二项式系数性质一
二项式系数的性质课件
[解] 由题设 m＋n＝19，
∵m，n∈N＋，
∴mn＝＝118，，
m＝2， n＝17，
…
m＝18， n＝1.
x2 的系数为 C2m＋C2n＝12(m2－m)＋12(n2－n)＝m2－19m＋171．
1234 5
∴当 m＝9 或 10 时，x2 的系数取最小值 81，此时 x7 的系数为 C79 ＋C710＝156．
B．82 020－1
C．22 020
D．82 020
B [由已知，令 x＝0，得 a0＝1，令 x＝3，得 a0＋a1·3＋a2·32＋…
＋a2 020·32 020＝(1－9)2 020＝82 020，所以 a1·3＋a2·32＋…＋a2 020·32 020＝ 82 020－a0＝82 020－1，故选 B．]
1234
3．若二项式x2＋ax7的展开式中的各项系数之和为－1，则含 x2 的项的系数为________．
1234
560 [取 x＝1，得二项式x2＋ax7的展开式中的各项系数之和为(1 ＋a)7，即(1＋a)7＝－1，解得 a＝－2．二项式x2＋ax7的展开式的通项 为 Tr＋1＝C7r·(x2)7－r·－2xr＝C7r·(－2)r·x14－3r．令 14－3r＝2，得 r＝4．因 此，二项式x2－2x7的展开式中含 x2 项的系数为 C47·(－2)4＝560．]
1234 5
3．设复数 x＝1－2i i(i 是虚数单位)，则 C21 019x＋C22 019x2＋C32 019x3＋…
＋C22 001199x2 019 等于(
)
A．i
B．－i
C．－1＋i
D．－1－i
D [x＝1－2i i＝
1＋
二项式系数的性质
的定义和性质进行证明
利用递推关系进行简化
• 例如，证明二项式定理时，
可以利用递推关系进行证明
05
二项式系数在概率论与数理统计中的应用
二项分布的概率质量函数
二项分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n, k) *
p^k * (1-p)^(n-k)
二项分布的概率质量函数与二项式系数
密切相关
• 其中X表示二项分布的随机变量，n
• 其中P(n, k)表示从n个不同元素中选取k个元素的排列数
二项式系数的计算公式
• 二项式系数的计算公式为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
• 当k为0或n时，C(n, k)有简化公式
• C(n, 0) = 1
• C(n, n) = 1
• 当n和k较大时，可以使用递推公式计算二项式系数
性质进行证明
性进行简化
• 例如，计算二项分布的概率时，可以
利用奇偶性进行简化
二项式系数的递推关系
二项式系数具
有递推关系，
即C(n, k) =
C(n-1, k-1) +
C(n-1, k)
二项式系数的
递推关系在组
合数学和概率
论中有广泛应
用
01
02
• 证明方法：根据二项式系数
• 例如，计算组合数时，可以
• 可以使用二项式系数计算二项分布的
表示试验次数，p表示成功概率，k表示
概率质量函数
成功次数
• 可以使用二项分布的概率质量函数计
算二项分布的期望和方差
二项分布的期望与方差
二项分布的期望为E(X) = np
• 其中n表示试验次数，p表示成功概率
二项分布的方差为Var(X) = np(1-p)
6.3.2 二项式系数的性质课件【高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册】
(r 1≤)！(11,5即 r 1)！≤1,
r
315！
3(15 r 1)
解得r≤12,同理,由 C≥1r531r,解得r≥11,所r！以(15展 r开)！式中系数最大的项对应的
C 3 r1 r1 15
r=11,12,即展开式中系数最大的项是T12=C1115 (3x)11和T13=C1125 (3x)12.
…(+2a101))10 ( 2 1)10
=
=1.
答案:720 1
角度2 展开式中的最大项问题 【典例】1.(2020·随州高二检测)在 (x 1 )n 的展开式中,只有第5项的二项
x
式系数最大,则展开式中系数最小的项的系数为( ) A.-126 B.-70 C.-56 D.-28 2.已知(1+3x)n的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,求: (1)展开式中二项式系数最大的项. (2)展开式中系数最大的项.(结果可以以组合数形式表示)
4.(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8=________. 【解析】由题意可知a8是x8的系数,所以a8= C180·22=180. 答案:180
类型一 二项式系数性质的应用 【典例】1.(2020·重庆高二检测)(mx+ x )n(n∈N+)的展开式中,各二项式系 数之和为32,各项系数之和为243,则展开式中x3的系数为( ) A.40 B.30 C.20 D.10 2.已知在 ( x 2 )n的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.
(2)
Cr1 n
,
Crn
,
Crn
1
之间有什么关系?
(完整版)二项式展开式系数的性质
(
2)n cos n
4
Cn1 Cn3 Cn5 Cn7 L
(
2)n sin n
4
证明：
2
cos
4
i sin
4
n
(
2)n cos n i(
4
2)n sin n
4
①又Βιβλιοθήκη 2cos4
i
sin
4
n
2
2 i 2
2 2
n
(1
i)n
1 Cn1i Cn2 Cn3i Cn4 Cn5i Cn6 Cn7i L
(Cn0 Cn1x Cn2 x2 L Cnn xn )(Cn0xn Cn1xn1 L Cnn1x Cnn )
令a 1,b 1,则0 Cn0 C1n Cn2 Cn3 (1)n Cnn
Cn0 Cn2 Cn2r C1n Cn3 Cn2r1 2n1
性质4：
4. (x y)n 展开式共有 n 1 项。二项式系数：小 大 小
当当nn为为偶奇数数时时，，中中间间项两为项第系数n2 最1大项，，它二们项是式第系n数C1 n项n2 最和大； 2
证明：Q kCnk nCnk11 ,
n
n
n
左边
kCnk
nCnk11 n
C k 1 n1
k 1
k 1
k 1
n 1
n
Ck n 1
n 2n1 右边
k 0
(2)
Cn0
1 2
Cn1
1 3
Cn2
L
1 n 1
Cnn
1 (2n1 1) n 1
证明：Q (k 1)Cnk11 (n 1)Cnk ,
的展开式中，按
1 2
二项式系数的性质 第一课时
二项式系数的性质（第一课时）1.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用．2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题．3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力．➢教学重点、难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用．➢教学过程：一、复习二项式定理，二项展开式的通项及二项式系数．二、新课讲解1．二项式系数表（杨辉三角）()n+展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，如下表所示：a b1+ (11)a b()2+ (121)()a b3()+ (1331)a b4+ (14641)()a b5a b+ (15101051)()6+ (1615201561)()a b………………………………上表叫二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和（为什么？）这个表早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就已经出现，这个表n+的各项二叫杨辉三角．利用这一性质，可根据相应于n的各项二项式系数写出相应于1项式系数．2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0nC ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）． （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）．直线2n r =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值． ∵1(1)(2)(1)1!kk n n n n n n k n k C C k k----+-+==⋅， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C-，12n n C +取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++．三、例题分析例1．在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．证明：在展开式01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中， 令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n n n n n nC C C C C -=-+-++-， 即02130()()n n n n C C C C =++-++， ∴0213n n n n C C C C ++=++， 即在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=.例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求： （1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++.解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为0127a a a a ++++ ∴0127a a a a ++++1=-，当0x =时，01a =， ∴127112a a a +++=--=-，（2）令1x =， 0127a a a a ++++1=- ①令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-. （3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=， ∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=．四、课堂小结1．性质1是组合数公式r n r n nC C -=的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和．2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．五、作业补充已知：5025001250(2)a a x a x a x =++++， 求：2202501349()()a a a a a a +++-+++的值．。
高中数学选择性必修三 6 3 2 二项式系数的性质
＋a4＋a5＋a6等于
A.4
B.－71
√C.64
D.199
解析 ∵(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6， 令x＝0，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64.
12345
4.x－1x10的展开式的各项系数的和为__0__.
12345
5.(2x－1)6的展开式中各项系数的和为__1__；各项的二项式系数的和 为__6_4__. 解析 令x＝1，得各项系数的和为1； 各二项式系数之和为26＝64.
即Cnm＝_C_nn－_m_
增减性 与最 大值
增减性：当k<n＋1 时，二项式系数是逐渐增大的；当k> n＋1 时，二项式系
2
2
n
数是逐渐 减小的 .最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数_C__n2_最大；
n1
n1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数__C_n_2__，___C_n_2__相等，且同时取得
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)二项式系数的性质. (2)赋值法求各项系数的和. 2.方法归纳：一般与特殊、函数与方程. 3.常见误区：赋值时应注意展开式中项的形式，杜绝漏项.
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式 系数的和，则n的值为___5__. 解析 (7a＋b)10 的展开式中二项式系数的和为 C010＋C110＋…＋C1100＝210， 令(x＋3y)n中x＝y＝1， 则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.
二项式系数的性质课件
总结词
二项式定理在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用 。
详细描述
在数学中，二项式定理常用于解决一些组合数学问题，如排 列、组合、概率等。在物理中，二项式定理可用于描述量子 力学和统计力学的某些现象。在工程中，二项式定理可用于 解决一些近似计算问题。
二项式定理的发展历程
总结词
二项式定理的发展经历了漫长的历史过程。
数学教育的普及
随着数学教育的普及，二项式系数等基础数学知 识将更加受到重视，需要进一步研究和推广。
THANKS
感谢观看
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
05
二项式系数在实际问题中的应用
在统计学中的应用
概率计算
二项式系数在概率计算中有着广 泛的应用，例如在二项分布的概 率计算中，二项式系数用于计算
成功的次数。
置信区间
在置信区间估计中，二项式系数用 于计算样本比例的置信区间，帮助 我们了解样本比例的可靠程度。
ERA
二项式定理的定义
总结词
二项式定理是数学中的重要定理之一 ，它描述了二项式展开后的各项系数 规律。
详细描述
二项式定理指出，对于任何两个数的 和或差，即 (a+b) 或 (a-b)，它们的 展开式中的每一项都可以表示为组合 数 C(n, k) 与 a 和 b 的幂次方的乘积 。
二项式定理的应用场景
要点二
详细描述
对称性是指C(n, k) = C(n, n-k)，即从n个元素中选取k个 元素和从n个元素中选取n-k个元素的结果相同。递推性是 指C(n+1, k) = C(n, k-1) + C(n, k)，即从n+1个元素中选 取k个元素等于从n个元素中选取k-1个元素和从n个元素中 选取k个元素的和。组合恒等式是指C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，即从n个元素中选取k个元素等于从n-1个元 素中选取k-1个元素和从n-1个元素中选取k个元素的和。
二项式系数和系数
二项式系数和系数二项式系数和系数是数学中重要的概念，它们在代数、组合数学等领域有广泛的应用。
本文将从理论和实际两个方面，介绍二项式系数和系数的概念、性质以及应用。
一、二项式系数二项式系数是代数中的基本概念，它用于计算二项式展开式中各项的系数。
在组合数学中，二项式系数表示从n个元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数通常用符号C(n,k)来表示，其计算公式为C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)。
其中，n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
二项式系数有许多重要的性质。
首先，对于任意非负整数n，有C(n,0)=C(n,n)=1。
这是因为从n个元素中取出0个元素或取出n个元素，只有一种可能性，即空集或全集。
其次，对于任意非负整数n，有C(n,1)=C(n,n-1)=n。
这是因为从n个元素中取出1个元素或取出n-1个元素，都有n种可能性。
此外，二项式系数还满足对称性，即C(n,k)=C(n,n-k)。
这是因为从n个元素中取出k个元素和从n个元素中取出n-k个元素是等价的，都表示从n个元素中取出一部分。
二、系数的应用系数在代数和组合数学中有广泛的应用。
在代数中，系数用于计算多项式展开式中各项的系数。
例如，将二项式(a+b)^n展开成多项式，其中的系数就是二项式系数。
在组合数学中，系数用于计算组合问题中的可能性。
例如，从n个元素中取出k个元素，其中的系数就表示可能的组合数。
系数还应用于概率论和统计学中。
在概率论中，系数用于计算二项分布的概率。
二项分布是离散概率分布的一种，描述了在n次独立重复试验中成功的次数的概率分布。
在统计学中，系数用于计算二项式回归模型中的系数。
二项式回归模型是一种回归分析方法，适用于因变量为二分类变量的情况。
除了以上应用外，系数还在实际问题中具有重要意义。
例如，在排列组合问题中，系数可以表示不同取法的数量。
在二项式展开中，系数可以表示多项式的各项的系数。
二项式定理及其系数的性质
03
这些性质在解决某些数学问题 时非常有用，如求和、求积等 。
03 系数性质分析
组合数性质回顾
组合数定义
$C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!}$，表示从 $n$个不同元素中选取$k$个元素的组合数。
VS
组合数性质
$C_n^k = C_n^{n-k}$（互补性）， $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$（帕斯卡三角形）， $C_n^0 + C_n^1 + ldots + C_n^n = 2^n$（二项式定理特例）。
根据二项式定理的通项公式，可以直接计算出展开式中 任意一项的系数。具体方法为：确定该项在展开式中的 位置（即序号$k$），然后代入通项公式计算即可。
若需要求多项式的某一项系数，可以先将多项式按照 二项式定理展开，然后找到对应位置的项并计算其系 数。
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常见问题一
根据二项式定理的通项公式，若某项 的系数为0，则该项不存在于展开式 中。因此，可以通过判断通项公式中 组合数或二项式系数的值是否为0来 确定某项是否存在。
VS
当$n<k$时，组合数$C_n^k=0$， 因此对应的二项式系数也为0。此时， 展开式中不存在该项。
常见问题二：如何求展开式中特定项系数？
在二项式定理的通项公式$T_{k+1}=C_n^k cdot a^{n-k} cdot b^k$中，混淆$n$、$k$、$a$、$b$的含义和取值范围。其 中，$n$表示二项式的次数，$k$表示项的序号（从0开始计数），$a$和$b$分别表示二项式中的两个实数。
错误地认为通项公式中的组合数$C_n^k$与二项式系数完全相同，实际上二者在数值上相等，但意义不同。组合数表示从 $n$个不同元素中取出$k$个元素的组合数，而二项式系数表示$(a+b)^n$展开后各项的系数。
二项式展开式系数的性质
π π nπ nπ n n 证明： 2 cos + i sin = ( 2) cos + i ( 2) sin 4 4 4 4
n
①
π π 2 2 n +i 又 2 cos + i sin = 2 = (1 + i ) 4 4 2 2
n
n
1 2 3 4 5 6 7 = 1 + Cn i Cn Cn i + Cn + Cn i Cn Cn i +L
= (1 C + C C + L) + i (C C + C C + L) ②
2 n 4 n 6 n 1 n 3 n 5 n 7 n
①、②两式实部与虚部分别对应相等，即得结论成立。
4
6 10
6
8 10
8
10 10
10
105 5 ∴第 5 项系数最大，即 x3 。 8
2. (1) 求 (1 + 2 x)7 展开式中系数最大的项。 (2) 求 (1 2 x) 展开式中系数最大的项。
7
C7k 2k ≥ C7k 1 2k 1 13 16 ≤k≤ k =5 解： k k (1) k +1 k +1 3 3 C7 2 ≥ C7 2
1 10! 1 10! k !(10 k )! 2k ≥ (k + 1)!(9 k )! 2k +1 1 10! 1 10! k ≥ k 1 k !(10 k )! 2 (k 1)!(11 k )! 2
k +1 1 10 k ≥ 2 8 11 ≤k≤ k =3 3 3 11 k ≥ 2 k
二项式展开式系数 的性质
二项式展开式系数的性质
(C ) C .
n 2 n n 2n
n 证明：从 2n 个不同元素中选取 n 个元素的取法数是 C2 n。
又我们也可将 2n 个元素平均分成甲、乙两组，那么，取法 也可按以下分类进行：
甲组 0个 1个 2个 n个
乙组 n个 n 1 个 n2个 0个
取法数
0 n Cn Cn 1 n 1 Cn Cn 2 n2 Cn Cn
令a 1, b 1, 则0 C C C C (1) C
0 n 1 n 2 n 3 n n
n n
0 2 2r 3 2 r 1 n 1 Cn Cn Cn C1 C C 2 n n n
性质4：
4. ( x y)n 展开式共有 n 1 项。二项式系数：小 大 小 n n 当 n 为偶数时，中间项为第 1 项，二项式系数 Cn2 最大； 2
2 n 4 n 6 n n
n n n n 证明： 2 cos i sin ( 2) cos i( 2) sin 4 4 4 4
2 2 n 又 2 cos i sin 2 i (1 i ) 4 4 2 2
n 0 Cn Cn
0 n 1 n1 2 n 2 由加法原理，Cn Cn Cn Cn Cn Cn
n 0 n Cn Cn C2 n，
0 2 1 2 2 2 即 (Cn ) (Cn ) (Cn )
n 2 n (Cn ) C2 n .
50 49 48 50 2
50
50
3 其中奇数项之和为实数，偶数项之和为纯虚数，故答案为 i。 2
4. 设 n 为偶数，求证： 1 1 1 1!(n 1)! 3!(n 3)! 5!(n 5)! 1 2n1 (n 1)!1! n!
【课件】二项式系数的性质 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
则3k≥6－1 k， 5－1 k≥k＋3 1，
解之得72≤k≤29.又 k∈N，∴k＝4.
∴展开式中系数最大的项为
2
26
T5＝C45x3(3x2)4＝405x 3 .
训练 3 在 x－x228的展开式中， (1)求二项式系数最大的项；
题型二 二项展开式的系数的和问题
例2 设(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023(x∈R). (1)求a0的值； (2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 023的值. 解 ∵(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023， (1)令x＝0，得(1－0)2 023＝a0，因此a0＝1. (2)令x＝1，得(1－2)2 023＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023， ∴a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝－1， 因此a1＋a2＋…＋a2 023＝－2.
迁移2 若本例条件不变，试求a1＋a3＋…＋a2 023的值.
解 分别令x＝－1，x＝1，
得3－2 012＝3＝aa0＋0－aa1＋1＋aa2＋2－aa3＋3＋……＋＋aa2 202022＋2－aa2 202032，3，①②
由②－①，得－1－32 023＝2(a1＋a3＋…＋a2 023).
∴a1＋a3＋…＋a2
+
Cnn
2n1
(n是偶数).
• 证明 ∵n为偶数,
：
∴Cn0
Cn2
Cn4
Cnn
Cn1
Cn3
Cn5
C n1 n
.
又∵C
0 n
Cn1
二项式定理及二项式系数的性质应用
累加性质
01
二项式系数满足累加性质，即对 于任意非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n-1$），有$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$。
02
这一性质表明，在二项式展开 式中，相邻两项的二项式系数 之和等于下一项的二项式系数 。
03
通过累加性质，可以推导出二 项式系数的其他性质，如求和 公式等。
二项式系数与通项公式
二项式系数是指$(a+b)^n$展开后各项的系数，记作$C_n^k$，表示从$n$个不同元素中取出$k$个元素 的组合数。
二项式系数的通项公式为$C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$，其中$n!$表示$n$的阶乘。
二项式定理展开方法
二项式定理的展开方法是通过组合数公式和乘法分配律逐步推导出来的。
02
在组合数学中，多项式定理可用 于推导组合恒等式和求解组合问
题。
在物理学和工程学中，多项式定 理可用于描述多维空间中的物理 量和场分布。
03
在计算机科学中，多项式定理可 用于设计和分析算法的时间复杂
度和空间复杂度。
04
05 思考题与练习题选讲
思考题选讲
题目1
证明二项式定理对任意正整数$n$都成立。
对于$(a+b)^n$，可以先将其表示成$(a+b)(a+b)cdots(a+b)$的形式， 然后按照乘法分配律进行展开。
在展开过程中，每一项都是$a$和$b$的乘积，且$a$和$b$的指数之和为 $n$。根据组合数公式，可以计算出每一项的系数。
02 二项式系数性质
对称性
二项式系数具有对称性，即对于任意 非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n$），有$C_n^k = C_n^{n-k}$。
二项式系数性质与应用
二项式系数性质与应用二项式系数是组合数学中的一种重要概念，它在代数、概率、统计等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍二项式系数的性质，并探讨其在实际问题中的应用。
一、二项式系数的基本性质1.1 二项式系数的定义二项式系数表示为C(n,k)，其中n和k为非负整数，且0 ≤ k ≤ n。
其计算方法为C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中“!”表示阶乘运算。
1.2 二项式系数的对称性二项式系数具有对称性，即C(n,k) = C(n,n-k)。
这是由于在组合中，选取k个元素与选取n-k个元素是等价的。
1.3 二项式系数的递推关系二项式系数有递推关系：C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1)。
这一关系可以用来计算任意二项式系数，而无需重新计算阶乘。
1.4 二项式定理二项式定理是二项式系数的一个重要性质，表示为(a+b)^n = ΣC(n,k) * a^(n-k) * b^k，其中Σ表示求和运算，k的取值范围为0到n。
二、二项式系数的应用2.1 代数中的应用在代数中，二项式系数被广泛应用于多项式展开和系数计算。
通过二项式定理，我们可以展开任意次多项式，从而计算多项式的各项系数。
2.2 概率与统计中的应用在概率与统计中，二项式系数与二项分布密切相关。
二项分布用于描述一组独立重复试验中成功（或失败）的次数的概率分布。
二项分布的概率质量函数可以用二项式系数来表示。
2.3 组合数学中的应用二项式系数是组合数学的基础概念，它与排列、组合、二项式定理等紧密相关。
在组合数学中，可以利用二项式系数解决一些计数问题，如排列组合问题、子集问题等。
2.4 离散数学中的应用离散数学中的一些问题可以转化为二项式系数的计算问题，如定理证明、图论、递归关系等。
二项式系数的递推关系和性质在解决这些问题时起到了重要的作用。
2.5 应用于经济学和金融学二项式系数在经济学和金融学中也有一定的应用，例如二项式期权定价模型和二项式资产定价模型。
二项式系数有哪些特殊性质
二项式系数有哪些特殊性质二项式系数是组合数学中的重要概念，具有许多特殊性质。
本文将详细介绍二项式系数的特性，并进行逐一讨论。
一、二项式系数的定义及基本性质二项式系数是指二次幂的展开式中，各项的系数。
设a和b为任意实数，则二次幂的展开式可表示为(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b+ ··· + C(n,n)b^n，其中C(n,k)表示从n个元素中取k个元素的组合数。
二项式系数具有以下基本性质：1. 对称性：C(n,k) = C(n,n-k)，即二项式系数在列数上具有对称性质。
2. 递推关系：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)，即每一个二项式系数都可以由前一个系数递推得到。
3. 边界条件：C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取0个或n个元素的组合数都为1。
二、二项式系数的特殊性质除了以上的基本性质外，二项式系数还具有许多特殊性质，包括：1. 杨辉三角形的构建二项式系数可以通过杨辉三角形的构建方法得到。
杨辉三角形的第n行第k个数即为C(n,k)，通过构建杨辉三角形，可以直观地观察到二项式系数的对称性和递推关系。
2. 定理1：二项式系数的性质二项式系数满足定理1：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)。
这一性质可以通过排列组合的原理得到，即从n个元素中取k个元素的组合数等于从n-1个元素中取k-1个元素的组合数再加上从n-1个元素中取k个元素的组合数。
3. 定理2：二项式系数的性质二项式系数满足定理2：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k+1)，其中k满足1<=k<=n-1。
这一性质可以通过将C(n,k)的递推关系重写为C(n-1,k) = C(n,k) - C(n-1,k-1)得到。
4. 定理3：二项式系数的性质二项式系数满足定理3：C(n+1,k+1) = (n+1)/(k+1) * C(n,k)，其中n 和k满足1<=k<=n。
高中数学课件-二项式系数的性质
C0n＝ __C__nn____， C1n＝
C__nn_－_1__，…， Ckn＝ _C__nn_－_k__
栏目 导引
第一章 计数原理
性质
增减 性与 最大
值
自然语言
二项式系数 Ckn，当
n＋ k<
1时，二项式系数
2
是 ___递__增___的，由对称 性知它的后半部分 是
___递__减____的．当 n 是偶
栏目 导引
第一章 计数原理
(3)令 x＝－1， 得 32 015＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 014－a2 015①. 令 x＝1， 得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 014＋a2 015②. 由②－①得，－1－32 015＝2(a1＋a3＋…＋a2 015)， 所以 a1＋a3＋a5＋…＋a2 015＝－12(1＋32 015)．
栏目 导引
第一章 计数原理
(4)因为(1－2x)2 015 的展开式中，a0，a2，a4，a6，…，a2 014 大于 零，而 a1，a3，a5，a7，…，a2 015 小于零， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 015| ＝(a0＋a2＋a4＋…＋a2 014)－(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015) 令 x＝－1，得 32 015＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 014－a2 015， 解得(a0＋a2＋a4＋…＋a2 014)－(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015)＝32 015， 即|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 015|＝32 015.
第一章 计数原理
2.设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求 (1)a1＋a2＋a3＋a4； (2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2； (3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.
二项式系数
二项式系数第二节二项式定理1、二项式定理：(1)(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn。
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr (r＝0,1,2,…,n)为展开式第r+1项。
(3)展开式的特点：共有n＋1项；第r＋1项的二项式系数为C；2、二项式系数的性质:(1)C＝C。
(2)若n为偶数,中间一项＋1的二项式系数最大；若n奇数,中间两项、＋1的二项式系数相等并且最大．(3)C＋C＋C＋…＋C＝2n。
(4)C＋C＋C。
＝C＋C＋C＋。
＝2n－1、3、二项式中的最值问题求(a＋b)n展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1设第r＋1项系数最大，则4、二项式定理的主要应用(1)赋值求值；(2)证明一些整除问题或求余数；(3)证明有关等式与不等式；(4)进行近似计算。
例1、(1)求的值。
(2)求展开式中含项的系数为？(3)求展开式中所有有理项。
练习1:(1＋3)(＋)6展开式中的常数项为_____．例2、已知(+)n(n∈N)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1、(1)求展开式中各项系数和及二项式系数和；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．例3、已知(3－1)7＝a07＋a16＋…＋a6＋a7。
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a7的值；(2)求，a0，＋，a1，＋，a2，＋…＋，a7，的值；(3)求a1＋a3＋a5＋a7的值．解析(1)令＝1，得a0＋a1…＋a7＝(31－1)7＝27＝128。
(2)易知a1，a3，a5，a7为负值，，a0，＋，a1，＋，a2，＋…＋，a7，＝a0－a1＋a2－…－a7＝－(－a0＋a1－a2＋…＋a7)－[3(－1)－1]7＝47。
(3)令f()＝(3－1)7，则f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7，f(－1)＝－a0＋a1－a2＋…＋a7。
∴2(a1＋a3＋a5＋a7)＝f(1)＋f(－1)＝27－47。
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Cn0
C
1 n
Cn2
...
C
r n
...
C
n n
2？n
11
赋值法
121
也就是说, (a+b)n的 展开式中的各个二项式系
1 33 1 1 4641
数的和为2n
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
例题选讲
例1 证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项 式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
（1）二项式系数的三个性质 增减性与最大值
（2） 数学思想：函数思想 a 图象；
各二项式系数和
b 单调性； c 最值。
（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法
C
0 n
C
2 n
C
1 n
C
3 n
2n1
小结：求解二项式系数和时，灵活运用赋值
法可以使问题简单化。通常选取赋值 时取－1，1。
变式练习：
已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10,
(1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值 310
(2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值
当n是偶数时，中间的一项 取得最大值 ；
2
n
n1
C ➢当n是奇数时，中间的两项 2 n n1 C 和 2 相等，且同时取得
最大值。n
11 121 1 33 1 1 4641 1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
课堂练习: 1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式
系数相同的项是( C ).
1 (310 1) 2
1 n
例 只有2 第已1知0 x 4 x3
例题选讲
展开式中
项系数最大，求第五项。
解：依题意, n 为偶数，且
n
1
10,
n
18,
2
T5 T41 C148
3060 x4 .
4
x
184 4
1 x3
若将“只有第10项”改为“第10 项”呢？ n=17
或19
小结:
对称性
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大
的项是( A ).
A.第6项
B.第7项
C.第6项和第7项 D.第5项和第7项
注：此种类型的题目应该先找准r的值，然后再
确定第几项。
性质3：各二项式系数的和
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn(n N * )
C 0 ,C 1 ,C 2 ,,C n
n
n
n
nHale Waihona Puke f(r) 20 146
O 36
令:
f
(r )
C
r n
定义域 r {0，1，，n}
当n= 6时, f (r ) C6r
其图象是7个孤立点
r
性质1：对称性
C C m
nm
n
n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等
性质2：增减性与最大值
先增后减
➢ Cn
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C
1 4
C42
C
3 4
C44
C50
C51
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C55
C60
C61
C
2 6
C63
C64
C
5 6
C66
11 121 1 33 1 1 4641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
C
r
n1
C
r 1
n
C
r n
这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了， 在这本书里，记载着类似下面的表：
一
一一
一 二一
一 三 三一
一 四 六 四一
一 五 十 十 五一
一 六 十五 二十 十五 六 一
杨辉三角: 表中除“1”以外的
每一个数都等于它肩上的两个 数之和
复习回顾:
二项式定理及展开式:
(a
b)n
C
0 n
a
nCn1a
n
1b
C
r n
a
nr
b
r
Cnn
bn
(n
N
*
)
二项式系数
Cnr (r 0,1, , n)
通项
Tr 1
C
r n
a
n
r
b
r
二项式系数的性质
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
C10 C11