数值分析课件第3章函数逼近与曲线拟合

第三章 函数逼近与曲线拟合

1 函数的逼近与基本概念

1.1问题的提出

多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0()k k k f x a x ∞

==∑，

()(0)!

k k f a k =在[1,1]-上收敛。当此级数收敛比较快时，11()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。这个误差分布是不均匀的。当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最

大。

为了使[1,1]-的所有x 满足()()n f x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。

实验数据

真函数

插值多项式逼近

精确的线性逼近

图1

1.2范数与逼近

一、线性空间及赋范线性空间

要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间.最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构成线性空间.例如将所有实n 维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线性空间，记作n R ，称为n 维向量空间.类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间，用n H 表示，称为多项式空间.所有定义在[,]a b 上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域R 上的线性空间，记作[,]C a b .类似地，记[,]p C a b 为具有p 阶连续导数的函数空间.

在实数的计算问题中，对实数的大小、距离及误差界等是通过绝对值来度量的.实践中，我们常常会遇到对一般线性空间中的向量大小和向量之间的距离进行度量的问题，因此有必要在一般线性空间上，赋予“长度”结构，使线性空间成为赋范线性空间.

定义1 设X 是数域K 上一个线性空间，在其上定义一个实值函数，即对于任意

,x y X ∈及K α∈，有对应的实数x 和y ，满足下列条件

(1) 正定性：

0x ≥，而且0x =当且仅当0x =；

(2) 齐次性：x x αα=；

(3) 三角不等式：

x y x y +≤+； 称为

X 上的范数，定义了范数的线性空间就称为赋范线性空间.

以上三个条件刻划了“长度”、“大小”及“距离”的本质，因此称为范数公理.

对n X 上的任一种范数，n X ∀∈x,y ，显然

有

±≥-x y x y .

n R 上常用的几种范数有：

(1) 向量的∞-范数：1max i i n x ∞≤≤=x

(2) 向量的1-范数：11n i i x ==∑x

(3) 向量的2-范数：12221

()n i i x ==∑x (4) 向量的p -

范数：11()n p p

i p i x ==∑x

其中[1,)p ∈∞

，可以证明向量函数()p N x x ≡是n R 上向量的范数.

前三种范数是p -范数的特殊情况

（lim p p ∞→∞

=x x ）.我们只需表明(1).事实上

1111111max max max n n p p

p p i i i i i n i n i n i i x x x x ≤≤≤≤≤≤==⎛⎫⎛⎫≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑∑

及max 1p →∞=，故由数学分析的夹逼定理

有1lim max i p p i n

x ∞→∞≤≤==x x 。 类似地对连续函数空间[,]C a b ，可定义三种常

用范数：

(1) ∞-范数：max ()a x b f

f x ∞≤≤= (2) 1-范数：1()b a f

f x dx =⎰ (3) 2-范数：()122

2()b a f f x dx =⎰ 可以验证这样定义的范数均满足定义1中的三个条件.

二、内积与内积空间

在线性空间中，仅规定了加法与数乘两种运算.为了使线性空间中的向量元素之间具有夹角的概念，我们需引入第三种运算—内积.

定义2 设X 是数域K (R 或C )上的线性空间，对,u v X ∀∈有K 中一个数与之对应，记为(,)u v ，它满足以下条件——内积公理：

(1)共轭对称性：(,)(,), ,u v v u u v X =∀∈

(2)第一变元线性：

(,)(,)(,),

,,,,u v w u w v w u v w αβαβαβ+=+∀∈∀∈K X

(3)正定性：(,)0u u ≥,当且仅当0u =时,(,)0u u =

则称二元函数(,)u v 为X 上u 与v 的内积.定义了内积的线性空间称为内积空间.当X 实线性空间，称X 是实内积空间；当X 复线性空间，称X 是复内积空间.

如果(,)0u v =，则称u 与v 正交，这是n R 中向量相互垂直概念的推广.

定理1设X 为一个内积空间，对,u v X ∀∈，有

2(,)(,)(,)u v u u v v ≤ (1.1)

称为Cauchy-Schwarz 不等式.

证明 设0v ≠，则(,)0v v >，对如何实数λ有

20(,)(,)2(,)(,)u v u v u u u v v v λλλλ≤++=++ 取(,)(,)u v v v λ=-，代入上式右端，得

22(,)(,)(,)20(,)(,)

u v u v u u v v v v -+≥ 即(1.1)式得证.当0v =时，(1.1)式显然成立.

定理2 设X 为一个内积空间，1,,n u u X ∈，矩阵