高二数学课件 立体几何平面的基本性质课件 9.1平面的基本性质 9.1.3
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B AC
平面ABC
平面的基本性质
推论1:经过一条直线和这条直线外 的一点,有且只有一个平面.
BC
Aa
平面的基本性质 推论2:经过两条相交直线,有且只 有一个平面.
b
a P
平面的基本性质 推论3:经过两条平行直线,有且只 有一个平面.
b
a
练习
(1)三条直线相交于一点,用其中的两条确定平面,
最多确定的平面数是___3____; 四条直线相交于一点呢?_____6________。
D1
•C1
A1 D
A
B1
O•
•M
C
B
二、证明三线共点问题:
例题3:四面体ABCD中,E、G分别为BC、AB的中点,F在
CD上,H在AD上,且DF:FC=2:3,DH:HA=2:3, 求证:EF、GH、BD交于一点。
A
G H
B
D
O
F E
C
证明三线共点的方法: 证明两直线的交点在第三直线上,而第三直线又
三个公理及推论的应用
2020年11月23日星期一
平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的两个点在 平面内,那么这条直线上所有的点 都在这个平面内.
AB
平面的基本性质
公理2:如果两个平面有一个公共点, 那么它们还有其他的公共点,且所 有的这些点的集合是一条过这个点 的直线
l
P
平面的基本性质 公理3:经过不在同一条直线上的三 个点,有且只有一个平面.
D1 P
A1
C1 B1
MD A
C BN
D1 P A1
D A
M
C1
B1
C N B
D1 A1 P
D
A
M
C1 B1
C N B
四、证明共面问题
例5、直线AB、BC、CA两两相交,交点分别为A、B、C, 判断这三条直线是否共面,并说明理由。(如图)
解:这三条直线共面,因为直线AB和直线AC相交于点A,所以直线AB和AC确定一 个 平面α.(推论2)
因为B∈AB,C∈AC,所以B∈α,C∈α,故BC α (公理1)
因此直线AB,BC,CA都在平面α内,即它们共面.
解法二:因为A在直线BC外,所以过点A和直线BC确定
平面α.(推论1),因为A∈α,B∈BC,所以B∈α.故AB α, 同理AC α,所以AB,AC,BC共面.
解法三:因为A,B,C三点不在一条直线上,所以过A, B,C三点可以确定平面α.(公理3)因为A∈α,B∈α,所以
AB α.(公理1)同理BC α,AC α,所以AB,BC,
CA三直线共面.
证共面问题:可先由公理3(或推论)证某些元素确定一个平面,再证其余元素都在 此平面内;或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内,再证两个平面重合.
题目变型:求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。
方法一:利用公理3
A
方法二:利用推论1
看看答案吧
(2) 两个平面可以把空间分成__3_或__4___部分, 三个平面呢?__4_,__6__,__7_或__8_____。
看看答案吧
应用:
一、证明三点共线问题:
例1.设平行四边形ABCD的各边和对角线所在的直线与平
面依次相交于A1, B1,C1, D1, E1, F1,求证 : A1, B1,C1, D1, E1,
方法三:利用推论2
B
C
练习证明两两相交而不通过同一点的四条直线 必在同一平面内。
分析:
(1)直线a、b、c、d两两相交,不过同一点且无三线共点。 设直线a、b相交点A,a、c相交点C,b、c相交点B
B
M C
N d
c A
a b
(2)若有三线共点,设相交于点A
A D
BC
d
a b
c
五、【小结】
1.三个公理的符号表示及其作用 2.公理3的三个推论: 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且 只有一个平面 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 3.公理3及其三个推论的作用是确定平面 4.证明若干个点、线共面的方法. (先证其中某些点、线确定一个平面,再证剩余点、 线落在此平面内)
2个平面分空间有两种情况:
(1)两平面没有公共点时
(2)两平面有公共点时
两个平面把空间分成3或4个部分。
3个平面把空间分成4,6,7或8个部分。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
F1在同一条直线上.
A B
D
C
l F1
D1 B1 E1 C1
A1
证明三点共线的方法: [1]先由两点确定一条直线,然后证明另一个点也在此直线上; [2]证明三点在两平面的交线上;
例2.如图所示正方体ABCD A1B1C1D1中 对角线A1C与平面BDC1交于点O, AC, BD 交于点M ,求证 : C1,O, M三点共线.
3条直线相交于一点时:
(1)、3条直线共面时
(2)、每ห้องสมุดไป่ตู้条直线确定一平面时
三条直线相交于一点,用其中的两条确 定平面,最多可以确定3个。
4条直线相交于一点时:
(1)、4条直线全共面时 (2)、有3条直线共面时
(c)、每2条直线都确定 一平面时
三条直线相交于一点,用其中的两条确定平面,最多可以确 定6个。
往往是两平面的交线
三、画平面交线问题
已知:直线a∥b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C
求证:a,b,c,l共面
证明:∵a∥b
a、b确定平面α
又∵a∩l=A,b∩l=B,
lα
a
l
C
A
B
b
c
同理b、c确定平面β,且lβ
而l、bα,l、bβ,lb B
α 与 β 重 合
∴a,b,c,l共面
在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 画出过M、N、P三点的截面。
平面ABC
平面的基本性质
推论1:经过一条直线和这条直线外 的一点,有且只有一个平面.
BC
Aa
平面的基本性质 推论2:经过两条相交直线,有且只 有一个平面.
b
a P
平面的基本性质 推论3:经过两条平行直线,有且只 有一个平面.
b
a
练习
(1)三条直线相交于一点,用其中的两条确定平面,
最多确定的平面数是___3____; 四条直线相交于一点呢?_____6________。
D1
•C1
A1 D
A
B1
O•
•M
C
B
二、证明三线共点问题:
例题3:四面体ABCD中,E、G分别为BC、AB的中点,F在
CD上,H在AD上,且DF:FC=2:3,DH:HA=2:3, 求证:EF、GH、BD交于一点。
A
G H
B
D
O
F E
C
证明三线共点的方法: 证明两直线的交点在第三直线上,而第三直线又
三个公理及推论的应用
2020年11月23日星期一
平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的两个点在 平面内,那么这条直线上所有的点 都在这个平面内.
AB
平面的基本性质
公理2:如果两个平面有一个公共点, 那么它们还有其他的公共点,且所 有的这些点的集合是一条过这个点 的直线
l
P
平面的基本性质 公理3:经过不在同一条直线上的三 个点,有且只有一个平面.
D1 P
A1
C1 B1
MD A
C BN
D1 P A1
D A
M
C1
B1
C N B
D1 A1 P
D
A
M
C1 B1
C N B
四、证明共面问题
例5、直线AB、BC、CA两两相交,交点分别为A、B、C, 判断这三条直线是否共面,并说明理由。(如图)
解:这三条直线共面,因为直线AB和直线AC相交于点A,所以直线AB和AC确定一 个 平面α.(推论2)
因为B∈AB,C∈AC,所以B∈α,C∈α,故BC α (公理1)
因此直线AB,BC,CA都在平面α内,即它们共面.
解法二:因为A在直线BC外,所以过点A和直线BC确定
平面α.(推论1),因为A∈α,B∈BC,所以B∈α.故AB α, 同理AC α,所以AB,AC,BC共面.
解法三:因为A,B,C三点不在一条直线上,所以过A, B,C三点可以确定平面α.(公理3)因为A∈α,B∈α,所以
AB α.(公理1)同理BC α,AC α,所以AB,BC,
CA三直线共面.
证共面问题:可先由公理3(或推论)证某些元素确定一个平面,再证其余元素都在 此平面内;或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内,再证两个平面重合.
题目变型:求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。
方法一:利用公理3
A
方法二:利用推论1
看看答案吧
(2) 两个平面可以把空间分成__3_或__4___部分, 三个平面呢?__4_,__6__,__7_或__8_____。
看看答案吧
应用:
一、证明三点共线问题:
例1.设平行四边形ABCD的各边和对角线所在的直线与平
面依次相交于A1, B1,C1, D1, E1, F1,求证 : A1, B1,C1, D1, E1,
方法三:利用推论2
B
C
练习证明两两相交而不通过同一点的四条直线 必在同一平面内。
分析:
(1)直线a、b、c、d两两相交,不过同一点且无三线共点。 设直线a、b相交点A,a、c相交点C,b、c相交点B
B
M C
N d
c A
a b
(2)若有三线共点,设相交于点A
A D
BC
d
a b
c
五、【小结】
1.三个公理的符号表示及其作用 2.公理3的三个推论: 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且 只有一个平面 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 3.公理3及其三个推论的作用是确定平面 4.证明若干个点、线共面的方法. (先证其中某些点、线确定一个平面,再证剩余点、 线落在此平面内)
2个平面分空间有两种情况:
(1)两平面没有公共点时
(2)两平面有公共点时
两个平面把空间分成3或4个部分。
3个平面把空间分成4,6,7或8个部分。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
F1在同一条直线上.
A B
D
C
l F1
D1 B1 E1 C1
A1
证明三点共线的方法: [1]先由两点确定一条直线,然后证明另一个点也在此直线上; [2]证明三点在两平面的交线上;
例2.如图所示正方体ABCD A1B1C1D1中 对角线A1C与平面BDC1交于点O, AC, BD 交于点M ,求证 : C1,O, M三点共线.
3条直线相交于一点时:
(1)、3条直线共面时
(2)、每ห้องสมุดไป่ตู้条直线确定一平面时
三条直线相交于一点,用其中的两条确 定平面,最多可以确定3个。
4条直线相交于一点时:
(1)、4条直线全共面时 (2)、有3条直线共面时
(c)、每2条直线都确定 一平面时
三条直线相交于一点,用其中的两条确定平面,最多可以确 定6个。
往往是两平面的交线
三、画平面交线问题
已知:直线a∥b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C
求证:a,b,c,l共面
证明:∵a∥b
a、b确定平面α
又∵a∩l=A,b∩l=B,
lα
a
l
C
A
B
b
c
同理b、c确定平面β,且lβ
而l、bα,l、bβ,lb B
α 与 β 重 合
∴a,b,c,l共面
在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 画出过M、N、P三点的截面。