平面向量典例解析

(a a) b ，则向量 a 与 c 的夹角为（ (a b)
π 3
D.0
）.
A.
π 2
B.
π 6
C.
21 若平面四边形 ABCD 满足 AB CD 0,( AB AD) AC 0 ， 则该四边形一定是 （ 直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形

1 1 3. m n
训练（一）
1 向量 a (1,2),b ( x,1), （1）当 a 2b 与 2a b 平行时，求 x ；
（2）当 a 2b 与 2a b 垂直时，求 x .
1
2已知 a 、 求| a 3 b | 60 ， b 均为单位向量， 它们的夹角为
o




3 已知 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD 2 DB ， CD r AB s AC ，求 r s 的值





4 设非零向量 a 、 b 、 c 满足 | a || b || c |,a b c ，求向量 a 、 b 的夹角；
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4 2 ,0
B
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12 5 , ) 13 13
12 5 , ) 13 13
）
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2
B
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(6,3)
D
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12 5 12 5 , ) 或 ( , ) 13 13 13 13 16 向量 a (2,3) ， b (1, 2) ，若 ma b 与 a 2b 平行，则 m 等于
B． ( A
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12 ,5) 13
2 2 2
2
2；
3
（6）在 ABC 中，若 ( AB AC) ( AB AC) 0 ，则 ABC 是等腰三角形 （7）向量 A 2 B
AB | AB |
3
是与 AB 同向共线的单位向量 C 4 D 5
11 设点 G 是 ABC 的重心， GA = a， GB = b，且 CA x a+ y b，则 x y A 1 B 2 C 3 D 4
4 已知 OM (3,1), ON (5,1) ，则 A
(2,4)
1 MN 的坐标是 2
B
(1,2)
C
( 4,1)
D （-4，1）
5 已知 a=（2，1），b=（ x ，-2），且 a+ b 与 2a- b 平行，则 x 的值是 A -6 B 6 C -4 D 4 6 在边长为 2 的正三角形 ABC 中， BC AC AC AB AB BC =（ ）
4 已知 A(2,0) ， B(0,2) ， C (cos , sin ) ， (0 ) . （1）若 | OA OC | 7 （ O 为坐标原点），求 OB 与 OC 的夹角； （2）若 AC BC ，求 tan 的值.
5 若 PQ 过△ ABO 的重心 G ，且 OA a, OB b, OP ma, OQ nb, 求证：
平面向量典例解析
1 已知 e1 , e 2 不共线，若 a 3e1 4e2 ， b 6e1 k e2 ，且 a // b ，求 k 的值
2 若 m, n 是夹角为 60 的两个单位向量，求向量 a 2m n 和 b 3m 2n 的夹角

3 非零不共线向量 OA, OB ,且 2OP xOA yOB , PA AB ,求 x+y 的值
5 已知向量 a 、 b 满足：| a |=1，| b |=2，| a b |=2，求| a b |
6 已知向量 a=(,2), b=(－3,5),若 a 与 b 的夹角是钝角,求实数的取值范围
π π 7 已知向量 a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－ ＜θ＜ ． 2 2 （Ⅰ）若 a⊥b，求 θ； （Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值．
F B E A
训练（三）
1 已知下列命题： ①若向量 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c ； ②若 a ＞ b ，则 a ＞ b ； ③若 a b 0 ，则 a = 0 或 b = 0 ； ④在△ ABC 中，若 AB CA 0 ，则△ ABC 是钝角 其中正确命题的个数是（ D.3 ）.

） .A.
22 如图, E、F、G、H 分别是四边形 ABCD 的所在边的中点,
若 ( AB BC) ( BC CD) 0 ，则四边形 EFGH 是 (
A
G D H
C
) 平行四边形但不是矩形 B 正方形 C 菱形 D 矩形
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(4,2)
B
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8 已知 a=（-2，-1），b=（1，2）
2
求（1）a 在 b 方向上的投影 （2）与 a 垂直的单位向量的坐标
训练（二）
1 已知 ABCDEF 是正六边形，且 AB a, AE b,则 CD =（ A
1 (a - b ) 2
）
1 (a+ b ) 2
B
1 ( b - a ) 2
C a +
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1 2
D
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1 2
( )
17 若平面向量 b 与向量 a (2,1) 平行，且 | b | 2 5 ，则 b A
A 6 B -6 C 2 D -2 7 设 e1,e2 是夹角为 60 的单位向量，则向量 2e1+ e2 与向量 2e2 -3e1 的夹角是（ 30 B 60 120 A C D 150 8 设 a,b 是夹角为 60的单位向量，则|2a-b|的值是 A
7
）
B
3
C
10
D
4
9 若 a 与 b－c 都是非零向量，则“a·b=a·c”是“a⊥（b－c）”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 10 下列命题中正确的个数是（ ） （1） AB AC BC ；（2） AB BC CA 0， （3）若点 G 是 ABC 的重心，那么 GA GB GC 0； （4）|a| =a （5）（a b） = a b
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16, 0
D
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4,0
4
20 若向量 a 与 b 不共线， a b 0 ，且 c a
2 7 8 B C． D．1 3 9 9 6 已知 a 、 b 是不共线的 AB a b AC a b ( , R) ，则 A 、 B 、 C 三点共线
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(4,2) 或 (4,2)
( )
18．已知 a 3 ， b 4 ，且（ a +k b ）⊥（ a k b ），则 k 等于 A．






4 3
B．
3 4
C．
3 5
D．
4 5
)
19.向量 a (cos , sin ) ,向量 b ( 3,1) 则 | 2a b | 的最大值，最小值分别是( A
1 b 2
D
2 设正方形 ABCD 的 DC 边的中点为 E， AB = a， AD = b，则 BE =（ ） A a +
1 b 2
B
1 a +b 2
C a -
1 b 2
D b -
1 a 2
3 设点 G 是 ABC 的重心， GA = a， GB = b，且 CA x a+ y b，则 x y A 1 B 2 C 3 D 4
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4, 4 2
C
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2



4 已知向量 OC =（2，2）， CA ( 2 cos a, 2 sin a) ，则向量 OA 的模的最大值是 A．3 B3 2 C． 2 D．18


5 在△ABC 中 AR 2RB, CP 2PR, 若AP m AB n AC, 则m n
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2
C
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（a b) c a (b c ) . 三角形；⑤
A.0 B.1 C.2
2 已知点 H 是三角形 ABC 的垂心，且 HA HB 3 ,则 BH HC 的值为 A 3 B 2 C 0 D -1
3 设点 M 是线段 BC 的中点， 点 A 在直线 BC 外，BC 16, AB AC AB AC 则AM （A）8 （B）4 （C） 2 （D）1
12 在 ABC 中， BC CA CA AB AB BC ，则 ABC 的形状是 A 等腰三角形 B 等边三角形 C 直角三角形 D 等腰直角三角形 13 已知 a=（-2，-1），b=（，1），若 a 与 b 的夹角为钝角，则实数的范围是 A
1 ( ,2) (2, ) B (2,) 2
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(4,2)
C
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C
1 ( , ) 2
aa a b
D
1 ( , ) 2
14 若向量 a 与 b 不共线， a b 0 ,且 c a (
)b ，则向量 a, c 的夹角是
A
0
B
6
C
3
D
2
（ C． ( ） D． ( （
15 与向量 d (12,5) 平行的单位向量为 A． (