大学物理C1第七章振动

Ao2
- A2
-A1
x1 反相
T
x2
t
7.3 简谐振动的描述 超前和落后
若Δϕ = ϕ 2-ϕ 1>0, 则 x2比x1较早达到正最大, 称 x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后)。 超前、落后以<π 的相位角来判断
x
A1
x1
A2
T
o
- A2
x2
t
-A1
2 超前于1
7.3 简谐振动的描述 三.旋转矢量法
x0 = Acosϕ v0 = − Aω sinϕ
解得
A=
x02
+
v02 ω2
=
x2
+
v2 ω2
7.3 简谐振动的描述 2.角频率ω 、周期T、频率ν 角频率ω：由系统本身决定的常数，与初始条件无关。
周期T：物体作简谐振动周而复始完全振动一次所需 的时间。 频率ν：表示单位时间内物体完成全振动的次数。
7.5 简谐振动的合成
几何方法
ω y
v A
=
v A1
+
v A2
ω
v
平行四边形整体旋
A v
A2 sinϕ2 转，其对角线为简谐振
振动系统动能：
Ek
=
1 2
mv 2
=
1 2
mA2ω 2
sin 2 (ω
t
+ϕ)
=
1 2
kA2
sin 2 (ω
t
+ϕ)
7.4 简谐振动的能量
o
μ=0 x
x
以弹簧振子所在水平面为重力势能零点
振动系统势能：
EP
=
1 2
kx 2
=
1 2
kA2
cos2 (ω
t
+ϕ)
振动系统机械能：
E
=
Ep
+
Ek
=
1 2
kA 2
− ϕ0 ω
x-t 图象为振动曲线
7.3 简谐振动的描述
二.简谐振动的特征量
初相
x = Acos(ωt + ϕ )
振幅
角频率
1. 振幅A
振幅A：物理量离开平衡位置的最大距离| xmax | 。
表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。
x = Acos(ω t + ϕ ) t = 0 由 v = − Aω sin(ω t + ϕ )
a
=
d2 x dt2
=
− Aω 2
cos(ωt
+ϕ)
作简谐振动的物体的位移、速度和加速度 均随时间周期性变化。
7.3 简谐振动的描述 一.简谐振动的图像
x = Acos(ωt + ϕ ) v = − Aω sin(ωt + ϕ ) = Aω cos(ωt + ϕ + π )
2 a = − Aω 2 cos(ωt + ϕ ) = Aω 2 cos(ωt + ϕ + π )
3
那么两次通过x＝－2cm处，即时
间由0到t矢量间夹角为 2π ，所以
3 2π
t = 3 ×T = T = 2 (s)
2π
33
t=0
2π 3 -2
t
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x (cm)
小结：熟练运用旋转矢量法解决问题
7.4 简谐振动的能量 无阻尼弹簧振子系统
o
μ=0 x
x
以平衡位置为坐标原点
{x = Acos(ω t + ϕ0 ) v = − Aω sin(ω t + ϕ0 )
ω 4. 分析振动的合成（下面讲）
7.3 简谐振动的描述
例2 一质点在x轴上作简谐振动，振幅A＝4cm，周期T
＝2s，其平衡位置取坐标原点。若t＝0时刻质点第一次 通过x＝－2cm处，且向x轴负方向运动，再过多久质点 第二次通过x＝－2cm处？
解：由旋转矢量法作图
v
由图可知质点振动的初相为 2π ，
ϕ = arctg(− v0 ) ωx0
或
} cosϕ = x0 A sinϕ = − v0
由cosϕ大小和sinϕ的符号决定ϕ
Aω
7.3 简谐振动的描述
(3)相位差
⎧ ⎨ ⎩
x1 x2
= =
Acos(ω t Acos(ω t
+ ϕ1) + ϕ2 )
Δϕ = (ω t + ϕ2 ) − (ω t + ϕ1 ) = ϕ2 −ϕ1
=
恒量
孤立谐振动系统机械能守恒
7.4 简谐振动的能量
E-t 曲线
能量随时间的变化
E-x 曲线
能量随空间的变化
Ek
,
E
变化频率为
p
x
的2倍
Ek , Ep彼此变化步调相反
7.4 简谐振动的能量
例3 一个弹簧振子，弹簧的劲度系数k=25N/m,当物
体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时，求： (1)振幅； (2)位移是多大时势能和动能相等？ (3)位移是振幅的一半时，势能是多少？
x
x
r A
(0
)
A
ωϕ ω t+ϕ 相位
1
t
r A
(t
)
x(t)
0
振幅矢量
1
0
t
2
绕O点以角速度 ω 逆时针旋转的矢量 Ar(t )，在x
轴上的投影正好描述了一个简谐振动。
7.3 简谐振动的描述
3. 比较同频率简谐振动的步调
ω
N
A2ϕ2 Aϕ1 1 M OQ P
x
点Q的振动比点P的振动超前 相位： Δϕ = ϕ 2-ϕ 1 时间： Δt = ϕ2 − ϕ1
解：(1)由孤立谐振动系统机械能守恒可知
得振幅为：
E
=
EK0
+
E P0
=
1 kA2 2
A = 2(EK0 + EP0 ) = 2(0.2 + 0.6) = 0.253(m)
k
25
7.4 简谐振动的能量
(2)由题意 所以位移为
EP
=
1 2
kx 2
=
E 2
x=
E =
k
EK0 + EP0 = k
0.2 + 0.6 = 0.179 (m) 25
ϕ =π 2
ω
x<0
x>0
v<0
v<0
ϕ =π
ϕ=0 x
x<0
x>0
v>0
v>0
ϕ = 3π 2
7.3 简谐振动的描述
利用旋转矢量
1. 画出振动曲线图
x
x
2 1 t=0s
3
11
4
5 67
10 O
9
8
36 9
12 t
理解振动曲线与旋转矢量之间的关系
7.3 简谐振动的描述
2. 求初相和相位 x = Acos(ωt + ϕ )
离系统平衡 位置的位移
系统本身决定的常数
7.2 简谐振动的定义
二.简谐振动的微分方程
由回复力： F = −kx
由牛顿第二定律：F
=
ma
=
m
d2x dt 2
令 k = ω 2得 m
d2 x dt2
+
k m
x
=
0
d2 dt
x
2
+
ω
2
x
=
0
7.2 简谐振动的定义
三.简谐振动的运动方程
d2 x dt 2
+
判
任何一个物理量如果是时间
据 x = Acos(ω t +ϕ) 的余弦（或正弦）函数，那
3
么该物理量作简谐振动。
任何运动， 任何物理量
7.2 简谐振动的定义
例1：木块 m 放置在光滑水平面，两弹簧完全相同，
且最初处于原长状态。若将木块沿水平方向拉离O 点，然后放手，证明木块沿水平面的运动为简谐振动。
A端点的加速度在ox上的投影
谐振动
振幅 角频率
初相 振动周期
相位 位移 速度
加速度
符号或表达式
A ω ϕ T=2π/ω ωt+ϕ x=Acos(ωt+ϕ) v=-ωAsin(ωt+ϕ)
a=-ω2Acos(ωt+ϕ)
7.3 简谐振动的描述 旋转矢量法优点：
{直观地表达谐振动的各特征量 便于解题,特别是确定初相 便于振动合成
ω
2
x
=
0
求解得运动方程： x = Acos(ωt + ϕ )
积分常数
思考 运动方程可否用正弦函数描述？二者均可
利用函数关系 cos(ωt + ϕ ) = sin(ωt + ϕ + π )
并令 ϕ′ = ϕ + π
2
2
运动方程变形为：x = Asin(ωt + ϕ ′)
一般采用余弦函数描述简谐振动的运动方程
r A t=t
ω t+ϕ0 o
· ϕ0 x
ω ω
r A t = 0x
x = A cos(ω t + ϕ0)
x = A cos(ωt + ϕ )
v = dx
dt
vx = −v sin(ωt + ϕ )= −ωR sin(ωt + ϕ )
a
=
d2 x dt 2
ax = −an cos(ωt + ϕ )= −ω 2 R cos(ωt + φ )
7.1 简谐振动的模型 回顾中学内容：简谐振动模型
弹簧振子
集中弹性
k
M
集中质量
μ=0
m弹 <<M, m弹略去不计
弹簧振子的回复力：
弹性力 F = −kx 弹簧的形变量
弹簧的劲度系数
7.1 简谐振动的模型
单摆 无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动
单摆的回复力：
F = −mg sinθ
mg = k
当θ 很小时 sinθ ≈ θ
基本要求
1. 掌握简谐振动的定义（回复力、动力学方程和 运动学方程） 2. 掌握简谐振动的特征量，振动曲线 3. 掌握并熟练应用旋转矢量法分析解决有关简谐振 动的问题 4. 理解简谐振动的能量 5. 掌握同方向同频率简谐振动的合成 6. 了解拍现象，互相垂直简谐振动的合成 7. 了解阻尼振动和受迫振动
θl
T
Fm
重力的切 向分力
F = −kθ
角位移
mg
mg，由系统决定
7.2 简谐振动的定义
一.回复力
k
r FM
o
μ=0 x
x
回复力和物体惯性交互作用形成简谐振动
总与质点相对于平衡位置的位移成正比，方向指向平衡位置的力。
以平衡位置为坐标原点，x表示质点相对于原点的位 移，回复力为：
注意 准弹性力
F = −kx
三者关系 Acos(ωt +ϕ) = Acos[ω(t +T)+ϕ]
固有角频率 ωT = 2π ω —— 描述振动的快慢
T = 2π ω
固有周期
ν
=
1 T
=
ω 2π
固有频率
7.3 简谐振动的描述
3.相位ωt+ϕ，初相ϕ (1)相位：确定振动系统在任意瞬时运动状态（任 意瞬时的位移和速度）的物理量。
(ωt+ϕ)与状态参量 x ,v有一一对应的关系
第三篇 振动和波动
振动和波动是横跨物理学不同领域的一种非常 普遍而重要的运动形式，振动和波的基本原理是声 学、光学、电工学等科学技术部门的理论基础
共同特征：运动在时间、空间上的周期性 •振动:任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化 •波动:振动在空间的传播
掌握振动的规律是研究波动的前提
第七章 振动
(3)当x = A时，势能为
2
EP
=
1 2
k(
A)2= 2
1 8
kA2=
1 4
E=
0.2
(J)
小结：掌握能量表达式及其与振动物理量间的关系
7.5 简谐振动的合成 一.同一直线上同频率谐振动的合成
解析方法：设两个振动具有相同频率，同
一直线上运动，有不同的振幅和初相位 结论：
x1(t ) = A1 cos(ωt + ϕ1 ) x2 (t ) = A2 cos(ωt + ϕ2 )
x = Acos(ω t + ϕ ); v = − Aω sin(ω t + ϕ )
例： 当ω t
+ϕ
=
π
时：
x=
A,
v=−
3 Aω
3
2
2
质点在x=A/2处以速度v向-x方向运动
当ω t + ϕ
=
5 π 时： 3
x
=
A, 2
v=
3 Aω 2
质点在x=A/2处以速度v向+x方向运动
7.3 简谐振动的描述
x(t ) = x1(t) + x2(t )
的仍
= ( A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 )cosωt
简然 谐是
− ( A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 ) sinωt
振同
合振幅 = Acosϕ ⋅ cosωt − Asinϕ ⋅ sinωt
动频 率
= Acos(ωt + ϕ )
式中：A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) ϕ = arctan A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2
m
kF m k
o
x
Fo
x
解：假设弹簧劲度系数为k，由胡克定律
F1 = F2 = −kx ⇒ F = 2F = −2kx
令k′=2k，则
F = −k′x
所以根据回复力定义得证。
7.2 简谐振动的定义 四.简谐振动物体的速度和加速度
由 x = Acos(ω t + ϕ ) 得
v = d x = − Aω sin(ωt + ϕ ) dt
(ωt+ϕ)每变化2π整数倍, x、v重复原来的值（ 回到原状态）, 能直观、方便地反映出谐振动的 周期性特征。 可以方便地利用相位差比较同频率谐振动的步调
(2)初相ϕ：描述t=0 时刻运动状态，由初始条件确定。
相位 ω t + ϕ ⎯⎯t=0→ϕ 初相位
则
x0 = Acosϕ v0 = − Aω sinϕ
同频率简谐振动的相位差等于其初相差
7.3 简谐振动的描述
注意 同相、反相；超前、落后。
同相和反相
当Δϕ = ±2kπ (k =0,1,2,…), 两振动步调相同,称同相
x
A1 A2
x2 x1
同相 T
o
t
- A2
-A1
x
当Δϕ = ±(2k+1)π (k =0,1,2,…), A1
两振动步调相反,称反相
7.2 简谐振动的定义 简谐振动的定义
代表式
文字表述
适用范围
判 据 Fx = −kx
1
凡物体所受回复力与位移成 正比且反向时，物体的运动 是简谐振动。
只适用于机 械运动
判 据
d2 x dt 2
+
ω
2
x
=
0
任何一个物理量对时间的二 阶导数与其本身成正比且反 号时，该物理量按简谐振动
2
规律变化。
任何运动， 任何物理量
ωt + φ
v
t
an ωt φ 0
t =0
x
= −ωAsin(ωt + ϕ ) = −ω 2 Acos(ωt + ϕ )
7.3 简谐振动的描述 用旋转矢量A在坐标轴上的投影描述简谐振动
旋转矢量A与简谐振动的对应关系
旋转矢量A
模 角速度 t=0时，A与ox夹角 旋转周期 t时刻，A与ox夹角 A在ox上的投影 A端点的速度在ox上的投影