高等动力学1.6ppt课件
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高等动力学
l
T T0 T1 T2
式中
(1.3.20)
1 l l T2 a jk q j qk 2 j 1 k 1
1 T0 a0 2
T1 a j q j
j 1
l
（1.3.21）
分别为广义速度 q j ( j 1, 2,..., l )的零次、一次、二次齐函数。用动能Fra bibliotek示的动力学普遍方程
韩伟
用动能表示的动力学普遍方程
仍讨论N个质点 Pi(i 1, 2,..., N ) 组成的带有r个完整约束 和s个非完整约束的系统， 选取l 3N r 个广义坐标 q j ( j 1, 2,..., l ) 表示系统的位形， 系统的自由度为 f 3N r s 。 各质点的矢径 ri (i 1, 2,..., N )由广义坐标完全确定，
（1.3.22）
质点系具有定常约束时，ri t 0 ，即 a0 a j 0, a jk 中不显含时间， 则有
T T2
(1.3.23)
因此定常约束情况下质点系的动能是广义速度的二次齐函数。
谢谢大家！
(i 1, 2,..., N ; j 1, 2,...l )
(1.3.16a)
将 ri 对某个广义坐标 q j 求偏导数，并交换对时间t求导的次序， 导出第二个恒等式
ri d ri ( ) q j dt q j
(i 1, 2,...N ; j 1, 2,...l )
（1.3.16b）
（1.3.17）
式中T为质点系的动能
1 T mi ri i r i 1 2
N
（1.3.18）
将式（1.3.4）和（1.3.17）代入式（1.3.13），得到用动能 表示的动力学普遍方程
T T0 T1 T2
式中
(1.3.20)
1 l l T2 a jk q j qk 2 j 1 k 1
1 T0 a0 2
T1 a j q j
j 1
l
（1.3.21）
分别为广义速度 q j ( j 1, 2,..., l )的零次、一次、二次齐函数。用动能Fra bibliotek示的动力学普遍方程
韩伟
用动能表示的动力学普遍方程
仍讨论N个质点 Pi(i 1, 2,..., N ) 组成的带有r个完整约束 和s个非完整约束的系统， 选取l 3N r 个广义坐标 q j ( j 1, 2,..., l ) 表示系统的位形， 系统的自由度为 f 3N r s 。 各质点的矢径 ri (i 1, 2,..., N )由广义坐标完全确定，
（1.3.22）
质点系具有定常约束时，ri t 0 ，即 a0 a j 0, a jk 中不显含时间， 则有
T T2
(1.3.23)
因此定常约束情况下质点系的动能是广义速度的二次齐函数。
谢谢大家！
(i 1, 2,..., N ; j 1, 2,...l )
(1.3.16a)
将 ri 对某个广义坐标 q j 求偏导数，并交换对时间t求导的次序， 导出第二个恒等式
ri d ri ( ) q j dt q j
(i 1, 2,...N ; j 1, 2,...l )
（1.3.16b）
（1.3.17）
式中T为质点系的动能
1 T mi ri i r i 1 2
N
（1.3.18）
将式（1.3.4）和（1.3.17）代入式（1.3.13），得到用动能 表示的动力学普遍方程
高等结构动力学ppt
rk rk q1, q2 ,..., qn
（质点 k 的矢径）
稳定约束。所以有
n n drk rk dqi r i Vk k q dt dt i 1 qi i 1 qi
系统动能等于各质点动能之和
显然 mij m ji 是对称的。 则T是关于广义速度的二次型， 由于T>0，是正定二次型，则M正定对称的。
m
cij c ji 是对称的， 0
rk rk 1 n n m i q j k q 2 i 1 j 1 qi q j k 1 1 n n 1 T i q j q Cq cij q 2 i 1 j 1 2
iT M j 0
代入（3）式有
iT K j 0
当i j 时 令其为
（4）式恒成立，通常
iT Mi 0
Mi iT Mi ，
称为第 i 阶模态质量，同理
ki iT Ki ，
称为第 i 阶模态刚度，且有（由（3）式） ：
Ki Mi
T i 2 T i i
7 l 13 31 12 EI
作用单位力后在 mi 上产生的位移，用 ij 表示。
.. .. .. y1 F1 m1 y1 11 F2 m2 y 2 12 F3 m3 y3 13
.. .. .. y2 F1 m1 y1 21 F2 m2 y 2 22 F3 m3 y3 23
对于 m 个质点的质点系， 共约束是 r 个， 那么广义 坐标系 n＝3m－r 个，也就是有 n 个自由度数。
刚体在空间运动有六个 DOF
有限单元法将连续体离散成若干有限单元构成
第8章化学动力学ppt课件
T /K
376 463
lnk2
10 20
增加
1倍
1000 2000 100 200 1倍
lnk/[k]
活化能更高
200 100
20
10
活化能较低
1
活化能较高
(b) 对不同反应，Ea 大，k随T的变 化也大，如 Ea(3)Ea(2)。
1
T /K
ln k 2
3
2
2000 1000 1 463 376 T /K
基元反应中，同时直接参加反应的分子（或离子、 原子、自由基等）的数目称为反应分子数。
根据反应分子数可将基元反应分为单分子反应、双 分子反应和三分子反应。例如：
单分子反应：SO2Cl2＝SO2+Cl2 双分子反应：NO2+CO＝NO+CO2 三分子反应：H2+2I＝2HI
Note：按照反应的分子数来分类，只适合于基元反应。
如果 aA + bB = dD + eE 为基元反应，
则:
ka ccb
AB
Note：
①质量作用定律仅适用于基元反应。
②只有基元反应，才能说反应分子数！ 在基元反应中，反应级数和反应分子数数值 相等，都是反应物的计量系数之和，但反应 分子数是微观量，反应级数是宏观量。
③组成复杂反应的每个基元反应都有自己的速 率方程；但它的总反应速率方程是由实验确 定的。
瞬时速率是初始速率 0
从瞬时速率的定义, 可以归纳出瞬时速率的求法:
(1) 做浓度— 时间曲线图; (2) 在指定时间的曲线位置上做切线; (3) 求出切线的斜率(用做图法, 量出线段长, 求出比 值)
例题：2700s时的瞬时速率：
A点的斜率= (50 .5 8 .10 4) 4 0 120 2.5 81 0 5
376 463
lnk2
10 20
增加
1倍
1000 2000 100 200 1倍
lnk/[k]
活化能更高
200 100
20
10
活化能较低
1
活化能较高
(b) 对不同反应，Ea 大，k随T的变 化也大，如 Ea(3)Ea(2)。
1
T /K
ln k 2
3
2
2000 1000 1 463 376 T /K
基元反应中，同时直接参加反应的分子（或离子、 原子、自由基等）的数目称为反应分子数。
根据反应分子数可将基元反应分为单分子反应、双 分子反应和三分子反应。例如：
单分子反应：SO2Cl2＝SO2+Cl2 双分子反应：NO2+CO＝NO+CO2 三分子反应：H2+2I＝2HI
Note：按照反应的分子数来分类，只适合于基元反应。
如果 aA + bB = dD + eE 为基元反应，
则:
ka ccb
AB
Note：
①质量作用定律仅适用于基元反应。
②只有基元反应，才能说反应分子数！ 在基元反应中，反应级数和反应分子数数值 相等，都是反应物的计量系数之和，但反应 分子数是微观量，反应级数是宏观量。
③组成复杂反应的每个基元反应都有自己的速 率方程；但它的总反应速率方程是由实验确 定的。
瞬时速率是初始速率 0
从瞬时速率的定义, 可以归纳出瞬时速率的求法:
(1) 做浓度— 时间曲线图; (2) 在指定时间的曲线位置上做切线; (3) 求出切线的斜率(用做图法, 量出线段长, 求出比 值)
例题：2700s时的瞬时速率：
A点的斜率= (50 .5 8 .10 4) 4 0 120 2.5 81 0 5
大学物理A层次--第二章 牛顿动力学(平动)ppt课件
属性。惯性状态：物体保持相对静止或匀速直线运动的 状态。惯性状态和惯性是两个不同的概念。 B.惯性是保持其原有运动状态的内部原因，力是改变物体运 动状态的外部原因 C. 牛顿力学适用的条件：惯性系 2.改变物体运动状态的原因——牛顿第二定律 d ( m v ) 牛顿第二定律： F m a 或： F dt
理解：A.牛顿第二定律是实验定律
B.给出了质量是惯性的量度以及力的量度 F m a
C.牛顿第二定律的瞬时性、矢量性、独立性。 瞬时性：力和加速度同时存在，同时消失。 独立性：每个力对物体产生的加速度，与是否存在别的力无关 或：多个力对同一物体产生的加速度，等于每一个力单独 对物体产生的加速度的矢量和。 矢量性：牛顿第二定律满足矢量的合成与分解。 2 dv d x x F ma m m x x 2 dt dt 2 dv d y y F ma m m y y 2 dt dt 2 dv d z z F ma m m z z 2 dt dt
向受力质点 向相反
动或趋势相反 向受力质点 定则
11 2 2 1.万有引力： 是自然界所有力中强度最弱 G 6 . 670 10 N m / kg 的相互作用力，是长程力。 11 2 2 例：m1=1kg，m2=1kg，r=1m。则： F 6 . 670 10 N m / kg 这是任何精密仪器无法测量的。
1 2 2
12 2
产生 条件
任何情况
1 2 2
接触 形变
接触、有相对 运动或趋势
存在电荷
有电流存在 有运动电荷
m m 大小 F G r
Q Q N F qvB sin F k F kxf max s r
1 2 2
理解：A.牛顿第二定律是实验定律
B.给出了质量是惯性的量度以及力的量度 F m a
C.牛顿第二定律的瞬时性、矢量性、独立性。 瞬时性：力和加速度同时存在，同时消失。 独立性：每个力对物体产生的加速度，与是否存在别的力无关 或：多个力对同一物体产生的加速度，等于每一个力单独 对物体产生的加速度的矢量和。 矢量性：牛顿第二定律满足矢量的合成与分解。 2 dv d x x F ma m m x x 2 dt dt 2 dv d y y F ma m m y y 2 dt dt 2 dv d z z F ma m m z z 2 dt dt
向受力质点 向相反
动或趋势相反 向受力质点 定则
11 2 2 1.万有引力： 是自然界所有力中强度最弱 G 6 . 670 10 N m / kg 的相互作用力，是长程力。 11 2 2 例：m1=1kg，m2=1kg，r=1m。则： F 6 . 670 10 N m / kg 这是任何精密仪器无法测量的。
1 2 2
12 2
产生 条件
任何情况
1 2 2
接触 形变
接触、有相对 运动或趋势
存在电荷
有电流存在 有运动电荷
m m 大小 F G r
Q Q N F qvB sin F k F kxf max s r
1 2 2
高等机构学第十一章-机械系统动力学课件.ppt
i 1
n
n
Pi
等效构件作转动
M e Pi ,
i 1
Me
i 1
n
n
Pi
等效构件作移动 Fev Pi , i 1
Fe
i 1
v
n
Pi 机构中所有构件在运动过程的瞬时功率之和
i 1
Me
Je
Fe
me
v
注意： M e M ed M er
等效构件的力矩或力的运动方程的微分形式为：
d 2 dJ M d M r J dt 2 d
d
2 d f (,)
d
J
将其代入下面的欧拉公式，则：
i1
i
(
d d
)
i
i
M
(
i
,
i
)
2
2
J ii
(
dJ
d
)
i
用差商 Ji1 Ji Ji1 Ji
i1 i
代替
(
dJ
d
)
i
则上式变换为：
i1
3J i J i1 2Ji
i
M (i ,i ) J i i
的近似值约为：
1 2
(i
i1)t
F1
m
( F jx
j 1
x j q1
F jy
y j q1
M
j
j
q1
)
F2
m
( F jx
j 1
x j q2
F jy
y j q2
Mj
j )
q2
……
Fn
m
( F jx
j 1
x j qn
F jy
y j qn
n
n
Pi
等效构件作转动
M e Pi ,
i 1
Me
i 1
n
n
Pi
等效构件作移动 Fev Pi , i 1
Fe
i 1
v
n
Pi 机构中所有构件在运动过程的瞬时功率之和
i 1
Me
Je
Fe
me
v
注意： M e M ed M er
等效构件的力矩或力的运动方程的微分形式为：
d 2 dJ M d M r J dt 2 d
d
2 d f (,)
d
J
将其代入下面的欧拉公式，则：
i1
i
(
d d
)
i
i
M
(
i
,
i
)
2
2
J ii
(
dJ
d
)
i
用差商 Ji1 Ji Ji1 Ji
i1 i
代替
(
dJ
d
)
i
则上式变换为：
i1
3J i J i1 2Ji
i
M (i ,i ) J i i
的近似值约为：
1 2
(i
i1)t
F1
m
( F jx
j 1
x j q1
F jy
y j q1
M
j
j
q1
)
F2
m
( F jx
j 1
x j q2
F jy
y j q2
Mj
j )
q2
……
Fn
m
( F jx
j 1
x j qn
F jy
y j qn
《高等动力学》PPT课件
2 V1 kx r 2
3m x 1 m (x 1 kx 2 2 2 L 2 x ) 1 r 2 2 2 r
广义能量积分为
T2 T0 V
循环积分为
2 3 m1 x 2
1 kx 2 E 2 1 m ( x x ) r 2 2 2 r
T 3m x 1 m2 ( x xr ) C x
d L j dt q
d L j dt q
L q 0 j
0
L C j j q
循环积分
V与广义速度无关
L T p p — 广义动量 j j j q j q
刚体平动和定轴转动时广义动量的物理意义?
2018年11月24日 Page 9
Page 11
例1:椭圆摆
取x和为广义坐标 2 2lx cos ) mB gl cos 2 1 mB ( x 2 l 2 L 1 mA x 2 2 a) x为循环坐标，存在循环积分
L m x A mB ( x l cos ) C x
劳斯函数
( q , q , , q , q 1 , q 2 , , q m , q m 1 , q m 2 ,, q l , LL m 1 m2 l C1 , C2 , Cm , t )
拉格朗日函数对非循环坐标及导数的复合导数： j L m j q L m L q L Cj qi qi qi qi j q j qi j
l ai d ( T1 ) T1 ( ai a j )q j (i 1, 2, l ) i dt q qi q j qi t j l l ai a j j gij q j )q 其中第一项可以表示为： ( q j qi j j a j ai ai a j g ji gij 注意到： gij q q qi q j j i
3m x 1 m (x 1 kx 2 2 2 L 2 x ) 1 r 2 2 2 r
广义能量积分为
T2 T0 V
循环积分为
2 3 m1 x 2
1 kx 2 E 2 1 m ( x x ) r 2 2 2 r
T 3m x 1 m2 ( x xr ) C x
d L j dt q
d L j dt q
L q 0 j
0
L C j j q
循环积分
V与广义速度无关
L T p p — 广义动量 j j j q j q
刚体平动和定轴转动时广义动量的物理意义?
2018年11月24日 Page 9
Page 11
例1:椭圆摆
取x和为广义坐标 2 2lx cos ) mB gl cos 2 1 mB ( x 2 l 2 L 1 mA x 2 2 a) x为循环坐标，存在循环积分
L m x A mB ( x l cos ) C x
劳斯函数
( q , q , , q , q 1 , q 2 , , q m , q m 1 , q m 2 ,, q l , LL m 1 m2 l C1 , C2 , Cm , t )
拉格朗日函数对非循环坐标及导数的复合导数： j L m j q L m L q L Cj qi qi qi qi j q j qi j
l ai d ( T1 ) T1 ( ai a j )q j (i 1, 2, l ) i dt q qi q j qi t j l l ai a j j gij q j )q 其中第一项可以表示为： ( q j qi j j a j ai ai a j g ji gij 注意到： gij q q qi q j j i
第十章结构动力学1 56页PPT文档
5.与其它课程之间的关系
结构动力学以结构力学和数学为基础。 要求熟练掌握已学过的结构力学知识和数学知识（微分方程的求解）。
结构动力学作为结构抗震、抗风设计计算的基础。
2019/9/6
结构力学
§10-2 体系的动力自由度
1.动力自由度的定义
动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗贝尔（D‘Alembert Jean Le Rond）原理，惯性力与质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位 移，所以，动力学一般将质量位移作为基本未知量。
世界上采用被动式TMD的其它代表性建筑有：加拿大多伦多 的CN Tower、日本大阪的Crystal Tower、澳洲悉尼的 Centerpoint Tower、美国纽约的Citicorp Center、日本的明石 海峡大桥 Akashi Kaikyo Bridge ，等等。
§10-1 概述
结构振动控制的工程应用实例
冲击和突加载荷： 其特点是荷载的大小在极短的时间内有较大的变化。冲 击波或爆炸是冲击载荷的典型来源；吊车制动力对厂房的水平作用是典型 的突加荷载。
随机载荷：其时间历程不能用确定的时间函数而只能用统计信息描述。风 荷载和荷载均属此类。对于随机荷载，需要根据大量的统计资料制定出相 应的荷载时间历程（荷载谱）。
第10章 结构动力学
Structural dynamics
§10-1 概述 §10-2 体系的动力自由度 §10-3 单自由度体系运动方程的建立 §10-4 单自由度体系的自由振动 §10-5 单自由度体系的强迫振动 §10-6 多自由度体系的自由振动 §10-7 振型的正交型 §10-8 多自由度体系的强迫振动 §10-9 无限自由度体系的自由振动 §10-10 自振频率的近似计算
结构动力学以结构力学和数学为基础。 要求熟练掌握已学过的结构力学知识和数学知识（微分方程的求解）。
结构动力学作为结构抗震、抗风设计计算的基础。
2019/9/6
结构力学
§10-2 体系的动力自由度
1.动力自由度的定义
动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗贝尔（D‘Alembert Jean Le Rond）原理，惯性力与质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位 移，所以，动力学一般将质量位移作为基本未知量。
世界上采用被动式TMD的其它代表性建筑有：加拿大多伦多 的CN Tower、日本大阪的Crystal Tower、澳洲悉尼的 Centerpoint Tower、美国纽约的Citicorp Center、日本的明石 海峡大桥 Akashi Kaikyo Bridge ，等等。
§10-1 概述
结构振动控制的工程应用实例
冲击和突加载荷： 其特点是荷载的大小在极短的时间内有较大的变化。冲 击波或爆炸是冲击载荷的典型来源；吊车制动力对厂房的水平作用是典型 的突加荷载。
随机载荷：其时间历程不能用确定的时间函数而只能用统计信息描述。风 荷载和荷载均属此类。对于随机荷载，需要根据大量的统计资料制定出相 应的荷载时间历程（荷载谱）。
第10章 结构动力学
Structural dynamics
§10-1 概述 §10-2 体系的动力自由度 §10-3 单自由度体系运动方程的建立 §10-4 单自由度体系的自由振动 §10-5 单自由度体系的强迫振动 §10-6 多自由度体系的自由振动 §10-7 振型的正交型 §10-8 多自由度体系的强迫振动 §10-9 无限自由度体系的自由振动 §10-10 自振频率的近似计算
ppt第四章人体运动的动力学幻灯
分情况讨论： 绕实体轴转动的条件：该轴的合外力矩不为零 局部肢体绕关节轴转动的条件：阻力矩与肌肉拉力矩不相等
（三）转动力学的基本物理量 1.转动惯量（I） I=mr2 （m为质点的质量，r为质点距轴的垂直距离） ������ = ������������������������������ + ������������������������������ + ������������������������������ + ⋯ ������������������������������ = ������������������������������
（四）有支撑状态时人体的转动动作 1.转动定理：当物体收到合外力矩������M作用时，如果产生的角加速度为β，那么， 转动体的转动惯量I与加速度β的乘积正好等于作用于转动体的合外力矩������M ������M=I·β （F=m ·a）
2.动量矩定理
������
=
������
∙
������
=
������
������
������ = ������������
������
������������ =
������������ ������������ ������
������������ =
������������ ������������ ������
������������ =
������������ ������������ ������
（三）内力与外力相互作用 1.外力引起内力 外力作用于人体，一定要引起身体内相应内力的出现，这时内力的作用为 抵消、克服或利用外力对内力的作用 2.内力引起外力 人体的内力作为运动的源动力，是内力与周围环境互相作用时产生的 3.内力与外力的相互关系 人体的运动既取决于内力也取决于外力，取决于它们如何统一在整个运
（三）转动力学的基本物理量 1.转动惯量（I） I=mr2 （m为质点的质量，r为质点距轴的垂直距离） ������ = ������������������������������ + ������������������������������ + ������������������������������ + ⋯ ������������������������������ = ������������������������������
（四）有支撑状态时人体的转动动作 1.转动定理：当物体收到合外力矩������M作用时，如果产生的角加速度为β，那么， 转动体的转动惯量I与加速度β的乘积正好等于作用于转动体的合外力矩������M ������M=I·β （F=m ·a）
2.动量矩定理
������
=
������
∙
������
=
������
������
������ = ������������
������
������������ =
������������ ������������ ������
������������ =
������������ ������������ ������
������������ =
������������ ������������ ������
（三）内力与外力相互作用 1.外力引起内力 外力作用于人体，一定要引起身体内相应内力的出现，这时内力的作用为 抵消、克服或利用外力对内力的作用 2.内力引起外力 人体的内力作为运动的源动力，是内力与周围环境互相作用时产生的 3.内力与外力的相互关系 人体的运动既取决于内力也取决于外力，取决于它们如何统一在整个运
《高等动力学》课件
习题4
一质量为2kg的物体在力F=-3t^2+4 的作用下，从速度v0=3m/s开始做减 速运动，求t=2s时的速度和位移。
答案部分
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
答案1
牛顿第二定律的数学表 达式为F=ma，其中F 为物体所受合外力，m 为物体的质量，a为物 体的加速度。牛顿第二 定律的物理意义是描述 物体运动状态变化的原 因和规律，即力是改变 物体运动状态的原因。
01
高等动力学在研究基本粒子的运动规律和相互作用中具有重要
应用。
Байду номын сангаас
核聚变与核裂变
02
高等动力学用于分析核聚变和核裂变过程中粒子的运动轨迹和
相互作用机制。
等离子体物理
03
高等动力学在等离子体物理领域中用于研究等离子体的运动特
性和稳定性。
在天文学领域的应用
行星运动规律
高等动力学用于研究行星和其他天体的运动规律，揭示宇宙演化 的奥秘。
积极参与国际交流与合作，吸收国际先进经 验，推动高等动力学的发展。
CHAPTER
06
习题与答案
习题部分
习题1
简述牛顿第二定律的数学表达式及其物 理意义。
习题3
一质量为1kg的质点在力F=-2t^2+4 的作用下，从静止开始运动，求质点
的速度和位移与时间的关系。
习题2
计算一质量为2kg的物体在力 F=3t^2+4的作用下，在t=2s时的速 度和加速度。
特性
高等动力学具有理论性强、数学要求 高、应用广泛等特点，是物理学、工 程学、天文学等学科的重要基础。
高等动力学的重要性
基础学科地位
高等动力学是物理学的重要分支 ，为其他学科提供了理论基础和 工具，促进了科学技术的发展。
一质量为2kg的物体在力F=-3t^2+4 的作用下，从速度v0=3m/s开始做减 速运动，求t=2s时的速度和位移。
答案部分
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
答案1
牛顿第二定律的数学表 达式为F=ma，其中F 为物体所受合外力，m 为物体的质量，a为物 体的加速度。牛顿第二 定律的物理意义是描述 物体运动状态变化的原 因和规律，即力是改变 物体运动状态的原因。
01
高等动力学在研究基本粒子的运动规律和相互作用中具有重要
应用。
Байду номын сангаас
核聚变与核裂变
02
高等动力学用于分析核聚变和核裂变过程中粒子的运动轨迹和
相互作用机制。
等离子体物理
03
高等动力学在等离子体物理领域中用于研究等离子体的运动特
性和稳定性。
在天文学领域的应用
行星运动规律
高等动力学用于研究行星和其他天体的运动规律，揭示宇宙演化 的奥秘。
积极参与国际交流与合作，吸收国际先进经 验，推动高等动力学的发展。
CHAPTER
06
习题与答案
习题部分
习题1
简述牛顿第二定律的数学表达式及其物 理意义。
习题3
一质量为1kg的质点在力F=-2t^2+4 的作用下，从静止开始运动，求质点
的速度和位移与时间的关系。
习题2
计算一质量为2kg的物体在力 F=3t^2+4的作用下，在t=2s时的速 度和加速度。
特性
高等动力学具有理论性强、数学要求 高、应用广泛等特点，是物理学、工 程学、天文学等学科的重要基础。
高等动力学的重要性
基础学科地位
高等动力学是物理学的重要分支 ，为其他学科提供了理论基础和 工具，促进了科学技术的发展。
1高等动力学2008
sin ,sin ,sin
cos 1, cos 1, cos 1
变换矩阵可写为
1
C , ,
略去矩阵中的二阶微量为
1
C , ,
0 1z
令
C , , C C C
cos cos sin cos sin
sin cos cos cos sin
sin sin
cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos
机械学院
同理，绕轴ON(或Ox1)转过角(图1—7b)，随体参考系到 达Ox2y2z2所示位置，刚体上任意一点M在两个参考系中的坐
标有下列关系：
x1 1 0
0 x2
y1
0
c os
s
in
y
2
z1 0 sin cos z2
是采用了类似的陀螺仪来使导弹保持“平衡”状态。 为了克服摩擦： 在真空中悬浮的陀螺、液体中悬浮的流体陀螺、
振动陀螺、原子陀螺、激光陀螺、液浮陀螺、静电陀螺、 动压陀螺及定向精度高的动力调谐陀螺仪等
陀螺理论也在飞速发展。
刚体动力学
机械学院
1.1 刚体定点运动的运动方程
研究刚体定点运动首先要确定刚体在空间的位置。建立静
sin cos
sin sin
cos
sin
cos
上式可写为
x
x
y
C
,
,
y
z
z
刚体动力学
cos 1, cos 1, cos 1
变换矩阵可写为
1
C , ,
略去矩阵中的二阶微量为
1
C , ,
0 1z
令
C , , C C C
cos cos sin cos sin
sin cos cos cos sin
sin sin
cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos
机械学院
同理，绕轴ON(或Ox1)转过角(图1—7b)，随体参考系到 达Ox2y2z2所示位置，刚体上任意一点M在两个参考系中的坐
标有下列关系：
x1 1 0
0 x2
y1
0
c os
s
in
y
2
z1 0 sin cos z2
是采用了类似的陀螺仪来使导弹保持“平衡”状态。 为了克服摩擦： 在真空中悬浮的陀螺、液体中悬浮的流体陀螺、
振动陀螺、原子陀螺、激光陀螺、液浮陀螺、静电陀螺、 动压陀螺及定向精度高的动力调谐陀螺仪等
陀螺理论也在飞速发展。
刚体动力学
机械学院
1.1 刚体定点运动的运动方程
研究刚体定点运动首先要确定刚体在空间的位置。建立静
sin cos
sin sin
cos
sin
cos
上式可写为
x
x
y
C
,
,
y
z
z
刚体动力学
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例1.5平面四连杆机构如图所示，选择角度θψφ
为广义坐标，写出对广义坐标变分的约束方程， 求AB两点的虚位移与广义坐标变分之间的关系
解：利用OC矢量沿x轴和y轴的投影列出广义 坐标的约束方程
l1cosl2cos l3cos d
l1sinl2sin l3sin 0
对上式取变分得，
•
式中
Δ
. q
j
为广义速度的变换，即同一时刻，
同一位置两组广义速度之差
• 满足约束方程
l
.
Bki q j 0
j1
（k=1,2…,s）
7.虚加速度
• 可能加速度：质点系可能运动的加速度称 为可能加速度
• 将约束方程对时间微分一次，得到可能加 速度应满足的约束条件
3N .. . . .
(A kx iiA kx ii)A k00 (k 1 ,2 ..r. ,s)
i 1
设质点在同一时刻同一位置并保持同一速度 .. ..
的两组可能x加 i*,x速 i**,都 度必 为须满足
约束条件，代入两式相减即得到虚加速度的约 束条件为
3N
..
A k i xi 0(k1 ,2...r,s)
i 1
.. .. ..
其中 x， i xi*
x**
i
称为加速度变更或虚加速度，可理解为约 束瞬间“凝固”，质点保持原有位置和速 度不变时约束允许发生的可能加速度
高等动力学1.6
dxi
l
xidqj xidt
j1qj qj
• 由于广义坐标数l大于系统的自由度f,dqj不 是独立变量，而受到约束方程的限制
l
BkidqjBk0dt 0
j1
设质点系在同一时刻，同一位置有两组广义坐标微分
dqj* 和dqj**,分别别对应于两位 组移 可， 能即
得出，质点系的虚位移由广义坐标的变分 完全确定
xi jl1 qxij qj
jl1 q xijdqj
xi qj
dt
• 将上式各项除以dt，重复以上推导，可导出 用广义速度变更表示的虚速度
x. i jl1 q xiiq. j(i1,2..3 .N , )
l1sin l2sin l3sin 0
l1cos l2cos l3cos 0
• 将A,B两点的坐标用广义坐标表示，
x1l1co,sx2dl3cos y1l1sin,y2l3sin
• 对上式各项取变分，导出A,B两点的虚位移
x1lsin, x2l3si n y1l1cos, y2l3cos
dxi* jl1xqijdqj*xqijdt
dix**
jl1 q xijdq j*
xi dt qj
将以上两式相减， xi 同 dxi*时 d
x**
i
引q 进 jdj*qdi*q *
（为广义坐标的等时变分，即同一时刻、同 一位置两组广义坐标微分之差）