2019年高三数学上期中一模试题(附答案)(2)

1, a1
a42 a7
8
a1 a10 7
故选 D.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
若 x 2 y m2 2m 恒成立,则 x 2y 的最小值大于 m2 2m ,利用均值定理及“1”的代
换求得 x 2y 的最小值,进而求解即可.
（2） 若 cos B 1 ,b 2 ，求 ABC 的面积. 4
22．已知数列
an
的首项
a1
2 3
，且当
n
2
时，满足
a1
a2
a3
an1
1
3 2
an
．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）若 bn
n 2
an ， Tn
为数列
bn
的前 n 项和，求 Tn ．
23．设数列 an 满足 a1 3, an1 an 2 3n ．
【点睛】 本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化 与化归思想.属于中等题.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
42
2
2
2
因为 a 23 =43 , b 33 , c 53 ，且幂函数 y x3 在 (0, ) 上单调递增，所以 b<a<c.
12
4
2
2 21 4
2
2 5．
2
4．D
解析：D 【解析】
【分析】
直接利用余弦定理求出 A，C 两地的距离即可． 【详解】 因为 A，B 两地的距离为 10km，B，C 两地的距离为 20km，现测得∠ABC＝120°， 则 A，C 两地的距离为：AC2＝AB2+CB2﹣2AB•BCcos∠ABC＝102+202﹣
由题意得出 an 15n 14 ，求出 an 15n 14 2019 ，即可得出数列的项数.
【详解】
因为能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的数就是能被 15 整除余 1 的数，故 an 15n 14 .由
an 15n 14 2019 得 n 135，故此数列的项数为135，故答案为 B.
C．12
D．16
3．若 ABC 的对边分别为 a, b, c ，且 a 1， B 45 , S ABC 2 ,则 b （ ）
A．5
B．25
C． 41
D． 5 2
4．已知 A、B 两地的距离为 10 km,B、C 两地的距离为 20 km,现测得∠ABC=120°，则 A、
C 两地的距离为 （ ）
【详解】
由题,因为
2 x
1 y
1,
x
0,
y
0,
所以
x
2 y
2 x
1 y
2
x y
4y x
2
4
2
x 4y 4 4 8 ,当且仅当 x 4 y ,即
yx
yx
x 4 , y 2 时等号成立,
因为 x 2 y m2 2m 恒成立,则 m2 2m 8,即 m2 2m 8 0 ,解得 4 m 2 ,
}
中，
a3
=2
，
a7
=1
．若数列{ 1 an
}
为等差数列，则
a9
=
(
)
A． 1 2
B． 5 4
C． 4 5
D． 4 5
11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852 年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》
中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874 年，英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高
2019 年高三数学上期中一模试题(附答案)(2)
一、选择题
1．数列an的前 n 项和为 Sn n2 n 1 , bn 1n an n N* ,则数列bn 的前 50 项
和为（ ）
A．49
B．50
C．99
D．100
xy0
2．已知
x,
y
满足
x
y
4
0
，则
3x
y
的最小值为（
）
x 4
A．4
B．8
aa22001189
0
，所以
0
S4036 S4037
a1 a1
a4036 2
a4037 2
4036 4037
a2018 a2019 2018 2a2019 4037 0
2
0
，所以使前
n
项和
Sn 0 成立的最大正整数 n 是 4036 .
故选：C 【点睛】
本小题主要考查等差数列前 n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题. 6．D
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
作出可行域，变形目标函数并平移直线 y 3x ，结合图象，可得最值．
【详解】
x y 0
作出
x、y
满足
x
y
4
0
所对应的可行域（如图
ABC ），
x 4
变形目标函数可得 y 3x z ，平移直线 y 3x 可知，
当直线经过点 A(2, 2) 时，截距 z 取得最大值，
3, n 1
a1
2
3
.综上可得 an
3, n 1 {
2n, n
2
.所以 bn
{2n, n为奇数且n
1.数列bn的前
50
项
2n, n为偶数
和为
S50 3 23 5 7 49 22 4 6 50
3 2 243 49 2 252 50 49.故 A 正确.
2
2
考点：1 求数列的通项公式;2 数列求和问题.
故选:A
【点睛】
本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问
题.
8．A
解析：A
【解析】
解法一 an＋1－an＝(n＋1) n＋1－n n＝
当 n<2 时，an＋1－an>0，即 an＋1>an； 当 n＝2 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an； 当 n>2 时，an＋1－an<0，即 an＋1<an.
A． 8 9
B． 2 3
C． 64 81
D． 125 243
9．若 a，b，c，d∈R，则下列说法正确的是（ ）
A．若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd
B．若 a＞b，c＞d，则 a+c＞b+d
C．若 a＞b＞0，c＞d＞0，则 c d ab
D．若 a＞b，c＞d，则 a﹣c＞b﹣d
10．已知数列{an
2
10
20
1 2
700．
所以 AC＝10 7 km．
故选 D． 【点睛】
本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．
5．C
解析：C 【解析】
【分析】
根据等差数列前 n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前 n 项和 Sn 0 成立
的最大正整数 n. 【详解】
由于等差数列 an 满足 a1 0, a2018 a2019 0, a2018 a2019 0 ，所以 d 0 ，且
【详解】
依题意得： a3
2, a7
1 ，因为数列{ 1 } 为等差数列，
an
所以
d
11 a7 a3 73
1
2 7
1 3
1 8
，所以
1 a9
1 a7
9
7
1 8
5 4
，所以
a9
4 ，故选 C． 5
【点睛】
本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
9．B
解析：B 【解析】
【分析】
利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】
A 项，虽然 4 1, 1 2 ，但是 4 2 不成立，所以不正确；
B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即 B 正确；
C 项，虽然 3 2 0, 2 1 0 ，但是 3 2 不成立，所以 C 不正确； 21
A． 7
B． 5
C． 5
D． 7
7．已知： x 0 ， y 0 ，且 2 1 1，若 x 2 y m2 2m 恒成立，则实数 m 的取值 xy
范围是（ ）
A． 4, 2
B．,4 2,
C． 2, 4
D． , 2 4,
8．已知数列{an}的通项公式为 an＝ n( 2)n 则数列{an}中的最大项为( ) 3
14．在 ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ， cos C 5 ，且 23
a cos B bcos A 2 ，则 ABC 面积的最大值为 ．
ax y 1,
15．设 a＞0,b＞0． 若关于 x,y 的方程组{ x by
1
无解，则 a b 的取值范围是
此时目标函数 z 取得最小值 3 2 2 4 .
故选：A.
【点睛】 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．
3．A
解析：A 【解析】
在 ABC 中， a
1， B
450
，可得
SABC
1 2
1 csin45
2
，解得 c
4
2．
由余弦定理可得： b
a2 c2 2accosB
2
（2）若对任意 x 1, ， f x 0 恒成立，试求实数 a 的取值范围．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A 解析：A 【解析】
试题分析：当 n 1时， a1 S1 3 ；当 n 2 时，
an Sn Sn1 n2 n 1 n 12 n 1 1 2n ,把 n 1代入上式可得
．
16．设
a
b
2
，
b
0
，则当
a
_____时，
2
1 |a
|
|
a b
|
取得最小值.
x 2 y 4 0，
17．已知实数 x, y 满足{2x y 2 0，则 x2 y2 的取值范围是 .
3x y 3 0，
18．在
Fra Baidu bibliotek
中，若
，则 __________．
19．如图在平面四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则 AB 的取值范围是
___________．
20．已知无穷等比数列 an 的各项和为 4，则首项 a1 的取值范围是__________．
三、解答题
21．在 ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c .已知 cos A 2 cos C 2c a
cos B
b
（1） 求 sin C 的值 sin A
D 项，虽然 4 1, 2 3 ，但是 2 4 不成立，所以 D 不正确；
故选 B. 【点睛】 该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的 方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.
10．C
解析：C 【解析】
【分析】
由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果
A．10 km
B． 3 km
C．10 5 km
D．10 7 km
5．等差数列 an 满足 a1 0, a2018 a2019 0, a2018 a2019 0 ，则使前 n 项和 Sn 0 成立
的最大正整数 n 是（ ）
A．2018
B．2019
C．4036
D．4037
6．已知{an}为等比数列, a4 a7 2 , a5a6 8 ,则 a1 a10 （ ）
4
2
1
12．已知 a 23 , b 33 , c 253 ，则
A． b a c C． b c a 二、填空题
B． a b c D． c a b
13．已知在△ ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，若 a b 2c ，则 C 的取值范
围为________
· n，
所以 a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an， 所以数列{an}中的最大项为 a2 或 a3，且 a2＝a3＝2× 2＝ .故选 A.
解法二
＝
＝
，
令 >1，解得 n<2；令 ＝1，解得 n＝2；令 <1，解得 n>2.又 an>0，
故 a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，
所以数列{an}中的最大项为 a2 或 a3，且 a2＝a3＝2× 2＝ .故选 A.
解析：D 【解析】
【分析】
由条件可得 a4，a7 的值，进而由 a10
a72 a4
和 a1
a42 a7
可得解.
【详解】
a5a6 a4a7 8 a4 a7 2a4 2, a7 4 或 a4 4, a7 2 .
由等比数列性质可知
a10
a72 a4
8, a1
a42 a7
1或 a10
a72 a4
斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定
理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 1 至 2019 中能被 3 除余 1 且
被 5 除余 1 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列an，则此数列的项数为（ ）
A．134
B．135
C．136
D．137
（Ⅰ）求数列an的通项公式 an ；
（Ⅱ）若 bn nan ，求数列bn的前 n 项和 Sn ．
24． ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．已知 acosC ccos A a ． （1）求证： A B ； （2）若 A ， ABC 的面积为 3 ，求 ABC 的周长．
6 25．已知在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 asin B bcos A 0 ． （1）求角 A 的大小：
（2）若 a 2 5 ， b 2 ．求 ABC 的面积．
26．已知函数 f x x2 2x a , x 1, ．
x
（1）当 a 1 时，求函数 f x 的最小值；