材料力学公式汇总

材料力学公式汇总

一、应力与强度条件

1、拉压 []σσ≤=

max

max A

N

2、剪切 []ττ≤=

A

Q

max 挤压 []

挤压挤压挤压σσ≤=

A

P

3、圆轴扭转 []ττ≤=W t

T

max 4、平面弯曲 ①[]σσ≤=

max

z

max W M

②[]max t max t max max σσ≤=y I M

z t

max c max max y I M

z

c =σ[]cnax σ≤

③[]ττ≤⋅=b

I S Q z *

max z max max

5、斜弯曲 []σσ≤+=

max

y

y

z z max W M W M

6、拉（压）弯组合 []σσ≤+=

max

max z

W M A N

[]t max t z

max t σσ≤+=

y I M A N z

[]c max c z z max c σσ≤-=A N y I M 注意：“5”与“6”两式仅供参考 7、圆轴弯扭组合：①第三强度理论 []στσσ≤+=+=

z 2n

2w 2n

2w

r34W M M

②第四强度理论 []στσσ≤+=

+=

z

2n

2w 2n

2

w r475.03W M M

二、变形及刚度条件 １、拉压 ∑

⎰

===

∆L

EA

x

x N EA

L N EA

NL

L d )(i

i ２、扭转 ()⎰

=

∑==Φp

p i i p GI dx x T GI L T GI TL

πφ0180⋅=Φ=p GI T L （m / ） ３、弯曲

(1)积分法:)()(''x M x EIy = C x x M x EI x EIy +==⎰d )()()('θ D Cx x x x M x EIy ++=⎰⎰

d ]d )([)( (2)叠加法:()21,P P f …=()()21P f P f ++…， ()21,P P θ=()()++21P P θθ…

(3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号)

EI ML B =θ EI PL B 22=θ EI

qL B 63

=

θP

A

B M

A

B A B

q

L L

L

EI ML f B 22=

EI PL f B 33

= EI

qL f B 84=

EI ML B 3=θ,EI ML A 6=θ EI PL A B 162==θθ EI

qL A B 243

==θθ

EI ML f c 162=

EI PL f c 483

= EI

qL f c 3844= (4)弹性变形能(注：以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力影响,其他变形与此相似,不予写出)

EI

L M U 22=

=i i i EI L M 22∑=()⎰

EI dx

x M 22 (5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式) =∂∂=∆i i P U

()()⎰

∂∂∑dx P x M EI x M i

三、应力状态与强度理论 １、二向应力状态斜截面应力

ατασσσσσα2sin 2cos 2

2xy y

x y

x --+

+=

ατασστα2cos 2sin 2

xy y

x +-=

２、二向应力状态极值正应力及所在截面方位角

2

2min max )2(2xy y x y x τσσσσσσ+-±+= y

x xy σστα--=22tg 0 ３、二向应力状态的极值剪应力

2

2max )2

(

xy

y

x τσστ+-= 注：极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为450

４、三向应力状态的主应力：321σσσ≥≥ 最大剪应力：2

3

1max σστ-=

5、二向应力状态的广义胡克定律

（1）、表达形式之一（用应力表示应变）

)(1y x x E μσσε-=

)(1x y y E μσσε-= )(y x z E σσμ

ε+-= G

xy xy τγ= （2）、表达形式之二（用应变表示应力） )(12y x x E μεεμσ+-= )(12

x y y

E

μεεμσ+-= 0=z σ xy xy G γτ=

L

L

6、三向应力状态的广义胡克定律

()[]

z y x x E σσμσε+-=

1

()z y x ,, G

xy xy τγ= ()zx yz xy ,,

7、强度理论

（1）[]111σσσ≤=r ()3212σσμσσ+-=r []σ≤ []b

b n σσ=

（2）[]σσσσ≤-=313r ()()()[]

21323222142

1

σσσσσσσ-+-+-=

r []σ≤ []s s n σσ=

8、平面应力状态下的应变分析

（1）αγαεεεεεα2sin 22cos 2

2

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛---++=xy y x y x +-=⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-αεεγα2sin 2

2y

x αγ2cos 2⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-xy （2）2

2

min max 222⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=xy y x y

x γεεεεεε y

x xy

εεγα-=

02tg 四、压杆稳定

1、临界压力与临界应力公式（若把直杆分为三类）

①细长受压杆 p λλ≥ ()2

min 2cr L EI P μπ= 22cr λπσE

=

②中长受压杆 s p λλλ≥≥ λσb a -=cr ③短粗受压杆 s λλ≤ “cr σ”=s σ 或 b σ

2、关于柔度的几个公式 i L

μλ= p 2p σπλE

= b

a s s σλ-=

3、惯性半径公式A

I i z =

（圆截面 4d

i z =，矩形截面12

min b i =

（b 为短边长度））

五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式） 能量方程 U V T ∆=∆+∆

冲击系数 st

d 211∆++=h

K （自由落体冲击） st

20

d ∆=

g v K （水平冲击） 六、截面几何性质

1、 惯性矩（以下只给出公式，不注明截面的形状）

⎰

=dA I P 2

ρ=324d π ()

44132

απ-D D d =α

⎰=

=

6442

d dA y I z π (

)4

4

164απ-D 12

3

bh 123hb

323max

d y I W z

z π==

(

)

4

3132

απ-D 6

2bh 62

hb

2、惯性矩平移轴公式

A a I I 2zc z +=