第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性

事件组B1，B2，„，Bn为S 的一个划分，且 P(A) >0，P(Bi ) >0，则有
P ( Bi | A ) P ( A Bi ) P ( A) P ( A | Bi ) P ( Bi )

n
,
i 1, 2, , n
.
P( A | B j )P(B j )
j 1
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
2 1 4 3
= p (p2 +p -p3) .
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
判断下列说法是否正确？
• • • • • • 1，若A与B互不相容，则他们互相独立； 2 ，若A与B互相独立，则他们互不相容； 3，若P(A)=P(B)=0.5，则A,B互不相容 4 ，若P(A)=P(B)=0.5，则A,B互相独立 5，若A与B互不相容，则他们互为对立事件 6.若A与B互为对立事件，则他们互不相容
直观说法：对于两事件，若其中任何一个 事件的发生不影响另一个事件的发生， 则这两事件是独立的. 定义1 若事件 A 与 B 满足：P(AB)=P(A)P(B)， 则称A与B相互独立，简称A与B独立.
P(AB) = P(A)P(B) P(A|B) = P(A)
P(AB)/P(B) = P(A)
1 2 3 3 答 案 ： 1- = 2 3 4 4
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
课堂练习
1、设某批产品，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占
45%、35%、20%，各厂产品的次品率分别为4%、2%、
5%，现从中任取一件，
(1) 求取到的是次品的概率；(2) 检验发现取到的 产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率. 2、加工某零件共需四道工序，设第一、二、三、四道 工序的次品率分别是2%、3%、5%、3%，假定各道工 序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率.
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
定理2
若事件A与B相互独立，则
A与 B ,A与 B ,A与 B
也相互独立.
证明：由
A AB AB ,
得
P ( A) P ( AB ) P ( AB ) P ( A) P ( B ) P ( AB ) ,
则 因此
P ( AB ) P ( A) P ( A)P (B ) P ( A )(1 P ( B )) P ( A ) P ( B ) ,
全概率公式是求“最后结果”的概率，可通过
综合分析一事件发生的不同原因、情况或途径及其
可能性，来求得该事件发生的概率.
下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完Βιβλιοθήκη Baidu相反的
问题，“由果索因”。即一事件已经发生，要考察
该事件发生的各种原因、情况或途径的可能性.
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
由条件概率的定义和全概率公式可得到如下 贝叶斯公式. 定理1 设S是试验E的样本空间， A为E的事件，
例3 甲乙两人独立地向同一目标射击一次，其命中
率分别为 0.9 和 0.8，求目标被击中的概率.
解：
设 C “目标被击中”，A “甲击中”，B “乙击中”， 则 P(C) = P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B) = 0.9+0.80.90.8 = 0.98.
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
第一章 随机事件及其概率
第四讲
贝叶斯公式
事件的独立性
《概率论与数理统计》课程教学团队
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
• 一、贝叶斯公式 • 二、事件的独立性 • 三、小结
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
一、贝叶斯公式
复习全概率公式： 设S是样本空间，事件组B1，B2，„，Bn 为S 的一个划分，且P(Bi ) >0，A为一事件， 则有 P(A) = P(A|B1) P(B1) +P(A|B2) P(B2) + „ +P(A|Bn) P(Bn).
P ( B | A)

0 .9 9 0 .0 4 0 .9 9 0 .0 4 0 .0 0 5 0 .9 6
.
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
例2 (续) 三个电池生产车间A1，A2，A3同时普通电
池和高性能电池，一小时总产量为600只，各车间
产量如下表：
车间 A1 A2 A3 普通电池
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
三、小结
1、贝叶斯公式（已知结果求原因）
P ( Bi | A ) P ( A Bi ) P ( A) P ( A | Bi ) P ( Bi ) , i 1, 2 , n

n
P( A | B j )P(B j )
j 1
2、事件独立性
P(AB) = P(A)P(B) P(A|B) = P(A)
200
高性能电池
100
共计产量
300
50
50
150
50
200
100
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
解：以H 表示高性能电池，由全概率公式，得
P ( H ) P ( H | A1 ) P ( A1 ) P ( H | A 2 ) P ( A 2 ) P ( H | A 3 ) P ( A 3 ) 1 3 1 2 3 4 1 3 1 2 1 6 1 2
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
• 病树主人外出委托邻居浇水，若不浇水， 树死去概率为0.8；若浇水，树死去的概率 为0.15，有0.9的把握确定邻居会浇水。 • 1，求主人回来树还活着的概率 • 2，如果主人回来树已经死了，求邻居忘记 浇水的概率。
0.785；16/43
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
“产品确是次品” ，则要求 P(B|A) . 依题意有
P ( B ) 0 .0 4, P ( B ) 0 .9 6,
P ( A | B ) 0 .9 9, P ( A | B ) 0 .0 0 5,
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
由贝叶斯公式，得
P ( AB ) P ( A) P( A | B)P(B) P( A | B)P(B) P( A | B )P(B ) 0 .8 9 2
例4
有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元件
能正常运行的概率为p，求系统正常运行的概率.
解：设Ai表示第i个元件 运行正常，i=1,2,3,4. A 表示系统运行正常. 则 A=A1(A2A3∪A4), 由事件独立性，有 P(A) = P(A1)[P(A2)P(A3)+P(A4) -P(A2)P(A3)P(A4)]
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
• 有一种检验HIV病毒的方法，其结果有概率为 0.005报道为假阳性，现有140名不带病毒的正常 人全部接受此检验，被报道至少有一人带病毒的 概率为多大？
答 案 ： 1-(0 .9 9 5 )
140
三人独立破译密码，已知各人能译出的概率 分别为1/2,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将 密码译出的概率为多大？
P(AB)/P(B) = P(A)
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
作
业
教材P24：14,15,18，19
.
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
例3 (续) 某电子设备制造厂所用的元件是由
三家工厂提供，根据以往记录有如下数据：
工厂 A1 A2 A3 次品率
0.02 0.01 0.03
份额
0.15 0.8 0.05
0.0125；0.24；0.64；0.12
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
二、事件的独立性
特别地，由
A AB AB ,
有
P (B | A) P ( AB ) P ( A) P( A | B)P(B) P( A | B)P(B) P( A | B )P(B )
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
例1 用仪器检验产品质量，已知一件次品经检验后被 认为是次品的概率为0.99，而一件正品经检验后 被认为是次品的概率为0.005，已知产品的次品率 为4% .若一产品经检验被认为是次品，求它确是 次品的概率. 解：以A表示“产品经检验被认为是次品”，以B 表示
.
由贝叶斯公式，得
P ( A1 | H ) P ( A2 | H ) P ( A3 | H ) P ( H | A1 ) P ( A1 ) P(H ) P ( H | A2 ) P ( A2 ) P(H ) P ( H | A3 ) P ( A3 ) P(H ) 1/ 6 1/ 2 1/ 4 1/ 2 1 /12 1/ 2 1 3 1 2 1 6 , ,
A与 B
独立.
同样可得
A与 B ,A与 B
相互独立.
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
定义2 若
对于A、B、C 三个事件，
P(AB)=P(A)P(B)，
P(AC)=P(A)P(C)，
P(BC)=P(B)P(C)，
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，
则称事件A、B、C相互独立.
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性