5-5第5节 向心加速度

4．如图5－5－9所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在竖直平面内做圆周运动，关 于小球运动到P点时的加速度方向，图中可能的是( )
解析：竖直面内做圆周运动的小球在P点受到重力和绳拉力的共同作用，由牛顿第二定律可知其加 速度a的方向即为所受二力合力的方向，且指向圆周的内侧，故A、B、C错，D对．
答案：D
A．
B.
C．
D.
图5－5－9
k′，ω＝ k′ (常数)，质点Q的角速度保持不变．因此选项B、C、D
皆不正确．
答案：A
反思：正确理解图像的物理意义和an＝
v2 r
、an＝ω2r的物理意义是
解题的关键．
【变式1】 关于质点的匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．由a＝vr2，可知a与r成反比
B．由a＝ω2r，可知a与r成正比
C．由v＝ωr，可知ω与r成反比
答案：50 m/s2，方向竖直向上 0 反思：物体在离开圆弧轨道前、后加速度会发生突变，离开C点前运用圆周运动的规律，离开C点 后依据直线运动情况运用相应规律求解有关问题．
【变式2】 如图5－5－6所示，一小球质量为m，用长为L的悬线
固定于O点，O点正下方
L 3
处有一长钉子，将悬线沿水平方向拉直后无
图5－5－4
解析：由图像知，质点P的向心加速度随半径r的变化曲线是双曲
线，因此可以断定质点P的向心加速度aP与半径r的积是一个常数k，即
aPr＝
k，aP＝
k r
，与向心加速度计算公式aP＝
v2 r
对照可得v2＝
k，即质点
的线速度v＝ k，大小不变，A选项正确．
同理，知道 Q质点的向心加速度 aQ＝k′r与 a＝ ω2r对照可知 ω2＝
向心加速度满足：an＝vr2＝ω2r.
特别提示：(1)由于向心加速度的方向时刻在变，所以匀速圆周运动是一种变加速运动； (2)向心加速度公式中，ω、v、a必须对应同一时刻； (3)在非匀速圆周运动中，加速度的两个分量：切向加速度改变速度大小，向心加速度改变速度方 向．
题型探究————————————————————— 题型一 对向心加速度公式的理解 【例1】 如图5－5－4所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图像．表示质点P 的图像是双曲线，表示质点Q的图像是过原点的一条直线，由图像可知( ) A．质点P的线速度大小不变 B．质点P的角速度大小不变 C．质点Q的角速度随半径变化 D．质点Q的线速度大小不变
核心解读—————————————————————
一、向心加速度公式的推导
如图5－5－2甲所示，物体从A点经时间Δt沿圆周匀速率运动到B点，转过的角度为Δθ，物体在A点 的速度为vA，在B点的速度为vB(vA＝vB＝v)，速度的变化量为Δv，如图5－5－2乙所示． 当Δt趋近于0时，Δθ也趋近于0，B点接近A点，Δv与vA垂直，指向圆心，所以向心加速度方向沿半 径指向圆心．
答案：C
2．关于圆周运动的向心加速度，下列说法正确的是( ) A．向心加速度是描述线速度变化的物理量 B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小 C．向心加速度的大小恒定，方向时刻改变 D．向心加速度的大小也可用 a＝vt－t v0来计算 解析：加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线 速度方向变化快慢的物理量，故 A 错，B 正确．对于 C，只适用于匀速 圆周运动，故 C 错．公式 a＝vt－t v0只适用于匀变速直线运动，故 D 错， 所以应选 B.
甲
乙
图5－5－2
因为 vA、vB 和 Δv 组成的三角形与△OAB 是相似三角形， 所以AΔvB＝vrA. 即 Δv＝ABr·vA. 将上式两边同时除以 Δt，得 ΔΔvt ＝AΔBt ×vr . 等式左边ΔΔvt 即为向心加速度 a 的大小，当 Δt 趋近于 0 时，AΔBt 等于 匀速圆周运动的线速度 v，代入上式整理，得 a＝vr2. 将 v＝ωr 代入上式，可得 a＝ω2r.
第5节 向心加速度
课标定位
①知道匀速圆周运动是变速运动，具有指向圆心的加速度——向心加速度．②知道向心加速度的表达 式，并能用来进行简单的计算．
填一填·知识清单———————————————— 一、对圆周运动中加速度的认识 1．推测 圆周运动的速度方向不断改变，一定是 1 ____运动，必定有 2 ______. 2．实例 (1)地球绕太阳年复一年、周而复始地做(近似的)圆周运动，而不背离太 阳飞走，是因为地球受到 3 ____对它的 4 ____，方向指向太阳的中心． (2)光滑桌面上小球在细绳的牵引作用下，绕桌面上的图钉做匀速圆周 运动，细绳被拉紧．小球受到的指向圆心的 5 ________保证了其做匀速圆周 运动． 对实例分析得出结论：物体受到指向圆心的力必定产生 6 ______.
图5－5－7
解析：因为两轮的转动是通过皮带传动的，而且皮带在传动过程
中不打滑，故两轮边缘各点的线速度大小一定相等．在大轮边缘上任
取一点Q，因为R＞r，所以由a＝
v2 r
，可知aQ＜aM.再比较Q、N两点的
向心加速度的大小，因为Q、N是在同一轮上的两点，所以角速度ω相
等．又因为 RQ＞ RN，则由a＝ ω2r，可知aQ＞aN.综上可见，aM＞aN，因 此A选项正确．
v2 r
得向心加速度之比为
aA∶aB＝vA2rB∶vB2rA＝1∶2，故 B对；由T＝
2πr v
得周期之比为TA∶TB
＝ rAvB∶rBvA＝ 2∶1，故C错；由n＝
ω 2π
＝
v 2πr
得转速之比为 nA∶nB＝
ωA∶ωB＝ 1∶2，故D错．
答案：B
3．由于地球自转，比较位于赤道上的物体1与位于北纬60°的物体2，则( )
6 加速度
做一做·预习自测———————————————— 1．关于物体做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( ) A．匀速圆周运动就是匀速运动 B．匀速圆周运动就是匀加速运动 C．匀速圆周运动是一种变加速运动 D．做匀速圆周运动的物体处于平衡状态
解析：匀速圆周运动不同于匀速直线运动，后者速度是不变的，前者速度大小不变而方向时刻改变， 故而A选项是错误的．匀速圆周运动中速度大小始终不变，方向时刻发生变化，说明合外力时刻与 速度方向垂直，加速度方向时刻与速度方向垂直，因而加速度是变化的，不可能是匀加速运动，B 选项是错误的．匀速圆周运动是曲线运动，合外力不为零，物体不处于平衡状态，因此D选项是错 误的．
答案：B
3．如图5－5－1所示，摩擦轮A和B通过中介轮C进行 cm，A、B两轮边缘上的点的角速度之比为________，向心加速度之比为________．
答案：1∶2 1∶2
图5－5－1 解析：由题知 A、B、C 三轮边缘上的点的线速度相等，所以 v＝rAωA ＝rBωB，故 ωωBA＝rrBA＝12，又 a＝v·ω∝ω，所以aaAB＝12.
初速度释放，在悬线碰到钉子的瞬间( )
A．小球的速度突然增大
B．小球的角速度突然增大
C．小球的向心加速度突然增大
D．小球的向心加速度突然减小
图5－5－6
解：碰到钉子的瞬间小球的线速度大小不变．由an＝
v2 r
，r突然变
小，an突然增大．又由于ω＝vr ，ω也突然增大．
答案：BC
随堂反馈————————————————————— 1．如图5－5－7所示，O、O1为两个皮带轮，O轮的半径为r，O1轮的半径为R，且R＞r，M点为O 轮边缘上的一点，N点为O1轮上的任意一点．当皮带轮转动时(设转动过程中不打滑)，则( ) A．M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度 B．M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度 C．M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度 D．M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度
4．an与r的关系图像，如图5－5－3甲、乙所示．
由an－r图像可以看出：an与r成正比还是反比，要看是ω恒定还是v恒定．
甲
乙
图5－5－3
5．向心加速度与合加速度的关系：
(1)物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体运动的合加速度．
(2)物体做非匀速圆周运动时，合加速度既有沿切线方向的分量，又
有指向圆心方向的分量，其指向圆心方向的分量就是向心加速度，此时
答案：A
2．在图5－5－8中，A、B为咬合传动的两齿轮，RA＝2RB，则A、B两轮边缘上两点的( ) A．角速度之比为2∶1 B．向心加速度之比为1∶2 C．周期之比为1∶2 D．转速之比为2∶1
图5－5－8
解析：根据两轮边缘线速度相等，由v＝rω得，角速度之比为
ωA∶ωB＝ vArB∶vBrA＝ 1∶2，故 A错；由a＝
A．它们的角速度之比ω1∶ω2＝2∶1 B．它们的线速度之比v1∶v2＝2∶1 C．它们的向心加速度之比a1∶a2＝2∶1 D．它们的向心加速度之比a1∶a2＝4∶1 解析：同在地球上，物体1与物体2的角速度必相等．设物体1的轨道半径为R，则物体2的轨道半径 为Rcos60°，所以
v1∶v2＝ωR∶ωRcos60°＝2∶1， a1∶a2＝ω2R∶ω2Rcos60°＝2∶1. 答案：BC
二、向心加速度 1．定义 做匀速圆周运动的物体有指向 7 ____的加速度． 2．大小 (1) 8 ______________；
(2) 9 ______________. 3．方向 沿半径方向指向 10 ____，与线速度方向 11 ____.
答案：1 变速 7 圆心 8 an＝vr2
2 加速度 3 太阳 4 引力 5 细绳拉力 9 an＝ω2r 10 圆心 11 垂直
特别提示：(1)根据加速度的定义 a＝ΔΔvt 及牛顿第二定律 F＝ma，可 知 Δv、a、F 三个量的方向始终相同．
(2)向心加速度不能改变速度的大小，只能改变速度的方向．
二、对向心加速度的进一步理解 1．物理意义：描述速度方向改变的快慢． 2．方向：向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心，即方向始终 与运动方向垂直． 由于向心加速度始终与速度垂直，故向心加速度只改变速度的方 向，不改变速度的大小，故向心加速度的大小表示速度方向改变的快慢． 3．公式拓展： an＝vr2＝ ω2r＝4Tπ22r＝ 4π2n2r＝ ωv
D．由ω＝2πn，可知ω与n成正比
解：物体做匀速圆周运动的向心加速度与物体的线速度、角速度、半径有关．但向心加速度与半径 的关系要在一定前提条件下才能给出．当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定 时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论． 答案：D
题型二 向心加速度的应用
【例2】 目前，滑板运动受到青少年的喜爱，如图5－5－5所示，
某滑板运动员恰好从B点进入半径为2.0
m的
1 4
圆弧，该圆弧轨道在C点
与水平轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10 m/s，求他到达C
点前、后瞬间的加速度(不计各种阻力)．
图5－5－5
解析：运动员经圆弧滑到C点时做圆周运动，则在他到达C点前的 瞬间，由公式an＝vr2，得a1＝120.02m/s2＝50 m/s2，方向竖直向上． 运动员滑到C点后进入水平轨道做匀速直线运动，加速度a2＝0.