求函数极限的几种常用方法和技巧

常 用 的 方 法和 技 巧 。 关键词 ： 函数 ； 限 ； 法 极 方
在数学分析与高等数学中，极限的概念占有主要的地位并 以各种 形式出现而贯穿全部内容 ，因此掌握好极限的求解方法是学习数学分
例： ｌ 互墨 求 ｉ ｍ
解：
：１ ｉ ｍ
析和高等数学的关键一环。计算 函数极限是数学分析与高等数学的最 基本的运算 ， 由于题型多变 ， 因此方法灵活， 技巧性强， 是数学分析与高 等数学的—个重难点。本文结合教学实践讨论了一元函数极限的几种 常用求法和技巧 。
原 式＝Ｈ ｍ
０ 一ｓｎ ｉ
． — ｓｘ ｌ （ Ｉ ） ｍ －ｏｘ 一 １ ｘ ｉ ： ｒ２ｎ ． 一 ｃ ：ｎ ｉ － ｎ ｉ ￣ ２１ １ ｓ ｌ ｍ ａ ｉ ２
０ Ｘ ａ … ＿ｏ ３ ÷ ｘ ６
（）ｍ＝ ３ｌ ｉ
存在 （ 或为无穷大） ．ｉ 生 ：ｉ ，￣ｌ ｑｍ ｌ ｍ
例： 俐
） ，。 船 （ 曲
证： 不妨设 Ｉ＞ ． ｏ为使不等式 ｘ １ ８＞ ， ｌ Ｖ
｝ 斗 ≤ ：２ｘ 南＜ 糌 Ｉ） ｅ （ ｘ Ｉ ＋
成立。
＿２在２ 。 ｛ …限 ／ ￣． ２ － ； （ －
：３ｒ ＋ ） ｍｓ （－ ） ｆ ｏ：ｈ ．ｘ ２：１ ２ ｉ
过 比较 其评 价指标 的实际值 大小 和特 征 ，来 确定 各个评 价指标 的标准 值 。本 次选取 的参照对 象为 长春莲 花山生 态旅游 度假 区 、净月潭 风景旅 游 区 和 长 白 山 生态 旅 游 区 。 ４３评 价 指 标 的标 准 化 ． 分别采 用 以下方 法 ，对原始 基础 数据 进行标
＿
解 ｒ２ ０：Ｈ 墨 ：Ｈ （ ） ｍ三 ｍ
－
ｚ —‘
ｘ 一２
ｘ
ｘ 一２
、
ｘｔ ｘ ２ 一
从不等式 ＇ 一 ＜￡。取 Ａ ＋ 。于是 ， ＝＇ Ｉ Ｖ￡＞ ， ＝ ０ ＋ 。 ０ ３Ａ Ｉ
ＶＩ＞ 有 ｌ ｘ Ａ，
２ Ｏ ≠ ＋ ） ｉ ｘ不存在。 — ） ２ Ｏ故ｌ ｍ ） ４用等价无穷小的转化求极限
、
＝
：ｌ ｉ ａ ｒ ：
川 一３４ ＋１ ） Ｈ ＋２ ４ ） ｘ ＋２ （ √ ＋１
２ ． ３求 型极 限 ：
一
艇用 ： 馘 若wk.baidu.com翩
２ ＋ ＋１ ２ １
… ｛ ：
’
例 求 去 ：
证 Ｖ８ ｏ１ ｘ１－１ １ ｌ ８成立 ， Ｉ １ — 。 ＞，２＋ ） ＝ ｘ ｌ （ ３２—＜ 解得 ｘ Ｉ ｝ 一＜
Ｏｌ ｛ｘ‘（ ｉ （ ’ｍｇｘ Ａ ）ｍ ｆ ） 圳：ｌ ｘ ｌ （＝ Ｂ ｉ （ ｇ ｍｆ ）ｉ ）
例：ｌ — （ｓ ｘ ｉ ｓ ２ｉ ） ｍｉ — ｎ ｎ
…
，
器： ： Ａ
．
解： 代入得 ｌ ｉ ａ ｒ
＝
＝ ：
２１ ．求确定型极限： 直接代入法
＋ ＋ ２
５两边夹定理求极限 两边夹定理日若 ∈ 。， ， ）ｇ ） （， ： （ 有 （ ≤ （ ＾ ） ） 且 ， ： （ ＝ ． （ ｂ ） ） 则
ｌ
～
例 ：求
■
ｉｇ ： ｍ （） ｂ
解 ： 令半 ＝２ ｉ ４ ＝
２ 求 型极限： － ２ 求该类型极限， 通常有 ２ 种方法 ； （） １分解因式 ， 消去零因子 ； （） 化， ２ 有理 消去零 因子
ｌ罕一 ， ｌ
０Ⅱｍ （ ） 叫＝ｃ ｍｆｘ ｃ ｌ （＝Ａ ｉ ）
竿 ： ，
２利用函数极限的四则运算法则来求极限 函数极限有如下运算法则： ｉ ｘ： 若ｌ ｆ ）Ａ和ｌ ｘ： ， 为常数 ， ｍ（ ｉ ｍ ）Ｂ ｃ 则
定 翻 ～’ ｐ ｌ 在则ｉ 存 ， 理： 理Ｂ ’ ｉ 设理 ， 且ｍ 分存 ，１ ｍ 在且 也 有 ｂ ｍ ｍ ｝
４ ． ４集约度计算及等级划分 参 考 文 献 评价总分值采取如下公式计算 ：Ｐ ∑Ｘ ×Ｗｉ ： ｉ ［】 】中国旅 游年鉴编委会． ０ ２ ６中国旅 游统计年鉴『 】 ０ Ｍ． 北京 ： 中国旅 游 ２０． 式中 ，Ｐ为某评价对象集约利用评价 总分值 ；Ｘ 为某评 价对象 出版 社 ． ０ ６ ｉ 第ｉ 个指标 的标准化后分值 ；Ｗｉ 为某评价对象第 ｉ 个指标的权重。 ［］ ２吴月照 ， 鸟恩 ， 风景 区土地持 续利用 的生 态途径—— 以三峡黄 等． 根据 Ｐ值 的大小 ，风景 区土地集 约利用水平 大致可划分 为三 牛岩风景 区为例［ ． Ｊ 水土保持研 究，０ １８ ２ ：１９ ． 】 ２ ０ ，（ ）９ — ５ 个等级 ：当 ０ ≤０ ，风景区土地集约利用水平较低 ，土地利用 ［ 黄震方 ， ≤Ｐ ． ４ ３ Ｊ 吴江 ， 关于旅 游城 市化 问题 的初 步探 讨——以长江三 等． 方式 较为粗 放 ；当 ０４ ≤０ ，风 景区土地集 约利 用水平 中等 ； 角洲都市连 绵区为例［． ．≤Ｐ ． ７ Ｊ 长江流域资源与环境 ，０ ２ ９ ２ ：６ — ６ ． ］ ２０ ，（ ） １０ １５
准化 处 理 。
（） 正相关指标 。 １ 指标标 准化采取 的计 算公式 为 ：Ｘ ｘＡ 式 ｉ＝ ｉ ｉ ／ ． ≤１ ７ ０ 中 ，ｘ 为某评价对象第 ｉ ｉ 个指标 的分值 ；ｘ ｉ为某评 价对象第 ｉ 个 当 ０ ≤Ｐ ．，风景 区土地集约利用水平较高 ，土地利用方式较 指标 的实际值 ；Ａ 为某评 价对象第 ｉ 指标 的标 准值 。对于 大于 为集约 。 ｉ 个 ５ 风景区集约用地评价实例 指标标 准值 的因素 因子 ，指标分值均为 １ 。 根据上述城市主体风景区土地集约利用评 价指标体 系和方法 ， （） 负相关指标 。 ２ 指标标准化采取 的计算公式为 ：Ｘ＝ ｉｉ ｉ ／ 式中各参数符号解释 分别对莲花 山风景 区和净月潭风景区土地集约利用水平进行评价 。 Ａｘ （ 详见表 ３４ ～ ）评价结果显示 ：长春市莲花 山风景 区集 约用地评价 如上 。对 于小于指标 标准值 的因素 因子 ，指标分值 取 １ （ 见 。 详 总分值 为 ０５ ，属于 ０４ ≤Ｏ７区段 ，土地集约利用水平 中等偏 ．６ －≤Ｐ ． 表 ２ ） 下 ，有待于进一 步挖 潜 ，提高土地利用效率 ；长春市净月潭 风景 表 ２评价指标权重及标准化一览表 区集约用地评价总分值为 Ｏ８ ，属于 ０ ≤Ｐ ． ． ５ ． ７ ≤１ ０区段 ，土地集约 利用水平较高 。 表 ４ 长 春 市 莲 花 山生 态 旅游 度 假 区土 地 集 约 利 用指 标 值
例１ ：求 的极限 解 ． １ ＜】 且 ｌ （ 由两边夹定理知 ．ｓ 一 ｉ ￣ ｍ ）
・ ．
…
ｍ ｈ —
ｘ
６用 洛必达 法则 求极 限
６ ０ ．
，
÷型 数 限 函 极
（转４页 下 ９）
科技 论坛
表 ３长春市莲花 山和净月潭生态旅游度假 区基本情况
・ ９・ ４
取 ８ — 于是 ３ ８＝ ， ：＜ 一 １８， ｌ ｘ １Ｉ３ ＝ — Ｖｘ０ Ｉ １ ｘ ＜ 有 （ ＋ ） ＜８。 ２ －
解： 而 ｊ ２ ４求 ∞一 ＊型极限： 通分或有理化来解决 ４ １ ） 例：求 ｌ （ ｉ ａ ｒ
２ 一
…
ｑ 一
故 （ ３。 ２ ＋ｌ
（ 上接 １ ４页 Ｊ ６
…
定理②： ｆ ）ｇｘ满足以下条件 若 ｉ ，（） ｘ
０
由
中值定璐
，
：２ ２（＜
）
（ ｌ ｆ（ ） ｉ ｇ ０或 ）； １ ｉ ） ｒ ｍ （ ） （ ａ
（） ２在 的去 心 邻域 ｕ ） 厂（） ’ ） （ 内－ 与ｇ（ 部存 在且ｇ（） ； ≠０
求函数极限的方法： １运 用极 限的定 义来 求极 限ｍ 定义 １： ｍ函数 ｆ ） ｉ 在点 ｘ ａ ｘ ＝ 的某个去心邻域内有定义 ， 若对任意的 正数 ￡ ０存在 ８＞ ， ＞， ｏ 使得当 Ｉ ａ ８时 ， ｘ ｌ —＜ 都有 Ｉｘ一 Ｉ ｆ ）Ａ＜８则称 ｘ趋 （ 于ａ 的极限存在 ， Ａ， 为 记作 ｌ ：Ａ ｉ ｍ，（） 例 １ 证明 ｉ ２ ＋１：３ ： ｉ ｘ １ ｍ（
解： （
一 １ ） ＝
４ （＋ ） ： ２ｘ － ｌ ｉ ａ ｒ
（ ＋州 ２ ２
（ ｘ ２ ） 二 ＝
－
１
＝
定义 ２： 川 设 ｘ为定义在【＋ 上的函数 ， ） ａ ＊） ， Ａ为定值 ， 若对任意的 正数 ￡， 存在正数 Ｍ ≥ａ ， （ ） 使得当 ｘ Ｍ时有 Ｉｘ一 Ｉ ＞ ｆ ）Ａ＜￡。则称 函数 ｆ （ 当 ） 。 时以 Ａ为极限， ｒ 。 记作ｌ ｘ＝ ｉ ｆ ）Ａ或 ｘ ａ ｒ （ 卜诅（ ÷ ａ ） ） ＋。 。 ｒ
以上方法是在数学分析与高等数学里求解极限的重要方法 。除了 以上常用的２￣ ，，还有利用函数的连续性求极限 ，运用两个重要极 ｒ ｂ ｓｎ ｉ １ ＣＳ 一 Ｏ ｓｎｒ ｉ １ 限， 变量替换法 ， 函数极限存在性定理 ， 左右极限， 利用二项式定理证明 解： 丁 ＿ ＿ 极限 ， 利用定积分的定义求函数极限等。在做求解极限的题 目时， 必须 ７ 利用 微分 中值定 理和 积分 中值 定理 求极 限 要细心分析仔细甄选 ， 综合应用以 匕 所述的各种方法。 定理 若函数 “ ） ： ｘ满足如下条件 ：１ｆ ） ａｂ上连续 ；２ｆ ） （ ）ｘ在『 １ （ ， （ ） ｘ在 （ 参 考文献 （，） ａｂ 内可导， 则在 ａｂ 内至少存在一点 ∈， ，） 使得 ， — 。ｆ ） ： （－（ （ ｆ） ａ ｂ一 【 华东师范大学数学系． １ ］ 数学分析嗍 ． 北京： 高等教育 出版社 ，０ １ ２０． 例： 求 的极限 ［朱志范， ２ Ｊ 王学祥， 高等数学【 尔滨 ： 尔滨工业大学出版社 ，０ ０ 等． ｆ 哈 哈 ２ １． ２ 一 ２ ２ … ～ ２ 姐 — ｓｎ ｉ 【刘玉琏， ３ 】 付沛仁． 数学分析讲义【ｌ Ｍ 北京 ： 高等教育出版社，０ ０ ２ １． 解 ：’ 。 ＿－ — 丁 ［ 宗慧敏． 函数极 限 的方法 与技巧 民营科技 ，０ ８６ ：８ ８ ． ４ ］ 求 ２ ０ （ ）８— ９ 例ｌ ：求
常见等价无穷小有 ： 当 ０ 一ｉ ｔ ｘ ａ ｓ —ｒａｘ Ｉ１ 一 ～ 时 ｓ —ａ —ｒ ｉ ａ ｔ ～ｎ ＋ ） １ ｎ ｎ ｃｎ ｃｎ （
・ ｃ Ｘ （ ） ｔ ～Ｏ － Ｓ 一 ＋ 一
（ｌ ｛（ ±ｇ ） ｉ （ ５ｌ （ ＝Ａ ２ ｉ ｆｘ （ １ ｍｆｘ： ｉ ｘ ±Ｂ ）ｍ ） ：ｌ ） ｍａ ）
・
１ ４ ６・
科 教文 化
求函数极 限的几种常用方法和技巧
段宏博 （ 东北石 油大学华瑞学院， 黑龙 江 哈 尔滨 １０ ０ ） ５ ００
摘 要 ： 学分析与 高等数 学研 究的对象是 函数 。那么用什 么办法研 究函数呢？这个方法就是极 限。数学分析 与高等数学 中几乎所 数 有的概念都 离不开极限。 极限知识是研 究函数连 续、 导数 、 种积 分、 各 级数 等的基本工具 。因此 ， 限概念是数学分析 与高等数学的重要概 极 念， 极限理论是数 学分析与 高等数 学的基础理论。由于函数极 限的重要性 ， 笔者对计 算函数极 限的 问题进行 了讨论并且重点分析 了一些
例２ ：证明 ｌ ｉ ｍ
３２ ２ ｘ ＋ ｘ－ ２
一
３ 用：＂ ￣ｔ ２／ 限与极 限关 系来 求极限 ａ
定理【 函数极限ｌ ｘ存在且等 于 Ａ的充分必要条件是左极限 Ｉ １ ： ｉ ） ａ ｒ ｌ ｘ及右极限ｌ ｘ都存在 且都等于 Ａ ｉ ） ｍ ｉ ） ｍ 。即有：
：３
ｍ）