高三数学寒假作业专题08数列定义及其性质的应用(背)

高三数学寒假作业 专题08 数列定义及其性质的应用（背）
1.数列的概念 (1)定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项. 数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集*N （或它的有限子集{1,2,,}n ⋅⋅⋅）为定义域的函数()n
a f n =，当自变量按照从
小到大依次取值时所对应的一列函数值.
反过来，对于函数()y f x =，如果()(1,2,3,)y f i i ==⋅⋅⋅有意义，那么我们可以得到一个数列
(1),(2),(3),,(),f f f f n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(3)数列的通项公式 如果数列
{}n a 的第n 项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
(4)数列的分类 数列的递推公式 如果已知数列
{}
n a 的第1项（或前n 项），且任何一项
n
a 与它的前一项
1
n a -（或前几项）间的关系可以用
一个式子来表示，即1()
n n a f a -=或
12(,)
n n n a f a a --=，那么这个式子叫做数列
{}
n a 的递推公式.
3.
n
a 与
n
S 的关系
若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则
11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩ 4.两种特殊数列
定义：
（1）等差数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差用通常的字母d 表示.
数学语言表达式：
*
1()n n a a d n N +-=∈，d 为常数. （2）等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比用通常的字母q （0q ≠）表示.
数学语言表达形式：1
n n a q a +=(0q ≠)，q 为常数.
通项公式
等差数列的通项：等差数列
{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则其通项公式为1(1)n a a n d =+-.
等比数列的通项：等比数列{}n b 的首项为1b ，公比为q (0q ≠)，则其通项公式为1
1n n b b q -=(0q ≠).
前n 项和公式
等差数列：若已知等差数列
{}n a 的首项1a 和末项n a ，公差是d .则前n 项和
11()1
(1)22n n n a a S na n n d +=
=+-.
备注：两个公式根据所给的已知条件选用，渗透方程的思想. 等比数列：若已知等比数列
{}n b 的首项为1b ，n b .公比为q (0q ≠).则前n 项和
1111(1)(1)
(1)11n n n nb q T b b b q q q q -=⎧⎪
=--⎨=≠⎪--⎩
备注：两个公式根据所给的已知条件选用，渗透方程的思想.
常用性质（以下*
,,,m n p q N ∈）
等差数列 等比数列
等差中项：11
2n n n a a a -+=+ 等比中项：
211
n n n b b b -+=
通项推广：()n m a a n m d
=+-
通项推广：n m
n m b b q -=
若
m n p q +=+则m n p q a a a a +=+
若
m n p q +=+则m n p q b b b b =
数列,2,,k k m k m a a a ++⋅⋅⋅
.的公差为md
数列,2,,k k m k m b b b ++⋅⋅⋅
.的公比是m q
数列
232,,,m m m m m S S S S S --⋅⋅⋅也是等差数列 数列
232,,,m m m m m T T T T T --⋅⋅⋅也是的等比数列（公
比不为1）
21(21)n n
S n a -=-
若数列
{},{}n n b c （项数相同）是等比数列，则
2
1{}(0),{},{},{},{}
n n n n n n n
a b a a b c b λλ≠仍是等比数列
若n 为偶数，则
-=
2nd
S S 奇偶； 若n 为奇数，则-S S 奇偶
=中间项.
两类特殊问题
解决与数列周期性有关的题目，关键是找出数列的周期.
求数列最大项的方法：①判断{}n a 的单调性；②解不等式组11n n n n a a a a -+≥⎧⎨
≥⎩，求数列最小项依此类推.
常用方法 1.由递推式求通项
n a 的方法：
1()n n a a f n +-=型，采用累加法；
1
()n n
a f n a +=型，采用累乘法；
1(0)
n n a pa q p +=+≠型，采用待定系数法转化为等比数列解决.
2.等差数列的两种证明方法： （1）
1n n a a d
+-=； （2）
11(2)
n n n n a a a a n +--=-≥.
3.等比数列的判断那方法：
(1)定义法；（2）中项公式法；（3）通项公式法；（4）前n 项和公式法. 注意：要关注公比为1的情况以及项为零的情况. 两点提醒： 1.
n 的范围是否包括了首项或超过了范围.
2.应用等比求和时要关注公比q
的情况，加强对所写的的代数式的存在性的判断.。