高考数学一轮复习 基本不等式及其应用(1)导学案 文

高考数学一轮复习基本不等式及其应用（1）

导学案文

文知识梳理：

1、基本不等式(1)重要不等式:如果a,b ,那么+2ab、当且仅当a=b时,等号成立、(2)基本不等式: 如果a,b>0、那么可以表述为两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数、

2、重要结论：（1）a+2 （a）1（2）a+2（a）1（3）、（4）、+ab+bc+ca （5）、（ a,b>0、）（6）、+

3、如果a,b ,那么(不等式证明选讲内容)

二、题型探究探究一：利用基本不等式求最值：例1：（1）x,y ,x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值；（2）x,y , xy=P（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2即：和定，积最大；积定，和最小。应用基本不等式的条件：（1）、一正：各项为正数；（2）、二正：“和”或“积”为定值；（3）、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。例1：解答下列问题（1）已知x ，求x+ 的最小值；（2）已知

0 ，求函数f(x)=x(8-3x)的最大值；（3）求函数y=（4）已知x ，且x+y=1，求+。探究二：基本不等式的实际应用在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：（1）、先理解意，设变量时一般把要求的最值的变量定为函数；（2）、建立相应的函

数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；（3）、在定义域内，求出函数的最值；（4）、正确写了答案。例2：某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/ 平方米,房屋侧面的造价为150元/ 平方米,屋顶和地面的造价费用合计5800元，如果墙高为3米，且不房屋背面的费用。（1）、把房屋总选价y表示为x的函数，并写出该函数的定义域；（2）、当侧面的长度为多少时？房屋的总造价最低，最低造价是多少？

三、方法提升基本不等式（也称均值定理）具有将“和式”，“积式”相互转化的功能，应用比较广泛，为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三人条件（三要素）正（各项或各因式为正值）、定（“和”或“积”为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件），简称“一正，二定，三相等”，这三个条件缺一不可，当然还要牢记结论：和定，积最大；积定，和最小。但是在具体问题中，往往所给的条件并非“标准”的“一正，二定，三相等”，（或隐藏在所给条件中），所以要对各项或各式作适应的变形，通过凑，拆，添项等技巧，对“原始”条件进行调整、转化，使其符合标准的正、定、等。如果等号在变形的时候不成立，这时可以改用“对勾函数”来解决不能应用基本不等式求解的情形。

四、反思感悟

五、课时作业

1、(xx年高考重庆卷)已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是(

)

A、2

B、2

C、4

D、5解析：选

C、∵＋＋2≥＋2≥2＝

4、当且仅当时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取最小值

4、2、设点P(＋，1)(t>0)，则||(O为坐标原点)的最小值是(

)

A、3

B、5

C、

D、解析：选

D、由已知得||＝≥＝，当t＝2时取得等号、3、(原创题)若a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为(

)

A、2

B、3

C、4

D、5解析：选

D、因为a＋b＝1，所以α＋β＝a＋＋b＋＝1＋＋＝1＋1＋＋1＋≥5，故选

D、4、若a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是(

)

A、18

B、6

C、2

D、2解析：选

B、3a＋3b≥2＝2＝

6、5、已知x<，则函数y＝2x＋的最大值是(

)

A、2

B、1

C、－1

D、－2解析：选

C、y＝2x＋＝－[(1－2x)＋]＋1，由x<可得1－2x>0，根据基本不等式可得(1－2x)＋≥2，当且仅当1－2x＝即x＝0时取等号，则ymax＝－

1、正确答案为

C、6、(xx年高考天津卷)设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(

)

A、8

B、4

C、1

D、解析：选

B、由题意知3a3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝

1、因为a>0，b>0，所以＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立、7、在面积为S(S为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r时，扇形周长最小，这时θ，r的值分别是(

)

A、θ＝1，r＝

B、θ＝2，r＝

C、θ＝2，r＝

D、θ＝2，r＝解析：选

D、S＝θr2⇒θ＝，又∵扇形周长P＝2r＋θr＝2(r＋)≥4，∴当P最小时，r＝⇒r＝，此时θ＝

2、8、已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是(

)

A、4

B、6

C、8

D、9解析：选

D、由圆的对称性可得，直线2ax－by＋2＝0必过圆心(－1,2)，所以a＋b＝

1、所以＋＝＋＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当＝，即a＝2b时取等号，故选

D、9、已知0

________、解析：因为00，所以y＝5x(3－4x)＝20x(－x)≤20()2＝，当且仅当x＝－x，即x＝时等号成立、答案：

10、如下图，某药店有一架不准确的天平(其两臂长不相等)和一个10克的砝码，一个患者想要买20克的中药，售货员先将砝码放在左盘上，放置药品于右盘上，待平衡后交给患者；然后又将砝码放在右盘上，放置药品于左盘上，待平衡后再交给患者、设患者一次实际购买的药量为m(克)，则m________20克、(请选择填“>”或“<”或“＝”)解析：设两次售货员分别在盘中放置m

1、m2克药品，则前两个式子相乘，得100ab＝m1m2ab，得m1m2＝100，因为m1≠m2，所以m＝m1＋m2>2＝20，所以填“>”、答案：>