三章离散时间傅立叶变换DiscreteTimeFourierTransform

式中
X (e j ) X re (e j ) jX im (e j )
Re[X (e j )] Xre[e j ] FT xcs[n] 3.34
j Im[X (e j )] jXim[e j ] FT xca[n] 3.35
结论：序列的
共轭对称部分xcs(n)的傅立叶变换是X(ej)的实部。 共轭反对称部分xca(n)的傅立叶变换是X(ej)的虚部。
D.傅立叶变换的对称性表现为
（1） xn xre n jxim n 3.27
X (e j ) X cs (e j ) X ca (e j ) 3.30
则
X cs (e j ) FT xre[n] xre[n]e j n
3.32
n
X ca (e j ) FT jxim[n] j xim[n]e j n 3.33 n
X (e j ) X cs (e j ) X ca (e j ) 3.30
式中
X cs (e j )
1[X 2
(e j )
X
(e
j
)]
3.31a
X ca (e j )
1[X 2
(e
j
)
X
(e j )]
3.31b
对于序列x[n] ，也有同上面类似的概念和结论。
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
(e j)
d[n]e
jn
d[0]
1
n
• 例3.6—因果指数序列 x[n] n[n],
1
其DTFT 如下：
X (e j)
n[n]e
jn
ne
jn
n
n0
当 e j 1
ห้องสมุดไป่ตู้
(
e
n0
j )n
1 1 e
j
• X(ej) = 1/(1 – 0.5e-j)的幅度谱和相位谱
|X(ejω)|= |X(e-jω)|
• 3.2.1 定义
序列x[n]的离散时间傅立叶变换 (DTFT) X(ej)
X (e j )
x[n]e jn
n
x[n] 1 X (e j )e jnd
2
分析式:在原始信号中存 在多少复指数信号
综合式:能从任意信号的复 指数分量中综合出该信号
• 例3.5—单位抽样序列d[n]的 DTFT
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
2. 共轭对称性
A 共轭对称序列（函数）：
xcs n xcs n
Xcs (e
j
)
X
cs
(e
j
)
共轭对称序列（函数）实部是偶函数，虚部是奇函数
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
X (e j ) X re (e j ) jX im (e j )
实部
虚部
X re (e
j
)
1 2
X (e j ) X (e j )
Xim (e j )
1 2j
X (e j ) X (e j )
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
2. 共轭对称性
B 共轭反对称序列（函数）：
xca (n) xca (n)
X
ca
(e
j
)
X
ca
(e
j
)
共轭反对称序列（函数）实部是奇函数，虚部是偶函数
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
C 一般函数可分解为共轭对称分量和反共轭对称分量组 成，即：
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform 3.2.3 对称关系（Symmetry Relations）
1. 复序列
若xnF X (e j )
则 x n F X (e j ) 3.24 x n F X (e j ) 3.25 x n F X (e j ) 3.26
表3.1复序列的DTFT的对称关系(P102)
表3.2实序列的DTFT的对称关系(P104)
3.2.4 收敛条件（ Convergence Condition ）
X (e j)
x[n]e
j
n
n
上式中的无穷级数可能收敛也可能不收敛
1.一致收敛(uniform convergence)
设
X K (e j)
第三章
离散时间傅立叶变换
Discrete-Time Fourier Transform
主要内容：
1. 离散时间傅立叶变换——定义、性质、收 敛条件
2. DTFT定理 3. 离散时间序列的能量谱密度 4. 带限离散时间信号 5. Matlab 应用 6. 离散时间系统频率响应
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
一般序列实部对应的傅立叶变换具有共轭对称性质， 虚部（包括j）对应的傅立叶变换具有共轭反对称性质
结论：实序列的傅立叶变换具有共轭对称性, 虚数序列的傅立叶变换具有共轭反对称性
D.傅立叶变换的对称性表现为
（2） x[n] xcs[n] xca[n]
K
x[n]e
j
n
nK
当 lim X (e j) X K (e j) 0
K
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
因为
• X (e j ) X (e j ) e j ()2k X (e j ) e j ()
对于所有的ω值，相位函数 () 不能唯一确定
因此，相位函数取值范围设为
称为主值区间 （principal value ）
X(ej)又可写成： X (e j ) X (e j ) e j ()
其中θ(ω) = arg X(ejω) 相位谱 phase spectra
X (e j ) 幅度谱magnitude spectra
•若序列x[n]是实序列，则 X(ejω) 和 Xre(ejω) 是ω的
偶函数， 和 Xim(ej )是ω的奇函数
θ(ω)=-θ(-ω)
• X(ej)是ω的连续周期函数，周期是2π
X (e j(2k ) ) x[n]e j(2k )n X (e j ) n
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform • 3.2.2 基本性质
•一般情况下, X(ej) 实变量 的复函数