公开课：圆锥曲线光学性质及其应用
圆锥曲线的光学性质及其应用
得另一组解为 x = y = z = 0 .
⎧xy /(x + y) = 1/ 5,
例
3
解方程组
⎪ ⎨
yz
/(
y
+
z)
=
1/
6,
⎪⎩zx /(z + x) = 1/ 7.
分析 对每个方程两边取倒数得
⎧1/ x + 1/ y = 5,
(1)
⎪⎨1/ y + 1/ z = 6,
(2)
⎩⎪1/ x + 1/ z = 7.
构特征,对其取倒数,则都可化成含有 x + 1 的 x
式子,从而运用整体代入求解. 对已知式取倒数得 x + 1/ x = m + 1. (1) 对待求式取倒数得
1/ u = x3 + 1/ x3 − m3 = (x + 1/ x)3 − 3(x + 1/ x) − m3 . (2)
把(1)代入(2)得
1/ u = (m + 1)3 − 3(m + 1) − m3 = 3m2 − 2 ,
则
u
=
1 3m2 −
2
,故选
C.
2 巧取倒数解方程组
例 2 (1984 年苏州市数学竞赛题)
⎧x = 2z2 /(1 + z2 ),
解方程组
⎪ ⎨
y
=
2x2
/(1
+
x2
),
⎪⎩z = 2 y2 /(1 + y2 ).
.
解 ∵ f (x) 是定义在 R 上的偶函数,
∴ x = 0 是 y = f (x) 对称轴.
又∵ f (1 + x) = f (1 − x) ,
人教A版高中数学选修1-1《二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 圆锥曲线的光学性质及其应用》优质课教案_2
圆锥曲线的光学性质及其应用教学分析1 教学内容与学情分析《圆锥曲线的光学性质及其应用》是人教A版数学选修2-1中《圆锥曲线与方程》章后的一段阅读与思考材料，重点介绍了椭圆、双曲线、抛物线的光学性质以及它们在生活生产中的广泛应用.它是圆锥曲线知识的进一步拓展，是数学知识与物理知识的综合，也是数学知识在实际生活中的应用的典型案例.高中学生在初学本章内容时，普遍害怕圆锥曲线的学习，很难掌握其几何性质，对代数运算更是棘手，很多学生都是生硬的去记、去算，导致得分不高，所以教师需要更好的帮助学生去理清圆锥曲线的性质，抓实一般的代数表达手段和技巧，并结合数形结合思想进行相关问题的求解.2 教学目标2.1知识与技能:了解三种圆锥曲线的光学性质，会应用椭圆中的光学性质进行应用求解.2.2思想与方法:理解椭圆中的光学性质的证明，会利用转化思想、数形结合思想等多种方法求解相关应用问题.2.3情感态度价值观:通过对圆锥曲线光学性质的大量应用，感受数学与生活之间的密切联系，体会数学的抽象性与广泛的应用性，同时学会用学到的数学原理进行创新设计的尝试.3 重点、难点分析教学重点：理解三种圆锥曲线的光学性质，能熟练应用椭圆中的光学性质进行相关的应用求解. 教学难点: 椭圆中的光学性质的证明，应用椭圆中的光学性质进行相关的应用求解.教学设计1教学流程2 教学过程【创设情境，引入新课】（1）回忆光传播的一般规律: 入射角等于反射角〖设计意图〗为后面圆锥曲线的光学性质的理解、证明、应用做最一般的理论铺垫. （2）光的反射原理的应用举例师：若点A,B 在直线l 的同侧，设点P 是直线l 上的点，问：P 在哪个位置时PB PA 取最小值？生：思考、交流、形成一致认识．师：让学生自己阐述解题过程，教师进行板书. 〖设计意图〗让学生掌握利用对称来具体实施光反射的规律，为后面的圆锥曲线的光学性质的证明和应用做方法上的铺垫.师：如果光从点A 出发，通过反射经过点B,反射点是直线上的哪一点（即传播路线是怎么样的）？ 生：思考、交流、形成一致认识．师：引出规律：一般情况下，光线在传播过程中，总是选择最近的路线从一点传播到另一点.〖设计意图〗提炼光反射原理的更一般的、更易理解的角度，为后面研究一类“距离之和” 取值范围问题指明了思考的方向，从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的关键问题.【新课讲授，建构数学】（1）圆锥曲线的光学性质应用实例师：和学生交流生活中圆锥曲线应用实例，比如回音谷、望远镜、探照灯等，试着总结其中所应用的光学性质.生：思考、交流、形成初步认识. 〖设计意图〗引导学生从生活中的具体实例出发，加深学生对圆锥曲线的光学性质及其应用的理解，为接下来介绍圆锥曲线的光学性质埋下铺垫. （2）圆锥曲线的光学性质 生：思考、交流、形成初步认识.师：PPT 展示相关光学性质，达成一致认识.PlAl1A〖设计意图〗的理解.（3）圆锥曲线的光学性质的证明（椭圆为例） 师：将椭圆中的光学性质转化为数学问题. 生：思考、交流、试着对该数学问题进行解答. 简单证明： Ⅰ.点D 是切线j 上使得21DF DF +值最小的唯一点；Ⅱ.作焦点1F 关于直线j 的对称点'1F ，连接'1F ，2F ，交直线j 于'D ，则'D 也是切线j 上使得21DF DF +值最小的唯一点； Ⅲ.D 与'D 重合. 〖设计意图〗椭圆的光学性质的证明是必不可少的部分，同时进一步巩固相关的数学处理办法.【深化理解，乘胜追击】圆锥曲线的光学性质应用举例（椭圆为例）例1 已知椭圆方程为1162522=+y x ，若有光束自焦点0)射出，经二次反射回到A 点，设二次反射点为B ，C ，则△ABC 的周长为 .图1.3图1.2 图1.1〖设计意图〗通过研究一类“周长”问题，让学生初步感知椭圆的光学性质的应用.例2 已知椭圆C: 192522=+y x ，21,F F 分别是其左、右焦点，点Q )12(，，点P 是C 上的动点，求PQ PF +1的最小值.分析：先让学生由椭圆的光学性质猜想，再用数学方法进行证明. 〖设计意图〗通过研究一类“距离之和” 的最值问题的求解，通过利用椭圆的光学性质进行该类问题的求解，达到对所学知识的理解与掌握.例3 已知l 是过椭圆C ：1121622=+y x 上的一动点P 切线，过C 的左焦点1F 作l 的垂线，垂足为Q ，求Q 的轨迹方程.说明1F 关于切线的对称点'1F 与点P 、2F 共线.〖设计意图〗通过研究一类“轨迹方程”问题，直观感知利用椭圆的光学性质进行求解该类问题的便利性，达到对所学知识的掌握与升华.【自我评价，课堂小结】提问：通过本节课的学习，你有哪些收获？留给你印象最深的是什么？（引导学生从知识点、思想方法两方面进行总结）学生总结：1．知识点：（1）光的反射原理.（2）圆锥曲线的光学性质.（3）圆锥曲线的光学性质的证明（椭圆）（4）圆锥曲线的光学性质的应用（椭圆）.2．思想方法：转化思想，数形结合思想等.（教师展示课件并作强调）〖设计意图〗让学生通过小结，反思学习过程，提升对所学知识及数学思想方法的理解和应用意识，提高学生的概括、归纳能力.同时学生在回顾、总结、反思的过程中，将知识条理化、系统化，使认知结构更趋合理；最后教师用课件展示小结内容并进行重点强调，使学生印象深刻.【布置作业，知识升华】（1）思考：双曲线、抛物线的光学性质的证明.（2）评测练习一份.〖设计意图〗养成及时总结巩固所学的好习惯,提高学习效率.。
高中数学人教A版选修2-1第二章《一、圆锥曲线的光学性质及其应用》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学人教A版选修2-1第二章《一、圆锥曲线的光学性质及其应用》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案1教学目标
(1)了解三种圆锥曲线的光学性质,并能对椭圆的光学性质解决最值问题进行数学证明。
(2)通过对圆锥曲线光学性质的大量应用,感受数学与生活之间的密切联系,体会数学
的抽象性及其广泛的应用性,同时用学到的数学原理进行创新设计的尝试。
(3)学会如何阅读、如何思考与数学有关的材料。
2学情分析
学生已学完解析几何全部课本知识,对用解析法解决解析几何问题的思想、方法已基本掌握,学生已了解光的传播的反射知识。
信息时代的学生知识面比较广,并能熟练利用书籍、电脑搜索各方面的知识。
由于人教A版课程中学生不学夹角公式、到角公式,以及初中时未学习过角平分线性质定理,这给光学的反射性质的数学证明带来一定的学习困难。
为了突破这一难点,教师引导学生从最熟悉的光在平面的反射入手,渐进到从圆心发出的光经圆反射从而得出光经椭圆反射的光路图,从而总结出椭圆的光学性质,以证明说明最大值和最小值在哪里取到,从而类比双曲线和抛物线的最值问题。
3重点难点
重难点:探讨椭圆的光学性质及其应用,通过类比了解双曲线和抛物线的光学性质及其作用。
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】课前导入
1.提前布置阅读与思考任务:(并给学生布置导学案预习完成)
【设计意图】学生有充裕的时间进行阅读与思考、查阅资料,得到大量的信息,产生大量的疑问,对着导学案有关内容的预习,产生疑问。
2【讲授】课题讲授。
《圆锥曲线光学性质及其应用》教学案例
《圆锥曲线光学性质及其应用》教学案例一.教学内容解析本节课内容是人教A版数学选修2-1中《圆锥曲线与方程》章后的一段阅读与思考材料，重点介绍了椭圆、双曲线、抛物线的光学性质以及它们在生活生产中的广泛应用。
它是圆锥曲线知识的进一步拓展，是数学知识与物理知识的综合，也是数学知识在实际生活中的应用的典型案例。
学生在教师的指引下，对材料进行充分地阅读并进行思考，查阅各类资料积累阅读与思考的成果，通过课堂进行分享与交流，既掌握了圆锥曲线的光学性质及其广泛应用，又学会了如何阅读与思考，在分享与交流过程中体验到学习的快乐，这对学生的今后学习、生活有着深远的意义。
由于三种曲线的性质可以进行适当的类比，在教学中可突出其中一种曲线进行深入研究。
本课重点探讨抛物线的光学性质及其应用，通重点探讨抛物线的光学性质及其应用，通过类比了解其他曲线的光学性质及其作用。
二．教学目标解析(1)了解三种圆锥曲线的光学性质，并能对抛物线的光学性质进行数学证明。
(2)能通过对一些生活现象的观察提出数学问题，再用数学的方法加以论证。
(3)通过对圆锥曲线光学性质的大量应用，感受数学与生活之间的密切联系，体会数学的抽象性及其广泛的应用性，同时用学到的数学原理进行创新设计的尝试，提升数学建模、数学抽象、逻辑推理的素养。
(4)学会如何阅读、如何思考与数学有关的材料。
三．教学重点：椭圆光学性质的探究过程；教学难点：圆锥曲线光学性质的应用四.学情分析学生已学完解析几何全部课本知识，对用解析法解决解析几何问题的思想、方法已基本掌握，另外，学生已学习过导数知识，因此能用导数工具求解切线斜率。
同时了解光的传播的反射知识。
信息时代的学生知识面比较广，并能熟练利用书籍、电脑搜索各方面的知识。
由于人教A版课程中学生不学夹角公式、到角公式，以及初中时未学习过角平分线性质定理，这给光学的反射性质的数学证明带来一定的学习困难。
为了突破这一难点，教师引导学生从最熟悉的光在平面的反射入手，渐进到从圆心发出的光经圆反射从而得出光经抛物线反射的光路图，将两线平行最终转化为三角形两边相竿年底助导数求出切线方程，得到证明；另一方面在论证上可以有所侧重，本课重点证明简单的抛物线的光学性质，对于双曲线、椭圆的光学性质的论证则留给学生课后自主探究。
人教A版高中数学选修1-1《二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 圆锥曲线的光学性质及其应用》优质课教案_0
圆锥曲线的光学性质及其应用一、教材分析人教版选修1-1课后阅读材料“圆锥曲线的光学性质及其应用”向学生展示了数学在光学上的应用价值，展示了数学的神奇功能，对学生具有很强的吸引力，能很好的培养学生学习数学的兴趣，而且还能提高学生解决实际问题的能力。
课后阅读材料是教材内容的一个重要组成部分，具有较强的教育功能。
二、教学目标分析了解三种圆锥曲线的光学性质，并能对椭圆的光学性质进行数学证明。
能通过对一些生活现象的观察提出数学问题，再用数学的方法加以证明。
通过学习圆锥曲线光学性质的大量应用，感受数学与生活之间的密切联系，体会数学的抽象性及其广泛的应用型。
学会如何阅读，如何思考与数学有关的材料。
三、学情分析学生已学完解析几何全部课本知识，对用解析法解决几何问题的思想、方法已基本掌握，另外，学生已学习过导数知识，因此能用导数工具求切线斜率，同时了解光的传播的有关知识。
信息时代学生的知识面比较广，能数列利用书籍、网络搜索各方面的知识。
本节课在性质的证明上有所侧重，重点证明了椭圆的光学性质，抛物线和双曲线的光学性质的证明只做出展示，留给学生课后再拓展研究。
四、教学流程1.通过电影放映机的光源位置设置，引入本节课的主题；2.重点证明椭圆的光学性质，对抛物线和双曲线的光学性质做出展示；3.比较三种曲线光学性质能达到的效果；4.实际应用重点研究反射式天文望远镜的光学原理；5.大量展示圆锥曲线光学性质的实际应用五、教学过程：一、引入大家去电影院观影时，会看到屏幕与片门之间有彩色的光束，巨大的光源难道就藏在上方那个小小的洞口之中？事实并非如此。
请看图片中这种传统的灯箱式电影放映机，光线确实就从放映机射出。
但是这种电影放映机，体积大，光效低，投影距离短，成影面积小，成影像素低。
随着放映技术的发展，为了增加光源的亮度，提高光效，电影放映机使用氙气灯作为光源。
而几千瓦的氙气灯所发出的高能量经过聚焦器聚焦，必然会产生很大的热量，如不迅速散热，会使工作芯片的温度急剧升高，芯片的寿命将会随工作温度的升高而缩短。
圆锥曲线的光学性质及其应用
圆锥曲线的光学性质及其应用圆锥曲线是指平面上满足特定方程的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线在光学领域中有着重要的应用，因为它们具有一些独特的光学性质，可以用于制作光学器件和解决光学问题。
本文将围绕圆锥曲线的光学性质及其应用展开讨论。
1.椭圆的光学性质及其应用椭圆可以用在光学器件中，因为它有着许多独特的属性。
其中一个最重要的属性是其焦点性质。
椭圆的焦点性质使得光线能够在一定的距离内被集中或者散开，这对于制作透镜和聚焦器件非常有用。
此外，椭圆还可以用来制作反射器，因为它的反射性质能够将光束聚焦在特定的位置上。
因此，椭圆在光学领域中有着广泛的应用，例如在光学成像系统中的应用尤为突出。
2.双曲线的光学性质及其应用双曲线也具有一些独特的光学性质，这使得它在光学器件中有着特殊的应用。
双曲线的焦点性质使得它能够集中或者散开光线，这在一些光学设备中非常有用。
此外，由于双曲线的形状特殊，它还可以用来制作一些特殊的透镜和反射器件，这些器件在一些特殊的光学实验中具有重要的作用。
3.抛物线的光学性质及其应用抛物线是一种常见的圆锥曲线，它具有一些独特的光学性质。
抛物线具有一个焦点和一个直线无穷远点，这使得它在光学器件中有着一些特殊的应用。
抛物面镜是一种常见的光学器件，它利用抛物线的反射性质将光线集中在特定的位置上。
此外，抛物线还可以用来制作一些透镜和反射器件，用于改变光线的方向和聚焦光线。
4.圆锥曲线的应用举例在实际的光学应用中，圆锥曲线有着广泛的应用。
例如，在激光聚焦器件中，椭圆和抛物线常常被用来聚焦激光束，以提高激光的能量密度。
在成像系统中，双曲线和抛物线可以用来改变光线的方向和聚焦光线，从而实现高分辨率的成像。
此外，圆锥曲线还可以用在一些特殊的光学实验中，比如在天文学观测中，双曲线和抛物线可以用来改变天文望远镜的焦距，以提高成像的清晰度。
5.圆锥曲线的未来应用随着科学技术的不断发展，圆锥曲线在光学领域的应用也将不断被拓展。
圆锥曲线的光学性质及其应用
圆锥曲线的光学性质及其应用Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】圆锥曲线的光学性质及其应用尹建堂一、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质，就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。
设P（）为圆锥曲线（A、B、C不同时为零）上一定点，则在该点处的切线方程为：。
（该方程与已知曲线方程本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换法则”，可直接用此法则写出切线方程）。
该方程的推导，原则上用“△法”求出在点P处的切线斜率，进而用点斜式写出切线方程，则在点P处的法线方程为。
1、抛物线的切线、法线性质经过抛物线上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。
如图1中。
事实上，设为抛物线上一点，则切线MT的方程可由替换法则，得，即，斜率为，于是得在点M处的法线方程为令，得法线与x轴的交点N的坐标为，所以又焦半径所以，从而得即当点M与顶点O重合时，法线为x轴，结论仍成立。
所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。
也可以利用点M处的切线方程求出，则，又故，从而得也可以利用到角公式来证明抛物线的这个性质的光学意义是：“从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴”。
2、椭圆的切线、法线性质经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。
如图2中证明也不难，分别求出，然后用到角公式即可获证。
椭圆的这个性质的光学意义是：“从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上”。
3、双曲线的切线、法线性质经过双曲线上一点的切线，平分这一点的两条焦点半径的夹角，如图3中。
仍可利用到角公式获证。
这个性质的光学意义是：“从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。
二、圆锥曲线光学性质的应用光学性质在生产和科学技术上有着广泛地应用。
圆锥曲线光学性质的证明与应用
圆锥曲线光学性质的证明与应用圆锥曲线光学性质是从小学到研究生乃至博士研究生涉及到的一个重要光学中的重要分支，在物理学家和光学科学家的眼中，它是实验及理论上的一个难题，探究其特定的形式及性质是比较重要的一个研究内容。
圆锥曲线光学性质又称为非球型曲线光学性质，它是指圆锥曲线光学特征下产生的未经处理或未经任何折射及反射的光学性质，其特点是光线在进入圆锥曲线（折射介质）以后，根据入射角和折射指数的不同，发生不同的折射及反射现象，这种现象是其他曲线光学特征（折射平面镜及球面镜）下所不具备的特性。
圆锥曲线的光学特性不仅仅表现在入射角的变化上，它也具有折射指数的变化，也就是说，当折射现象发生时，光线不仅仅受到入射角的作用，而且还受到折射指数的作用，这会导致光线在所经过的介质中会发生折射，从而导致圆锥曲线光学特征的变化。
圆锥曲线经过折射以后，光线会发生变换，从而产生一些新的特性，比如入射角发生了变化，折射指数也发生了变化，而且圆锥曲线即使经过折射以后，仍然能够以正确的方向折射出去，这是和球面镜最大的不同之处。
圆锥曲线光学特征的应用很广泛。
在医学领域，它可以用来检测小的病变，例如圆锥曲线的折射指数变大，能够帮助检测出细胞变化；在光照学领域，它可以应用于把光照射到某个特定的区域，从而达到良好的光照效果；在望远镜上，使用圆锥曲线也能够快速准确的聚焦；在日晷中也有对圆锥曲线的应用，以有效的观测太阳方位。
圆锥曲线光学性质的研究也被科学家普遍认为是一项重要的研究工作，它也有着丰富多彩的应用，从而推动了现代科学的发展。
目前，学者们已经出现了数学模型的提出，以此证明圆锥曲线光学性质的正确性，并且他们还建立了精密的参数模型，用来描述圆锥曲线光学特性，从而准确高效地预测光线在折射介质中会出现的折射和反射现象，这是光学研究的一项重大创新。
圆锥曲线光学性质的证明与应用的发展为光学理论的发展搭建了一个坚实的基础，而它在日常生活中也有着丰富多彩的应用，无论是在医学、通讯、航空宇航、观测等领域，圆锥曲线光学性质已经发挥着极其重要的作用。
圆锥曲线光学性质的数学原理及应用(说课)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2.汽车的内反光镜的镜面是双曲线面形，为什么镜
内的视野会更开阔？
司机的眼睛位于双曲线的焦点处，远处的光经双曲线反射
后汇集在焦点处，因此增加视觉范围.
3.为什么卫星信号接收器的曲与抛物线对称轴平行的信号
经抛物线反射后会汇集在抛物线的焦点处，以此来增加接收
的轨迹是以、两点为焦点的椭圆
你还发现了什么？
的垂直平分线与椭圆相切，是切点.
证明过程：如图所示，设为上任意一点，
由于为线段的垂直平分线，则有 +
= + ≥ = ，当且仅当
与重合时等号等成立.即点是与椭圆的
唯一交点，的垂直平分线与椭圆相切，
器的接收信息能力.
教学阐述部分
教学内容及解析
学情分析
教学目标
教学过程设计
重难点的突破
【教学内容及解析】
(一)教学内容
圆锥曲线光学性质的数学原理及应用
(二)教学内容解析
圆锥曲线的光学性质在生活中应用广泛，教材把这个内容作为阅读
材料融入高中数学学习之中，旨在提升学生数学学科素养，帮助学生了
解数学在实际生活中的应用，提升学生学习数学，探究数学的兴趣.
是切点.
若过点作的垂线，该垂线是否平分∠?
由于∠ = ∠ = ∠,故可得的垂线平分∠.
由此你得到了一个关于椭圆的什么性质？
性质1设1 ,2 为椭圆的两个焦点，点为椭圆上
的任意一点，为过点且与椭圆相切的直线，则
过点且与垂直的直线平分∠1 1 .
的概念、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系，了解光的反射原理.
【教学目标】
1.通过探究，能发现并证明圆锥曲线的光学性质，发展学生的直观想
圆锥曲线的光学性质及其应用公开课优质课获奖课件
法线PA的方程为：y
y0
a2 y0 b2 x0
(x
x0 ),则kPA
a2 y0 b2 x0
.
F1
A F2 x 根据两角差的正切公式可得
a2 y0 b2 x0
1
a2 y0 b2 x0
y0 x0 c y0 x0 c
=
tan
F1 PA
tan(PAF2
PF1
A)
kPA 1 kPA
kPF1 kPF1
3、从双曲线一个焦点发出的光线，经过双曲 线反射后，反射光线是散开的，看起来像什么？为什么？有何用？ 2 方法层面 用代数的方法研究几何问题 3 思想层面 从特殊到一般、类比、化归等 4 过程层面
提出假设→计算机模拟验证→理论证明→实际应用
作业布置
通过折纸初步认识椭圆的光学性质
提出假设
利用几何画板进行验证
计算机模拟
将实际问题转化为数学问题并证明
理论证明
椭圆的光学性质在生活中的应用
实际应用
圆锥曲线的光学性质
1、从抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上 的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴。
2、从椭圆上一个焦点发出的光线，经过椭圆 反射后，反射光线汇聚于椭圆的另一个焦点。
1、完成双曲线、抛物线光学性质的证明,形成报告；
2、已知椭圆C
:
x2 +
25
y2 9
1, F1, F2分别是其左右焦点，
点Q(2,1), M是椭圆上的一动点，求 | MF1 | | MQ |的
取值范围;
3、思考：你能将圆锥曲线的光学性质进行组合设计出 具有实用价值的作品吗？
双曲线光学性质的应用
圆锥曲线的光学性质及其应用
圆锥曲线的光学性质及其应用
圆锥曲线的光学性质及其应用圆锥曲线是一类由一个动点到一条定直线的距离与一个定点到定直线的距离的比例确定的几何图形。
圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。
这些曲线在光学领域中有着重要的应用，其光学性质也是研究的重点之一。
1.圆锥曲线的光学性质在光学中，圆锥曲线具有各自独特的光学性质，其中圆、椭圆、双曲线和抛物线分别对应着不同的光学概念和应用。
（1）圆的光学性质从光学的角度来看，圆是最简单的圆锥曲线。
圆的特点是其每一点到圆心的距离都相等，因此圆对光的折射和反射没有其他圆锥曲线那么多的特殊性质。
然而，在光学元件设计中，圆形透镜和反射镜的使用非常广泛，因为圆形透镜和反射镜对光线的折射和反射都非常均匀，为光学系统的设计和制造提供了更多的便利。
（2）椭圆的光学性质椭圆是圆锥曲线中的一种，其特点是其两个焦点之间的距离之和与定直线到椭圆上任意一点的距离成比例。
在光学中，椭圆的焦距和长短轴的长度决定了椭圆镜的成像效果。
椭圆镜可以将入射到其一个焦点上的平行光线聚焦到另一个焦点上，因此在望远镜、激光器和摄影镜头等光学设备中得到了广泛应用。
（3）双曲线的光学性质双曲线是圆锥曲线中的一种，其特点是其两个焦点之间的距离之差与定直线到双曲线上任意一点的距离成比例。
在光学中，双曲线镜具有独特的成像特性，可以将入射到其一个焦点上的平行光线反射到另一个焦点上。
因此在卫星通信、望远镜和激光器等光学设备中也得到了广泛应用。
（4）抛物线的光学性质抛物线是圆锥曲线中的一种，其特点是其焦点到定直线的距离与定直线到抛物线上任意一点的距离相等。
在光学中，抛物线也具有独特的成像特性，可以将入射到其焦点上的平行光线聚焦到抛物线上的任意一点上。
因此在卫星天线、射电望远镜和摄影镜头等光学设备中也得到了广泛应用。
2.圆锥曲线在光学中的应用圆锥曲线在光学中有着广泛的应用，包括光学元件的设计、光学成像系统的构建和光学设备的制造等方面。
（1）椭圆镜的应用椭圆镜是一种具有椭圆形曲面的光学元件，其折射和反射特性使其在光学成像系统中得到了广泛的应用。
圆锥曲线光学性质在生活中的应用
圆锥曲线光学性质在生活中的应用
圆锥曲线光学性质是物理学中的一个重要课题，它主要研究的是把光从物体的
一侧传送到另一侧的形式。
它主要是涉及到圆锥曲线的性质，比如光线的凹凸性和反射角度等。
圆锥曲线光学性质在日常生活中有很多具体的应用，它对人类行为或物理动作有着重大的影响。
圆锥曲线光学性质在照相机与凸镜中很常见，凸镜是改变圆锥曲线凹凸性的重
要器件。
改变它的反射角度，能够控制光线的变化，从而改变照相机与凸镜中的画面长宽比，起到放大或缩小作用。
照相机后镜也是受到圆锥曲线凹凸性影响的重要元件，改变镜面的反射角度，能够改变画面中物体的尺寸形状等。
圆锥曲线光学性质在显微镜上也有重要应用，高级显微镜中采用一系列圆锥曲
线来改变物体的反射角度，能够放大微细物体，帮助人们观测微观世界。
另外，圆锥曲线光学性质在光学媒介的传导方面也有重要作用，它在灯具、激光尾气发射器、声音系统中有广泛的应用，以达到更高效的传播和发射效果。
总而言之，圆锥曲线光学性质在日常生活中有着重要的应用作用，它可以改变
物体的凹凸性和反射角度，从而有效地控制光线的变化，从而影响人们行为、观测微观世界以及更高效地传播和发射等方面。
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圆锥曲线光学性质及其应用
2019-11-27
学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有一则阅读材料《圆锥曲线的光学性质及其应用》，使我们了解了圆锥曲线的光学性质这一常见现象，这一节课我们进一步对它进行证明和探究，并对它在数学解题和生产科技等方面的应用有了更深的认识。
一、圆锥曲线的光学性质
1、椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1)
椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．
2、双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．
3、抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）
抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．
要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。
二、问题转化及证明
2．1圆锥曲线的切线与法线的定义
切线：设直线l与曲线c交于P，Q两点，当直线l连续变动时，P，Q两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P，Q重合为一点M,此时直线l称为曲线c在点M处的切线。
法线：过M与直线l垂直的直线称为曲线c在点M处的法线。
此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化： 2.2 圆锥曲线光学性质的证明 1.圆锥曲线的切线方程：
1.若点00(,)P x y 是椭圆22221x y
a b
+=上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：
00221x x y y
a b
+=。
2. 若点00(,)P x y 是双曲线22
221x y a b
-=上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：
00221x x y y
a b
-= 3.若点00(,)P x y 是抛物线22y px =上任一点，则抛物线过该点的切线方程是
00()y y p x x =+
2.证明：
定理1：椭圆上一个点P 的两条焦半径的夹角被椭圆在点P 处的法线平分
1.已知：如图，椭圆C 的方程为22221x y a b
+=，12,F F 分别是其左、右焦点，
l 是过椭圆上一点00(,)P x y 的切线，'l 为垂直于l 且过点P 的椭圆的法线，
交x 轴于D ，设21,F PD F PD αβ∠=∠=， 求证：αβ=.
定理2：双曲线上一个点P 的两条焦半径的夹角被双曲线在点P 处的切线平分
2.已知：双曲线C 的方程为22
221x y a b
-=，1F ，2F 分别是其左、右焦点，l 是过双
曲线C 上的一点00(,)P x y 的切线，交x 轴于点D ，设1F PD α∠=，2F PD β∠= 求证：αβ=
定理3：抛物线上一个点P 的焦半径与过点P 且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P 处法线平分。
3.已知：抛物线C 的方程为为22y px =（p>0），直线l 是过抛物线上一点00(,)P x y 的切线，交x 轴于D ，,DPF PDF αγ∠=∠=，反射线PQ 与l 所成角记为β，求证：αβ=
三、圆锥曲线的光学性质的应用
1. 设抛物线2:C y x =，一光线从点A(5，2)射出，平行C 的对称轴，射在C 上的P 点，经过反射后，又射到C 上的Q 点，则P 点的坐标为____，Q 点的坐标为______.
2.双曲线22
:188
x y C -
=，又A C ∈，已知A (4，22)，F (4，0)，若由F 射至A 的光线被双曲线C 反射，反射光通过P (8，k )，则k= .
3．已知椭圆C ：22
1259
x y +
=，F 1、F 2为分别是其左右焦点，点Q(2，1)，M 是C 上的动点，则|MF 1|+|MQ|的取值范围___ ___.
4．已知双曲线C ：22
13y x -=， F 1、、F 2为分别是其左右焦点，点9
(4,)2
Q ，M 是C 上的动点，则
|MF 2|+|MQ|的取值范围___ ___. 5．已知抛物线C ：x y 42=， F 是其焦点，点(2,1)Q ，M 是C 上的动点，则|MF|+|MQ|的取值范围____ __.
6．已知l 是过椭圆C ：22
11612
x y +
=上一动点P 的椭圆C 的动切线，过C 的左焦点F 1作l 的垂线，求垂足Q 的轨迹方程。
7．某种碟形太阳能热水器的外形示意图如图所示，其中F 为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线以cm 为单位的设计尺寸如图为了达到最佳加热效果，F 应距碟底多少？
图3.4.2。