第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
第四讲_贝叶斯公式_独立事件
0.9,0.85,0.8。 求这段时间内有机床需 要工人照管的概率。
已知：P(A)=0.1, P(B)= 0.15, P(C)= 0.2
P(A B C) 1 P(A B C)
1 P(A B C) 1 P(A )P(B)P(C)
1 0.9 0.85 0.8 0.388
P( A1 ) P( A2 ) P( A1 ) P( A3 ) P( A2 A1 A3 )
0.8 2 0.8 2 0.8 3 0.768
例 ： 甲 、 乙 两 人 进 行乓 球 比 赛 ， 每 局 甲 胜概 率 为 , 乒 的 p p 1 / 2.问 对 甲 而 言 ， 采 用 三 二 胜 制 有 利 ， 还 是 采 用 局 五 局 三 胜 制 有 利 。 设局 胜 负 相 互 独 立 。 各
{Y 1500 }
表示抽取的产品的寿命 1500 大于 小时。
例3： 抛 掷 一 枚 硬 币 ， 记 Y分 别 表 示 正 面 、 反 面 现 X、 出 的 次 数 。 {H} {X 1} {Y 0}
作业
P26 23、 26、 34(2) 38 、
例3.证 明 ： 如 果 ( A | B) P ( A | B )， 则 事 件 与 事 件 P A B 相互独立。
本点的函数。 注 ：1、随机变量可以说是样
2、随机变量的取值随试 验结果的变化而变化。
用随机变量取值来表示 事件
的寻呼次数记作, X 例1：某段时间内寻呼台收到
X是随机变量。
“收到 次寻呼” { X 20} 20
问： X 100}表示？ {30
例2：从一大批产品中随机 抽取一件，记产品寿命Y(小时). 为
数学选修课件第章事件的独立性
03
多个事件相互独立情况分 析
两个事件相互独立情况
定义
若事件A的发生与否对事件B的发 生概率没有影响，则称事件A与事
件B相互独立。
性质
若事件A与事件B相互独立，则 P(AB) = P(A)P(B)。
举例
抛掷两枚质地均匀的硬币，出现正 面的事件记为A，出现反面的事件记 为B，则事件A与事件B相互独立。
三个及以上事件相互独立情况
01
02
03
定义
若n个事件中任意两个事 件都相互独立，则称这n 个事件相互独立。
性质
若n个事件相互独立，则 它们同时发生的概率等于 各自发生概率的乘积。
举例
抛掷三枚质地均匀的硬币 ，出现正面的事件分别记 为A、B、C，则事件A、B 、C相互独立。
复杂系统中事件独立性判断
常见误区与辨析
误区一
认为两个事件不相关就一定相互 独立。实际上，不相关只是指两 个事件的线性关系为0，并不能
保证它们相互独立。
误区二
认为相互独立的事件一定没有交 集。实际上，相互独立的事件完 全可能有交集，只是它们的交事 件发生的概是否相互独立时 ，需要仔细分析题目条件，正确 运用定义和判定方法，避免陷入
数学选修课件第章 事件的独立性
汇报人：XX 2024-01-13
目录
• 事件独立性基本概念 • 条件概率与事件独立性 • 多个事件相互独立情况分析 • 概率论中重要公式和定理介绍 • 生活中事件独立性现象解读 • 总结回顾与拓展延伸
01
事件独立性基本概念
定义与性质
定义
两个事件A和B，如果其中一个事 件的发生不影响另一个事件的发 生概率，则称这两个事件是相互 独立的。
天气预报
概率论与数理统计课件(1-4)独立性
或者 P A B 1 P A B 1 P A B
1 P A P B 0.94.
或者 P A B P AB A B AB
P AB P A B AB 0.94 .
A、B独立
概率的性质
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B) =P(A)[1- P(B)] = P(A) P(B ) 故 A与 B独立 练习： B与 A独立
定理 以下四事件等价： (1) 事件A、B相互独立；
(2) 事件A、B相互独立；
(3) 事件A、B相互独立； (4) 事件A、B相互独立。
解：由题意
P( AB) P( AB)
A与B独立，则 A与B ；与B也独立 A
P( A) P(B) P( A) P(B)
P ( A)1 P ( B) 1 P ( A)P ( B)
1 P ( A) P ( B ) 3
练习 设两个相互独立的事件A与B都不发生的 概率为1/9， A发生B不发生的概率与B发生A不 发生的概率相等，则P(A)=( 2/3 )
解：由题意
P( AB) P( AB)
P ( A) P ( B)
上一题 结论
2
A与B独立，则 A与B 也独立
P( AB) P( A) P(B) 1 P( A)
2 P ( A) 3
例 设0<P(A)<1,则 A与B相互独立 P(B | A) P(B) P(B | A) P(B)
可见
P(A)= P(A|B)
, 即事件A、B独立.
§1.4 事件的独立性与伯努利概型
第一章
§1.4 事件的独立性与伯努利概型
第7页
例3 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命 中率分别为 0.6 和 0.7，现已知目标被击中，求它是甲 击中的概率.。
解:设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所以 P(A|C) = P(AC)/P(C) = P(A)/[P(A)+P(B)P(A)P(B)] = 0.6/0.88 = 15/22
P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，P(AB)=P(A) P(B) ， 所以A、B相互独立．
第一章
§1.4 事件的独立性与伯努利概型
第6页
例2 两射手独立地向同一目标射击一次，其 命中率 分别为 0.9 和 0.8，求目标被击中的概率. 解: 设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所 以 解法i) P(C) = P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B) = 0.9+0.80.90.8 = 0.98. 解法ii) 用对立事件公式 P(C) = P(AB) 1 P( AB) = 1 (1 0.9)(1 0.8) = 1 0.02 = 0.98.
Hale Waihona Puke 8页 第一章 §1.4 事件的独立性与伯努利概型 例4 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，从两批种子 中各随机地抽取一粒，求：
（1）两粒都能发芽的概率； （2）至少有一粒种子能发芽的概率； （3）恰好有一粒种子能发芽的概率 。 解 设以A、B分别表示取自甲、乙两批种子中的某粒种子发芽 这一事件，则所求的概率为
P( B)[1 P( A)] P( A)P(B).
所以 A 和B相互独立．
第一章
概率论中的独立事件与贝叶斯定理
概率论中的独立事件与贝叶斯定理概率论是一门研究不确定性的数学理论，而独立事件和贝叶斯定理则是其中重要的概念和定理。
本文将详细介绍独立事件和贝叶斯定理，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、独立事件在概率论中，独立事件是指两个或多个事件的发生不会相互影响的事件。
具体来说，对于任意两个独立事件A和B，它们满足以下条件：P(A∩B) = P(A) × P(B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。
当事件A和事件B是独立事件时，上述等式成立。
独立事件在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在掷硬币的实验中，事件A表示第一次掷得正面朝上，事件B表示第二次掷得正面朝上。
由于每次掷硬币的结果与之前的掷硬币的结果无关，所以事件A和事件B是独立事件。
二、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中另一个重要的定理，它描述了在已知一些条件的情况下，根据新的信息来调整原有的概率。
设事件A和事件B是两个非相互独立的事件，且P(B) ≠ 0，则贝叶斯定理可以表示为：P(A|B) = (P(B|A) × P(A)) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
贝叶斯定理的应用十分广泛，尤其在统计学和机器学习等领域中被广泛采用。
例如，在医学诊断中，医生常常需要根据病人的症状和检查结果来确定疾病的可能性。
贝叶斯定理可以帮助医生根据已知症状和检查结果的概率，计算出某种疾病的发生概率。
三、独立事件与贝叶斯定理的关系虽然独立事件和贝叶斯定理是两个不同的概念，但它们之间有一定的联系。
当事件A和事件B是独立事件时，根据独立事件的定义，可以得到：P(B|A) = P(B)将上述等式代入贝叶斯定理中，可以得到：P(A|B) = (P(B) × P(A)) / P(B)可以看出，当事件A和事件B是独立事件时，贝叶斯定理退化为简化形式。
第一章 随机事件及概率讲解
（2）事件的相等：若 A B 且 B A ， 则称A与B相等，记为A=B。
包含关系的性质： (a) A ; (b)A A (c)若A B且B C,则A C (d )若A B且B A,则A B
(3) n个元素的全排列数为 Anr n(n 1) 3 21 n!
c. 组合
（1）从n个元素中取出r个元素而不考虑其顺序，称为组 合，其总数为
C
r n
n r
Anr r!
n(n 1) (n r 1) r!
n! r!(n r)!
（2）若r1 r2 rk n，把n个不同的元素分成k个部分，
事件的交(积) ：事件A与B都发生，称
为A与B的积（交）事件，记为 A B
。
推广：
事件 A1, A2,, An 同时发生：
n
A1 A2 An Ai i 1
事件 A1, A2, 同时发生：
A1 A2 Ai i 1
5、差事件：事件A发生但B不发生 称为A与B之差，记为A-B
例2.9：某城市共发行A,B,C三种报纸，调 查表明居民家庭中订购C报的占30%，同 时订购A,B两报的占10%,同时订购A,C及 B,C两报的各占8%，5%，三报都订的占 3%.今在该城中任找一户，问该户(1)只订 A、B两报；(2)只订C报的概率各为多少？
第一章 概率论的基本概 念
1 理解随机事件的概念，了解样本空间的 概念，掌握事件之间的关系和运算。
2 理解概率的定义，掌握概率的基本性质， 并能应用这些性质进行概率计算。
概率统计中的贝叶斯定理与事件独立性
概率统计中的贝叶斯定理与事件独立性概率统计是数学的一个重要分支，它研究的是随机事件的发生概率以及事件之间的关系。
在概率统计中，贝叶斯定理和事件独立性是两个基本概念，它们在许多实际问题中都有重要应用。
本文将分别介绍贝叶斯定理和事件独立性，并探讨它们之间的关系。
一、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率统计中的一个重要定理，它描述了条件概率的计算方法。
贝叶斯定理的表达式如下：P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)其中，P(A|B)表示事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B|A)表示事件A 发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B分别发生的概率。
贝叶斯定理的应用非常广泛，特别是在概率推断和统计推断中。
通过贝叶斯定理，我们可以根据已知的条件概率来计算未知的概率，从而对实际问题进行推断和预测。
例如，在医学诊断中，可以利用贝叶斯定理来计算某种疾病的患病概率，以辅助医生进行诊断。
二、事件独立性事件独立性是概率统计中的另一个重要概念，它描述了两个事件之间的关系。
如果事件A的发生与事件B的发生没有任何关系，即事件A的发生不受事件B的发生影响，事件B的发生也不受事件A的发生影响，那么事件A和事件B就是相互独立的。
事件独立性可以用以下等式来表示：P(A ∩ B) = P(A) * P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B分别发生的概率。
事件独立性在实际问题中也有广泛的应用。
例如，投掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上是相互独立的事件；抽取一张扑克牌，抽到红桃和抽到黑桃是相互独立的事件。
三、贝叶斯定理与事件独立性的关系贝叶斯定理和事件独立性是概率统计中两个重要的概念，它们之间存在一定的关系。
具体来说，当事件A和事件B相互独立时，贝叶斯定理可以简化为以下形式：P(A|B) = P(A)这是因为事件A和事件B相互独立时，事件A的发生概率不受事件B的发生影响，因此在已知事件B发生的条件下，事件A的发生概率等于事件A的概率。
《复变函数》教学资料 第一章_4
i1
i1
则 B 发生条件下 Ai发生的条件概率为
PAi
B
PAi B PB
,
由乘法公式和全概率公式可得
PAi
B
PAi PB Ai
n
P Aj P B Aj
.
j 1
该公式称为贝叶斯（Bayes）公式.
通常认为 A1 , A2 ,, An 是导致试验结
果 B 的原因，称 PAi 为先验概率，若试
验产生了结果 B ，探究它发生的原因，称
条件概率 P Ai B 为后验概率，它反映了试
验之后各种原因发生的可能性大小.
在例6中，如果甲、乙、丙三厂产品比 例，正品率都不变， 而且已知随机抽出来
的一件产品是正品，现在要问这件正品是
甲厂生产的概率有多大？
PA
D
PAPD
A
PAPD PBPD
A B
1 3
而不是
12.这时样本空间为
HH , HT ,TH,
所求事件的样本点为HH .用条件概率
的解法同样得到这个结果.若问题变为：
已知第一个是正面，求第二个也是正面的
概率，由独立性知概率是
1 2
.
1.4.2 全概率公式 贝叶斯公式
1. 全概率公式
对于比较复杂事件概率的计算，经常
会把它分解为若干个简单事件的和，通过
面体时红、白、黑颜色着地的事件，故
PA PB PC 1 ,
2
PAB PBC PAC 1 ,
4
PABC 1 1 PAPBPC,
48
所以 A, B,C 三事件不是相互独立的，
但它们是两两独立的。
对于多个随机事件，若 A1 , A2 , An 是
事件的独立性
P( B) P( Ai B) 1 P( Ai B) 1 1 p1 p2
n
n
n
i 1
i 1
第一章 小结
本章包括 六个概念:
（随机试验、样本空间、事件、概率、条 件概率、独立性） 四个公式:
（加法公式、乘法公式、全概率公式、
贝叶斯公式）
和一个概型:（古典概型）
例1 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱 含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1， 某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是 好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品 的概率是多少？
则称事件A、B、C相互独立。
注:两两独立未必相互独立!
例:从分别标有1,2,3,4四个数字的4张卡片中随机抽 取一张,以事件A表示“取到1或2号卡片”;事件B表 示“取到1或3号卡片”;事件C表示“取到1或4号卡 片”.则事件A,B,C两两独立但不相互独立.
1 事实上， P A） P B） P C） （ （ （ 2 1 P AB） P BC） P AC） （ （ （ 4 1 P ABC） （ 4
例．如图，1、2、3、4、5表示继电器触 点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继 电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通 路的概率。
n架轰炸机独立地飞往目标投弹.已知
每架飞机能够飞到目标上空的概率为p1,在
目标上空投弹,命中目标的概率为p2. 求目
标被命中的概率.
解:设Ai--第i架飞机命中目标,i=1,…,n; B--目标被命中.
二.填空
1. 已知P(A)＝0.7，P(A-B)＝0.3，则 P AB 2. 设两个独立事件A和B都不发生的概率为1/9,A发 生而B不发生的概率与B发生而A不发生的概率相等, 则P(A)=. 3.已知A与B相互独立，且互不相容则 min(P(A),P(B))= 4.设A,B是两个随机事件,且 0 P( A) 1, P( B) 0 , P( B | A) P( B | A) ,则必有
第4全概率贝叶斯相互独立
3 解： ( A ) = , P 8 3 × 3 5 × 4 29 P ( B ) = P ( AB ) + P AB = + = 8 × 8 8 × 8 64
( )
B 的出现与 A 和 A 均有关，所以把 B 分解为 A B + A B 均有关， 去解决问题。 去解决问题。
全概率公式
定理 设
A1 , A2 ,... An
个球， 个红的， 个白的。 例1 设口袋里装有 8 个球，5 个红的，3 个白的。先从中随机 取出一球，然后把另一白球放入，再随机抽取一球。 取出一球，然后把另一白球放入，再随机抽取一球。 试求以下事件的概率： 试求以下事件的概率： A：第一次取的是白球。 B：第二次取的是白球。 ：第一次取的是白球。 ：第二次取的是白球。
( )
(
)
( ) ( )
所以， 相互独立。 所以，事件 A 与 B 相互独立。
事件 A 与 B 相互独立 P 证明： 证明： 事件 A 与 B 相互独立 因为
( AB ) = P ( A) P ( B )
事件 A 与 B 相互独立
证：设事件 A 与 B 相互独立
P A B = P A ∪ B = 1 P ( A ∪ B) = 1 P ( A) P ( B ) + P ( A) P ( B ) = 1 P ( A ) 1 P ( B ) = P A P B
P ( AB ) = P ( A ) P ( B )
事件 A 与 B 相互独立
证明： 证明： 事件 A 与 B 相互独立 相互独立， 证：设事件 A 与 B 相互独立， 因为
P AB = P ( B AB ) = P ( B ) P ( AB ) = P ( B ) P ( A ) P ( B ) = P ( B ) 1 P ( A ) = P ( B ) P A
第4讲全概率公式与贝叶斯公式
P A2 A3 P A2 P A3 P A1 A3 P A1 P A3 P A1 A2 A3 P A1 P A2 P A3
则称事件A1 , A2 , A3相互独立。
利用数学归 纳法，可把 定理1推广 至有限多个 事件的情形
解 记
A { 顾客买下该箱玻璃杯 }
Bi { 箱中恰有 i 件残次品 }
（ i 0,1, 2 ）
显然, B0 , B1 , B2为的的一个完备事件组。由题意
P( B0 ) 0.8 P( B1 ) 0.1 P( B2 ) 0.1 P( A B0 ) 1 4 4 C19 4 C18 12 P( A B1 ) 4 P ( A B2 ) 4 5 C 20 C 20 19
0 P AB P A 0
可知P AB 0，这时(1)式自然成立。
定义1
设A, B是二事件，如果满足等式P AB P APB 则称事件A, B相互独立，简称A, B独立。
由前面的讨论可知，若P A 0
PB | A PB
若 P A 0或P( A) 1,
（1）由全概率公式
4 12 a P( A) P( A Bi ) P( Bi ) 0.8 1 0.1 ＋0.1 0.94 5 19 i 0
2
（2）
b P( B0 A)
P( A B0 ) P( B0 ) P( A) 0.8 0.85 0.94
二、贝叶斯公式
解 设B1 , B2 分别表示“利率下调”和“利率不变”
这两个事件, A表示“该支股票上涨”，B1 , B2 是导致A发生的原因，且
B1 B2
故由全概率公式
第4讲 事件的独立性
P( A ∪ B) = 1 − P( A ∪ B) = 1 − P( A B)
= 1 − 0.1× 0.2 = 0.98
一 、事件的独立性
1. 两个事件的独立性 2. 三个事件的独立性 定义3 如果随机事件A, B, C 满足
⎧ P ( AB ) = P ( A) P ( B ) ⎪ ⎨ P ( AC ) = P ( A) P (C ) ⎪ P ( BC ) = P ( B ) P (C ) ⎩
= P ( A) P ( E )[1 − P ( B ∪ C ∪ D )]
= P ( A) P ( E )[1 − P ( B ) P (C ) P ( D )]
= q 2 [1 − (1 − p) 3 ]
解 (2) G表示“元件B， C，D中仅有一个正常工 作”，则
G = BC D + BC D + BCD
P ( B | A) = P ( B) = P ( B | A)
P ( AB) = P ( A) P ( B | A) = P ( A) P ( B)
事件B发 生的概率 不受事件 A与否发 生的影响
一 、事件的独立性
1. 两个事件的独立性 定义1 设A，B是随机试验E的两个随机事件，如果 事件 B 发生的概率不受事件 A 与否发生的影响，则称事件 P ( B | A) = P ( B) = P ( B | A) A与B独立. 设A，B是随机试验E的两个随机事件，如果 P ( AB) = P ( A) P ( B), 则称事件A与B独立. 定义2
解 设事件 A、B、C 分别表示在这段时间内机床 甲、乙、丙不需要工人照管. 有机床需要工人照管也就 是至少有一部机床需要工人照管，另外我们应注意到三 部机床由一名工人照管，即因无人照管而停工等价于在 该段时间内至少有两部机床同时需要工人照管. 又已知条件A、B、C 相互独立，且 P ( A) = 0.9, P ( B ) = 0.8, P (C ) = 0.85 则有机床需要工人照管的概率
概率统计与随机过程第一章(第四节续,第五节)
第四节 全概率公式与贝叶斯公式(续)定理 设事件组n B B B ,,,21⋅⋅⋅满足：（1）S B n i i =∑=1；（2）n B B B ,,,21⋅⋅⋅互不相容；（3）n i B P i ,,2,1,0)(⋅⋅⋅=>， (如果某0)(0=iB P ,则在概率计算中将其去掉) 则有如下结论(I)对任意事件A ，恒有 )|()()(1i ni i B A P B P A P ∑==; (1.10) (II)对任意事件)0)((>A P A ，有 ∑===n j jj i i i i B A P B P B A P B P A P AB P A B P 1)|()()|()()()()|( ,n i ,,2,1⋅⋅⋅=,(1.11)注:这两个公式当+∞=n 时,(条件也变为可列个事件),也有相应的公式.)|()()(1i i i B A P B P A P ∑+∞== , ∑∞+===1)|()()|()()()()|(j jj i i i i B A P B P B A P B P A P AB P A B P .1. 理论意义,以后经常在论证推导中用到;2. 实际计算概率方法,化难为易,解决问题;3. 注意典型例题及在变化的情景中灵活运用;4. 贝叶斯公式在概率诊断,概率推断方面有用。
例 4 在无线电通讯中,由于随机干扰,当发出信号为“0”时,收到信号为“0”、不清和1的概率分别为0.7,0.2,0.1; 当发出信号为 1时,收到信号为1、不清和0的概率分别为0.9,0.1和0.如果在发报过程中0和1出现的概率分别是0.6和0.4,当收到信号不清时,原发信号是什么？试加以推测. 解 设=1B 原发信号为“0”, =2B 原发信号为“1”, =A 收到信号“不清”,由贝叶斯公式得)|()()|()()|()()|(2211111B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=75.01.04.02.06.02.06.0=⨯+⨯⨯=, )|()()|()()|()()|(2211222B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=25.01.04.02.06.01.04.0=⨯+⨯⨯= . 由于收到信号不清时, 原发信号为“0”概率较之原发信号为“1”的概率为大,因此通常应推断原发信号为“0”.例5 甲袋中装有3只红球、2只白球,乙袋中装有红、白球各2只.从甲袋中任取2只球放入乙袋,然后再从乙袋中任意取出3只球.(1) 求从乙袋中至多取出1只红球的概率;(2) 若从乙袋中取出的红球不多于1只,求从甲袋中取出的2只全是白球的概率.解 令=A 从乙袋中至多取出1只红球, =i B 从甲袋中恰好取出i 只红球, (i -2只白球), 2,1,0=i ;(1) 易知210,,B B B 互不相容,S B B B =++210 ,且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====-2,1031,1060,101)(25223i i i C C C B P i i i ; 又⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====+=-+-+2,511,210,54)|(3624123402i i i C C C C C B A P i i ii i , 故由全概率公式得)|)(()(2i i i B A B P A P ∑== 2511511032110654101=⨯+⨯+⨯=; (2) 易知要求概率)|(0A B P ,由贝叶斯公式得112251154101)()|()()|(000=⨯==A P B A P B P A B P .第五节 事件的独立性一般情况下,条件概率)()()()|(A P B P AB P B A P ≠=, 这说明事件B 的发生对于事件A 发生的概率有影响.如果事件B 的发生不影响事件A 发生的概率, 即)()()()|(A P B P AB P B A P ==,便得 )()()(B P A P AB P =.我们把具有这种性质的两个事件A 与B 称为是相互独立的,即有定义8 对任意两个事件A 、B ,若成立 )()()(B P A P AB P =, 则称A 与B 相互独立,简称独立.例 把一颗匀称的骰子连续掷两次,观察出现的点数。
概率的独立事件与贝叶斯定理知识点总结
概率的独立事件与贝叶斯定理知识点总结随着数据的快速增长和计算能力的提高，概率论和统计学的应用日益广泛。
作为这两个领域核心内容的概率和贝叶斯定理在数据分析和决策中扮演着重要的角色。
本文将从概率的独立事件和贝叶斯定理两个方面进行知识点总结。
一、概率的独立事件概率的独立事件是指两个或多个事件之间不会相互影响的情况。
在独立事件中，每个事件的发生与其他事件的发生没有关联，它们之间的概率相互独立。
在概率计算中，独立事件有以下几个基本性质：1. 乘法规则：对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于各自发生的概率的乘积，即P(A∩B) = P(A)×P(B)。
2. 加法规则：对于两个独立事件A和B，它们至少有一个发生的概率等于各自发生的概率之和减去它们同时发生的概率，即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
在实际问题中，确定事件是否独立非常重要。
如果事件之间存在关联，使用独立事件的概率计算方法将会导致不准确的结果。
二、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的一个重要定理，它是基于条件概率的转换而得到的。
贝叶斯定理可以用于在给定先验概率的情况下，通过观察到的证据来更新概率值。
设A和B是两个事件，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的先验概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，则贝叶斯定理可以表示为：P(A|B) = (P(A) × P(B|A)) / P(B)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
贝叶斯定理的应用非常广泛，尤其在数据分析和机器学习领域。
通过不断观察和更新先验概率，贝叶斯定理能够帮助我们从数据中得出更加准确的结论。
三、总结概率的独立事件和贝叶斯定理是概率论和统计学中重要的基础知识。
概率的独立事件通过乘法规则和加法规则，帮助我们计算独立事件的概率。
贝叶斯定理则通过条件概率的转换，帮助我们在观察到相关证据后更新先验概率。
1.4 事件的独立性及贝努力概型.ppt
? “一次抛掷n枚硬币”的试验可以看成“一枚硬币重复抛n次”，
所以也可以看成一个(n重)贝努里试验
掷一颗骰子,有六种结果.但如果我们只关心“出现六点”与 “不出现六点”这两种情况,则“掷一颗骰子”也可以看作是 (一重)贝努里试验．
2.二项概率
二项概率公式
b(k;n,p)= P({En中事件A恰好出现k次}) =Cnk pkqn-k
一.贝努里概型
1.试验的独立性概念
定义4:设事件A,B分别是试验E1,E2的任意两个事件, 若 P(AB)=P(A)P(B), 则称试验E1,E2是相互独立的 “试验是相互独立的”指的是试验的结果是相互独立的
设一个试验E只有两个可能的结果A,A,且P(A)=p, P(A)=1-p=q (p<1) 将E独立地重复n次,构成一个试验,叫做(n重)贝努里试验, 记作En
注 判断两事件的独立性,有时有经验而定,而要从理论上 证明两事件独立,则要以上述定义为依据
定理1: A、B相互独立,则A与B, A与B, A与B也相互独立 思考：比较“互不相容(互斥)”与“相互独立”两个概念
例1 已知P(A)=0.4, P(B)=0.3 (1)当 A,B互不相容时, P(A∪B) = 0.7 P(AB)= 0 (2)当 A,B相互独立时, P(A∪B) = 0.58 P(AB)= 0.12
14事件的独立性及贝努里bernoulli概型判断两事件的独立性有时有经验而定而要从理论上证明两事件独立而要从理论上证明两事件独立则要以上述定义为依据若则要以上述定义为依据若pabpapb则称事件ab相互独立一
§1.4 事件的独立性及贝努里(Bernoulli)概型
一.独立性
1. 两个事件的独立性 定义1: 若P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A、B相互独立
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
= p (p2 +p -p3) .
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
判断下列说法是否正确？
• • • • • • 1，若A与B互不相容，则他们互相独立； 2 ，若A与B互相独立，则他们互不相容； 3，若P(A)=P(B)=0.5，则A,B互不相容 4 ，若P(A)=P(B)=0.5，则A,B互相独立 5，若A与B互不相容，则他们互为对立事件 6.若A与B互为对立事件，则他们互不相容
“产品确是次品” ，则要求 P(B|A) . 依题意有
P ( B ) 0 .0 4, P ( B ) 0 .9 6,
P ( A | B ) 0 .9 9, P ( A | B ) 0 .0 0 5,
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
由贝叶斯公式，得
P ( AB ) P ( A) P( A | B)P(B) P( A | B)P(B) P( A | B )P(B ) 0 .8 9 2
直观说法：对于两事件，若其中任何一个 事件的发生不影响另一个事件的发生， 则这两事件是独立的. 定义1 若事件 A 与 B 满足：P(AB)=P(A)P(B)， 则称A与B相互独立，简称A与B独立.
P(AB) = P(A)P(B) P(A|B) = P(A)
P(AB)/P(B) = P(A)
P ( B | A)
0 .9 9 0 .0 4 0 .9 9 0 .0 4 0 .0 0 5 讲 贝叶斯公式 事件的独立性
例2 (续) 三个电池生产车间A1，A2，A3同时普通电
池和高性能电池，一小时总产量为600只，各车间
产量如下表：
车间 A1 A2 A3 普通电池
第一章 随机事件及其概率
专题3 全概率公式,贝叶斯公式与独立性
专题3 全概率公式,贝叶斯公式12,,,n B B B S ⋅⋅⋅: 1.定义称为的一个划分,若12(1),n B B B S ⋃⋃⋅⋅⋅⋃=不漏(2),.i j B B i j =∅≠ 不重1B 2B 3B 4B S nB （一）知识要点A()?P A =12,,,()0.n i B B B S P B ⋅⋅⋅> 2.设为的一个全概划分且则有率公式：1()()(|);nj j j P A P B P A B==⋅∑1q 1B ∙∙∙S A1p 2p n p 2q nq 2B n B (),(|),1,2,...,.j j j j P B p P A B q j n ===设()nj j P A p q =∑ 则 (),(|),1,2,...,.j j j j P B p P A B q j n ===设(|)i P B A 则1i i nj j j p q p q ==∑(),(|)j j P B P B A ——先验概率——后验概率.1()(|)(|)()(|0)().i i i n j j j P B P A B P B A P B P A P A B ==>∑Bayes 对有：公式,,()()()P B B P A A AB P = 3.定义:设是两随机事件，如独立果,A B 则称相互独立.(|()0,(),)P A A B P B A P B =∙>⇔若则相互独立.,,,,A B A B A B A B ∙⇔⇔⇔相互独立 相互独立相互独立相互独立.()0,P A A B =事件的独立不相容与:（1）若则与任一事件独立；0()10()1P A P B A B A B <<<< ,（2）若，则当与不相容时，与一定不独立，A B A B 当与独立时，与一定相容，A B A B 但与相容时，与未必独立.A S BBB SA A()()1221211,,,,,,2,k j k i i i i j n n P A A A P A A A A A n n A A k ==≤≤∏定义：设为个随机事件，若对均有：则称 ,相互独立.(,,,)),()(P AB P A P A B B C =特别地，对于事件独立的定义为：()()(,)P AC P A P C =()()(,)P BC P B P C =()()().()P ABC P A P B P C =⎫⎪⎬⎪⎭两两独立⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭相互独立∙相互独立推出两两独立,两两独立推出不能相互独立.,,()0.5,()0.6,()0.4.(1)(),(2)(),(3)().A B C P A P A B P C A P B P A B C P BC BC AB =⋃==⋃⋃⋃设事件相互独立，已知求以下各概率值：例3.1：(1)()()()()()0.6P A B P A P B P A P B ⋃=+-=解：0.5()0.5()0.50.5()0.6P B P B P B +-=+=()0.2,P B ⇒=(2)()()0.4,()0.6,P C A P C P C ==⇒=()1()P A B C P ABC ⋃⋃=-1()()()P A P B P C =-10.50.80.40.84,=-⨯⨯=（二）例题分析,,()0.5,()0.6,()0.4.(1)(),(2)(),(3)().A B C P A P A B P C A P B P A B C P BC BC AB =⋃==⋃⋃⋃设事件相互独立，已知求以下各概率值：例3.1：()0.5,()0.2,()0.6,P A P B P C ===已得(3)()()()P BC BC AB P BC AB P BC AB ⋃=+()0P C =+0.6.=注意：（1）独立事件的条件概率与条件无关，（2）独立事件计算概率尽可能表示为乘积事件.(2)()1()P A B C P ABC ⋃⋃=-1()()()P A P B P C =-0.84,=1/2,.甲乙丙三人比赛.甲乙先比,比胜者与丙比,如此循环,直到某人连续两局胜出为止，则此人获得最后的胜利.设各局比赛中双方胜利的概率都为且各局胜负相互独立计算最终甲胜,乙胜,丙胜的概率各例3.2：为多少？记录下各局的胜利者,得到一个样本解:点.样本空间{,,,,...,,,,...}S = 甲甲甲丙丙甲丙乙乙甲丙乙甲甲 乙乙乙丙丙乙丙甲甲乙丙甲乙乙{}{}{}A B C ===令甲胜，乙胜，丙胜{,,,...,,...}.A = 则甲甲甲丙乙甲甲甲丙乙甲丙乙甲甲 乙丙甲甲乙丙甲乙丙甲甲225111111()(1...)(1...)481681488P A ∴=+++++++=4()(),()1()()14P B P A P C P A P B ==--=显然所以最终甲胜,乙胜的概率比丙先比赛者高,更有利.例3.3.设某地每天发生雾霾的概率为0.2.在雾霾天气,该地各居民独立地以概率0.2戴口罩，在没有雾霾的时候各居民独立地以概率0.01戴口罩.某天在该地(1)任选一居民,求他戴口罩的概率；(2)若选n人,求他们都戴口罩的概率；(3)若选n人发现他们都戴口罩,求这一天发生雾霾的概率.(这里n为正整数)111()()()()()0.048P A P C P A C P C P A C =+=由全概率公式:0.2S 1A C C 0.20.80.01{},:{}i C A i ==令这一天雾霾第个人带口罩解(1)(1)任选一居民,求他戴口罩的概率；12(2)(...).n P A A A 所求概率为12,,...,n A A A 有人认为相互独立,所以121,,...,1,,....n n A A A n n A A A A --直观地看,如果发生,也就是前面个人都带口罩,那么那天雾霾的概率就会很大,从而第个人带口罩的概率也会很大，也就是发生的概率就会变大.所以不独立关键是n 个人处于相同的天气状态(2)若选n 人,求他们都戴口罩的概率；121(...)()...()0.048.n n n P A A A P A P A ==对吗？12(|)1,(|)0.,,....i i n P A C P A C A A A ==举一个特例,如果也就是只要雾霾天,所有人带口罩;只要不是雾霾天那么没人带口罩.在这种情况下,只要看看一个居民戴口罩的情况,就可以判断是否雾霾天.如果他戴口罩,那么雾霾，从而所有人戴口罩；如果他不戴口罩,那么非雾霾，从而所有人不戴口罩.因此不会独立121212(...)()(...)()(...)0.20.20.80.01n n n n nP A A A P C P A A A C P C P A A A C =+=⨯+⨯由全概率公式:0.2n S 12...n A A A C C0.20.80.01n 12(...)n P A A A 那么该怎么计算呢？注意到所有人面对的是同样的天气,所以可以按照是否雾霾天作一划分并用全概率公式求得.12121212()(...)(|...)()(...)()(...)0.20.21,0.20.20.80.01140.05n n n n nn n n P C P A A A C P C A A A P C P A A A C P C P A A A C =+⨯==⨯+⨯+⨯0.2n S 12...n A A A C C0.20.80.01n (3)Bayes 由公式,所求概率为:n p 记为lim .1n n n p n p →∞=则,关于单调递增符合直观！1230.8333,0.9901,0.9995.p p p ===(3)若选n 人发现他们都戴口罩,求这一天发生雾霾的概率.。
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“产品确是次品” ，则要求 P(B|A) . 依题意有
P ( B ) 0 .0 4, P ( B ) 0 .9 6,
P ( A | B ) 0 .9 9, P ( A | B ) 0 .0 0 5,
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
由贝叶斯公式，得
P ( AB ) P ( A) P( A | B)P(B) P( A | B)P(B) P( A | B )P(B ) 0 .8 9 2
例4
有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元件
能正常运行的概率为p，求系统正常运行的概率.
解：设Ai表示第i个元件 运行正常，i=1,2,3,4. A 表示系统运行正常. 则 A=A1(A2A3∪A4), 由事件独立性，有 P(A) = P(A1)[P(A2)P(A3)+P(A4) -P(A2)P(A3)P(A4)]
200
高性能电池
100
共计产量
300
50
50
150
50
200
100
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
解：以H 表示高性能电池，由全概率公式，得
P ( H ) P ( H | A1 ) P ( A1 ) P ( H | A 2 ) P ( A 2 ) P ( H | A 3 ) P ( A 3 ) 1 3 1 2 3 4 1 3 1 2 1 6 1 2
1 2 3 3 答 案 ： 1- = 2 3 4 4
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
课堂练习
1、设某批产品，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占
45%、35%、20%，各厂产品的次品率分别为4%、2%、
5%，现从中任取一件，
(1) 求取到的是次品的概率；(2) 检验发现取到的 产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率. 2、加工某零件共需四道工序，设第一、二、三、四道 工序的次品率分别是2%、3%、5%、3%，假定各道工 序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率.
例3 甲乙两人独立地向同一目标射击一次，其命中
率分别为 0.9 和 0.8，求目标被击中的概率.
解：
设 C “目标被击中”，A “甲击中”，B “乙击中”， 则 P(C) = P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B) = 0.9+0.80.90.8 = 0.98.
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
.
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
例3 (续) 某电子设备制造厂所用的元件是由
三家工厂提供，根据以往记录有如下数据：
工厂 A1 A2 A3 次品率
0.02 0.01 0.03
份额
0.15 0.8 0.05
0.0125；0.24；0.64；0.12
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
二、事件的独立性
A与 B
独立.
同样可得
A与 B ,A与 B
相互独立.
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
定义2 若
对于A、B、C 三个事件，
P(AB)=P(A)P(B)，
P(AC)=P(A)P(C)，
P(BC)=P(B)P(C)，
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，
则称事件A、B、C相互独立.
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
定理2
若事件A与B相互独立，则
A与 B ,A与 B ,A与 B
也相互独立.
证明：由
A AB AB ,
得
P ( A) P ( AB ) P ( AB ) P ( A) P ( B ) P ( AB ) ,
则 因此
P ( AB ) P ( A) P ( A)P (B ) P ( A )(1 P ( B )) P ( A ) P ( B ) ,
2 1 4 3
= p (p2 +p -p3) .
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
判断下列说法是否正确？
• • • • • • 1，若A与B互不相容，则他们互相独立； 2 ，若A与B互相独立，则他们互不相容； 3，若P(A)=P(B)=0.5，则A,B互不相容 4 ，若P(A)=P(B)=0.5，则A,B互相独立 5，若A与B互不相容，则他们互为对立事件 6.若A与B互为对立事件，则他们互不相容
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
三、小结
1、贝叶斯公式（已知结果求原因）
P ( Bi | A ) P ( A Bi ) P ( A) P ( A | Bi ) P ( Bi ) , i 1, 2 , n
n
P( A | B j )P(B j )
j 1
2、事件独立性
P(AB) = P(A)P(B) P(A|B) = P(A)
P ( B 4 0 .9 9 0 .0 4 0 .0 0 5 0 .9 6
.
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
例2 (续) 三个电池生产车间A1，A2，A3同时普通电
池和高性能电池，一小时总产量为600只，各车间
产量如下表：
车间 A1 A2 A3 普通电池
事件组B1，B2，„，Bn为S 的一个划分，且 P(A) >0，P(Bi ) >0，则有
P ( Bi | A ) P ( A Bi ) P ( A) P ( A | Bi ) P ( Bi )
n
,
i 1, 2, , n
.
P( A | B j )P(B j )
j 1
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
第一章 随机事件及其概率
第四讲
贝叶斯公式
事件的独立性
《概率论与数理统计》课程教学团队
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
• 一、贝叶斯公式 • 二、事件的独立性 • 三、小结
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
一、贝叶斯公式
复习全概率公式： 设S是样本空间，事件组B1，B2，„，Bn 为S 的一个划分，且P(Bi ) >0，A为一事件， 则有 P(A) = P(A|B1) P(B1) +P(A|B2) P(B2) + „ +P(A|Bn) P(Bn).
全概率公式是求“最后结果”的概率，可通过
综合分析一事件发生的不同原因、情况或途径及其
可能性，来求得该事件发生的概率.
下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的
问题，“由果索因”。即一事件已经发生，要考察
该事件发生的各种原因、情况或途径的可能性.
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
由条件概率的定义和全概率公式可得到如下 贝叶斯公式. 定理1 设S是试验E的样本空间， A为E的事件，
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
• 病树主人外出委托邻居浇水，若不浇水， 树死去概率为0.8；若浇水，树死去的概率 为0.15，有0.9的把握确定邻居会浇水。 • 1，求主人回来树还活着的概率 • 2，如果主人回来树已经死了，求邻居忘记 浇水的概率。
0.785；16/43
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
直观说法：对于两事件，若其中任何一个 事件的发生不影响另一个事件的发生， 则这两事件是独立的. 定义1 若事件 A 与 B 满足：P(AB)=P(A)P(B)， 则称A与B相互独立，简称A与B独立.
P(AB) = P(A)P(B) P(A|B) = P(A)
P(AB)/P(B) = P(A)
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
• 有一种检验HIV病毒的方法，其结果有概率为 0.005报道为假阳性，现有140名不带病毒的正常 人全部接受此检验，被报道至少有一人带病毒的 概率为多大？
答 案 ： 1-(0 .9 9 5 )
140
三人独立破译密码，已知各人能译出的概率 分别为1/2,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将 密码译出的概率为多大？
特别地，由
A AB AB ,
有
P (B | A) P ( AB ) P ( A) P( A | B)P(B) P( A | B)P(B) P( A | B )P(B )
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
例1 用仪器检验产品质量，已知一件次品经检验后被 认为是次品的概率为0.99，而一件正品经检验后 被认为是次品的概率为0.005，已知产品的次品率 为4% .若一产品经检验被认为是次品，求它确是 次品的概率. 解：以A表示“产品经检验被认为是次品”，以B 表示
.
由贝叶斯公式，得
P ( A1 | H ) P ( A2 | H ) P ( A3 | H ) P ( H | A1 ) P ( A1 ) P(H ) P ( H | A2 ) P ( A2 ) P(H ) P ( H | A3 ) P ( A3 ) P(H ) 1/ 6 1/ 2 1/ 4 1/ 2 1 /12 1/ 2 1 3 1 2 1 6 , ,
P(AB)/P(B) = P(A)
第一章 第四讲 贝叶斯公式 事件的独立性
作
业
教材P24：14,15,18，19