(新课改省份专用版)202x高考数学一轮复习 1.1 集合学案

第一章集合与常用逻辑用语、不等式

第一节集合

突破点一集合的概念与集合间的基本关系

[基本知识]

1．集合的有关概念

(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．

(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.

(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．

2．集合间的基本关系

表示

关系

文字语言记法

集合间的基本关系

子集

集合A中任意一个元素都是集合B

中的元素

A⊆B或B⊇A

真子集

集合A是集合B的子集，并且B中

至少有一个元素不属于A

A B或

B A 相等

集合A中的每一个元素都是集合B

中的元素，集合B中的每一个元素

也都是集合A中的元素

A⊆B且B⊆A⇔A＝B

空集

空集是任何集合的子集∅⊆A

空集是任何非空集合的真子集∅B且B≠∅

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )

(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )

(3)∅∈{0}．( )

答案：(1)×(2)×(3)×

二、填空题

1．已知集合P＝{－2，－1,0,1}，集合Q＝{y|y＝|x|，x∈P}，则Q＝________.解析：将x＝－2，－1,0,1分别代入y＝|x|中，得到y＝2,1,0，故Q＝{2,1,0}．

答案：{2,1,0}

2．已知非空集合A 满足：①A ⊆{1,2,3,4}；②若x ∈A ，则5－x ∈A .则满足上述要求的集合A 的个数为________．

解析：由题意，知满足题中要求的集合A 可以是{1,4}，{2,3}，{1,2,3,4}，共3个． 答案：3

3．设集合M ＝{1，x ，y }，N ＝{x ，x 2，xy }，且M ＝N ，则x 2 019＋y 2 020＝________.

解析：因为M ＝N ，所以⎩⎨⎧ x 2＝1，xy ＝y 或⎩⎨⎧

x 2＝y ，xy ＝1，由集合中元素的互异性，可知x ≠1，解得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝0.

所以x 2 019＋y 2 020＝－1. 答案：－1

4．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的值是________．

解析：因为集合A 有且只有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R)仅有一个根．①当a ＝0时，A ＝{0}符合题意；②当a ≠0时，要满足题意，需有Δ＝ 4－4a 2＝0，即a ＝±1.综上所述，a ＝0或a ＝±1.

答案：0或±1

[典例感悟]

1．(2019·厦门一中模拟)设集合M ＝{x |x ＝2m ＋1，m ∈Z}，P ＝{y |y ＝2m ，m ∈Z}，若x 0∈M ，y 0∈P ，a ＝x 0＋y 0，b ＝x 0y 0，则( )

A ．a ∈M ，b ∈P

B ．a ∈P ，b ∈M

C ．a ∈M ，b ∈M

D ．a ∈P ，b ∈P

解析：选A 设x 0＝2n ＋1，y 0＝2k ，n ，k ∈Z ，则x 0＋y 0＝2n ＋1＋2k ＝2(n ＋k )＋1∈M ，x 0y 0＝2k (2n ＋1)＝2(2nk ＋k )∈P ，即a ∈M ，b ∈P ，故选A.

2．(2019·广州模拟)已知集合{x |x 2＋ax ＝0}＝{0,1}，则实数a 的值为( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

解析：选A 依题意知a ≠0，则{0，－a }＝{0,1}，所以a ＝－1.故选A.

3．(2019·湖南长郡中学选拔考试)已知集合A＝{0}，B＝{－1,0,1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为( )

A．1 B．2

C．4 D．8

解析：选C 由题意得，含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1,1}，即符合条件的集合C共有4个．

[方法技巧]

1．与集合概念有关问题的求解策略

(1)确定构成集合的元素是什么，即确定性．

(2)看这些元素的限制条件是什么，即元素的特征性质．

(3)根据元素的特征性质求参数的值或范围，或确定集合中元素的个数，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．

2．判断集合间关系的常用方法

含有n(n∈N*)个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．

[针对训练]

1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为( ) A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选A 若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.

2．(2019·贵阳高三检测)设集合P＝{x|x<1}，Q＝{x|x2<1}，则( )

A．P⊆Q B．Q⊆P

C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P

解析：选B 依题意得Q ＝{x |－1

3．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．

解析：∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1

②若B ≠∅，则⎩⎨⎧ 2m －1≥m ＋1，

m ＋1≥－2，

2m －1≤5.

解得2≤m ≤3. 由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．

答案：(－∞，3]

突破点二 集合的基本运算

[基本知识]

1．集合的三种基本运算

符号表示 图形表示 符号语言 集合的

并集

A ∪

B A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B } 集合的

交集

A ∩

B A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B } 集合的

补集 若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A

∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }

(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅.

(2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A .

(3)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .

(4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅.

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立．( )