第50届国际数学奥林匹克竞赛试题(中文版)与参考答案

2009年第50届IMO 解答

2009年7月15日

1、是一个正整数，是n 12,,...,(2)k a a a k ≥{}1,2,...,n 中的不同整数，并且1(1i i n a a +−)−)对于所有都成立，证明：1,2,...,1i k =1(1k a a −不能被n 整除。

证明1：由于12(1n a a −)，令1(,)n a p =，n

q p

=

也是整数，则n pq =，并且1p a ，21q a −。因此，由于2(,)1q a =23(1n pq a a )=−，故31q a −；同理可得41q a −，。。。，

因此对于任意都有2i ≥1i q a −，特别的有1k q a −，由于1p a ，故1(1k n pq a a )=−(*)。

若结论不成立，则1(1k n pq a a =)−，与(*)相减可得1(k n a a −)，矛盾。 综上所述，结论成立。

此题平均得分：4.804分

2、外接圆的圆心为O ，分别在线段上，ABC ∆,P Q ,CA AB ,,K L M 分别是,,BP CQ PQ 的中点，圆过Γ,,K L M 并且与相切。证明：OP PQ OQ =。

证明：由已知MLK KMQ AQP ∠=∠=∠，MKL PML APQ ∠=∠=∠，因此

APQ MKL ∆∆∼。所以

AP MK BQ

AQ ML CP

==

，故AP CP AQ BQ ⋅=⋅(*)。 设圆O 的半径为R ，则由(*)有2

2

2

2

R OP R OQ −=−，因此OP OQ =。

不难发现OP 也是圆Γ与相切的充分条件。

OQ =PQ

此题平均得分：3.710分

3、是严格递增的正整数数列，并且它的子数列和

都是等差数列。证明：是一个等差数列。

123,,,...S S S 123,,,...S S S S S S 123111,,,.S S S S S S +++..123,,,...S S S 问题等价于：:f Z Z +

→+

是一个严格递增的函数。()()n b f

f n =是一个等差数列，

也是一个等差数列。证明：(()1n c f f n =)+()n a f n =也是等差数列。

证明：由于是一个严格递增的整值函数，所以对于任意f ,x y 均有

()()f x f y x y −≥−。

令{}{},n n b c 的公差分别为，则有,d e ()()(1)()(1)(d f

f n f f n f n f n =+−≥

+−)，

将可得()n f n →()()()1()0n n d f

f n f f n c b ≥+−=−>，因此对于任意都有

k Z +∈()()11110k k d c b c b k d e ++≥−=−+−>

故只能有，也即两个等差数列公差相等，故可设d e =n n c b g −=是一个为常数。

由于有界，故(1)()0d f n f n ≥+−>(1)(f n f n )+−有最大最小值，设,M m 分别是的最大、最小值。则对任意(1)(f n f n +−),x y 都有()()m x y f x f y M x y −≤−≤−。

有上可知存在r 使得，因此有

(1)()f r f r M +−=()()1(1)()(1)()(1)()r r M f r f r d b b f f r f f r m f r f r ++−≥=−=+−≥+−，也即2(1)()(1)()M M f r f r d m f r f r mM =+−≥≥+−=。

同样存在一个使得，因此有

s (1)()f s f s m +−=21(1)()(1)()s s mM M f s f s d c c m f s f s m +=+−≥=−≥+−=

因此，故只能有d mM d ≥≥d mM =，而且上面的等号要成立只能有

()()((),()1,...,(1)f f r f f r f f r )

++之间的差均为

，

m

()()((),()1,...,(1)f f s f f s f f s )++之间的差均为M ，所以r r m c b g =−=，并且s s M c b g =−=，故，所以m M =()n a f n =也是等差数列。

此题平均得分：1.019分

2009年第50届IMO 第二天试题解答

2009年7月16日

1、在中ABC ∆AB AC =，,AD BE 分别是CAB ∠和ABC ∠的平分线。K 是的内心，假设，求所能取到的所有值。

ADC ∆45BEK ∠=°CAB ∠

F

D

解：显然CK 是ACB ∠的平分线，因此E 关于CI 称点F 在的对AB 对称性可知IF ∠于DK ，由K =是45°，由ADC ∠的平分因此有以下两线，因此也有45IDK ∠=°。种情况：

①若D F ≠，则,,,I D F K 四点共圆，故

18090IKF IDF ∠=°−∠=°，由对称性90IKE ∠=°，故45EIK ∠=°，在中有

BIC ∆11

4522

EIK ABC ACB ABC °=∠=∠+∠=∠，因此

45BAD ∠=°，故90CAB ∠=°°；

②若重合，则，也即,D F 90IEC IDC ∠=∠=ABC ∠的平分线也是的高，故

，因此为正三角形，故AC AB BC =ABC ∆60CAB ∠=°60°。 综上所述，或。

90CAB ∠=°

此题平均得分：2.915分