数学建模y04研究生录取问题D题

D 题-邓斌，李廷伟，王刚-二等奖
在把学生对老师满意度值 SSTij 和老师对学生满意度值 STS ij 加权计算出来
后，把两者再加权即可得到目标矩阵 S 中的元素 Sij 。
设：
xij
=
⎧1 ⎩⎨0
当安排学生i与导师j配对 不安排学生 i与导师 j配对
则双向选择优化问题的目标函数及约束条件为：
∑ ∑ ⎧
考虑到算法的复杂度和编程难易度，我们最终选择使用线性规划软件 —Lindo 来对该种问题进行求解。
五 模型的实现及求解
问题 1、从十五名学生中录取十名，并与导师配对（一个导师可
以带多名学生）
第一步： 结合层次分析法和集对分析法进行学生录取 在只考虑学生的初试成绩和复试因素情况下，可以确定十名研究生的录取名
基于 Saaty 提出的 AHP 法，我们可以对三个以上因素之间的权值进行计算， 即对它们之间的正互反矩阵进行“一致性检验—修正”，保证最终计算出来的权 值更加合理，客观。而对两个因素之间的权值分配，由于 1，2 阶的正互反矩阵 总是一致阵，故权值分配就比较随意，取决于我们对两个因素影响度大小的主观 判断。
A, B, C, D 专家对学生的面试评分等级
D 题-邓斌，李廷伟，王刚-二等奖
u
联系度
a
同一度
集
b
差异度
对
n
差异度系数
分
c
对立度
析
m
对立度系数
模
αA
在学生某项成绩评分中持 A 意见的专家占总专家的百分比
型
αB
在学生某项成绩评分中持 B 意见的专家占总专家的百分比
αC
在学生某项成绩评分中持 C 意见的专家占总专家的百分比
考虑到组织的人员结构是不同素质、不同能力的人在组织内各岗位上的分布 状态。我们建模的思路是，以提高组织的整体效能（师生双方总的满意度）为目 标，通过对学生、导师进行定量测评和综合分析，建立一个系统优化模型，以此 寻求学生和导师之间的最佳对应，实现招生调剂的优化。
以下就方法和模型的建立分步阐述：
（一）、用层次分析法对候选研究生进行测评排名。
假设第一层（目标层）只有一个元素，第二层（规则层）有 p 个元素，第
三层（方案蹭）有 q 个元素。假设通过第二层对第一层的正互反矩阵计算得到第 二层对第一层的权向量为W 2 ∈ R p ，同样方法构造第三层对第二层的每一项的正 互反矩阵，将得到 p 个 q * q 的矩阵，求解得到 p 个权向量Wr3 ∈ Rq , r = 1,2,..., p ，将这
（2）、具体计算权重的 AHP 法。 AHP 法是将各要素配对比较，根据各要素的相对重要程度进行判断，再根据
计算成对比较矩阵的特征值获得权重向量Wk 。 Step1. 构造成对比较矩阵 假设比较某一层 k 个因素 C1, C2 , C3 , , Cik , Ck 对上一层因素 o 的影响，每次两
个因素 Ci 和 C j ，用 Cij 表示 Ci 和 C j 对 o 的影响之比，全部比较结果构成成对比较
mij
学生 i 与导师 j 专业匹配满意度
0-1
规
g ij
学生 i 对导师 j 水平的满意度
划
模
rij
学生 i 与导师 j 期望要求匹配满意度
型
Wmij 学生 i 与导师 j 专业匹配满意度加权系数
Wgij 学生 i 对导师 j 水平的满意度加权系数
Wrij 学生 i 与导师 j 期望要求匹配满意度加权系数
关键词：集对分析 层次分析法 0-1 规划 双向选择
D 题-
-二等奖
一 问题重述
某学校Ｍ系计划招收 10 名计划内研究生，依照有关规定由初试上线的前 15 名学生参加复试，专家组由 8 位专家组成。在复试过程中，要求每位专家对每个 参加复试学生的以上５个方面都给出一个等级评分，从高到低共分为 A,B,C,D 四个等级，并将其填入面试表内。所有参加复试学生的初试成绩、各位专家对学 生的５个方面专长的评分。
(4) 学校在确定研究生导师的过程中，要充分考虑学生的申报志愿情况。为 此，学校要求根据 10 名导师和 15 名学生的综合情况选择 5 名导师招收研究生， 再让这 5 名导师在 15 名学生中择优录取 10 名研究生。请你给出一种导师和研究 生的选择（录取）方案，以及每一名导师带２名研究生的双向选择最佳策略。
D 题-邓斌，李廷伟，王刚-二等奖
Step3. 一致性检验 为了度量判断的可靠程度，可计算此时的一致性度量指标 CI ：
CI = λmax − k k −1
其中 λmax 表示矩阵 C 的最大特征值， CI 越小，说明权重的可靠性越高。 当 CR = CI < 0.1 时，（ CR 称为一致性比率， RI 是通过大量数据测出来的随机
（1）层次分析法介绍： 层次分析法是一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法，它用 来帮助我们处理决策问题。特别是考虑的因素较多的决策问题，而且各个因素的 重要性、影响力、或者优先程度难以量化的时候，层次分析法为我们提供了一种 科学的决策方法。 层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上 是一致的。现在便用层次分析法模型来对 15 名学生的成绩做排序。设最上层为 目标层，即最后的排名；中间层为准则层，有初试成绩、复试中表现出来的灵活 性、创造性、知识面、表达力、外语等 6 个准则；最下层为方案层，有 15 名学
D 题-
-二等奖
全国首届部分高校研究生数模竞赛
题目
(D 题)研究生录取问题
摘
要：
本文将研究生录取问题和跟导师之间的双向选择问题 分别转化成层次分析问题和线性规划中的 0-1 规划问题。首 先利用层次分析法对进入复试的学生进行差额录取，再在所 有可能的师生配对方案中找出使得总体满意度最大的一种 方案，作为师生间的最佳配对方案，达到双向选择的目的。 对于满意度量化中各种权值的具体赋值，我们利用层次分析 中权值矩阵的一致性检验法则进行了检验计算，使得每个最 终配对方案的可信度达到最大。在比较各个方案的总体满意 度大小的基础上，我们提出了更能体现双向选择的录取方 案。
RI
一致性指标，可查表找到）可认为判断是满意的，此时的正互反矩阵称之为一致 性矩阵。进入 Step4. 否则说明矛盾，应重新修正该正互反矩阵。转入 Step2.
Step4. 得到最终权值向量 将该一致性矩阵任一列或任一行向量归一化就得到所需的权重向量。
（3）、将计算出来的方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综 合，最终确定方案层对目标层的权重，也即不同学生在排名上的最终权重。这样 一来，我们就可以按权重大小进行学生录取工作了。
(5) 请你设计一种更能体现“双向选择”的研究生录取方案，提供给主管部 门参考，并说明你的方案的优越性。
D 题-
-二等奖
二 模型的假设
1 学生在衡量自己与导师期望要求之间的差异时，用的是专家组对自己的评 分表数据，而不是自我评价的数值。
2 在量化学生对导师的满意度时，学生把导师是否与自己的专业一致看得最 重要，在量化导师对学生的满意度时，导师把自己对学生的期望要求看得最重要。
矩阵
•
C
，也叫正互反矩阵。
•
C = (Cij ) k*k
Cij > 0, Cij = 1 / C ji
Step2. 计算该矩阵的权重 通过解正互反矩阵的特征值，可求得相应的特征向量，经归一化后即为权重
向量 Qk = [q1k , q2k ,..., qkk ]' ，其中的 qik 就是 Ci 对 o 的相对权重。
(2) 根据上面已录取的 10 名研究生的专业志愿，如果每一位导师只能带一 名研究生，请你给出一种 10 名导师与 10 名研究生双向选择的最佳方案，使得师 生双方尽量都满意。
(3) 如果由十位导师根据初试的成绩及专家组的面试评价和他们自己对学 生的要求条件录取研究生，那么，10 名研究生的新录取方案是什么？为简化问 题，假设没有申报专业志愿，请你给出这 10 名研究生各申报一名导师的策略和 导师各选择一名研究生的策略。相互选中的即为确定；对于剩下的导师和学生， 再按上述办法进行双向选择，直至确定出每一名导师带一名研究生的方案，使师 生都尽量满意。
p 个向量排成一个矩阵 Q ∈ R q*p ，则 Q *W 2 为一个 q 维的列向量，其中的第 i 个元 素就代表方案 i 对目标的权重，三层以上的情况可以类似得到。
（二）、用 0-1 规划模型进行学生和导师之间的双向选择。
基于上述论述，由于双向选择需要考虑学生对老师满意程度和老师对学生满 意程度的加权和，而学生对老师的满意度又需要考虑对老师专业方向、学术水平 及对学生的期望要求三方面因素满意度的加权和，等等。故各类因素间的权值定 量就显得非常重要了。
mn
⎪max
Wij xij
⎪
i=1 j=1
⎪
Baidu Nhomakorabea
⎪⎪s.t
n
∑ xij = 1
⎨
j =1
i = 1,2,…m
⎪ ⎪ ⎪
m
∑ xij = 1
i = 1,2,…n
⎪
j =1
⎪ ⎩
xij = 0 or xij = 1, for all i, j
其解正是体现双向选择的最优方案。
求解方法有很多，可以用带权二部图最大匹配算法，可以用匈牙利算法，也 可以用规划中的隐枚举法。
3 不考虑两个或多个导师带一个学生的情况。
三 符号说明
CI
一致性度量指标
Ci
层次分析法中的第 i 个因素
层
次
•
C
正互反矩阵
分
析
λ max
正互反矩阵的最大特征值
法
模
Q
模型中第三层每个方案对第二层中每个因素的权向量构成的矩阵
型 CR 一致性比率
Qk
归一化权向量
S
双向选择的满意度目标矩阵
S ij
学生 i 与导师 j 之间双向选择的满意度
集对分析的基本思路是:在一定问题背景下,对一个集对所具有的特性展开 分析,建立起所论两个集合在指定问题背景下的同异反联系度表达 式: u = a + b × n + c × m ,式中 u 为联系度或联系数, a 为同一度, b 为差异度, n 为差异度系数, c 为对立度, m 为对立度系数,且 a + b + c = 1。
D 题-邓斌，李廷伟，王刚-二等奖
生供选择。各层联系用相连的直线表示。（如下图）
图 1：学生综合排名的层次结构
通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重。 这些权重在人的思维过程中通常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重 的定量方法。
考虑到待选学生 6 个评测因素中，初试成绩与复试中表现出来的灵活性、创 造性、知识面、表达力、外语等 5 个准则相比并不太重要，因此我们现在主要对 这 5 个因素分配合理的权重，而权重的计算一般用 Saaty 提出的 AHP 法。
αD
在学生某项成绩评分中持 D 意见的专家占总专家的百分比
四 模型的分析与建立
研究生录取问题和公司人力资源配置问题非常类似，都是通过双向选择更好 地优化组织的人员结构，提高组织的整体效能。但由于在实际操作中尚缺乏科学， 可行的方法，往往达不到理想的效果。我们知道，组织是一个多因素，多层次的 人造系统，是由许多相互作用相互依存的要素组成的有机整体，要使它形成一个 合理、有效的结构，必须将人员配置的方法建立在对构成组织的相关要素进行综 合、系统分析和客观评价的基础上。
单：这首先需要把八个不同专家的意见表融合成一张表，由于八个专家对学生的 成绩影响因素相同，因此直接利用层次分析法中的 AHP 法效果会比较随机，因此 我们选择采用集对分析法得到初始权值和相应的正互反矩阵，再用 AHP 法对其进 行修正，按照最终的权值计算学生每个指标的成绩。
D 题-邓斌，李廷伟，王刚-二等奖
在我们这个问题中，我们把学生某项面试内容的评分档次（ A 、B 、C 、D ） 视为满意度的 4 个档次，持这些态度的专家占专家总数的百分比分别为α A 、α B 、
该系现有 10 名导师拟招收研究生，分为四个研究方向。导师的研究方向、 专业学术水平（发表论文数、论文检索数、编（译）著作数、科研项目数），以 及对学生的期望要求。在这里导师和学生的基本情况都是公开的。要解决的问题 是：
(1) 首先，请你综合考虑学生的初试成绩、复试成绩等因素，帮助主管部门 确定 10 名研究生的录取名单。然后，要求被录取的 10 名研究生与 10 名导师之 间做双向选择，即学生可根据自己的专业发展意愿（依次申报２个专业志愿）、 导师的基本情况和导师对学生的期望要求来选择导师；导师根据学生所报专业志 愿、专家组对学生专长的评价和自己对学生的期望要求等来选择学生。请你给出 一种 10 名研究生和导师之间的最佳双向选择方案（并不要求一名导师只带一名 研究生），使师生双方的满意度最大。