有限元分析中的一些问题

有限元分析的一些基本考虑-----单元形状对于计算精度的影响
笔者发现，在分析复杂问题时，我们所可能出现的错误，竟然是一些很根本的错误，这些根本错误是由于对有限元的基本理论理解不清晰而造成的。

鉴于这个原因，笔者决定对一些基本问题（例如单元形状问题，单元大小问题，应力集中问题等）展开调查，从而形成了一系列文章，本篇文章是这些系列文章中的第一篇。

本篇文章先考虑有限元分析中的第一个基本问题：单元形状问题。

我们知道，单元形状对于有限元分析的结果精度有着重要影响，而对单元形状的衡量又有着诸多指标，为便于探讨，这里首先只讨论第一个最基本的指标：长宽比（四边形单元的最长尺度与最短尺度之比），而且仅考虑平面单元的长宽比对于计算精度的影响。

为此，我们给出一个成熟的算例。

该算例是一根悬臂梁，在其端面施加竖直向下的抛物线分布载荷，我们现在考察用不同尺度的单元划分该梁时，对于A点位移的影响。

这五种不同的划分方式，都使用矩形单元，只不过各单元的长宽比不同。

例如第一种（1）AR=1.1，就是长宽比接近1；
第二种（2）AR=1.5,就是长宽比是1.5.其它类推。

第五种（5）AR=24，此时单元的长度是宽度的24倍。

现在我们看看按照这五种单元划分方式对于A点位移的影响，顺便我们也算出了B点的位移，结果见下表。

我们现在仔细查看一下上表，并分析其含义。

我们先考虑第一行，它是第一种单元划分情况，此时每个单元的长宽比是1.1，由此我们计算出A点，B点的垂直位移，可以看到，A点的竖直位移是-1.093英寸，而B点的竖直位移是-0.346英寸。

而这两点我们都是可以用弹性力学的方式得到精确解的，其精确解分别是-1.152以及-0.360.这样，我们可以得到此时A点位移误差的百分比是
[(-1.093)-(-1.152)]/1.152 = 5.2%.
对于其它情况，也采用类似的方式得到A点位移误差的百分比。

从上表可以看出来，随着长宽比的增加，位移误差越来越大，竟然大到56%。

因此，如果我们是用长宽比为24的单元进行划分的话，那么我们的结果可以说是完全错误的。

下面按照上表绘制出一张图，该图从形象的角度表达了上表的含义。

由此可见，长宽比越接近于1，那么结算结果越精确，越远离1，则误差越大。

因此我们在进行有限元分析时，应该尽量保证划分的单元长宽比接近1，这意味着，如果我们使用了四边形单元，则最好是正方形单元；如果使用了三角形单元，则最好是等边三角形。

当然，对于一个复杂的零件而言，我们很难保证每个单元都满足这些要求，但是，我们一定要确保，在我们所关注的地方，例如应力最大的地方，单元形状要接近这一点，否则，我们得到的解就是不可相信的。

但是上述结果也告诉我们，即便是最好形状的单元（情况1，长宽比为1.1），结果的计算精度也不容乐观，其误差达到5.2%,那么，我们可以得到更高精度的解答吗？
可以。

这需要单元的细分，下一篇博文中将会详细说明这一点。

有限元分析的一些基本考虑---单元大小对于计算精度的影响
有限元分析一定可以得到问题的精确解吗？
理论上可以证明，如果插值函数使用了“协调和完整的位移函数”，则当网格尺寸逐渐减小而单元数量增加时，解就会单调收敛。

而且，当单元数目增加时，得到的刚度会降低，并收敛于真实刚度；这就意味着，当单元增加时，得到的位移增加，而收敛于精确位移解。

其图形如下：
这里所说的“协调和完整位移函数”，是指：
1.近似函数式一般是多项式。

2.近似函数在单元内要保持连续。

3.近似函数应提供单元间的连续性，包括离散单元每一个节点所有自由度都应该是连续的，二维单元和三维单元沿着公共边界线和公共面必须是连续的。

既能够保证单元内的连续，又能够保证单元间的连续的形函数称为协调函数。

4.近似函数应考虑刚体位移和单元内的常应变状态。

即有常数项保证刚体运动（无应变的运动），而有一次项保证有常应变状态发生。

这是形函数的完整性问题。

例如，对于一维单元而言，若取形函数
则同时满足上面四个条件，称为协调且完整的位移函数。

一般来说，我们所用的单元使用的位移函数都满足上述四个条件，所以从理论上来说，只要网格加密，就可以收敛于真实解。

为了验证上述理论的真实性，我们选用了一个材料力学中的例子来做仿真。

该例子如下
使用材料力学的理论进行求解，简要过程如下
使用ANSYS进行分析，使用BEAM188单元，首先创建如图所示的几何模型
然后分别对各段直线加密网格划分，得到的结果如下
上表中，第一列是划分的单元数，第二列是最大的压应力，第三列是最大的拉应力。

可以看到，随着单元数目的增加，最大拉伸，压缩应力的绝对值都在增加。

从材料力学得到的精确解，最大的压应力是-46.2MPa, 最大的拉应力是28.8MPa。

这样，当单元数增加到64个时，压应力的误差是（46.2-45.7）/46.2 =1.1%; 拉应力的精度是（28.8-28.6)/28.8=0.7%.此时精度已经相当高了。

可以明显的看出，随着单元数目的增加，应力解的确是在逐渐逼近真实解。

从这个方面来说，加密网格的确是提高计算精度的有效方法。

这也意味着，我们在有限元仿真中，如果要得到精确的结果，必须不断细分网格，直到结果收敛。

否则，我们的得到结果就是不可信的。

那么，对于任何问题，只要网格无限细分，一定可以收敛于真实解吗？
未必。

下一篇文章将阐述此问题。

有限元分析中的一些问题--应力集中结果的可信性
对于任意的几何模型，网格细分就一定能够得到真实解吗？这是每一个CAE分析工程师都关注的问题。

如果结构中没有应力集中，答案是肯定的。

如果结构中存在应力集中，则结果未必会收敛。

为了说明这一点，我们选取了一个平面应力问题。

它是一个角支座，其图形及尺寸如下。

在角支座上钻了两个孔，现在我们固定左上边的孔，而在右下方孔的第四象限半圆上施加压力。

并通过不断的加密网格来考虑计算结果的可信性。

生成的有限元模型如下
固定左上边的孔，并对右下方孔施加右下方向的压力，当单元尺寸取5mm时候，应力云图如下
可见，此时最大应力发生在拐角处，是34.383MPa.
单元尺寸全局细分到3mm，结果是
最大应力是44.44MPa.
单元尺寸全局细分到1mm，结果是
最大应力是74.004MPa.
单元尺寸全局细分到0.4mm，结果是
最大应力是112.873MPa.
可见，结果并没有收敛的趋势。

如果我们进一步细分网格，会发现数据无限增大，不会收敛。

实际上，理论证明，在该拐角处如果是直角，而没有倒圆角的话，应力集中系数会趋向无穷大，所以在实践设计中绝对禁止出现这种直角。

这也意味着，如果我们在有限元分析前进行模型简化时，绝不可轻易将一些倒角随便删除，否则会出现奇怪的结果。