二项式系数性质一

C 0 ,C 1 ,C 2 ,,C n
n
n
n
n
f(r) 20 14
6
O 36
令:
f
(r )
C
r n
定义域 r {0，1，，n}
当n= 6时, f (r ) C6r
其图象是7个孤立点
r
性质1：对称性
C C m
nm
n
n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等
性质2：增减性与最大值
先增后减
➢ Cn
当n是偶数时，中间的一项 取得最大值 ；
2
n
n1
C ➢当n是奇数时，中间的两项 2 n n1 C 和 2 相等，且同时取得
最大值。n
11 121 1 33 1 1 4641 1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
课堂练习: 1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式
系数相同的项是( C ).
n
C
r n
这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了， 在这本书里，记载着类似下面的表：
一
一一
一 二一
一 三 三一
一 四 六 四一
一 五 十 十 五一
一 六 十五 二十 十五 六 一
杨辉三角: 表中除“1”以外的
每一个数都等于它肩上的两个 数之和
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大
的项是( A ).
A.第6项
B.第7项
C.第6项和第7项 D.第5项和第7项
注：此种类型的题目应该先找准r的值，然后再
确定第几项。
性质3：各二项式系数的和
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn(n N * )
1 (310 1) 2
1 n
例 只有2 第已1知0 x 4 x3
例题选讲
展开式中
项系数最大，求第五项。
解：依题意, n 为偶数，且
n
1
10,
n
18,
2
T5 T41 C148
3060 x4 .
4
x
184 4
1 x3
若将“只有第10项”改为“第10 项”呢？ n=17
或19
小结:
对称性
（1）二项式系数的三个性质 增减性与最大值
（2） 数学思想：函数思想 a 图象；
各二项式系数和
b 单调性； c 最值。
（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法
C
0 n
C
2 n
C
1 n
C
3 n
2n1
小结：求解二项式系数和时，灵活运用赋值
法可以使问题简单化。通常选取赋值 时取－1，1。
变式练习：
已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10,
(1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值 310
(2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C
1 4
C42
C
3 4
C44
C50
C51
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C55
C60
C61
C
2 6
C63
C64
C
5 6
C66
百度文库
11 121 1 33 1 1 4641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
C
r
n1
C
r 1
Cn0
C
1 n
Cn2
...
C
r n
...
C
n n
2？n
11
赋值法
121
也就是说, (a+b)n的 展开式中的各个二项式系
1 33 1 1 4641
数的和为2n
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
例题选讲
例1 证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项 式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
复习回顾:
二项式定理及展开式:
(a
b)n
C
0 n
a
nCn1a
n
1b
C
r n
a
nr
b
r
Cnn
bn
(n
N
*
)
二项式系数
Cnr (r 0,1, , n)
通项
Tr 1
C
r n
a
n
r
b
r
二项式系数的性质
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
C10 C11