≌△DCF (SAS )，即可得到CE=CF ；（2）借助（1）的结论得出∠BCE =∠DCF ，再通过角的计算得出∠GCF =∠GCE ，由SAS 可得△ECG ≌△FCG ，则EG=GF ，从而得出GE=DF+GD=BE+GD ；（3）过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ，先证四边形ABCG 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)，再设DE =x ，利用（1）、（2）的结论，在Rt △AED 中利用勾股定理构造方程即可求出DE ．【详解】（1）证明：如图①，在正方形ABCD 中，BC=CD ，∠B =∠ADC =90°，∴∠CDF=90°，即∠B =∠CDF =90°，在△BCE 和△DCF 中，BC DC B CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF (SAS )，∴CE=CF ；（2）解：如图①，GE=BE+GD 成立，理由如下：由（1）得△BCE ≌△DCF ，∴∠BCE=∠DCF ，∴∠ECD +∠ECB=∠ECD +∠FCD ，即∠ECF =∠BCD =90°，又∵∠GCE =45°，∴∠GCF =∠ECF −∠ECG =45°，则∠GCF=∠GCE ，在△GEC 和△GFC 中，CE CF GCE GCF GC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GEC ≌△GFC (SAS )，∴EG=GF ，∴GE=DF+GD=BE+GD ；（3）解：如图②，过C 作CG ⊥AD 于G ，∴∠CGA=90°，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠B =90°，∴四边形ABCG 为矩形，又∵AB=BC ，∴四边形ABCG 为正方形，∴AG =BC=AB =16，∵∠DCE =45°，由（1）和（2）的结论可得：ED=BE+DG ，设DE=x ，∵4BE ＝，∴AE =12，DG=x −4，∴AD =AG −DG =20−x在Rt △AED 中，由勾股定理得：DE 2=AD 2+AE 2，即x 2=(20−x )2+122 解得：685=x ， 即685=DE ． 【点睛】本题是一道几何综合题，内容主要涉及全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力，是一道好题．7．（1）见解析；（2）4.8；（3）1282x x- 【分析】（1）证明△ABP ≌△BCQ 即可得到结论；（2）证明Rt △ABN ≌△Rt △C 'BN 求出DQ ，设AN ＝NC '＝a ，则DN ＝8﹣a ，利用勾股定理即可求出a ；（3）过Q 点作QG ⊥BM 于G ，设MQ ＝BM ＝y ，则MG ＝y ﹣x ，利用勾股定理求出MQ ，再根据面积相减得到答案.【详解】解：（1）证明：∵∠ABC ＝90°∴∠BAP +∠APB ＝90°∵BQ ⊥AP∴∠APB +∠QBC ＝90°，∴∠QBC ＝∠BAP ，在△ABP 于△BCQ 中， ABP BCQ AB BCBAP QBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABP≌△BCQ（ASA），∴BP＝CQ，（2）由翻折可知，AB＝BC'，连接BN，在Rt△ABN和Rt△C'BN中，AB＝BC'，BN＝BN，∴Rt△ABN≌△Rt△C'BN（HL），∴AN＝NC'，∵BP＝13PC，AB＝8，∴BP＝2＝CQ，CP＝DQ＝6，设AN＝NC'＝a，则DN＝8﹣a，∴在Rt△NDQ中，（8﹣a）2+62＝（a+2）2解得：a＝4．8，即AN＝4．8．（3）解：过Q点作QG⊥BM于G，由（1）知BP＝CQ＝BG＝x，BM＝MQ．设MQ＝BM＝y，则MG＝y﹣x，∴在Rt△MQG中，y2＝82+（y﹣x）2，∴322xyx=+．∴S△BMC′＝S△BMQ﹣S△BC'Q＝1122BM QG BC QC''⋅-⋅,＝1321()88 222xxx+⨯-⨯，＝1282x x．【点睛】此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理，正确理解题意画出图形辅助做题是解题的关键.8．（1）AD＝AB+DC；（2）AB＝AF+CF，证明详见解析；（3）AB＝DF+CF，证明详见解析．【分析】（1）结论：AD＝AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），即可推出AB＝CF，再证明DA＝DF，即可解决问题．（2）结论：AB＝AF+CF，如图②，延长AE交DF的延长线于点G，证明方法类似（1）．（3）结论；AB＝DF+CF．如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明方法类似（1）．【详解】解：（1）探究问题：结论：AD＝AB+DC．理由：如图①中，延长AE，DC交于点F，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠F，在△ABE和△FCE中，CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FEC（AAS），∴CF＝AB，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠FAD＝∠F，∴AD＝DF，∵DC+CF＝DF，∴DC+AB＝AD．故答案为AD＝AB+DC．（2）方法迁移：结论：AB＝AF+CF．证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E 是BC 的中点，∴CE ＝BE ，∵AB ∥DC ，∴∠BAE ＝∠G ．且BE ＝CE ，∠AEB ＝∠GEC∴△AEB ≌△GEC （AAS ）∴AB ＝GC∵AE 是∠BAF 的平分线∴∠BAG ＝∠FAG ，∵∠BAG ∠G ，∴∠FAG ＝∠G ，∴FA ＝FG ，∵CG ＝CF+FG ，∴AB ＝AF+CF ．（3）联想拓展：结论；AB ＝DF+CF ．证明：如图③，延长AE 交CF 的延长线于点G ，∵E 是BC 的中点，∴CE ＝BE ，∵AB ∥CF ，∴∠BAE ＝∠G ，在△AEB 和△GEC 中，BAE G AEB GEC BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB ≌△GEC ，∴AB ＝GC ，∵∠EDF ＝∠BAE ，∴∠FDG ＝∠G ，∴FD ＝FG ，∴AB ＝DF+CF ．【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．9．（1）OE OF =;（2）成立.理由见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB=OA ，又因为AM ⊥BE ，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE ，从而求证出Rt △BOE ≌Rt △AOF ，得到OE=OF. （2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB=OA ，再根据已知条件求证出Rt △BOE ≌Rt △AOF ，得到OE=OF.【详解】解：（1）正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AM ⊥BE ，∴∠AOB=∠BOE=∠AMB=90°，∵∠AFO=∠BFM （对顶角相等），∴∠OAF=∠OBE （等角的余角相等），又OA=OB （正方形的对角线互相垂直平分且相等），∴△BOE ≌△AOF （ASA ），∴OE=OF.故答案为：OE=OF ；（2）成立.理由如下：证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴90BOE AOF ∠=∠=︒，OB OA =又∵AM BE ⊥，∴90F MBF ∠+∠=︒，90E OBE ∠+∠=︒，又∵MBF OBE ∠=∠∴F E ∠=∠∴BOE AOF ∆≅∆，∴OE OF =【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，并运用了类比的思想，两个问题都是证明BOE AOF ∆≅∆解决问题.10．（1）证明见解析；（2）菱形；（3）四边形AEGF 是矩形，理由见解析．【分析】（1）根据平行线的性质得到BDE A ∠=∠，根据题意得到DEFBDE ∠=∠，根据平行线的判定定理得到//AD EF ，根据平行四边形的判定定理证明；（2）根据三角形中位线定理得到12DE AC =，得到AD DE =，根据菱形的判定定理证明； （3）根据等腰三角形的性质得到AE EG ⊥，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．【详解】（1）证明：//DE AC ，BDE A ∴∠=∠，DEF A ∠=∠，DEF BDE ∴∠=∠，//AD EF ∴，又//DE AC ，∴四边形ADEF 为平行四边形；（2）解：ADEF 的形状为菱形， 理由如下：点D 为AB 中点， 12AD AB ∴=， //DE AC ，点D 为AB 中点，12DE AC ∴=， AB AC =，AD DE ∴=，∴平行四边形ADEF 为菱形，故答案为：菱形；（3）四边形AEGF 是矩形，理由如下：由（1）得，四边形ADEF 为平行四边形，//AF DE ∴，AF DE =，EG DE ，//AF DE ∴，AF GE =，∴四边形AEGF 是平行四边形，AD AG ，EG DE =，AE EG ∴⊥，∴四边形AEGF 是矩形．【点睛】本题考查的是平行四边形、矩形、菱形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．。
八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题测试综合卷学能测试试卷
八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题测试综合卷学能测试试卷一、解答题1．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形； （2）若5AE =，3OE =，求线段CE 的长．2．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．（1）如图（1），当90GOD ∠=︒， ①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，5HG =，求DE 的长． 3．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．（1）求证：GF GC =；（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．4．如图①，已知正方形ABCD 的边长为3，点Q 是AD 边上的一个动点，点A 关于直线BQ 的对称点是点P ，连接QP 、DP 、CP 、BP ，设AQ =x ． （1）BP ＋DP 的最小值是_______，此时x 的值是_______； （2）如图②，若QP 的延长线交CD 边于点M ，并且∠CPD =90°． ①求证：点M 是CD 的中点；②求x 的值．（3）若点Q 是射线AD 上的一个动点，请直接写出当△CDP 为等腰三角形时x 的值．5．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，． ①求证：13h h =；②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．6．如图，ABC ADC ∆≅∆，90,ABC ADC AB BC ︒∠=∠==，点F 在边AB 上，点E 在边AD 的延长线上，且,DE BF BG CF =⊥，垂足为H ，BH 的延长线交AC 于点G .（1）若10AB =，求四边形AECF 的面积； （2）若CG CB =，求证：2BG FH CE +=.7．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAD 的平分线，则线段AB ，AD ，DC之间的等量关系为；（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAF 的平分线，试探究线段AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论；（3）联想拓展：如图③，AB ∥CF ，E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，∠EDF ＝∠BAE ，试探究线段AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．8．在正方形AMFN 中，以AM 为BC 边上的高作等边三角形ABC ，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至点D ，D 点恰好落在NF 上，连接BD ，AC 与BD 交于点E ，连接CD ， (1)如图1，求证：△AMC ≌△AND ； (2)如图1，若DF=3，求AE 的长；(3)如图2,将△CDF 绕点D 顺时针旋转α（090α<<）,点C,F 的对应点分别为1C 、1F ，连接1AF 、1BC ，点G 是1BC 的中点,连接AG ，试探索1AGAF 是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.9．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD =90°，AB =AD =10cm ，BC =8cm 。
人教版平行四边形单元 易错题难题测试综合卷学能测试
一、选择题1．在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 上的一动点，E 为AD 中点，PE 交CD 延长线于Q ，过E 作EF PQ ⊥交BC 的延长线于F ，则下列结论：①APE DQE ∆≅∆；②PQ EF =；③当P 为AB 中点时，2CF =；④若H 为QC 的中点，当P 从A 移动到B 时，线段EH 扫过的面积为12，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①②④C ．②③④D ．①②③2．如图，正方形ABCD 中，点E F 、分别在边BC CD 、上，且AE EF FA ==，有下列结论：①ABE ADF ∆≅∆；②CE CF =；③75AEB ∠=︒；④BE DF EF +=；⑤A ABE DF CEF S S S ∆∆∆+=；其中正确的有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 、H 分别是AB 、BC 、CD 的中点，CE 、DF 交于点G,连接AG 、HG ．下列结论：①CE ⊥DF ；②AG=DG;③∠CHG=∠DAG ．其中，正确的结论有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．如图，111A B C ∆中，114A B =，115AC =，117B C =．点2A 、2B 、2C 分别是边11B C 、11A C 、11A B 的中点；点3A 、3B 、3C 分别是边22B C 、22A C 、22A B 的中点；；以此类推，则第2019个三角形的周长是（ ）A ．201412B ．201512 C ．201612 D ．2017125．如图，P 为ABCD 内一点，过点P 分别作AB ，AD 的平行线，交 ABCD 的四边于E 、F 、G 、H 四点，若BHPE 面积为6，GPFD 面积为4，则APC △的面积为( )A ．23B ．32C ．1D ．26．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 的中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO.若∠COB ＝60°，FO ＝FC ，则下列结论：①FB ⊥OC ，OM ＝CM ；②△EOB ≌△CMB ；③四边形EBFD 是菱形；④MB ∶OE ＝3∶2.其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE ⊥AB 于 E ，PF ⊥AC 于 F ，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）A ．1B ．1.3C ．1.2D ．1.58．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝1，CE ＝3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是（ ）A ．2B ．52C ．332D ．5 9．如图，在ABCD 中，2,AB AD F =是CD 的中点，作BE AD ⊥于点E ，连接EF BF 、，下列结论:①CBF ABF ∠=∠；②FE FB =；③2EFB S S ∆=四边形DEBC ；④3BFE DEF ∠=∠；其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 为边BC 上一点，且12BD CD =．点E ，F 分别在边,AB AC 上，且90,EDF M ︒∠=为边EF 的中点，连接CM 交DF 于点N ．若//DF AB ，则CM 的长为( )A 233B 334C 536D 3二、填空题11．在平行四边形ABCD 中， BC 边上的高为4 ，AB =5 ，25AC =，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．12．如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为 ．13．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边CD 的中点，点P 在线段AB 上运动，F 是CP 的中点，则CEF ∆的周长的最小值是____________．14．如图，以Rt ABC 的斜边AB 为一边，在AB 的右侧作正方形ABED ，正方形对角线交于点O ，连接CO ，如果AC=4，CO=62，那么BC=______．15．如图，动点E F 、分别在正方形ABCD 的边AD BC 、上，AE CF =，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连接BG ，若4AB =，则线段BG 长的最小值为_________．16．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ；②BG ⊥CE ；③AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC ．其中正确的是_________．17．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．18．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填序号）．19．在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交边 BC 于 E ，DF 平分∠ADC 交边 BC 于 F ，若 AD=11，EF=5，则 AB= ___．20．如图所示，已知AB ＝ 6，点C ，D 在线段AB 上，AC ＝DB ＝ 1，P 是线段CD 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是_________．三、解答题21．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．（1）求证：AOE COF ∆≅∆；（2）四边形EGCF 是平行四边形吗？请说明理由；（3）若四边形EGCF 是矩形，则线段AB 、AC 的数量关系是______．22．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，5HG =，求DE 的长．23．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．（1）求证：GF GC =；（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．24．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==． 动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________． （2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ∆是等腰三角形，求相应t 的值．25．在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上任意一点，连接,AE 过点B 作BF AE ⊥于F ，交AD 于H .()1如图1，过点D 作DG AE ⊥于G .求证:BF DG FG -=；()2如图2，点E 为CD 的中点，连接DF ，试判断,,DF FH EF 存在什么数量关系并说明理由；()3如图3，1AB =，连接EH ，点Р为EH 的中点，在点E 从点D 运动到点C 的过程中，点Р随之运动，请直接写出点Р运动的路径长.26．在平面直角坐标中，四边形OCNM 为矩形，如图1，M 点坐标为（m ，0），C 点坐标为（0，n ），已知m ，n 550n m --=．（1）求m ，n 的值；（2）①如图1，P ，Q 分别为OM ，MN 上一点，若∠PCQ ＝45°，求证：PQ ＝OP+NQ ； ②如图2，S ，G ，R ，H 分别为OC ，OM ，MN ，NC 上一点，SR ，HG 交于点D ．若∠SDG ＝135°，55HG 2=，则RS ＝______； （3）如图3，在矩形OABC 中，OA ＝5，OC ＝3，点F 在边BC 上且OF ＝OA ，连接AF ，动点P 在线段OF 是（动点P 与O ，F 不重合），动点Q 在线段OA 的延长线上，且AQ ＝FP ，连接PQ 交AF 于点N ，作PM ⊥AF 于M ．试问：当P ，Q 在移动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若不变求出线段MN 的长度；若变化，请说明理由．27．已知正方形ABCD 与正方形（点C 、E 、F 、G 按顺时针排列），是的中点，连接，.（1）如图1，点E 在上，点在的延长线上，求证：DM =ME ，DM ⊥.ME简析： 由是的中点，AD ∥EF ，不妨延长EM 交AD 于点N ，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE 是 三角形,进而得出结论. （2）如图2， 在DC 的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C 、E 、F 、G 按顺时针排列.若点E 在直线CD 上，则DM= ;若点E 在直线BC 上，则DM= .28．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 3D 在1l 上以每秒3322+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB与CD相交于点E，P为x轴上另一动点.(1)求直线AB的解析式，并求出t的值.(2)当PE+PD取得最小值时，求222++⋅的值.PD PE PD PE(3)设P的运动速度为1，若P从B点出发向右运动，运动时间为x，请用含x的代数式表示△PAE的面积.29．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．（1）如图1，①∠BEC=_________°；②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB=4，AH=2，求NE的长．30．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：（1）PC＝cm．（用t的代数式表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】利用正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识依次判断即可；【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=90°，∵∠A=∠EDQ，∠AEP=∠QED，AE=ED，∴△AEP≌△DEQ，故①正确，②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，∴∠PGQ=∠EMF=90°，∵EF⊥PQ，∴∠PEF=90°，∴∠PEN+∠NEF=90°，∵∠NPE+∠NEP=90°，∴∠NPE=∠NEF，∵PG=EM，∴△EFM≌△PQG，∴EF=PQ，故②正确，③连接QF．则QF=PF，PB2+BF2=QC2+CF2，设CF=x，则（2+x）2+12=32+x2，∴x=1，故③错误，④当P在A点时，Q与D重合，QC的中点H在DC的中点S处，当P运动到B时，QC的中点H与D重合，故EH扫过的面积为△ESD的面积=12，故④正确，则正确的是①②④，故选B．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，难度较大．2．C解析：C【分析】由已知得AB AD =，AE AF =，利用“HL ”可证ABE ADF ∆≅∆，利用全等的性质判断①②③正确，在AD 上取一点G ，连接FG ，使AG GF =，由正方形，等边三角形的性质可知15DAF ∠=︒，从而得30DGF ∠=︒，设1DF =，则2AG GF ==，3DG =，分别表示AD ，CF ，EF 的长，判断④⑤的正确性．【详解】解：AB AD =，AE AF EF ==，()ABE ADF HL ∴∆≅∆，AEF ∆为等边三角形，BE DF ∴=，又BC CD =，CE CF ∴=，11()(9060)1522BAE BAD EAF ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，9075AEB BAE ∴∠=︒-∠=︒， ∴①②③正确，在AD 上取一点G ，连接FG ，使AG GF =，则15DAF GFA ∠=∠=︒，230DGF DAF ∴∠=∠=︒，设1DF =，则2AG GF ==，3DG =23AD CD ∴==+13CF CE CD DF ==-=226EF CF ∴==2BE DF +=，∴④错误，⑤12232ABE ADF S S AD DF ∆∆+=⨯⨯=1232CEF S CE CF ∆=⨯=∴⑤正确．∴正确的结论有：①②③⑤．故选C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是利用全等三角形的性质，把条件集中到直角三角形中，运用勾股定理求解．3．C解析：C【分析】连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，容易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，容易证得CE⊥DF与AH⊥DF，故①正确；根据垂直平分线的性质，即可证得AG=AD，继而AG=DC，而DG≠DC，所以AG≠DG，故②错误；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG=12 DC，∠CHG=2∠GDC，根据等腰三角形的性质，即可得∠DAG=2∠DAH=2∠GDC．所以∠DAG=∠CHG，④正确，则问题得解．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°，∵点E. F. H分别是AB、BC、CD的中点，∴BE=FC∴△BCE≌△CDF，∴∠ECB=∠CDF，∵∠BCE+∠ECD=90°，∴∠ECD+∠CDF=90°，∴∠CGD=90°，∴CE⊥DF，故①正确；连接AH，同理可得：AH⊥DF，∵CE⊥DF，∴△CGD为直角三角形，∴HG=HD=12 CD，∴DK=GK，∴AH垂直平分DG，∴AG=AD=DC，在Rt △CGD 中，DG≠DC ，∴AG≠DG ，故②错误；∵AG=AD, AH 垂直平分DG∴∠DAG=2∠DAH,根据①，同理可证△ADH ≌△DCF∴∠DAH=∠CDF ，∴∠DAG=2∠CDF,∵GH=DH ，∴∠HDG=∠HGD ，∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF ，∴∠GHC=∠DAG ，故③正确，所以①和③正确选择C.【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用边角边，容易证明△BCE ≌△CDF ，从而根据全等三角形的性质和等量代换即可证∠ECD+∠CDF=90°，从而①可证；证②时，可先证AG=DC ，而DG≠DC ，所以②错误；证明③时，可利用等腰三角形的性质，证明它们都等于2∠CDF 即可.4．A解析：A【分析】根据三角形的中位线可得，B 2C 2，A 2B 2，A 2C 2分别等于12B 1C 1，12A 1B 1，12A 1C 1，所以△A 2B 2C 2的周长等于△A 1B 1C 1周长的一半.进而推出第n 个三角形的周长【详解】 解：∵114A B =，115AC =，117B C =,∴△A 1B 1C 1的周长是16,∵点2A 、2B 、2C 分别是边11B C 、11A C 、11A B 的中点,∴B 2C 2，A 2B 2，A 2C 2分别等于12B 1C 1，12A 1B 1，12A 1C 1, 以此类推，则△A 4B 4C 4的周长是31×16=22 , ∴△A n B n C n 的周长是4n 122- , ∴当n=2019时，第2019个三角形的周长是=42018201421=22, 故选：A.【点睛】本题主要考查了三角形的中位线，解题的关键是找出题目的规律.5．C解析：C【分析】根据平行四边形的性质得到四个平行四边形，且S△ AEP=S△ AGP，S△PHC=S△ PFC，S△ABC= S△ADC，利用面积比较的关系即可求出答案.【详解】由题意知：四边形BHPE、四边形AEPG、四边形HCFP、四边形GPFD均为平行四边形，∴S△ AEP=S△ AGP，S△PHC=S△ PFC，S△ABC= S△ADC，又S△ABC=S△AEP+S四边形BHPE+S△PHC-S△APC①，S△ADC=S△AGP+S四边形GPFD+S△PFC+S△APC②，②-①得，0=S四边形BHPE -S四边形GPFD+2S△APC，即2S△APC=6-4=2，S△APC=1.故选：C.【点睛】此题考查平行四边形的性质，平行四边形一条对角线将平行四边形的面积平分.6．C解析：C【解析】连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，在△OBF与△CBF中，FO FC BF BF OB BC⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°，∴∠ABO=∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，易证△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，∴③正确，∵△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB错误．∴②错误，∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，∴∵OE=OF，∴MB：OE=3：2，∴④正确；故选C．点睛：本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识，会综合运用这些知识点解决问题是解题的关键. 7．C解析：C【分析】首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM=12AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利用面积相等求出AP的长，即可得AM.【详解】在△ABC中，因为AB2+AC2=BC2，所以△ABC为直角三角形，∠A=90°，又因为PE⊥AB，PF⊥AC，故四边形AEPF为矩形，因为M 为 EF 中点，所以M 也是 AP中点，即AM=12 AP，故当AP⊥BC时，AP有最小值，此时AM最小，由1122ABCS AB AC BC AP=⨯⨯=⨯⨯，可得AP=125，AM=12AP=61.25=故本题正确答案为C.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP⊥BC时AM最小是解题关键.8．D解析：D【分析】根据正方形的性质得到AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出∠ACF=90°，得到CH=12AF，根据勾股定理求出AF的长度即可得到答案.【详解】∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF-AB=3-1=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴CH=12 AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=22224225AM MF+=+=，∴CH=5，故选：D．【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，正确引出辅助线得到∠ACF=90°是解题的关键.9．C解析：C【分析】由平行四边形的性质结合AB=2AD ，CD=2CF 可得CF=CB ，从而可得∠CBF=∠CFB ，再根据CD ∥AB ，得∠CFB=∠ABF ，继而可得CBF ABF ∠=∠，可以判断①正确；延长EF 交BC 的延长线与M ，证明△DFE 与△CFM(AAS)，继而得EF=FM=12EM ，证明∠CBE=∠AEB=90°，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可判断②正确；由上可得S △BEF =S △BMF ，S △DFE =S △CFM ，继而可得S △EBF =S △BMF =S △EDF +S △FBC ，继而可得2EFB S S ∆=四边形DEBC ，可判断③正确；过点F 作FN ⊥BE ，垂足为N ，则∠FNE=90°，则可得AD//FN ，则有∠DEF=∠EFN ，根据等腰三角形的性质可得∠BFE=2∠EFN ，继而得∠BFE=2∠DEF ，判断④错误.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AB=CD ，AD//BC ，∵AB=2AD ，CD=2CF ，∴CF=CB ，∴∠CBF=∠CFB ，∵CD ∥AB ，∴∠CFB=∠ABF ，∴CBF ABF ∠=∠，故①正确；延长EF 交BC 的延长线与M ，∵AD//BC ，∴∠DEF=∠M ，又∵∠DFE=∠CFM ，DF=CF ，∴△DFE 与△CFM(AAS)，∴EF=FM=12EM ， ∵BF ⊥AD ，∴∠AEB=90°，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠CBE=∠AEB=90°，∴BF=12EM ， ∴BF=EF ，故②正确；∵EF=FM ，∴S △BEF =S △BMF ，∵△DFE ≌△CFM ，∴S △DFE =S △CFM ，∴S △EBF =S △BMF =S △EDF +S △FBC ，∴2EFB S S ∆=四边形DEBC ，故③正确；过点F 作FN ⊥BE ，垂足为N ，则∠FNE=90°，∴∠AEB=∠FEN ，∴AD//EF ，∴∠DEF=∠EFN ，又∵EF=FB ，∴∠BFE=2∠EFN ，∴∠BFE=2∠DEF ，故④错误，所以正确的有3个，故选C.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判断与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.10．C解析：C【分析】根据等边三角形边长为2，在Rt BDE ∆中求得DE 的长，再根据CM 垂直平分DF ，在Rt CDN ∆中求得CN ，利用三角形中位线求得MN 的长，最后根据线段和可得CM 的长．【详解】 解：等边三角形边长为2，12BD CD =， ∴23BD =，43CD =， 等边三角形ABC 中，//DF AB ，60FDC B ∴∠=∠=︒，90EDF ∠=︒，30BDE ∴∠=︒，DE BE ∴⊥，1123BE BD ∴==，2222213()33DE BD BE ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，如图，连接DM ，则Rt DEF ∆中，12DM EF FM ==，60FDC FCD ∠=∠=︒，CDF ∴∆是等边三角形，43CD CF ∴==， CM ∴垂直平分DF ，30DCN ∴∠=︒，Rt CDN ∴∆中，43DF =，32DN =，23CN =， ∵EM =FM ，DN =FN ，∴132MN ED ==， 23353CM CN MN ∴=+=+=． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．二、填空题11．12或20【分析】根据题意分别画出图形，BC 边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．【详解】解：情况一：当BC 边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：在平行四边形ABCD 中，BC 边上的高为4，AB=5，AC=5在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222CE AC AE，(25)42在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222BE AB AE543=-=-=,∴BC=BE+CE=3+2=5,此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=25在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222CE AC AE，(25)42在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222=-=-=,BE AB AE543∴BC=BE-CE=3-2=1,∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20．故答案为：12或20．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．12．25【详解】由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE，交AC于点P，那PE+PB的值最小．在Rt△CDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值．连接DE，交AC于点P，连接BD．∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值，∵AB=4，E是BC的中点，∴CE=2，在Rt△CDE中， DE=25．考点：(1)、轴对称-最短路线问题；(3)、正方形的性质．13．222+【分析】由题意根据三角形的中位线的性质得到EF=12PD，得到C△CEF=CE+CF+EF=CE+12（CP+PD）=12（CD+PC+PD）=12C△CDP，当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；并作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，进而分析即可得到结论．【详解】解：∵E为CD中点，F为CP中点，∴EF=12 PD，∴C△CEF=CE+CF+EF=CE+12（CP+PD）=12（CD+PC+PD）=12C△CDP∴当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；如图，作D关于AB的对称点T，连接CT，则PD=PT，∵AD=AT=BC=2，CD=4，∠CDT=90°，∴22224442CT CD DT++=∵△CDP的周长=CD+DP+PC=CD+PT+PC，∵PT+PC≥CT，∴PT+PC≥42∴PT+PC的最小值为2，∴△PDC的最小值为4+42∴C△CEF=12C△CDP=222．故答案为：222．【点睛】本题考查轴对称-最短距离问题以及三角形的周长的计算等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．14．8【分析】通过作辅助线使得△CAO ≌△GBO ，证明△COG 为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG 后，即可求出BC 的长．【详解】如图，延长CB 到点G ，使BG=AC ．∵根据题意，四边形ABED 为正方形，∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°，∴∠1+∠2=90°又∵三角形BCA 为直角三角形，AB 为斜边，∴∠2+∠3=90°∴∠1＝∠3∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO ＝∠GBO ，在△CAO 和△GBO 中，CA GB CAO GBO AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩故△CAO ≌△GBO ，∴CO ＝GO=627=∠6，∵∠7+∠8=90°，∴∠6+∠8=90°，∴三角形COG 为等腰直角三角形，∴()()2222=6262CO GO ++， ∵CG=CB+BG ，∴CB=CG －BG=12－4=8，故答案为8．【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．15．102-【分析】连结AC，取OC中点M，连结 MB，MG，则MB，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．【详解】连接AC，交EF于O，∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∵AE＝CF，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OA＝OC，∴O是正方形的中心，∵AB＝BC＝4，∴AC＝2OC＝2，取OC中点M，连结 MB，MG，过点M作MH⊥BC于H，∵MC＝12OC2，∴MH＝CH＝1，∴BH＝4−1＝3，由勾股定理可得MB2231+10在Rt△GOC中，M是OC的中点，则MG＝12OC2∵BG≥BM−MG102，当B，M，G三点共线时，BG102，102．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当E，F运动到AD，BC的中点时，MG最小是解决本题的关键．16．①②③④【分析】根据正方形的性质和SAS可证明△ABG≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判断②；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP ＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案．【详解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠CAE＝∠BAG，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG＝CE，故①正确；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE＝∠AGB，∵∠AKG＝∠NKC，∴∠CNG＝∠CAG＝90°，∴BG⊥CE，故②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAE ＝90°，∴∠EAP +∠BAH ＝90°，∴∠ABH ＝∠EAP ，即∠EAM ＝∠ABC ，故④正确；∵∠AHB =∠P =90°，AB =AE ，∴△ABH ≌△EAP （AAS ），∴EP ＝AH ，同理可得GQ ＝AH ，∴EP ＝GQ ，∵在△EPM 和△GQM 中，90P MQG EMP GMQ EP GQ ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPM ≌△GQM （AAS ），∴EM ＝GM ，∴AM 是△AEG 的中线，故③正确．综上所述，①②③④结论都正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．17．83或4433- 【分析】 连接AC 交BD 于O ，由菱形的性质可得AB=BC=4，∠ABD=30°，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ，可证四边形BEGF 是菱形，可得∠ABG=30°，可得点B ，点G ，点D 三点共线，由直角三角形性质可求BD=43，AC=4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【详解】如图，连接AC 交BD 于O ，∵菱形ABCD 的边长是4，∠ABC=60°，∴AB=BC=4，∠ABD=30°，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ，∵EG ∥BC ，FG ∥AB ，∴四边形BEGF 是平行四边形，又∵BE=BF ，∴四边形BEGF 是菱形，∴∠ABG=30°，∴点B ，点G ，点D 三点共线，∵AC ⊥BD ，∠ABD=30°，∴AO=12AB=2，=∴BD=AC=4，同理可求BE ，即， 若AD=DG'=4时，∴BG'=BD-DG'=4，∴BE'43==-； 若AG''=G''D 时，过点G''作G''H ⊥AD 于H ，∴AH=HD=2，∵∠ADB=30°，G''H ⊥AD ，∴DG''=2HG''，∵222HD HG''DG''+=，解得：HG''=，DG''=2HG''=∴BG''=BD-DG''=-= ∴BE''=83，综上所述：BE 为83或4- 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．18．②③【分析】根据菱形的性质可知AC ⊥BD ，所以在Rt △AFP 中，AF 一定大于AP ，从而判断①；设∠BAE=x ，然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE ，再根据菱形的邻角互补求出∠ABE ，根据三角形内角和定理列出方程，求出x 的值，求出∠BFE 和∠BE 的度数，从而判断②③．【详解】解：在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴在Rt△AFP中，AF一定大于AP，故①错误；∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠ABE+∠BAE+∠EAD=180°，设∠BAE=x°，则∠EAD=2x°，∠ABE=180°-x°-2x°，∵AB=AE，∠BAE=x°，∴∠ABE=∠AEB=180°-x°-2x°，由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180，解得：x=36，即∠BAE=36°，∠BAE=180°-36°-2×36°=70°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=∠CBD=12∠ABE=36°，∴∠BFE=∠ABD+∠BAE=36°+36°=72°，∴∠BEF=180°-36°-72°=72°，∴BE=BF=AF．故③正确∵∠AFD=∠BFE=72°，∠EAD=2x°=72°∴∠AFD=∠EAD∴AD=FD又∵AD=AB=AE∴AE=FD，故②正确∴正确的有②③故答案为：②③【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于∠BAE的方程是解题的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角．19．8或3【分析】根据AE和DF是否相交分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边即可得出结论．【详解】解：①当AE和DF相交时，如下图所示∵四边形ABCD为平行四边形，AD=11，EF=5，∴BC=AD=11，AD∥BC，AB=CD∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD∵AE 平分∠BAD，DF 平分∠ADC∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF∴BE=AB，CF=CD∴BE=AB= CD= CF∵BE＋CF=BC＋EF∴2AB=11＋5解得：AB=8；②当AE和DF不相交时，如下图所示∵四边形ABCD为平行四边形，AD=11，EF=5，∴BC=AD=11，AD∥BC，AB=CD∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD∵AE 平分∠BAD，DF 平分∠ADC∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF∴BE=AB，CF=CD∴BE=AB= CD= CF∵BE＋CF＋EF =BC∴2AB＋5=11解得：AB=3综上所述：AB=8或3故答案为：8或3．【点睛】此题考查的是平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的性质，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边是解决此题的关键．20．2【分析】分别延长AE，BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出点G为PH的中点，则G的运动轨迹为△HCD的中位线MN，再求出CD的长度，运用中位线的性质求出MN的长度即可．【详解】解：如图，分别延长AE，BF交于点H，∵∠A=∠FPB=60°，∴AH∥PF，∵∠B=∠EPA=60°，∴BH∥PE∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分，∵点G为EF的中点，∴点G为PH的中点，即在P运动的过程中，G始终为PH的中点，∴G的运动轨迹为△HCD的中位线MN，∵CD=6-1-1=4，∴MN=12CD=2，∴点G移动路径的长是2，故答案为：2．【点睛】本题考查了等边三角形及中位线的性质，以及动点的问题，是中考热点，解题的关键是得出G的运动轨迹为△HCD的中位线MN．三、解答题21．（1）见解析；（2）四边形EGCF为平行四边形，理由见解析；（3）AC=2AB．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OE=OF即可证得结论；（2）利用AOE COF∆≅∆得到∠EAO=∠FCO，AE=CF，由此推出AE∥CF，EG=CF即可证得四边形EGCF是平行四边形；（3）AC=2AB，根据平行四边形的性质推出AB=AO，利用点E是OB的中点，得到AG⊥OB，即可得到四边形EGCF是矩形.【详解】（1）四边形ABCD为平行四边形，OA OC∴=，OB OD=，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，12OE OB ∴=，12OF OD =， 则OE OF =，在AOE ∆与COF ∆中OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOE COF ∴∆≅∆；（2）AOE COF ∆≅∆，EAO FCO ∴∠=∠，AE CF =，//AE CF ∴，又GE AE =，GE CF ∴=，∴四边形EGCF 为平行四边形；（3）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形.∵AC=2AB ，AC=2AO ，∴AB=AO ，∵点E 是OB 的中点，∴AG ⊥OB ，∴∠GEF=90°，∴四边形EGCF 是矩形.故答案为：AC=2AB .【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，矩形的判定定理，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.22．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DE =． 【分析】（1）过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，①由正方形的性质可得//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒，即可证明四边形DGHM 是平行四边形，可得DM=GH ，由90GOD ∠=︒可得∠EDM=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得12∠=∠，利用ASA 可证明△ADE≌△CDM，可得DE=DM ，即可证明DE=GH ；②由①得DM=DE ，根据勾股定理可得，利用三角形三边关系即可得结论； （2）过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，可证明四边形GHND 为平行四边形，可得DN HG =，GD HN =，根据勾股定理可求出CN 的长，利用AAS 可证明ADM CDN ∆∆≌，可得AM NC =，DM DN =，根据平行线的性质∠EDN=45°，根据角的和差故选可得∠MDE=∠EDN ，利用SAS 可证明MDE NDE ∆∆≌，即可证明AE CN EN +=，设AE x =，利用勾股定理可求出x 的值，进而利用勾股定理求出DE 的值即可得答案．【详解】（1）如图（1），过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，EM ， ①∵四边形ABCD 为正方形，∴//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒∴四边形DGHM 为平行四边形，∴DM=GH ，GD HM =，∵90GOD ∠=︒，∴90EDM EOH ∠=∠=︒，∴290EDC ∠+∠=︒，∵90ADC ∠=︒，∴190EDC ∠+∠=︒，∴12∠=∠，在ADE ∆和CDM ∆中12A DCM AD DC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ADE CDM ∆∆≌，∴DE DM =，∴DE GH =．②在DEM ∆中，∠EDM=90°，∴222DE DM EM +=，∵DE DM =，∴222DE EM =， ∴2EM DE =，在EHM ∆中，HM EH EM +>，∵GD HM =， ∴2GD EH GH +≥．（2）如图（2），过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，则四边形GHND 为平行四边形， ∴DN HG =，GD HN =，∵90C ∠=︒，4CD AB ==，25HG DN ==，∴222CN DN DC =-=，∴422BN BC CN =-=-=，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，在ADM ∆和CDN ∆中90C MAD CDN ADM DC AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADM CDN ∆∆≌，∴AM NC =，DM DN =，∵45GOD EOH ∠=∠=︒，∴45EDN ∠=︒，∴45ADE CDN ∠+∠=︒，∴45ADE ADN MDE ∠+∠=︒=∠，在MDE ∆和NDE ∆中MD ND MDE EDN DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴MDE NDE ∆∆≌，∴EM EN =，即AE AM AE CN EN +=+=，设AE x =，则BE=4-x ，在Rt BEN ∆中，2222(2)x x +=+，解得：43x =， ∴22224410433DE AD AE ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理，并正确作出辅助线是解题关键．23．（1）详见解析；（2）2BH AE =，理由详见解析【分析】1）如图1，连接DF ，根据对称得：△ADE ≌△FDE ，再由HL 证明Rt △DFG ≌Rt △DCG ，可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建AM=AE ，先证明∠EDG=45°，得DE=EH ，证明△DME ≌△EBH ，则EM=BH ，根据等腰直角△AEM 得：2EM AE =，得结论；【详解】证明：（1）如图1，连接DF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA DC =，90A C ∠=∠=︒，∵点A 关于直线DE 的对称点为F ，∴ADE ∆≌FDE ∆，∴DA DF DC ==，90DFE A ∠=∠=︒，∴90DFG ∠=︒，在Rt DFG ∆和Rt DCG ∆中，∵DF DCDG DG =⎧⎨=⎩∴Rt DFG ∆≌Rt DCG ∆（HL ），∴GF GC =；（2）2BH AE =，理由是：如图2，在线段AD 上截取AM ，使AM AE =，∵AD AB =，∴DM BE =，由（1）知：12∠=∠，34∠=∠，∵90ADC ∠=︒，∴123490∠+∠+∠+∠=︒，∴222390∠+∠=︒，∴2345∠+∠=︒，即45EDG ∠=︒，∵EH DE ⊥，∴90DEH ∠=︒，DEH ∆是等腰直角三角形，∴190AED BEH AED ∠+∠=∠+∠=︒，DE EH =，∴1BEH ∠=∠，在DME ∆和EBH ∆中，1DM BE BEH DE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DME ∆≌EBH ∆∴EM BH =，Rt AEM ∆中，90A ∠=︒，AM AE =，∴EM =，∴BH ； 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．24．（1）8-2t ，8-t ；（2）83或74【分析】（1）根据P 、Q 的运动速度以及AB 和CD 的长即可表示；（2）分PQ=PB 、BP=BQ 和QP=QB 三种情况进行分析即可．【详解】解：（1）由题意可得：DP=2t ，AQ=t ，∴PC=8-2t ，BQ=8-t ，故答案为：8-2t ，8-t ；（2）当PQ=PB 时，如图①，QH=BH ，则t+2t=8，。
人教版平行四边形单元 易错题难题测试综合卷学能测试试题
人教版平行四边形单元易错题难题测试综合卷学能测试试题一、解答题1．已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点D重合），AB＝AE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF．提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：；（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：．2．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．3．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE ＝DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．(1)求证: FCE BOE ≌；(2)当ADC 等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．5．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．6．综合与探究（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．CE 和CF 之间有怎样的关系．请说明理由．（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果45GCE ∠=︒，请你利用（1）的结论证明：GE BE CD =+．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90B ∠=︒，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，4BE =，求DE 的长．7．如图，ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=︒分别以,AB AC 为直角边向外作等腰直角ABD △和等腰直角,ACE G 为BD 的中点，连接,,CG BE ,CD BE 与CD 交于点F ．（1）证明：四边形ACGD 是平行四边形；（2）线段BE 和线段CD 有什么数量关系，请说明理由；（3）已知2,BC =求EF 的长度(结果用含根号的式子表示)．8．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ︒∠= ．()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若3,2BE BG ==，求EF 的长；()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足,90,45,AB AD BAD BCD EAF ︒︒=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接写出BE 的长．9．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为 ；（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．10．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有12CBE ABF ∠=∠．（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=︒，求证：BE BF =；（2）如图2，当32b a =时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________； ②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=；③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）DE 2CF ；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF ＋CF ＝2DF 或|AF －CF |2【分析】（1）易证△BCD 是等腰直角三角形，得出2CB ，即可得出结果；（2）情况1：过点C 作CG ⊥CF ，交DF 于G ，设BC 交DF 于P ，由ASA 证得△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，2CF ，连接BE ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB ）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF 是等腰直角三角形，则EF=BF ，推出EF=DG ，DE=FG ，得出2CF ；情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，由ASA 证得△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，得2CF ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF 是等腰直角三角形，得出EF=BF ，推出DE=FG ，得出2CF ；（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，由（2）得△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得出∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF是等腰直角三角形，得HF=2DF，DH=DF，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS证得△HDA≌△FDC，得CF=HA，即可得出AF+CF=2DF；②当F在AB的下方时，作DH⊥DE，交FC延长线于H，在DF上取点N，使CN=CD，连接BN，证明△BFN是等腰直角三角形，得BF=NF，由SSS证得△CNF≌△CBF，得∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°，则△DFH是等腰直角三角形，得FH=2DF，DF=DH，由SAS证得△ADF≌△CDH，得出CH=AF，即可得出AF+CF=2DF；③当F在DC的上方时，连接BE，作HD⊥DF，交AF于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF是等腰直角三角形，得出HF=2DF，DH=DF，由SAS证得△ADC≌△HDF，得出AH=CF，即可得出AF-CF=2DF；④当F在AD左侧时，作HD⊥DF交AF的延长线于H，连接BE，设AD交BF于P，证明△BFE是等腰直角三角形，得EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则∠DFH=∠EFA=45°，△HDF是等腰直角三角形，得DH=DF，HF=2DF，由SAS证得△HDA≌△FDC，得出AF=CF，即可得出CF-AF=2DF．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BCD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴DB=2CB，当点E、F与点B重合时，则DE=2CF，故答案为：DE=2CF；（2）在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：情况1：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB=AD=AB=AE，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，过点C作CG⊥CF，交DF于G，如图②所示：则∠BCD=∠GCF=90°，∴∠DCG=∠BCF ，设BC 交DF 于P ，∵BF ⊥DE ，∴∠BFD=∠BCD=90°，∵∠DPC=∠FPB ，∴∠CDP=∠FBP ，在△CDG 和△CBF 中，DCG BCF CD CBCDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ），∴DG=FB ，CG=CF ，∴△GCF 是等腰直角三角形，∴，连接BE ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠ADE=90°-α，∵AD=AE ，∴∠DEA=∠ADE=90°-α，∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α，∴∠EAB=90°-2α，∵AB=AE ，∴∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB ）=12（180°-90°+2α）=45°+α， ∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α，∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°，∵BF ⊥DE ，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，∴EF=DG ，∴EF+EG=DG+EG ，即DE=FG ，∴CF ；情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，如图③所示：∵∠GCF=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCF ，∵∠FPD=∠BPC ，∴∠FDP=∠PBC ，在△CDG 和△CBF 中，DCG BCF CD CBCDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ），∴DG=FB ，CG=CF ，∴△GCF 是等腰直角三角形，∴2，设∠CDG=α，则∠CBF=α，同理可知：∠DEA=∠ADE=90°-α，∠DAE=2α，∴∠EAB=90°+2α，∵AB=AE ，∴∠BEA=∠ABE=45°-α，∴∠FEB=∠DEA-∠AEB=90°-α-（45°-α）=45°，∵BF ⊥DE ，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，∴EF=DG ，∴DE=FG ，∴2CF ；（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，如图④所示：由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中，AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ），∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，∴2，DH=DF ，∵∠HDF=∠ADC=90°，∴∠HDA=∠FDC ，在△HDA 和△FDC 中，DH DF HDA FDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△HDA ≌△FDC （SAS ），∴CF=HA ， 2，即2DF ；②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，如图⑤所示：设∠DAE=α，则∠CDN=∠CND=90°-α，∴∠DCN=2α，∴∠NCB=90°-2α，∵CN=CD=CB ，∴∠CNB=∠CBN=12（180°-∠NCB ）=12（180°-90°+2α）=45°+α， ∵∠CNE=180°-∠CND=180°-（90°-α）=90°+α，∴∠FNB=90°+α-（45°+α）=45°，∴△BFN 是等腰直角三角形，∴BF=NF ，在△CNF 和△CBF 中，CN CB CF CF NF BF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CNF ≌△CBF （SSS ），∴∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°， ∴△DFH 是等腰直角三角形，∴2，DF=DH ，∵∠ADC=∠HDE=90°，∴∠ADF=∠CDH ，在△ADF 和△CDH 中，AD CD ADF CDH DF DH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△CDH （SAS ），∴CH=AF ，∴FH=CH+CF=AF+CF ，∴AF+CF=2DF ；③当F 在DC 的上方时，连接BE ，作HD ⊥DF ，交AF 于H ，如图⑥所示：由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中，AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ）， ∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，∴2，DH=DF ，∵∠ADC=∠HDF=90°，∴∠ADH=∠CDF ，在△ADC 和△HDF 中，AD CD ADH CDF DH DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC ≌△HDF （SAS ），∴AH=CF ，∴HF=AF-AH=AF-CF ，∴2DF ；④当F 在AD 左侧时，作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ，连接BE ，设AD 交BF 于P ，如图⑦所示：∵AB=AE=AD ，∴∠AED=∠ADE ，∵∠PFD=∠PAB=90°，∠FPD=∠BPA ，∴∠ABP=∠FDP ，∴∠FEA=∠FBA ，∵AB=AE ，∴∠AEB=∠ABE ，∴∠FEB=∠FBE ，∴△BFE 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中，AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ），∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴∠DFH=∠EFA=45°，∴△HDF 是等腰直角三角形，∴DH=DF ，2DF ，∵∠HDF=∠CDA=90°，∴∠HDA=∠FDC ，在△HDA 和△FDC 中，DH DF HDA FDC AD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△HDA ≌△FDC （SAS ），∴AF=CF ，∴AH-AF=CF-AF=HF ，∴DF ，综上所述，线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系：DF 或DF ，故答案为：DF 或DF ．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．2．（1）AG 2=GE 2+GF 2，理由见解析；（2）6 【分析】（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2．只要证明GA=GC ，四边形EGFC 是矩形，推出GE=CF ，在Rt △GFC 中，利用勾股定理即可证明；（2）作BN ⊥AG 于N ，在BN 上截取一点M ，使得AM=BM ．设AN=x ．易证AM=BM=2x ，，在Rt △ABN 中，根据AB 2=AN 2+BN 2，可得1=x 2+（x ）2，解得x=4，推出BN=4，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题. 【详解】解：（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2．理由：连接CG ．∵四边形ABCD 是正方形，∴A 、C 关于对角线BD 对称，∵点G 在BD 上，∴GA=GC ，∵GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四边形EGFC 是矩形，∴CF=GE ，在Rt △GFC 中，∵CG 2=GF 2+CF 2，∴AG 2=GF 2+GE 2．（2）作BN ⊥AG 于N ，在BN 上截取一点M ，使得AM=BM ．设AN=x ．∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，∴∠AMN=30°，∴AM=BM=2x，x ，在Rt △ABN 中，∵AB 2=AN 2+BN 2，∴1=x2+（x ）2，解得x=624-， ∴BN=62+， ∴BG=BN÷cos30°=326+．【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度的性质．3．（1）证明见解析；（2）能，10；（3）152，理由见解析； 【分析】（1）利用题中所给的关系式，列出CD ，DF ，AE 的式子，即可证明．（2）由题意知，四边形AEFD 是平行四边形，令AD=DF ，求解即可得出t 值．（3）由题意可知，当DE ∥BC 时，△DEF 为直角三角形，利用AD+CD=AC 的等量关系，代入式子求值即可．【详解】（1）由题意知：三角形CFD 是直角三角形∵∠B ＝90°，∠A ＝60°∴∠C=30°，CD=2DF ，又∵由题意知CD=4t ，AE=2t ，∴CD=2AE∴AE=DF ．（2）能，理由如下；由（1）知AE=DF又∵DF ⊥BC ，∠B ＝90°∴AE ∥DF∴四边形AEFD 是平行四边形．当AD=DF 时，平行四边形AEFD 是菱形∵AC ＝60cm ，DF=12CD ，CD=4t ， ∴AD=60-4t ，DF=2t ，∴60-4t=2t∴t=10．（3）当t 为152时，△DEF 为直角三角形，理由如下； 由题意知：四边形AEFD 是平行四边形，DF ⊥BC ，AE ∥DF ，∴当DE ∥BC 时，DF ⊥DE∴∠FDE=∠DEA=90°在△AED 中，∵∠DEA=90°，∠A ＝60°，AE=2t∴AD=4t ，又∵AC ＝60cm ，CD=4t ，∴AD+CD=AC ，8t=60，∴t=152． 即t=152时，∠FDE=∠DEA=90°，△DEF 为直角三角形． 【点睛】 本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质，正确掌握三角形、平行四边形及菱形的性质是解题的关键．4．（1）见解析；（2）当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形，证明详见解析【分析】（1）证明四边形OCFD 是平行四边形，得出OD=CF ，证出OB=CF ，再证明全等即可（2）证出四边形ABCD 是矩形，由矩形的性质得出OC=OD ，即可得出四边形OCFD 为菱形.【详解】(1)证明:∵//,//CF BD DF AC ，∴四边形OCFD 是平行四边形， OBE CFE ∠=∠，∴OD CF =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB OD =，∴OB CF =，在FCE △和BOE △中， OBE CFE BEO FEC OB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()FCE BOE AAS ≌．(2)当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形.理由如下:∵90ADC ∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形∴,,,OA OC OB OD AC BD ===∴OC OD=，∴四边形OCFD为菱形【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质和菱形的判定是解题的关键.5．（1）ΔDPM,ΔFPG；等腰直角；（2）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；PG PC＝；（3）2【分析】（1）延长GP交DC于点M，由Р是线段DF的中点，//DC CF，可得∠MDP=∠GFP，DP=FP，利用ASA可证明△DPM≌△FPG；可得DM=GF，MP=GP，根据正方形的性质可得CM=CG，即可证明△CMG是等腰直角三角形，即可得答案；（2）如图，延长GP交DC于点H，利用ASA可证明△GFP≌△HDP，可得GP＝HP，GF＝HD，进而根据菱形的性质可证明△CHG是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得PG⊥PC，∠HCP=∠GCP，由∠ABC=60°可得∠HCG=120°，进而可得∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可得答案；（3）利用线段的和差关系可求出图2中CG的长，由（2）可知∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求出CP的长；在图3中，延长GP到N，使GP=PN，连接DN、CN、CG，过N作NK⊥CD，交CD延长线于K，利用SAS可证明△FGP≌△DNP，可得GF=DN，∠GFP=∠NDP，根据角的和差关系可得∠CDN=120°，根据平角的定义可得∠GBC=120°，利用菱形的性质及等量代换可得DN=GB，利用SAS可证明△NDC≌△GBC，可得CN=CG，∠DCN=∠BCG，根据等腰三角形的性质可得PC⊥GN，根据角的和差关系可得∠NCG=120°，进而可得出∠CNP=30°，可得PC=12CG，根据平角的定义可得∠KDN=60°，即可得出∠KND=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得得出KD的长，利用勾股定理可求出KN的长，再利用勾股定理可求出CN的长，根据含30°角的直角三角形的性质即可得出PC的长．【详解】（1）如图，延长GP交DC于点M，∵Р是线段DF的中点，四边形ABCD、BEFG是正方形，点,,A B E在同一条直线上，∴//DC CF，DP=FP，CD=BC，FG=BG，在△DPM和△FPG中，MDP GFPDP FPDPM FPG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DPM≌△FPG，∴DM=FG，KP=GP，∴CD-DM=BC-BC，即CM=CG，∴△CMG是等腰直角三角形，∴PG ⊥PC ，PG=PC ．故答案为：ΔDPM ，ΔFPG ；等腰直角（2）猜想：线段PG 与PC 的位置关系是PG ⊥PC ；PG PC 3． 如图，延长GP 交DC 于点H ，∵P 是线段DF 的中点，∴FP ＝DP ，∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是菱形，∴CD//AB ，CF//BE ，CD ＝CB ，GF=GB ，∵点A B E 、、在一条直线上，∴DC ∥GF ，∴∠GFP ＝∠HDP ， 在△GFP 和△HDP 中，GFP HDP FP DP GPF HPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△GFP ≌△HDP ，∴GP ＝HP ，GF ＝HD ，∴CD-DH ＝CB-GB ，即CG ＝CH ，∴△CHG 是等腰三角形．∴PG ⊥PC ，（三线合一），∠HCP=∠GCP ，∵∠ABC ＝∠BEF ＝60°，∴∠HCG=120°，∴∠CGP=12（180°-120°）=30°， ∴CG=2PC ，∴2222(2)3CG PC PC PC PC -=-=， ∴PG PC 3（3）如图2，∵AB=6，BE=2，∴CG=AB-BE=4，由（2）可知∠CGP=30°，PG⊥PC，∴PC=12CG=2，如图3，延长GP到N，使GP=PN，连接DN、CN、CG，过N作NK⊥CD，交CD延长线于K，在△DNP和△FGP中，DP FPNPD GPF PN PG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DNP≌△FGP，∴DN=GF=BG=BE=2，∠NDP=∠GFP，∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∴CD//AB，EF//BC，∵点A、B、G在一条直线上，∴DC∥EF，∴∠CDP=∠EFP，∵∠ABC=∠BEF=60°，∴∠EFG=∠CBG=120°，∴∠NDP+CDP=∠GFP+∠EFP=∠EFG=120°，即∠NDC=120°，∴∠KDN=60°，∠KND=30°，∴KD=12DN=1，223DN KD-=，∴CK=CD+KD=7，∴22CK NK+213在△CDN和△CBG中，CD BCCDN CBG ND BG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CN=CG，∠DCN=∠BCG，∴PC⊥GN，∠DCN+∠NCB=∠BCG+∠NCB=∠DCB=120°，即∠NCG=120°，∴∠CNP=12（180°-∠NCG）=30°，∴PC=12CN=13．故答案为：2，13【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，正确作出辅助线、熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质及全等三角形的判定定理是解题关键．6．（1）CE=CF且CE⊥CF，理由见解析；（2）见解析；（3）10【分析】（1）根据正方形的性质，可证明△CBE≌△CDF（SAS），从而得出CE=CF，∠BCE=∠DCF，再利用余角的性质得到CE⊥CF；（2）延长AD至M，使DM=BE，连接CM，由△BEC≌△DFC，可得∠BCE=∠DCF，即可求∠GCF=∠GCE=45°，且GC=GC，EC=CF可证△ECG≌△GCF（SAS），则结论可求．（3）过点C作CF⊥AD于F，可证四边形ABCF是正方形，根据（2）的结论可得DE=DF+BE=4+DF，根据勾股定理列方程可求DF的长，即可得出DE．【详解】解：（1）CE=CF且CE⊥CF，证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，又∵BE=DF，∴△CBE≌△CDF（SAS），∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，∵∠BCD=∠BCE+∠ECD=90°，∴∠ECD+∠DCF=90°，即CE⊥CF；（2）延长AD至M，使DM=BE，连接CM，∵∠GCE=45°，∴∠BCE+∠GCD=45°，∵△BEC≌△DFC，∴∠BCE=∠DCF，∴∠DCF+∠GCD=45°，即∠GCF=45°，∴∠GCE=∠GCF，且GC=GC，CE=CF，∴△GCE≌△GCF（SAS），∴GE=GF，∴GE=GD+DF=BE+GD；（3）如图：过点C作CF⊥AD于F，∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=90°，∵∠A=∠B=90°，FC⊥AD，∴四边形ABCF是矩形，且AB=BC=12，∴四边形ABCF是正方形，∴AF=12，由（2）可得DE=DF+BE，∴DE=4+DF，在△ADE中，AE2+DA2=DE2．∴（12-4）2+（12-DF）2=（4+DF）2．∴DF=6，∴DE=4+6=10．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，四边形的面积，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．7．（1）见解析；（2）BE=CD，理由见解析；（3）EF 310 5【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC ，因为G 为BD 的中点，可得BG=BC ，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD ∥CG ，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC ∥BD ，得出四边形ACGD 为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得△DAC ≌△BAE ，由全等三角形的性质得BE=CD ；首先证得四边形ABCE 为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE ≌△CAD ，易得∠CBE=∠ACD ，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．（3）先证明△DBF 是直角三角形，再利用勾股定理进行计算，即可求出答案．【详解】解：（1）∵△ABC 和△ABD 都是等腰直角三角形∴∠CAB =∠ABD = 45°，BDABBC =2BC =2AC∴AC ∥BD又∵G 为BD 的中点，∴BD =2DG ，∴AC =DG ，AC ∥DG∴四边形ACGD 为平行四边形；（2）BE =CD ，理由如下∵△AEC 和△ABD 都是等腰直角三角形AE =AC ，AB =AD∠EAB =∠EAC +∠CAB =90°+45°=135°，∠CAD =∠DAB +∠BAC =90°+45°=135°，∴∠EAB =∠CAD ，在△DAC 与△BAE 中，AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAC ≌△BAE ，∴BE =CD ；（3） ∵△DAC ≌△BAE∴∠AEB=∠ACD又∵∠EAC=90°∴∠EFC=∠DFB=90°∴ △DBF 是直角三角形∵BC，∴BD根据勾股定理得CD， ∴11••22CD BF BC BD =∴12=12•∴BF∴EF =BE -BF =CD -BF【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．8．（1）5EF =；（2）见解析；（3）5BE =【分析】（1）先用SAS 证ABG ≌ADF ，可得AG=AF ，∠BAG=∠DAF ，又可证∠EAG=∠EAF ，故可用SAS 证GAE ≌FAE ，EF=GE ，即EF 长度可求；（2）在DF 上取一点G ,使得DG=BE , 连接AG ，先用SAS 证ABE ≌ADG ，可得AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，又可证∠EAF=∠GAF ，故可用SAS 证AEF ≌AGF ，可得EF=GF ，且DG=BE ，故EF=DF-DG=DF-BE ；（3）在线段DF 上取BE=DG ，连接AG ，求证∠ABE=∠ADC ，即可用SAS 证ABE ≌ADG ，可得AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，又可证∠EAF=∠GAF ，故可用SAS 证AEF ≌AGF ，可得EF=GF ，设BE=x ，则CE= 7+x ，EF=18-x ，根据勾股定理：222CE CF =EF +，即可求得BE 的长度．【详解】解：（1）证明：如图1所示，在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=90°， 在ABG 和ADF 中，AB=AD ABG=ADF BG=DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴ABG ≌ADF （SAS ），∴AG=AF ，∠BAG=∠DAF ，又∵∠DAF+∠FAB=∠FAB+∠BAG=90°，且∠EAF=45°，∴∠EAG=∠FAG-∠EAF=45°=∠EAF ， 在GAE 和FAE 中，AG=AF GAE=FAE AE=AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴GAE ≌FAE （SAS ），∴EF=GE=GB+BE=2+3=5；（2）如下图所示，在DF 上取一点G ,使得DG=BE , 连接AG ，∵四边形ABCD 是正方形，故AB=AD ，∠ABE=∠ADG=90°， 在ABE 和ADG 中，AB=AD ABE=ADG=90BE=DG ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，∵∠BAG+∠DAG=90°，故∠BAG+∠BAE=90°，∵∠EAF=45°，故∠GAF=45°，∠EAF=∠GAF=45°， 在AEF 和AGF 中，AE=AG EAF=GAF=45AF=AF ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF=GF ，且DG=BE ，∴EF=DF-DG=DF-BE ；（3）BE=5，如下图所示，在线段DF 上取BE=DG ，连接AG ，∵∠BAD=∠BCD=90°，故∠ABC+∠ADC=180°，且∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ABE=∠ADC ， 在ABE 和ADG 中，AB=AD ABE=ADG BE=DG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，∵∠BAG+∠DAG=90°，故∠BAG+∠BAE=90°，∵∠EAF=45°，故∠GAF=45°，∠EAF=∠GAF=45°， 在AEF 和AGF 中，AE=AG EAF=GAF=45AF=AF ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF=GF ，设BE=x ，则CE=BC+BE =7+x ，EF=GF=DC+CF-DG= DC+CF-BE=18-x ，在直角三角形ECF 中，根据勾股定理：222CE CF =EF +，即：222(7+x)5=(18-x)+，解得x=5，∴BE=x=5．【点睛】本题主要考察了全等三角形的证明及性质、勾股定理，解题的关键在于添加辅助线，找出全等三角形，并用对应边/对应角相等的定理，解决该题．9．（1）证明见解析；（2）菱形；（3）四边形AEGF 是矩形，理由见解析．【分析】（1）根据平行线的性质得到BDE A ∠=∠，根据题意得到DEFBDE ∠=∠，根据平行线的判定定理得到//AD EF ，根据平行四边形的判定定理证明；（2）根据三角形中位线定理得到12DE AC =，得到AD DE =，根据菱形的判定定理证明；（3）根据等腰三角形的性质得到AE EG ⊥，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．【详解】 （1）证明：//DE AC ，BDE A ∴∠=∠，DEF A ∠=∠，DEF BDE ∴∠=∠，//AD EF ∴，又//DE AC ，∴四边形ADEF 为平行四边形；（2）解：ADEF 的形状为菱形， 理由如下：点D 为AB 中点，12AD AB ∴=， //DE AC ，点D 为AB 中点，12DE AC ∴=， AB AC =，AD DE ∴=，∴平行四边形ADEF 为菱形，故答案为：菱形；（3）四边形AEGF 是矩形，理由如下：由（1）得，四边形ADEF 为平行四边形，//AF DE ∴，AF DE =，EG DE ，//AF DE ∴，AF GE =，∴四边形AEGF 是平行四边形，AD AG ，EG DE =，AE EG ∴⊥，∴四边形AEGF 是矩形．【点睛】本题考查的是平行四边形、矩形、菱形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．10．（1）见解析；（2）①2ABE BFC ∠=∠；②见解析；③732【分析】（1）证明()BAE BCF ASA ∆≅∆可得结论．（2）①结论：2ABE BFC ∠=∠．如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，利用三角形内角和定理结合已知条件即可解决问题．②将ABE ∆绕BE 翻折得到BEH ∆，延长BH 交CD 于T ，连接ET ．设2AB CD k ==，则3AD BC k ==，利用全等三角形的性质解决问题即可．③求出CF ，利用三角形的面积公式，矩形的面积公式即可解决问题．【详解】解：（1）证明：如图1中，四边形ABCD 是矩形，90ABC BCD BCF ∴∠=∠=∠=︒，60EBC =︒∠，12CBE ABF ∠=∠， 120ABF ∴∠=︒，906030ABE ︒∴-︒∠==︒，1209030CBF ∠=︒-︒=︒，ABE CBF ∴∠=∠，AB BC =，()BAE BCF ASA ∴∆≅∆，BE BF ∴=．（2）①结论：290EBC BFC ∠+∠=︒．理由：如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，90BCF ∠=︒，90FBC y ∴∠=︒-，=2ABE FBC ABF EBC x x x ∠+∠=∠-∠-=，(90)ABE x y ∴∠=-︒-，90ABE EBC ∠+∠=︒，(90)90x y x ∴-︒-+=︒，2180x y ∴+=︒，2180EBC BFC ∴∠+∠=︒，()290180ABE BFC ∴︒-∠+∠=︒，2ABE BFC ∴∠=∠．②证明：将ABE ∆绕BE 翻折得到BEH ∆，延长BH 交CD 于T ，连接ET ．设2AB CD k ==，则3AD BC k ==，ABE EBH ∠=∠，12EBC ABF ∠=∠， FBC CBT ∴∠=∠，90FBC F CBT BTC ∠+∠=∠+∠=︒，F BTC ∴∠=∠，BF BT ∴=，CT CF =，DE AE EH ==，ET ET =，90D EHT ∠=∠=︒，Rt ETD Rt ETH(HL)∴∆≅∆，DT TH ∴=，在Rt BCT ∆中，则有222(2)(3)(2)k x k k x +=+-， 解得98x k =， 2BF CF BT CT BH TH CT BH TD TC BH CD AB ∴+=+=++=++=+=．③由②可知，3BC k =，97288CF CR k k k ==-=， ∴2173728632BCFABCD k k S S k ∆⋅⋅==矩形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。
人教版平行四边形单元 易错题难题测试综合卷检测试卷
人教版平行四边形单元 易错题难题测试综合卷检测试卷一、选择题1．如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝4，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是线段BO 上一动点，F 是射线DC 上一动点，若∠AEF ＝120°，则线段EF 的长度的整数值的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，正方形ABCD 的边长为2a ，点E 从点A 出发沿着线段AD 向点D 运动(不与点A 、D 重合)，同时点F 从点D 出发沿着线段DC 向点C 运动(不与点D 、C 重合)，点E 与点F 的运动速度相同．BE 与AF 相交于点G ，H 为BF 中点，则有下列结论：①∠BGF 是定值；②BF 平分∠CBE ；③当E 运动到AD 中点时，GH=52a ；④当C △AGB = (2)6a +时，S 四边形GEDF =16a 2 ，其中正确的是( )A ．①③B ．①②③C ．①③④D ．①④3．如图，在长方形ABCD 中，AD=6，AB=4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且AF ＝CG ＝2，BE ＝DH ＝1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连结PE 、PF 、PG 、PH ，则△PEF 和△PGH 的面积和为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 4．如图，正方形ABCD 的边长为5，4AG CH ==，3BG DH ==，连接GH ，则线段GH 的长为（ ）A ．435B ．75 C ．2 D ．52-5．如图，正方形ABCD 的边长为10，8AG CH ==，6BG DH ==，连接GH ，则线段GH 的长为（ ）A ．83B ．22C ．145D ．1052-6．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为6和14，则b 的面积为（ ）A ．8B ．18C ．20D ．267．如图，点P 在长方形OABC 的边OA 上，连接BP ，过点P 作BP 的垂线，交射线OC 于点Q ，在点P 从点A 出发沿AO 方向运动到点O 的过程中，设AP=x ，OQ=y ，则下列说法正确的是（ ）A ．y 随x 的增大而增大B ．y 随x 的增大而减小C ．随x 的增大，y 先增大后减小D ．随x 的增大，y 先减小后增大8．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，AE AF =，AC 与EF 相交于点G ．下列结论：①AC 垂直平分EF ；②BE DF EF +=；③当15DAF ∠=︒时，AEF 为等边三角形；④当60EAF ∠=︒时，AEB AEF ∠=∠．其中正确的结论是（ ）A．①③B．②④C．①③④D．②③④9．如图，在ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．6013B．3013C．2413D．121310．如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为234﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为CD边上的一个动点，以CE为边向外作正方形ECFG，连结BG，点H为BG中点，连结EH，则EH的最小值为______12．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，3AB=，2AC=，则BD的长为_______________．13．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝OB ，点E ，F 分别是OA ，OD 的中点，连接EF ，EM ⊥BC 于点M ，EM 交BD 于点N ，若∠CEF ＝45°，FN ＝5，则线段BC 的长为_____．14．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，若27CDF ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．15．如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=︒，45ABC ∠=︒，22BC =，则DF =_________．16．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．17．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则BC =_________．18．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．19．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令AF n BC=，EC m BC=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D 落在AB 边的点F 处，得折痕AE ，再折叠，使点C 落在AE 边的点G 处，此时折痕恰好经过点B ，如果AD=a ，那么AB 长是多少？”常明说；“简单，我会. AB 应该是_____”.常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B ，而是经过了AB 边上的M 点，如果AD=a ，测得EC=3BM ，那么AB 长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.三、解答题21．在ABCD 中，以AD 为边在ABCD 内作等边ADE ∆，连接BE ．（1）如图1，若点E 在对角线BD 上，过点A 作AH BD ⊥于点H ，且75DAB ∠=︒，AB 6=，求AH 的长度； （2）如图2，若点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，过点E 作MNCF ，分别交AB ，CD 于点,M N ，在DC 上取DG CN =，连接CE ，EG ．求证：①CEN DEG ∆∆≌；②ENG ∆是等边三角形．22．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AE 、AF ．(1)求证：AE ＝AF ；(2)取AF 的中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．则MD ，MN 的数量关系是 ，MD 、MN 的位置关系是(3)将图2中的直角三角板ECF ，绕点C 旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．23．在矩形ABCD 中，连结AC ，点E 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着B A →的路径运动，运动时间为t （秒）．以BE 为边在矩形ABCD 的内部作正方形BEHG ．（1）如图，当ABCD 为正方形且点H 在ABC ∆的内部，连结,AH CH ，求证：AH CH =；（2）经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有______条；（3）当9,12AB BC ==时，若直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分，求t 的值．24．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BD 与CF 的位置关系为__________；CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系____________________．（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系并加以证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由．25．如图1，已知四边形ABCD 是正方形，E 是对角线BD 上的一点，连接AE ，CE ．（1）求证：AE ＝CE ；（2）如图2，点P 是边CD 上的一点，且PE ⊥BD 于E ，连接BP ，O 为BP 的中点，连接EO ．若∠PBC ＝30°，求∠POE 的度数；（3）在（2）的条件下，若OE ＝2，求CE 的长．26．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：（动手操作，归纳发现） （1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想（推理探索，尝试证明）为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：（2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G则90CGB ∠=90GCB CBG ∴∠+∠=又四边形ABCD 正方形，AB BC =，90ABC ∠=则90CBG ABO ∠+∠=GCB ABO ∴∠=∠在CBE ∆与ABE ∆中，（类比探究，拓展延伸）（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为 ．27．矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．点E ，F 在对角线AC 上，点M ，N 分别在边AD ，BC 上．（1）如图1，若AE =CF =1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形EMFN 为矩形． （2）如图2，若AE =CF =0.5，02AM CN x x ==<<（），且四边形EMFN 为矩形，求x 的值．28．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAD 的平分线，则线段AB ，AD ，DC 之间的等量关系为 ；（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAF 的平分线，试探究线段AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论；（3）联想拓展：如图③，AB ∥CF ，E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，∠EDF ＝∠BAE ，试探究线段AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．29．已知正方形ABCD 与正方形（点C 、E 、F 、G 按顺时针排列），是的中点，连接，.（1）如图1，点E在上，点在的延长线上，求证：DM=ME，DM⊥.ME简析：由是的中点，AD∥EF，不妨延长EM交AD于点N，从而构造出一对全等的三角形，即≌ .由全等三角形性质，易证△DNE是三角形,进而得出结论.（2）如图2，在DC的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C、E、F、G按顺时针排列.若点E在直线CD上，则DM= ;若点E在直线BC上，则DM= .30．在正方形AMFN中，以AM为BC边上的高作等边三角形ABC，将AB绕点A逆时针旋转90°至点D，D点恰好落在NF上，连接BD，AC与BD交于点E，连接CD，(1)如图1，求证：△AMC≌△AND；(2)如图1，若DF=3，求AE的长；(3)如图2,将△CDF绕点D顺时针旋转α（090α<<）,点C,F的对应点分别为1C、1F，连接1AF、1BC，点G是1BC的中点,连接AG，试探索1AGAF是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】连结CE，根据菱形的性质和全等三角形的判定可得△ABE≌△CBE，根据全等三角形的性质可得AE＝CE，设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，可得∠ECF＝∠EFC，根据等角对等边可得CE＝EF，从而得到AE＝EF，在Rt△ABO中，根据含30°的直角三角形的性质得到AO＝2，可得2≤AE≤4，从而得到EF的长的整数值可能是2，3，4．【详解】解：如图，连结CE，∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE，∴AE＝CE，设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，∴∠DEF＝120°﹣（90°﹣a）＝30°+a，∴∠EFC＝∠CDE+∠DEF＝30°+30°+a＝60°+a，∵∠ECF＝∠DCO+∠OCE＝60°+a，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∴AE＝EF，∵AB＝4，∠ABE＝30°，∴在Rt△ABO中，AO＝2，∵OA≤AE≤AB，∴2≤AE≤4，∴AE的长的整数值可能是2，3，4，即EF的长的整数值可能是2，3，4．故选：C．【点睛】考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，根据含30°的直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，证明△ABE≌△CBE．2．A解析：A【解析】【分析】根据题意很容易证得△BAE≌△ADF，即可得到AF=BE，利用正方形内角为90°，得出AF ⊥DE,即可判断①，②无法判断，③根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解. ④根据△BAE ≌△ADF ，即可得到S 四边形GEDF ,ABG S = 即可求解.【详解】①证明：∵E 在AD 边上(不与A.D 重合),点F 在DC 边上(不与D.C 重合).又∵点E.F 分别同时从A. D 出发以相同的速度运动， ∴AE =DF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AB DA BAE D =∠=∠=，在△BAE 和△ADF 中，90AE DEBAE ADF AB AD =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△BAE ≌△ADF (SAS )，∴∠1=∠2，∵2390∠+∠=∴1390∠+∠=即90AGB ∠=90,BGF ∠=∠BGF 是定值；正确.②无法判断GBF ∠与CBF ∠的大小，BF平分∠CBE ；错误. ③当E 运动到AD 中点时，点F 运动到CD 中点，1,2CF CD a ==225,BF BC CF a =+= GH=15,2BF ==正确.④△BAE ≌△ADF,则S 四边形GEDF ,ABG S =当C △AGB =)62a 时，6,AG GB a +=()222226,AG GB AG AG GB GB a +=+⋅+=22224,AG BG AB a +==222,AG GB a ∴⋅=211,22ABG S AG GB a =⋅= S 四边形GEDF =12a 2 ，故S 四边形GEDF =16a 2 ，错误. 故选A.【点睛】 考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.3．C解析：C【分析】连接EG 、FH ，根据题意可知△AEF 与△CGH 全等，故EF=GH ，同理EG=FH ，再证四边形EGHF 为平行四边形，所以△PEF 和△PGH 的面积和是平行四边形的面积一半，平行四边形EGHF 的面积等于矩形ABCD 的面积减去四周四个小的直角三角形的面积即可求得.【详解】连接EG 、FH ，如图所示，在矩形ABCD 中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，∴AE=AB-BE=4-1=3，CH=CD-DH=3，∴AE=CH,在△AEF 和△CGH 中，AE=CH,∠A=∠C=90°，AF=CG,∴△AEF ≌△CGH ，∴EF=GH,同理可得△BGE ≌△DFH ，∴EG=FH,∴四边形EGHF 为平行四边形，∵△PEF 和△PGH 的高的和等于点H 到直线EF 的距离，∴△PEF 和△PGH 的面积和=12⨯平行四边形EGHF 的面积，求得平行四边形EGHF 的面积=4⨯6--12⨯2⨯3-12⨯1⨯（6-2）-12⨯2⨯3-12⨯1⨯（6-2）=14， ∴△PEF 和△PGH 的面积和=1142⨯=7.【点睛】此题主要考察矩形的综合利用.4．C解析：C【分析】延长BG 交CH 于点E ，根据正方形的性质证明△ABG ≌△CDH ≌△BCE ，可得GE=BE-BG=1，HE=CH-CE=1，∠HEG=90°，由勾股定理可得GH 的长．【详解】解：如图，延长BG 交CH 于点E ，在△ABG 和△CDH 中，AB CD AG CH BG DH =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△CDH （SSS ），AG 2+BG 2=AB 2，∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，在△ABG 和△BCE 中，1324AB BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABG ≌△BCE （ASA ），∴BE=AG=4，CE=BG=3，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE -BG=4-3=1，同理可得：HE=1，在Rt △GHE 中，GH=2222112GE EH +=+=，故选：C.【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE 为等腰直角三角形是解题的关键．5．B解析：B【分析】延长DH 交AG 于点E ，利用SSS 证出△AGB ≌△CHD ，然后利用ASA 证出△ADE ≌△DCH ，根据全等三角形的性质求出EG 、HE 和∠HEG ，最后利用勾股定理即可求出HG ．【详解】解：延长DH 交AG 于点E∵四边形ABCD 为正方形∴AD=DC=BA=10，∠ADC=∠BAD=90°在△AGB 和△CHD 中AG CH BA DC BG DH =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AGB ≌△CHD∴∠BAG=∠DCH∵∠BAG ＋∠DAE=90°∴∠DCH ＋∠DAE=90°∴CH 2＋DH 2=82＋62=100= DC 2∴△CHD 为直角三角形，∠CHD=90°∴∠DCH ＋∠CDH=90°∴∠DAE=∠CDH ，∵∠CDH ＋∠ADE=90°∴∠ADE=∠DCH在△ADE 和△DCH 中ADE DCH AD DCDAE CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△DCH∴AE=DH=6，DE=CH=8，∠AED=∠DHC=90°∴EG=AG －AE=2，HE= DE －DH=2，∠GEH=180°－∠AED=90°在Rt △GEH 中，=故选B ．【点睛】此题考查是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．6．C解析：C【分析】由题意根据全等三角形的判定与性质，结合勾股定理和正方形的面积公式进行分析计算.【详解】解：∵a 、b 、c 都为正方形，a ，c 的面积分别为6和14，∴AC=CE,AB 2=6,DE 2=14，90ACF ︒∠=,∵90,90BAC BCA BCA DCE ︒︒∠+∠=∠+∠=,∴BAC DCE ∠=∠,在ABC 和CDE △中，ABC CDE BAC DCE AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABC CDE AAS ≅，∴BC=DE,BC 2=DE 2=14，由勾股定理可知222AC AB BC =+，∴b 的面积为261420AC =+=.故选：C.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理和正方形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．7．C解析：C【分析】连接BQ ，由矩形的性质，设BC=AO=a ，AB=OC=b ，利用勾股定理得到222PQ PB BQ +=，然后得到y 与x 的关系式，判断关系式，即可得到答案.【详解】解，如图，连接BQ ，由题意可知，△OPQ ，△QPB ，△ABP 是直角三角形，在矩形ABCO 中，设BC=AO=a ，AB=OC=b ，则OP=a x -，CQ b y =-，由勾股定理，得：222()PQ y a x =+-，222PB x b =+，222()BQ a b y =+-，∵222PQ PB BQ +=，∴222222()()y a x x b a b y +-++=+-，整理得：2by x ax =-+， ∴221()24a a y x b b=--+， ∵10b-<， ∴当2a x =时，y 有最大值24a b； ∴随x 的增大，y 先增大后减小；故选择：C.【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理找到y 与x 的关系式，从而得到答案.8．A解析：A【分析】①通过条件可以得出△ABE ≌△ADF ，从而得出∠BAE=∠DAF ，BE=DF ，由正方形的性质就可以得出EC=FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，②设BC=x ，CE=y ，由勾股定理就可以得出EF 与x 、y 的关系，表示出BE 与EF ，即可判断BE+DF 与EF 关系不确定；③当∠DAF=15°时，可计算出∠EAF=60°，即可判断△EAF 为等边三角形，④当∠EAF=60°时，可证明△AEF 是等边三角形，从而可得∠AEF=60°，而△CEF 是等腰直角三角形，得∠CEF=45°，从而可求出∠AEB=75°，进而可得结论．【详解】解：①四边形ABCD 是正方形，∴AB ═AD ，∠B=∠D=90°．在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AE AF AB AD ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF∵BC=CD ，∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ，∵AE=AF ，∴AC 垂直平分EF ．（故①正确）．②设BC=a ，CE=y ，∴BE+DF=2（a-y ）EF=y ，∴BE+DF 与EF 关系不确定，只有当y=（）a 时成立，（故②错误）．③当∠DAF=15°时，∵Rt △ABE ≌Rt △ADF ，∴∠DAF=∠BAE=15°，∴∠EAF=90°-2×15°=60°，又∵AE=AF∴△AEF 为等边三角形．（故③正确）．④当∠EAF=60°时，由①知AE=AF ，∴△AEF 是等边三角形，∴∠AEF=60°,又△CEF 为等腰直角三角形，∴∠CEF=45°∴∠AEB=180°-∠AEF-∠CEF=75°,∴∠AEB≠∠AEF ，故④错误．综上所述，正确的有①③，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．9．B解析：B【分析】先求证四边形AFPE 是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP 最短时的长，然后即可求出AM 最短时的长．【详解】解：连接AP ，在ABC 中，AB ＝5，AC ＝12，BC ＝13，∴AB 2+AC 2＝BC 2，∴∠BAC ＝90°，∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴四边形AFPE 是矩形，∴EF ＝AP ．∵M 是EF 的中点，∴AM ＝12AP ， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即AP ⊥BC 时，AP 最短，同样AM 也最短，∴S △ABC ＝1122BC AP AB AC ⋅=⋅， ∴111351222AP ⨯=⨯⨯， ∴AP 最短时，AP ＝6013， ∴当AM 最短时，AM ＝12AP ＝3013． 故选：B ．【点睛】 此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度．10．D解析：D【分析】①由矩形的性质得到90OBC ∠=︒，根据折叠的性质得到OB OD =，90PDO OBP ，BOP DOP ∠=∠，推出四边形OBPD 是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形OBPD 为正方形；故①正确；②过D 作DH OA ⊥于H ，得到10OA =，6OB =，根据直角三角形的性质得到132DH OD ，根据三角形的面积公式得到OAD ∆的面积为113101522OA DH ，故②正确；③连接OC ，于是得到OD CD OC ，即当OD CD OC +=时，CD 取最小值，根据勾股定理得到CD 的最小值为6；故③正确；④根据已知条件推出P ，D ，A 三点共线，根据平行线的性质得到OPB POA ，等量代换得到OPA POA ，求得10AP OA ，根据勾股定理得到1082BP BC CP ，故④正确．【详解】解：①四边形OACB 是矩形，90OBC ∴∠=︒，将OBP ∆沿OP 折叠得到OPD ∆，OB OD ∴=，90PDO OBP ，BOP DOP ∠=∠，45BOP ，45DOP BOP ，90BOD =∴∠︒，90BOD OBP ODP ，∴四边形OBPD 是矩形，OB OD =，∴四边形OBPD 为正方形；故①正确；②过D 作DH OA ⊥于H ，点(10,0)A ，点(0,6)B ，10OA ∴=，6OB =，6OD OB，30BOP DOP ， 30DOA ， 132DH OD ，OAD ∴∆的面积为113101522OA DH ，故②正确； ③连接OC ，则OD CD OC ，即当OD CD OC +=时，CD 取最小值，6ACOB ，10OA =， 2222106234OC OA AC ，2346CD OC OD ，即CD 的最小值为6；故③正确；④⊥OD AD ， 90ADO ∴∠=︒， 90ODP OBP ，180ADP ，P ∴，D ，A 三点共线，OA CB，//OPB POA，OPB OPD，OPA POA，AP OA，10AC ，6221068CP，BP BC CP，故④正确；1082故选：D．【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．二、填空题11．2【分析】过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，得到BO=2HE，其中O点在线段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO的长即可求解．【详解】解：过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，如下图所示：∵H是BG的中点，且BO与HE平行，∴HE为△BOG的中位线，且BO=2HE，故要使得HE 最短，只需要BO 最短即可，当E 点位于C 点时，则O 点与C 点重合，当E 点位于D 点时，则O 点与A 点重合，故E 点在CD 上运动时，O 点在AC 上运动，由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO ⊥AC 时，此时BO 最短，∵四边形ABCD 是正方形，∴△BOC 为等腰直角三角形，且BC=4，、 ∴2222BO, ∴122HE BO ，故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的HE 线段长转移到线段BO 上．12．42【分析】首先由对边分别平行可判断四边形ABCD 为平行四边形，连接AC 和BD ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，通过证明△ADF ≌△ABC 来证明四边形ABCD 为菱形，从而得到AC 与BD 相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD 长度.【详解】解：连接AC 和BD ，其交点为O ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴∠ADF=∠ABE ，∵两纸条宽度相同，∴AF=AE ，∵90ADF ABE AFD AEB AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△ABE ，∴AD=AB ，∴四边形ABCD为菱形，∴AC与BD相互垂直平分，∴BD=22242AB AO-=故本题答案为：42【点睛】本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.13．45【分析】设EF＝x，根据三角形的中位线定理表示AD＝2x，AD∥EF，可得∠CAD＝∠CEF＝45°，证明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM＝45°，证明△ENF≌△MNB，则EN＝MN＝12 x，BN＝FN＝5，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长．【详解】解：设EF＝x，∵点E、点F分别是OA、OD的中点，∴EF是△OAD的中位线，∴AD＝2x，AD∥EF，∴∠CAD＝∠CEF＝45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2x，∴∠ACB＝∠CAD＝45°，∵EM⊥BC，∴∠EMC＝90°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴∠CEM＝45°，连接BE，∵AB＝OB，AE＝OE∴BE⊥AO∴∠BEM＝45°，∴BM＝EM＝MC＝x，∴BM＝FE，易得△ENF≌△MNB，∴EN ＝MN ＝12x ，BN ＝FN ＝5， Rt △BNM 中，由勾股定理得：BN2＝BM2+MN2， 即22215()2x x =+解得，x ＝25，∴BC ＝2x ＝45．故答案为：45．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．14．102︒【分析】根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC ，AD=CD ；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF ，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB 的度数．【详解】连接BD ，BF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=CD ，∴∠DAC=∠DCA ．∵EF 垂直平分AB ，AC 垂直平分BD ，∴AF=BF ，BF=DF ，∴AF=DF ，∴∠FAD=∠FDA ，∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，∵∠CDF=27°，∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，∴∠DAB=2∠DAC=102°．故答案为：102°．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD ，BF ，这是解答本题的突破口．15．4【分析】证明CF∥DB，CF=DB，可得四边形CDBF是平行四边形，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可．【详解】解：∵CF∥AB，∴∠ECF=∠EBD．∵E是BC中点，∴CE=BE．∵∠CEF=∠BED，∴△CEF≌△BED（ASA）．∴CF=BD．∴四边形CDBF是平行四边形．作EM⊥DB于点M，∵四边形CDBF是平行四边形，22BC=∴BE=122BC=，DF=2DE，在Rt△EMB中，EM2+BM2=BE2且EM=BM∴EM=1，在Rt△EMD中，∵∠EDM=30°，∴DE=2EM=2，∴DF=2DE=4．故答案为：4．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，16．1382+【分析】如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，首先利用正方形性质结合题意求出AD=CD=AG=DQ=1，然后进一步根据菱形性质得出DE=EF=DG=2，再后通过证明四边形NKQR是矩形得出22221382FN FR NR=+=+NS交ML于点Z，利用全等三角形性质与判定证明四边形FHMN为正方形，最后进一步求解即可.【详解】如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，∵ABCD为正方形，∴∠CDG=∠GDK=90°，∵正方形ABCD面积为1，∴AD=CD=AG=DQ=1，∴DG=CT=2，∵四边形DEFG为菱形，∴DE=EF=DG=2，同理可得：CT=TN=2，∵∠EFG=45°，∴∠EDG=∠SCT=∠NTK=45°，∵FE∥DG，CT∥SN，DG⊥CT，∴∠FQP=∠FRN=∠DQE=∠NKT=90°，∴2FQ=FE+EQ=22+∵∠NKT=∠KQR=∠FRN=90°，∴四边形NKQR是矩形，∴2，∴FR=FQ+QR=222=，+，NR=KQ=DK−2121∴2221382FN FR NR=+=+再延长NS交ML于点Z，易证得：△NMZ≅△FNR(SAS)，∴FN=MN，∠NFR=∠MNZ，∵∠NFR+∠FNR=90°，∴∠MNZ+∠FNR=90°，即∠FNM=90°，同理可得：∠NFH=∠FHM=90°，∴四边形FHMN为正方形，∴正方形FHMN的面积=21382FN=+故答案为：1382+【点睛】本题主要考查了正方形和矩形性质与判定及与全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.17．663【分析】==，得到△FEM是等边三角形，根据含30°直通过四边形ABCD是矩形以及CE CB BE角三角形的性质以及勾股定理得到KM，NK，KE的值，进而得到NE的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN，BE即可．【详解】解：如图，设NE交AD于点K，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠MFE=∠FCB，∠FME=∠EBC==，∵CE CB BE∴△BCE为等边三角形，∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，∵∠FEM=∠BEC，∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，∴△FEM是等边三角形，FM=FE=EM=2，∵EN⊥BE，∴∠NEM=∠NEB=90°，∴∠NKA=∠MKE=30°，∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，∴在Rt△KME中，KE=2223-=，KM EM∴NE=NK+KE=6+23，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=30°，∴BN=2NE=12+43，∴BE=22663-=+，BN NE∴BC=BE=663，故答案为：663【点睛】本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．18．5【分析】先判断四边形BCEF 的形状，再连接FM FC 、，利用正方形的性质得出AFG 是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12MN FC =即可． 【详解】∵四边形ABCP 是边长为4的正方形，//EF BC ，∴四边形BCEF 是矩形，∵1PE =，∴3CE =，连接FM FC 、，如图所示：∵四边形ABCP 是正方形，∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，又∵N 是FC 中点，12MN FC =， ∵225FC BF BC =+=∴ 2.5MN =，故答案为：2.5 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．19．7【分析】 ①若m n =，则AF EC =，先根据平行四边形的性质得出//,AD BC AD BC =，再根据平行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得；②先根据平行四边形的性质与判定得出四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形，从而可得11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆==，再根据28ABCD ABEF CDFE S S S =+= 和1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆=+=+四边形即可得出答案．【详解】 四边形ABCD 是平行四边形//,AD BC AD BC ∴=,,AF EC n m BC BCm n === AF EC ∴=AD AF BC EC ∴-=-，即DF BE =∴四边形AECF 、四边形BEDF 都是平行四边形//,//AE CF BF DE ∴∴四边形EGFH 是平行四边形综上，图中共有4个平行四边形如图，连接EF1,,AF EC n m BC B n Cm ==+= AF EC BC AD ∴+==AF DF AD +=EC DF ∴=AF BE ∴=∴四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆∴== 28ABCD ABEF CDFE S S S =+=1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆∴=+=+四边形1()4ABEF CDFE S S =+12874=⨯= 故答案为：4；7．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键．2012a 【分析】（1）根据折叠的性质可得出，四边形AFED 为正方形，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=，得出AB=AE ，继而可得解；（2）结合（1）可知，AE AM ==，因为EC=3BM ，所以有1BM 2FM =，求出BM ，继而可得解．【详解】解：（1）由折叠的性质可得，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=， ∴AB=AE ，∵AE ==∴AB =．（2）结合（1）可知，AE AM ==，∴FM a =-，∵EC=3BM ， ∴1BM 2FM =∴BM 2a -=∴1AB 22a a -=+=．． 【点睛】本题是一道关于折叠的综合题目，主要考查折叠的性质，弄清题意，结合图形找出线段间的数量关系是解题的关键．三、解答题21．（1）AH 2）①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠DAE ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠DAH ＝∠EAH ，求出∠HAB ＝45°，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案；（2）①根据线段垂直平分线的性质得到CB ＝CE ，根据平行四边形的性质得到AD ＝BC ，得到DE ＝CE ，利用SAS 定理证明结论；②根据全等三角形的性质得到EN ＝EG ，根据等边三角形的判定定理证明即可．【详解】（l ）∵ADE ∆是等边三角形，∴60DAE ∠=︒.∵AH BD ⊥，∴1302DAH HAE DAE ︒∠=∠=∠=. ∵75DAB ∠=︒，∴753045BAH BAD DAH ︒︒︒∠=∠-∠=-=.∴AH BH === （2）①∵点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，∴线段CF 是线段BE 的垂直平分线.∴CE CB =，ECF BCF ∠=∠.∵ADE ∆是等边三角形，∴DE AD =.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，∴DE CE =.∴EDC ECD ∠=∠.在DEG ∆和CEN ∆中，DG CN GDE NCE DE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CEN DEG SAS ∆∆≌.②由①知：CEN DEG ∆∆≌，∴EN EG =.∵AD BC ∥，∴180ADC BCD ︒∠+∠=.∵60ADE ∠=︒，∴120EDC BCD ︒∠+∠=.∵ECF BCF ∠=∠，EDC ECD ∠=∠，∴60DCF ∠=︒.∵CF MN ，∴60DNE DCF ∠=∠=︒.∴ENG ∆是等边三角形.【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．(1)见解析；(2)相等，垂直；(3)成立，理由见解析【分析】(1)由等腰直角△ECF 得到CE=CF ，再由正方形ABCD 进一步得到BE=DF ，最后证明△ABE ≌△ADF 即可求解；(2)MN 是△AEF 的中位线，得到AE=2MN ，又M 是直角三角形ADF 斜边上的中点，得到AF=2MD ，再由(1)中的AE=AF 即可得到MN=MD ；由∠DMF ＝∠DAF+∠ADM ，∠FMN ＝∠FAE ，∠DAF ＝∠BAE ，∠ADM ＝∠DAF ＝∠BAE ，由此得到∠DMN ＝∠BAD ＝90°；(3)连接AE ，同(1)中方法证明△ABE ≌△ADF ，进而得到AE=AF ，此时MN 是△AEF 中位线，。
八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题难题测试综合卷检测试卷
一、选择题1．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形连接AC 交EF 于G ，下列结论: ①BE ＝DF ，②∠DAF ＝15°，③AC ⊥EF ，④BE+DF ＝EF ，⑤EC ＝FG ；其中正确结论有( )个A ．2B ．3C ．4D ．52．点E 是正方形ABCD 对角线AC 上，且EC=2AE ，Rt △FEG 的两条直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于M 、N 两点，若正方形ABCD 的边长为a ，则四边形EMCN 的面积（ ）A ．23a 2B ．14a 2C ．59a 2D ．49a 2 3．如图，点O （0，0），B （0，1）是正方形OBB 1C 的两个顶点，以它的对角线OB 1为一边作正方形OB 1B 2C 1，以正方形OB 1B 2C 1的对角线OB 2为一边作正方形OB 2B 3C 2，再以正方形OB 2B 3C 2的对角线OB 3为一边作正方形OB 3B 4C 3，…，依次进行下去，则点B 6的坐标是（ ）A ．(42,0)B ．(42,0)-C ．(8,0)-D ．(0,8)- 4． 如图，平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，∠ADB=20°，∠ACB=50°，过点O 的直线交AD 于点E ，交BC 于点F 当点E 从点A 向点D 移动过程中（点E 与点A 、点D 不重合），四边形AFCE 的形状变化依次是（ ）A ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B ．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C ．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形D ．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，E 是BC 边上一点，将矩形沿AE 折叠，点B 落在点B '处，当△B 'EC 是直角三角形时，BE 的长为（ ）A ．2B ．6C ．3或6D ．2或3或66．如图，平行四边形ABCD 中，AB=18，BC ＝12，∠DAB ＝60°，E 在AB 上，且AE ：EB ＝1：2，F 是BC 的中点，过D 分别作DP ⊥AF 于P ，DQ ⊥CE 于Q ，则下列结论正确的个数是（ ）（1）CE 平分∠BCD ；（2）AF=CE ；（3）连接DE 、DF ，则ADF CDE SS ∆=；（4）DP ：DQ=23:13A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 在MON ∠的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，4AB =，2BC =，则点D 到点O 的最大距离是（ ）A ．22B ．222C ．252D 22+8．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，2BD AD =，点E ，F ，G 分别是OA ，OB ，CD 的中点，EG 交FD 于点H ，下列4个结论中说法正确的有（ ）①ED CA ⊥；②EF EG =；③12FH FD =；④12EFD ACD S S =△△．A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②③④9．如图，矩形ABCD 的面积为20cm 2，对角线相交于点O ．以AB 、AO 为邻边画平行四边形AOC 1B ，对角线相交于点O ；以AB 、AO 为邻边画平行四边形AO 1C 2B ，对角线相交于点O 2 ：……以此类推，则平行四边形AO 4C 5B 的面积为（ ）A ．58cm 2B ．54cm 2C ．516cm 2D ． 5 32cm 2 10．如图，BD 为平行四边形ABCD 的对角线，45DBC ∠=︒，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE 、BF 相交于H ，直线BF 交线段AD 的延长线于G ，下面结论：①2BD BE =；②A BHE =∠∠；③AB BH =；④BHD BDG ∠=∠其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A ，B 两点，“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD 平行，若AB ＝100m ，∠A ＝∠B ＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．12．如图所示，菱形ABCD ，在边AB 上有一动点E ，过菱形对角线交点O 作射线EO 与CD边交于点F ，线段EF 的垂直平分线分别交BC 、AD 边于点G 、H ，得到四边形EGFH ，点E 在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH ；②可以得到无数个矩形EGFH ；③可以得到无数个菱形EGFH ；④至少得到一个正方形EGFH ．所有正确结论的序号是__．13．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ；②BG ⊥CE ；③AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC ．其中正确的是_________．14．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．15．如图,在平面直角坐标系中,直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．16．如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.17．如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=︒，45ABC ∠=︒，22BC =，则DF =_________．18．已知：如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，BE AC ⊥，垂足为点E ，M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设4AB =，30DAC ∠=︒则EM =______；EDM 的面积为______，19．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D 落在AB 边的点F 处，得折痕AE ，再折叠，使点C 落在AE 边的点G 处，此时折痕恰好经过点B ，如果AD=a ，那么AB 长是多少？”常明说；“简单，我会. AB 应该是_____”.常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B ，而是经过了AB 边上的M 点，如果AD=a ，测得EC=3BM ，那么AB 长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.三、解答题21．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，5HG =，求DE 的长．22．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（6，6），将正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连结CH 、CG ．（1）求证：CG 平分∠DCB ；（2）在正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转的过程中，求线段HG 、OH 、BG 之间的数量关系；（3）连结BD 、DA 、AE 、EB ，在旋转的过程中，四边形AEBD 是否能在点G 满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE 的解析式；若不能，请说明理由．23．已知正方形ABCD ．（1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=︒．①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形．②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数．（2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当13AE CF =时．请直接写出HC 的长________．24．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC ．（直接写出结果）25．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，．①求证：13h h =；②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．26．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系；②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．27．如图，ABC ADC ∆≅∆，90,ABC ADC AB BC ︒∠=∠==，点F 在边AB 上，点E 在边AD 的延长线上，且,DE BF BG CF =⊥，垂足为H ，BH 的延长线交AC 于点G .（1）若10AB =，求四边形AECF 的面积；（2）若CG CB =，求证：2BG FH CE +=.28．如图，四边形ABCD 为正方形.在边AD 上取一点E ，连接BE ，使60AEB ∠=︒.（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点B 、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点T ，连接BT 并延长交边AD 于点E ，则60AEB ∠=︒；（2）在前面的条件下，取BE 中点M ，过点M 的直线分别交边AB 、CD 于点P 、Q . ①当PQ BE ⊥时，求证：2BP AP =；②当PQ BE =时，延长BE ，CD 交于N 点，猜想NQ 与MQ 的数量关系，并说明理由.29．已知：如图，在ABC 中，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连接CE ，过点C 作//CF BA 交PQ 于点F ，连接AF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若8AC =，AE=5，则求菱形AECF 的面积．30．如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），ADE ∆是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，交直线AC 于点F ，连接BE ．（1）判断四边形BCFE 的形状，并说明理由；（2）当DE AB ⊥时，求四边形BCFE 的周长；（3）四边形BCFE 能否是菱形？若可为菱形，请求出BD 的长，若不可能为菱形，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据已知条件易证△ABE ≌△ADF ，根据全等三角形的性质即可判定①②；由正方形的性质就可以得出EC=FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，即可判定③；设EC=FC=x ，由勾股定理和三角函数计算后即可判定④⑤．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD ，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF 等边三角形，∴AE=EF=AF ，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AE AF AB AD ⎧⎨⎩＝＝ , Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF （故①正确）．∠BAE=∠DAF ，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°（故②正确），∵BC=CD ，∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ，∵AE=AF ，∴AC 垂直平分EF ．（故③正确）．设EC=FC=x ，由勾股定理，得:22,2EF x CG FG x ===, ∴EC ≠FG （⑤错误）在Rt △AEG 中， 6sin 60sin 602sin 60AG AE EF CG x ︒︒︒===⨯=, 622x x AC +∴=, 3x x AB +∴=, 33x x x x BE x +-∴=-=, 32BE DF x x x ∴+=-≠，（故④错误），综上所述，正确的结论为①②③，共3个，故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题的关键．2．D解析：D【解析】【分析】根据题意过E 作EK 垂直于直线CD ，垂足为K ，再过E 作EL 垂直于直线BC ，垂足为L ，只要证明ENK ELM ∆≅∆,则可计算EKCL ENCM S S=四边形.【详解】解：根据题意过E 作EK 垂直于直线CD ，垂足为K ，再过E 作EL 垂直于直线BC ，垂足为L.四边形ABCD 为正方形∴EL=EK,EK CD EL BC ⊥⊥∴90ELM EKN ︒∠=∠=90BCD ︒∠=90KEL ︒∴∠= FEG 为直角三角形90KEM LEM KEM NEK ︒∴∠+∠=∠+∠=LEM NEK ∴∠=∠ENK ELM ∴∆≅∆2224()39EKCL ENCM S Sa a ∴===四边形 故选D.【点睛】本题主要考查正方形的性质，关键在于根据题意做辅助线. 3．C解析：C【解析】【分析】根据已知条件如图可得到B 1 ，B 2所在的正方形的对角线长为2,B 3所在的正方形的对角线长为3,依据规律可得B 6所在的正方形的对角线长为6=8，再根据B 6在x 轴的负半轴，就可得到B 6的坐标。
平行四边形单元 易错题难题测试综合卷学能测试试卷
平行四边形单元 易错题难题测试综合卷学能测试试卷一、选择题1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 落在y 轴上，点C 落在x 轴上，随着顶点C 由原点O 向x 轴正半轴方向运动，顶点A 沿y 轴负半轴方向运动到终点O ，在运动过程中OD 的长度变化情况是（ ）A ．一直增大B ．一直减小C ．先减小后增大D ．先增大后减少2．已知在直角梯形ABCD 中， AD ∥BC ，∠BCD ＝90°, BC ＝CD ＝2AD , E 、F 分别是BC 、CD 边的中点，连结BF 、DE 交于点P ，连结CP 并延长交AB 于点Q ，连结AF ，则下列结论不正确的是（ ）A ．CP 平分∠BCDB ．四边形 ABED 为平行四边形C ．CQ 将直角梯形 ABCD 分为面积相等的两部分D ．△ABF 为等腰三角形 3．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，P 为边AD 上一动点，连接BP ，把△ABP 沿BP 折叠，使A 落在A′处，当△A′DC 为等腰三角形时，AP 的长为（ ）A ．2B 23C ．223D ．2434．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点,EF 在正方形ABCD 内， ,EAB FDC ∆∆都是等边三角形，则EF 的长为（ ）A ．23-B ．232-C ．31-D ．35．如图，在正方形ABCD 中，M 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，连接AM 、EM 、CM ，延长EM 交AB 于点F ，若AM =EM ，30E ∠=︒，则下列结论：①MF ME =；②BFDE =；③MC EF ⊥；④2BF MD BC +=，其中正确的结论序号是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④6．如图：点E 、F 为线段BD 的两个三等分点，四边形AECF 是菱形，且菱形AECF 的周长为20，BD 为24，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．24B ．36C ．72D ．1447．如图，四边形ABCD 为平行四边形，D ∠为锐角，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ，且AF FE =．若25AB =，ABCD 面积为300，则AF 的长度为（ ）A ．30B ．15C ．40D ．208．如图，在ABC 中，ACB 90∠=︒，2AC BC ==，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且AE CF =，给出以下四个结论：（1）DE DF =；（2）DEF 是等腰直角三角形；（3）四边形CEDF 面积ABC 1S 2=△；（4）2EF 的最小值为2．其中正确的有（ ）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝185．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，BE=4，EC=8，将正方形边AB 延AE 折叠刀AF ，延长EF 交DC 于G ，连接AG ，现在有如下结论：①∠EAG=45°；②GC=CF ；③FC ∥AG ；④S △GFC =14.4；其中结论正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A ，B 两点，“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD 平行，若AB ＝100m ，∠A ＝∠B ＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．12．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．13．如图所示，菱形ABCD ，在边AB 上有一动点E ，过菱形对角线交点O 作射线EO 与CD 边交于点F ，线段EF 的垂直平分线分别交BC 、AD 边于点G 、H ，得到四边形EGFH ，点E 在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH ；②可以得到无数个矩形EGFH ；③可以得到无数个菱形EGFH ；④至少得到一个正方形EGFH ．所有正确结论的序号是__．14．如图，在等边ABC 和等边DEF 中，FD 在直线AC 上，33,BC DE ==连接,BD BE ，则BD BE +的最小值是______．15．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，若27CDF ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．16．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③ABCD 19CEF S S ∆=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．17．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ．F 是AD 的中点，作CE ⊥AB, 垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：(1)∠DCF+12∠D ＝90°；(2)∠AEF+∠ECF ＝90°；(3)BEC S =2CEF S ； (4)若∠B=80︒，则∠AEF=50°．其中一定成立的是______ (把所有正确结论的字号都填在横线上)．18．在ABCD 中，5AD =，BAD ∠的平分线交CD 于点E ，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，若线段EF=2，则AB 的长为__________．19．如图，在正方形ABCD 中，AC=62，点E 在AC 上，以AD 为对角线的所有平行四边形AEDF 中，EF 最小的值是_________．20．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，点M 为线段AB 的中点．点D 、E 分别在x 轴、y 轴的负半轴上运动，且DE ＝AB ＝10．以DE 为边在第三象限内作正方形DGFE ，则线段MG 长度的最大值为_____．三、解答题21．如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长．22．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN的最大值为_____（结果用含n的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF BF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．23．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC BD ⊥，则2222AB CD AD BC +=+．（1）请帮助小明证明这一结论；（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE .已知4AC =，5AB =，求GE 的长，请你帮助小明解决这一问题．24．在等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上方作菱形ADEF ，且∠DAF=60°，连接CF ．（1）（观察猜想）如图（1），当点D 在线段CB 上时，①BCF ∠= ；②,,BC CD CF 之间数量关系为 ．（2）（数学思考）：如图（2），当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．（3）（拓展应用）：如图（3），当点D 在线段BC 的延长线上时，若6AB =，13CD BC =，请直接写出CF 的长及菱形ADEF 的面积．．25．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．(1)求证: FCE BOE ≌；(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．26．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，5HG =，求DE 的长．27．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．(1)如图1，求证：CF⊥EF;(2)如图2，延长CE、DA交于点K, 过点F作FG∥AB交CE于点G若，点H为FG上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H作HN⊥CH交AB于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK长.28．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AC的一点，连接EB，过点A做AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．（1）猜想：如图（1）线段OE与线段OF的数量关系为；（2）拓展：如图（2），若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM、DB的延长线相交于点F，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由．29．如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD沿直线EF折叠，点B落在AD边上的G处，E、F分别在BC、AB边上且F(1，4)．(1)求G点坐标(2)求直线EF解析式(3)点N在坐标轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由30．点E在正方形ABCD的边BC上，点F在AE上，连接FB，FD，∠ABF=∠AFB．（1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF；（2）如图2，过点F作垂线交AB于G，交DC的延长线于H，求证：DH=2 AG；（3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据运动开始，OD是正方形的边长CD，运动过程中B与O点重合时，OD是对角线，在运动A与O点重合，OD是边长AD，可得答案．【详解】从C离开O点到B到O点，OD由边长到对角线在增大，由B离开O点到A到O点，OD由正方形的对角线减少到正方形的边长．故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，OD由正方形的边长到正方形的对角线，再由正方形的对角线到正方形的边长．2．C解析：C【解析】【分析】A.根据边角边”证明△BCF≌△DCE，然后利用“角边角”证明△BEP≌△DFP，再利用“边角边”证明△BCP≌△DCP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BCP=∠DCP；B.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABED为平行四边形；C.连接QD，利用“边角边”证明△BCQ和△DCQ全等，根据全等三角形的面积相等判断出S△BCQ=S△DCQ，判断出CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等．D.根据平行四边形的对边相等可得AB=DE，再求出AB=BF，从而得到△ABF为等腰三角形；【详解】解：∵BC=CD，E、F分别是BC、CD边的中点，∴BE=CE=CF=DF，在△BCF和△DCE中，，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴DE=BF，∠CBF=∠CDE，∠BFC=∠DEC，∴180°-∠BFC=180°-∠DEC，即∠BEP=∠DFP，在△BEP和△DFP中，，∴△BEP≌△DFP（ASA），∴BP=DP，在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴∠BCP=∠DCP，∴CP平分∠BCD，故A选项结论正确；∵BC=2AD，E是BC的中点，∴BE=AD，又∵AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形，故B选项结论正确；∴AB=DE，又∵DE=BF（已证），∴AE=BF，∴△ABF为等腰三角形，故D选项结论正确；连接QD，在△BCQ和△DCQ中，，∴△BCQ≌△DCQ（SAS），∴S△BCQ=S△DCQ，∴CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等，故C选项结论不正确．故选：C．【点睛】本题考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记各图形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键，难点在于多次证明三角形全等．3．C解析：C【解析】【分析】根据△A′DC为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①A'D=A'C，②A'D=DC，③CA'=CD，分别求得AP的长，并判断是否符合题意．【详解】①如图，当A′D=A′C时，过A′作EF⊥AD，交DC于E，交AB于F，则EF垂直平分CD，EF 垂直平分AB∴A'A=A'B由折叠得，AB=A'B，∠ABP=∠A'BP∴△ABA'是等边三角形∴∠ABP=30°∴AP=23333 ==；②如图，当A'D=DC时，A'D=2由折叠得，A'B=AB=2∴A'B+A'D=2+2=4连接BD，则Rt△ABD中，22222425AB AD++=∴A'B+A'D＜BD（不合题意）故这种情况不存在；③如图，当CD=CA'时，CA'=2由折叠得，A'B=AB=2∴A'B+A'C=2+2=4∴点A'落在BC 上的中点处此时，∠ABP=12∠ABA'=45° ∴AP=AB=2．综上所述，当△A′DC 为等腰三角形时，AP 的长为2 332．故选C.【点睛】本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏． 4．B解析：B【分析】连接,,,FA FB ED ED ，延长FE 交CD 于点G ，延长EF 交AB 于点H ，说明EF 是DFC ∠，AEB ∠的平分线，得出,EG FH 的长度，进而求出EF 的长度．【详解】解：连接,,,FA FB ED ED ，延长FE 交CD 于点G ，延长EF 交AB 于点H ， ∵ABE ∆是等边三角形，∴60EAB EBA ∠=∠=︒，∴30DAE CBE ∠=∠=︒，在DAE ∆和CBE ∆中，∵AD BC DAE CBE AE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DAE CBE ∆≅∆，∴ED EC =，在EDF ∆和ECF ∆中，∵FD FC EF EF ED EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴EDF ECF ∆≅∆，∴DFE CFE ∠=∠∴EF 是DFC ∠的平分线，∴FG 是等边DFC ∆的DFC ∠的平分线，∴FG DC ⊥，∴GE GF EF =-，同理可证：EH AB ⊥，FH EH EF =-,∵,EAB FDC ∆∆都是等边三角形，且边长都等于正方形的边长，∴GF EH =，∴GE FH =,∵FG DC ⊥,EH AB ⊥,∴,,,G E F H 四点共线，且GH AD =，∵正方形ABCD 的边长为2，DFC ∆是等边三角形，∴2DF =，∵FG 是等边DFC ∆的DFC ∠的平分线，∴FG 也是DC 边上的中线，即：1DG GC ==，∴在Rt DFG ∆中，由勾股定理得：222DF DG GF =+，即：2222=1GF +， ∴3GF =， ∴23FH =-，同理可得：23GE =-，∴()()222323232EF GE FH =--=----=-，故选：B ．【点睛】本题目主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，以及全等三角形的判定，利用,,,G E F H 四点共线是解决本题的关键．5．A解析：A【分析】①证明△AFM是等边三角形，可判断；②③证明△CBF≌△CDE（ASA），可作判断；④设MN=x，分别表示BF、MD、BC的长，可作判断．【详解】解：①∵AM=EM，∠AEM=30°，∴∠MAE=∠AEM=30°，∴∠AMF=∠MAE+∠AEM=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠FAD=90°，∴∠FAM=90°-30°=60°，∴△AFM是等边三角形，∴FM=AM=EM，故①正确；②连接CE、CF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=∠CDM，AD=CD，在△ADM和△CDM中，∵AD CDADM CDM DM DM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADM≌△CDM（SAS），∴AM=CM，∴FM=EM=CM，∴∠MFC=∠MCF，∠MEC=∠ECM，∵∠ECF+∠CFE+∠FEC=180°，∴∠ECF=90°，∵∠BCD=90°，∴∠DCE=∠BCF，在△CBF和△CDE中，∵90CBF CDEBC CDBCF DCE∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝，∴△CBF≌△CDE（ASA），∴BF=DE；故②正确；③∵△CBF≌△CDE，∴CF=CE，∵FM=EM，∴CM⊥EF，故③正确；④过M作MN⊥AD于N，设MN=x，则AM=AF=2x，3AN x =，DN=MN=x ， ∴AD=AB= 3(31)x x x +=+，∴DE=BF=AB-AF=(31)2(31)x x x +-=-，∴ 22(31)26BF MD x x x +=-+=，∵BC=AD= (31)6x x +≠， 故④错误； 所以本题正确的有①②③；故选：A ．【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，熟记正方形的性质确定出△AFM 是等边三角形是解题的关键．6．C解析：C【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC ⊥BD ，AO ＝OC ，EO ＝OF ，再求出BO ＝OD ，证明四边形ABCD 是菱形，根据菱形的四条边都相等求出边长AE ，根据菱形的对角线互相平分求出OE ，然后利用勾股定理列式求出AO ，再求出AC ，最后根据四边形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【详解】解：如图，连接AC 交BD 于点O ，∵四边形AECF 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝OC ，EO ＝OF ，又∵点E 、F 为线段BD 的两个三等分点，∴BE ＝FD ，∴BO ＝OD ，∵AO ＝OC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 为菱形；∵四边形AECF 为菱形，且周长为20，∴AE ＝5，∵BD ＝24，点E 、F 为线段BD 的两个三等分点，∴EF ＝8，OE ＝12EF ＝12×8＝4， 由勾股定理得，AO3，∴AC ＝2AO ＝2×3＝6，∴S 四边形ABCD ＝12BD•AC ＝12×24×6＝72； 故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键． 7．B解析：B【分析】由题意先根据ASA 证明△ADF ≌△ECF ，推出300ABE ABCD S S ==，再证明BE=AB=25，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF ⊥AE ．设AF=x ，BF=y ，由∠ABF ＜∠BAF 可得x ＜y ，进而根据勾股定理以及△ABE 的面积为300列出方程组并解出即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD//BC 即AD//BE ，AB//CD ，∴∠DAF=∠E ．在△ADF 与△ECF 中，DAF E AF EFAFD EFC ⎧⎪⎨⎪∠∠∠⎩∠＝＝＝， ∴△ADF ≌△ECF （ASA ），∴ADF ECF S S =△△，∴300ABE ABCD S S ==．∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAF ，∵∠DAF=∠E ，∴∠BAE=∠E ，∴BE=AB=25，∵AF=FE ，∴BF ⊥AE ．设AF=x ，BF=y ，∵∠D 为锐角，∴∠DAB=180°-∠D 是钝角，∴∠D ＜∠DAB ， ∴12∠ABC ＜12∠DAB ， ∴∠ABF ＜∠BAF ，∴AF ＜BF ，x ＜y ． 则有22222520013x y x y ⎧+⎪⎨⎪⎩＝＝，解得：1520x y ⎧⎨⎩＝＝或2015x y ＝＝（舍去）， 即AF=15．故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质和勾股定理等知识．由题意证明出300ABE ABCD S S ==以及BF ⊥AE 是解题的关键．8．A解析：A【分析】根据等腰三角形的性质，可得到：CD AB ⊥，从而证明ADE ≌CDF 且ADC 90∠=︒，即证明DE DF =和DEF 是等腰直角三角形，以及四边形CEDF 面积ABC 1S 2=△；再根据勾股定理求得EF ，即可得到答案． 【详解】∵ACB 90∠=︒，2AC BC ==∴AB ==∴A B 45∠=∠=︒∵点D 是AB 的中点∴CD AB ⊥，且1AD BD CD AB 2====∴DCB 45∠=︒∴A DCF ∠∠=，在ADE 和CDF 中 AD CD A DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE ≌()CDF SAS∴DE DF =，ADE CDF ∠∠=∵CD AB ⊥∴ADC 90∠=︒∴EDF EDC CDF EDC ADE ADC 90∠∠∠∠∠∠=+=+==︒∴DEF 是等腰直角三角形∵ADE ≌CDF∴ADE 和CDF 的面积相等∵D 为AB 中点∴ADC 的面积1ABC 2=的面积 ∴四边形CEDF 面积EDC CDF EDC ADE ADC ABC 1S S S S S S 2=+=+==；当DE AC ⊥，DF BC ⊥时，2EF 值最小根据勾股定理得：222EF DE DF =+此时四边形CEDF 是正方形即EF CD ==∴22EF 2==∴正确的个数是4个故选：A ．【点睛】本题考察了等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形的性质，从而完成求解．9．D解析：D【分析】由正方形和折叠的性质得出AF ＝AB ，∠B ＝∠AFG ＝90°，由HL 即可证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ，得出①正确；设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，由勾股定理求出x ＝3，得出②正确；由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB ＝∠FCG ，证出平行线，得出③正确； 根据三角形的特点及面积公式求出△FGC 的面积＝185，得出④正确． 【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝DC ＝6，∠B ＝D ＝90°，∵CD ＝3DE ，∴DE ＝2，∵△ADE 沿AE 折叠得到△AFE ，∴DE ＝EF ＝2，AD ＝AF ，∠D ＝∠AFE ＝∠AFG ＝90°，∴AF ＝AB ，∵在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，AG AG AB AF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），∴①正确；∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ，∴BG ＝FG ，∠AGB ＝∠AGF ，设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，在Rt △ECG 中，由勾股定理得：CG 2＋CE 2＝EG 2，∵CG ＝6−x ，CE ＝4，EG ＝x ＋2∴（6−x ）2＋42＝（x ＋2）2解得：x ＝3，∴BG ＝GF ＝CG ＝3，∴②正确；∵CG ＝GF ，∴∠CFG ＝∠FCG ，∵∠BGF ＝∠CFG ＋∠FCG ，又∵∠BGF ＝∠AGB ＋∠AGF ，∴∠CFG ＋∠FCG ＝∠AGB ＋∠AGF ，∵∠AGB ＝∠AGF ，∠CFG ＝∠FCG ，∴∠AGB ＝∠FCG ，∴AG ∥CF ，∴③正确；∵△CFG 和△CEG 中，分别把FG 和GE 看作底边，则这两个三角形的高相同． ∴35CFG CEG S FG S GE ==， ∵S △GCE ＝12×3×4＝6， ∴S △CFG ＝35×6＝185， ∴④正确；正确的结论有4个，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形性质、折叠性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点的运用；主要考查学生综合运用性质进行推理论证与计算的能力，有一定难度．10．C解析：C【分析】选项①正确．证明∠GAF=∠GAD，∠EAB=∠EAF即可．选项②错误．可以证明DG=GC=FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．选项③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF 即可．选项④正确．证明FG：EG=3：5，求出△ECG的面积即可．【详解】解：如图，连接DF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=90°，由折叠可知：AB=AF，∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°，BE=EF=4，∠BAE=∠EAF，∵∠AFG=∠ADG=90°，AG=AG，AD=AF，∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），∴∠GAF=∠GAD，∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=12(∠BAF+∠DAF)=45°，故①正确，设GD=GF=x，在Rt△ECG中，∵EG2=EC2+CG2，∴(4+x)2=82+(12-x)2，∴x=6，∵CD=BC=BE+EC=12，∴DG=CG=6，∴FG=GC，易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，∵GF=GD=GC，∴∠DFC=90°，∴CF⊥DF，∵AD=AF，GD=GF，∴AG⊥DF，∴CF∥AG，故③正确，∵S△ECG=12×6×8=24，FG：FE=6：4=3：2，∴FG：EG=3：5，∴S △GFC =35×24=725=14.4，故④正确， 故①③④正确，故选：C ．【点睛】 本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题时设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．二、填空题11．200m【分析】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M ，则四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形，△ABC 是等边三角形，由此即可解决问题．【详解】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M由题意可知，四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形∵∠A ＝∠B ＝60° ∴18060E A B ∠=-∠-∠=∴△ABC 是等边三角形∴ED ＝FM+MK+KH ＝CN+JG+HK ，EC ＝EF+FC ＝JN+KG+DH∴“九曲桥”的总长度是AE+EB ＝2AB ＝200m故答案为：200m ．【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．12．4:9【分析】设DP ＝DN ＝m ，则PN 2m ，PC ＝2m ，AD ＝CD ＝3m ，再求出FG=CF=12BC=32m ，分别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．【详解】根据图形的特点设DP ＝DN ＝m ，则PN m ，∴m=MC ，，∴BC ＝CD ＝PC+DP=3m ，∵四边形HMPN 是正方形，∴GF ⊥BC∵∠ACB ＝45︒，∴△FGC 是等腰直角三角形，∴FG=CF=12BC=32m ， ∴S 1＝12DN×DP=12m 2，S 2＝12FG×CF=98m 2， ∴12:S S =12m 2: 98m 2=4:9， 故答案为4：9．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．13．①③④【分析】由“AAS ”可证△AOE ≌△COF ，△AHO ≌△CGO ，可得OE =OF ，HO =GO ，可证四边形EGFH 是平行四边形，由EF ⊥GH ，可得四边形EGFH 是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD 是正方形，由“ASA ”可证△BOG ≌△COF ，可得OG =OF ，可证四边形EGFH 是正方形，可判断④正确，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO ，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠BAO ＝∠DCO ，∠AEO ＝∠CFO ，∴△AOE ≌△COF （AAS ），∴OE ＝OF ，∵线段EF 的垂直平分线分别交BC 、AD 边于点G 、H ，∴GH 过点O ，GH ⊥EF ，∵AD ∥BC ，∴∠DAO ＝∠BCO ，∠AHO ＝∠CGO ，∴△AHO ≌△CGO （AAS ），∴HO ＝GO ，∴四边形EGFH是平行四边形，∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形，∵点E是AB上的一个动点，∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，故①③正确；若四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°；∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°，∴∠BOG＝∠COF；在△BOG和△COF中，∵BOG COF BO COGBO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG＝OF，同理可得：EO＝OH，∴GH＝EF；∴四边形EGFH是正方形，∵点E是AB上的一个动点，∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．1437【分析】如图，延长CB到T，使得BT=DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．证明BE=DT，BD=DW，把问题转化为求DT+DW的最小值．【详解】解：如图，延长CB到T，使得BT=DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．∵△ABC，△DEF都是等边三角形，BC=3DE=3，∴BC=AB=3，DE=1，∠ACB=∠EDF=60°，∴DE∥TC，∵DE=BT=1，∴四边形DEBT是平行四边形，∴BE=DT，∴BD+BE=BD+AD，∵B，W关于直线AC对称，∴CB=CW=3，∠ACW=∠ACB=60°，DB=DW，∴∠WCK=60°，∵WK⊥CK，∴∠K=90°，∠CWK=30°，∴CK=12CW=32，333，∴TK=1+3+32=112，∴2222113322TK WK⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭37∴DB+BE=DB+DT=DW+DT≥TW，∴37∴BD+BE37，37．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．15．102︒【分析】根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC ，AD=CD ；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF ，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB 的度数．【详解】连接BD ，BF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=CD ，∴∠DAC=∠DCA ．∵EF 垂直平分AB ，AC 垂直平分BD ，∴AF=BF ，BF=DF ，∴AF=DF ，∴∠FAD=∠FDA ，∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，∵∠CDF=27°，∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，∴∠DAB=2∠DAC=102°．故答案为：102°．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD ，BF ，这是解答本题的突破口．16．①②④【分析】①根据折叠得△ABE ≌△AFE ，证明△EFC 是等腰三角形，得到∠EFC=∠ECF ，根据∠BEF=∠EFC+∠FEC ，得出∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，即可证明AE ∥FC ，故①正确；②根据四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，证明Rt △AFG ≌Rt △ADG ，得出∠FAG=∠GAD ，根据∠BAF+∠FAD=90°，推出∠EAF+∠FAG=45°，可得∠EAG=45°，根据全等得：BE=FE ，DG=FG ，即可得BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；③先求出S △ECG ，根据EF ：FG=2a ：3a =3：2，得出S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =2110a ，再根据S ABCD =a 2，得出S △CEF ：S △ABCD =2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误；④设正方形的边长为a ，根据勾股定理得22AB BE 52a ，设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ，EG=2a +x ，再根据勾股定理求出x ，即可得出结论，故④正确．【详解】解：①由折叠可得△ABE ≌△AFE ，∴∠BEA=∠AEF ，BE=EF ，∵E 是BC 中点，∴BE=CE=EF ，∴△EFC 是等腰三角形，∴∠EFC=∠ECF ，∵∠BEF=∠EFC+∠FEC ，∴∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，∴AE ∥FC ，故①正确；②∵四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，∴AB=AF=AD ，∠B=∠D=∠AFG ，∴△AFG 和△ADG 是直角三角形，∴在Rt △AFG 和Rt △ADG 中AF AD AG AG ==⎧⎨⎩， ∴Rt △AFG ≌Rt △ADG （HL ），∴∠FAG=∠GAD ，又∵∠BAF+∠FAD=90°，∴2∠EAF+2∠FAG=90°，即∠EAF+∠FAG=45°，∴∠EAG=45°，由全等得：BE=FE ，DG=FG ，∴BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；③对于Rt △ECG ，S △ECG =12×EC ×CG=12×2a ×23a =216a ， ∵EF ：FG=2a ：3a =3：2， 则S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =2110a ， 又∵S ABCD =a 2，则S △CEF ：S △ABCD =2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误； ④设正方形的边长为a ，∴AB=AD=AF=a ，BE=EF=2a =EC ，由勾股定理得=2， 设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ，EG=2a +x ， ∴EG 2=EC 2+CG 2，即（2a +x ）2=（2a ）2+（a-x ）2， 解得x=3a ，CG=23a ， 即AD=3DG 成立，故④正确．【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．17．(1) (2) (4)【分析】由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出(1)正确；由ASA 证明△AEF ≌△DMF ，得出EF=MF ，∠AEF=∠M ，由直角三角形斜边上的中线性质得出CF=12EM=EF ，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠ECF ，得出(2)正确； 证出S △EFC =S △CFM ，由MC ＞BE ，得出S △BEC ＜2S △EFC ，得出(3)错误；由平行线的性质和互余两角的关系得出(4)正确；即可得出结论．【详解】 (1)∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD=AB ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠FCB ，∠BCD+∠D=180°，∴∠DCF=∠BCF ，∴∠DCF=12∠BCD ， ∴∠DCF+12∠D=90°，故(1)正确； (2)延长EF ，交CD 延长线于M ，如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A=∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF=FD ，在△AEF 和△DMF 中，A FDM AF DF AFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEF ≌△DMF(ASA)，∴EF=MF ，∠AEF=∠M ，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF ，∴CF=12EM=EF ， ∴∠FEC=∠ECF ， ∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故(2)正确；(3)∵EF=FM ，∴S △EFC =S △CFM ，∵MC ＞BE ，∴S △BEC ＜2S △EFC ，故(3)错误；(4)∵∠B=80°，∴∠BCE=90°-80°=10°，∵AB ∥CD ，∴∠BCD=180°-80°=100°，∴∠BCF=12∠BCD=50°， ∴∠FEC=∠ECF=50°-10°=40°，∴∠AEF=90°-40°=50°，故(4)正确．故答案为：(1)(2)(4)．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明△AEF ≌△DMF 是解题关键．18．8或12【分析】根据平行四边形的性质得到BC=AD=5，∠BAE=∠DEA ，∠ABF=∠BFC ，根据角平分线的性质得到DE=AD=5，CF=BC=5，即可求出答案.【详解】在ABCD中，AB∥CD，BC=AD=5，∴∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，∵BAD∠的平分线交CD于点E，∴∠BAE=∠DAE，∴∠DAE=∠DEA，∴DE=AD=5，同理：CF=BC=5，∴AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8或AB=DE+CF+EF=5+5+2=12，故答案为：8或12.【点睛】此题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的等角对等边的判定，解题中注意分类思想的运用，避免漏解.19．32【详解】解析：∵在正方形ABCD中，AC=62∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45°设EF与AD交点为O，O是AD的中点,∴AO=3以AD为对角线的所有▱AEDF中，当EF⊥AC时，EF最小，即△AOE是直角三角形，∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，232，∴EF=2OE=3220．5【分析】取DE的中点N，连结ON、NG、OM．根据勾股定理可得55NG=M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段MG的最大值．【详解】如图1，取DE的中点N，连结ON、NG、OM．∵∠AOB＝90°，∴OM＝12AB＝5．同理ON＝5．∵正方形DGFE，N为DE中点，DE＝10，∴222210555NG DN DG++＝＝＝．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），如图2，由于∠DNG的大小为定值，只要∠DON＝12∠DNG，且M、N关于点O中心对称时，M、O、N、G四点共线，此时等号成立，∴线段MG取最大值5故答案为：5【点睛】此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、O、N、G四点共线，则线段MG长度的最大是解题关键．三、解答题21．（1）AG2=GE2+GF2，理由见解析；（2）3266【分析】（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；（2）作BN ⊥AG 于N ，在BN 上截取一点M ，使得AM=BM ．设AN=x ．易证AM=BM=2x ，MN=3x ，在Rt △ABN 中，根据AB 2=AN 2+BN 2，可得1=x 2+（2x+3x ）2，解得x=62-，推出BN=62+，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题. 【详解】解：（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2．理由：连接CG ．∵四边形ABCD 是正方形，∴A 、C 关于对角线BD 对称，∵点G 在BD 上，∴GA=GC ，∵GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四边形EGFC 是矩形，∴CF=GE ，在Rt △GFC 中，∵CG 2=GF 2+CF 2，∴AG 2=GF 2+GE 2．（2）作BN ⊥AG 于N ，在BN 上截取一点M ，使得AM=BM ．设AN=x ．∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，∴∠AMN=30°，∴AM=BM=2x ，MN=3x ，在Rt △ABN 中，∵AB 2=AN 2+BN 2，∴1=x 2+（2x+3x ）2，解得x=62-， ∴BN=62+， ∴BG=BN÷cos30°=3266+．【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度的性质．22．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（2）21n ；（3）241n -【分析】（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题． （3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，n=1，∴AD=AB ，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB=∠B=90°，∵AF ⊥DE ，∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF ，∴△ADE ≌△BAF （ASA ），∴AE=BF ；②结论：AG=BF+AE ．理由：如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，由（1）可知AE=BK ，∵AH=AD ，AK ⊥HD ，∴∠HAK=∠DAK ，∵AD ∥BC ，∴∠DAK=∠AKG ，∴∠HAK=∠AKG ，∴AG=GK ，∵GK=GB+BK=BF+AE ，∴AG=BF+AE ；（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，当ME 的值最大时，NF 的值最小时，ME NF 的值最大， 当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值=()222na 1a n +=+•a ，当NF ⊥AD 时，NF 的值最小，最小值=a ，∴ME NF 的最大值=21a n +⋅=21n +， 故答案为：21n +；（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，∵AD ∥BH ，∴∠ADE=∠H ，∵AE=EB=k ，∠AED=∠BEH ，∴△AED ≌△BEH （ASA ），∴AD=BH=2kn ，∴CH=4kn ，∵∠ADE=∠EDF，∠ADE=∠H，∴∠H=∠EDF，∴FD=FH，设DF=FH=x，在Rt△DCF中，∵CD2+CF2=DF2，∴(2k)2+(4kn-x)2=x2，∴2142nx kn+=⋅，∴221441422n nCF kn k kn n+-=-⋅=⋅，241222n kBF kn kn n-=-⋅=，∴22412412nkCF nnkBFn-⋅==-，故答案为：241n-．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．23．（1）证明见解析；（2）73．【分析】（1）由题意根据勾股定理分别表示出2222,AB CD AD BC++进行分析求证即可；（2）根据题意连接CG、BE，证明△GAB≌△CAE，进而得BG⊥CE，再根据（1）的结论进行分析即可求出答案．【详解】解：（1）∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，222222AD BC AO DO BO CO+=+++，222222AB CD AO BO CO DO+=+++，∴2222AD BC AB CD+=+；（2）连接CG、BE，如图2，。
平行四边形单元 易错题难题测试综合卷学能测试试题
平行四边形单元易错题难题测试综合卷学能测试试题一、选择题1．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点(点P不与点B、D重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③仅有当∠DAP＝45°或67.5°时，△APD是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP：⑤22PD＝EC．其中有正确有()个．A．2 B．3 C．4 D．52．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连结BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝12AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的是（）A．①④B．①③④C．①②③D．②③④3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上的一点，且AB=AE，过点A作AF⊥BE，垂足为F，交BD于点G，点H在AD上，且EH∥AF.若正方形ABCD的边长为2，下列结论：①OE=OG；②EH=BE；③AH=222，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．如图，将矩形ABCD沿EF折叠后点D与B重合.若原矩形的长宽之比为3:1,则AE BF的值为（）A ．12B ．13C ．34D ．45 5．如图，在ABC 中，ACB 90∠=︒，2AC BC ==，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且AE CF =，给出以下四个结论：（1）DE DF =；（2）DEF 是等腰直角三角形；（3）四边形CEDF 面积ABC 1S 2=△；（4）2EF 的最小值为2．其中正确的有（ ）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 在MON ∠的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，4AB =，2BC =，则点D 到点O 的最大距离是（ ）A ．222-B ．222+C ．252-D ．22+7．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝1，CE ＝3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是（ ）A ．2B ．52C ．332D 58．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 相较于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，∠ADC ＝60°，AB ＝12BC ，连接OE ，下列结论：①∠CAD ＝30°；②·ABCD A S AB C =；③OA ＝OB ；④OE ＝14B C ．其中成立的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9．如图，正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长为（ ）A ．2.8B ．22C ．2.4D ．3.510．如图，BD 为平行四边形ABCD 的对角线，45DBC ∠=︒，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE 、BF 相交于H ，直线BF 交线段AD 的延长线于G ，下面结论：①2BD BE =；②A BHE =∠∠；③AB BH =；④BHD BDG ∠=∠其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为 ．12．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，对角线长为1cm ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分的面积是_____．13．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，若27CDF ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，E 为BC 边上一动点，作EF ⊥AE ，且EF ＝AE ．连接DF ，AF ．当DF ⊥EF 时，△ADF 的面积为_____．15．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．16．如图，在平行四边形ABCD ，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：①∠BCD ＝2∠DCF ；②EF ＝CF ；③S △CDF ＝S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF ，－定成立的是_________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)17．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②S △ABG ＝32S △FGH ；③△DEF ∽△ABG ；④AG+DF ＝FG ．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）18．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．19．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，20．如图，在四边形ABCD 中， //,5,18,AD BC AD BC E ==是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，当运动时间为t 秒时，以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值等于_______．三、解答题21．在等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上方作菱形ADEF ，且∠DAF=60°，连接CF ．（1）（观察猜想）如图（1），当点D 在线段CB 上时，①BCF ∠= ；②,,BC CD CF 之间数量关系为 ．（2）（数学思考）：如图（2），当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．（3）（拓展应用）：如图（3），当点D 在线段BC 的延长线上时，若6AB =，13CD BC =，请直接写出CF 的长及菱形ADEF 的面积．．22．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ．（1）求证：四边形ECFG 是菱形；（2）连结BD 、CG ，若120ABC ∠=︒，则BDG ∆是等边三角形吗？为什么？ （3）若90ABC ∠=︒，10AB =，24AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长．23．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ：①若522CE =，求BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =； （2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最小值．24．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.（发现与证明．．）ABCD 中，AB BC ≠，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D . 结论1：'AB C ∆与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形；结论2：'B D AC .试证明以上结论.（应用与探究）在ABCD 中，已知2BC =，45B ∠=，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D .若以A 、C 、D 、'B 为顶点的四边形是正方形，求AC 的长.（要求画出图形）25．如图．正方形ABCD 的边长为4，点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD 运动，运动时间为t 秒（t ＞0），以AE 为一条边，在正方形ABCD 左侧作正方形AEFG ，连接BF ．（1）当t ＝1时，求BF 的长度；（2）在点E 运动的过程中，求D 、F 两点之间距离的最小值；（3）连接AF 、DF ，当△ADF 是等腰三角形时，求t 的值．26．已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．（1）如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数；（3）联结AF ，求证：2DE AF =．27．如图，在四边形OABC 是边长为4的正方形点P 为OA 边上任意一点（与点O A 、不重合），连接CP ，过点P 作PM CP ⊥，且PM CP =，过点M 作MN AO ∥，交BO 于点,N 联结BM CN 、，设OP x =.（1）当1x =时，点M 的坐标为（ ， ）（2）设CNMB S y =四形边，求出y 与x 的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围. （3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN 是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点Q 的坐标（用x 的式子表示）28．如图，在矩形 ABCD中， AB=16 ， BC=18 ，点 E在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点B、C 重合的一个动点，把△EBF沿 EF 折叠，点B落在点 B' 处.(I)若 AE=0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长；(II)若 AE=3 时，且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；(III)若AE=8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.29．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．30．如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG如图放置，连接AG，AE．=（1）求证：AG AE于P，交AB、AD于M、N，交AE、AG于P、Q，交BC于（2）过点F作FP AEH，．求证：NH=FM【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE 后即可证明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得DP=2EC，得出⑤正确，即可得出结论．【详解】过P作PG⊥AB于点G，如图所示：∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，∴GP=EP，在△GPB中，∠GBP=45°，∴∠GPB=45°，∴GB=GP，同理：PE=BE，∵AB=BC=GF，∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，∴AG=PF ，在△AGP 和△FPE 中，90AG PF AGP FPE PG PE ⎧⎪⎨⎪∠∠⎩︒＝＝＝＝，∴△AGP ≌△FPE （SAS ），∴AP=EF ，①正确，∠PFE=∠GAP ，∴∠PFE=∠BAP ，④正确；延长AP 到EF 上于一点H ，∴∠PAG=∠PFH ，∵∠APG=∠FPH ，∴∠PHF=∠PGA=90°，∴AP ⊥EF ，②正确，∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点，∠ADP=45°，∴当∠PAD=45°或67.5°时，△APD 是等腰三角形，除此之外，△APD 不是等腰三角形，故③正确．∵GF ∥BC ，∴∠DPF=∠DBC ，又∵∠DPF=∠DBC=45°，∴∠PDF=∠DPF=45°，∴PF=EC ，∴在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，∴EC ，PD=EC ，⑤正确． ∴其中正确结论的序号是①②③④⑤，共有5个．故选D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．2．A解析：A【分析】由AAS 证明△ABG ≌△DEG ，得出AG=DG ，证出OG 是△ACD 的中位线，得出OG=12CD=12AB ，①正确；先证明四边形ABDE 是平行四边形，证出△ABD 、△BCD 是等边三角形，得出AB=BD=AD ，因此OD=AG ，得出四边形ABDE 是菱形，④正确；由菱形的性质得得出△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，由SAS 证明△ABG ≌△DCO ，得出△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ≌△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，得出②不正确；证出OG 是△ABD 的中位线，得出OG ∥AB ，OG=12AB ，得出△GOD ∽△ABD ，△ABF ∽△OGF ，由相似三角形的性质和面积关系得出S 四边形ODGF =S △ABF ；③不正确；即可得出结果．【详解】 ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AB ∥CD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD ，∴∠BAG ＝∠EDG ，△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ，∵CD ＝DE ，∴AB ＝DE ，在△ABG 和△DEG 中，BAG EDG AGB DGE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△DEG （AAS ），∴AG ＝DG ，∴OG 是△ACD 的中位线，∴OG ＝12CD ＝12AB ， ∴①正确；∵AB ∥CE ，AB ＝DE ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∵∠BCD ＝∠BAD ＝60°，∴△ABD 、△BCD 是等边三角形，∴AB ＝BD ＝AD ，∠ODC ＝60°，∴OD ＝AG ，四边形ABDE 是菱形，④正确；∴AD ⊥BE ，由菱形的性质得：△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，在△ABG 和△DCO 中，OD AG ODC BAG 60AB DC ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△DCO （SAS ），∴△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ≌△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，∴②不正确；∵OB ＝OD ，AG ＝DG ，∴OG 是△ABD 的中位线，∴OG∥AB，OG＝12 AB，∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，∴△GOD的面积＝14△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，∴S四边形ODGF＝S△ABF；③不正确；正确的是①④．故选A．【点睛】本题考查菱形的判定与性质, 全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，熟练掌握性质，能通过性质推理出图中线段、角之间的关系是解题关键.3．D解析：D【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定与性质即可分别求证判断.【详解】在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOG=∠BOE，AC⊥BD∵AF⊥BE，∴∠EAF+∠BEO=∠BEO+∠OBE=90°，∴∠OAG=∠OBE，∴△OAG≌△OBE，故OE=OG，①正确；∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB，∵EH∥AF∴HE⊥BE，∴∠AEF+∠AEH=∠ABE+∠CBE,∴∠AEH=∠CBE又∵AE=AB=CB,∠HAE=∠ECB=45°，∴△AEH≌△CBE，∴EH=BE，②正确；∵△AEH≌△=∴AH=CE=AC-AE=，③正确.故选D【点睛】此题主要考查正方形的性质与线段的证明，解题的关键是熟知正方形的性质定理及全等三角形的判定与性质.4．D解析：D【分析】根据折叠的性质得到ED′＝BE，∠D′EF＝∠BEF，根据平行线的性质得到∠D′EF＝∠EFB，求得BE＝BF，设AD′＝BC′＝3x，AB＝x，根据勾股定理得到BE＝53x，于是得到结论．【详解】如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠后点D 与B 重合，∴ED ′＝BE ，∠D ′EF ＝∠BEF ，∵AD ′∥BC ′，∴∠D ′EF ＝∠EFB ，∴∠BEF ＝∠EFB ，∴BE ＝BF ，∵原矩形的长宽之比为3：1，∴设AD ′＝BC ′＝3x ，AB ＝x ，∴AE ＝3x−ED ′＝3x−BE ，∵AE 2＋AB 2＝BE 2，∴（3x−BE ）2＋x 2＝BE 2，解得：BE ＝53x ， ∴BF＝BE ＝53x ，AE ＝3x−BE=43x ∴AE BF ＝4335x x =45， 故选：D ．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．5．A解析：A【分析】根据等腰三角形的性质，可得到：CD AB ⊥，从而证明ADE ≌CDF 且ADC 90∠=︒，即证明DE DF =和DEF 是等腰直角三角形，以及四边形CEDF 面积ABC 1S 2=△；再根据勾股定理求得EF ，即可得到答案． 【详解】∵ACB 90∠=︒，2AC BC ==∴AB ==∴A B 45∠=∠=︒∵点D 是AB 的中点∴CD AB ⊥，且1AD BD CD AB 2====∴DCB 45∠=︒∴A DCF ∠∠=，在ADE 和CDF 中 AD CD A DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE ≌()CDF SAS∴DE DF =，ADE CDF ∠∠=∵CD AB ⊥∴ADC 90∠=︒∴EDF EDC CDF EDC ADE ADC 90∠∠∠∠∠∠=+=+==︒∴DEF 是等腰直角三角形∵ADE ≌CDF∴ADE 和CDF 的面积相等∵D 为AB 中点∴ADC 的面积1ABC 2=的面积 ∴四边形CEDF 面积EDC CDF EDC ADE ADC ABC 1S S S S S S 2=+=+==；当DE AC ⊥，DF BC ⊥时，2EF 值最小根据勾股定理得：222EF DE DF =+此时四边形CEDF 是正方形即EF CD ==∴22EF 2==∴正确的个数是4个故选：A ．【点睛】本题考察了等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形的性质，从而完成求解．6．B解析：B【分析】取DC 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O 、E 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，再根据勾股定理求出DE 的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE 的长，两者相加即可得解．【详解】取AB 中点E ，连接OE 、DE 、OD ，90MON ∠=︒， 122OE AB ∴==． 在Rt DAE ∆中，利用勾股定理可得22DE =．在ODE ∆中，根据三角形三边关系可知DE OE OD +>，∴当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大为222OE DE +=+．故选B ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O 、E 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大是解题的关键．7．D解析：D【分析】根据正方形的性质得到AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD 交EF 于M ，连接AC 、CF ，求出∠ACF=90°，得到CH=12AF ，根据勾股定理求出AF 的长度即可得到答案. 【详解】∵正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD 交EF 于M ，连接AC 、CF ，则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF-AB=3-1=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD 和四边形GCEF 是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H 为AF 的中点，∴CH=12AF ，在Rt △AMF 中，由勾股定理得：AF=22224225AM MF +=+=，∴CH=5，故选：D ．【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，正确引出辅助线得到∠ACF=90°是解题的关键.8．C解析：C【分析】①先根据平行四边形的性质可得120,60,BAD ABC OA OC ∠=︒∠=︒=，再根据角平分线的定义可得60=︒∠BAE ，然后根据等边三角形的判定与性质可得AB AE BE ==，60AEB ∠=︒，又根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得30ACE CAE ∠=∠=︒，最后根据角的和差即可得；②由①已推得90BAC ∠=︒，再根据2ABCD ABC S S =即可得；③在Rt AOB 中，根据直角边小于斜边即可得；④在ABC 中，利用三角形中位线定理可得12OE AB =，再根据12AB BC =即可得． 【详解】 四边形ABCD 是平行四边形，60ADC ∠=︒，120,60,BAD ABC OA OC ∴∠=︒∠=︒=，AE ∵平分BAD ∠， 1602BAE BAD ∴∠=∠=︒， ABE ∴是等边三角形，,60AB AE BE AEB ∴==∠=︒，12AB BC =， AB AE BE CE ∴===，ACE CAE ∴∠=∠，60AEB ACE CAE ∠=∠+∠=︒，30ACE CAE ∴∠=∠=︒，90,30BAC BAE CAE CAD BAD BAC ∴∠=∠+∠=︒∠=∠-∠=︒，则结论①成立， AB AC ∴⊥，122··2ABCD ABC AB AC AB AC S S ==⨯=∴，则结论②成立， 在Rt AOB 中，OA 是直角边，OB 是斜边， OA OB ∴<，则结论③不成立，,OA OC BE CE ==，OE ∴是ABC 的中位线，11112224OE AB BC BC ∴==⨯=，则结论④成立， 综上，结论成立的个数是3个，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握并灵活运用各判定定理与性质是解题关键．9．B解析：B【分析】延长BG 交CH 于点E ，根据正方形的性质证明△ABG ≌△CDH ≌△BCE ，可得GE=BE-BG=2，HE=CH-CE=2，∠HEG=90°，从而由勾股定理可得GH 的长．【详解】解：如图，延长BG 交CH 于点E ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=90°，AB=CD=10，∵AG=8，BG=6，∴AG 2+BG 2=AB 2，∴∠AGB=90°，∴∠1+∠2=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，同理：∠4=∠6，在△ABG 和△CDH 中，AB ＝CD ＝10AG ＝CH ＝8BG ＝DH ＝6∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1=∠5，∠2=∠6，∴∠2=∠4，在△ABG和△BCE中，∵∠1＝∠3，AB＝BC，∠2＝∠4，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE－BG=8－6=2，同理可得HE=2，在Rt△GHE中，GH===故选：B．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为直角三角形且能够求出两条直角边的长是解题的关键．10．B解析：B【分析】通过判断△BDE为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠BHE=∠C，再根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，则∠A=∠BHE，于是可对②进行判断；证明△BEH≌△DEC，得到BH=CD，接着由平行四边形的性质得AB=CD，则AB=BH，可对③进行判断；因为∠BHD=90°+∠EBH，∠BDG=90°+∠BDE，由∠BDE＞∠EBH，推出∠BDG＞∠BHD，可判断④．【详解】解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC，∴△BDE为等腰直角三角形，,∴====，所以①错误；BE DE BD∵BF⊥CD，∴∠C+∠CBF=90°，而∠BHE+∠CBF=90°，∴∠BHE=∠C，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠C，∴∠A=∠BHE，所以②正确；在△BEH和△DEC中BHE C HEB CED BE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEH ≌△DEC ，∴BH=CD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB=CD ，∴AB=BH ，所以③正确；∵∠BHD=90°+∠EBH ，∠BDG=90°+∠BDE ，∵∠BDE=∠DBE ＞∠EBH ，∴∠BDG ＞∠BHD ，所以④错误；故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角的性质．熟练掌握平行四边形的性质并能灵活运用是解题关键，本题中主要用到平行四边形对边相等，对角相等．二、填空题11．25【详解】由于点B 与点D 关于AC 对称，所以如果连接DE ，交AC 于点P ，那PE+PB 的值最小．在Rt △CDE 中，由勾股定理先计算出DE 的长度，即为PE+PB 的最小值．连接DE ，交AC 于点P ，连接BD ．∵点B 与点D 关于AC 对称，∴DE 的长即为PE+PB 的最小值，∵AB=4，E 是BC 的中点，∴CE=2，在Rt △CDE 中， DE=25．考点：(1)、轴对称-最短路线问题；(3)、正方形的性质．12．218cm【分析】根据正方形的性质可以证明△AEO≌CFO，就可以得出S△AEO=S△CFO，就可以求出△AOD面积等于正方形面积的14，根据正方形的面积就可以求出结论．【详解】解：如图：∵正方形ABCD的对角线相交于点O，∴△AEO与△CFO关于O点成中心对称，∴△AEO≌CFO，∴S△AEO＝S△CFO，∴S△AOD＝S△DEO+S△CFO，∵对角线长为1cm，∴S正方形ABCD＝1112⨯⨯＝12cm2，∴S△AOD＝18cm2，∴阴影部分的面积为18cm2．故答案为：18cm2．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形的面积公式的运用，在解答时证明△AEO≌CFO是关键．13．102︒【分析】根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC，AD=CD；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB的度数．【详解】连接BD，BF，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA．∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，∵∠CDF=27°，∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，∴∠DAB=2∠DAC=102°．故答案为：102°．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．14．3﹣32 2【分析】作辅助线，构建全等三角形和矩形，利用面积法可得AE的长，根据勾股定理可得BE的长，设AE＝x，证明△ABE≌△EQF（AAS），得FQ＝BE＝2，最后根据三角形面积公式可得结论．【详解】解：如图，过D作DH⊥AE于H，过E作EM⊥AD于M，连接DE，∵EF⊥AE，DF⊥EF，∴∠DHE＝∠HEF＝∠DFE＝90°，∴四边形DHEF是矩形，∴DH＝EF＝AE，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠BAD ＝90°，∵∠AME ＝90°，∴四边形ABEM 是矩形，∴EM ＝AB ＝2，设AE ＝x ，则S △ADE ＝11AD EM AE DH 22⋅=⋅， ∴3×2＝x 2，∴x ，∵x ＞0，∴x ，即AE ，由勾股定理得：BE ，过F 作PQ ∥CD ，交AD 的延长线于P ，交BC 的延长线于Q ，∴∠Q ＝∠ECD ＝∠B ＝90°，∠P ＝∠ADC ＝90°，∵∠BAE ＋∠AEB ＝∠AEF ＝∠AEB ＋∠FEQ ＝90°，∴∠FEQ ＝∠BAE ，∵AE ＝EF ，∠B ＝∠Q ＝90°，∴△ABE ≌△EQF （AAS ），∴FQ ＝BE ，∴PF ＝2，∴S △ADF ＝1AD PF 2⋅＝13(22⨯⨯＝3﹣2． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，有难度，正确作辅助线构建全等三角形是关键，并用方程的思想解决问题．15．【分析】作BE ⊥AD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则四边形BEDF 是矩形，证明△ABE ≌△CBF （AAS ），得出BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，则四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，求出，即可求得BD 的长．【详解】解：作BE ⊥AD 交DA 延长线于E ，BF ⊥CD 于F ，如图所示：则∠BEA=∠BFC=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形BEDF 是矩形，∴∠EBF=90°，∵∠ABC=90°，∴∠EBF=∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF ，在△ABE 和△CBF 中，BEA BFC ABE CBF AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （AAS ），∴BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，∴四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，∴BE=DE ，BE 2=10 cm 2，∴10(cm)，∴25．故答案为：5【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．16．①②④【分析】①根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可判断；②延长EF ，交CD 延长线于点M ，首先根据平行四边形的性质证明AEFDFM ≅△△，得出,FE MF AEFM =∠=∠，进而得出90ECD AEC ∠=∠=︒，从而利用直角三角形斜边中线的性质即可判断；③由FE MF =，得出EFC CFM SS =，从而可判断正误； ④设FEC x ∠= ，利用三角形内角和定理分别表示出∠DFE 和∠AEF ，从而判断正误．【详解】①∵点F 是AD 的中点，∴AF FD = ．∵在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，//,AD BC AF FD CD ∴==，,DFC FCB DFC DCF ∴∠=∠∠=∠ ，FCB DCF ∴∠=∠，∴∠BCD ＝2∠DCF ，故①正确；②延长EF ，交CD 延长线于点M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，A MDF ∴∠=∠，∵点F 是AD 的中点，∴AF FD = ．在AEF 和DFM 中，A FDM AF DFAFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AEF DFM ASA ∴≅△△,FE MF AEF M ∴=∠=∠．CE AB ⊥ ，90AEC ∴∠=︒，90ECD AEC ∴∠=∠=︒，12CF EM EF ∴==，故②正确； ③∵FE MF =，∴EFC CFM S S = ．CFM CDF MDF S S S =+△△△CDF EFC S S ∴<△△，故③错误；④设FEC x ∠= ，则FCE x ∠=，90DCF DFC x ∴∠=∠=︒- ，1802EFC x ∴∠=︒-，9018022703EFD x x x ∴∠=︒-+︒-=︒- ．90AEF x ∠=︒- ，3DFE AEF ∴∠=∠，故④正确；综上所述，正确的有①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握这些性质和定理是解题的关键．17．①②④．【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=12∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt△ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到x2+42=（8-x）2，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对②④进行判断；接着证明△ABF∽△DFE，利用相似比得到43DE AFDF AB==，而623ABAG==，所以AB DEAG DF≠，所以△DEF与△ABG不相似，于是可对③进行判断.【详解】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，∴∠EBG＝∠EBF+∠FBG＝12∠CBF+12∠ABF＝12∠ABC＝45°，所以①正确；在Rt△ABF中，AF＝8，∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，设AG＝x，则GH＝x，GF＝8﹣x，HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，在Rt△GFH中，∵GH2+HF2＝GF2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴GF＝5，∴AG+DF＝FG＝5，所以④正确；∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，∴∠BFE＝∠C＝90°，∴∠EFD+∠AFB＝90°，而∠AFB+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠EFD，∴△ABF∽△DFE，∴ABDF＝AFDE，∴DEDF＝AFAB＝86＝43，而AB AG ＝63＝2， ∴AB AG ≠DE DF， ∴△DEF 与△ABG 不相似；所以③错误． ∵S △ABG ＝12×6×3＝9，S △GHF ＝12×3×4＝6， ∴S △ABG ＝32S △FGH ，所以②正确． 故答案是：①②④．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质．18．5【分析】先判断四边形BCEF 的形状，再连接FM FC 、，利用正方形的性质得出AFG 是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12MN FC =即可． 【详解】∵四边形ABCP 是边长为4的正方形，//EF BC ，∴四边形BCEF 是矩形，∵1PE =，∴3CE =，连接FM FC 、，如图所示：∵四边形ABCP 是正方形，∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，又∵N 是FC 中点，12MN FC =， ∵225FC BF BC =+=∴ 2.5MN =，故答案为：2.5 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．19．6.5或8或18【分析】根据题意分BP QP =、BQ QP =两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，26AD =，点Q 是BC 的中点 ∴13BQ =∴①当BP QP =时，过点P 作PM BQ ⊥交BQ 于点M ，如图，则 6.5BM MQ ==,且四边形ABMP 为矩形∴ 6.5AP BM ==②当BQ QP =时，以点Q 为圆心，BQ 为半径作圆，与AD 交于P '、P ''两点，如图，过Q 作QN P P '''⊥，交P P '''于点N ，则可知P N P N '''=∵在Rt P NQ '，13P Q '=，12NQ AB ==∴222213125P N P Q NQ ''=-=-=同理，在Rt P NQ ''中，5P N ''= ∴2655822AD P N P N AP '''----'===，85518AP AP P N P N ''''''=++=++= 即P '、P ''为满足条件的P 点的位置∴8AP =或18∴综上所述，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为6.5或8或18． 故答案是：6.5或8或18【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键．20．2或3.5【分析】分别从当Q 运动到E 和B 之间、当Q 运动到E 和C 之间去分析求解即可求得答案．【详解】如图，∵E 是BC 的中点，∴BE=CE= 12BC=9， ①当Q 运动到E 和B 之间，则得：3t ﹣9=5﹣t ，解得：t=3.5；②当Q 运动到E 和C 之间，则得：9﹣3t=5﹣t ，解得：t=2，∴当运动时间t 为2秒或3.5秒时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】“点睛”此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．解题时注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．三、解答题21．（1）①120°；② BC ＝CD +CF ；（2）不成立，见解析；（3）8，3【分析】（1）①根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出△ACF ≌△ABD ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到CF=BD ，再根据BD+CD=BC ，即可得出CF+CD=BC ；（2）依据△ABD ≌△ACF ，即可得到∠ACF+∠BAC=180°，进而得到AB ∥CF ；依据△ABD ≌△ACF 可得BD=CF ，依据CD-BD=BC ，即可得出CD-CF=BC ；（3）依据≅△△ADB AFC ，即可得到8==+=CF BD BC CD ，利用ABC ∆是等边三角形，AH BC ⊥，可得132===BH HC BC ，即可得出HD 的长度，利用勾股定理即可求出AD 的长度，即可得出结论．【详解】解：（1） 在等边△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°∴∠BAD+∠DAC=60°在菱形ADEF 中AD=AF∵∠DAF=∠DAC+∠FAC=60°∴∠CAF=∠DAB又∵AC=AB ，AF=AD∴△ACF ≌△ABD∴∠ACF=∠ABD=60°，CF=BD∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=120°故答案为：120°②∵BC=BD+CD ，BD=CF∴BD=CF+CD故答案为：BC=CD+CF（2）不成立理由：∵ABC ∆是等边三角形∴60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=，AB AC =又∵60DAF ∠=∴BAC BAF DAF BAF ∠-∠=∠-∠∴FAC DAB ∠=∠∵四边形ADEF 是菱形∴AD AF =∴≅△△ADB AFC∴DB FC =，18060120ACF ABD ∠=∠=-=∴1206060BCF ACF ACB ∠=∠-∠=-=∵BC CD BD =-∴BC CD CF =-（3）8=CF ，菱形ADEF 的面积是263∵60BAC DAF ∠=∠=∴BAD CAF ∠=∠又∵AB AC =，AD AF =∴≅△△ADB AFC∴16683CF BD BC CD ==+=+⨯=∴如图，过点A 作AH BC ⊥于点H ，连接FD∵ABC 是等边三角形，AH BC ⊥ ∴116322BH HC BC ===⨯= ∴325HD HC CD =+=+=∵22236927AH AB BH =-=-=∴222725213AD AH DH ++=∴13222132132632AFD ADEF S S ∆==⨯⨯=菱形 【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质的综合运用，利用已知条件判定△DAB ≌△FAC 是解本题的关键．22．（1）详见解析；（2）是，详见解析；（3）132【分析】（1）平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE ，根据等角对等边可得CE=CF ，再有条件四边形ECFG 是平行四边形，可得四边形ECFG 为菱形，即可解决问题；（2）先判断出∠BEG=120°=∠DCG ，再判断出AB=BE ，进而得出BE=CD ，即可判断出△BEG ≌△DCG （SAS ），再判断出∠CGE=60°，进而得出△BDG 是等边三角形，即可得出结论；（3）首先证明四边形ECFG 为正方形，再证明△BME ≌△DMC 可得DM=BM ，∠DMC=∠BME ，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到△BDM 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，∴∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC，AD∥BC，∵∠ABC=120°，∴∠BCD=60°，∠BCF=120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE=GE，∠BCG=12∠BCF=60°，∴CG=GE=CE，∠DCG=120°，∵EG∥DF，∴∠BEG=120°=∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，∴∠BGD=∠CGE，∵CG=GE=CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE=60°，∴∠BGD=60°，∵BG=DG，∴△BDG是等边三角形；（3）如图2中，连接BM，MC，。
平行四边形单元 易错题难题测试综合卷检测试卷
平行四边形单元 易错题难题测试综合卷检测试卷一、解答题1．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由； （2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形．2．综合与探究（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．CE 和CF 之间有怎样的关系．请说明理由．（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果45GCE ∠=︒，请你利用（1）的结论证明：GE BE CD =+．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90B ∠=︒，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，4BE =，求DE 的长．3．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．（1）求证：GF GC =；（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．4．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．5．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，且交AC于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD.（1）①求证：四边形BFDE是菱形；②求∠EBF的度数．（2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的数量关系，并说明理由；（3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系．6．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AC的一点，连接EB，过点A做AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．（1）猜想：如图（1）线段OE与线段OF的数量关系为；（2）拓展：如图（2），若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM、DB的延长线相交于点F，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由．7．如图，在矩形 ABCD中， AB=16 ， BC=18 ，点 E在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点 B、C 重合的一个动点，把△EBF沿 EF 折叠，点B落在点 B' 处.(I)若 AE=0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长；(II)若 AE=3 时，且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；(III)若AE =8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.8．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝nAB ，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若n ＝1，AF ⊥DE ．①如图1，求证：AE ＝BF ；②如图2，点G 为CB 延长线上一点，DE 的延长线交AG 于H ，若AH ＝AD ，求证：AE +BG ＝AG ；（2）如图3，若E 为AB 的中点，∠ADE ＝∠EDF ．则CF BF的值是_____________（结果用含n 的式子表示）．9．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC CF 、为邻边作平行四边形ECFG 。
平行四边形单元 易错题难题综合模拟测评检测试卷
平行四边形单元 易错题难题综合模拟测评检测试卷一、选择题1．如图，正方形ABCD 的边长为定值，E 是边CD 上的动点（不与点C ，D 重合），AE 交对角线BD 于点F ， FG AE ⊥交BC 于点G ，GH BD ⊥于点H ，连结AG 交BD 于点N ．现给出下列命题：① AF FG =；②DF DE =；③FH 的长度为定值；④GE BG DE =+；⑤222BN DF NF +=．真命题有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．□ABCD 中，∠A=60°，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，DE=DF ，且∠EBF=60°．若AE=2，FC=3，则EF 的长度为（ ）A ．21B ．25C ．26D ．53．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AC 上的一点，且AB=AE ，过点A 作AF ⊥BE ，垂足为F ，交BD 于点G ，点H 在AD 上，且EH ∥AF.若正方形ABCD 的边长为2，下列结论：①OE=OG ；②EH=BE ；③AH=222-，其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．如图，将一个矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，若3,9,AB BC ==则折痕EF 的长度为（ ）A ．3B ．23C ．10D ．31025． 如图，平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，∠ADB=20°，∠ACB=50°，过点O 的直线交AD 于点E ，交BC 于点F 当点E 从点A 向点D 移动过程中（点E 与点A 、点D 不重合），四边形AFCE 的形状变化依次是（ ）A ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B ．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C ．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形D ．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形6．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边CD 上一点，且BC ＝EC ，CF ⊥BE 交AB 于点F ，P 是EB 延长线上一点，下列结论：①BE 平分∠CBF ；②CF 平分∠DCB ；③BC ＝FB ；④PF ＝PC ．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，四边形ABCD 为平行四边形，D ∠为锐角，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ，且AF FE =．若25AB =，ABCD 面积为300，则AF 的长度为（ ）A ．30B ．15C ．40D ．208．如图，矩形ABCD 和矩形CEFG ，AB ＝1，BC ＝CG ＝2，CE ＝4，点P 在边GF 上，点Q 在边CE 上，且PF ＝CQ ，连结AC 和PQ ，M ，N 分别是AC ，PQ 的中点，则MN 的长为（ ）A ．3B ．6C ．372D ．1729．在菱形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的一点(不与端点重合)，对于任意的菱形ABCD ，下面四个结论中：①存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ 是矩形；③存在无数个四边形MNPQ 是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ 是正方形正确的结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE ＝AD ，DF ＝BD ，连接BF 分别交CD ，CE 于H ，G 下列结论：①EC≠2HG ；②∠GDH ＝∠GHD ；③图中有8个等腰三角形；④CDG DHF S S △△＝．其中正确的结论有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如图，以Rt ABC 的斜边AB 为一边，在AB 的右侧作正方形ABED ，正方形对角线交于点O ，连接CO ，如果AC=4，CO=62，那么BC=______．12．如图，正方形ABCD 中，DAC 的平分线交DC 于点E ，若P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．13．如图所示，菱形ABCD ，在边AB 上有一动点E ，过菱形对角线交点O 作射线EO 与CD 边交于点F ，线段EF 的垂直平分线分别交BC 、AD 边于点G 、H ，得到四边形EGFH ，点E 在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH ；②可以得到无数个矩形EGFH ；③可以得到无数个菱形EGFH ；④至少得到一个正方形EGFH ．所有正确结论的序号是__．14．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P 为边BC 上一动点（P 不与B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的取值范围是__．15．菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （23，0），∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，－1），则EP 十BP 的最小值为__________．16．如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =23，点E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．17．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．18．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．19．已知：如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，BE AC ⊥，垂足为点E ，M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设4AB =，30DAC ∠=︒则EM =______；EDM 的面积为______，20．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．三、解答题21．已知，四边形ABCD 是正方形，点E 是正方形ABCD 所在平面内一动点（不与点D 重合），AB ＝AE ，过点B 作DE 的垂线交DE 所在直线于F ，连接CF ．提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：；（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：．22．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，∠ABC=90°．点P从点A 出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t= 时，四边形ABQP成为矩形？（2）当t= 时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？（3）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度（匀速运动），使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．23．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF BF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．24．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积．25．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE ＝DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．26．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接,CP 将线段CP 绕点C 顺时针旋转90,︒得到线段,CQ 连接,BP DQ .()1如图甲，求证：CBP CDQ ∠=∠；()2如图乙，延长BP 交直线DQ 于点E .求证：BE DQ ⊥；()3如图丙，若BCP为等边三角形，探索线段,PD PE之间的数量关系，并说明理由.27．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上．连结AF，若M为AF的中点，连结DM，ME，试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论．拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为__________________；(2)如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]①②28．如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．（1）求证：BP ＝CQ ；（2）若BP ＝13PC ，求AN 的长； （3）如图2，延长QN 交BA 的延长线于点M ，若BP ＝x （0＜x ＜8），△BMC '的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．29．如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），ADE ∆是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，交直线AC 于点F ，连接BE ．（1）判断四边形BCFE 的形状，并说明理由；（2）当DE AB ⊥时，求四边形BCFE 的周长；（3）四边形BCFE 能否是菱形？若可为菱形，请求出BD 的长，若不可能为菱形，请说明理由．30．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有12CBE ABF ∠=∠．（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=︒，求证：BE BF =；（2）如图2，当32b a =时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________；②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=；③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据题意，连接CF ，由正方形的性质，可以得到△ABF ≌△CBF ，则AF=CF ，∠BAF=∠BCF ，由∠BAF=∠FGC=∠BCF ，得到AF=CF=FG ，故①正确；连接AC ，与BD 相交于点O ，由正方形性质和等腰直角三角形性质，证明△AOF ≌△FHG ，即可得到EH=AO ，则③正确；把△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，则证明△MAG ≌△EAG ，得到MG=EG ，即可得到EG=DE+BG ，故④正确；②无法证明成立，即可得到答案.【详解】解：连接CF ，在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABF=∠CBF=45°，在△ABF 和△CBF 中，45AB BC ABF CBF BF BF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△CBF （SAS ），∴AF=CF ，∠BAF=∠BCF ，∵FG ⊥AE ，∴在四边形ABGF 中，∠BAF+∠BGF=360°-90°-90°=180°，又∵∠BGF+∠CGF=180°，∴∠BAF=∠CGF ，∴∠CGF=∠BCF∴CF=FG ，∴AF=FG ；①正确；连接AC 交BD 于O ．∵四边形ABCD 是正方形，HG ⊥BD ，∴∠AOF=∠FHG=90°，∵∠OAF+∠AFO=90°，∠GFH+∠AFO=90°，∴∠OAF=∠GFH ，∵FA=FG ，∴△AOF ≌△FHG ，∴FH=OA=定值，③正确；如图，把△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，∴AM=AE ，BM=DE ，∠BAM=∠DAE ，∵AF=FG ，AF ⊥FG ，∴△AFG 是等腰直角三角形，∴∠FAG=45°，∴∠MAG=∠BAG+∠DAE=45°，∴∠MAG=∠FAG ，在△AMG 和△AEG 中，45AM AE EAG MAG AG AG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AMG ≌△AEG ，∴MG=EG ，∵MG=MB+BG=DE+BG ，∴GE= DE+BG ，故④正确；如图，△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，记F 的对应点为P ，连接BP 、PN ， 则有BP=DF ，∠ABP=∠ADB=45°，∵∠ABD=45°，∴∠PBN=90°，∴BP 2+BN 2=PN 2，由上可知△AFG 是等腰直角三角形，∠FAG=45°，∴∠MAG=∠BAG+∠DAE=45°，∴∠MAG=∠FAG ，在△ANP 和△ANF 中，45AP AF EAG MAG AN AN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ANP ≌△ANF ，∴PN=NF ，∴BP 2+BN 2=NF 2，即DF 2+BN 2=NF 2，故⑤正确；根据题意，无法证明②正确，∴真命题有四个，故选C.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造出等腰三角形和全等三角形．2．A解析：A【解析】【分析】由DE=DF ，AE=2，FC=3可知AB-BC=1，过点E 作EM ⊥AB 于M ，根据30°角所对的直角等于斜边的一半可得AM=1，进而得出BM=BC ，将△BEM 顺时针旋转120°得△BEN，连接FN，可证△BEF≌△BFN，即可得出EF=FN，过点N作NG⊥DC交DC的延长线于点G，利用勾股定理即可求出答案.【详解】解：过点E作EM⊥AB于M，在Rt△AEM中，∠A=60°，∴∠AEM=30°，∴AM=12AE=1，∴3又∵DE=DF，AE=2，FC=3，∴DC-AD=1，即AB-BC=1，∴BM=BC，将△BEM顺时针旋转120°得△BEN，连接FN，则3BE=BN，∵∠EBF=60°，∠EBN=120°，∴∠NBF=60°，∴∠EBF=∠NBF又∵BE=BN，BF=BF，∴△BEF≌△BFN，∴EF=FN，过点N作NG⊥DC交DC的延长线于点G，∵∠GCN=180°-60°-90°=30°，∴NG=12NC=32()2233322⎛⎫-=⎪⎪⎝⎭∴FG=3+32=92229321 22⎛⎫⎛⎫+=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2121.【点睛】此题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，合理添加辅助线是解题关键.3．D解析：D【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定与性质即可分别求证判断.【详解】在正方形ABCD 中，AO=BO ，∠AOG=∠BOE ，AC ⊥BD∵AF ⊥BE ，∴∠EAF+∠BEO=∠BEO+∠OBE=90°，∴∠OAG=∠OBE ，∴△OAG ≌△OBE ，故OE=OG ，①正确；∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB ，∵EH ∥AF ∴HE ⊥BE ，∴∠AEF+∠AEH=∠ABE+∠CBE,∴∠AEH=∠CBE又∵AE=AB=CB,∠HAE=∠ECB=45°，∴△AEH ≌△CBE ，∴EH=BE ，②正确；∵△AEH ≌△CBE,AC=222222+=∴AH=CE=AC-AE=22-2，③正确.故选D【点睛】此题主要考查正方形的性质与线段的证明，解题的关键是熟知正方形的性质定理及全等三角形的判定与性质.4．C解析：C【分析】设AE x =，根据勾股定理得到AE ，进而得出BE 的长，再证明5BF BE ==，根据EG AB =，求出GF 的长，最后在运用勾股定理即可得到EF ．【详解】解：过E 作EG BC ⊥于G ，设AE x =，则9DE BE x ==-，在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，2223(9)x x ∴+=-解得4x =，4∴=，AEBE DE∴==-=，945∠=∠，DEF BEF∠=∠，DEF BFE∴∠=∠，BFE BEFBF BE∴==，5GF∴=，1∴Rt EFG中，EF===即EF，故选：C．【点睛】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时注意方程思想的运用．5．C解析：C【分析】先判断出点E在移动过程中，四边形AECF始终是平行四边形，当∠AFC=80°时，四边形AECF是菱形，当∠AFC=90°时，四边形AECF是矩形，即可求解．【详解】解：∵点O是平行四边形ABCD的对角线得交点，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠ACF=∠CAD，∠ADB=∠DBC=20°∵∠COF=∠AOE，OA=OC，∠DAC=∠ACF∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ADB=∠DBC=20°，∠ACB=50°，∴∠AFC＞20°当∠AFC=80°时，∠FAC=180°-80°-50°=50°∴∠FAC=∠ACB=50°∴AF=FC∴平行四边形AECF是菱形当∠AFC=90°时，平行四边形AECF是矩形∴综上述，当点E从D点向A点移动过程中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE的变化是：平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力，题目比较好，难度适中．6．D解析：D【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．【详解】证明：如图：∵BC＝EC，∴∠CEB＝∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB＝∠EBF，∴∠CBE＝∠EBF，∴①BE平分∠CBF，正确；∵BC＝EC，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF，∴②CF平分∠DCB，正确；∵DC∥AB，∴∠DCF＝∠CFB，∵∠ECF＝∠BCF，∴∠CFB＝∠BCF，∴BF＝BC，∴③正确；∵FB＝BC，CF⊥BE，∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，∴PF＝PC，故④正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．7．B解析：B【分析】由题意先根据ASA 证明△ADF ≌△ECF ，推出300ABE ABCD S S ==，再证明BE=AB=25，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF ⊥AE ．设AF=x ，BF=y ，由∠ABF ＜∠BAF 可得x ＜y ，进而根据勾股定理以及△ABE 的面积为300列出方程组并解出即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD//BC 即AD//BE ，AB//CD ，∴∠DAF=∠E ．在△ADF 与△ECF 中，DAF E AF EFAFD EFC ⎧⎪⎨⎪∠∠∠⎩∠＝＝＝， ∴△ADF ≌△ECF （ASA ），∴ADF ECF S S =△△，∴300ABE ABCD S S ==．∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAF ，∵∠DAF=∠E ，∴∠BAE=∠E ，∴BE=AB=25，∵AF=FE ，∴BF ⊥AE ．设AF=x ，BF=y ，∵∠D 为锐角，∴∠DAB=180°-∠D 是钝角，∴∠D ＜∠DAB ， ∴12∠ABC ＜12∠DAB ， ∴∠ABF ＜∠BAF ，∴AF ＜BF ，x ＜y ． 则有22222520013x y x y ⎧+⎪⎨⎪⎩＝＝，解得：1520x y ⎧⎨⎩＝＝或2015x y ＝＝（舍去）， 即AF=15．故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质和勾股定理等知识．由题意证明出300ABE ABCD S S ==以及BF ⊥AE 是解题的关键．8．C解析：C【分析】连接CF ，交PQ 于R ，延长AD 交EF 于H ，连接AF ，则四边形ABEH 是矩形，求出FH ＝1，AF ＝2237+=AH FH，由ASA 证得△RFP ≌△RCQ ，得出RP ＝RQ ，则点R 与点M 重合，得出MN 是△CAF 的中位线，即可得出结果． 【详解】解：连接CF ，交PQ 于R ，延长AD 交EF 于H ，连接AF ，如图所示：则四边形ABEH 是矩形，∴HE ＝AB ＝1，AH ＝BE ＝BC+CE ＝2+4＝6，∵四边形CEFG 是矩形，∴FG ∥CE ，EF ＝CG ＝2，∴∠RFP ＝∠RCQ ，∠RPF ＝∠RQC ，FH ＝EF ﹣HE ＝2﹣1＝1，在Rt △AHF 中，由勾股定理得：AF ＝22226137+=+=AH FH ，在△RFP 和△RCQ 中，RFP RCQ PF CQ RPF RQC ∠=⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，∴△RFP ≌△RCQ （ASA ），∴RP ＝RQ ，∴点R 与点M 重合，∵点N 是AC 的中点，∴MN 是△CAF 的中位线，∴MN ＝11373722=⨯=AF ， 故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键．9．D解析：D【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．【详解】①如图，连接AC，BD交于O，四边形ABCD是菱形，过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，则四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；②如图，当PM=QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；④如图，当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故至少存在一个四边形MNPQ是正方形；故④正确；综上，①②③④4个均正确，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定，熟记各定理是解题的关键．10．B解析：B【分析】关键结合图形证明△CHG ≌△EGD ，即可逐项判断求解【详解】解：∵DF=BD ，∴∠DFB=∠DBF ，∵AD ∥BC ，DE=BC ，∴四边形DBCE 是平行四边形，∠DFB=∠GBC ，∴∠DEC=∠DBC=45°，∴∠DEC=2∠EFB ，∴∠EFB=22.5°，∠CGB=∠CBG=22.5°，∴CG=BC=DE ，∵DE=DC ，∴∠DEG=∠DCE ，∵∠GHC=∠CDF+∠DFB=90°+22.5°=112.5°，∠DGE=180°-（∠BGD+∠EGF ），=180°-（∠BGD+∠BGC ），=180°-（180°-∠DCG ）÷2，=180°-（180°-45°）÷2，=112.5°，∴∠GHC=∠DGE ，∴△CHG ≌△EGD ，∴∠EDG=∠CGB=∠CBF ，∴∠GDH=90°-∠EDG ，∠GHD=∠BHC=90°-∠CGB ，∴∠GDH=∠GHD故②正确；∴∠GDH=∠GHD又∠EFB=22.5°,∴∠DHG=∠GDH=67.5°∴∠GDF=90°-∠GDH=22.5°=∠EFB,∴DG=GF,∴HG=DG=GF∴HF=2HG,显然CE≠HF=2HG,故①正确；∵△CHG ≌△EGD ，∴CHG EGD S S ∆∆=∴CHG DHG EGD DHG S S S S ∆∆∆∆+=+，即CDG DHGE S S △四边形＝而=EFG DHGE DHF S S S ∆+四边形△，故CDG DHF S S ≠△△故④不正确；结合前面条件易知等腰三角形有△ABD ，△CDB ，△BDF ，△CDE ，△BCG ，△DGH ，△EGF ，△CDG ，△DGF 共9个，∴③错误；故正确的有①②，有2个，故选：B【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．二、填空题11．8【分析】通过作辅助线使得△CAO ≌△GBO ，证明△COG 为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG 后，即可求出BC 的长．【详解】如图，延长CB 到点G ，使BG=AC ．∵根据题意，四边形ABED 为正方形，∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°，∴∠1+∠2=90°又∵三角形BCA 为直角三角形，AB 为斜边，∴∠2+∠3=90°∴∠1＝∠3∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO ＝∠GBO ，在△CAO 和△GBO 中，CA GB CAO GBO AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩故△CAO ≌△GBO ，∴CO ＝GO=7=∠6，∵∠7+∠8=90°，∴∠6+∠8=90°，∴三角形COG 为等腰直角三角形，∴， ∵CG=CB+BG ，∴CB=CG －BG=12－4=8，故答案为8．【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键． 12．【分析】作P 点关于线段AE 的对称点P '，根据轴对称将DQ PQ +转换成DP '，然后当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，得到DP '长，最后求出正方形边长DC ．【详解】∵AE 是DAC ∠的角平分线，∴P 点关于线段AE 的对称点一定在线段AC 上，记为P '由轴对称可以得到PQ P Q '=，∴DQ PQ DQ P Q DP ''+=+=，如图，当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，也就是DQ PQ +取最小值4，∴4DP '=，由正方形的性质P '是AC 的中点，且DP P C ''=，在Rt DCP '中，DC====故答案是：【点睛】+取最小值的状态，本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出DQ PQ并将它转换成DP'去求解．13．①③④【分析】由“AAS”可证△AOE≌△COF，△AHO≌△CGO，可得OE=OF，HO=GO，可证四边形EGFH 是平行四边形，由EF⊥GH，可得四边形EGFH是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD 是正方形，由“ASA”可证△BOG≌△COF，可得OG=OF，可证四边形EGFH是正方形，可判断④正确，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，∴GH过点O，GH⊥EF，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，∴△AHO≌△CGO（AAS），∴HO＝GO，∴四边形EGFH是平行四边形，∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形，∵点E是AB上的一个动点，∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，故①③正确；若四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°；∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°，∴∠BOG＝∠COF；在△BOG和△COF中，∵BOG COF BO COGBO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG＝OF，同理可得：EO＝OH，∴GH＝EF；∴四边形EGFH是正方形，∵点E是AB上的一个动点，∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．14．3013≤AM<6【分析】由勾股定理得BC=13从而得到点A到BC的距离, M为EF中点，所以AM=12EF，继而求得AM的范围．【详解】因为∠BAC=90°，AB=5，AC=12，所以由勾股定理得BC=13，则点A到BC的距离为AC512BC13AB⨯⨯==6013，所以AM的最小值为6013÷2=3013，因为M为EF中点，所以AM=12EF，当E 越接近A ，F 越接近C 时，EF 越大，所以EF ＜AC ，则AM ＜6， 所以3013≤AM＜6， 故答案为3013≤AM＜6.15【分析】先根据菱形的性质可得OC 垂直平分BD ，从而可得=DP BP ，再根据两点之间线段最短可得EP BP +的最小值为DE ，然后利用等边三角形的判定与性质求出点D 的坐标，最后利用两点之间的距离公式即可得．【详解】如图，连接BP 、DP 、EP 、DE 、BD ，过点D 作DA OB ⊥于点A ， (23,0)B ，OB ∴=四边形ABCD 是菱形，OC ∴垂直平分BD ，OB OD ==点P 是对角线OC 上的点，DP BP ∴=，EP BP EP DP ∴+=+，由两点之间线段最短可知，EP DP +的最小值为DE ，即EP BP +的最小值为DE ， ,60OB OD DOB =∠=︒，BOD ∴是等边三角形， DA OB ⊥，12OA OB ∴==3AD ===，D ∴，又(0,1)E -，DE ∴==即EP BP +【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据两点之间线段最短得出EP BP+的最小值为DE是解题关键．16．42a-23【分析】先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即a 最小，可计算a的值，从而得结论．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵∠ACB=30°，BC=23，∴AB=2，AC=4，∵AG=a，∴CG=4a-，如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，Rt△CGH中，∠ACB=30°，∴GH=12CG=42a-，则点G到BC边的距离为42a-，∵HM⊥BC，AD∥BC，∴HM⊥AD，∴∠AMG=90°，∵∠B =∠BHM =90°，∴四边形ABHM 是矩形，∴HM =AB =2，∴GM =2﹣GH =422a --=2a ， ∴S △ADG 113232222a a AD MG =⋅=⨯⨯=， 当a 最小时，△ADG 的面积最小，如图2，当GE ⊥BC 时，AG 最小，即a 最小，∵FG 是AE 的垂直平分线，∴AG =EG ，∴42a a -=， ∴43a =， ∴△ADG 34233=， 故答案为：42a -23． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG 的面积最小时点G 的位置是解答此题的关键．17．1或7．【分析】存在2种情况满足条件，一种是点P 在BC 上，只需要BP=CE 即可得全等；另一种是点P 在AD 上，只需要AP=CE 即可得全等【详解】设点P 的运动时间为t 秒，当点P 在线段BC 上时，则2BP t =，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB CD =，90B DCE ∠=∠=︒，此时有ABP DCE ∆∆≌，∴BP CE =，即22t =，解得1t =；当点P 在线段AD 上时，则2BC CD DP t ++=，∵4AB =，6AD =，∴6BC =，4CD =，∴()()6462162AP BC CD DA BC CD DP t t =++-++=++-=-，∴162AP t =-，此时有ABP CDE ∆∆≌，∴AP CE =，即1622t -=，解得7t =；综上可知当t 为1秒或7秒时，ABP ∆和CDE ∆全等.故答案为：1或7．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到一条直角边相等即可18．5【分析】先判断四边形BCEF 的形状，再连接FM FC 、，利用正方形的性质得出AFG 是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12MN FC =即可． 【详解】∵四边形ABCP 是边长为4的正方形，//EF BC ，∴四边形BCEF 是矩形，∵1PE =，∴3CE =，连接FM FC 、，如图所示：∵四边形ABCP 是正方形，∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，又∵N 是FC 中点，12MN FC =， ∵225FC BF BC =+=∴ 2.5MN =，故答案为：2.5 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．19．2【分析】根据EM 是Rt ABE △斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EM 的长；根据已知条件推导出DME 是等边三角形，且边长为2，进一步计算即可得解．【详解】解：∵AD BC ⊥，M 为AB 边的中点，4AB =∴在Rt ABD △中，114222DM AM AB ===⨯= 同理，在Rt ABE △中，114222EM AM AB ===⨯= ∴MDA MAD ∠=∠，MEA MAE ∠=∠∵2BME MEA MAE MAE ∠=∠+∠=∠，2BMD MDA MAD MAD ∠=∠+∠=∠ ∴DME BME BMD ∠=∠-∠ 22MAE MAD =∠-∠()2MAE MAD =∠-∠2DAC =∠60=︒∵=DM EM∴DME 是等边三角形，且边长为2∴122EDM S =⨯=故答案是：2【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提．20【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠DAF=∠BAF=45°，再由矩形性质可得FC=ED=1，然后由勾股定理求出FG 即可．【详解】由折叠的性质可知，∠DAF=∠BAF=45°，∴AE=AD=3，EB=AB-AD=1，∵四边形EFCB 为矩形，∴FC=BE=1，∵AB ∥FC ，∴∠GFC=∠DAF=45°，∴GC=FC=1，∴FG ===．【点睛】本题考查了折叠变换，矩形的性质是一种对称变换，理解折叠前后图形的大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解决此题的关键．三、解答题21．（1）DE CF ；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF ＋CF ＝DF 或|AF －CF |【分析】（1）易证△BCD 是等腰直角三角形，得出CB ，即可得出结果；（2）情况1：过点C 作CG ⊥CF ，交DF 于G ，设BC 交DF 于P ，由ASA 证得△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，CF ，连接BE ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB ）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF 是等腰直角三角形，则EF=BF ，推出EF=DG ，DE=FG ，得出CF ；情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，由ASA 证得△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，得CF ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF 是等腰直角三角形，得出EF=BF ，推出DE=FG ，得出CF ；（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，由（2）得△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得出∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF 是等腰直角三角形，得DF ，DH=DF ，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS 证得△HDA ≌△FDC ，得CF=HA ，即可得出；②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，证明△BFN 是等腰直角三角形，得BF=NF ，由SSS 证得△CNF ≌△CBF ，得∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°，则△DFH 是等腰直角三角形，得，DF=DH ，由SAS证得△ADF ≌△CDH ，得出CH=AF ，即可得出DF ；③当F 在DC 的上方时，连接BE ，作HD ⊥DF ，交AF 于H ，由（2）得△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF是等腰直角三角形，得出HF=2DF，DH=DF，由SAS证得△ADC≌△HDF，得出AH=CF，即可得出AF-CF=2DF；④当F在AD左侧时，作HD⊥DF交AF的延长线于H，连接BE，设AD交BF于P，证明△BFE是等腰直角三角形，得EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则∠DFH=∠EFA=45°，△HDF是等腰直角三角形，得DH=DF，HF=2DF，由SAS证得△HDA≌△FDC，得出AF=CF，即可得出CF-AF=2DF．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BCD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴DB=2CB，当点E、F与点B重合时，则DE=2CF，故答案为：DE=2CF；（2）在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：情况1：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB=AD=AB=AE，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，过点C作CG⊥CF，交DF于G，如图②所示：则∠BCD=∠GCF=90°，∴∠DCG=∠BCF，设BC交DF于P，∵BF⊥DE，∴∠BFD=∠BCD=90°，∵∠DPC=∠FPB，∴∠CDP=∠FBP，在△CDG和△CBF中，DCG BCFCD CBCDG CBF∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△CDG≌△CBF（ASA），∴DG=FB，CG=CF，∴△GCF是等腰直角三角形，∴FG=2CF，连接BE，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠ADE=90°-α，∵AD=AE，∴∠DEA=∠ADE=90°-α，∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α，∴∠EAB=90°-2α，∵AB=AE，∴∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB）=12（180°-90°+2α）=45°+α，∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α，∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°，∵BF⊥DE，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF，∴EF=DG，∴EF+EG=DG+EG，即DE=FG，∴DE=2CF；情况2：过点C作CG⊥CF交DF延长线于G，连接BE，设CD交BF于P，如图③所示：∵∠GCF=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCF，∵∠FPD=∠BPC，∴∠FDP=∠PBC，在△CDG和△CBF中，。
平行四边形单元 易错题难题综合模拟测评检测试题
平行四边形单元 易错题难题综合模拟测评检测试题一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，30, 6, 63,BCD BC CD E ︒∠===是AD 边上的中点，F 是AB 边上的一动点，将AEF ∆沿EF 所在直线翻折得到A EF '∆,连接A C '，则A C '的最小值为( )A ．319B ．313C ．3193-D ．632．如图所示，等边三角形ABC 沿射线BC 向右平移到DCE ∆的位置，连接AD 、BD ，则下列结论：（1）AD BC =（2）BD 与AC 互相平分（3）四边形ACED 是菱形（4）BD DE ⊥，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，菱形ABCD 的边，8AB =，60B ∠=,P 是AB 上一点，3BP =，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ．当'CA 的长度最小时，'C Q 的长为（ ）A ．5B ．7C ．8D ．1324．如图，菱形ABCD 的边长为4，∠DAB =60°，E 为BC 的中点，在对角线AC 上存在一点P ，使△PBE 的周长最小，则△PBE 的周长的最小值为 ( )A ．3B ．4C ．232D ．43+5．如图，在菱形ABCD 中，AB =5cm ，∠ADC =120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB ．CB 方向向点B 匀速移动(到点B 为止)，点E 的速度为1c m/s ，点F 的速度为2c m/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为( )A ．34B ．43C ．32D ．536．如图，点E 在正方形ABCD 外，连接AE BE DE ，，，过点A 作AE 的垂线交DE 于F ，若210AE AF BF ===，，则下列结论不正确的是( )A ．AFD AEB ∆≅∆B ．点B 到直线AE 的距离为2C ．EB ED ⊥ D ．16AFD AFB S S ∆∆+=+7．已知点M 是平行四边形ABCD 内一点(不含边界)，设12MAD MBA θθ∠=∠=，，3 MCB θ∠=，4MDC θ∠=．若110,AMB ∠=︒ 90CMD ∠=︒，60BCD ∠=︒，则( )A ．142310θθθθ+--=︒B ．241330θθθθ+--=︒C ．142330θθθθ+--=︒D ．241340θθθθ+--=︒8．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，分别以直角边AB 、斜边AC 为边，向外作等边ABD ∆和等边ACE ∆，F 为AC 的中点，DE 与AC 交于点O ，DF 与AB 交于点G ．给出如下结论：①四边形ADFE 为菱形；②DF AB ⊥；③14AO AE =；④4CE FG =；其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④9．如图，在ABC 中，ACB 90∠=︒，2AC BC ==，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且AE CF =，给出以下四个结论：（1）DE DF =；（2）DEF 是等腰直角三角形；（3）四边形CEDF 面积ABC 1S 2=△；（4）2EF 的最小值为2．其中正确的有（ ）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．如图，在□ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上（E 不与A 、B 重合），连接EF 、CF ，则下列结论中一定成立的是 ( )①∠DCF=12∠BCD ；②EF=CF ；③2BEC CEF S S ∆∆<；④∠DFE=4∠AEF A ．①②③④B ．①②③C ．①②D ．①②④ 二、填空题11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为CD 边上的一个动点，以CE 为边向外作正方形ECFG ，连结BG ，点H 为BG 中点，连结EH ，则EH 的最小值为______12．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边CD 的中点，点P 在线段AB 上运动，F 是CP 的中点，则CEF ∆的周长的最小值是____________．13．如图，以Rt ABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABED，正方形对角线交于点O，连接CO，如果AC=4，CO=62，那么BC=______．14．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（23，0），∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，－1），则EP十BP的最小值为__________．15．如图，在平行四边形ABCD，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论：①∠BCD＝2∠DCF；②EF＝CF；③S△CDF＝S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF，－定成立的是_________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)16．在ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则DEF的周长为______．17．如图，已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB、MC为邻边作平行四边形MCNB，连接MN，则MN的最小值是______18．已知：一组邻边分别为6cm 和10cm 的平行四边形ABCD ，DAB ∠和ABC ∠的平分线分别交CD 所在直线于点E ，F ，则线段EF 的长为________cm ．19．如图所示，已知AB ＝ 6，点C ，D 在线段AB 上，AC ＝DB ＝ 1，P 是线段CD 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是_________．20．如图所示，在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E 、F 、G 、H ，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成一个菱形，这个条件是__________．三、解答题21．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积22．已知，四边形ABCD 是正方形，点E 是正方形ABCD 所在平面内一动点（不与点D 重合），AB ＝AE ，过点B 作DE 的垂线交DE 所在直线于F ，连接CF ．提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：；（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：．23．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．24．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若15BDE ∠=︒，45C ∠=︒，2DE =，求CF 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．25．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接,CP 将线段CP 绕点C 顺时针旋转90,︒得到线段,CQ 连接,BP DQ .()1如图甲，求证：CBP CDQ ∠=∠；()2如图乙，延长BP 交直线DQ 于点E .求证：BE DQ ⊥；()3如图丙，若BCP 为等边三角形，探索线段,PD PE 之间的数量关系，并说明理由.26．如图，点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，垂足为B ，AC y ⊥轴，垂足为C ，点,D E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，45DAE ︒∠=.（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求DOE ∆的周长；（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设ADE ∆的面积为1S ，DOE ∆的面积为2S ，请猜想1S 与2S 之间的等量关系，并证明你的猜想.27．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AC 的一点，连接EB ，过点A 做AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于点F ．（1）猜想：如图（1）线段OE 与线段OF 的数量关系为 ；（2）拓展：如图（2），若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，AM 、DB 的延长线相交于点F ，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由．28．如图，在四边形OABC 是边长为4的正方形点P 为OA 边上任意一点（与点O A 、不重合），连接CP ，过点P 作PM CP ⊥，且PM CP =，过点M 作MN AO ∥，交BO 于点,N 联结BM CN 、，设OP x =.（1）当1x =时，点M 的坐标为（ ， ）（2）设CNMB S y =四形边，求出y 与x 的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围.（3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN 是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点Q 的坐标（用x 的式子表示）29．已知E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 上的点，AF ，DE 相交于点G ，当E ，F 分别为边BC ，CD 的中点时，有：①AF=DE ；②AF ⊥DE 成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E 不是边BC 的中点，F 不是边CD 的中点，且CE=DF ，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E ，F 分别在CB 的延长线和DC 的延长线上，且CE=DF ，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE 和BF ，若点M ，N ，P ，Q 分别为AE ，EF ，FD ，AD 的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．30．问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点． 如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=︒∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．初步思考(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=︒，D 、E 为ABC 外两点，EB EC =，45EBC ∠=︒，DBC △为等边三角形．①点A 与点______关于BC 互为顶针点；②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由．实践操作(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)思维探究②如图4，点E 是直线AB 上的动点，点P 是平面内一点，点E 与点C 关于BP 互为勾股顶针点，直线CP 与直线AD 交于点F ．在点E 运动过程中，线段BE 与线段AF 的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE 的长；若不相等，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】如图，先作辅助线，首先根据垂直条件，求出线段ME 、DE 长度，然后运用勾股定理求出DE 的长度，再根据翻折的性质，当折线'EA ，'AC 与线段CE 重合时，线段'AC 长度最短，可以求出最小值.【详解】如图，连接EC,过点E 作EM ⊥CD 交CD 的延长线于点M.四边形ABCD 是平行四边形，6AD BC AD BC ∴==，，E 为AD 的中点，30BCD ∠=︒，330DE EA MDE BCD ∴==∠=∠=︒，，又 EM CD ⊥,133322ME DE DM ∴===， 3315363CM CD DM ∴=+== 根据勾股定理得： 22223153319.22CE ME CM ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据翻折的性质，可得'3EA EA ==,当折线'EA ，'AC 与线段CE 重合时，线段'AC 长度最短，此时'AC = 3193. 【点睛】本题是平行四边形翻折问题，主要考查直角三角形勾股定理，根据题意作出辅助线是解题的关键.2．D解析：D【分析】先求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD 是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD 是平行四边形，从而可判断②是正确的；再结合①的结论，可判断③正确；根据菱形的对角线互相垂直可得AC ⊥BD ，再根据平移后对应线段互相平行可得∠BDE=∠COD=90°，进而判断④正确.【详解】解：如图：∵△ABC ，△DCE 是等边三角形∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD∴∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°∴△ACD 是等边三角形∴AD=AC=BC ，故①正确；由①可得AD=BC∵AB=CD∴四边形ABCD 是平行四边形，∴BD 、AC 互相平分，故②正确；由①可得AD=AC=CE=DE 故四边形ACED 是菱形，即③ 正确∵四边形ABCD 是平行四边形，BA=BC∴.四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BD ，AC//DE∴∠BDE=∠COD=90°∴BD ⊥DE ，故④正确综上可得①②③④正确，共4个.故选：D【点睛】此题主要考查了菱形的判定与性质，以及平移的性质，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直.3．B解析：B【解析】【分析】作CH AB ⊥于H ，如图，根据菱形的性质可判断ABC ∆为等边三角形，则343CH AB ==4AH BH ==，再利用7CP =勾股定理计算出，再根据折叠的性质得点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，然后证明CQ CP =即可．【详解】解：作CH AB ⊥于H ，如图，菱形ABCD 的边8AB =，60B ∠=，ABC ∆∴为等边三角形，3432CH AB ∴==，4AH BH ==， 3PB =，1HP ∴=，在Rt CHP ∆中，32(43)17CP =+=，梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ，∴点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，∴当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，APQ CPQ ∴∠=∠，而//CD AB ，APQ CQP ∴∠=∠，CQP CPQ ∴∠=∠，7CQ CP ∴==.故选：B ．【点睛】考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了折叠的性质．解决本题的关键是确定A′在PC 上时CA′的长度最小．4．C解析：C【分析】如下图，△BEP 的周长=BE+BP+EP ，其中BE 是定值，只需要BP+PE 为最小值即可，过点E 作AC 的对称点F ，连接FB ，则FB 就是BP+PE 的最小值．【详解】如下图，过点E 作AC 的对称点F ，连接FB ，FE ，过点B 作FE 的垂线，交FE 的延长线于点G∵菱形ABCD 的边长为4，点E 是BC 的中点∴BE=2∵∠DAB=60°，∴∠FCE=60°∵点F 是点E 关于AC 的对称点∴根据菱形的对称性可知，点F 在DC 的中点上则CF=CE=2∴△CFE 是等边三角形，∴∠FEC=60°，EF=2∴∠BEG=60°∴在Rt △BEG 中，EG=1，3∴FG=1+2=3∴在Rt △BFG 中，()2233+3根据分析可知，BF=PB+PE∴△PBE 的周长32故选：C【点睛】本题考查菱形的性质和利用对称性求最值问题，解题关键是利用对称性，将BP+PE 的长转化为FB 的长． 5．D解析：D【分析】由题意知道AE=t ，CF=2t ，连接BD ，证明△DEB ≌△DFC，得到EB=FC=2t ，进而AB=AE+EB=3t=5，进而求出t 的值.【详解】解：连接DB ，如下图所示，∵四边形ABCD 为菱形，且∠ADC=120°，∴∠CDB=60°∴△CDB 为等边三角形，∴DB=DC又∵△DEF 为等边三角形，∴∠EDF=60°，DE=DF∴∠CDB=∠EDF∴∠CDB-∠BDF=∠EDF-∠BDF∴∠CDF=∠BDE在△EDB 和△FDC 中：=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩DE DF EDB FDC DB DC ，∴△EDB ≌△FDC(SAS)∴FC=BE=2t∴AB=AE+EB=t+2t=3t=5∴t=53. 故答案为：D.【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质等相关知识，关键是能想到连接BD 后证明三角形全等，本题是动点问题，将线段长用t 的代数式表示，化动为静.6．B解析：B【分析】A 、首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD ≌△AEB ；B 、利用全等三角形的性质和对顶角相等即可解答；C 、由（1）可得∠BEF ＝90°，故BE 不垂直于AE 过点B 作BP ⊥AE 延长线于P ，由①得∠AEB ＝135°所以∠PEB ＝45°，所以△EPB 是等腰Rt △，于是得到结论；D 、根据勾股定理和三角形的面积公式解答即可．【详解】解：在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∵AF ⊥AE ，∴∠BAE ＋∠BAF ＝90°，又∵∠DAF ＋∠BAF ＝∠BAD ＝90°，∴∠BAE ＝∠DAF ，在△AFD 和△AEB 中，AE AF BAE DAF AB AD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝∴△AFD ≌△AEB （SAS ），故A 正确；∵AE ＝AF ，AF ⊥AE ，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴∠AEF ＝∠AFE ＝45°，∴∠AEB ＝∠AFD ＝180°−45°＝135°，∴∠BEF ＝135°−45°＝90°，∴EB ⊥ED ，故C 正确；∵AE ＝AF 2，∴FE 2AE ＝2，在Rt △FBE 中，BE 221046FB FE -=-=∴S △APD ＋S △APB ＝S △APE ＋S △BPE ， ＝11222622⨯ 16=D 正确；过点B 作BP ⊥AE 交AE 的延长线于P ，∵∠BEP ＝180°−135°＝45°，∴△BEP 是等腰直角三角形，∴BP 263=， 即点B 到直线AE 3，故B 错误，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，难度较大，熟记性质并仔细分析图形，理清图中三角形与角的关系是解题的关键．7．D解析：D【分析】依据平行四边形的性质以及三角形内角和定理，可得θ2-θ1=10°，θ4-θ3=30°，两式相加即可得到θ2+θ4-θ1-θ3=40°．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=60°，∴∠BAM=60°-θ1，∠DCM=60°-θ3，∴△ABM中，60°-θ1+θ2+110°=180°，即θ2-θ1=10°①，△DCM中，60°-θ3+θ4+90°=180°，即θ4-θ3=30°②，由②+①，可得（θ4-θ3）+（θ2-θ1）=40°，2413 40θθθθ∴+--=︒；故选：D.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．8．D解析：D【分析】由题意得出条件证明△ABC≌△DAF,根据对应角相等可推出②正确;由F是AB中点根据边长转换可以推出④正确;先推出△ECF≌△DFA得出对应边相等推出ADFE为平行四边形且有组临边不等得出①错误;再由以上全等即可得出④正确.【详解】∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD=60°，AB=AD，∵∠BAC=30°，知∴∠FAD=∠ABC=90°，AC=2BC，∵F为AC的中点道，∴AC=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△DAF，∴FD=AC，∴∠ADF=∠BAC=30°，∴DF⊥AB，故②正确，∵EF⊥AC，∠ACB=90°，∴FG∥BC，∵F是AB的中点，∴GF=12BC ， ∵BC=12AC ，AC=CE ， ∴GF=14CE ，故④说法正确； ∵AE=CE ，CF=AF ，∴∠EFC=90°，∠CEF=30°，∵∠FAD=∠CAB+∠BAD=90°，∴∠EFC=∠DAF ，∵DF ⊥AB ，∴∠ADF=30°，∴∠CEF=∠ADF ，∴△ECF ≌△DFA （AAS ），∴AD=EF ，∵FD=AC ，∴四边形属ADFE 为平行四边形，∵AD≠DF ，∴四边形ADFE 不是菱形；故①说法不正确；∴AO=12AF ， ∴AO=12AC ， ∵AE=AC ，则AE=4AO ，故③说法正确，故选D ．【点睛】本体主要考查平行四边形的判定，等边三角形，三角形全等的判定，关键在于熟练掌握基础知识，根据图形结合知识点进行推导.9．A解析：A【分析】根据等腰三角形的性质，可得到：CD AB ⊥，从而证明ADE ≌CDF 且ADC 90∠=︒，即证明DE DF =和DEF 是等腰直角三角形，以及四边形CEDF 面积ABC 1S 2=△；再根据勾股定理求得EF ，即可得到答案． 【详解】∵ACB 90∠=︒，2AC BC ==∴AB ==∴A B 45∠=∠=︒∵点D 是AB 的中点∴CD AB ⊥，且1AD BD CD AB 2====∴DCB 45∠=︒∴A DCF ∠∠=，在ADE 和CDF 中 AD CD A DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE ≌()CDF SAS∴DE DF =，ADE CDF ∠∠=∵CD AB ⊥∴ADC 90∠=︒∴EDF EDC CDF EDC ADE ADC 90∠∠∠∠∠∠=+=+==︒∴DEF 是等腰直角三角形∵ADE ≌CDF∴ADE 和CDF 的面积相等∵D 为AB 中点∴ADC 的面积1ABC 2=的面积 ∴四边形CEDF 面积EDC CDF EDC ADE ADC ABC 1S S S S S S 2=+=+==；当DE AC ⊥，DF BC ⊥时，2EF 值最小根据勾股定理得：222EFDE DF =+此时四边形CEDF 是正方形即EF CD ==∴22EF 2==∴正确的个数是4个故选：A ．【点睛】本题考察了等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形的性质，从而完成求解．10．B解析：B【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．【详解】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD．∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF．∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=12∠BCD，故①正确；延长EF，交CD延长线于M．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF．∵F为AD中点，∴AF=FD．在△AEF和△DFM中，A FDMAF DFAFE DFM∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M．∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°．∵FM=EF，∴EF=CF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM．∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故③正确；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x ．∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．故答案为B．点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题的关键．二、填空题112【分析】过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，得到BO=2HE，其中O点在线段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO的长即可求解．【详解】解：过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，如下图所示：∵H是BG的中点，且BO与HE平行，∴HE为△BOG的中位线，且BO=2HE，故要使得HE最短，只需要BO最短即可，当E点位于C点时，则O点与C点重合，当E点位于D点时，则O点与A点重合，故E点在CD上运动时，O点在AC上运动，由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO⊥AC时，此时BO最短，∵四边形ABCD是正方形，∴△BOC为等腰直角三角形，且BC=4，、∴2222BO,∴122HE BO，2【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的HE线段长转移到线段BO上．12．222【分析】由题意根据三角形的中位线的性质得到EF=12PD，得到C△CEF=CE+CF+EF=CE+12（CP+PD）=12（CD+PC+PD）=12C△CDP，当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；并作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，进而分析即可得到结论．【详解】解：∵E为CD中点，F为CP中点，∴EF=12 PD，∴C△CEF=CE+CF+EF=CE+12（CP+PD）=12（CD+PC+PD）=12C△CDP∴当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；如图，作D关于AB的对称点T，连接CT，则PD=PT，∵AD=AT=BC=2，CD=4，∠CDT=90°，∴22224442CT CD DT++=∵△CDP的周长=CD+DP+PC=CD+PT+PC，∵PT+PC≥CT，∴PT+PC≥42∴PT+PC的最小值为2，∴△PDC的最小值为4+42∴C△CEF=12C△CDP=222．故答案为：222．【点睛】本题考查轴对称-最短距离问题以及三角形的周长的计算等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．13．8【分析】通过作辅助线使得△CAO≌△GBO，证明△COG为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG 后，即可求出BC的长．【详解】如图，延长CB 到点G ，使BG=AC ．∵根据题意，四边形ABED 为正方形，∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°，∴∠1+∠2=90°又∵三角形BCA 为直角三角形，AB 为斜边，∴∠2+∠3=90°∴∠1＝∠3∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO ＝∠GBO ，在△CAO 和△GBO 中，CA GB CAO GBO AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩故△CAO ≌△GBO ，∴CO ＝GO=627=∠6，∵∠7+∠8=90°，∴∠6+∠8=90°，∴三角形COG 为等腰直角三角形，∴()()2222=6262CO GO ++， ∵CG=CB+BG ，∴CB=CG －BG=12－4=8，故答案为8．【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键． 1419【分析】先根据菱形的性质可得OC 垂直平分BD ，从而可得=DP BP ，再根据两点之间线段最短可得EP BP +的最小值为DE ，然后利用等边三角形的判定与性质求出点D 的坐标，最后利用两点之间的距离公式即可得．【详解】如图，连接BP 、DP 、EP 、DE 、BD ，过点D 作DA OB ⊥于点A ， (23,0)B ， 23OB ∴=，四边形ABCD 是菱形，OC ∴垂直平分BD ，23OB OD ==，点P 是对角线OC 上的点，DP BP ∴=，EP BP EP DP ∴+=+，由两点之间线段最短可知，EP DP +的最小值为DE ，即EP BP +的最小值为DE ， ,60OB OD DOB =∠=︒，BOD ∴是等边三角形，DA OB ⊥，132OA OB ∴==，2222(23)(3)3AD OD OA =-=-=， (3,3)D ∴，又(0,1)E -，22(30)(31)19DE ∴=-++=，即EP BP +的最小值为19，故答案为：19．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据两点之间线段最短得出EP BP +的最小值为DE 是解题关键．15．①②④【分析】①根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可判断；②延长EF ，交CD 延长线于点M ，首先根据平行四边形的性质证明AEFDFM ≅△△，得出,FE MF AEFM =∠=∠，进而得出90ECD AEC ∠=∠=︒，从而利用直角三角形斜边中线的性质即可判断；③由FE MF =，得出EFC CFM SS =，从而可判断正误； ④设FEC x ∠= ，利用三角形内角和定理分别表示出∠DFE 和∠AEF ，从而判断正误．【详解】①∵点F 是AD 的中点，∴AF FD = ．∵在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ， //,AD BC AF FD CD ∴==，,DFC FCB DFC DCF ∴∠=∠∠=∠ ，FCB DCF ∴∠=∠，∴∠BCD ＝2∠DCF ，故①正确；②延长EF ，交CD 延长线于点M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，A MDF ∴∠=∠，∵点F 是AD 的中点，∴AF FD = ．在AEF 和DFM 中，A FDM AF DFAFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AEF DFM ASA ∴≅△△,FE MF AEF M ∴=∠=∠．CE AB ⊥ ，90AEC ∴∠=︒，90ECD AEC ∴∠=∠=︒，12CF EM EF ∴==，故②正确； ③∵FE MF =，∴EFC CFM S S = ．CFM CDF MDF S S S =+△△△CDF EFC S S ∴<△△，故③错误；④设FEC x ∠= ，则FCE x ∠=，90DCF DFC x ∴∠=∠=︒- ，1802EFC x ∴∠=︒-，9018022703EFD x x x ∴∠=︒-+︒-=︒- ．90AEF x ∠=︒- ，3DFE AEF ∴∠=∠，故④正确；综上所述，正确的有①②④，故答案为 ：①②④．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握这些性质和定理是解题的关键．16．15.5【分析】先根据折叠的性质可得,AE DE EAD EDA =∠=∠，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得B BDE ∠=∠，又根据等腰三角形的性质可得BE DE =，从而可得6DE AE BE ===，同理可得出5DF AF CF ===，然后根据三角形中位线定理可得1 4.52EF BC ==，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】由折叠的性质得：,AE DE EAD EDA =∠=∠AD 是BC 边上的高，即AD BC ⊥90B EAD ∴∠+∠=︒，90BDE EDA ∠+∠=︒B BDE ∴∠=∠BE DE ∴=1112622DE AE BE AB ∴====⨯= 同理可得：1110522DF AF CF AC ====⨯= 又,AE BE AF CF ==∴点E 是AB 的中点，点F 是AC 的中点EF ∴是ABC 的中位线119 4.522EF BC ∴==⨯= 则DEF 的周长为65 4.515.5DE DF EF ++=++=故答案为：15.5．【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE DE=是解题关键．17．120 13【分析】设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO和OH长，若MN最小，则MO最小即可，而O点到AC的最短距离为OH 长，所以MN最小值是2OH．【详解】解：设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，∵四边形MCNB是平行四边形，∴O为BC中点，MN＝2MO．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AO⊥BC．在Rt△AOC中，利用勾股定理可得AO2222135AC CO-=-12．利用面积法：AO×CO＝AC×OH，即12×5＝13×OH，解得OH＝60 13．当MO最小时，则MN就最小，O点到AC的最短距离为OH长，所以当M点与H点重合时，MO最小值为OH长是60 13．所以此时MN最小值为2OH＝120 13．故答案为：120 13．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．18．2或14【分析】利用当AB=10cm,AD=6cm，由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE平分∠BAD，由此可以推出所以∠BAE=∠DAE，则DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm，而EF=CF+DE-DC，由此可以求出EF长；同理可得：当AD=10cm,AB=6cm时，可以求出EF长【详解】解：如图1，当AB=10cm,AD=6cm∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠DAE，又∵AD∥CB∴∠EAB=∠DEA，∴∠DAE=∠AED，则AD=DE=6cm同理可得：CF=CB=6cm∵EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)如图2，当AD=10cm,AB=6cm,∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE又∵AD∥CB∴∠EAB=∠DEA，∴∠DAE=∠AED则AD=DE=10cm同理可得，CF=CB=10cm EF=DE+CF-DC=10+10-6=14（cm）故答案为：2或14.图1 图2【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，关键是平行四边形的不同可能性进行分类讨论．19．2【分析】分别延长AE，BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出点G为PH的中点，则G的运动轨迹为△HCD的中位线MN，再求出CD的长度，运用中位线的性质求出MN的长度即可．【详解】解：如图，分别延长AE，BF交于点H，∵∠A=∠FPB=60°，∴AH∥PF，∵∠B=∠EPA=60°，∴BH∥PE∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分，∵点G为EF的中点，∴点G为PH的中点，即在P运动的过程中，G始终为PH的中点，∴G的运动轨迹为△HCD的中位线MN，∵CD=6-1-1=4，∴MN=12CD=2，∴点G移动路径的长是2，故答案为：2．【点睛】本题考查了等边三角形及中位线的性质，以及动点的问题，是中考热点，解题的关键是得出G的运动轨迹为△HCD的中位线MN．20．答案不唯一，例AC=BD 等【分析】连接AC、BD，先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的特点添加条件即可.【详解】连接AC，∵点E、F分别是AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF=12 AC，同理HG∥AC，HG=12 AC,∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形，连接BD,同理EH=FG,EF∥FG，当AC=BD时，四边形EFGH是平行四边形，故答案为：答案不唯一，例AC=BD 等.【点睛】此题考查三角形中位线性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定.三、解答题21．（1）见解析（2）10【分析】（1）先证明AFE DBE ∆≅∆，得到AF DB =，AF CD =，再证明四边形ADCF 是平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到12AD DC BC ==，即可证明四边形ADCF 是菱形。
平行四边形单元 易错题难题测试题试卷
平行四边形单元易错题难题测试题试卷一、选择题1．如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD．结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG12BC；⑤四边形EFGH的周长等于2AB．其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．42．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E、F分别为BC、CD的中点，AP⊥EF分别交BD、EF于O、P两点，M、N分别为BO、DO的中点，连接MP、NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．若AB＝1，则四边形BMPE的面积是（）A．17B．18C．19D．1103．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，E是线段BO上一动点，F是射线DC上一动点，若∠AEF＝120°，则线段EF的长度的整数值的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，已知直线l//AB，l与AB之间的距离为2．C、D是直线l上两个动点（点C在D 点的左侧），且AB=CD=5．连接AC、BC、BD，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC．下列说法：①四边形ABDC的面积始终为10；②当A′与D重合时，四边形ABDC是菱形；③当A′与D 不重合时，连接A′、D，则∠CA′D+∠BC A′=180°；④若以A′、C、B、D为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为57．其中正确的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③5．如图，菱形ABCD 中，∠A 是锐角，E 为边AD 上一点，△ABE 沿着BE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边CD 上，连接EF ，BF ，给出下列结论： ①若∠A =70°，则∠ABE =35°；②若点F 是CD 的中点，则S △ABE 13=S 菱形ABCD 下列判断正确的是（ ）A ．①，②都对B ．①，②都错C ．①对，②错D ．①错，②对6．如图，90MON ∠=︒边长为2的等边三角形ABC 的顶点A B 、分别在边OM ，ON 上当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C 到点O 的最大距离为（ ）A ．2.4B ．5C ．31+D ．527．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 是AD 边上的一个动点，过点P 分别作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F.若AB ＝3，BC ＝4，则PE ＋PF 的值为( )A ．10B ．9.6C ．4.8D ．2.48．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分DCB ∠交BD 于点F ，且60ABC ∠=︒，2AB BC =，连接OE ，下列结论：①30ACD ∠=︒；②·ABCDSAC BC =；③:1:4OE AC =．其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．在菱形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的一点(不与端点重合)，对于任意的菱形ABCD ，下面四个结论中：①存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ 是矩形；③存在无数个四边形MNPQ 是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ 是正方形 正确的结论的个数是( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知菱形ABCD 的面积为83，对角线AC 的长为43，∠BCD=60°，M 为BC 的中点，若P 为对角线AC 上一动点，则PB+PM 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．23D ．4二、填空题11．如图，以Rt ABC 的斜边AB 为一边，在AB 的右侧作正方形ABED ，正方形对角线交于点O ，连接CO ，如果AC=4，CO=62，那么BC=______．12．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF+=的点P 的个数是________个．13．如图,长方形纸片ABCD 中,AB ＝6 cm,BC ＝8 cm 点E 是BC 边上一点，连接AE 并将△AEB 沿AE 折叠, 得到△AEB′，以C ，E ，B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE 的长为___________cm.14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，E 为BC 边上一动点，作EF ⊥AE ，且EF ＝AE ．连接DF ，AF ．当DF ⊥EF 时，△ADF 的面积为_____．15．如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =23，点E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．16．菱形ABCD 的周长为24，∠ABC=60°，以AB 为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE ，连结AC ，CE ，则△ACE 的面积为___________.17．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．18．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，19．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝12AB ，运用：如图2，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED 连接BE ，CE ，DE ，则CE 的长为_____．20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE 的最大值为_____．三、解答题21．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积． 22．如图， 平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ． （1） 求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2） ①当AE 的长为多少时， 四边形CEDF 是矩形；②当AE = cm 时， 四边形CEDF 是菱形， （直接写出答案， 不需要说明理由）．23．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC . （1）求证：AEF CGH ∆≅∆（2）若ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+24．如图，在Rt ABC ∆中，90,40,60B AC cm A ∠=︒=∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以4/cm 秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2/cm 秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点,D E 运动的时间是t 秒（010t <≤）.过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接,DE EF .（1）试问四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；（2）当t 为何值时，90FDE ∠=︒？请说明理由.25．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==． 动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________．（2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ∆是等腰三角形，求相应t 的值． 26．在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上任意一点，连接,AE 过点B 作BF AE ⊥于F ，交AD 于H .()1如图1，过点D 作DG AE ⊥于G .求证:BF DG FG -=；()2如图2，点E 为CD 的中点，连接DF ，试判断,,DF FH EF 存在什么数量关系并说明理由；()3如图3，1AB =，连接EH ，点Р为EH 的中点，在点E 从点D 运动到点C 的过程中，点Р随之运动，请直接写出点Р运动的路径长.27．如图．正方形ABCD 的边长为4，点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD 运动，运动时间为t 秒（t ＞0），以AE 为一条边，在正方形ABCD 左侧作正方形AEFG ，连接BF ．（1）当t ＝1时，求BF 的长度；（2）在点E 运动的过程中，求D 、F 两点之间距离的最小值； （3）连接AF 、DF ，当△ADF 是等腰三角形时，求t 的值．28．在正方形中，连接，为射线上的一个动点（与点不重合），连接，的垂直平分线交线段于点，连接，.提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点的两个特殊位置：①当点与点重合时，如图1所示，____________②当时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：__________；（填“变化”或“不变化”）（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.29．已知：在矩形ABCD中，点F为AD中点,点E为AB边上一点，连接CE、EF、CF，EF 平分∠AEC．(1)如图1，求证：CF⊥EF;(2)如图2，延长CE、DA交于点K, 过点F作FG∥AB交CE于点G若，点H为FG上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H作HN⊥CH交AB于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK长.30．已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF，AE=AF（AE＜AD），连接DE、BF，P是DE的中点，连接AP．将△AEF绕点A逆时针旋转．（1）如图①，当△AEF的顶点E、F恰好分别落在边AB、AD时，则线段AP与线段BF的位置关系为，数量关系为．（2）当△AEF绕点A逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立．（3）若AB=3,AE=1，则线段AP的取值范围为．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断即可得答案．【详解】∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，∴EF=12CD，FG=12AB，GH=12CD，HE=12AB，∵AB=CD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形，故②错误，∴EG⊥FH，HF平分∠EHG；故①③正确，∴四边形EFGH的周长= EF=FG=GH=HE =2AB，故⑤正确，没有条件可证明EG=12BC，故④错误，∴正确的结论有：①③⑤，共3个，故选C.【点睛】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB=CD判定四边形EFGH是菱形并熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．2．B解析：B【分析】根据三角形的中位线的性质得到EF∥BD，EF=12BD，推出点P在AC上，得到PE=12EF，得到四边形BMPE平行四边形，过M作MF⊥BC于F，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．【详解】∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF∥BD，EF=12 BD，∵四边形ABCD是正方形，且AB=BC=1，∴，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∴BO=OD，∴点P在AC上，∴PE=12 EF，∴PE=BM，∴四边形BMPE是平行四边形，∴BO=12 BD，∵M为BO的中点，∴BM=14BD=24，∵E为BC的中点，∴BE=12BC=12，过M作MF⊥BC于F，∴MF=22BM=14，∴四边形BMPE的面积=BE•MF=18，故选B．【点睛】本题考查了七巧板，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确的识别图形是解题的关键．3．C解析：C【解析】【分析】连结CE，根据菱形的性质和全等三角形的判定可得△ABE≌△CBE，根据全等三角形的性质可得AE＝CE，设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，可得∠ECF＝∠EFC，根据等角对等边可得CE＝EF，从而得到AE＝EF，在Rt△ABO中，根据含30°的直角三角形的性质得到AO＝2，可得2≤AE≤4，从而得到EF的长的整数值可能是2，3，4．【详解】解：如图，连结CE，∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE，∴AE＝CE，设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，∴∠DEF＝120°﹣（90°﹣a）＝30°+a，∴∠EFC＝∠CDE+∠DEF＝30°+30°+a＝60°+a，∵∠ECF＝∠DCO+∠OCE＝60°+a，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∴AE＝EF，∵AB＝4，∠ABE＝30°，∴在Rt△ABO中，AO＝2，∵OA≤AE≤AB，∴2≤AE≤4，∴AE的长的整数值可能是2，3，4，即EF的长的整数值可能是2，3，4．故选：C．【点睛】考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，根据含30°的直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，证明△ABE≌△CBE．4．A解析：A【解析】【分析】①根据平行四边形的判定方法可得到四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算；②根据折叠的性质得到AC=CD，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ABDC是菱形；③连结A′D，根据折叠性质和平行四边形的性质得到CA′=CA=BD，AB=CD=A′B，∠1=∠CBA=∠2，可证明△A′CD≌△A′BD，则∠3=∠4，然后利用三角形内角和定理得到得到∠1=∠4，则根据平行线的判定得到A′D∥BC；④讨论：当∠CBD=90°，则∠BCA=90°，由于S△A1CB=S△ABC=5，则S矩形A′CBD=10，根据勾股定理和完全平方公式进行计算；当∠BCD=90°，则∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5，于是得到结论．【详解】①∵AB=CD=5，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABDC的面积=2×5=10；故①正确；②∵四边形ABDC是平行四边形，∵A′与D重合时，∴AC=CD，∵四边形ABDC是平行四边形，∴四边形ABDC是菱形；故②正确；③连结A′D，如图，∵△ABC 沿BC 折叠得到△A′BC ，∴CA′=CA=BD ，AB=CD=A′B ，在△A′CD 和△A′BD 中CA BD CD BA A D A D ＝＝＝'⎧⎪'⎨⎪''⎩，∴△A′CD ≌△A′BD （SSS ），∴∠3=∠4，又∵∠1=∠CBA=∠2，∴∠1+∠2=∠3+∠4，∴∠1=∠4，∴A′D ∥BC ，∴∠CA′D+∠BCA′=180°；故③正确；④设矩形的边长分别为a ，b ，当∠CBD=90°，∵四边形ABDC 是平行四边形，∴∠BCA=90°，∴S △A′CB =S △ABC =12×2×5=5， ∴S 矩形A′CBD =10，即ab=10，而BA′=BA=5，∴a 2+b 2=25，∴（a+b ）2=a 2+b 2+2ab=45，∴5当∠BCD=90°时，∵四边形ABDC 是平行四边形，∴∠CBA=90°，∴BC=3，而CD=5，∴（a+b ）2=（2+5）2=49，∴a+b=7， ∴此矩形相邻两边之和为35或7．故④正确．故选A ．【点睛】本题考查了四边形综合题：熟练掌握平四边形的判定与性质以及特殊平行四边形的判定与性质；会运用折叠的性质确定相等的线段和角．5．A解析：A【解析】【分析】只要证明BF BC =，可得ABF BFC C 70∠∠∠===，即可得出ABE 35∠=；延长EF 交BC 的延长线于M ，只要证明DEF ≌CMF ，推出EF FM =，可得EMB BCDE S S =四边形，BEF MBE 1S S 2=，推出ABE ABCD 1S S 3菱形=． 【详解】 ①∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∠C=∠A=70°．∵BA=BF=BC ，∴∠BFC=∠C=70°，∴∠ABF=∠BFC=70°，∴∠ABE 12=∠ABF=35°，故①正确；②如图，延长EF 交BC 的延长线于M ，∵四边形ABCD 是菱形，F 是CD 中点，∴DF=CF ，∠D=∠FCM ，∠EFD=∠MFC ，∴△DEF ≌△CMF ，∴EF=FM ，∴S 四边形BCDE =S △EMB ，S △BEF 12=S △MBE ，∴S △BEF 12=S 四边形BCDE ，∴S △ABE 13=S 菱形ABCD ．故②正确， 故选A ．【点睛】 本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．6．C解析：C【解析】【分析】如图，取AB 的中点D ．连接CD ．根据三角形的边角关系得到OC 小于等于OD+DC ，只有当O 、D 及C 共线时，OC 取得最大值，最大值为OD+CD ，由等边三角形的边长为2，根据D 为AB 中点，得到BD 为1，根据三线合一得到CD 垂直于AB ，在直角三角形BCD 中，根据勾股定理求出CD 的长，在直角三角形AOB 中，OD 为斜边AB 上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD 等于AB 的一半，由AB 的长求出OD 的长，进而求出DC+OD ，即为OC 的最大值．【详解】解：如图，取AB 的中点D ，连接CD ．∵△ABC 是等边三角形，且边长是2，∴BC=AB=2，∵点D 是AB 边中点，∴BD=12AB=1， ∴22BC BD -2221-33连接OD ，OC ，有OC≤OD+DC ，当O 、D 、C 共线时，OC 有最大值，最大值是OD+CD ，由（1）得，3又∵△AOB 为直角三角形，D 为斜边AB 的中点，∴OD=12AB=1， ∴3OC 的最大值为3故选：C ．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，其中找出OC 最大时的长为CD+OD 是解本题的关键．7．D解析：D【分析】连接OP ,由矩形ABCD 的可求OA=OD=52 ，最后由S △AOD =S △AOP +S △DOP 即可解答. 【详解】解：如图：连接OP∵矩形ABCD ，AB ＝3，BC ＝4∴S 矩形ABCD =AB×BC=12, OA=OC,OB=OD,AC=BD,225AC =AB +BC ∴S △AOD =14S 矩形ABCD =3，OA=OD=52∴S △AOD =S △AOP +S △DOP =()111532222OA PE OD PF PE PF +=⨯+=∴PE+PF=2.4故答案为D ．【点睛】本题考查了矩形的性质，正确的做出辅助线和运用数形结合思想是解答本题的关键．.8．C解析：C【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE 是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC ⊥BC ，得到S ▱ABCD =AC •BC ，故②正确，根据直角三角形的性质得到3AC BC =，根据三角形的中位线的性质得到OE=12BC ，于是得到OE ：3∶6；故③错误；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， 60ABC ADC ∴∠=∠=︒，120BCD ∠=︒∵CE 平分BCD ∠交AB 于点E ，∴60DCE BCE ∠=∠=︒，∴CBE △是等边三角形，∴BE BC CE ==．∵2AB BC =，∴AE BE CE ==，∴90ACB ∠=︒，∴30ACD CAB ∠=∠=︒，故①正确；∵AC BC ⊥，∴ABCD S AC BC =⋅，故②正确；在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒， ∴3AC BC =．AO OC =，AE BE =， ∴1OE BC 2=，1::33:62OE AC BC BC ∴==，故③错误． 故选：C ．【点睛】 此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE 是等边三角形，OE 是△ABC 的中位线是关键．9．D解析：D【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．【详解】①如图，连接AC ，BD 交于O ，四边形ABCD 是菱形，过点O 直线MP 和QN ，分别交AB ，BC ，CD ，AD 于M ，N ，P ，Q ，则四边形MNPQ 是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形；故正确；②如图，当PM=QN 时，四边形MNPQ 是矩形，故存在无数个四边形MNPQ 是矩形；故正确； ③如图，当PM ⊥QN 时，存在无数个四边形MNPQ 是菱形；故正确；④如图，当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故至少存在一个四边形MNPQ是正方形；故④正确；综上，①②③④4个均正确，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定，熟记各定理是解题的关键．10．C解析：C【分析】作点B关于对角线AC的对称点，该对称点与D重合，连接DM，则PB与PM之和的最小值为DM的长；由菱形的面积可求出BD=4，由题意可证△BCD是等边三角形，由等边三角形的性质可得DM⊥BC，CM=BM=2，由勾股定理可求DM=23．【详解】解：作点B关于对角线AC的对称点，该对称点与D重合，连接DM，则PB与PM之和的最小值为DM的长；∵菱形ABCD的面积为3，对角线AC长为3，∴BD=4，∵BC=CD，∠BCD=60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD=BC=4，∵M是BC的中点，∴DM⊥BC，CM=BM=2，在Rt△CDM中，CM=2，CD=4，∴2216423-CD CM-=故选：C．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的性质，直角三角形勾股定理；掌握利用轴对称求最短距离，将PB 与PM 之和的最小值转化为线段DM 的长是解题的关键．二、填空题11．8【分析】通过作辅助线使得△CAO ≌△GBO ，证明△COG 为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG 后，即可求出BC 的长．【详解】如图，延长CB 到点G ，使BG=AC ．∵根据题意，四边形ABED 为正方形，∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°，∴∠1+∠2=90°又∵三角形BCA 为直角三角形，AB 为斜边，∴∠2+∠3=90°∴∠1＝∠3∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO ＝∠GBO ，在△CAO 和△GBO 中，CA GB CAO GBO AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩故△CAO ≌△GBO ，∴CO ＝GO=627=∠6，∵∠7+∠8=90°，∴∠6+∠8=90°，∴三角形COG 为等腰直角三角形，∴， ∵CG=CB+BG ， ∴CB=CG －BG=12－4=8，故答案为8．【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．12．8个【分析】作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ，可得点H 到点E 和点F 的距离之和最小，可求最小值，即可求解．【详解】如图，作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ， ∵点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝6，∴EC ＝4，FC ＝2＝AE ，∵点M 与点F 关于BC 对称，∴CF ＝CM ＝2，∠ACB ＝∠BCM ＝45°， ∴∠ACM ＝90°，∴EM则在线段BC 存在点H 到点E 和点F 的距离之和最小为5，在点H 右侧，当点P 与点C 重合时，则PE ＋PF ＝4＋2＝6，∴点P 在CH 上时，PE ＋PF ≤6，在点H 左侧，当点P 与点B 重合时，∵FN ⊥BC ，∠ABC ＝90°， ∴FN ∥AB ，∴△CFN ∽△CAB ，∴FN CN CF 1===AB CB CA 3，∵AB ＝BC AC ＝∴FN ＝13AB ，CN ＝13BC∴BN ＝BC －CN ＝，BF ＝，∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE＝BF＝10，∴PE＋PF＝210，∴点P在BH上时，25＜PE＋PF＜210，∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE＋PF＝5，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE＋PF＝5．即共有8个点P满足PE＋PF＝5，故答案为8．【点睛】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．13．3或6【详解】①∠B′EC=90°时，如图1，∠BEB′=90°，由翻折的性质得∠AEB=∠AEB′=12×90°=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE=AB=6cm；②∠EB′C=90°时，如图2，由翻折的性质∠AB′E=∠B=90°，∴A、B′、C在同一直线上，AB′=AB，BE=B′E，由勾股定理得，222268AB BC+=+，∴B′C=10-6=4cm，设BE=B′E=x，则EC=8-x，在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，即x2+42=（8-x）2，解得x=3，即BE=3cm，综上所述，BE的长为3或6cm．故答案为3或6．14．3﹣32 2【分析】作辅助线，构建全等三角形和矩形，利用面积法可得AE的长，根据勾股定理可得BE的长，设AE＝x，证明△ABE≌△EQF（AAS），得FQ＝BE＝2，最后根据三角形面积公式可得结论．【详解】解：如图，过D作DH⊥AE于H，过E作EM⊥AD于M，连接DE，∵EF⊥AE，DF⊥EF，∴∠DHE＝∠HEF＝∠DFE＝90°，∴四边形DHEF是矩形，∴DH＝EF＝AE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，∵∠AME＝90°，∴四边形ABEM是矩形，∴EM＝AB＝2，设AE＝x，则S△ADE＝11AD EM AE DH 22⋅=⋅，∴3×2＝x2，∴x6，∵x＞0，∴x6，即AE＝6，由勾股定理得：BE＝22(6)2-＝2，过F作PQ∥CD，交AD的延长线于P，交BC的延长线于Q，∴∠Q＝∠ECD＝∠B＝90°，∠P＝∠ADC＝90°，∵∠BAE＋∠AEB＝∠AEF＝∠AEB＋∠FEQ＝90°，∴∠FEQ＝∠BAE，∵AE＝EF，∠B＝∠Q＝90°，∴△ABE≌△EQF（AAS），∴FQ＝BE＝2，∴PF＝2﹣2，∴S△ADF＝1AD PF2⋅＝13(22)2⨯⨯-＝3﹣322．【点睛】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，有难度，正确作辅助线构建全等三角形是关键，并用方程的思想解决问题．15．42a-233【分析】先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即a 最小，可计算a的值，从而得结论．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵∠ACB=30°，BC=23，∴AB=2，AC=4，∵AG=a，∴CG=4a-，如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，Rt△CGH中，∠ACB=30°，∴GH=12CG=42a-，则点G到BC边的距离为42a-，∵HM⊥BC，AD∥BC，∴HM⊥AD，∴∠AMG=90°，∵∠B=∠BHM=90°，∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，∴GM=2﹣GH=422a--=2a，∴S△ADG113232222a aAD MG=⋅=⨯⨯=，当a最小时，△ADG的面积最小，如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，∵FG是AE的垂直平分线，∴AG=EG，∴42aa -=，∴43a=，∴△ADG 34233=，故答案为：42a-23．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．16．9或31)．【分析】分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可．【详解】解：①如图1，延长EA交DC于点F，∵菱形ABCD的周长为24，∴AB=BC=6，∵∠ABC=60°，∴三角形ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，当EA⊥BA时，△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB=AC=6，∠EAC=90°+60°=150°，∴∠FAC=30°，∵∠ACD=60°，∴∠AFC=90°，∴CF=12AC=3，则△ACE的面积为：12AE×CF=12×6×3=9；②如图2，过点A作AF⊥EC于点F，由①可知：∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+60°=150°，∵AB=BE=BC=6，∴∠BEC=∠BCE=15°，∴∠AEF=45°-15°=30°，∠ACE=60°-15°=45°，∴AF=12AE，AF=CF=22AC=32∵AB=BE=6，∴AE=2∴2236AE AF-=∴EC=EF+FC=3632则△ACE的面积为：12EC×AF=1(3632)329(31)2⨯⨯=．故答案为：9或31)．【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．17．（-，0）【分析】先计算得到点D 的坐标，根据旋转的性质依次求出点D 旋转后的点坐标，得到变化的规律即可得到答案．【详解】∵菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，∴对角线的交点D 的坐标是（2,2），∴OD ==将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，旋转1次后坐标是（0，），旋转2次后坐标是（-2,2），旋转3次后坐标是（-，0），旋转4次后坐标是（-2，-2），旋转5次后坐标是（0，-旋转6次后坐标是（2，-2），旋转7次后坐标是（,0），旋转8次后坐标是（2,2）旋转9次后坐标是（0，由此得到点D 旋转后的坐标是8次一个循环，∵201982523÷=，∴第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为（-，0）故答案为：（-0）．【点睛】此题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角坐标系中点坐标的变化规律，根据点D 的坐标依次求出旋转后的坐标得到变化规律是解题的关键．18．6.5或8或18【分析】根据题意分BP QP =、BQ QP =两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，26AD =，点Q 是BC 的中点∴13BQ =∴①当BP QP =时，过点P 作PM BQ ⊥交BQ 于点M ，如图，则 6.5BM MQ ==,且四边形ABMP 为矩形∴ 6.5AP BM ==②当BQ QP =时，以点Q 为圆心，BQ 为半径作圆，与AD 交于P '、P ''两点，如图，过Q 作QN P P '''⊥，交P P '''于点N ，则可知P N P N '''=∵在Rt P NQ '，13P Q '=，12NQ AB == ∴222213125P N P Q NQ ''=-=-=同理，在Rt P NQ ''中，5P N ''= ∴2655822AD P N P N AP '''----'===，85518AP AP P N P N ''''''=++=++= 即P '、P ''为满足条件的P 点的位置∴8AP =或18∴综上所述，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为6.5或8或18． 故答案是：6.5或8或18【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键．19513 【分析】 根据12•BC •AH ＝12•AB •AC ，可得AH ＝1313，根据 12AD •BO ＝12BD •AH ，得OB ＝613，再根据BE ＝2OB ＝1213，运用勾股定理可得EC ． 【详解】设BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，由勾股定理得：BC ＝13，∵点D 是BC 的中点，∴AD ＝DC ＝DB ＝13， ∵12•BC •AH ＝12•AB •AC ， ∴AH ＝613， ∵AE ＝AB ，DE ＝DB ，∴点A 在BE 的垂直平分线上，点D 在BE 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分线段BE ，∵12AD •BO ＝12BD •AH ， ∴OB ＝613， ∴BE ＝2OB ＝1213， ∵DE ＝DB=CD ， ∴∠DBE=∠DEB ，∠DEC=∠DCE ，∴∠DEB+∠DEC=12×180°=90°，即：∠BEC=90°， ∴在Rt △BCE 中，EC ＝22BC BE - ＝221213(13)()13-=51313． 故答案为：513． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键．20．【分析】作AB 的中点E ，连接EM 、CE ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE 和EM 的长，然后确定CM 的范围．【详解】解：作AB 的中点M ，连接EM 、CM ．在Rt △ABC 中，AB ＝22AC BC +＝2286+＝10，∵M 是直角△ABC 斜边AB 上的中点，∴CM ＝12AB ＝5． ∵E 是BD 的中点，M 是AB 的中点，∴ME ＝12AD ＝2． ∴5﹣2≤CE ≤5+2，即3≤CE ≤7．∴最大值为7，故答案为：7．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握基本性质定理是解题的关键．三、解答题21．（1）详见解析；（2）18【分析】（1）根据正方形的性质得出BC=BD ，AB=BF ，∠CBD=∠ABF=90°，求出∠ABD=∠CBF ，根据全等三角形的判定得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠BFC ，AD=FC=6，求出AD ⊥CF ，根据三角形的面积求出即可．【详解】解：（1）四边形ABFG 、BCED 是正方形，AB FB ∴=，CB DB =，90ABF CBD ∠=∠=︒，ABF ABC CBD ABC ∴∠+∠=∠+∠，即ABD CBF ∠=∠在ABD ∆和FBC ∆中，AB FB ABD CBF DB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD FBC SAS ∴∆≅∆；图1 图2（2）ABD FBC ∆≅∆，BAD BFC ∴∠=∠，6AD FC ==，180AMF BAD CNA ∴∠=︒-∠-∠ 180()BFC BNF =︒-∠+∠1809090=︒-︒=︒AD CF ∴⊥-ACD ACF DFM ACM ACDF S S S S S ∆∆∆∆∴=++四边形11112222AD CM CF AM DM FM AM CM =⋅+⋅+⋅-⋅ 1133(6)(6)1822CM AM AM CM AM CM =++---⋅= 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能求出△ABD ≌△FBC 是解此题的关键．22．（1）证明见解析；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形；②2【分析】（1）证明△FCG ≌△EDG （ASA ），得到FG=EG 即可得到结论；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形.过A 作AM ⊥BC 于M ，求出BM=1.5，根据平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM ，证明△MBA ≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF 是矩形；②根据四边形CEDFCEDF 是菱形，得到CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2.【详解】（1）证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ CF ∥ED ，∴ ∠FCG ＝∠EDG ，∵ G 是CD 的中点，∴ CG ＝DG ，在△FCG 和△EDG 中，FCG EDG CG DG CGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ △FCG ≌△EDG （ASA ），∴ FG ＝EG ，∵ CG ＝DG ，∴ 四边形CEDF 是平行四边形；（2）解：①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形，理由是：过A 作AM ⊥BC 于M ，∵∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵AB=3，∴BM=1.5，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM ，在△MBA 和△EDC 中，BM DE B CDE AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBA ≌△EDC(SAS)，∴∠CED=∠AMB=90°，∵四边形CEDF 是平行四边形，∴四边形CEDF 是矩形；②∵四边形CEDFCEDF 是菱形，∴CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，∵∠CDE=∠B=60∘∠B=60∘，∴∠DEG=30°，∴DE=2DG=3，∴AE=AD-DE=5-3=2，故答案为：2.【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的性质定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，三角形全等的判定及性质定理，熟练掌握各定理并运用解答问题是解题的关键.23．（1）证明见解析；（2）62BE =（3）证明见解析．【分析】（1）根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质可证明∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，再证明四边形ACGE 是平行四边形即可证明AE=CG ，由此可利用“AAS”可证明全等； （2）证明△AEF ≌△DGF （AAS ）可得△DGF ≌△CGH ，所以可得12AEDG CG CD ，再结合等腰直角三角形的性质即可求得CD ，由此可得结论；（3）利用等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质结合勾股定理分别把22AC BD +和22AB BC +用2CD 表示即可得出结论． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB//CD ，AD//BC ，∴∠E=∠EGD ，∠H=∠DFG ，∵∠CGH=∠EGD ，∠DFG=∠AFE ，∴∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，∵//EH AC ，AB//CD ，∴四边形ACGE 是平行四边形，∴AE=CG ，∴△AEF ≌△CGH （AAS ）；（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB//CD ，AB=CD ，∴∠E=∠EGD ，∠D=∠EAF ，∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∴△AEF ≌△DGF （AAS ）；由（1）得△AEF ≌△CGH （AAS ）； ∴△DGF ≌△CGH,∴12AE DG CG CD , ∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，8AD =，∴2422AB CD AD ,∴22AE =， ∴62BE AB BE =+=；（3）如下图，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD=AB ，AD=BC ，AC=2OC ，BD=2OD ，∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，AC=CD ，∴222222244()AC BD AC OD AC OC CD ++++==2222222(2)446AC A OC CD AC D C CD C ++=++==，且222222223CD AD CD AC CD C AB BC D =+=+++=,∴22222()AC BD AB BC +=+【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质．（1）中解题关键是利用证明四边形ACGE 是平行四边形证明AE=CG ；（2）得出DG CG =是解题关键；（3）中能正确识图，完成线段之间的代换是解题关键．24．（1）四边形AEFD 能够成为菱形，理由见解析；（2）5t =，理由见解析.【分析】（1）能；首先证明四边形AEFD 为平行四边形，当AE ＝AD 时，四边形AEFD 为菱形，即40﹣4t ＝2t ，解方程即可解决问题；（2）当∠FDE ＝90°时，AEFD 为矩形，再根据线段的长度关系列方程求得.【详解】解：（1）四边形AEFD 能够成为菱形，理由如下：在DFC ∆中，90,30DFC C ∠=︒∠=︒，4DC t =，∴2DF t =，又∵2AE t =，∴AE DF =，∵,AB BC DF BC ⊥⊥，∴//AE DF ，又∵AE DF =，∴四边形AEFD 为平行四边形，。
人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题测试综合卷学能测试试题
人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题测试综合卷学能测试试题一、选择题1．对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n .”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x ，再取最小整数n ．甲：如图2，思路是当x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取13n =．乙：如图3，思路是当x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n ＝14． 丙：如图4，思路是当x 为矩形的长与宽之和的22倍时就可移转过去；结果取13n =． 下列正确的是（ ）A ．甲的思路错，他的n 值对B ．乙的思路和他的n 值都对C ．甲和丙的n 值都对D ．甲、乙的思路都错，而丙的思路对2．如图，正方形ABCD 中，点E F 、分别在边BC CD 、上，且AE EF FA ==，有下列结论：①ABE ADF ∆≅∆；②CE CF =；③75AEB ∠=︒；④BE DF EF +=；⑤A ABE DF CEF S S S ∆∆∆+=；其中正确的有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°，AB=AD=10cm ，BC=8cm ，点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线A-B-C-D 方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动、已知动点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，点P ，Q 停止运动，设运动时间为t 秒，在这个运动过程中，若△BPQ 的面积为20cm 2 ， 则满足条件的t 的值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图所示，E 为正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，且CE ＝AC ，AE 交CD 于点F ，那么∠AFC 的度数为（ ）A ．112.5°B ．125°C ．135°D ．150°5．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，对角线AC 、BD 交于点O ，∠AOD ＝120°，E 为BD 上任意点，P 为AE 中点，则PO ＋PB 的最小值为 （ ）A ．3B ．13+C ．7D ．36． 如图，平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，∠ADB=20°，∠ACB=50°，过点O 的直线交AD 于点E ，交BC 于点F 当点E 从点A 向点D 移动过程中（点E 与点A 、点D 不重合），四边形AFCE 的形状变化依次是（ ）A ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B ．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C ．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形D ．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形7．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分DCB ∠交BD 于点F ，且60ABC ∠=︒，2AB BC =，连接OE ，下列结论：①30ACD ∠=︒；②·ABCD S AC BC =；③:1:4OE AC =．其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，D 是AB 上一动点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，连结EF ，则线段EF 的长的最小值是( )A ．2.5B ．2.4C ．2.2D ．29．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2 B．52C．332D．510．如图，在ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．6013B．3013C．2413D．1213二、填空题11．已知：点B是线段AC上一点，分别以AB，BC为边在AC的同侧作等边ABD△和等边BCE，点M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若AC=6，设BC=2，则线段MN的长是__________．12．如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD 边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E 在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH；②可以得到无数个矩形EGFH；③可以得到无数个菱形EGFH；④至少得到一个正方形EGFH．所有正确结论的序号是__．13．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为_____．14．如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝48°，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，则∠DHO ＝_____度．15．如图，Rt ABE ∆中，90,B AB BE ︒∠==, 将ABE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，得到,AHD ∆过D 作DC BE ⊥交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分HDC ∠；②DO OE =； ③CD HF =； ④2BC CF CE -=； ⑤H 是BF 的中点，其中正确的是___________16．菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （30），∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，－1），则EP 十BP 的最小值为__________．17．在ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则DEF的周长为______．18．如图，在矩形ABCD中，∠ACB=30°，BC=23，点E是边BC上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，AE的中垂线FG分别交AE于点F，交AC于点G，连接DG，GE．设AG=a，则点G到BC边的距离为_____（用含a的代数式表示），ADG的面积的最小值为_____．19．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，在同一平面内将△ABC 沿AC翻折，得到△AB’C，若四边形ABCD的面积为24cm2，则翻折后重叠部分（即S△ACE) 的面积为________cm2．20．如图，长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1．正方形AEFG绕点A 旋转的过程中，线段CF的长的最小值为_____．三、解答题，E，F分别在AB，BC上．21．如图，在矩形ABCD中，AD nAB（1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF BF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．22．如图，矩形OBCD 中，OB ＝5，OD ＝3，以O 为原点建立平面直角坐标系，点B ，点D 分别在x 轴，y 轴上，点C 在第一象限内，若平面内有一动点P ，且满足S △POB ＝13S 矩形OBCD ，问：（1）当点P 在矩形的对角线OC 上，求点P 的坐标；（2）当点P 到O ，B 两点的距离之和PO +PB 取最小值时，求点P 的坐标．23．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：（动手操作，归纳发现）（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想（推理探索，尝试证明）为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：（2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G则90CGB ∠=90GCB CBG ∴∠+∠= 又四边形ABCD 正方形，AB BC =，90ABC ∠=则90CBG ABO ∠+∠=GCB ABO ∴∠=∠在CBE ∆与ABE ∆中，（类比探究，拓展延伸）（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为 ．24．如图①，已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，CD 上的点(点E ，F 不与端点重合)，且AE=DF ，BE ，AF 交于点P ，过点C 作CH ⊥BE 交BE 于点H ．（1）求证：AF ∥CH ；（2）若AB=23 ，AE=2，试求线段PH 的长；（3）如图②，连结CP 并延长交AD 于点Q ，若点H 是BP 的中点，试求 CP PQ的值． 25．矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．点E ，F 在对角线AC 上，点M ，N 分别在边AD ，BC 上．（1）如图1，若AE =CF =1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形EMFN 为矩形． （2）如图2，若AE =CF =0.5，02AM CN x x ==<<（），且四边形EMFN 为矩形，求x 的值．26．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系；②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．27．如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90︒得到点B ,连接AB .(1)求出直线BC 的解析式；(2)若动点M 从点C 出发,沿线段CB 10,过M 作//MN AB 交y 轴于N ,连接AN .设运动时间为t 分钟,当四边形ABMN 为平行四边形时,求t 的值.(3)P 为直线BC 上一点,在坐标平面内是否存在一点Q ,使得以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q 的坐标；若不存在,请说明理由.28．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。
人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题测试综合卷检测试卷
人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题测试综合卷检测试卷一、选择题1．如图， ABCD 为正方形， O 为 AC 、 BD 的交点，在RT DCE 中，DEC ∠= 90︒， DCE ∠= 30︒，若OE =622+，则正方形的面积为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．22．如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝4，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是线段BO 上一动点，F 是射线DC 上一动点，若∠AEF ＝120°，则线段EF 的长度的整数值的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在长方形ABCD 中，AD=6，AB=4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且AF ＝CG ＝2，BE ＝DH ＝1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连结PE 、PF 、PG 、PH ，则△PEF 和△PGH 的面积和为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．84．如图，边长为8的正方形ABCD 的对角线交于点O ，点,E F 分别在边,CD DA 上 （CE DE <），且90,,EOF OE BC ︒∠=的延长线交于点 ,,G OF CD 的延长线交于点,H E 恰为OG 的中点．下列结论：①OCE ODF ∆∆≌； ②OG OH =；③10GH =其中，正确结论的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．如图，依次连结第一个菱形各边的中点得到一个矩形，再依次连结矩形各边的中点得到第二个菱形，按此方法继续下去．已知第一个菱形的面积为1，则第4个菱形的面积是（ ）A ．14B ．116C ．132D ．164 6．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 是AD 边上的一个动点，过点P 分别作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F.若AB ＝3，BC ＝4，则PE ＋PF 的值为( )A ．10B ．9.6C ．4.8D ．2.47．如图，分别以Rt ACB ∆的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE ．给出下列结论：①CE BG =；②EC BG ⊥③22222FG BF BD BC +=+④222222BC GE AC AB +=+其中正确的是（ ）A．②③④B．①②③C．①②④D．①②③④8．如图，点P在长方形OABC的边OA上，连接BP，过点P作BP的垂线，交射线OC于点Q，在点P从点A出发沿AO方向运动到点O的过程中，设AP=x，OQ=y，则下列说法正确的是（）A．y随x的增大而增大B．y随x的增大而减小C．随x的增大，y先增大后减小D．随x的增大，y先减小后增大9．如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为（）A．3 B．6 C．372D．17210．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（）A．0.5 B．2.5 C2D．1二、填空题11．在平行四边形ABCD 中， BC边上的高为4 ，AB=5 ，25AC ，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．12．如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为_____．13．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P 为边BC 上一动点（P 不与B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的取值范围是__．14．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在边AD 、BC 上．将该纸片沿EF 折叠，使点A 的对应点G 落在边DC 上，折痕EF 与AG 交于点Q ，点K 为GH 的中点，则随着折痕EF 位置的变化，△GQK 周长的最小值为____．15．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．16．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以BC为一边作正方形BDEC设正方形的对称中心为O，连接AO，则AO＝_____．18．如图，在正方形ABCD中，AC=62，点E在AC上，以AD为对角线的所有平行四边形AEDF中，EF最小的值是_________．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠BAC＝45°，则下列结论：①CD∥EF；②EF＝DF；③DE平分∠CDF；④∠DEC＝30°；⑤AB＝2CD；其中正确的是_____（填序号）20．如图所示，在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E、F、G、H，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD添加一个条件，使四边形EFGH成一个菱形，这个条件是__________．三、解答题21．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积22．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（6，6），将正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连结CH 、CG ．（1）求证：CG 平分∠DCB ；（2）在正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转的过程中，求线段HG 、OH 、BG 之间的数量关系；（3）连结BD 、DA 、AE 、EB ，在旋转的过程中，四边形AEBD 是否能在点G 满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE 的解析式；若不能，请说明理由．23．在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于点F （如图1和图2），然后展开铺平，连接BE ，EF ．（1）操作发现：①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个 三角形；②当折痕经过点A 时，BE 与AE 的数量关系为 ．（2）深入探究：在矩形ABCD 中，AB 3BC ＝3①当△BEF 是等边三角形时，求出BF 的长；②△BEF 的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF 的长；若不存在，请说明理由．24．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A D 、不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．（1）求证：PDE QCE ∆≅∆；（2）若PB PQ =，点F 是BP 的中点，连结EF AF 、，①求证：四边形AFEP 是平行四边形；②求PE 的长．25．已知在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点尽处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ．（1）如图1，求证：//AC DE ；（2）如图2，如果90B ∠=︒，3AB =，6=BC ，求OAC 的面积；（3）如果30B ∠=︒，23AB =，当AED 是直角三角形时，求BC 的长．26．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ︒∠= ．()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若3,2BE BG ==，求EF 的长；()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足,90,45,AB AD BAD BCD EAF ︒︒=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接写出BE 的长．27．如图，菱形纸片ABCD 的边长为2,60,BAC ∠=︒翻折,,B D ∠∠使点,B D 两点重合在对角线BD 上一点,,P EF GH 分别是折痕．设()02AE x x =<<．（1）证明：AG BE =；（2）当02x <<时，六边形AEFCHG 周长的值是否会发生改变，请说明理由； （3）当02x <<时，六边形AEFCHG 的面积可能等于53吗?如果能，求此时x 的值；如果不能，请说明理由．28．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是正方形内两点，BE DF ∥，EF BE ⊥，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：（1）在图1中，连接BD ，且BE DF =①求证：EF 与BD 互相平分；②求证：222()2BE DF EF AB ++=；（2）在图2中，当BE DF ≠，其它条件不变时，222()2BE DF EF AB ++=是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.（3）在图3中，当4AB =，135DPB ∠=︒，2246B BP PD +=时，求PD 之长.29．点E 在正方形ABCD 的边BC 上，点F 在AE 上，连接FB ，FD ，∠ABF=∠AFB ． （1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF ；（2）如图2，过点F 作垂线交AB 于G ，交DC 的延长线于H ，求证：DH=2 AG ； （3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC 的长．30．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC CF 、为邻边作平行四边形ECFG 。
八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题难题测试综合卷学能测试
八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题难题测试综合卷学能测试一、解答题1．如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由； （2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长．2．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．（1）如图①，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为D 、E ．试说明ABD CAE ≌；（2）如图②，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、A 、F 在同一条直线上，BD DF ⊥，3AD =，4BD =．则菱形AEFC 面积为______．（3）如图③，分别以Rt ABC 的直角边AC 、AB 向外作正方形ACDE 和正方形ABFG ，连接EG ，AH 是ABC 的高，延长HA 交EG 于点I ，若6AB =，8AC =，求AI 的长度．3．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.（1）在如图（1）的AB 边上求作一点N ，连接CN ，使CN AM =； （2）在如图（2）的AD 边上求作一点Q ，连接CQ ，使CQ AM .4．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ．（1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随着移动． ①当点Q 与点C 重合时， （如图2），求菱形BFEP 的边长；②如果限定P 、Q 分别在线段BA 、BC 上移动，直接写出菱形BFEP 面积的变化范围． 5．矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．点E ，F 在对角线AC 上，点M ，N 分别在边AD ，BC 上． （1）如图1，若AE =CF =1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形EMFN 为矩形． （2）如图2，若AE =CF =0.5，02AM CN x x ==<<（），且四边形EMFN 为矩形，求x 的值．6．如图，菱形纸片ABCD 的边长为2,60,BAC ∠=︒翻折,,B D ∠∠使点,B D 两点重合在对角线BD 上一点,,P EF GH 分别是折痕．设()02AE x x =<<．（1）证明：AG BE =；（2）当02x <<时，六边形AEFCHG 周长的值是否会发生改变，请说明理由； （3）当02x <<时，六边形AEFCHG 的面积可能等于534吗?如果能，求此时x 的值；如果不能，请说明理由．7．已知正方形ABCD 与正方形（点C 、E 、F 、G 按顺时针排列），是的中点，连接，.（1）如图1，点E 在上，点在的延长线上， 求证：DM =ME ，DM ⊥.ME简析： 由是的中点，AD ∥EF ，不妨延长EM 交AD 于点N ，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE 是 三角形,进而得出结论. （2）如图2， 在DC 的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C 、E 、F 、G 按顺时针排列.若点E 在直线CD 上，则DM= ;若点E 在直线BC 上，则DM= . 8．在正方形中，连接，为射线上的一个动点（与点不重合），连接，的垂直平分线交线段于点，连接，.提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点的两个特殊位置：①当点与点重合时，如图1所示，____________②当时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：__________；（填“变化”或“不变化”）（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.9．已知：在矩形ABCD中，点F为AD中点,点E为AB边上一点，连接CE、EF、CF，EF平分∠AEC．(1)如图1，求证：CF⊥EF;(2)如图2，延长CE、DA交于点K, 过点F作FG∥AB交CE于点G若，点H为FG上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H作HN⊥CH交AB于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK长.10．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．（1）如图1，①∠BEC=_________°；②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB=4，AH=2，求NE的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）AG2=GE2+GF2，理由见解析；（2）3266【分析】（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，3，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（3x）2，解得x=624，推出BN=624，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题.【详解】解：（1）结论：AG2=GE2+GF2．理由：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于对角线BD对称，∵点G在BD上，∴GA=GC，∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CF=GE，在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，∴AG2=GF2+GE2．（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，∴∠AMN=30°，∴AM=BM=2x ，MN=3x ， 在Rt △ABN 中，∵AB 2=AN 2+BN 2， ∴1=x 2+（2x+3x ）2， 解得x=624-， ∴BN=624+， ∴BG=BN÷cos30°=3266+．【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度的性质． 2．（1）见解析；（2）24；（3）5AI =． 【分析】（1）证∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证明△ABD ≌△CAE 即可； （2）连接CE ，交AF 于O ，由菱形的性质得∠COA ＝∠ADB ＝90°，同（1）得△ABD ≌△CAO （AAS ），得OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4，由三角形面积公式求出S △AOC ＝6，即可得出答案；（3）过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，同（1）得△ACH ≌△EAM （AAS ），△ABH ≌△GAN （AAS ），得EM ＝AH ＝GN ，证△EMI ≌△GNI （AAS ），得EI ＝GI ，证∠EAG ＝90°，由勾股定理求出EG ＝10，再由直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ， ∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°， ∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAD +∠CAE ＝90° ∵∠BAD +∠ABD ＝90°， ∴∠CAE ＝∠ABD 在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；（2）解：连接CE ，交AF 于O ，如图②所示： ∵四边形AEFC 是菱形， ∴CE ⊥AF ，∴∠COA ＝∠ADB ＝90°，同（1）得：△ABD ≌△CAO （AAS ）， ∴OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4， ∴S △AOC ＝12OA •OC ＝12×4×3＝6， ∴S 菱形AEFC ＝4S △AOC ＝4×6＝24， 故答案为：24；（3）解：过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，如图③所示： ∴∠EMI ＝∠GNI ＝90°，∵四边形ACDE 和四边形ABFG 都是正方形， ∴∠CAE ＝∠BAG ＝90°，AC ＝AE ＝8，AB ＝AG ＝6，同（1）得：△ACH ≌△EAM （AAS ），△ABH ≌△GAN （AAS ）， ∴EM ＝AH ＝GN ， 在△EMI 和△GNI 中，EIM GIHEMI GNI EM GN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EMI ≌△GNI （AAS ）， ∴EI ＝GI ， ∴I 是EG 的中点，∵∠CAE ＝∠BAG ＝∠BAC ＝90°， ∴∠EAG ＝90°，在Rt △EAG 中， EG10， ∵I 是EG 的中点， ∴AI ＝12EG ＝12×10＝5．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．3．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N．可先证明△AOD≌△COD，再证明△MOB≌NOB，从而可得NB=MB；（2）连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则CQ∥AM．理由如下：由正方形的性质以及平行线等分线段可证QO=MO，从而可知四边形AQCM为平行四边形，从而可得CQ∥AM．【详解】解：（1）如图（1），连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N，则CN 为所作．理由：在△AOD与△COD中，∵AD CDADO CDO OD OD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠OAD=∠OCD，∴∠BAM=∠BCN．在△ABM与△CBN中，∵BAM BCN AB CBABM CBN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ABM≌△CBN（ASA），∴CN=AM．（2）如图2连接AC、BD交与O点，连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则CQ为所求的线段.在正方形ABCD中，OA=OB=OC=OD，AD∥BC，∴QO=MO∴四边形AQCM为平行四边形，∴QC∥AM【点睛】本题考查了作图-基本作图，解决此题的关键是利用正方形的性质求解．4．（1）证明过程见解析；（2）①边长为53cm，②225cm S9cm3≤≤．【分析】（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论；（2）①由矩形的性质得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由对称的性质得出CE＝BC＝5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE＝4cm，得出AE＝AD-DE＝1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP＝53cm即可；②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，即可得出答案．【详解】解：（1）证明：∵折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ， ∴点B 与点E 关于PQ 对称， ∴PB ＝PE ，BF ＝EF ，∠BPF ＝∠EPF ， 又∵EF ∥AB ， ∴∠BPF ＝∠EFP ， ∴∠EPF ＝∠EFP ， ∴EP ＝EF ， ∴BP ＝BF ＝EF ＝EP ， ∴四边形BFEP 为菱形； （2）①∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝5cm ，CD ＝AB ＝3cm ，∠A ＝∠D ＝90°， ∵点B 与点E 关于PQ 对称， ∴CE ＝BC ＝5cm ，在Rt △CDE 中，DE ＝22CE -CD ＝4cm ， ∴AE ＝AD ﹣DE ＝5cm -4cm ＝1cm ； 在Rt △APE 中，AE ＝1，AP ＝3-PB ＝3﹣PE ，∴222EP =1(3-EP)+，解得：EP ＝53cm ， ∴菱形BFEP 的边长为53cm ； ②当点Q 与点C 重合时，点E 离点A 最近，由①知，此时AE ＝1cm ，BP=53cm ， 2BFEP 5S =BP AE=cm 3⋅四边形，当点P 与点A 重合时，点E 离点A 最远，此时四边形ABQE 为正方形，AE ＝AB ＝3cm ，2ABQE BFEP S =S =9cm 正方形四边形，∴菱形的面积范围：225cm S 9cm 3≤≤．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，求出PE 是本题的关键．5．（1）见详解；（2）72x =-【分析】（1）连接MN ，由勾股定理求出AC=5，证出四边形ABNM 是矩形，得MN=AB=3，证△AME ≌△CNF （SAS ），得出EM=FN ，∠AEM=∠CFN ，证EM ∥FN ，得四边形EMFN 是平行四边形，求出MN=EF ，即可得出结论；（2）连接MN ，作MH ⊥BC 于H ，则MH=AB=3，BH=AM=x ，得HN=BC-BH-CN=4-2x ，由矩形的性质得出MN=EF=AC-AE-CF=4，在Rt △MHN 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）证明：连接MN ，如图1所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∠B=90°，∴∠EAM=∠FCN ，2222345AB BC +=+=，∵M ，N 分别是AD ，BC 的中点，∴AM=DM=BN=CN ，AM ∥BN ，∴四边形ABNM 是平行四边形，又∵∠B=90°，∴四边形ABNM 是矩形，∴MN=AB=3，在△AME 和△CNF 中，AM CN EAM FCN AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AME≌△CNF（SAS），∴EM=FN，∠AEM=∠CFN，∴∠MEF=∠NFE，∴EM∥FN，∴四边形EMFN是平行四边形，又∵AE=CF=1，∴EF=AC-AE-CF=3，∴MN=EF，∴四边形EMFN为矩形．（2）解：连接MN，作MH⊥BC于H，如图2所示：则四边形ABHM是矩形，∴MH=AB=3，BH=AM=x，∴HN=BC-BH-CN=4-2x，∵四边形EMFN为矩形，AE=CF=0.5，∴MN=EF=AC-AE-CF=4，在Rt△MHN中，由勾股定理得：32+（4-2x）2=42，解得：x=722±，∵0＜x＜2，∴x=7 2-【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．6．（1）见解析；（2）不变，见解析；（3）能，21x=-212+【分析】（1）由折叠的性质得到BE=EP，BF=PF，得到BE=BF，根据菱形的性质得到AB∥CD∥FG，BC∥EH∥AD，于是得到结论；（2）由菱形的性质得到BE=BF，AE=FC，推出△ABC是等边三角形，求得∠B=∠D=60°，得到∠B=∠D=60°，于是得到结论；（3）记AC与BD交于点O，得到∠ABD=30°，解直角三角形得到AO=1，3S 四边形ABCD =23，当六边形AEFCHG 的面积等于534时，得到S △BEF +S △DGH =334，设GH 与BD 交于点M ，求得GM=12x ，根据三角形的面积列方程即可得到结论． 【详解】解:()1折叠后B 落在BD 上， ,BE EP ∴=BF PF =BD 平分,ABC ∠BE BF ∴=，∴四边形BEPF 为菱形，同理四边形GDHP 为菱形，////,// //,AB CD FG BC EH AD ∴∴四边形AEPG 为平行四边形，AG EP BE ∴==.()2不变.理由如下:由()1得.AG BE =四边形BEPF 为菱形，,.BE BF AE FC ∴==60,BAC ABC ∠=︒为等边三角60B D ∴∠=∠=︒，,,EF BE GH DG ∴==36AEFCHG C AE EF FC CH GH AG AB ∴=+++++==六边形为定值.()3记AC 与BD 交于点O .2,60,AB BAC =∠=30,ABD ∴∠=1,AO ∴=3,BO =12332ABC S ∴=⨯⨯= 23ABCD S ∴=四边形当六边形AEFCHG 的面积为534时， 53233344DEF DGH S S +=-= 由()1得BE AG =AE DG ∴=DG x =2BE x ∴=-记GH 与BD 交于点,M12GM x ∴=，32DM x = 234DHG S x ∴= 同理()223323344BEF Sx x x =-=+ 即22333333444x x x ++=化简得22410,x x -+=解得1212x =-，2212x =+ ∴当21x =-或21+时，六边形AEPCHG 的面积为534. 【点睛】 此题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积公式，菱形的面积公式，解本题的关键是用x 表示出相关的线段，是一道基础题目．7．（1）等腰直角；（2）结论仍成立，见解析；（3）2或42，17.【分析】（1）结论：DM ⊥EM ，DM=EM ．只要证明△AMH ≌△FME ，推出MH=ME ，AH=EF=EC ，推出DH=DE ，因为∠EDH=90°，可得DM ⊥EM ，DM=ME ；（2）结论不变，证明方法类似；（3）分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可；【详解】解：（1） △AMN ≌ △FME ,等腰直角.如图1中，延长EM 交AD 于H ．∵四边形ABCD 是正方形，四边形EFGC 是正方形，∴0ADE DEF 90∠=∠=，AD CD =，∴//AD EF ，∴MAH MFE ∠=∠，∵AM MF =，AMH FME ∠=∠，∴△AMH ≌△FME ，∴MH ME =，AH EF EC ==，∴DH DE =，∵0EDH 90∠=，∴DM ⊥EM ，DM=ME ．（2）结论仍成立.如图，延长EM 交DA 的延长线于点H,∵四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形,∴0ADE DEF 90∠=∠=，AD CD =,∴AD ∥EF,∴MAH MFE ∠=∠.∵AM FM =，AMH FME ∠=∠,∴△AMF ≌△FME(ASA), …∴MH ME =，AH FE=CE =,∴DH DE =.在△DHE 中，DH DE =，0EDH 90∠=,MH ME =,∴=DM EM ，DM ⊥EM.（3）①当E 点在CD 边上，如图1所示，由（1）的结论可得三角形DME 为等腰直角三角形，则DM 的长为2DE 2,此时DE EC DC 532=-=-=,所以2DM = ②当E 点在CD 的延长线上时，如图2所示，由（2）的结论可得三角形DME 为等腰直角三角形，则DM 2，此时DE DC CE 538=+=+= ，所以42DM = ； ③当E 点在BC 上是，如图三所示，同（1）、（2）理可得到三角形DME 为等腰直角三角形，证明如下：∵四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形, 且点E 在BC 上∴AB//EF ，∴HAM EFM ∠=∠，∵M 为AF 中点，∴AM=MF∵在三角形AHM 与三角形EFM 中：HAM EFM AM MFAMH EMF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△AMH ≌△FME(ASA),∴MH ME =，AH FE=CE =,∴DH DE =.∵在三角形AHD 与三角形DCE 中：090AD DC DAH DCE AH EF =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ∴△AHD ≌△DCE(SAS),∴ADH CDE ∠=∠,∵∠ADC=∠ADH+∠HDC=90°，∴∠HDE=∠CDE+∠HDC=90°,∵在△DHE 中，DH DE =，0EDH 90∠=,MH ME =,∴三角形DME 为等腰直角三角形，则DM 的长为2DE 2，此时在直角三角形DCE 中2222DE DC CE 5334=+=+= ，所以DM=17【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．8．（1）①45；②不变化；（2）成立；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）①②根据正方形的性质、线段的垂直平分线的性质即可判断；（2）画出图形即可判断，结论仍然成立；（3）如图2-1中或2-2中，作作EF ⊥BC ，EG ⊥AB ，证得∠AEG=∠PEF.由∠ABC=∠EFB=∠EGB=90°知∠GEF=∠GEP+∠PEF=90°.继而得∠AEP=∠AEG+∠GEP=∠PEF+∠GEP=90°.从而得出∠APE=∠EAP=45°.【详解】解（1）①当点P 与点B 重合时，如图1-1所示：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠APE=45°②当BP=BC 时，如图1-2所示，①中的结论不发生变化；故答案为：45°，不变化.(2)（2）如图2-1，如图2-2中，结论仍然成立；故答案为：成立；(3)证明一：如图所示.过点作于点，于点.∵点在的垂直平分线上，∴.∵四边形为正方形，∴平分.∴.∴.∴.∵，∴.∴.∴.证明二：如图所示.过点作于点，延长交于点，连接.∵点在的垂直平分线上，∴.∵四边形为正方形，∴，∴.∴，.∴.又∵，∴.又∵，∴.∴.【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中垂线的性质等知识点9．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)CN=25.【解析】【分析】(1)如图，延长EF交CD延长线于点Q，先证明CQ=CE，再证明△FQD≌△FEA，根据全等三角形的对应边相等可得EF=FQ，再根据等腰三角形的性质即可得CF⊥EF；(2)分别过点F、H作FM⊥CE ，HP⊥CD，垂足分别为M、P，证明四边形DFHP是矩形，继而证明△HPC≌△FMK，根据全等三角形的性质即可得CH=FK；(3)连接CN，延长HG交CN于点T，设∠DCF=α，则∠GCF=α，先证明得到FG=CG=GE，∠CGT=2α，再由FG是BC的中垂线，可得BG = CG，∠CGT=∠FGK=∠BGT=2α，再证明HN∥BG，得到四边形HGBN是平行四边形，继而证明△HNC≌△KGF，推导可得出HT=CT=TN ，由FH-HG=1，所以设GH=m，则BN=m，FH=m+1，CE=2FG=4m+2，继而根据22222=-=-，可得关于m的方程，解方程求得m的值即可求得答案. BC CN BN CE BE【详解】(1)如图，延长EF交CD延长线于点Q，∵矩形ABCD，AB∥CD，∴∠AEF=∠CQE，∠A=∠QDF，又∵EF 平分∠AEC ，∴∠AEF=∠CEF，∴∠CEF=∠CQE，∴CQ=CE，∵点F是AD中点，∴AF=DF，∴△FQD≌△FEA，∴EF=FQ，又∵CE=CQ，∴CF⊥EF；(2)分别过点F、H作FM⊥CE ，HP⊥CD，垂足分别为M、P，∵CQ=CE ，CF⊥EF，∴∠DCF=∠FCE，又∵FD⊥CD，∴FM=DF，∵FG//AB，∴∠DFH=∠DAC=90°，∴∠DFH=∠FDP=∠DPH=90°，∴四边形DFHP是矩形，∴DF=HP，∴FM= DF=HP，∵∠CHG=∠BCE，AD∥BC，FG∥CD，∴∠K=∠BCE=∠CHG=∠DCH，又∵∠FMK=∠HPC=90°，∴△HPC≌△FMK，∴CH=FK；(3)连接CN，延长HG交CN于点T，设∠DCF=α，则∠GCF=α，∵FG∥CD ，∴∠DCF=∠CFG，∴∠FCG=∠CFG，∴FG=CG，∵CF⊥EF，∴∠FEG+∠FCG=90°，∠CFG+∠GFE=90°，∴∠GFE=∠FEG，∴GF=FE，∴FG=CG=GE，∠CGT=2 ，∵FG 是BC 的中垂线，∴BG = CG ， ∠CGT=∠FGK=∠BGT=2α，∵∠CHG=∠BCE=90°-2α，∠CHN=90°，∴∠GHN=∠FGK=∠BGT=2α，∴HN ∥BG ，∴四边形HGBN 是平行四边形，∴HG=BN ，HN=BG = CG =FG ，∴△HNC ≌△KGF ，∴GK=CN ，∠HNC=∠FGK=∠NHT=2α，∴HT=CT=TN ，∵FH-HG=1，∴设GH=m ，则BN=m ，FH=m+1，CE=2FG=4m+2，∵GT=1122EN =，∴CN=2HT=11+2m ， ∵22222BC CN BN CE BE =-=-，∴2222(112)(42)(11)m m m m +-=+-+ ∴1176m =-(舍去)，27m =， ∴CN=GK=2HT=25.【点睛】 本题考查的是四边形综合题，涉及了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质与判定，三角形外角的性质等，综合性较强，难度较大，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.10．（1）①45；②△ADE≌△ECF，理由见解析；（2）.【分析】（1）①根据矩形的性质得到90ABC BCD ∠=∠=︒，根据角平分线的定义得到45EBC ∠=︒，根据三角形内角和定理计算即可；②利用ASA 定理证明ADE ECF ≅；（2）连接HB ，证明四边形NBEH 是矩形，得到NE BH =，根据勾股定理求出BH 即可.【详解】（1）①∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC=∠BCD=90°，∵BE 平分∠ABC，∴∠EBC=45°，∴∠BEC=45°，故答案为45；②△ADE≌△ECF，理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠C=∠D=90°，AD=BC ．∵FE⊥AE，∴∠AEF=90°．∴∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°．∵∠AED+∠DAE=90°，∴∠FEC=∠EAD，∵BE 平分∠ABC，∴∠BEC=45°．∴∠EBC=∠BEC．∴BC=EC．∴AD=EC．在△ADE 和△ECF 中，DAE CEF AD ECADE ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE≌△ECF；（2）连接HB ，如图2，∵FH∥CD，∴∠HFC=180°-∠C=90°．∴四边形HFCD 是矩形．∴DH=CF，∵△ADE≌△ECF，∴DE=CF．∴DH=DE．∴∠DHE=∠DEH=45°．∵∠BEC=45°，∴∠HEB=180°-∠DEH -∠BEC=90°．∵NH∥BE，NB∥HE，∴四边形NBEH 是平行四边形．∴四边形NBEH 是矩形．∴NE=BH．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAH=90°．∵在Rt△BAH 中，AB=4，AH=2，【点睛】本题考查的是矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.。
人教版平行四边形单元 易错题难题综合模拟测评学能测试试题
人教版平行四边形单元 易错题难题综合模拟测评学能测试试题一、选择题1．在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 上的一动点，E 为AD 中点，PE 交CD 延长线于Q ，过E 作EF PQ ⊥交BC 的延长线于F ，则下列结论：①APE DQE ∆≅∆；②PQ EF =；③当P 为AB 中点时，2CF =；④若H 为QC 的中点，当P 从A 移动到B 时，线段EH 扫过的面积为12，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①②④C ．②③④D ．①②③2．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形连接AC 交EF 于G ，下列结论: ①BE ＝DF ，②∠DAF ＝15°，③AC ⊥EF ，④BE+DF ＝EF ，⑤EC ＝FG ；其中正确结论有( )个A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ，小明从顶点A 沿着花坛间小路直到走到长边中点O ，再从中点O 走到正方形OCDF 的中心1O ，再从中心1O 走到正方形1O GFH 的中点2O ，又从中心2O 走到正方形2O IHJ 的中心3O ，再从中心3O 走到正方形3O KJP 的中心4O ，一共走了312m ，则长方形花坛ABCD 的周长是（ ）A ．36mB ．48mC ．96mD ．60m4．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，若CD ，CM 分别是斜边AB 上的高和中线，则下列结论中错误的是（ ）A ．MCB MCA ∠=∠B ．MCB ACD ∠=∠C ．B ACD ∠=∠ D ．MCA BCD ∠=∠5．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E 且AB ＝AE ，延长AB 与DE 的延长线相交于点F ，连接AC 、CF ．下列结论：①△ABC ≌△EAD ；②△ABE 是等边三角形；③BF ＝AD ；④S △BEF ＝S △ABC ；⑤S △CEF ＝S △ABE ；其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．如图，一张长方形纸片的长4=AD ，宽1AB =，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，将四边形ABFE 沿着EF 折叠后，点B 落在边AD 的中点G 处，则EG 等于（ ）A ．3B ．23C ．178D ．54 7．如图，菱形ABCD 中，过顶点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于E 点，已知134A ∠=︒，则BEC ∠的大小为( )A ．23︒B ．28︒C ．62︒D ．67︒8．如图，点O （0，0），A （0，1）是正方形1OAA B 的两个顶点，以1OA 对角线为边作正方形121OA A B ，再以正方形的对角线2OA 作正方形121OA A B ，…，依此规律，则点8A 的坐标是（ ）A ．（－8，0）B ．（0，8）C ．（0，82）D ．（0，16）9．如图，ABCD 中，点E 是AD 上一点，BE ⊥AB ，△ABE 沿BE 对折得到△BEG ，过点D 作DF ∥EG 交BC 于点F ，△DFC 沿DF 对折，点C 恰好与点G 重合，则AB AD的值为（ ）A ．12B ．3C ．22D ．3 10．如图，矩形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，过点B 作BF AC ⊥交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作//DE BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接,FN EM ．则下列结论：①DN BM =；②//EM FN ；③AE FC =；④当AO AD =时，四边形DEBF 是菱形．其中，正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A ，B 两点，“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD 平行，若AB ＝100m ，∠A ＝∠B ＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．12．如图，以Rt ABC 的斜边AB 为一边，在AB 的右侧作正方形ABED ，正方形对角线交于点O ，连接CO ，如果AC=4，CO=62，那么BC=______．13．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论：①BC=DF ；②135DGF ︒∠=；③BG DG ⊥；④34AB AD =，则254BDG FDG S S =，正确的有__________________．14．在ABCD 中，5AD =，BAD ∠的平分线交CD 于点E ，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，若线段EF=2，则AB 的长为__________．15．如图,在平面直角坐标系中,直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．16．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若∠CBF=20°，则∠AED 等于__度．17．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，18．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令AF n BC=，EC m BC=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE 的最大值为_____．20．如图，在平行四边形ABCD 中，53AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．三、解答题21．如图，矩形OBCD 中，OB ＝5，OD ＝3，以O 为原点建立平面直角坐标系，点B ，点D 分别在x 轴，y 轴上，点C 在第一象限内，若平面内有一动点P ，且满足S △POB ＝13S 矩形OBCD ，问：（1）当点P 在矩形的对角线OC 上，求点P 的坐标；（2）当点P 到O ，B 两点的距离之和PO +PB 取最小值时，求点P 的坐标．22．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．23．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BD 与CF 的位置关系为__________；CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系____________________．（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系并加以证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由．24．如图平行四边形ABCD ，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，EF 与AC 交于点O ． （1）如图①．求证：OE ＝OF ；（2）如图②，将平行四边形ABCD （纸片沿直线EF 折叠，点A 落在A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 交CD 于点G ．A 1B 分别交CD ，DE 于点H ，P ．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP 相等，并加以证明；（3）如图③，若△ABO 是等边三角形，AB ＝4，点F 在BC 边上，且BF ＝4．则CF OF＝ （直接填结果）．25．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ︒∠= ．()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若3,2BE BG ==，求EF 的长；()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足,90,45,AB AD BAD BCD EAF ︒︒=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接写出BE 的长．26．如图①，已知正方形ABCD 的边长为3，点Q 是AD 边上的一个动点，点A 关于直线BQ 的对称点是点P ，连接QP 、DP 、CP 、BP ，设AQ =x ．（1）BP ＋DP 的最小值是_______，此时x 的值是_______；（2）如图②，若QP 的延长线交CD 边于点M ，并且∠CPD =90°．①求证：点M 是CD 的中点；②求x 的值．（3）若点Q 是射线AD 上的一个动点，请直接写出当△CDP 为等腰三角形时x 的值．27．如图，ABC ADC ∆≅∆，90,ABC ADC AB BC ︒∠=∠==，点F 在边AB 上，点E 在边AD 的延长线上，且,DE BF BG CF =⊥，垂足为H ，BH 的延长线交AC 于点G .（1）若10AB =，求四边形AECF 的面积；（2）若CG CB =，求证：2BG FH CE +=.28．如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90︒得到点B ,连接AB .(1)求出直线BC 的解析式；(2)若动点M 从点C 出发,沿线段CB 以每分钟10个单位的速度运动,过M 作//MN AB 交y 轴于N ,连接AN .设运动时间为t 分钟,当四边形ABMN 为平行四边形时,求t 的值. (3)P 为直线BC 上一点,在坐标平面内是否存在一点Q ,使得以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q 的坐标；若不存在,请说明理由.29．如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点B 落在AD 边上的G 处，E 、F 分别在BC 、AB 边上且F(1，4)．(1)求G 点坐标(2)求直线EF 解析式(3)点N 在坐标轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由30．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt CED ，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；②若25AB =2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】利用正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识依次判断即可；【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=90°，∵∠A=∠EDQ，∠AEP=∠QED，AE=ED，∴△AEP≌△DEQ，故①正确，②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，∴∠PGQ=∠EMF=90°，∵EF⊥PQ，∴∠PEF=90°，∴∠PEN+∠NEF=90°，∵∠NPE+∠NEP=90°，∴∠NPE=∠NEF，∵PG=EM，∴△EFM≌△PQG，∴EF=PQ，故②正确，③连接QF ．则QF=PF ，PB 2+BF 2=QC 2+CF 2，设CF=x ，则（2+x ）2+12=32+x 2，∴x=1，故③错误，④当P 在A 点时，Q 与D 重合，QC 的中点H 在DC 的中点S 处，当P 运动到B 时，QC 的中点H 与D 重合，故EH 扫过的面积为△ESD 的面积=12，故④正确， 则正确的是①②④，故选B ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，难度较大．2．B解析：B【分析】根据已知条件易证△ABE ≌△ADF ，根据全等三角形的性质即可判定①②；由正方形的性质就可以得出EC=FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，即可判定③；设EC=FC=x ，由勾股定理和三角函数计算后即可判定④⑤．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD ，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF 等边三角形，∴AE=EF=AF ，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AE AF AB AD ⎧⎨⎩＝＝ , Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF （故①正确）．∠BAE=∠DAF ，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°（故②正确），∵BC=CD ，∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ，∵AE=AF ，∴AC 垂直平分EF ．（故③正确）．设EC=FC=x ，由勾股定理，得:,EF CG FG x ===, ∴EC ≠FG （⑤错误）在Rt △AEG 中，sin 60sin 602sin 602AG AE EF CG x ︒︒︒===⨯=,AC ∴=,AB ∴=,BE x ∴==,BE DF x ∴+=-≠，（故④错误），综上所述，正确的结论为①②③，共3个，故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题的关键．3．C解析：C【解析】设正方形O 3KJP 的边长为a ，根据正方形的性质知：O 3O 4=2a ，正方形O 2IHJ 的边长为2a ，O 2O 3a ，正方形O 1GFH 的边长为4a ，O 1O 2a ，正方形OCDF 的边长为8a ，OO 1a ，∵AO=2OO1am ，∴2， 解得：a=2m ，∴FD=8a=16m ，∴长方形花坛ABCD 的周长是2×（2FD+CD ）=6FD=96m ，故选C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线与边长的关系，正方形的倍，熟记性质是解题的关键．4．A解析：A【分析】根据三角形的内角和定理，直角三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定逐项判断即可．【详解】∠=∠，故本选项符合题意；解：A.不能推出MCB MCAB. ∵∠MCB=∠B=∠ACD，故本选项不符合题意；C.∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，故本选项不符合题意；D. ∵∠ACB=90°，CM是斜边的中线，∴CM=BM，∴∠MCB=∠B=∠ACD，∴∠ACM=∠BCD，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了对三角形的内角和定理，直角三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定等考点的理解．5．B解析：B【分析】根据平行四边形的性质可得AD//BC，AD=BC，根据平行线的性质可得∠BEA=∠EAD，根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠BEA，即可证明∠EAD=∠ABE，利用SAS可证明△ABC≌△EAD；可得①正确；由角平分线的定义可得∠BAE=∠EAD，即可证明∠ABE=∠BEA=∠BAE，可得AB＝BE＝AE，得出②正确；由S△AEC＝S△DEC，S△ABE＝S△CEF得出⑤正确；题中③和④不正确．综上即可得答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠BEA=∠EAD，∵AB=AE，∴∠ABE=∠BEA，∴∠EAD=∠ABE，在△ABC和△EAD中，AB AEABE EAD BC AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△EAD（SAS）；故①正确；∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠ABE=∠BEA=∠BAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE=AE，∴△ABE是等边三角形；②正确；∴∠ABE＝∠EAD＝60°，∵△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），∴S△FCD＝S△ABC，∵△AEC与△DEC同底等高，∴S△AEC＝S△DEC，∴S△ABE＝S△CEF；⑤正确．若AD=BF，则BF＝BC，题中未限定这一条件，∴③不一定正确；如图，过点E作EH⊥AB于H，过点A作AG⊥BC于G，∵△ABE是等边三角形，∴AG=EH，若S△BEF＝S△ABC，则BF=BC，题中未限定这一条件，∴④不一定正确；综上所述：正确的有①②⑤．故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等底、等高的三角形面积相等的性质是解题关键．6．D解析：D【分析】连接BE，根据折叠的性质证明△ABE≌△A GE'，得到BE=EG，根据点G是AD的中点，AD=4得到AE=2-EG=2-BE ，再根据勾股定理即可求出BE 得到EG.【详解】连接BE ，由折叠得：AE A E '=，A A '∠=∠=90°，AB A G '=,∴△ABE ≌△A GE ',∴BE=EG,∵点G 是AD 的中点，AD=4，∴AG=2，即AE+EG=2，∴AE=2-EG=2-BE ，在Rt △ABE 中，222BE AE AB =+，∴ 222(2)1BE BE =-+,∴EG=5BE 4=， 故选：D.【点睛】此题考查折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，利用折叠证明三角形全等，目的是证得EG=BE ，由此利用勾股定理解题.7．D解析：D【分析】先说明ABD=∠ADC=∠CBD ，然后再利用三角形内角和180°求出即可∠CBD 度数，最后再用直角三角形的内角和定理解答即可.【详解】解：∵菱形ABCD∴AB=AD∴∠ABD=∠ADC∴∠ABD=∠CBD又∵134A ∠=︒∴∠CBD=∠BDC=∠ABD=∠ADB=12(180°-134°)=23° ∴BEC ∠=90°-23°=67°故答案为D.【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角和三角形内角和定理.8．D解析：D【分析】根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，可求出从A 到A 3变化后的坐标，再求出A 1、A 2、A 3、A 4、A 5，继而得出A 8坐标即可.【详解】解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45° ∵从A 到3A 经过了3次变化，∵45°×3＝135°，1×3＝，∴点3A 所在的正方形的边长为，点3A 位置在第四象限，∴点3A 的坐标是（2，－2），可得出：1A 点坐标为（1，1），2A 点坐标为（0，2），3A 点坐标为（2，－2），4A 点坐标为（0，－4），5A 点坐标为（－4，－4），6A （－8，0），A 7（－8，8），8A （0，16），故选D.【点睛】本题考查了规律题，点的坐标，观察出每一次的变化特征是解答本题的关键.9．B解析：B【分析】根据平行线的性质和轴对称的性质，利用SAS 证明BEG DEG ≅，进而得到ADG 90∠=︒，设AB=x ，则AG=2x ，CD=x ，，即可求解．【详解】解：在ABCD 中∵DF ∥EG∴∠DEG=∠DFB∵△ABE 沿BE 对折得到△BEG∴∠DEG =2∠A∵∠DFB =∠C +∠CDF∠A=∠C∴∠CDF=∠A∵△DFC 沿DF 对折∴∠BGE=∠DGEBG=DGEG=EG∴BEG DEG≅∵BE⊥AB∴ADG90∠=︒设AB=x，则AG=2x，CD=x，=∴ABAD==故选：B．【点睛】此题主要考查平行线的性质、轴对称的性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理，熟练运用平行线的性质和轴对称的性质证明BEG DEG≅是解题关键．10．D解析：D【分析】通过判断△AND≌△CMB即可证明①，再判断出△ANE≌△CMF证明出③，再证明出△NFM≌△MEN，得到∠FNM=∠EMN，进而判断出②，通过 DF与EB先证明出四边形为平行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，进而得到DE=BE，即可知四边形为菱形．【详解】∵BF⊥AC∴∠BMC=90°又∵//DE BF∴∠EDO=∠MBO，DE⊥AC∴∠DNA=∠BMC=90°∵四边形ABCD为矩形∴AD=BC，AD∥BC，DC∥AB∴∠ADB=∠CBD∴∠ADB-∠EDO=∠CBD-∠MBO即∠AND=∠CBM在△AND与△CMB∵90DNA BMCAND CBMAD BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AND≌△CMB(AAS)∴AN=CM，DN=BM，故①正确．∵AB∥CD∴∠NAE=∠MCF又∵∠DNA=∠BMC=90°∴∠ANE=∠CMF=90°在△ANE 与△CMF 中∵90ANE CMF AN CM NAE MCF ∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ANE ≌△CMF （ASA ）∴NE=FM ，AE=CF ，故③正确．在△NFM 与△MEN 中∵90FM NE FMN ENM MN MN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△NFM ≌△MEN （SAS ）∴∠FNM=∠EMN∴NF ∥EM ，故②正确．∵AE=CF∴DC-FC=AB-AE ，即DF=EB又根据矩形性质可知DF ∥EB∴四边形DEBF 为平行四边根据矩形性质可知OD=AO ，当AO=AD 时，即三角形DAO 为等边三角形∴∠ADO=60°又∵DN ⊥AC根据三线合一可知∠NDO=30°又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30°故DE=EB∴四边形DEBF 为菱形，故④正确．故①②③④正确故选D ．【点睛】本题矩形性质、全等三角形的性质与证明、菱形的判定，能够找对相对应的全等三角形是解题关键．二、填空题11．200m【分析】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M ，则四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形，△ABC 是等边三角形，由此即可解决问题．【详解】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M由题意可知，四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形∵∠A ＝∠B ＝60°∴18060E A B ∠=-∠-∠=∴△ABC 是等边三角形∴ED ＝FM+MK+KH ＝CN+JG+HK ，EC ＝EF+FC ＝JN+KG+DH∴“九曲桥”的总长度是AE+EB ＝2AB ＝200m故答案为：200m ．【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．12．8【分析】通过作辅助线使得△CAO ≌△GBO ，证明△COG 为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG 后，即可求出BC 的长．【详解】如图，延长CB 到点G ，使BG=AC ．∵根据题意，四边形ABED 为正方形，∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°，∴∠1+∠2=90°又∵三角形BCA 为直角三角形，AB 为斜边，∴∠2+∠3=90°∴∠1＝∠3∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO ＝∠GBO ，在△CAO 和△GBO 中，CA GB CAO GBO AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩故△CAO ≌△GBO ，∴CO ＝GO=7=∠6，∵∠7+∠8=90°，∴∠6+∠8=90°，∴三角形COG 为等腰直角三角形，∴， ∵CG=CB+BG ，∴CB=CG －BG=12－4=8，故答案为8．【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．13．①③④【分析】由矩形的性质可得AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD ，由角平分线的性质和余角的性质可得∠F=∠FAD=45°，可得AD=DF=BC ，可判断①；通过证明△DCG ≌△BEG ，可得∠BGE=∠DGC ，BG=DG ，即可判断②③；过点G 作GH ⊥CD 于H ，设AD=4x=DF ，AB=3x ，由勾股定理可求BD=5x，由等腰直角三角形的性质可得HG=CH=FH=12x ，，由三角形面积公式可求解，可判断④． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴∠F=∠FAD ，∴AD=DF ，∴BC=DF ，故①正确；∵∠EAB=∠BEA=45°，∴AB=BE=CD ，∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，∴△CEF 是等腰直角三角形，∵点G 为EF 的中点，∴CG=EG ，∠FCG=45°，CG ⊥AG ，∴∠BEG=∠DCG=135°，在△DCG 和△BEG 中，===BE CD BEG DCG CG EG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△DCG ≌△BEG （SAS ）．∴∠BGE=∠DGC ，BG=DG ，∵∠BGE ＜∠AEB ，∴∠DGC=∠BGE ＜45°，∵∠CGF=90°，∴∠DGF ＜135°，故②错误；∵∠BGE=∠DGC ，∴∠BGE+∠DGA=∠DGC+∠DGA ，∴∠CGA=∠DGB=90°，∴BG ⊥DG ，故③正确；过点G 作GH ⊥CD 于H ，∵34AB AD =， ∴设AD=4x=DF ，AB=3x ，∴CF=CE=x ，22AB AD x +，∵△CFG ，△GBD 是等腰直角三角形，∴HG=CH=FH=12x ，DG=GB=522x ，∴S △DGF =12×DF×HG=x 2，S △BDG =12DG×GB=254x 2， ∴254BDG FDG S S =，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．14．8或12【分析】根据平行四边形的性质得到BC=AD=5，∠BAE=∠DEA ，∠ABF=∠BFC ，根据角平分线的性质得到DE=AD=5，CF=BC=5，即可求出答案.【详解】在ABCD 中，AB ∥CD ，BC=AD=5，∴∠BAE=∠DEA ，∠ABF=∠BFC ，∵BAD ∠的平分线交CD 于点E ，∴∠BAE=∠DAE ，∴∠DAE=∠DEA ，∴DE=AD=5，同理：CF=BC=5，∴AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8或AB=DE+CF+EF=5+5+2=12，故答案为：8或12.【点睛】此题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的等角对等边的判定，解题中注意分类思想的运用，避免漏解.15．(3,2)-517【分析】如图（见解析），先根据一次函数的解析式可得点A 、B 的坐标，从而可得OA 、OB 、AB 的长，再根据正方形的性质可得90BAD ∠=︒，DA AB =，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,AE OB DE OA ==，由此即可得出点D 的坐标；同样的方法可求出点C 的坐标，再根据轴对称的性质可得点C '的坐标，然后根据轴对称的性质和两点之间线段最短得出MDC △的周长值最小时，点M 的位置，最后利用两点之间的距离公式、三角形的周长公式即可得．【详解】如图，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，作点C 关于y 轴的对称点C '，交y 轴于点F ，连接C D '，交y 轴于点M '，连接C M '，则CF y ⊥轴 对于112y x =+ 当0y =时，1102x +=，解得2x =-，则点A 的坐标为(2,0)A - 当0x =时，1y =，则点B 的坐标为(0,1)B2,1,OA OB AB ∴====四边形ABCD 是正方形90BAD ∴∠=︒，CD DA AB ===90DAE OAB ABO OAB ∴∠+∠=∠+∠=︒DAE ABO ∴∠=∠在ADE 和BAO 中，90AED BOA DAE ABO DA AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE BAO AAS ∴≅1,2AE OB DE OA ∴====213OE OA AE ∴=+=+=则点D 的坐标为(3,2)D -同理可证：CBF BAO ≅1,2CF OB BF OA ∴====123OF OB BF ∴=+=+=则点C 的坐标为(1,3)C -由轴对称的性质得：点C '的坐标为(1,3)C '，且CM C M '=MDC ∴△的周长为CD DM CM DM C M '++=+由两点之间线段最短得：当点M 与点M '重合时，DM C M '+取得最小值DC ' (3,2),(1,3)D C '-DC '∴==则MDC △DC '=故答案为：(3,2)-．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质等知识点，正确找出MDC △的周长最小时，点M 的位置是解题关键． 16．65【分析】先由正方形的性质得到∠ABF 的角度，从而得到∠AEB 的大小，再证△AEB ≌△AED ，得到∠AED 的大小【详解】∵四边形ABCD 是正方形∴∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠CAD=45°，∠ABC=90°，AB=AD∵∠FBC=20°，∴ABF=70°∴在△ABE 中，∠AEB=65°在△ABE 与△ADE 中45AB AD BAE EAD AE AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE≌△ADE∴∠AED=∠AEB=65°故答案为：65°【点睛】本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出∠AEB 的大小.17．6.5或8或18【分析】根据题意分BP QP =、BQ QP =两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，26AD =，点Q 是BC 的中点∴13BQ =∴①当BP QP =时，过点P 作PM BQ ⊥交BQ 于点M ，如图，则 6.5BM MQ ==,且四边形ABMP 为矩形∴ 6.5AP BM ==②当BQ QP =时，以点Q 为圆心，BQ 为半径作圆，与AD 交于P '、P ''两点，如图，过Q 作QN P P '''⊥，交P P '''于点N ，则可知P N P N '''=∵在Rt P NQ '，13P Q '=，12NQ AB == ∴222213125P N P Q NQ ''=-=-=同理，在Rt P NQ ''中，5P N ''= ∴2655822AD P N P N AP '''----'===，85518AP AP P N P N ''''''=++=++= 即P '、P ''为满足条件的P 点的位置∴8AP =或18∴综上所述，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为6.5或8或18． 故答案是：6.5或8或18【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键．18．7【分析】①若m n =，则AF EC =，先根据平行四边形的性质得出//,AD BC AD BC =，再根据平行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得；②先根据平行四边形的性质与判定得出四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形，从而可得11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆==，再根据28ABCD ABEF CDFE S S S =+= 和1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆=+=+四边形即可得出答案．【详解】 四边形ABCD 是平行四边形//,AD BC AD BC ∴=,,AF EC n m BC BCm n === AF EC ∴=AD AF BC EC ∴-=-，即DF BE =∴四边形AECF 、四边形BEDF 都是平行四边形//,//AE CF BF DE ∴∴四边形EGFH 是平行四边形综上，图中共有4个平行四边形如图，连接EF1,,AF EC n m BC B n Cm ==+= AF EC BC AD ∴+==AF DF AD +=EC DF ∴=AF BE ∴=∴四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形 11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆∴== 28ABCD ABEF CDFE S S S =+=1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆∴=+=+四边形1()4ABEF CDFE S S =+12874=⨯= 故答案为：4；7．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键．19．【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围．【详解】解：作AB的中点M，连接EM、CM．在Rt△ABC中，AB＝22AC BC+＝2286+＝10，∵M是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CM＝12AB＝5．∵E是BD的中点，M是AB的中点，∴ME＝12AD＝2．∴5﹣2≤CE≤5+2，即3≤CE≤7．∴最大值为7，故答案为：7．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握基本性质定理是解题的关键．20．2【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3，再根据BAD BEC∠=∠证明BC=BE，由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF，即可求出平行四边形的面积.【详解】过点B 作BF CD ⊥于点F ，如图所示．∵AE 是BAD ∠的平分线，∴DAE BAE ∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴53CD AB BC AD BAD BCE AB CD ====∠=∠，，，∥， ∴BAE DEA ∠=∠，∴DAE DEA ∠=∠，∴3DE AD ==，∴2CE CD DE =-=．∵BAD BEC ∠=∠，∴BCE BEC ∠=∠，∴BC=BE, ∴112CF EF CE ===， ∴22223122BF BC CF =-=-=∴平行四边形ABCD 的面积为225102BF CD ⋅==． 故答案为：2【点睛】此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性质、三线合一的性质，勾股定理.三、解答题21．（1）P （103，2）；（2）（52，2）或（﹣52，2） 【分析】（1）根据已知条件得到C （5，3），设直线OC 的解析式为y ＝kx ，求得直线OC 的解析式为y ＝35x ，设P （m ，35m ），根据S △POB ＝13S 矩形OBCD ，列方程即可得到结论； （2）设点P 的纵坐标为h ，得到点P 在直线y ＝2或y ＝﹣2的直线上，作B 关于直线y ＝2的对称点E ，则点E 的坐标为（5，4），连接OE 交直线y ＝2于P ，则此时PO +PB 的值最小，设直线OE 的解析式为y ＝nx ，于是得到结论．【详解】（1）如图：∵矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，∴C（5，3），设直线OC的解析式为y＝kx，∴3＝5k，∴k＝35，∴直线OC的解析式为y＝35 x，∵点P在矩形的对角线OC上，∴设P（m，35 m），∵S△POB＝13S矩形OBCD，∴12⨯5×35m＝13⨯3×5，∴m＝103，∴P（103，2）；（2）∵S△POB＝13S矩形OBCD，∴设点P的纵坐标为h，∴12h×5＝133⨯⨯5，∴h＝2，∴点P在直线y＝2或y＝﹣2上，作B关于直线y＝2的对称点E，则点E的坐标为（5，4），连接OE交直线y＝2于P，则此时PO+PB的值最小，设直线OE的解析式为y＝nx，∴4＝5n，∴n＝45，∴直线OE的解析式为y＝45 x，当y＝2时，x＝52，∴P（52，2），同理，点P在直线y＝﹣2上，P（52，﹣2），∴点P的坐标为（52，2）或（﹣52，2）．【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，矩形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的找到点P在位置是解题的关键．22．（1）ΔDPM,ΔFPG；等腰直角；（2）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；PG PC＝3；（3）213【分析】（1）延长GP交DC于点M，由Р是线段DF的中点，//DC CF，可得∠MDP=∠GFP，DP=FP，利用ASA可证明△DPM≌△FPG；可得DM=GF，MP=GP，根据正方形的性质可得CM=CG，即可证明△CMG是等腰直角三角形，即可得答案；（2）如图，延长GP交DC于点H，利用ASA可证明△GFP≌△HDP，可得GP＝HP，GF＝HD，进而根据菱形的性质可证明△CHG是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得PG⊥PC，∠HCP=∠GCP，由∠ABC=60°可得∠HCG=120°，进而可得∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可得答案；（3）利用线段的和差关系可求出图2中CG的长，由（2）可知∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求出CP的长；在图3中，延长GP到N，使GP=PN，连接DN、CN、CG，过N作NK⊥CD，交CD延长线于K，利用SAS可证明△FGP≌△DNP，可得GF=DN，∠GFP=∠NDP，根据角的和差关系可得∠CDN=120°，根据平角的定义可得∠GBC=120°，利用菱形的性质及等量代换可得DN=GB，利用SAS可证明△NDC≌△GBC，可得CN=CG，∠DCN=∠BCG，根据等腰三角形的性质可得PC⊥GN，根据角的和差关系可得∠NCG=120°，进而可得出∠CNP=30°，可得PC=12CG，根据平角的定义可得∠KDN=60°，即可得出∠KND=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得得出KD的长，利用勾股定理可求出KN的长，再利用勾股定理可求出CN的长，根据含30°角的直角三角形的性质即可得出PC的长．【详解】（1）如图，延长GP交DC于点M，∵Р是线段DF的中点，四边形ABCD、BEFG是正方形，点,,A B E在同一条直线上，∴//DC CF，DP=FP，CD=BC，FG=BG，在△DPM和△FPG中，MDP GFP DP FPDPM FPG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DPM≌△FPG，∴DM=FG，KP=GP，∴CD-DM=BC-BC，即CM=CG，∴△CMG是等腰直角三角形，∴PG⊥PC，PG=PC．故答案为：ΔDPM，ΔFPG；等腰直角（2）猜想：线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；PGPC3．如图，延长GP交DC于点H，∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP，∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∴CD//AB，CF//BE，CD＝CB，GF=GB，∵点A B E、、在一条直线上，∴DC∥GF，∴∠GFP＝∠HDP，在△GFP和△HDP中，GFP HDP FP DPGPF HPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△GFP≌△HDP，∴GP＝HP，GF＝HD，∴CD-DH＝CB-GB，即CG＝CH，∴△CHG是等腰三角形．∴PG⊥PC，（三线合一），∠HCP=∠GCP，∵∠ABC＝∠BEF＝60°，∴∠HCG=120°，∴∠CGP=12（180°-120°）=30°，∴CG=2PC，∴PG=2222(2)3CG PC PC PC PC-=-=，∴PGPC＝3．（3）如图2，∵AB=6，BE=2，∴CG=AB-BE=4，由（2）可知∠CGP=30°，PG⊥PC，∴PC=12CG=2，如图3，延长GP到N，使GP=PN，连接DN、CN、CG，过N作NK⊥CD，交CD延长线于K，在△DNP和△FGP中，DP FPNPD GPFPN PG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DNP≌△FGP，∴DN=GF=BG=BE=2，∠NDP=∠GFP，∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∴CD//AB，EF//BC，∵点A、B、G在一条直线上，∴DC∥EF，。
人教版平行四边形单元 易错题难题综合模拟测评检测试题
人教版平行四边形单元 易错题难题综合模拟测评检测试题一、解答题1．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AE 、AF ．(1)求证：AE ＝AF ；(2)取AF 的中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．则MD ，MN 的数量关系是 ，MD 、MN 的位置关系是(3)将图2中的直角三角板ECF ，绕点C 旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．2．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，5HG =，求DE 的长．3．如图1，已知四边形ABCD 是正方形，E 是对角线BD 上的一点，连接AE ，CE ．（1）求证：AE ＝CE ；（2）如图2，点P 是边CD 上的一点，且PE ⊥BD 于E ，连接BP ，O 为BP 的中点，连接EO ．若∠PBC ＝30°，求∠POE 的度数；（3）在（2）的条件下，若OE ＝2，求CE 的长．4．在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上任意一点，连接,AE 过点B 作BF AE ⊥于F ，交AD 于H .()1如图1，过点D 作DG AE ⊥于G .求证:BF DG FG -=；()2如图2，点E 为CD 的中点，连接DF ，试判断,,DF FH EF 存在什么数量关系并说明理由；()3如图3，1AB =，连接EH ，点Р为EH 的中点，在点E 从点D 运动到点C 的过程中，点Р随之运动，请直接写出点Р运动的路径长.5．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ．（1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随着移动．①当点Q 与点C 重合时， （如图2），求菱形BFEP 的边长；②如果限定P 、Q 分别在线段BA 、BC 上移动，直接写出菱形BFEP 面积的变化范围．6．共顶点的正方形ABCD 与正方形AEFG 中，AB =13，AE =52．（1）如图1，求证：DG =BE ；（2）如图2，连结BF ，以BF 、BC 为一组邻边作平行四边形BCHF ．①连结BH ，BG ，求BH BG的值； ②当四边形BCHF 为菱形时，直接写出BH 的长．7．如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90︒得到点B ,连接AB .(1)求出直线BC 的解析式；(2)若动点M 从点C 出发,沿线段CB 10,过M 作//MN AB 交y 轴于N ,连接AN .设运动时间为t 分钟,当四边形ABMN 为平行四边形时,求t 的值.(3)P 为直线BC 上一点,在坐标平面内是否存在一点Q ,使得以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q 的坐标；若不存在,请说明理由.8．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。
八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题难题综合模拟测评学能测试
一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，120C ∠=︒，4=AD ，2AB =，点E 是折线BC CD DA --上的一个动点(不与A 、B 重合)．则ABE △的面积的最大值是( )A ．3B ．1C ．32D ．232．如图，分别以Rt ACB ∆的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE ．给出下列结论：①CE BG =；②EC BG ⊥③22222FG BF BD BC +=+④222222BC GE AC AB +=+其中正确的是（ ）A ．②③④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④3．如图，四边形ABCD 是正方形，直线L 1、L 2、L 3，若L 1与L 2的距离为5，L 2与L 3的距离7，则正方形ABCD 的面积等于（ ）A ．70B ．74C ．144D ．1484．如图，长方形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠得到△AFE ，且点F 在长方形ABCD 内，将AF 延长交边BC 于点G ，若BG=3CG ，则AD AB=（ ）A ．54B ．1C ．52D ．625．如图的△ABC 中，AB>AC>BC,且D 为BC 上一点．现打算在AB 上找一点P ,在AC 上找一点Q,使得△APQ 与以P 、D 、Q 为顶点的三角形全等，以下是甲、乙两人的作法： 甲：连接AD,作AD 的中垂线分别交AB 、AC 于P 点、Q 点，则P 、Q 两点即为所求； 乙：过D 作与AC 平行的直线交AB 于P 点，过D 作与AB 平行的直线交AC 于Q 点，则P 、Q 两点即为所求；对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）A ．两人皆正确B ．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误乙正确 6．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE ⊥AB 于 E ，PF ⊥AC 于F ，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）A ．1B ．1.3C ．1.2D ．1.57．如图，在ABC 中，ACB 90∠=︒，2AC BC ==，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且AE CF =，给出以下四个结论：（1）DE DF =；（2）DEF 是等腰直角三角形；（3）四边形CEDF 面积ABC 1S 2=△；（4）2EF 的最小值为2．其中正确的有（ ）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．如图，在平行四边形ABCD 中，按以下步骤作图：①以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交边AD 于点；②再分别以B ，F 为圆心画弧，两弧交于平行四边形ABCD 内部的点G 处；③连接AG 并延长交BC 于点E ，连接BF ，若BF ＝3，AB ＝2.5，则AE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．59．如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE ＝AD ，DF ＝BD ，连接BF 分别交CD ，CE 于H ，G 下列结论：①EC≠2HG ；②∠GDH ＝∠GHD ；③图中有8个等腰三角形；④CDG DHF S S △△＝．其中正确的结论有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E 且AB AE =，延长AB 与DE 的延长线相交于点F ，连接AC 、CF .下列结论：①ABC EAD △≌△；②ABE △是等边三角形；③BF AD =；④BEF ABC S S =△△；⑤CEF ABE S S =△△；其中正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题11．如图，以Rt ABC 的斜边AB 为一边，在AB 的右侧作正方形ABED ，正方形对角线交于点O ，连接CO ，如果AC=4，CO=62，那么BC=______．12．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为_____．13．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．14．在ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高．将ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则DEF 的周长为______．15．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝10cm ，BC ＝3cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为_____cm ．16．如图，在正方形ABCD 中，2，点E 在AC 上，以AD 为对角线的所有平行四边形AEDF 中，EF 最小的值是_________．17．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，在同一平面内将△ABC 沿AC翻折，得到△AB’C，若四边形ABCD的面积为24cm2，则翻折后重叠部分（即S△ACE) 的面积为________cm2．18．如图，已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB、MC为邻边作平行四边形MCNB，连接MN，则MN的最小值是______19．如图，四边形ABCP是边长为4的正方形，点E在边CP上，PE=1；作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是_________．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠BAC＝45°，则下列结论：①CD∥EF；②EF＝DF；③DE平分∠CDF；④∠DEC＝30°；⑤AB2CD；其中正确的是_____（填序号）三、解答题21．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积22．如图，四边形OABC 中，BC ∥AO ，A （4，0），B （3，4），C （0，4）．点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）当t 为何值时，四边形BNMP 为平行四边形？（2）设四边形BNPA 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．23．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ．（1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．24．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠． （1）若点F 在边CD 上，如图1，①求证：CH CG ⊥．②求证：GFC 是等腰三角形．（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ．25．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.（发现与证明．．）ABCD 中，AB BC ≠，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D . 结论1：'AB C ∆与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形；结论2：'B D AC .试证明以上结论.（应用与探究）在ABCD 中，已知2BC =，45B ∠=，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D .若以A 、C 、D 、'B 为顶点的四边形是正方形，求AC 的长.（要求画出图形）26．如图①，已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，CD 上的点(点E ，F 不与端点重合)，且AE=DF ，BE ，AF 交于点P ，过点C 作CH ⊥BE 交BE 于点H ．（1）求证：AF∥CH；（2）若AB=23，AE=2，试求线段PH的长；（3）如图②，连结CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求CPPQ的值．27．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随着移动．①当点Q与点C重合时，（如图2），求菱形BFEP的边长；②如果限定P、Q分别在线段BA、BC上移动，直接写出菱形BFEP面积的变化范围．28．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上．连结AF，若M为AF的中点，连结DM，ME，试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论．拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为__________________；(2)如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]①②29．如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=30 ，CD=10，F 是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长度的速度从 A 向 D 运动，到D 点后停止运动；Q 沿着A B C D →→→ 路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D 点后停止运动．已知动点 P ，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动． 设运动时间为 t 秒，问：（1）经过几秒，以 A ，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P 为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD 面积的一半？30．已知，矩形ABCD 中，4,8AB cm BC cm ==，AC 的垂直平分EF 线分别交AD BC 、于点E F 、，垂足为O ．（1）如图1，连接AF CE 、，求证：四边形AFCE 为菱形；（2）如图2，动点P Q 、分别从A C 、两点同时出发，沿AFB △和CDE △各边匀速运动一周，即点P 自A F B A →→→停止，点O 自C D E C →→→停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t =____________．②若点P Q 、的运动路程分别为a b 、 （单位:,0cm ab ≠），已知AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则a 与b 满足的数量关系式为____________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】分三种情况讨论：①当点E 在BC 上时，高一定，底边BE 最大时面积最大；②当E 在CD 上时，△ABE 的面积不变；③当E 在AD 上时，E 与D 重合时，△ABE 的面积最大，根据三角形的面积公式可得结论．【详解】解：分三种情况：①当点E 在BC 上时，E 与C 重合时，△ABE 的面积最大，如图1，过A 作AF ⊥BC 于F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠C+∠B=180°，∵∠C=120°，∴∠B=60°，Rt △ABF 中，∠BAF=30°，∴BF=12AB=1，AF=3， ∴此时△ABE 的最大面积为：12×4×3=23； ②当E 在CD 上时，如图2，此时，△ABE 的面积=12S ▱ABCD =12×4×3=23；③当E 在AD 上时，E 与D 重合时，△ABE 的面积最大，此时，△ABE 的面积3 综上，△ABE 的面积的最大值是3故选：D ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题．2．C解析：C【分析】利用SAS 证明△AGB ≌△ACE ，即可判断①；证明∠BNM=∠MAE=90︒，即可判断②；假设③成立，利用勾股定理对等式变形证得AC =BC ，而AC 与BC 不一定相等，即可判断③；利用勾股定理证得2222BC EG BE CG +=+，从而证得结论④成立．【详解】∵四边形ACFG 和四边形ABDE 都是正方形，∴AC=AG ，AB=AE ，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ，在△AGB 和△ACE 中，∵AG AC GAB CAE AB AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AGB ≌△ACE(SAS)，∴GB=CE ，故①正确；设BA 、CE 相交于点M ，∵△AGB ≌△ACE ，∴∠GBA=∠CEA ，又∵∠BMN=∠EMA ，∴∠BNM=∠MAE=90︒，∴EC BG ⊥，故②正确；设正方形ACFG 和正方形ABDE 的边长分别为a 和b ,∵ACB 为直角三角形，且AB 为斜边，∴22222AB AC b a BC -=-=，假设22222FG BF BD BC +=+成立，则有()22222a a BC b BC ++=+，整理得：()2222a BC b a =-，即2a BC BC =，∴a BC =，即AC BC =，∵AC 与BC 不一定相等，∴假设不成立，故③不正确；连接CG ，BE ，设BG 、CE 相交于N ，∵EC BG ⊥，∴222222222222BC EG BN NC EN NG BN EN NC NG BE CG +=+++=+++=+， ∵四边形ACFG 和四边形ABDE 都是正方形，∴222BE AB =，222CG AC =，∴222222BC EG AB AC +=+，故④正确；综上，①②④正确，故选：C ．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．3．B解析：B【分析】先作出1l 与2l ，2l 与的3l 距离AE 、CF ，证明△ABE ≌△BCF ，得到BF=AE ，再利用勾股定理即可得到答案.【详解】过点A 作AE ⊥2l ,过点C 作CF⊥2l ,∴∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC,∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF,在△ABE 和△BCF 中，BAE CBF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ABE ≌△BCF ，∴BF=AE=5，在Rt △BCF 中，CF=7，BF=5，∴222225774BC BF CF =+=+=,∴正方形ABCD 的面积=274BC =,故选：B.【点睛】此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质定理，平行线之间的距离处处相等，题中证明两个三角形全等是解题的关键，由此将两个距离5和7变化到一个直角三角形中，由此利用勾股定理解决问题.4．B解析：B【解析】【分析】根据中点定义得出DE=CE，再根据折叠的性质得出DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，从而得出CE=EF，连接EG，利用“HL”证明△ECG≌△EFG，根据全等三角形性质得出CG=FG，设CG=a，则BC=4a，根据长方形性质得出AD=BC=4a，再求出AF=4a，最后求出AG=AF+FG=5a，最后利用勾股定理求出AB，从而进一步得出答案即可.【详解】如图，连接EG，∵点E是CD中点，∴DE=EC，根据折叠性质可得：AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴CE=EF，在Rt△ECG与Rt△EFG中，∵EG=EG，EC=EF，∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL），∴CG=FG，设CG=a，∴BG=3CG=3a，∴BC=4a，∴AF=AD=BC=4a.∴AG=5a.在Rt △ABG 中， ∴224AB AG BG a =-=， ∴1AD AB=, 故选B.【点睛】本题主要考查了长方形与勾股定理及全等三角形判定和性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键,5．A解析：A【分析】如图1，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PD ，QA=QD ，则根据"SSS"可判断APQ ≌DPQ ，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形APDQ 为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到PA=DQ ，PD=AQ ， 则根据"SSS"可判断△APQ ≌△DQP ,则可对乙进行判断.【详解】解：如图1，∵PQ 垂直平分AD ，∴PA= PD,，QA= QD ，∵PQ= PQ ，∴△APQ ≌△DPQ (SSS)， 所以甲正确；如图2，∵PD ∥AQ ，DQ ∥AP ，∴四边形APDQ 为平行四达形，∴PA=DQ,，PD=AQ ，∵PQ=QP ，∴△APQ ≌△DQP (SSS)，所以乙正确；故选：A .【点睛】本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定.6．C解析：C【分析】首先证明四边形AEPF 为矩形，可得AM=12AP ，最后利用垂线段最短确定AP 的位置，利用面积相等求出AP 的长，即可得AM.【详解】在△ABC 中，因为AB 2+AC 2=BC 2，所以△ABC 为直角三角形，∠A=90°，又因为PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，故四边形AEPF 为矩形，因为M 为 EF 中点，所以M 也是 AP 中点，即AM=12AP ， 故当AP ⊥BC 时，AP 有最小值，此时AM 最小， 由1122ABC SAB AC BC AP =⨯⨯=⨯⨯，可得AP=125， AM=12AP=6 1.25= 故本题正确答案为C.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP ⊥BC 时AM 最小是解题关键.7．A解析：A【分析】根据等腰三角形的性质，可得到：CD AB ⊥，从而证明ADE ≌CDF 且ADC 90∠=︒，即证明DE DF =和DEF 是等腰直角三角形，以及四边形CEDF 面积ABC 1S 2=△；再根据勾股定理求得EF ，即可得到答案． 【详解】∵ACB 90∠=︒，2AC BC ==∴AB ==∴A B 45∠=∠=︒∵点D 是AB 的中点∴CD AB ⊥，且1AD BD CD AB 2====∴DCB 45∠=︒∴A DCF ∠∠=，在ADE 和CDF 中AD CD A DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE ≌()CDF SAS∴DE DF =，ADE CDF ∠∠=∵CD AB ⊥∴ADC 90∠=︒∴EDF EDC CDF EDC ADE ADC 90∠∠∠∠∠∠=+=+==︒∴DEF 是等腰直角三角形∵ADE ≌CDF∴ADE 和CDF 的面积相等∵D 为AB 中点∴ADC 的面积1ABC 2=的面积 ∴四边形CEDF 面积EDC CDF EDC ADE ADC ABC 1S S S S S S 2=+=+==；当DE AC ⊥，DF BC ⊥时，2EF 值最小根据勾股定理得：222EF DE DF =+此时四边形CEDF 是正方形即EF CD ==∴22EF 2==∴正确的个数是4个故选：A ．【点睛】本题考察了等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形的性质，从而完成求解．8．B解析：B【分析】连接EF ，先证AF =AB =BE ，得四边形ABEF 是菱形，据此知AE 与BF 互相垂直平分，继而得OB 的长，由勾股定理求得OA 的长，继而得出答案．【详解】由题意得：AF =AB ，AE 为∠BAD 的角平分线，则∠BAE =∠FAE ．又∵四边形ABCD 是平行四边形，则AD ∥BC ，∠BAE =∠FAE =∠BEA ，∴AF =AB =BE ． 连接EF ，则四边形ABEF 是菱形，∴AE 与BF 互相垂直平分，设AE 与BF 相交于点O ，OB 2BF ==1.5．在Rt △AOB 中，OA 22222515AB OB =-=-=．．2，则AE =2OA =4．故选B ．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握菱形的性质与判定，平行四边形的性质，角平分线的尺规作图方法等．9．B解析：B【分析】关键结合图形证明△CHG ≌△EGD ，即可逐项判断求解【详解】解：∵DF=BD ，∴∠DFB=∠DBF ，∵AD ∥BC ，DE=BC ，∴四边形DBCE 是平行四边形，∠DFB=∠GBC ，∴∠DEC=∠DBC=45°，∴∠DEC=2∠EFB ，∴∠EFB=22.5°，∠CGB=∠CBG=22.5°，∴CG=BC=DE ，∵DE=DC ，∴∠DEG=∠DCE ，∵∠GHC=∠CDF+∠DFB=90°+22.5°=112.5°，∠DGE=180°-（∠BGD+∠EGF ），=180°-（∠BGD+∠BGC ），=180°-（180°-∠DCG ）÷2，=180°-（180°-45°）÷2，=112.5°，∴∠GHC=∠DGE ，∴△CHG ≌△EGD ，∴∠EDG=∠CGB=∠CBF ，∴∠GDH=90°-∠EDG ，∠GHD=∠BHC=90°-∠CGB ，∴∠GDH=∠GHD故②正确；∴∠GDH=∠GHD又∠EFB=22.5°,∴∠DHG=∠GDH=67.5°∴∠GDF=90°-∠GDH=22.5°=∠EFB,∴DG=GF,∴HG=DG=GF∴HF=2HG,显然CE≠HF=2HG,故①正确；∵△CHG ≌△EGD ，∴CHG EGD S S ∆∆=∴CHG DHG EGD DHG S S S S ∆∆∆∆+=+，即CDG DHGE S S △四边形＝而=EFG DHGE DHF S S S ∆+四边形△，故CDG DHF S S ≠△△故④不正确；结合前面条件易知等腰三角形有△ABD ，△CDB ，△BDF ，△CDE ，△BCG ，△DGH ，△EGF ，△CDG ，△DGF 共9个，∴③错误；故正确的有①②，有2个，故选：B【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．10．B解析：B【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义得出∠BAE =∠BEA ，得出AB =BE =AE ，得出②正确；由△ABE 是等边三角形得出∠ABE =∠EAD =60°，由SAS 证明△ABC ≌△EAD ，得出①正确；由S △AEC =S △DEC ，S △ABE =S △CEF 得出⑤正确；③和④不正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠EAD =∠AEB ，又∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE ，∴∠BAE =∠BEA ，∴AB =BE ，∵AB =AE ，∴△ABE 是等边三角形；②正确；∴∠ABE =∠EAD =60°，在△ABC 和△EAD 中，AB AE ABE EAD BC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△EAD （SAS ）；①正确；∵△FCD 与△ABC 等底（AB =CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），∴S △FCD =S △ABC ，又∵△AEC 与△DEC 同底等高，∴S △AEC =S △DEC ，∴S △ABE =S △CEF ；⑤正确．若AD 与BF 相等，则BF =BC ，题中未限定这一条件，∴③不一定正确；若S △BEF =S △ACD ；则S △BEF =S △ABC ，则AB =BF ，∴BF =BE ，题中未限定这一条件，∴④不一定正确；正确的有①②⑤．故选：B ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积关系；此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．二、填空题11．8【分析】通过作辅助线使得△CAO ≌△GBO ，证明△COG 为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG 后，即可求出BC 的长．【详解】如图，延长CB 到点G ，使BG=AC ．∵根据题意，四边形ABED 为正方形，∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°，∴∠1+∠2=90°又∵三角形BCA 为直角三角形，AB 为斜边，∴∠2+∠3=90°∴∠1＝∠3∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO ＝∠GBO ，在△CAO 和△GBO 中，CA GB CAO GBO AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩故△CAO ≌△GBO ，∴CO ＝GO=627=∠6，∵∠7+∠8=90°，∴∠6+∠8=90°，∴三角形COG 为等腰直角三角形，∴()()2222=6262CO GO ++， ∵CG=CB+BG ，∴CB=CG －BG=12－4=8，故答案为8．【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．12．4【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF 是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF ＝AP ，则EF 的最小值即为AP 的最小值，根据垂线段最短，知：AP 的最小值即等于直角三角形ABC 斜边上的高．【详解】解：连接AP ，∵在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，∴AB 2+AC 2＝BC 2，即∠BAC ＝90°．又∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，∴四边形AEPF 是矩形，∴EF ＝AP ，∵AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，设斜边上的高为h ，则S △ABC =1122BC h AB AC ⋅=⋅ ∴1153422h ⨯⋅=⨯⨯ ∴h=2.4，∴EF 的最小值为2.4，故答案为：2.4．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．13．5【分析】作BE ⊥AD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则四边形BEDF 是矩形，证明△ABE ≌△CBF （AAS ），得出BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，则四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，求出10，即可求得BD 的长．【详解】解：作BE ⊥AD 交DA 延长线于E ，BF ⊥CD 于F ，如图所示：则∠BEA=∠BFC=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形BEDF 是矩形，∴∠EBF=90°，∵∠ABC=90°，∴∠EBF=∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF ，在△ABE 和△CBF 中，BEA BFC ABE CBF AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （AAS ），∴BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，∴四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，∴BE=DE ，BE 2=10 cm 2，∴10(cm)，∴25．故答案为：5【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．14．15.5【分析】先根据折叠的性质可得,AE DE EAD EDA =∠=∠，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得B BDE ∠=∠，又根据等腰三角形的性质可得BE DE =，从而可得6DE AE BE ===，同理可得出5DF AF CF ===，然后根据三角形中位线定理可得1 4.52EF BC ==，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】由折叠的性质得：,AE DE EAD EDA =∠=∠AD 是BC 边上的高，即AD BC ⊥90B EAD ∴∠+∠=︒，90BDE EDA ∠+∠=︒B BDE ∴∠=∠BE DE ∴= 1112622DE AE BE AB ∴====⨯= 同理可得：1110522DF AF CF AC ====⨯= 又,AE BE AF CF ==∴点E 是AB 的中点，点F 是AC 的中点EF ∴是ABC 的中位线119 4.522EF BC ∴==⨯= 则DEF 的周长为65 4.515.5DE DF EF ++=++=故答案为：15.5．【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE DE =是解题关键．15．101-【分析】探究点E 的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．【详解】如图1中，当点M 与A 重合时，AE ＝EN ，设AE ＝EN ＝xcm ，在Rt △ADE 中，则有x 2＝32+（9﹣x ）2，解得x ＝5，∴DE ＝10﹣1-5＝4（cm ），如图2中，当点M 运动到MB ′⊥AB 时，DE ′的值最大，DE ′＝10﹣1﹣3＝6（cm ），如图3中，当点M 运动到点B ′落在CD 时， 22221310NB C N C B ''''=+=+=DB ′（即DE ″）＝10﹣1﹣10＝（9﹣10）（cm ），∴点E 的运动轨迹E →E ′→E ″，运动路径＝EE ′+E ′B ′＝6﹣4+6﹣（910101）（cm ）．101．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16．32【详解】解析：∵在正方形ABCD 中，AC=62∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45°设EF 与AD 交点为O ，O 是AD 的中点,∴AO=3以AD 为对角线的所有▱AEDF 中，当EF ⊥AC 时，EF 最小，即△AOE 是直角三角形，∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，OE=22OA=322， ∴EF=2OE=3217．6【分析】由折叠的性质可得∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S△ABC=S△AB'C=12cm2，可证点B，点A，点B'三点共线，通过证明四边形ACDB'是平行四边形，可得B'E=CE，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，S△ABC=1242⨯=12cm2，∵在同一平面内将△ABC沿AC翻折，得到△AB′C，∴∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S△ABC=S△AB'C=12cm2，∴∠BAB'=180°，∴点B，点A，点B'三点共线，∵AB∥CD，AB'∥CD，∴四边形ACDB'是平行四边形，∴B'E=CE，∴S△ACE=12S△AB'C=6cm2，故答案为：6．【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的判定和性质，证明点B，点A，点B'三点共线是本题的关键．18．120 13【分析】设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO和OH长，若MN最小，则MO最小即可，而O点到AC的最短距离为OH 长，所以MN最小值是2OH．【详解】解：设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，∵四边形MCNB是平行四边形，∴O为BC中点，MN＝2MO．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AO⊥BC．在Rt△AOC中，利用勾股定理可得AO2222135AC CO-=-12．利用面积法：AO×CO＝AC×OH，即12×5＝13×OH ，解得OH ＝6013． 当MO 最小时，则MN 就最小，O 点到AC 的最短距离为OH 长，所以当M 点与H 点重合时，MO 最小值为OH 长是6013． 所以此时MN 最小值为2OH ＝12013． 故答案为：12013． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．19．5【分析】先判断四边形BCEF 的形状，再连接FM FC 、，利用正方形的性质得出AFG 是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12MN FC =即可． 【详解】∵四边形ABCP 是边长为4的正方形，//EF BC ，∴四边形BCEF 是矩形，∵1PE =，∴3CE =，连接FM FC 、，如图所示：∵四边形ABCP 是正方形，∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，又∵N 是FC 中点，12MN FC =， ∵225FC BF BC =+=∴ 2.5MN =，故答案为：2.5 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．20．①②③⑤【分析】根据三角形中位线定理得到EF＝12AB，EF∥AB，根据直角三角形的性质得到DF＝12AC，根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断．【详解】∵E，F分别是BC，AC的中点，∴EF＝12AB，EF∥AB，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，∴∠ACD＝45°，∴∠BAC＝∠ACD，∴AB∥CD，∴EF∥CD，故①正确；∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，∴DF＝CF=12 AC，∵AB=AC，EF＝12 AB，∴EF＝DF，故②正确；∵∠CAD=∠ACD=45°，点F是AC中点，∴△ACD是等腰直角三角形，DF⊥AC，∠FDC=45°，∴∠DFC=90°，∵EF//AB，∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°，∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°，∴∠FED＝∠FDE＝22.5°，∵∠FDC＝45°，∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°，∴∠FDE=∠CDE，∴DE平分∠FDC，故③正确；∵AB＝AC，∠CAB＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∴∠DEC＝∠FEC﹣∠FED＝45°，故④错误；∵△ACD是等腰直角三角形，∴AC2=2CD2，∴CD，∵AB=AC ，∴AB ＝2CD ，故⑤正确；故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析（2）10【分析】（1）先证明AFE DBE ∆≅∆，得到AF DB =，AF CD =，再证明四边形ADCF 是平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到12AD DC BC ==，即可证明四边形ADCF 是菱形。
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平行四边形单元易错题难题测试综合卷检测试题一、选择题1．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在边BC、CD上，EF=时，AEF的面积是（）．∠=︒．当845EAFA．8 B．16 C．24 D．322．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．63．如图，正方形ABCD的周长是16，P是对角线AC上的个动点，E是CD的中点，则PE+PD的最小值为( )A．25B．23C．22D．44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F，若四边形DCFE的周长为18cm，AC的长6cm，则AD的长为（）A．13cm B．12cm C．5cm D．8cmAB=，点E在BC边上，点F在CD边上，连接AE、5．如图，正方形ABCD中，4EF 、AF ，下列说法：①若E 为BC 中点，1CF =，则90AEF ∠=︒；②若E 为BC 中点，90AEF ∠=︒，则1CF =；③若90AEF ∠=︒，1CF =，则点E 为BC 中点，正确的有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．36．下列命题：①一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组邻角相等的平行四边形是矩形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形．其中真命题个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．如图，四边形ABCD 是正方形，直线L 1、L 2、L 3，若L 1与L 2的距离为5，L 2与L 3的距离7，则正方形ABCD 的面积等于（ ）A ．70B ．74C ．144D ．1488．如图所示，在周长是10cm 的ABCD 中，AB AD ≠，AC 、BD 相交于点O ，点E 在AD 边上，且OE BD ⊥，是ABE △的周长是( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm9．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 相较于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，∠ADC ＝60°，AB ＝12BC ，连接OE ，下列结论：①∠CAD ＝30°；②·ABCD A S AB C =；③OA ＝OB ；④OE ＝14B C ．其中成立的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，2BD AD =，点E ，F ，G 分别是OA ，OB ，CD 的中点，EG 交FD 于点H ，下列4个结论中说法正确的有（ ）①ED CA ⊥；②EF EG =；③12FH FD =；④12EFD ACD S S =△△．A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②③④二、填空题11．在平行四边形ABCD 中，30,23,2A AD BD ∠=︒==，则平行四边形ABCD 的面积等于_____．12．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，3AB =，2AC =，则BD 的长为_______________．13．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，对角线长为1cm ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分的面积是_____．14．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③ABCD 19CEF S S ∆=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．15．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在边AD 、BC 上．将该纸片沿EF 折叠，使点A 的对应点G 落在边DC 上，折痕EF 与AG 交于点Q ，点K 为GH 的中点，则随着折痕EF 位置的变化，△GQK 周长的最小值为____．16．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．17．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．18．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝12AB ，运用：如图2，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED 连接BE ，CE ，DE ，则CE 的长为_____．19．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．20．如图，在平行四边形ABCD 中，53AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF BF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．22．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE ＝DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．23．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，12AC cm =，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由．24．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC ．（直接写出结果）25．在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上任意一点，连接,AE 过点B 作BF AE ⊥于F ，交AD 于H .()1如图1，过点D 作DG AE ⊥于G .求证:BF DG FG -=；()2如图2，点E 为CD 的中点，连接DF ，试判断,,DF FH EF 存在什么数量关系并说明理由；()3如图3，1AB =，连接EH ，点Р为EH 的中点，在点E 从点D 运动到点C 的过程中，点Р随之运动，请直接写出点Р运动的路径长.26．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE ＝，求证：CE CF ＝；拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠︒＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？ 运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠︒＝＝，16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠︒＝，4BE ＝，求DE 的长．27．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系；②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．28．已知：如下图，ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=，E 为BC 的中点，连接DE AE 、.若DC AE ，在DC 上取一点F ，使得DF DE =，连接EF 交AD 于O . （1）求证：EF DA ⊥.（2）若4,3BC AD ==EF 的长.29．问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点． 如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=︒∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．初步思考(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=︒，D 、E 为ABC 外两点，EB EC =，45EBC ∠=︒，DBC △为等边三角形．①点A 与点______关于BC 互为顶针点；②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由．实践操作(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)思维探究②如图4，点E是直线AB上的动点，点P是平面内一点，点E与点C关于BP互为勾股顶针点，直线CP与直线AD交于点F．在点E运动过程中，线段BE与线段AF的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE的长；若不相等，请说明理由．30．点E在正方形ABCD的边BC上，点F在AE上，连接FB，FD，∠ABF=∠AFB．（1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF；（2）如图2，过点F作垂线交AB于G，交DC的延长线于H，求证：DH=2 AG；（3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】如图：△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，可得AH=AF，∠BAH=∠DAF，进一步求出∠EAH=∠EAF=45°，再利用"边角边"证明△AEF和△AEH全等，再根据全等三角形的面积相等，即可解答.【详解】解：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，根据旋转的性质可得：AH=AF，∠BAH=∠DAF，∵∠EAF=45°，∠BAD=90°∴∠EAH=∠EAF=45°在△AEF和△AEH中AF=Aн∠EAH=∠EAF=45°，AE=AE ∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EH=EF=8，∴SAFE=S△A EH=-12×8×8=32.故选：D.【点睛】本题考查了正方形和全等三角形的判定与性质，熟记并灵活应用它们的性质并利用旋转作辅助线、构造出全等三角形是解题的关键.2．D解析：D【分析】连接AC、CE，CE交BD于P，此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案．【详解】解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP、PE，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC，AC⊥BD，即A和C关于BD对称，∴AP＝CP，即AP+PE＝CE，此时AP+PE的值最小，所以此时△PAE周长的值最小，∵正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，∴∠ABC＝90°，BE＝4﹣1＝3，由勾股定理得：CE＝5，∴△PAE的周长的最小值是AP+PE+AE＝CE+AE＝5+1＝6，故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质与轴对称——最短路径问题，知识点比较综合，属于较难题型. 3．A解析：A【解析】【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点.此时PE+PD=BE最小，而BE是直角△CBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果.【详解】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P'，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P'D=P'B，∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，即为BE的长度.∴直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=4，CE=12CD=2，∴224225BE=+=故选：A.【点睛】本题题考查了轴对称中的最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是解决此类问题的重要方法，找出P点位置是解题的关键4．C解析：C【分析】由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE=BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出四边形DCFE的周长=AB+BC，故BC=18-AB，然后根据勾股定理即可求得．【详解】∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥FC．BC＝2DE，又EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形；∴DC＝EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB ＝2DC ，∴四边形DCFE 的周长＝AB +BC ，∵四边形DCFE 的周长为18cm ，AC 的长6cm ，∴BC ＝18﹣AB ，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∴AB 2＝BC 2+AC 2，即AB 2＝（18﹣AB ）2+62，解得：AB ＝10cm ，∴AD ＝5cm ，故选C ．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．5．D解析：D【解析】【分析】正方形的边长相等，因为AB=4，所以其他三边也为4，正方形的四个角都是直角，①若E 为BC 中点，1CF =，则能求出AE 2+EF 2=AF 2，用勾股定理可得90AEF ∠=︒．②若E 为BC 中点，90AEF ∠=︒，用勾股定理列方程可求得CF ，③若90AEF ∠=︒，1CF =，用勾股定理列方程可求得BE ，【详解】解：①若E 为BC 中点，1CF =，∵AB=4，∴BE=CE=2，DF=3，∴AE 2=42+22=20，EF 2=22+12=5，AF 2=42+32=25，∴AE 2+ EF 2=AF 2，∴90AEF ∠=︒；故①正确，②若E 为BC 中点，90AEF ∠=︒，设CF x =；则DF=4-x.∴AE 2=42+22=20，EF 2=4+x 2，AF 2=42+（4-x ）2，∵90AEF ∠=︒∴∴AE 2+ EF 2=AF 2，∴20+4+ x 2=42+（4-x ）2解得x=1；即CF=1.③若90AEF ∠=︒，1CF =，则DF=3,设BE=x ，∴AE 2+ EF 2=AF 2，即42+x 2+1+（4-x ）2=42+32解得x=2，即BE=2，E 为BC 的中点.故①②③正确，答案选D.【点睛】本题考查了正方形的性质及勾股定理及勾股定理逆定理的应用，解题关键是应用勾股定理列方程并求解.6．B解析：B【分析】根据平行四边形的判定方法对①进行判断；根据矩形的判定方法对②进行判断即可；根据三角形中位线性质和菱形的判定方法对③进行判断；根据正方形的判定方法对④进行判断．【详解】解：①错误，反例为等腰梯形；②正确，理由一组邻角相等，且根据平行四边形的性质，可得它们都为直角，从而推得矩形；③正确，理由：得到的四边形的边长都等于矩形对角线的一半；④正确．故答案为B ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．判定一个命题的真假关键在于对基本知识的掌握．7．B解析：B【分析】先作出1l 与2l ，2l 与的3l 距离AE 、CF ，证明△ABE ≌△BCF ，得到BF=AE ，再利用勾股定理即可得到答案.【详解】过点A 作AE ⊥2l ,过点C 作CF⊥2l ,∴∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC,∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF,在△ABE 和△BCF 中，BAE CBF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ABE ≌△BCF ，∴BF=AE=5，在Rt △BCF 中，CF=7，BF=5，∴222225774BC BF CF =+=+=,∴正方形ABCD 的面积=274BC =,故选：B.【点睛】此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质定理，平行线之间的距离处处相等，题中证明两个三角形全等是解题的关键，由此将两个距离5和7变化到一个直角三角形中，由此利用勾股定理解决问题.8．D解析：D【分析】根据平行四边形的性质求出AB+AD=5cm,根据线段的垂直平分线求出BE=DE,求出ABE ∆的周长等于AB+AD ，代入求出即可．【详解】∵10ABCD C cm =∴=5AB AD cm +∵在ABCD 中，OB=OD ，OE BD ⊥∴EB=ED∴AEB CAB AE BE AB AE BE AB AD =++=++=+ ∴5AEB C cm =故选：D ．【点睛】本题主要考查的知识点是平行四边形对边相等的这条性质，结合线段的垂直平分线的性质来进行计算是解题的关键．9．C解析：C【分析】①先根据平行四边形的性质可得120,60,BAD ABC OA OC ∠=︒∠=︒=，再根据角平分线的定义可得60=︒∠BAE ，然后根据等边三角形的判定与性质可得AB AE BE ==，60AEB ∠=︒，又根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得30ACE CAE ∠=∠=︒，最后根据角的和差即可得；②由①已推得90BAC ∠=︒，再根据2ABCD ABC S S =即可得；③在Rt AOB 中，根据直角边小于斜边即可得；④在ABC中，利用三角形中位线定理可得12OE AB =，再根据12AB BC =即可得． 【详解】 四边形ABCD 是平行四边形，60ADC ∠=︒，120,60,BAD ABC OA OC ∴∠=︒∠=︒=，AE ∵平分BAD ∠，1602BAE BAD ∴∠=∠=︒， ABE ∴是等边三角形，,60AB AE BE AEB ∴==∠=︒， 12AB BC =， AB AE BE CE ∴===，ACE CAE ∴∠=∠，60AEB ACE CAE ∠=∠+∠=︒，30ACE CAE ∴∠=∠=︒，90,30BAC BAE CAE CAD BAD BAC ∴∠=∠+∠=︒∠=∠-∠=︒，则结论①成立， AB AC ∴⊥，122··2ABCD ABC AB AC AB AC S S ==⨯=∴，则结论②成立， 在Rt AOB 中，OA 是直角边，OB 是斜边， OA OB ∴<，则结论③不成立，,OA OC BE CE ==，OE ∴是ABC 的中位线，11112224OE AB BC BC ∴==⨯=，则结论④成立， 综上，结论成立的个数是3个，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握并灵活运用各判定定理与性质是解题关键．10．B解析：B【分析】由等腰三角形“三线合一”得ED ⊥CA ，根据三角形中位线定理可得EF=12AB ；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG=12CD ，即可得EF=EG ；连接FG ，可证四边形DEFG 是平行四边形，即可得FH=12FD，由三角形中位线定理可证得S△OEF=14S△AOB，进而可得S△EFD=S△OEF+S△ODE=316S▱ABCD，而S△ACD=12S▱ABCD，推出S△EFD12S△ACD，即可得出结论．【详解】连接FG，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，∵BD=2AD，∴OD=AD，∵点E为OA中点，∴ED⊥CA，故①正确；∵E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，∴EF∥AB，EF=12 AB，∵∠CED=90°，G是CD的中点，∴EG=12 CD，∴EF=EG，故②正确；∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥CD，EF=EG=DG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴FH=DH，即FH=12FD，故③正确；∵△OEF∽△OAB，∴S△OEF=14S△AOB，∵S△AOB=S△AOD=14S▱ABCD，S△ACD=12S▱ABCD，∴S△OEF=116S▱ABCD，∵AE=OE，∴S △ODE =12S △AOD =18S ▱ABCD ， ∴S △EFD =S △OEF +S △ODE =116S ▱ABCD +18S ▱ABCD 316=S ▱ABCD ， ∵12S △ACD 14=S ▱ABCD ， ∴S △EFD 12≠S △ACD ，故④错误； 综上，①②③正确；故选：B ．【点睛】 本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质等知识；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题关键．二、填空题11．43或23【分析】分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．【详解】解：过D 作DE AB ⊥于E ，在Rt ADE △中，30A ∠=︒，23AD =， 132DE AD ∴==，33AE AD ==， 在Rt BDE △中，2BD =，22222(3)1BE BD DE ∴=-=-=，如图1，4AB ∴=，∴平行四边形ABCD 的面积4343AB DE ===，如图2，2AB =，∴平行四边形ABCD 的面积2323AB DE ==⨯=，如图3，过B 作BE AD ⊥于E ，在Rt ABE △中，设AE x =，则23DE x =-，30A ∠=︒，33BE x =， 在Rt BDE △中，2BD =， 22232()(23)x x ∴=+-， 3x ∴=，23x =（不合题意舍去），1BE ∴=，∴平行四边形ABCD 的面积12323AD BE ==⨯=，如图4，当AD BD ⊥时，平行四边形ABCD 的面积43AD BD ==，故答案为：323【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．12．2【分析】首先由对边分别平行可判断四边形ABCD 为平行四边形，连接AC 和BD ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，通过证明△ADF ≌△ABC 来证明四边形ABCD 为菱形，从而得到AC 与BD 相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD 长度.【详解】解：连接AC 和BD ，其交点为O ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴∠ADF=∠ABE ，∵两纸条宽度相同，∴AF=AE ，∵90ADF ABE AFD AEB AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△ABE ，∴AD=AB ，∴四边形ABCD 为菱形，∴AC 与BD 相互垂直平分，∴BD=22242AB AO -=故本题答案为：42【点睛】本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.13．218cm 【分析】根据正方形的性质可以证明△AEO ≌CFO ，就可以得出S △AEO =S △CFO ，就可以求出△AOD 面积等于正方形面积的14，根据正方形的面积就可以求出结论． 【详解】解：如图：∵正方形ABCD 的对角线相交于点O ，∴△AEO 与△CFO 关于O 点成中心对称，∴△AEO ≌CFO ，∴S △AEO ＝S △CFO ，∴S △AOD ＝S △DEO +S △CFO ，∵对角线长为1cm ，∴S 正方形ABCD ＝1112⨯⨯＝12cm 2， ∴S △AOD ＝18cm 2， ∴阴影部分的面积为18cm 2． 故答案为：18cm 2． 【点睛】 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形的面积公式的运用，在解答时证明△AEO ≌CFO 是关键．14．①②④【分析】①根据折叠得△ABE ≌△AFE ，证明△EFC 是等腰三角形，得到∠EFC=∠ECF ，根据∠BEF=∠EFC+∠FEC ，得出∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，即可证明AE ∥FC ，故①正确；②根据四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，证明Rt △AFG ≌Rt △ADG ，得出∠FAG=∠GAD ，根据∠BAF+∠FAD=90°，推出∠EAF+∠FAG=45°，可得∠EAG=45°，根据全等得：BE=FE ，DG=FG ，即可得BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；③先求出S △ECG ，根据EF ：FG=2a ：3a =3：2，得出S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =2110a ，再根据S ABCD =a 2，得出S △CEF ：S △ABCD =2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误；④设正方形的边长为a ，根据勾股定理得，设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ，EG=2a +x ，再根据勾股定理求出x ，即可得出结论，故④正确．【详解】解：①由折叠可得△ABE ≌△AFE ，∴∠BEA=∠AEF ，BE=EF ，∵E 是BC 中点，∴BE=CE=EF ，∴△EFC 是等腰三角形，∴∠EFC=∠ECF ，∵∠BEF=∠EFC+∠FEC ，∴∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，∴AE ∥FC ，故①正确；②∵四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，∴AB=AF=AD ，∠B=∠D=∠AFG ，∴△AFG 和△ADG 是直角三角形，∴在Rt △AFG 和Rt △ADG 中 AF AD AG AG ==⎧⎨⎩， ∴Rt △AFG ≌Rt △ADG （HL ），∴∠FAG=∠GAD ，又∵∠BAF+∠FAD=90°，∴2∠EAF+2∠FAG=90°，即∠EAF+∠FAG=45°，∴∠EAG=45°，由全等得：BE=FE ，DG=FG ，∴BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；③对于Rt △ECG ，S △ECG =12×EC ×CG=12×2a ×23a =216a ， ∵EF ：FG=2a ：3a =3：2， 则S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =2110a ， 又∵S ABCD =a 2，则S △CEF ：S △ABCD =2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误； ④设正方形的边长为a ，∴AB=AD=AF=a ，BE=EF=2a =EC ，由勾股定理得， 设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ， EG=2a +x ， ∴EG 2=EC 2+CG 2，即（2a +x ）2=（2a ）2+（a-x ）2， 解得x=3a ，CG=23a ， 即AD=3DG 成立，故④正确．【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．15．3+35．【分析】取AB的中点M，连接DQ，QM，DM．证明QM＝QK，QG＝DQ，求出DQ＋QM的最小值即可解决问题．【详解】取AB的中点M，连接DQ，QM，DM．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝6，∠DAM＝∠ADG＝90°，∵AM＝BM＝3，∴DM2222+=+5，AB AM63∵GK＝HK，AB，GH关于EF对称，∴QM＝QK，∵∠ADG＝90°，AQ＝QG，∴DQ＝AQ＝QG，∵△QGK的周长＝GK+QG+QJ＝3+DQ+QM．又∵DQ+QM≥DM，∴DQ+QM≥5∴△QGK的周长的最小值为5，故答案为5【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、最值问题，解题的关键是取AB的中点M，确定QG＋QK＝QD＋QM，属于中考常考题型．16．1382+【分析】如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，首先利用正方形性质结合题意求出AD=CD=AG=DQ=1，然后进一步根据菱形性质得出DE=EF=DG=2，再后通过证明四边形NKQR是矩形得出22221382FN FR NR=+=+NS交ML于点Z，利用全等三角形性质与判定证明四边形FHMN为正方形，最后进一步求解即可.【详解】如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，∵ABCD为正方形，∴∠CDG=∠GDK=90°，∵正方形ABCD面积为1，∴AD=CD=AG=DQ=1，∴DG=CT=2，∵四边形DEFG为菱形，∴DE=EF=DG=2，同理可得：CT=TN=2，∵∠EFG=45°，∴∠EDG=∠SCT=∠NTK=45°，∵FE∥DG，CT∥SN，DG⊥CT，∴∠FQP=∠FRN=∠DQE=∠NKT=90°，∴2FQ=FE+EQ=22+∵∠NKT=∠KQR=∠FRN=90°，∴四边形NKQR是矩形，∴2，∴FR=FQ+QR=222=，+，NR=KQ=DK−2121∴2221382FN FR NR=+=+再延长NS交ML于点Z，易证得：△NMZ≅△FNR(SAS)，∴FN=MN，∠NFR=∠MNZ，∵∠NFR+∠FNR=90°，∴∠MNZ+∠FNR=90°，即∠FNM=90°，同理可得：∠NFH=∠FHM=90°，∴四边形FHMN为正方形，∴正方形FHMN的面积=21382FN=+故答案为：1382+【点睛】本题主要考查了正方形和矩形性质与判定及与全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.17．（-，0）【分析】先计算得到点D 的坐标，根据旋转的性质依次求出点D 旋转后的点坐标，得到变化的规律即可得到答案．【详解】∵菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，∴对角线的交点D 的坐标是（2,2），∴OD ==将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，旋转1次后坐标是（0，），旋转2次后坐标是（-2,2），旋转3次后坐标是（-，0），旋转4次后坐标是（-2，-2），旋转5次后坐标是（0，-旋转6次后坐标是（2，-2），旋转7次后坐标是（,0），旋转8次后坐标是（2,2）旋转9次后坐标是（0，由此得到点D 旋转后的坐标是8次一个循环，∵201982523÷=，∴第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为（-，0）故答案为：（-0）．【点睛】此题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角坐标系中点坐标的变化规律，根据点D 的坐标依次求出旋转后的坐标得到变化规律是解题的关键．18．13【分析】根据12•BC •AH ＝12•AB •AC ，可得AH ＝13，根据 12AD •BO ＝12BD •AH ，得OB ＝13，再根据BE ＝2OB ＝13，运用勾股定理可得EC ． 【详解】设BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，由勾股定理得：BC ＝13， ∵点D 是BC 的中点， ∴AD ＝DC ＝DB ＝13， ∵12•BC •AH ＝12•AB •AC ， ∴AH ＝61313， ∵AE ＝AB ，DE ＝DB ，∴点A 在BE 的垂直平分线上，点D 在BE 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分线段BE ，∵12AD •BO ＝12BD •AH ， ∴OB ＝613， ∴BE ＝2OB ＝1213， ∵DE ＝DB=CD ， ∴∠DBE=∠DEB ，∠DEC=∠DCE ，∴∠DEB+∠DEC=12×180°=90°，即：∠BEC=90°， ∴在Rt △BCE 中，EC ＝22BC BE - ＝221213(13)()13-=51313． 故答案为：513． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键．192【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠DAF=∠BAF=45°，再由矩形性质可得FC=ED=1，然后由勾股定理求出FG 即可．【详解】由折叠的性质可知，∠DAF=∠BAF=45°，∴AE=AD=3，EB=AB-AD=1，∵四边形EFCB 为矩形，∴FC=BE=1，∵AB ∥FC ，∴∠GFC=∠DAF=45°，∴GC=FC=1， ∴22112FG GC FC =+=+=，故答案为：2．【点睛】本题考查了折叠变换，矩形的性质是一种对称变换，理解折叠前后图形的大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解决此题的关键．20．102【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3，再根据BAD BEC ∠=∠证明BC=BE ，由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF ，即可求出平行四边形的面积.【详解】过点B 作BF CD ⊥于点F ，如图所示．∵AE 是BAD ∠的平分线，∴DAE BAE ∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴53CD AB BC AD BAD BCE AB CD ====∠=∠，，，∥， ∴BAE DEA ∠=∠，∴DAE DEA ∠=∠，∴3DE AD ==，∴2CE CD DE =-=．∵BAD BEC ∠=∠，∴BCE BEC ∠=∠，∴BC=BE,∴112CF EF CE ===， ∴22223122BF BC CF =-=-=∴平行四边形ABCD 的面积为225102BF CD ⋅=⨯=．故答案为：102.【点睛】此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性质、三线合一的性质，勾股定理.三、解答题21．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（2）21n ；（3）241n -【分析】（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题． （3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，n=1，∴AD=AB ，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB=∠B=90°，∵AF ⊥DE ，∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF ，∴△ADE ≌△BAF （ASA ），∴AE=BF ；②结论：AG=BF+AE ．理由：如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，由（1）可知AE=BK ，∵AH=AD ，AK ⊥HD ，∴∠HAK=∠DAK ，∵AD ∥BC ，∴∠DAK=∠AKG ，∴∠HAK=∠AKG ，∴AG=GK ，∵GK=GB+BK=BF+AE ，∴AG=BF+AE ；（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，当ME 的值最大时，NF 的值最小时，ME NF的值最大， 当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值()222na 1a n +=+，当NF ⊥AD 时，NF 的值最小，最小值=a ，∴ME NF 的最大值21a n +⋅21n +， 21n +；（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，∵AD ∥BH ，∴∠ADE=∠H ，∵AE=EB=k ，∠AED=∠BEH ，∴△AED ≌△BEH （ASA ），∴AD=BH=2kn ，∴CH=4kn ，∵∠ADE=∠EDF ，∠ADE=∠H ，∴∠H=∠EDF ，∴FD=FH ，设DF=FH=x ，在Rt △DCF 中，∵CD 2+CF 2=DF 2，∴(2k)2+(4kn-x)2=x 2， ∴2142n x k n+=⋅， ∴221441422n n CF kn k k n n +-=-⋅=⋅，241222n k BF kn k n n-=-⋅=， ∴22412412n k CF n n k BFn-⋅==-， 故答案为：241n -．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．22．（1）证明见解析；（2）能，10；（3）152，理由见解析； 【分析】（1）利用题中所给的关系式，列出CD ，DF ，AE 的式子，即可证明．（2）由题意知，四边形AEFD 是平行四边形，令AD=DF ，求解即可得出t 值．（3）由题意可知，当DE ∥BC 时，△DEF 为直角三角形，利用AD+CD=AC 的等量关系，代入式子求值即可．（1）由题意知：三角形CFD 是直角三角形∵∠B ＝90°，∠A ＝60°∴∠C=30°，CD=2DF ，又∵由题意知CD=4t ，AE=2t ，∴CD=2AE∴AE=DF ．（2）能，理由如下；由（1）知AE=DF又∵DF ⊥BC ，∠B ＝90°∴AE ∥DF∴四边形AEFD 是平行四边形．当AD=DF 时，平行四边形AEFD 是菱形∵AC ＝60cm ，DF=12CD ，CD=4t ， ∴AD=60-4t ，DF=2t ，∴60-4t=2t∴t=10．（3）当t 为152时，△DEF 为直角三角形，理由如下； 由题意知：四边形AEFD 是平行四边形，DF ⊥BC ，AE ∥DF ，∴当DE ∥BC 时，DF ⊥DE∴∠FDE=∠DEA=90°在△AED 中，∵∠DEA=90°，∠A ＝60°，AE=2t∴AD=4t ，又∵AC ＝60cm ，CD=4t ，∴AD+CD=AC ，8t=60，∴t=152． 即t=152时，∠FDE=∠DEA=90°，△DEF 为直角三角形． 【点睛】 本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质，正确掌握三角形、平行四边形及菱形的性质是解题的关键．23．（1）AE t =；122AD t =-；DF t =；（2）证明见解析；（3）3t =；理由见解析．【分析】（1）根据题意用含t 的式子表示AE 、CD ，结合图形表示出AD ，根据直角三角形的性质表（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）由题意得，AE t =，2CD t =，则122AD AC CD t =-=-，∵DF BC ⊥，30C ∠=︒，∴12DF CD t == （2）∵90ABC ∠=︒，DF BC ⊥，∴AB DF ， ∵AE t =，DF t =，∴AE DF =，∴四边形AEFD 是平行四边形；（3）当3t =时，四边形EBFD 是矩形，理由如下：∵90ABC ∠=︒，30C ∠=︒， ∴162BC AC cm ==， ∵BE DF ∥， ∴BE DF =时，四边形EBFD 是平行四边形，即6t t -=，解得，3t =，∵90ABC ∠=︒，∴四边形EBFD 是矩形，∴3t =时，四边形EBFD 是矩形．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定，掌握平行四边形、矩形的判定定理是解题的关键．24．（1）见解析；（2）222MN BN DM =+，理由见解析；（3）【分析】（1）由直角三角形的性质得AO=MO=12BE=BO=EO ，得∠ABO=∠BAO ，∠OBM=∠OMB ，证出∠AOM=∠AOE+∠MOE=2∠ABO+2∠MBO=2∠ABD=90°即可；（2）在AD 上方作AF ⊥AN ，使AF=AN ，连接DF 、MF ，证△ABN ≌△ADF （SAS ），得BN=DF ，∠DAF=∠ABN=45°，则∠FDM=90°，证△NAM ≌△FAM （SAS ），得MN=MF ，在Rt △FDM 中，由勾股定理得FM 2=DM 2+FD 2，进而得出结论；（3）作P 关于直线CQ 的对称点E ，连接PE 、BE 、CE 、QE ，则△PCQ ≌△ECQ ，∠ECQ=∠PCQ=135°，EQ=PQ=9，得∠PCE=90°，则∠BCE=∠DCP ，△PCE 是等腰直角三角形，得PE ，证△BCE ≌△DCP （SAS ），得∠CBE=∠CDB=∠CBD=45°，则∠EBQ=∠PBE=90°，由勾股定理求出BE=PE=6，即可得出PC 的长．【详解】解：（1）证明：四边形ABCD 是正方形，。