相似三角形中添加辅助线问题

相似三角形中添加辅助线问题培优（张老师）

（一）遇燕尾，作平行，构造 字一般行。

1、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF

（二）遇梯形，延长腰，构成A 字瞧一瞧。 1题图

2、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CH 平分∠BCD ，BH ＝3AH ，四边形AHCD 的面积为21，求△HBC 的面积。

2题图

（三）遇平分，作等腰，三线合一要记牢。

3、AC ⊥BC ，AE ⊥DE ，2∠ADE ＝∠B ，AC ：BC ＝3：1，求AE ：DG

3题图 （四）直角多，垂线作，再难题目你能做。

4、平行四边形ABCD 中，CE ⊥AE ，CF ⊥AF ，求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2

4题图 四、巩固练习：（做题目，看情况，灵活运用最恰当。） 1、BD ：DC ＝2：1，E 为AD 中点，求①BE ：EF ②AF ：FC

1题图 2题图 2、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC

H D C B A G

E

D

C B A A B C

D

E F

F

E D

C B

A

G

F E D

C

B A E D

C B

A

3、D 为BC 中点，求证：AF ：BF ＝AE ：EC

3题图

4、AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，FG ⊥AB ，E 为CD 中点，求证：FG 2

＝CF ·BF

4题图 5题图

5、AB ＝AC ，AD 为中线，CF ∥AB ，求证：BP 2

＝PE ·PF

6、AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD ，求证：ED 2

＝EB ·EC

6题图 7、矩形ABCD 中，E 为AD 中点，EF ⊥EC ，求证：△AEF ∽△ECF

7题图 8题图

8、AB ＝AC ，AB ⊥BC ，AD 为中线，BE ⊥AD ，求证：①AE ＝2EC ②∠AEB ＝∠CED

9、∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，BD ＝DC ＝EC ＝1，求AC 的长

9题图

A

B C D E F P A

B C D

E F

A B

C

D E

F

A B

C D E

F

P A

B C

D E P A

B C D E A

B C

D E

F G

图15-2

A

D O

B

C 2 1

M

N

图15-1

A

D B

M N

1 2

图15-3

A

D O

B

C 2

1

M

N

O 10、在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠CO A ＝90º，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝35．分别以

OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B 的坐标； （2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2E B ，直线DE 交x 轴于点F ．求

直线DE 的解析式；

（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ．使

以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

.11．在图15-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交 于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．

（1）如图15-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD

的数量关系和位置关系；

（2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到

图15-2，其中AO = OB ． 求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；

（3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到

图15-3，求

AC

BD

的值．

12．如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。（1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？

（2）写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；

（3）在P、Q运动过程中，是否可能出现PQ⊥MN？若有可能，求出此时间t；若不可能，请说明理由；

（4）是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与△MON相似？若存在，求出此时间t；若不可能，请说明理由；