高二数学课件 立体几何平面的基本性质课件 9.1平面的基本性质 9.1.3
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B AC
平面ABC
平面的基本性质
推论1:经过一条直线和这条直线外 的一点，有且只有一个平面.
BC
Aa
平面的基本性质 推论2:经过两条相交直线，有且只 有一个平面.
b
a P
平面的基本性质 推论3:经过两条平行直线，有且只 有一个平面.
b
a
练习
（1）三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，
最多确定的平面数是___3____; 四条直线相交于一点呢?_____6________。
D1
•C1
A1 D
A
B1
O•
•M
C
B
二、证明三线共点问题：
例题3：四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在
CD上，H在AD上，且DF：FC=2：3，DH：HA=2：3， 求证：EF、GH、BD交于一点。
A
G H
B
D
O
F E
C
证明三线共点的方法： 证明两直线的交点在第三直线上，而第三直线又
三个公理及推论的应用
2020年11月23日星期一
平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的两个点在 平面内,那么这条直线上所有的点 都在这个平面内.
AB
平面的基本性质
公理2:如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其他的公共点，且所 有的这些点的集合是一条过这个点 的直线
l
P
平面的基本性质 公理3:经过不在同一条直线上的三 个点，有且只有一个平面.
D1 P
A1
C1 B1
MD A
C BN
D1 P A1
D A
M
C1
B1
C N B
D1 A1 P
D
A
M
C1 B1
C N B
四、证明共面问题
例5、直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C， 判断这三条直线是否共面，并说明理由。(如图)
解：这三条直线共面，因为直线AB和直线AC相交于点A，所以直线AB和AC确定一 个 平面α.(推论2)
因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC α (公理1)
因此直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面.
解法二:因为A在直线BC外，所以过点A和直线BC确定
平面α.(推论1)，因为A∈α，B∈BC，所以B∈α.故AB α， 同理AC α，所以AB，AC，BC共面.
解法三:因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A， B，C三点可以确定平面α.(公理3)因为A∈α，B∈α，所以
AB α.(公理1)同理BC α，AC α，所以AB，BC，
CA三直线共面.
证共面问题：可先由公理3（或推论）证某些元素确定一个平面，再证其余元素都在 此平面内；或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内，再证两个平面重合．
题目变型：求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。
方法一：利用公理3
Ａ
方法二：利用推论１
看看答案吧
（2) 两个平面可以把空间分成__3_或__4___部分， 三个平面呢?__4_，__6__，__7_或__8_____。
看看答案吧
应用：
一、证明三点共线问题：
例1.设平行四边形ABCD的各边和对角线所在的直线与平
面依次相交于A1, B1,C1, D1, E1, F1,求证 : A1, B1,C1, D1, E1,
方法三：利用推论２
Ｂ
Ｃ
练习证明两两相交而不通过同一点的四条直线 必在同一平面内。
分析：
（1）直线a、b、c、d两两相交，不过同一点且无三线共点。 设直线a、b相交点A，a、c相交点C，b、c相交点B
B
M C
N d
c A
a b
（2）若有三线共点，设相交于点A
A D
BC
d
a b
c
五、【小结】
1.三个公理的符号表示及其作用 2.公理3的三个推论： 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且 只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 3.公理3及其三个推论的作用是确定平面 4.证明若干个点、线共面的方法． (先证其中某些点、线确定一个平面,再证剩余点、 线落在此平面内)
2个平面分空间有两种情况：
（1）两平面没有公共点时
（2）两平面有公共点时
两个平面把空间分成3或4个部分。
3个平面把空间分成4，6，7或8个部分。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
F1在同一条直线上.
A B
D
C
l F1
D1 B1 E1 C1
A1
证明三点共线的方法： [1]先由两点确定一条直线，然后证明另一个点也在此直线上； [2]证明三点在两平面的交线上；
例2.如图所示正方体ABCD A1B1C1D1中 对角线A1C与平面BDC1交于点O, AC, BD 交于点M ,求证 : C1,O, M三点共线.
3条直线相交于一点时：
（1）、3条直线共面时
（2）、每ห้องสมุดไป่ตู้条直线确定一平面时
三条直线相交于一点，用其中的两条确 定平面，最多可以确定3个。
4条直线相交于一点时：
（1）、4条直线全共面时 （2）、有3条直线共面时
（c）、每2条直线都确定 一平面时
三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，最多可以确 定6个。
往往是两平面的交线
三、画平面交线问题
已知：直线a∥b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C
求证：a,b,c,l共面
证明：∵a∥b
a、b确定平面α
又∵a∩l=A,b∩l=B,
lα
a
l
C
A
B
b
c
同理b、c确定平面β,且lβ
而l、bα,l、bβ,lb B
α 与 β 重 合
∴a,b,c,l共面
在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 画出过M、N、P三点的截面。
平面ABC
平面的基本性质
推论1:经过一条直线和这条直线外 的一点，有且只有一个平面.
BC
Aa
平面的基本性质 推论2:经过两条相交直线，有且只 有一个平面.
b
a P
平面的基本性质 推论3:经过两条平行直线，有且只 有一个平面.
b
a
练习
（1）三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，
最多确定的平面数是___3____; 四条直线相交于一点呢?_____6________。
D1
•C1
A1 D
A
B1
O•
•M
C
B
二、证明三线共点问题：
例题3：四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在
CD上，H在AD上，且DF：FC=2：3，DH：HA=2：3， 求证：EF、GH、BD交于一点。
A
G H
B
D
O
F E
C
证明三线共点的方法： 证明两直线的交点在第三直线上，而第三直线又
三个公理及推论的应用
2020年11月23日星期一
平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的两个点在 平面内,那么这条直线上所有的点 都在这个平面内.
AB
平面的基本性质
公理2:如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其他的公共点，且所 有的这些点的集合是一条过这个点 的直线
l
P
平面的基本性质 公理3:经过不在同一条直线上的三 个点，有且只有一个平面.
D1 P
A1
C1 B1
MD A
C BN
D1 P A1
D A
M
C1
B1
C N B
D1 A1 P
D
A
M
C1 B1
C N B
四、证明共面问题
例5、直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C， 判断这三条直线是否共面，并说明理由。(如图)
解：这三条直线共面，因为直线AB和直线AC相交于点A，所以直线AB和AC确定一 个 平面α.(推论2)
因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC α (公理1)
因此直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面.
解法二:因为A在直线BC外，所以过点A和直线BC确定
平面α.(推论1)，因为A∈α，B∈BC，所以B∈α.故AB α， 同理AC α，所以AB，AC，BC共面.
解法三:因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A， B，C三点可以确定平面α.(公理3)因为A∈α，B∈α，所以
AB α.(公理1)同理BC α，AC α，所以AB，BC，
CA三直线共面.
证共面问题：可先由公理3（或推论）证某些元素确定一个平面，再证其余元素都在 此平面内；或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内，再证两个平面重合．
题目变型：求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。
方法一：利用公理3
Ａ
方法二：利用推论１
看看答案吧
（2) 两个平面可以把空间分成__3_或__4___部分， 三个平面呢?__4_，__6__，__7_或__8_____。
看看答案吧
应用：
一、证明三点共线问题：
例1.设平行四边形ABCD的各边和对角线所在的直线与平
面依次相交于A1, B1,C1, D1, E1, F1,求证 : A1, B1,C1, D1, E1,
方法三：利用推论２
Ｂ
Ｃ
练习证明两两相交而不通过同一点的四条直线 必在同一平面内。
分析：
（1）直线a、b、c、d两两相交，不过同一点且无三线共点。 设直线a、b相交点A，a、c相交点C，b、c相交点B
B
M C
N d
c A
a b
（2）若有三线共点，设相交于点A
A D
BC
d
a b
c
五、【小结】
1.三个公理的符号表示及其作用 2.公理3的三个推论： 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且 只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 3.公理3及其三个推论的作用是确定平面 4.证明若干个点、线共面的方法． (先证其中某些点、线确定一个平面,再证剩余点、 线落在此平面内)
2个平面分空间有两种情况：
（1）两平面没有公共点时
（2）两平面有公共点时
两个平面把空间分成3或4个部分。
3个平面把空间分成4，6，7或8个部分。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
F1在同一条直线上.
A B
D
C
l F1
D1 B1 E1 C1
A1
证明三点共线的方法： [1]先由两点确定一条直线，然后证明另一个点也在此直线上； [2]证明三点在两平面的交线上；
例2.如图所示正方体ABCD A1B1C1D1中 对角线A1C与平面BDC1交于点O, AC, BD 交于点M ,求证 : C1,O, M三点共线.
3条直线相交于一点时：
（1）、3条直线共面时
（2）、每ห้องสมุดไป่ตู้条直线确定一平面时
三条直线相交于一点，用其中的两条确 定平面，最多可以确定3个。
4条直线相交于一点时：
（1）、4条直线全共面时 （2）、有3条直线共面时
（c）、每2条直线都确定 一平面时
三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，最多可以确 定6个。
往往是两平面的交线
三、画平面交线问题
已知：直线a∥b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C
求证：a,b,c,l共面
证明：∵a∥b
a、b确定平面α
又∵a∩l=A,b∩l=B,
lα
a
l
C
A
B
b
c
同理b、c确定平面β,且lβ
而l、bα,l、bβ,lb B
α 与 β 重 合
∴a,b,c,l共面
在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 画出过M、N、P三点的截面。