华东交通大学2015-2016学年《计算方法》期末复习(2)答案

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大学计算方法历年期末考试试题大全(含完整版答案)及重点内容集锦

武汉大学计算方法历年期末考试试题大全(含完整版答案)及重点内容集锦武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷《计算方法》（A卷）（36学时用）学院：学号：姓名：得分：一、（10分）已知的三个值（1）求二次拉格朗日插值L2(x)；（2）写出余项R2(x)。

二、（10分）给定求积公式求出其代数精度，并问是否是Gauss型公式。

三、（10分）若矩阵，说明对任意实数，方程组都是非病态的（范数用）。

四、（12分）已知方程在[0,0.4]内有唯一根。

迭代格式A：；迭代格式B：试分析这两个迭代格式的收敛性。

五、（12分）设方程组，其中，分别写出Jacob及Gauss-Seidel迭代格式，并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散。

六、（12分）已知的一组值2.21.0 分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算七、（12分）20XX年5月左右，北美爆发甲型H1N1流感，美国疾病控制和预防中心发布的美国感染者人数见下表。

为使计算简单，分别用x=-1，0，1，2代表20XX年5月2，3，4，5日。

根据上面数据，求一条形如的最小二乘拟合曲线。

八、（12分）用改进欧拉方法（也称预估-校正法）求解方程：（取步长）1]。

九、（10分）对于给定的常数c，为进行开方运算，需要求方程的根。

（1）写出解此方程的牛顿迭代格式；（2）证明对任意初值牛顿迭代序列{xn}单调减且收敛于c.武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷1、解：（1）二次拉格朗日插值为（2）余项为2、解：当时，左边=2,右边=2；当时，左边=0,右边=0；当时，左边=223,右边=3；当时，左边=0,右边=0；当时，左边=25,右边=29,左边右边；于是，其代数精度为3，是高斯型求积公式。

3、解：而，于是，所以题干中结论成立。

4、解：（1）对于迭代格式A：，其迭代函数为，在[0,，所以发散。

（2）对于迭代格式B：x1，其迭代函数为10e，在，所以收敛。

22 0.4]内5、解：（1）Jocobi迭代法：0b/2因为a21/a22a21a12a11a22（2）Gauss-Seidel迭代法：a12/a11a21a12/a11a22a12/a1101/a22a21a12a11a22| 01/a22(k)因为a21a12a11a22a21a12a11a22综上分析可知两种迭代法同时收敛同时发散。

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习题一1.什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法xmax x i , x ( x 1 , x 2 , x n ) T R n 及 A nR n n .2.试证明maxa ij , A ( a ij )1 in1 i n1j证明：（ 1）令 x rmaxxi1 i nnp 1/ pnx ip1/ pnx r p 1/ p1/ pxlim(x i lim x r [( ]lim x r [limx r))() ]x r npi 1pi 1 x rpi 1 xrp即 xx rnp1/ pnp 1/ p又 lim(lim(x rx i)x r)pi 1pi 1即 xx rxx r⑵ 设 x(x 1,... x n )0 ，不妨设 A 0 ，nnnn令maxaijAxmaxaijx jmaxa ij xjmax x i maxaijx1 i nj 11 i nj 11 i nj 11 i n1 i nj 1即对任意非零 xR n，有Axx下面证明存在向量 x 00 ，使得Ax 0，x 0n( x 1,... x n )T 。

其中 x j设j a i 0 j ，取向量 x 0sign(a i 0 j )( j 1,2,..., n) 。

1nn显然x 01 且 Ax 0 任意分量为ai 0 jx jai 0 j，i 1i1nn故有Ax 0maxaijx jai 0 j即证。

ii 1j 13. 古代数学家祖冲之曾以355作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？113解： x325 &0.314159292 101133xx355 0.266 10 6 0.5 101 7 该近似值具有 7 为有效数字。

4. 若 T(h)逼近其精确值T 的截断误差为R(T ) : T (h) T A i h2 ii 1T0 ( h) T (h) 其中，系数 A i与h无关。

计算方法_华东交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

计算方法_华东交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.拉格朗日插值多项式格式规范整齐，且具有承袭性。

（）参考答案:错误2.当n为奇数时，n阶牛顿-柯特斯公式至少具有n+1次代数精度。

（）参考答案:错误3.分段线性插值的缺点是会出现Runge 现象，即n 越大，端点附近抖动越大。

（）参考答案:错误4.以下哪些公式是牛顿-柯特斯求积公式（）。

参考答案:_5.只要函数f(x,y)适当光滑连续，则常微分方程的初值问题必有唯一解。

（）参考答案:错误6.最佳逼近问题要求在被插函数的定义区间上，所选近似函数都能与被插函数有较好的近似。

（）参考答案:正确7.数值计算方法的计算对象是（）参考答案:有精确计算公式而无法用手工计算的数学问题_理论上有解而无计算公式的数学问题8.若f(a)f(b)<0 ，则f(x)在(a,b)内一定有根。

参考答案:错误9.若|A|≠0，则高斯消元法无需换行即可进行到底，且得到唯一解。

（）参考答案:错误10.若A的所有顺序主子式均不为0，则A的LU分解存在且唯一。

参考答案:正确11.设【图片】，则【图片】参考答案:1212.【图片】（请填写阿拉伯数字）参考答案:113.以下哪些公式是插值型的积分公式（）。

参考答案:3/8辛普森公式_梯形公式_辛普森公式_科特斯公式14.以下常微分方程数值解法，哪些方法的精度是一阶的（）。

参考答案:显示欧拉法_隐式欧拉法15.采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。

（）参考答案:错误16.梯形公式是一个显示公式。

（）参考答案:错误17.用【图片】近似表示sin(x)所产生的误差是( )误差。

参考答案:截断误差18.4个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有( )次代数精度参考答案:319.以下对非线性方程的求根方法的描述，哪些是不正确的（）参考答案:不动点迭代法收敛速度快，是超线性收敛_二分法简单和易操作，收敛性有保证，收敛速度快20.用迭代法解线性方程组时，迭代法是否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

计算方法习题第二章答案

第一章误差1 问3.142，3.141，722分别作为π的近似值各具有几位有效数字？分析利用有效数字的概念可直接得出。

解 π=3.141 592 65…记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=722.由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知3411110||1022x π--⨯<-≤⨯ 因而x 1具有4位有效数字。

由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知2231021||1021--⨯≤-<⨯x π因而x 2具有3位有效数字。

由π-722=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知231021|722|1021--⨯≤-<⨯π因而x 3具有3位有效数字。

2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。

分析本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。

解利用有效数字与相对误差的关系。

这里n=2,a 1是1到9之间的数字。

%5101211021|*||*||)(|1211*=⨯⨯≤⨯≤-=+-+-n ra x x x x ε3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？分析本题利用有效数字与相对误差的关系。

解 a 1是1到9间的数字。

1112*10)1(2110)19(21102110003%3.0)(--⨯+≤⨯+⨯=⨯<=a x r ε 设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。

4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。

分析本题应利用有效数字与相对误差的关系。

解设取n 位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a 1=9。

411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤⨯≤-=n r a x x x x ε解不等式411101021-+-≤⨯n a 知取n=4即可满足要求。

计算方法的课后答案

《计算方法》习题答案第一章数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。

2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤：实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。

解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。

5．叙述误差的种类及来源。

答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。

（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。

（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。

（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。

这样引起的误差称为舍入误差。

6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。

答：设*x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=*为近似值x 的绝对误差（简称误差）。

计算方法习题答案

计算方法习题答案在数学和工程领域，计算方法是指解决数学问题的一系列算法和程序。

以下是一些常见的计算方法习题及其答案。

习题1：求解线性方程组考虑线性方程组：\[ \begin{align*}3x + 2y &= 7, \\4x - y &= 5.\end{align*} \]答案：使用高斯消元法，我们首先将第二个方程乘以2，然后从第一个方程中减去得到：\[ \begin{align*}3x + 2y &= 7, \\0x + 9y &= 17.\end{align*} \]解得 \( y = \frac{17}{9} \)。

将 \( y \) 的值代入第一个方程，解得 \( x = 1 \)。

因此，解为 \( x = 1, y = \frac{17}{9} \)。

习题2：数值积分给定函数 \( f(x) = x^2 \)，求在区间 [0, 1] 上的积分。

答案：使用梯形法则进行数值积分，取两个子区间：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx \approx \frac{1}{2} \left( f(0) + f(1) \right) = \frac{1}{2} \left( 0 + 1 \right) = 0.5. \]习题3：求解常微分方程的初值问题考虑初值问题：\[ y' = 3x^2 - 2y, \quad y(0) = 1. \]答案：使用欧拉方法，取步长 \( h = 0.1 \)，计算 \( y \) 的值：\[ y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n). \]从 \( y_0 = 1 \) 开始，计算得到：\[ y_1 = 1 + 0.1(0 - 2) = 1.2, \]\[ y_2 = 1.2 + 0.1(0.01 - 2.4) = 1.4, \]以此类推，可以得到 \( y \) 在区间 [0, 1] 上的近似值。

习题4：数值解非线性方程给定方程 \( f(x) = x^3 - x - 1 = 0 \)，求根。

计算方法各习题及参考答案

第二章数值分析2.1 已知多项式432()1p x x x x x =-+-+通过下列点：试构造一多项式()q x 通过下列点：答案：54313()()()3122q x p x r x x x x x =-=-++-+． 2.2 观测得到二次多项式2()p x 的值：表中2()p x 的某一个函数值有错误，试找出并校正它．答案：函数值表中2(1)p -错误，应有2(1)0p -=．2.3 利用差分的性质证明22212(1)(21)/6n n n n +++=++ ．2.4 当用等距节点的分段二次插值多项式在区间[1,1]-近似函数xe 时，使用多少个节点能够保证误差不超过61102-⨯．答案：需要143个插值节点．2.5 设被插值函数4()[,]f x C a b ∈，()3()h H x 是()f x 关于等距节点01n a x x x b =<<<= 的分段三次艾尔米特插值多项式，步长b ah n-=．试估计()3||()()||h f x H x ∞-．答案：()443||()()||384h M f x H x h ∞-≤．第三章函数逼近3.1 求()sin ,[0,0.1]f x x x =∈在空间2{1,,}span x x Φ=上最佳平方逼近多项式，并给出平方误差．答案：()sin f x x =的二次最佳平方逼近多项式为-522sin ()0.832 440 710 1.000 999 10.024 985 1x p x x x ≈=-⨯+-，二次最佳平方逼近的平方误差为0.122-1220(sin )())0.989 310 710x p x dx δ=-=⨯⎰．3.2 确定参数,a b c 和，使得积分2121(,,)[I a b c ax bx c -=++-⎰取最小值．答案：810, 0, 33a b c ππ=-== 3.3 求多项式432()251f x x x x =+++在[1,1]-上的３次最佳一致逼近多项式()p x ．答案：()f x 的最佳一致逼近多项式为323()74p x x x =++． 3.4 用幂级数缩合方法，求() (11)x f x e x =-≤≤上的３次近似多项式6,3()p x ，并估计6,3||()()||f x p x ∞-．答案：236,3()0.994 574 650.997 395 830.542 968 750.177 083 33p x x x x =+++， 6,3||()()||0.006 572 327 7f x p x ∞-≤3.5 求() (11)xf x e x =-≤≤上的关于权函数()x ρ=的三次最佳平方逼近多项式3()S x ，并估计误差32||()()||f x S x -和3||()()||f x S x ∞-．答案：233()0.994 5710.997 3080.542 9910.177 347S x x x x =+++，32||()()||0.006 894 83f x S x -=，3||()()||0.006 442 575f x S x ∞-≤．第四章数值积分与数值微分4.1 用梯形公式、辛浦生公式和柯特斯公式分别计算积分1(1,2,3,4)n x dx n =⎰，并与精确值比较．答案：计算结果如下表所示4.2 确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量高，并指明所确定的求积公式具有的代数精度．（１）101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰（２）11211()[(1)2()3()]3f x dx f f x f x -≈-++⎰ （３）20()[(0)()][(0)()]2h h f x dx f f h h f f h α''≈++-⎰答案：（１）具有三次代数精确度（２）具有二次代数精确度（３）具有三次代数精确度．4.3 设10h x x =-，确定求积公式12300101()()[()()][()()][]x x x x f x dx h Af x Bf x h Cf x Df x R f ''-=++++⎰中的待定参数,,,A B C D ，使得该求积公式的代数精确度尽量高，并给出余项表达式．答案：3711,,,20203020A B C D ====-，(4)6()[]1440f R f h η=，其中01(,)x x η∈．4.4 设2()P x 是以0,,2h h 为插值点的()f x 的二次插值多项式，用2()P x 导出计算积分30()hI f x dx =⎰的数值积分公式h I ，并用台劳展开法证明：453(0)()8h I I h f O h '''-=+．答案：3203()[(0)3(2)]4h h I p x dx h f f h ==+⎰．4.5 给定积分10sin xI dx x =⎰（１）运用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过31102-⨯．（２）取同样的求积节点，改用复化辛浦生公式计算时，截断误差是多少？（３）要求的截断误差不超过610-，若用复化辛浦生公式，应取多少个节点处的函数值？答案：（１）只需7.5n ≥，取９个节点，0.946I ≈（２）4(4)46111|[]||()|()0.271102880288045n b a R f h f η--=-≤=⨯ （３）取７个节点处的函数值．4.6 用变步长的复化梯形公式和变步长的复化辛浦生公式计算积分10sin xI dx x =⎰．要求用事后误差估计法时，截断误不超过31102-⨯和61102-⨯．答案：使用复化梯形公式时，80.946I T ≈=满足精度要求；使用复化辛浦生公式时，40.946 083I s ≈=满足精度要求．4.7（１）利用埃尔米特插值公式推导带有导数值的求积公式2()()[()()][()()][]212ba b a b a f x dx f a f b f b f a R f --''=+--+⎰，其中余项为 5(4)()[](), (,)4!30b a R f f a b ηη-=∈．（２）利用上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式020()[()()]12Nx N N x h f x dx T f x f x ''≈--⎰，其中 0121[()2()2()2()()]2N N N hT f x f x f x f x f x -=+++++ ，而 00, (0,1,2,,), i N x x ih i N Nh x x =+==- ．4.8 用龙贝格方法计算椭圆2214x y +=的周长，使结果具有五位有效数字．答案：49.6884l I =≈．4.9确定高斯型求积公式0011()()()x dx A f x A f x ≈+⎰的节点0x ，1x 及系数0A ，1A ．答案：00.289 949x =，10.821 162x =，00.277 556A =，10.389 111A =．4.10 验证高斯型求积公式00110()()()x e f x dx A f x A f x +∞-≈+⎰的系数及节点分别为0001 2 2A A x x ===-=+第五章解线性方程组的直接法5.1 用按列选主元的高斯-若当消去法求矩阵A 的逆矩阵，其中111210110A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭．答案： 1110331203321133A -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎝⎭5.2 用矩阵的直接三角分解法解方程组1234102050101312431701037x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 答案： 42x =，32x =，21x =，11x =．5.3 用平方根法(Cholesky 分解法)求解方程组12341161 4.25 2.750.51 2.75 3.5 1.25x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案： 12x =，21x =，31x =-．5.4 用追赶法求解三对角方程组123421113121112210x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 答案：42x =，31x =-，21x =，10x =．第六章解线性代数方程组的迭代法６.１对方程1212123879897x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩作简单调整，使得用高斯－赛得尔迭代法求解时对任意初始向量都收敛，并取初始向量(0)[0 0 0]T x =，用该方法求近似解(1)k x+，使(1)()3||||10k k x x +-∞-≤．答案：近似解为(4)[1.0000 1.0000 1.0000]Tx =．６.２讨论松弛因子 1.25ω=时，用SOR 方法求解方程组121232343163420412x x x x x x x +=⎧⎪+-=⎨⎪-+=-⎩ 的收敛性．若收敛，则取(0)[0 0 0]T x=迭代求解，使(1)()41||||102k k x x +-∞-<⨯．答案：方程组的近似解为*1 1.50001x =，*2 3.33333x =，*3 2.16667x =-．６.３给定线性方程组Ax b =，其中111221112211122A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，证明用雅可比迭代法解此方程组发散，而高斯－赛得尔迭代法收敛．６.４设有方程组112233302021212x b x b x b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，讨论用雅可比方法和高斯－赛得尔方法解此方程组的收敛性．如果收敛，比较哪种方法收敛较快．答案：雅可比方法收敛，高斯－赛得尔方法收敛,且较快．６.５设矩阵A 非奇异．求证：方程组Ax b =的解总能通过高斯－赛得尔方法得到．６.６设()ij n nA a ⨯=为对称正定矩阵，对角阵1122(,,,)nn D diag a a a = ．求证：高斯－赛得尔方法求解方程组1122D AD x b --=时对任意初始向量都收敛．第七章非线性方程求根例７.４对方程230xx e -=确定迭代函数()x ϕ及区间[,]a b ，使对0[,]x a b ∀∈，迭代过程1(), 0,1,2,k x x k ϕ+== 均收敛，并求解．要求51||10k k x x -+-<．答案：若取2()x x ϕ=，则在[1,0]-中满足收敛性条件，因此迭代法121, 0,1,2,k x k x k +== 在(1,0)-中有惟一解．取00.5x =-，*70.458960903x x ≈=-．取2()x x ϕ=，在[0,1上满足收敛性条件，迭代序列121, 0,1,2,k x k x k +== 在[0,1]中有惟一解．取00.5x =，*140.910001967x x ≈=- 在[3,4]上，将原方程改写为23xe x =，取对数得2ln(3)()x x x ϕ==．满足收敛性条件，则迭代序列21ln(3), 0,1,2,k k x x k +== 在[3,4]中有惟一解．取0 3.5x =， *16 3.733067511x x ≈=．例７.６对于迭代函数2()(3)x x c x ϕ=+-，试讨论：（１）当c 为何值时，1()k k x x ϕ+=产生的序列{}k x（２）c 取何值时收敛最快？（３）取1,2c =-()x ϕ51||10k k x x -+-<．答案：（１）(c ∈时迭代收敛．（２）c =时收敛最快．（３）分别取1, 2c =--，并取0 1.5x =，计算结果如下表７.７所示表７.７例７.13 设不动点迭代1()k x x ϕ+=的迭代函数()x ϕ具有二阶连续导数，*x 是()x ϕ的不动点，且*()1x ϕ'≠，证明Steffensen 迭代式21(), (), 0,1,2,()2k k k k k k k k k k k y x z x k y x x x z y xϕϕ+==⎧⎪=-⎨=-⎪-+⎩二阶收敛于*x ．例7.15 设2()()()()()x x p x f x q x f x ϕ=--，试确定函数()p x 和()q x ，使求解()0f x =且以()x ϕ为迭代函数的迭代法至少三阶收敛．答案：1()()p x f x ='，31()()2[()]f x q x f x ''=' 例７.19 设()f x 在[,]a b 上有高阶导数，*(,)x a b ∈是()0f x =的(2)m m ≥重根，且牛顿法收敛，证明牛顿迭代序列{}k x 有下列极限关系：111lim2k kk k k k x x m x x x -→∞-+-=-+．第八章矩阵特征值8.1 用乘幂法求矩阵A 的按模最大的特征值与对应的特征向量，已知5500 5.51031A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，要求(1)()611||10k k λλ+--<，这里()1k λ表示1λ的第k 次近似值．答案：15λ≈，对应的特征向量为[5,0,0]T-；25λ≈-，对应的特征向量为[5,10,5]T --． 8.2 用反幂法求矩阵110242012A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的按模最小的特征值．知A 的按模较大的特征值的近似值为15λ=，用5p =的原点平移法计算1λ及其对应的特征向量．答案：(1) A 的按模最小的特征值为30.2384428λ≈(2) 1 5.1248854λ≈，对应的特征向量为(8)[0.242 4310, 1 ,0.320 011 7]T U =--．8.3 设方阵A 的特征值都是实数，且满足121, ||||n n λλλλλ>≥≥> ，为求1λ而作原点平移，试证：当平移量21()2n p λλ=+时，幂法收敛最快． 8.4 用二分法求三对角对称方阵1221221221A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的最小特征值，使它至少具有２位有效数字．答案：取5 2.234375λ≈-即有２位有效数字．8.5 用平面旋转变换和反射变换将向量[2 3 0 5]T x =变为与1[1 0 0 0]Te =平行的向量．答案：203/2/00001010/0T ⎛⎫⎪- ⎪=⎪--⎝0.324 442 8400.486 664 26200.811 107 1040.486 664 2620.812 176 04800.298 039 92200100.811 107 1040.298 039 92200.530 266 798H --⎛⎫⎪--⎪= ⎪ ⎪⎪--⎝⎭8.6 若532644445A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，试把A 化为相似的上Hessenberg 阵，然后用QR 方法求A 的全部特征值．第九章微分方程初值问题的数值解法9.1 用反复迭代（反复校正）的欧拉预估－校正法求解初值问题0, 0<0.2(0)1y y x y '+=≤⎧⎨=⎩，要求取步长0.1h =，每步迭代误差不超过510-．答案： [4]11(0.1)0.904 762y y y ≈==，[4]22(0.2)0.818 594y y y ≈==9.2 用二阶中点格式和二阶休恩格式求初值问题2, 0<0.4(0)1dy x y x dx y ⎧=+≤⎪⎨⎪=⎩的数值解(取步长0.2h =，运算过程中保留五位小数)．答案：用二阶中点格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.200 00, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.298 72, (0.4)=1.699 74K K y y ==≈用二阶休恩格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.266 67, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.499 18, (0.4)=1.701 76K K y y ==≈9.3 用如下四步四阶阿达姆斯显格式1123(5559379)/24n n n n n n y y h f f f f +---=+-+-求初值问题, (0)1y x y y '=+=在[0,0.5]上的数值解．取步长0.1h =，小数点后保留８位．答案：4(0.4)0.583 640 216y y ≈=，5(0.5) 1.797 421 984y y ≈=． 9.4 为使二阶中点公式1(,(,))22n n n n n n h hy y hf x y f x y +=+++，求解初值问题 , (0)y y y aλλ'=-⎧⎨=⎩为实常数绝对稳定，试求步长h 的大小应受到的限制条件．答案：2h λ≤．9.5 用如下反复迭代的欧拉预估－校正格式(0)1(1)()111(,)[(,)(,)]2 0,1,2,; 0,1,2,nn n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k n +++++⎧=+⎪⎪=++⎨⎪⎪==⎩，求解初值问题sin(), 01(0)1x y e xy x y '⎧=<≤⎨=⎩时，如何选择步长h ，使上述格式关于k 的迭代收敛．答案：2h e<时上述格式关于k 的迭代是收敛的．9.6 求系数,,,a b c d ，使求解初值问题0(,), ()y f x y y x a '==的如下隐式二步法221()n n n n n y ay h bf cf df +++=+++的误差阶尽可能高，并指出其阶数．答案：系数为142,,33a b d c ====，此时方法的局部截断误差阶最高，为五阶5()O h ．9.7 试用欧拉预估－校正法求解初值问题, (0)=1, 0<0.2()/, (0)2dyxy z y dxx dz x y z z dx⎧=-⎪⎪≤⎨⎪=+=⎪⎩，取步长0.1h =，小数点后至少保留六位．答案：由初值00(0)1, (0)2y y z z ====可计算得110.800 000z 2.050 000y =⎧⎨=⎩ ， 11(0.1)0.801 500(0.1) 2.046 951y y z z ≈=⎧⎨≈=⎩ 220.604 820z 2.090 992y =⎧⎨=⎩ ， 22(0.2)0.604 659(0.2) 2.088 216y y z z ≈=⎧⎨≈=⎩。

(完整版)计算方法考试试卷及答案

《计算方法》试卷 A 第1页（共2页）《计算方法》试卷（A 卷）一、填空题（每空3分，共27分）1、若15.3=x 是π的的近似值，则误差限是 0.05 ，有 2 位有效数字。

2、方程013=--x x 在区间]2,1[根的牛顿迭代格式为1312131-)()(23231-+=---='-=+k k k k k k k k k k x x x x x x x f x f x x 。

3、对252)(23-+-=x x x f ，差商 =]3,3,3,3[432f -2 ，=]3,3,3,3,3[5432f 0 。

4、数值积分中的梯形公式为)]()([2)(b f a f ab dx x f ba+-≈⎰，Simpson 公式为 )]()2(4)([6)(b f ba f a f ab dx x f ba+++-≈⎰。

5、求解微分方程初值问题⎩⎨⎧==∈=5.01)0(]1,0['h y x xy y 用欧拉公式计算得到=1y 1 ，用改进的欧拉公式计算得到=1y 1.125 。

二、已知方程14-=x x 在区间]2,0[内有根（1）用二分法求该方程的根，要求误差不超过0.5。

（2）写出求解方程的一种收敛的简单迭代格式，并说明收敛原因。

解：（1）由题意，令分。

3....,.........013)2(,01)0(,1)(4<-=>=+-=f f x x x f 列表如下：所以取1满足误差不超过0.5。

...........................................7 分 (2) 原方程等价变形为41+=x x ，迭代函数41)(+=x x ϕ，……………………….2分则43)1(41)(+='x x ϕ且在区间]2,0[上141)1(41)(043<<+='<x x ϕ，即1)(<'x ϕ…......5分所以41)(+=x x ϕ单调递增且在区间]2,0[上23)2(1)()0(1044<=≤+=≤=<ϕϕϕx x ，.7分符合简单收敛的全局收敛条件，所以收敛的简单迭代格式可构造为：315+=+k k x x .............................................8 分三、利用x x f sin )(=在点2,6,0ππ的函数值：(1)建立其拉格朗日插值多项式，并进行误差分析；(2)构造差商表，建立牛顿插值多项式。

计算方法-2014-2015-2(A)参考答案

河南理工大学万方科技学院 2014-2015 学年第二学期《计算方法》试卷参考答案（A 卷）一、填空题（每空3分，共42分）1、根据来源，误差可分为模型误差、测量误差、截断误差、舍入误差四类。

2、作为圆周率3.14159….的近似值，1032.0⨯具有 1 位有效数字。

3、矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=513252321A ，则矩阵A 的杜里特尔分解=L ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-153012001，=U ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2400410321。

4、求解线性方程组的简单迭代格式g Bx x +=+)()1(k k 收敛的充要条件是()1<B ρ。

5、对12)(23-+=x x x f ，三阶差商 =]3,2,1,0[f 9 。

6、求积公式[]⎰-++-≈11)1()0(2)1(41)(f f f dx x f 的代数精度为 1 。

7、梯形公式的代数精度为 1 ，Simpson 求积公式的代数精度为 3 。

8、求方程3310x x -+=在区间[1,2]上的根时，若采用简单迭代法其收敛的迭代格式为3113-=+n n x x ，牛顿迭代格式为3313231-+--=+n n n n n x x x x x 。

9、设(1,1,3)=-x ，则1x = 5 ，2x =11。

二、设有非线性方程013=-+x x1. 证明方程在区间I =[0,1]上有且只有一个实根；2. 试用二分法在区间I 上求出误差不超过1103-⨯的近似解。

解：1. 设1)(3-+=x x x f ，1)0(-=f ，1)1(=f ，故)(x f 在[0,1]至少有一个实根；13)(2+='x x f 在[0,1]上恒大于零，故)(x f 在[0,1]单调递增，所以在[0,1]上有且只有一个实根。

……..2分所以，75.02*==x x…………..8分三、已知函数)(x f 的下列数据：1. 分别用复化梯形和复化辛浦生公式计算⎰6.28.1)(dx x f (取两位小数)；2. 利用这5个点能用柯特斯计算吗，为什么？解：1. 复化梯形公式：()[])6.2()4.2()2.2()0.2(2)8.1(22.0)(6.28.1f f f f f dx x f ++++=⎰()[]47.1003.804.643.4212.31.0++++==5.06……………..6分复化梯形公式：[])6.2())4.2()0.2((4)2.2(2)8.1(64.0)(6.28.1f f f f f dx x f ++++=⎰()[]47.1003.843.4404.6212.332.0+++⨯+==5.03 …………..12分2. 可以用Cotes 公式计算，因为4n+1=5，n=1为整数，满足Cotes 公式对节点个数的要求。

《计算方法》复习资料

二单项选择题1. 已知近似值1x ，2x ，则()12,x x ()=A. ()()2112x x x x +B. ()()12x x +C. ()()1122x x x x + D. ()()12x x2. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ) A ． 16 B. 13 C 。

12 D. 233. 已知2112A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则化为A 为对角阵的平面旋转变换角θ＝( ） A ．6π B. 4π C. 3π D 。

2π 4. 设求方程()0f x =的根的切线法收敛，则它具有( ）敛速。

A ．线性 B. 超越性 C. 平方 D. 三次5. 改进欧拉法的局部截断误差为（）A ． ()5O hB 。

()4O h C. ()3O h D. ()2O h填空题1。

π的近似值3.1428是准确到近似值。

2。

满足()a a f x x =，()b b f x x =,()c c f x x =的拉格朗日插值余项为。

3。

用列主元法解方程组时，已知第2列主元为()142a 则()142a ＝。

4．乘幂法师求实方阵的一种迭代方法. 5. 欧拉法的绝对稳定实区间为 .计算题1. 用已知函数表求抛物插值多项式,并求1()2f 的近似值. 2. 用紧凑格式解方程组123410114130141x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦3. 已知方程组123210113110121x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1）证明高斯－塞德尔法收敛；（2）写出高斯－塞德尔法迭代公式；（3）取初始值()()00,0,0TX=，求出()1X 。

4. 用4n =复化辛卜公式计算积分1011dx x +⎰，并估计误差。

5. 用一般迭代法求方程[]0,0.5内的根.（1）对方程同解变形，并检验压缩条件；（2）写出一般迭代法迭代公式; （3）选初始值00.5x =，求出1x 。

《数值计算方法》试题集及答案资料(可打印修改) (2)

19、为求方程 x3―x2―1=0 在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建
立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。
x2
1 ,迭代公式 : x 1
xk 1
(A)
1 xk 1
(B)
x
1
1 x2
,迭代公式 :
xk 1
1
1
x
2 k
(C) x3 1 x 2 , 迭代公式 : xk1 (1 xk2 )1/ 3
f (xn ) (xn )
6、对 f (x) x3 x 1,差商 f [0,1,2,3] ( 1 ), f [0,1,2,3,4] ( 0 )；
7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；
8、用二分法求非线性方程 f
(x)=0 在区间(a,b)内的根时，二分 n 次后的误差限为(
()
四、计算题：
1、用高斯-塞德尔方法解方程组 (要求按五位有效数字计算)。
4x1x142x2x22
x3 x3
11 18
2x1 x2 5x3 22 ，取 x (0) (0,0,0)T ，迭代四次
答案：迭代格式
6
x1(k
1)
1 4
(11
2
x2(k
)
x(k) 3
)
x
(k 2
1)
1 4
(18
()
x2 2、用 1- 2 近似表示 cosx 产生舍入误差。
()
( x x0 )( x x2 ) 3、 (x1 x0 )( x1 x2 ) 表示在节点 x1 的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( )
4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。

(完整版)计算方法练习题与答案.doc

练习题与答案练习题一练习题二练习题三练习题四练习题五练习题六练习题七练习题八练习题答案练习题一一、是非题1.x *–12.0326 作为 x 的近似值一定具有6 位有效数字，且其误差限1 10 4( )2。

2. 对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。

( )3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。

( )x 24.1( )用2近似表示 cos x 产生舍入误差。

5. 3.14 和 3.142 作为的近似值有效数字位数相同。

( )二、填空题y 123 4 9x 1231.为了使计算x 1x 1的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为；2. x * –0.003457是 x 舍入得到的近似值，它有位有效数字，误差限为，相对误差限为；3. 误差的来源是；4. 截断误差为；5.设计算法应遵循的原则是。

三、选择题1． x * –0.026900作为 x 的近似值，它的有效数字位数为 ( ) 。

(A) 7；(B) 3；(C) 不能确定(D) 5.2．舍入误差是 ( )产生的误差。

(A) 只取有限位数(B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值(C) 观察与测量(D) 数学模型准确值与实际值3．用 1+x 近似表示 e x 所产生的误差是 ()误差。

(A). 模型(B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入1．用 * 22 表示自由落体运动距离与时间的关系式(g 为重力加速度 )，s t 是在4s =gt时间 t 内的实际距离，则 s t s * 是（）误差。

(A). 舍入(B). 观测 (C). 模型 (D). 截断5． 1.41300作为 2 的近似值，有 ( )位有效数字。

(A) 3 ；(B) 4； (C) 5； (D) 6。

四、计算题221． 3.142，3.141， 7 分别作为的近似值，各有几位有效数字？2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：11 x, | x | 1x 11 dt | x |1(1) 1 2x 1 x， (2) x1 t 2(3) ex1, | x | 1，(4)ln(x 2 1 x) x114．真空中自由落体运动距离 s 与时间 t 的关系式是 s= 2 gt 2，g 为重力加速度。

华东交通大学2015-2016学年《计算方法》期末复习(1)答案

华东交通大学2015—2016学年第二学期复习(A 卷)试卷编号： ( A )卷计算方法课程课程类别：必修考试日期：月日开卷(范围：计算方法教材前三章) 题号一二三四五六七八 … 总分累分人签名题分252525252525252525100得分注意事项：1、本试卷共页，总分 100 分，考试时间 50 分钟。

2、考试结束后，考生不得将试卷和草稿纸带出考场。

考场纪律：1、学生应试时必须携带学生证，以备查对，学生必须按照监考老师指定的座位就坐。

2、除答卷必须用的笔、橡皮及老师指定的考试用具外，不得携带任何书籍、笔记、草稿纸等。

3、答卷时不准互借文具(包括计算器)。

题纸上如有字迹不清等问题，学生应举手请监考教师解决。

4、学生应独立答卷，严禁左顾右盼、交头接耳、抄袭或看别人答卷等各种形式的作弊行为，如有违反，当场取消其考试资格，答卷作废。

5、在规定的时间内答卷，不得拖延。

交卷时间到，学生须在原座位安静地等候监考教师收卷后，方可离开考场。

★二分法一、证明f (x )=210x x --=在区间(1,2)内有唯一根，用二分法求此根要求误差小于0.05。

解：令2(x)1f x x =--，则，(1)1f =-，(2)1f = 而且在（1,2）内=2x-1>0,因此方程在（1,2）内有唯一根。

2(1.5) 1.5 1.510.25f =--=-，所以有根区间为（1.5,2）25(1.75) 1.75 1.751016f =--=>,所以有根区间为（1.5,1.75）21(1.625) 1.625 1.6251064f =--=>,所以有根区间为（1.5,1.625）99931(1)1110161616256f =--=-<，所以有根区间为（9116，1.625）取*19119(11)1 1.59375216832x =+==此时，它与精确解的距离<1191(11)0.05281632-=<二、证明0sin 1=--x x 在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于41021-⨯的根要迭代多少承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。

计算方法及答案.docx

A. det A = 0B.detA k = 0(1 乞 k n)c. detA 0D. det A ：： 0《计算方法》练习题一一、填空题1.理=3.14159…的近似值3.1428 ,准确数位是()。

2 .满足 f(a) = C, f(b) = d 的插值余项 R(X)=()。

3 .设｛P k (x)｝为勒让德多项式，则(F 2(χ), P 2(x)) - ( )o4 •乘幕法是求实方阵()特征值与特征向量的迭代法。

5 .欧拉法的绝对稳定实区间是()o6. e =2.71828…具有3位有效数字的近似值是( )。

7 .用辛卜生公式计算积分[fc ( ) oVHx8 .设A (kJ0 =(a (Z )第k 列主兀为a Pk J),则a (Pk A) =()10 •已知迭代法：X n 1 =(X n ), (n=0,1,…)收敛，则：(x)满足条件()。

、单选题1•已知近似数a,b,的误差限；(a), ；(b),则；(ab)=()。

A. E(a)E(b)B. E(a)+^(b)c. ag(a)+∣bw(b) D . a E (b)+'b w(a)2 .设 f(x) =X 2 X ,则 f[1,2,3]=()。

A.lB. 2C. 3D .4 3 . 设A =们 ,则化A 为对角阵的平面旋转 Q =().：1 3一ππππ A.—B .—C .—D .—23 464 . 若双点弦法收敛，则双点弦法具有()敛速.A.线性B.超线性C.平方D .三次5 .改进欧拉法的局部截断误差阶是().A. o(h)Bo(h 2)C.o(h 3)D.o(h 4)6 .近似数 a = 20.47820 "0的误差限是()o1 一 c -51 _ -4 1__3 1 _ _2A. ×10B.×10 C.×10D . × 1022229 .已知贝TtJ 1 25 4_-7 .矩阵A满足(),则存在三角分解A=LR)&已知 X =(—1,3,-5)T ,则 X 1 =()。

计算方法试题集及答案(新)

1.*x 为精确值x 的近似值；()**x f y =为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-：***r x xe x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂ 2、计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫舍入误差。

3、分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有6 位和7 1.73≈（三位有效数字）-211.73 10 2≤⨯。

4、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。

5、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。

6、已知近似值2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.0000204 .7、递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y y =10y -1,n =1,2,如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定不稳定 . 8、精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。

9、若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5。

10、设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差0.02n11、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；13、为了使计算 ()()2334610111y x x x =++---- 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。

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,420420001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-华东交通大学2015—2016学年第二学期复习(B 卷)试卷编号： ( A )卷计算方法课程课程类别：必修考试日期：月日开卷(范围：计算方法教材前三章) 题号一二三四五六七八 … 总分累分人签名题分252525252525252525100得分注意事项：1、本试卷共页，总分 100 分，考试时间 50 分钟。

2、考试结束后，考生不得将试卷和草稿纸带出考场。

考场纪律：1、学生应试时必须携带学生证，以备查对，学生必须按照监考老师指定的座位就坐。

2、除答卷必须用的笔、橡皮及老师指定的考试用具外，不得携带任何书籍、笔记、草稿纸等。

3、答卷时不准互借文具(包括计算器)。

题纸上如有字迹不清等问题，学生应举手请监考教师解决。

4、学生应独立答卷，严禁左顾右盼、交头接耳、抄袭或看别人答卷等各种形式的作弊行为，如有违反，当场取消其考试资格，答卷作废。

5、在规定的时间内答卷，不得拖延。

交卷时间到，学生须在原座位安静地等候监考教师收卷后，方可离开考场。

★向量和矩阵范数一、求向量()T 4,2,1=x 的1，2和∞-范数.求、1A 、∞A .2A二、设A =承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。

三、已知A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-010110004，求、1A 、∞A .2A则1A =4∞A =4 ；2||||A = 4 ；四、已知矩阵A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3.01.05.06.0A ，计算、1A 、∞A .2A121.1,0.8,0.827853,0.842615F A A A A ∞====五、设10099,9998A ⎛⎫=⎪⎝⎭计算A 的条件数()(),2,p cond A P =∞.**19899-98999910099-100A A A A --⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭矩阵A 的较大特征值为198.00505035，较小的特征值为-0.00505035，则1222()198.00505035/0.0050503539206cond A A A -=⨯==1()199********cond A A A -∞∞∞=⨯=⨯=★雅可比、高斯-赛德尔迭代法一、用高斯-塞德尔方法解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++225218241124321321321x x x x x x x x x取()()00,0,0TX =，迭代四次(要求按五位有效数字计算).答案：迭代格式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=--=--=++++++)222(51)218(41)211(41)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x1 2.7500 3.8125 2.53752 0.20938 3.1789 3.68053 0.24043 2.5997 3.1839 40.504202.48203.7019二、用高斯-赛德尔迭代法解方程组1231231231023210152510x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩取()()00,0,0TX =，迭代5次.三、已知矩阵A ，302021212A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭讨论用Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法求解方程组Ax =b 的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快.解12112112103200211210032003-=--=-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=λλλλλJ J B I B=λ，11211)(<=∴J B ρ即Jacobi 迭代收敛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-121100210032000001002002141610210003100100202110200031G B0)1211(2=-=-λλλG B I ，得迭代收敛Seidel Gauss B G __,11211)(<=ρ 又1211 <1211Seidel Gauss -∴迭代快。

四、已知方程组123210113110121x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(1)证明高斯－塞德尔法收敛；(2)写出高斯－塞德尔法迭代公式； (3)取初始值()()00,0,0TX =，求出()1X 。

解：（1）因为A 严格对角占优矩阵，所以高斯－塞德尔迭代法收敛。

（2）高斯－塞德尔法迭代公式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=---=-=+++++ ,1,0,)1(21)1(31)1(21)1(2)1(3)(3)1(1)1(1)(2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k（3）取初值()()00,0,0T X =，计算得()1112x =，()1212x =-，()1334x =五、试证明以下方程Jacobi 迭代收敛，而Seidel 迭代不收敛。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111122*********x x x 解：J B 的等特征方程10)(00221122)det(3<=⇒=⇒=-=-J J B B I ρλλλλλ因此Jacobi 迭代收敛收敛G B 的等特征方程12)(0)2(0221222>=⇒=-⇒=-G B ρλλλλλλλλ因此GS 法不收敛。

六、考察Jacobi 迭代、Gauss-Seidel 迭代求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=+-12,12321321321x x x x x x x x x 的收敛性。

解对于此方程组，Jacobi 迭代法的迭代矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=05.05.01015.05.001B ；B J 的特征多项式为)25.1(5.05.0115.05.0)det(2+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-λλλλλλJ B I ；其特征值为i i 25.1,25.1,0321-===λλλ。

故有125.1)(>=J B ρ。

因而Jacobi 迭代法不收敛。

对于此方程组，G-S 迭代法的迭代矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-5.0005.05.005.05.000001001102110110021G B ，可见，G B 的特征值为5.0,0321===λλλ。

故有15.0)(<=G B ρ，所以G-S 迭代法必收敛。

★拉格朗日插值一、已知lg10=1,lg20=1.3010，利用插值一次多项式求lg12的近似值二、已知函数x k－24 5 y k 5 1－31试构造f (x )的拉格朗日多项式P n (x )，并计算f (－1)。

解：先构造基函数845-4--=5-2-4-2-0-2-5-4-=0))(())()(())(()(x x x x x x x l 405-4-2+=5-04-02--05-4-2+=1))()(())())((())()(()(x x x x x x x l 245-2+-=5-40-42+45-2+=2))(())()(()()()(x x x x x x x l 35)4()2()45)(05)(25()4()2()(3-+=--+-+=x x x x x x x l 所求三次多项式为P 3(x )=∑=3)(k kk x ly＝845-4-⨯5-))((x x x ＋405-4-2+))()((x x x －245-2+⨯3-))(()(x x x ＋354-2+)()(x x x＝1+2155-141-42523x x x P 3(－1)＝724=1+2155-141-425-★牛顿插值一、计算(-2,17)，(0,1)，(1,2)，(2,19)的一至三阶差商.二、设一阶差商31241)()(],[121221-=--=--=x x x f x f x x f ,252416)()(],[232332=--=--=x x x f x f x x f , 求二阶差商],,[321x x x f . 11/6四、已知函数值f (0)=6，f (1)=10，f (3)=46，f (4)=82，f (6)=212，求函数的四阶均差f (0,1,3,4,6)和二阶均差f (4，1，3)．计算均差列给出．f (0,1,3,4,6)=151f (4, 1, 3)=6三、用已知函数表求抛物插值多项式，并求1()2f 的近似值。

解答：作差商表：()()()()2210011N x x x x x =+-+--=+21151.25224f N ⎛⎫⎛⎫≈== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四、已知函数)(x f y =的数据如下表。

计算它的各阶差商和)(3x N 的形式。

解:先构造差商表如下：N 3(x ) = –56 + 40(x + 2) –13(x + 2)(x + 1) + 2(x + 2)(x + 1) x-2 -56 -1 -16 40 0 -2 14五、已知x i 1 3 4 5 f (x i )2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f (x )的三次插值多项式P 3(x )，并求f (2)的近似值(保留四位小数)。

答案)53)(43)(13()5)(4)(1(6)51)(41)(31()5)(4)(3(2)(3------+------=x x x x x x x L)45)(35)(15()4)(3)(1(4)54)(34)(14()5)(3)(1(5------+------+x x x x x x差商表为i xi y一阶均差二阶均差三阶均差1 2 3 6 2 4 5 -1 -154-141)4)(3)(1(41)3)(1()1(22)()(33---+----+==x x x x x x x N x P5.5)2()2(3=≈P f★代数精度一、试求积分公式)]()([2-)(b f a f ab dx x f ba+∫≈的代数精度二、确定下列公式⎰-++-≈22)1()0()1()(Cf Bf Af dx x f中的参数A ，B ，C ，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精确度。

解：依次取2()1,,f x x x =代入积分公式，并令: 左端=右端，得方程组4 016 + 3A B C A C A C ⎪++=⎪-+=⎨⎪⎪=⎩，解得 8343A C B ⎧==⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得公式：224()(2(1)(0)2(1))3f x dx f f f -≈--+⎰取3()f x x =代入公式，有左端=右端取4()f x x =代入公式，有左端≠右端可见该求积公式代数精确度为3p =三、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度)()0()()(22h Cf Bf h Af dx x f hh++-≈⎰-解：解题过程与上题类同，所得结果816 , 433A C hB h ===-代数精确度为3p =四、试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。