高三数学寒假作业专题08数列定义及其性质的应用(背)

高三数学寒假作业 专题08 数列定义及其性质的应用（背）

1.数列的概念 (1)定义

按照一定顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项. 数列与函数的关系

数列可以看成以正整数集*N （或它的有限子集{1,2,,}n ⋅⋅⋅）为定义域的函数()n

a f n =，当自变量按照从

小到大依次取值时所对应的一列函数值.

反过来，对于函数()y f x =，如果()(1,2,3,)y f i i ==⋅⋅⋅有意义，那么我们可以得到一个数列

(1),(2),(3),,(),f f f f n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

(3)数列的通项公式 如果数列

{}n a 的第n 项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

(4)数列的分类 数列的递推公式 如果已知数列

{}

n a 的第1项（或前n 项），且任何一项

n

a 与它的前一项

1

n a -（或前几项）间的关系可以用

一个式子来表示，即1()

n n a f a -=或

12(,)

n n n a f a a --=，那么这个式子叫做数列

{}

n a 的递推公式.

3.

n

a 与

n

S 的关系

若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则

11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨

-≥⎩ 4.两种特殊数列

定义：

（1）等差数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差用通常的字母d 表示.

数学语言表达式：

*

1()n n a a d n N +-=∈，d 为常数. （2）等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比用通常的字母q （0q ≠）表示.

数学语言表达形式：1

n n a q a +=(0q ≠)，q 为常数.

通项公式

等差数列的通项：等差数列

{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则其通项公式为1(1)n a a n d =+-.

等比数列的通项：等比数列{}n b 的首项为1b ，公比为q (0q ≠)，则其通项公式为1

1n n b b q -=(0q ≠).

前n 项和公式

等差数列：若已知等差数列

{}n a 的首项1a 和末项n a ，公差是d .则前n 项和

11()1

(1)22n n n a a S na n n d +=

=+-.

备注：两个公式根据所给的已知条件选用，渗透方程的思想. 等比数列：若已知等比数列

{}n b 的首项为1b ，n b .公比为q (0q ≠).则前n 项和

1111(1)(1)

(1)11n n n nb q T b b b q q q q -=⎧⎪

=--⎨=≠⎪--⎩

备注：两个公式根据所给的已知条件选用，渗透方程的思想.

常用性质（以下*

,,,m n p q N ∈）

等差数列 等比数列

等差中项：11

2n n n a a a -+=+ 等比中项：

211

n n n b b b -+=

通项推广：()n m a a n m d

=+-

通项推广：n m

n m b b q -=

若

m n p q +=+则m n p q a a a a +=+

若

m n p q +=+则m n p q b b b b =

数列,2,,k k m k m a a a ++⋅⋅⋅

.的公差为md

数列,2,,k k m k m b b b ++⋅⋅⋅

.的公比是m q

数列

232,,,m m m m m S S S S S --⋅⋅⋅也是等差数列 数列

232,,,m m m m m T T T T T --⋅⋅⋅也是的等比数列（公

比不为1）

21(21)n n

S n a -=-

若数列

{},{}n n b c （项数相同）是等比数列，则

2

1{}(0),{},{},{},{}

n n n n n n n

a b a a b c b λλ≠仍是等比数列

若n 为偶数，则

-=

2nd

S S 奇偶； 若n 为奇数，则-S S 奇偶

=中间项.

两类特殊问题

解决与数列周期性有关的题目，关键是找出数列的周期.

求数列最大项的方法：①判断{}n a 的单调性；②解不等式组11n n n n a a a a -+≥⎧⎨

≥⎩，求数列最小项依此类推.

常用方法 1.由递推式求通项

n a 的方法：

1()n n a a f n +-=型，采用累加法；

1

()n n

a f n a +=型，采用累乘法；

1(0)

n n a pa q p +=+≠型，采用待定系数法转化为等比数列解决.

2.等差数列的两种证明方法： （1）

1n n a a d

+-=； （2）

11(2)

n n n n a a a a n +--=-≥.

3.等比数列的判断那方法：

(1)定义法；（2）中项公式法；（3）通项公式法；（4）前n 项和公式法. 注意：要关注公比为1的情况以及项为零的情况. 两点提醒： 1.

n 的范围是否包括了首项或超过了范围.

2.应用等比求和时要关注公比q

的情况，加强对所写的的代数式的存在性的判断.