2010年温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷及答案
2013年温州市高一摇篮杯数学竞赛试题(含答案)
2013年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛参考解答一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知集合{|53,}A a a x x N +==+∈,{|72,}B b b y y N +==+∈,则A B 中的最小的元素是 ( ▲ )A ．17B ．19C ．21D ．23【答案】D【解析】代入检验或者依次取值.2．已知角α的终边与3π的终边相同，则在[)0,2π内与3α的终边相同的角有 ( ▲ )个 A ．1 B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】713,,999πππ3．已知()f x x m =-, 当[0,9]x ∈时, ()4f x ≤恒成立, 则实数m 的取值范围 是 ( ▲ )A ．[1,0]-B ．(,1]-∞-C ．(,1]-∞D ．[0,1]【答案】C【解析】t =2()2g t t t m =-+，max (3)34g g m ==+≤ 4．若(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ= ，0αβπ<<<，(0)ka b a kb k +=-≠ ， 则βα-的值为 ( ▲ )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π 【答案】A 【解析】由(0)ka b a kb k +=-≠ 两边平方展开得到cos()0βα-=5.函数1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos x x x x y x x x x+++-=++-++的最小正周期是 ( ▲ ) A ．2π B ．π C ．32π D ．2π 【答案】D 【解析】2sin y x=(sin 1)x ≠-6．ABC ∆中，tan 21,tan a B a c c C c -==，则角A 为 ( ▲ ) A ．6π B ．4π C ．3π D ． 2π 【答案】B【解析】由tan 2tan B a c C c -=得1cos ,23B B π==，再由sin 1)sin A C =得4A π= 7．在平行四边形ABCD 中，2CAB DBC DBA ∠=∠=∠，则sin CAB ∠的值为 ( ▲ )A ．13B ．12C ．2D ．34 【答案】B【解析】记DBA α∠=，O 为对角线交点，CAB CBO ∆∆ 得到2212BC CO CA CA =⋅=在ABC ∆中，由正弦定理得到sin 3sin 2AC BC αα==，整理得到cos α= 8．已知O ，A ，B 是平面上的三点，向量,OA a OB b == ，设点P 是线段AB 垂直平分线上的任意一点，向量OP p = ，若3,2a b == ，则()p a b ⋅- 的值为 ( ▲ ) A ．52 B ．3 C ．72D ． 4 【答案】A【解析】设AB 中垂线与AB 交于点C ，连OC ，1(),2CP p a b BA a b =-+=- ，由CP 与BA 垂直得到()p a b ⋅- =221()2a b - 9．设,82x y z x y z ππ≥≥≥++=，则cos sin cos x y z ⋅⋅的最小值为( ▲ )A ．18B ．8C ．14D ．4【答案】C 【解析】84x ππ≤≤，()21111cos sin cos cos sin()sin()cos sin()cos 2224x y z x y z y z x y z x ⋅⋅=++-≥+=≥ 10．当[0,1]x ∈时，不等式22cos (1)(1)sin 0x x x x αα--+->恒成立，则α的取值范围是( ▲ )A ．1122,1212k k k Z πππθπ+<<+∈ B ．522,66k k k Z πππθπ+<<+∈ C ．522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈ D ．22,63k k k Z πππθπ+<<+∈ 【答案】C【解析】记22()cos (1)(1)sin f x x x x x αα=--+-，则(0)sin 0,(1)cos 0f f αα=>=>21()))2((1)2f x x x x =-+-+-，即102->，解得522,1212k k k Z πππαπ+<<+∈.二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.11．函数()|2||1|f x x x =+--的值域为 ▲ ．【答案】[3,3]-12．22sin 13sin 47sin13sin 47︒+︒+︒⋅︒= ▲ ． 【答案】34【解析】构造三角形，内角分别为13,47,120︒︒︒，结合余弦定理即可13．过ABC ∆的重心G 的直线分别交直线AB 、AC 于点P 、Q ，若AC k AQ BP AB ==,，则k 的值是 ▲ ． 【答案】52 【解析】由1()3AG AB AC =+ ，设PG PQ λ= ，则 2(22)AG AP PG AB PQ AB k AC λλλ=+=+=-+ ，于是52,65k λ== 或者取正三角形即可。
2010年浙江省高等数学竞赛试题与答案(共4份)
试题共四套：数学类、工科类、经管类、文专类2010浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（数学类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1．求极限1lim 2n →+∞+⎦2．计算()22222exp 21R x xy y dxdy ρρ⎡⎤-+⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎰⎰． 其中01ρ≤< 3．请用,a b 描述圆 222x y y +≤ 落在椭圆 22221x y a b+= 内的充分必要条件，并求此时椭圆的最小面积。
4．已知分段光滑的简单闭曲线Γ（约当曲线）落在平面π：10ax by cz +++=上，设Γ在π上围成的面积为A ,求()()()bz cy dx cx az dy ay bx dz ax by czΓ-+-+-++⎰其中n Γ与的方向成右手系。
5．设f 连续，满足()()() 22 02exp xf x x x t f t dt =--⎰且()11/f e =,求()()1n f 的值。
二、（满分20）定义数列{}n a 如下：{},,max ,211011dx x a a a n n ⎰-==,4,3,2=n ，求n n a ∞→lim 。
三、（满分20分）设函数)(2R C f ∈，且0)(lim =∞→x f x ，1)(≤''x f ，证明：0)(lim ='∞→x f x 。
四、（满分20分）设非负函数f 在［0，1］上满足)()()(,,y f x f y x f y x +≥+∀且1)1(=f ，证明：（1）]1,0[,2)(∈≤x x x f （2）21)(1≤⎰dx x f 五、（满分20分）设全体正整数集合为+N ，若集合+⊂N G 对加法封闭（即G y x G y x ∈+⇒∈∀,），且G 内所有元素的最大公约数为1，证明：存在正整数N ，当正整数n >N 时，G n ∈（工科类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1．求极限1lim 2n →+∞+⎦2．计算()() +22 122dxx x x ∞-∞+-+⎰3．设ABC ∆为锐角三角形,求sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++---的最大值和最小值。
2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(2008年4月13日)
2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（2008年4月13日）命题人：胡云华（版权所有，请不要转传其他商业网站）本卷满分为150分，考试时间为120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。
1．已知集合{,,()},,,M a b a b a R b R =-+∈∈，集合{1,0,1}P =-，映射:f x x →表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ，则以,a b 为坐标的点组成的集合S 有元素（ ）个A ．2B ．4C ．6D ．82．设D 为△ABC 的边AB 的中点，P 为△ABC 内一点，且满足,25AP AD BC =+，则APD ABC S S =△△ （）A.35 B. 25 C. 15 D. 3103．在点O 处测得远处质点P 作匀速直线运动，开始位置在A 点，一分钟后到达B 点，再过一分钟到达C 点，测得090,30AOB BOC ∠=∠=，则tan OAB ∠= （ ）A ．32 B C D ．234．已知当6x π=时，函数sin cos y x a x =+取最大值，则函数sin cos y a x x =-图象的一条对称轴为 （ ） A ．3x π=-B ．3x π=C ．6x π=-D ．6x π=5．已知α是函数 ()log 2008,(1)a f x x x a =->的一个零点，β是函数()2008x g x xa =-的一个零点，则αβ的值为 （ ）A ．1B ．2008C ．22008 D ．40166．函数()f x 的定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数，②存在[,],m n D ⊆使()f x 在[,]m n 上的值域为11[,]22m n ，那么就称()y f x =为“好函数”。
现有()log (),xa f x a k =+ (0,1)a a >≠是“好函数”，则k 的取值范围是 （ ） A ．(0,)+∞ B ．1(,)4-∞ C ．1(0,)4 D ．1(0,]47．如图，一个棱长为a 的立方体内有1个大球和8个小球，大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余（ ） A ．(633)2a - B ．(633)a - C ．5382a - D ．(538)a - 8．使232n+为完全平方数的正整数n 有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。
2010年浙江省温州市摇篮杯高一
2010年浙江省温州市摇篮杯高一一、选择题1、若函数b ax x x f ++=2)(有两个不同的零点21,x x ，1234x x <<<,那么在(3),(4)f f 两个函数值中（ ） A ．只有一个小于14B ．至少有一个小于14C ．都小于14 D ．可能都大于142、某次数学测试分为选择题与非选择题两部分，右边的散点图中每个点(,)X Y 表示一位学生在 这两部分的得分，其中X 表示该生选择题得 分，Y 表示该生非选择题得分，设Z X Y =+表 示该生的总分，现有11位学生的得分数据，根 据散点图，下列判断正确的是 （ ） A ．X 的方差<Y 的方差B ．X 的中位数>Y 的中位数C ．X 的众数<Y 的众数D ．Z 的中位数=X 的中位数+Y 的中位数3、已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.13=，若0x 是方程[]8xx =的实数根，则（ ）A ．001x <<B ． 012x <<C ． 023x <<D ． 034x <<4、已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则()f x 的单调递减区间是 （ ）A ． []6,63,k k k Z ππ+∈B ． []63,6,k k k Z -∈C ． []6,63,k k k Z +∈D ． []63,6,k k k Z ππ-∈5、若映射{}{}:1,2,3,....1,2,3,....f →，满足：(1)(2)(3)....()f f f f n <<<<且(())3f f x x =，那么(1)f 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46、已知四边形ABCD ，AC 是BD 的垂直平分线，垂足为E ，O 为直线BD 外一点．设向量5OB = ，3OD =，则()()OA OC OB OD +- 的值是 （ ）A ． 8B ． 16C ． 8-D ． 16-7、a 是一个常数，函数42421()1x ax f x x x ++=++的值域不可能．．．是 （ ）A ． {}1B ． 1(2),13a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ． 11,(2)3a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ． 12,(2)3a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦8、若(0,)4πα∈，222log sin log cos log cos (cos ),(cos ),(sin )m n p αααααα===，则,,m n p 的大小关系为（ ）A ．m p n =>B ． m p n =<C ． m p n >>D ． m n p >>9、设集合22{|1|},{|10|}A y y a a N B y y b b N ==+∈==+∈，则A B 中元素的个数为（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 大于3个10、求：cos1cos 2cos3cos89...sin 46sin 47sin 48sin134++++= （ ）A ．2B ．C ．D ．2二、填空题11、设220()log 0xx f x xx -⎧≤=⎨>⎩，则1(())2f f = ．12、如图执行右面的程序框图，那么输出的S 值为 ．13、在标有数字1,2,3...,10,11,12的12张大小相同的卡片中，依次取出不同的三张卡片它们的数字和恰好是3的倍数的概率是 ．14、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量(1,2)OA =，(2,1)OB =- ，若OP xOA yOB =+且12x y ≤≤≤，则点P 所有可能的位置所构成的区域面积是 ．15、某学生对函数()2cos f x x x =⋅的性质进行研究，得出如下的结论：①函数()f x 在[],0π-上单调递增，在[]0,π上单调递减； ②点,02π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图像的一个对称中心； ③函数()y f x = 图像关于直线x π=对称；④存在常数0M >，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立．其中正确的结论是 ．16、已知数据12310,,,...,x x x x 的平均数为6125,,...,x x x 的平均数的取值范围是 ．17、已知集合{}|11A x x =-≤<，{}|0B x x a =->，若A B ⋂=∅,则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 18、设()f x 是定义在实数R 上的函数，()g x 是定义在正整数*N 上的函数，同时满足下列条件：（1）任意,x y R ∈，有()()()f x y f x f y +=，当0x <时，()1f x >且(1)f -=；（2）(1)(0),(2)(2)g f g f ==-； （3）[][][](3)(1)(2)(2)()f n g n f g n f n g n +++=+，*n N ∈试求：（1）证明：任意,x y R ∈， x y ≠，都有()()0f x f y x y-<-；（2）是否存在正整数n ，使得()g n 是25的倍数，若存在，求出所有自然数n ；若不存在说明理由． （阶乘定义：!123...n n =⨯⨯⨯⨯）19、已知向量9(sin ,1),(sin ,cos )8a xb x x ==- ，设函数()f x a b = ，[]0,x π∈（1）求()f x 的单调区间；（2）若()0f x =在区间[]0,π上有两个不同的根,αβ，求cos()αβ+的值．20、已知正实数,x y ，设a x y =+，b =（1）当1y =时，求ba的取值范围； （2）若以,a b 为三角形的两边，第三条边长为c 构成三角形，求2c xy的取值范围．以下是答案 一、选择题1、B 解：（用特殊值来排除）令1103x =，2113x =，则21(3)(4)94f f ==<； 令1103x =，272x =，则21(3)94f =<，11(4)34f =>．选B另解：设12()()()f x x x x x =--，则12(3)(3)(3)0f x x =-->，12(4)(4)(4)0f x x =-->1212(3)(4)(3)(3)(4)(4)f f x x x x =----1122(3)(4)(3)(4)x x x x =----22112234341()()2216x x x x -+--+-<=，所以，至少有一个小于14．选B2、B 解：根据图像可知X 中位数为40，Y 的中位数大概在34左右，选B3、C 解：由0x 是方程[]8xx =的实数根，易得00x >令函数[]x x x g =)(，则函数在()+∞,0上是增函数（不是严格增函数） 当[]0=x 时，则10<<x ， 1)(=x g ， 当[]1=x 时，则21<≤x ， 2)(1<≤x g ， 当[]2=x 时, 则32<≤x ， 9)(4<≤x g , 当[]3x =时, 则34x ≤< ， 27()64g x ≤< , 选C4、B 解： 相邻交点的中点的横坐标分别为3，6，则周期6T =，3πω=()sin()3f x A x πϕ∴=+，又(2)(4)0f f =>，∴当3x =时，()f x 取最大值，即 (3)s i n ()f A Aπϕ=+=，2,2k k Z πϕπ=-+∈，3()sin()32f x A x ππ=+∴()f x 的单调递减区间为[63,6],k k k Z -∈选B5、B 解：由3))1((=f f ，可知3)1(1≤≤f若1)1(=f ，则1)1())1((==f f f ，与3))1((=f f 矛盾，不可能； 若2)1(=f ，则3)2())1((==f f f若3)1(=f ，则5)3(,4)2(≥≥f f 与3((1))(3)5f f f ==≥矛盾，不可能。
2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(含解析)
2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（2007年4月15日）1、已知集合{}|1,A x x x R =≠∈，A B R =，则集合B 不可能．．．是（ ）A 、{}|1,x x x R >-∈B 、{}|1,x x x R <-∈C 、{}|1,x x x R ≠-∈D 、{}0,1 2、已知sin36a ︒=，则sin108︒等于（ ）A 、3aB 、334a a -C 、334a a +D 、2-3、已知c b a ,,均为正数,且都不等于1,若实数z y x ,,满足0111,=++==zy x c b a zyx,则abc 的值等于（ ） A 、1B 、2C 、3D 、44、将正整数中所有被7整除的数删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则100a 等于（ ） A 、114B 、115C 、116D 、1175、今有一组实验数据如下：最能近似地表达这些数据规律的函数模型是（ ） A 、x y b a =∙B 、21y bx ax =++C 、2()y x x a b =-+D 、sin()y A x B ωϕ=++6、已知函数()2f x x bx c =++，若方程()f x x =无实根，则（ ）A 、对一切实数x ，不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦都成立B 、对一切实数x ，不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦都成立C 、存在实数b 和c ，使得不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切实数x 都成立D 、不存在实数b 和c ，使得不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦对一切实数x 都成立 7、某流程如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 （ ） A 、2()f x x = B 、()1sin f x x =+ C 、()ln 26f x x x =+- D、())f x x =8、已知点O 是ABC ∆所在平面内的一点，3260OA OB OC +-=且::5:4:3AB BC CA =，下列结论错误．．的是 （ ）A 、点O 在ABC ∆外；B 、::6:3:2AOB BOC COA S S S ∆∆∆=C 、点O 到,,AB BC CA 距离的比是72:45:40D 、,,,O A B C 四点共圆；二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。
2010年浙江省温州四中“摇篮杯”八年级数学竞赛初赛试卷(解析版)
2010年浙江省温州四中“摇篮杯”八年级数学竞赛初赛试卷一、选择题1．（3分）把足够大的一张厚度为0.1mm的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过20mm，至少要对折（）A．6次 B．7次 C．8次 D．9次2．（3分）小明同学从运动场的A点出发，向东走8米到达B点，再向北走10米到达C点，再向西走4米到达D点，再向南走7米到达E点．则E、A两点相距（）米．A．3 B．4 C．5 D．63．（3分）初二（2）班有42名同学，其中有男同学n名，将他们编成1号、2号、…，n号．在寒假期间，1号给3名同学打过电话，2号给4名同学打过电话，3号给5名同学打过电话，…，n号同学给一半同学打过电话，由此可知该班女同学的人数是（）A．22 B．23 C．24 D．254．（3分）初二（1）班有37名学生，其中参加数学竞赛的有30人，参加物理竞赛的有20人，有4人没有参加任何一项竞赛，则同时参加这两项竞赛的学生共有（）人．A．16 B．17 C．18 D．195．（3分）A、B、C三种服装的进价分别是20元、30元、40元，售价分别是24元、m元、52元，经核算，三种服装的总利润相同，且A、B两种服装的销售量之和C服装销售量的4倍，则m=（）A．35 B．40 C．42 D．446．（3分）如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动，那么从1时整（1：00）开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有（）A．1次 B．2次 C．3次 D．4次7．（3分）某工厂今年计划产值为a万元，比去年增长11%．如果今年实际产值可超过计划1%，那么实际产值将比去年增长（）A．11% B．11.1% C．12% D．12.11%8．（3分）某学校有小学六个年级，每个年级6个班；初中三个年级，每个年级8个班；高中三个年级，每个年级12个班．现要从中抽取36个班做调查研究，使得各种类型的班级抽取的比例相同，那么初中每个年级抽取（）个班．A．1 B．2 C．3 D．49．（3分）钟面上有十二个数1，2，3，…，12．将其中某些数的前面添上一个负号，使钟面上所有数之代数和等于零，则至少要添n个负号，这个数n是（）A．4 B．5 C．6 D．710．（3分）A，B，C，D四人参加某一期的体育彩票兑奖活动，现已知：如果A 中奖，那么B也中奖：如果B中奖，那么C中奖或A不中奖：如果D不中奖，那么A中奖，C不中奖：如果D中奖，那么A也中奖则这四个人中，中奖的人数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．（3分）如果有2002名学生排成一列，按1，2，3，4，5，4，3，2，1，2，3，4，5，…的规律报数，那么第2002名学生所报的数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（3分）跳格游戏如图：人从格外进入格中，每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第6格可以有（）种方法．A．6 B．8 C．13 D．1513．（3分）A、B、C、D四个盒子中分别入有6，4，5，3个球，第一个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取1个球放入这个盒子中，然后第二个小朋友又找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取1个球放入这个盒子…如此进行下去，当第2010个小朋友放完后，A、B、C、D四个盒子中的球数依次是（）A．3，5，6，4 B．4，6，3，5 C．5，3，4，6 D．6，4，5，314．（3分）在体育活动中，初二（1）班的n个学生围成一圈做游戏，与每个学生左右相邻的两个学生的性别不同．则n的取值可能是（）A．43 B．44 C．45 D．4615．（3分）古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅…，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（）A．是2019年B．是2031年C．是2043年D．没有对应的年号16．（3分）初二某班有33位同学，他们之间的年龄最多相差3岁，若按生肖分组，那么人数最多的一组中至少有同学（）位．A．5 B．8 C．9 D．1017．（3分）小杨在商店购买了a件甲种商品，b件乙种商品，共用213元，已知甲种商品每件5元，乙种商品每件19元，那么a+b的最大值是（）A．37 B．27 C．23 D．2018．（3分）10个人围成一圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想一个数，并把目己想的数告许与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报出来的数是3的人心里想的数是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣419．（3分）甲、乙、丙、丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为（）A．0 B．1 C．2 D．320．（3分）某靶场有红、绿靶标共100个，其中红靶标的数量不到绿靶标数量的三分之一，若打中一个红靶标得10分，打中一个绿靶标得8.5分，小明打中了全部绿靶标和部分红靶标，在计算他所得的总分时，发现总分与红靶标的总数无关（包括打中的和没有打中的），则靶场有红靶标（）个．A．22 B．20 C．18 D．162010年浙江省温州四中“摇篮杯”八年级数学竞赛初赛试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）把足够大的一张厚度为0.1mm的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过20mm，至少要对折（）A．6次 B．7次 C．8次 D．9次【解答】解：∵第一次对折后厚度为2×0.1mm，第二次对折后厚度为2×2×0.1mm，第三次对折后的厚度为2×2×2×0.1，mm，…，∴第n次对折后的厚度为2n×0.1mm，∵2n×0.1mm＞20mm，∴当n=8时，2n×0.1mm=25.6mm，∴至少要对折8次．故选：C．2．（3分）小明同学从运动场的A点出发，向东走8米到达B点，再向北走10米到达C点，再向西走4米到达D点，再向南走7米到达E点．则E、A两点相距（）米．A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由题意可得图形：延长DE交AB于F点，∵AB=8米，DC=4米，∴AF=8﹣4=4（米），∵BC=10米，DE=7米，∴EF=3米，在Rt△AEF中，AE==5米，故选：C．3．（3分）初二（2）班有42名同学，其中有男同学n名，将他们编成1号、2号、…，n号．在寒假期间，1号给3名同学打过电话，2号给4名同学打过电话，3号给5名同学打过电话，…，n号同学给一半同学打过电话，由此可知该班女同学的人数是（）A．22 B．23 C．24 D．25【解答】解：由题意得，一半同学有42÷2=21人，1号给3=2+1名打电话，2号给4=2+2名打电话，3号给5=2+3名打电话，…n号给2+n=21名打电话，所以n=19，即男生有19名，故女生有：42﹣19=23，即该班有女生23名，故选：B．4．（3分）初二（1）班有37名学生，其中参加数学竞赛的有30人，参加物理竞赛的有20人，有4人没有参加任何一项竞赛，则同时参加这两项竞赛的学生共有（）人．A．16 B．17 C．18 D．19【解答】解：设同时参加两项竞赛的学生有x人，根据题意可列出方程：37=30+20+4﹣x，解得x=17（人）；故选：B．5．（3分）A、B、C三种服装的进价分别是20元、30元、40元，售价分别是24元、m元、52元，经核算，三种服装的总利润相同，且A、B两种服装的销售量之和C服装销售量的4倍，则m=（）A．35 B．40 C．42 D．44【解答】解：设A服装销售了x件，B服装销售了y件，则C服装销售了（x+y）件三种服装每件的利润分别是4元、（m﹣30）元、12元，根据题意知：4x=（m﹣30）y=3（x+y），由4x=3（x+y），解得x=3y，代入4x=（m﹣30）y中，解得m=42．故选：C．6．（3分）如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动，那么从1时整（1：00）开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有（）A．1次 B．2次 C．3次 D．4次【解答】解：从3时整（3：00）开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有：①当秒针转到大约15°的位置时，以及大约195°的位置时秒针平分时针与分针．②当秒针转到大约60°的位置时，时针平分秒针与分针．③当秒针转到大约330°的位置时，分针平分秒针与时针．综上，共4次．故选：D．7．（3分）某工厂今年计划产值为a万元，比去年增长11%．如果今年实际产值可超过计划1%，那么实际产值将比去年增长（）A．11% B．11.1% C．12% D．12.11%【解答】解：∵今年计划产值为a万元，比去年增长11%，∴去年的产值为：a÷（1+11%），∵今年实际产值可超过计划1%，∴今年实际产值为：a×（1+1%）=1.01a，∴所求的增长率=[1.01a﹣a÷（1+11%）]÷[a÷（1+11%）]×100%=12.11%．故选：D．8．（3分）某学校有小学六个年级，每个年级6个班；初中三个年级，每个年级8个班；高中三个年级，每个年级12个班．现要从中抽取36个班做调查研究，使得各种类型的班级抽取的比例相同，那么初中每个年级抽取（）个班．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵小学六个年级，每个年级6个班；初中三个年级，每个年级8个班；高中三个年级，每个年级12个班，∴先算出这个学校总班数一共是6×6+3×8+3×12=96个，∴算出抽到初中一个班的概率为：=，∴初中每个年级抽取×8=2个班．故选：B．9．（3分）钟面上有十二个数1，2，3，…，12．将其中某些数的前面添上一个负号，使钟面上所有数之代数和等于零，则至少要添n个负号，这个数n是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：因为1+2+3+…+11+12=78，所以78÷2=39，也就是添上负号的数的和为﹣39，其余数的和为39使代数和等于零，要填负号最少，首先从大数前面加负号，因此﹣10﹣11﹣12=﹣33，﹣33﹣6=﹣39，由此得到至少要添4个负号．故选：A．10．（3分）A，B，C，D四人参加某一期的体育彩票兑奖活动，现已知：如果A 中奖，那么B也中奖：如果B中奖，那么C中奖或A不中奖：如果D不中奖，那么A中奖，C不中奖：如果D中奖，那么A也中奖则这四个人中，中奖的人数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据题意，可将已知条件大致分为三类：（为叙述方便，将中奖简写为“中”）①如果A中，则B中；②如果B中，则C中或A不中；③如果D不中，则A中且C不中；已知了A中且D中，当A中时，由①知：B也中；当B中时，由②知C也中（由于A已中奖，因此A不中的条件可以舍去）；因此A、B、C、D四人都中奖了，由此可得出中奖的人数为4人，故选D．11．（3分）如果有2002名学生排成一列，按1，2，3，4，5，4，3，2，1，2，3，4，5，…的规律报数，那么第2002名学生所报的数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵根据题意可知，每8个同学为一个循环，2002÷8=250…2．∴第2002名学生所报的数是2，故选：B．12．（3分）跳格游戏如图：人从格外进入格中，每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第6格可以有（）种方法．A．6 B．8 C．13 D．15【解答】解：每次只跳一格的，只有1种；仅有一次跳2格，有5种：跳1，2；跳2，3；跳3，4；跳4，5；跳5，6；仅有两次跳2格的，其余每次跳一格的，有6种：跳1，2和跳3，4；跳1，2和跳4，5；跳1，2和跳5，6；跳2，3和跳4，5；跳2，3和跳5，6；跳3，4和跳5，6；每次跳2格的，只有1种；所以：1+5+6+1=13种．故选：C．13．（3分）A、B、C、D四个盒子中分别入有6，4，5，3个球，第一个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取1个球放入这个盒子中，然后第二个小朋友又找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取1个球放入这个盒子…如此进行下去，当第2010个小朋友放完后，A、B、C、D四个盒子中的球数依次是（）A．3，5，6，4 B．4，6，3，5 C．5，3，4，6 D．6，4，5，3【解答】解：A B C D原来的球 6 4 5 3第一次 5 3 4 6第二次 4 6 3 5第三次 3 5 6 4第四次 6 4 5 3由此可以看出经过四次，盒子中的球和原来每一个盒子对应球的数相同，又因2010=502×4+2，所以当第2010个小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中的球数和第二个小朋友放完后每一个盒子对应球的数相同为：4，6，3，5．故选：B．14．（3分）在体育活动中，初二（1）班的n个学生围成一圈做游戏，与每个学生左右相邻的两个学生的性别不同．则n的取值可能是（）A．43 B．44 C．45 D．46【解答】解：假设有一个学生为男，那么他左边为男，则右边一定为女，这个女生的左边为男生，右边一定是女生，那么排列的可能为男，男，女，女，男，男，女，女，…∵每4个数为一组循环，∴这组学生数应为4的倍数，故选：B．15．（3分）古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅…，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（）A．是2019年B．是2031年C．是2043年D．没有对应的年号【解答】解：∵10与12的最小公倍数为60，∴按照天干与地支组合循环60次后又开始循环．故只要检测这60年即可．可知没有甲亥年．故选：D．16．（3分）初二某班有33位同学，他们之间的年龄最多相差3岁，若按生肖分组，那么人数最多的一组中至少有同学（）位．A．5 B．8 C．9 D．10【解答】解：由题意知，33位同学分四个年龄段，构造4个抽屉，33=8×4+1，所以人数最多的一组中至少有同学8+1=9位．故选：C．17．（3分）小杨在商店购买了a件甲种商品，b件乙种商品，共用213元，已知甲种商品每件5元，乙种商品每件19元，那么a+b的最大值是（）A．37 B．27 C．23 D．20【解答】解：由题意得，5a+19b=213，∴a=，∴a+b=+b=，∵a+b是关于b的一次函数且a+b随b的增大而减小，∴当b最小时，a+b取最大值，又∵a，b是正整数，∴当b=2时，a+b的最大值=37．故选：A．18．（3分）10个人围成一圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想一个数，并把目己想的数告许与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报出来的数是3的人心里想的数是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【解答】解：设报3的人心里想的数是x，则报5的人心里想的数应是8﹣x，于是报7的人心里想的数是12﹣（8﹣x）=4+x，报9的人心里想的数是16﹣（4+x）=12﹣x，报1的人心里想的数是20﹣（12﹣x）=8+x，报3的人心里想的数是4﹣（8+x）=﹣4﹣x，所以得x=﹣4﹣x，解得x=﹣2．故选：B．19．（3分）甲、乙、丙、丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵72=9×4×2×1=8×3×3×1=6×6×2×1=6×3×4×1=6×2×3×2=3×2×3×4=9×8×1×1，共6种情况在这6种情况中，总环数分别为16，15，15，14，13，12因为4人中靶的总环数恰为4个连续整数，所以其中必然包括15，14，13，这三个总环数中只有1个4环；第4个总环数为16或12，其中都会有1个4环．所以总共有2个4环，故选：C．20．（3分）某靶场有红、绿靶标共100个，其中红靶标的数量不到绿靶标数量的三分之一，若打中一个红靶标得10分，打中一个绿靶标得8.5分，小明打中了全部绿靶标和部分红靶标，在计算他所得的总分时，发现总分与红靶标的总数无关（包括打中的和没有打中的），则靶场有红靶标（）个．A．22 B．20 C．18 D．16【解答】解：设红靶x个，则绿靶（100﹣x）个，打中红的数目为k，打中了全部绿靶标得分：S=8.5（100﹣x）=850﹣8.5x，又总分=S+10x=85+10k﹣8.5x为一常数，所以10k=8.5x，又由“靶标的数量不到绿靶标数量的三分之一“知：x＜即x＜25，又x，k为自然数，所以x=20，k=17，即靶场有红靶标20个．故选：B．。
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛(4)答案
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛训练题（4）一、选择题1．岩岩家住在人民广场附近，她经常看到有好多人把自行车存到广场旁边．有一次她问看自行车的老大爷，得知当天的存车量为6 882辆次，其中普通自行车的存车费是每辆次0.2元，电动自行车的存车费是每辆次0.5元，且到19∶00以后，两种存车费都要翻倍．已知该天普通自行车19∶00之前的存车量为5 180辆次，19∶00之后的存车量为335辆次，其总收入为电动自行车的1.5倍．那么电动自行车在晚19∶00前和19∶00后的存车量各有（）A．1 072辆次、294辆次B．1 174辆次、193辆次C．973辆次、394辆次D．1 173辆次、254辆次2．小王8∶30从家出门去参观房展，家里的闹钟也指向8∶30，房展结束，他12∶00准时回到家，发现家里的闹钟才11∶46，那么，再过几分钟此闹钟才能指到12点整（）A．13分钟B．14分钟C．15分钟D．16分钟3．6月份以来，猪肉价格一路上涨．为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆，已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元．若设从A、B两市都派x辆车到D市，则当这28辆运输车全部派出时，总运费W（元）的最小值和最大值分别是（）A．8 000，13 200 B．9 000，10 000C．10 000，13 200 D．13 200，15 400二、填空题4．小龙乘坐商场的自动扶梯下楼，他以每步一级的速度往下走，结果走了30步就到楼下，猛然发现，由于匆忙包丢在购物处了，接着他又以下楼时速度的3倍冲上楼梯，结果走了90步才到楼上，当电梯停下时，露在外面的电梯一共有级．5．“爱心”教育基金会资助某山村学校13 440元，其中七、八年级的学生平均每人60元，七、八年级的每位学生都接受了资助；九年级每个学生100元，但九年级学生有40%因家庭条件好而未接受资助．则该学校一共有名学生．6．如图3所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，且AD=2cm，请问徽标的外围周长为cm．7．你看过机器人大赛吗？在美国旧金山举办的世界机器人大赛中，机器人踢足球可谓是独占鳌头．如图4，AOB∠= ，45cm90OB=，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方OA=，15cm向匀速前进向点O滚动，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进截小球，在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC=cm．三、解答题8．（本题15分）2008年北京奥运会的主会场——鸟巢年底就要竣工了，也许你也知道它全都是利用优质钢筋焊接而成的．也许你会为它骄傲，为它自豪．可是你是否知道为了节约钢筋，还有许多科学道理呢？如图5就是从长为40cm，宽为30cm的矩形钢板的左上角剪下一块长为20cm、宽为10cm的矩形后剩下的一块脚料，工人师傅为了节约，要将它做适当的切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件再重新使用．（1）请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案（在图5（2）和图5（3）中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得的正方形，保留拼接的痕迹）；（2）比较（1）中的两种方案，哪种更好些？说说你的看法和理由．也为建设节约型社会做出一点贡献！9．（本题15分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．今年首个超强台风“圣帕”第0709号超强台风（圣帕）于8月13日在北纬21.3度，东经123.3度的太平洋上生成，其中心气压925百帕，近中心最大风速55米/秒，生成时还是热带风暴的“圣帕”，在连跳两级后，15日晚8时已“变身”为超强台风．向台湾东部沿海逼近并登陆台湾岛，之后于19日上午将在福建中南部沿海福州一带再次登陆．在这之前，台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图6所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？卷参考答案一、选择题（每小题6分，共30分）1．B2．C （提示：从8∶30到12∶00共三个半小时，在这三个半小时内闹钟共慢了14分钟，平均每小时慢4分钟，所以慢钟与正常钟走时之比为604146015-=，慢的闹钟从11点46分走到12点整，按慢钟来计要走14分钟，因此若按准时的钟来计就要15分钟了．）3．C （提示：由题设可知A 、B 、C 三市派往D 市的运输车的辆数分别是x 、x 、（182x -）辆，派往E 市的运输车的辆数为10x -，10x -，210x -，则总运费200300400(182)800(10)700(10)500(210)W x x x x x x =++-+-+-+-80017 200x =-+．依题意有01001828x x ⎧⎨-⎩≤≤，≤≤，解之，得59x ≤≤，当5x =时，13 200W =最大元，当9x =时，10 000W =最小元．故选C ．）二、填空题（每小题6分，共30分）4．60（提示：设往下走时，人走一步电梯往下走x 级，则有903030903x x +=-，解得1x =，所以电梯的级数为303060+=（级）．）5．224（提示：资助九年级学生每人100元，但有40%的学生没有接受资助，这样九年级所有学生的平均钱数也是每人60元，而七、八年级每人60元，即整个学校每个学生平均能得到60元，所以该校学生总人数为13 44060224÷=（人）．）6．52（提示：设Rt ABC △的较长直角边为a ，短直角边为b ，斜边为c ，依题意有3a b -=，1113124ab -=．又由勾股定理得22222()23112121c a b a b ab =+=-+=+=，所以11cm c =，故徽标的外围周长4(112)52(cm)=⨯+=．）7．25（提示：因为BC AC =，所以可设BC x =，则45OC OA AC x =-=-，在Rt BOC △中，根据勾股定理可得：222(45)15x x -+=，解得25x =．即机器人行走的路程为25cm ）．三、解答题（每小题15分，共60分）8．（1）图1和图2即为所作图．（2）图1中第一种分割方案较好，因为分割的块数较少．但焊接处和图2中第二种方案一样长．9．解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图3，过点A 作AD BC ⊥于D 点，则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在Rt ABD △中，因为30240B AB ∠== ，． 11由题可知，距台风中心在(124)25200-⨯=（千米）以内时，则会受到台风影响． 因为120＜200，因此该城市将会受到“圣帕”影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC 上作200AE AF ==；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图4） 由勾股定理得，2222200120160DE AE AD =-=-=（千米）．所以2160320EF =⨯=（千米）．又知“圣帕”中心以20千米/时的速度移动．所以台风影响该城市3202016÷=（小时）．（3）该城市受台风影响最大风力7.2级．。
2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛考试试题
1 / 4高一数学竞赛试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．某同学使用计算器求50个数据的平均数时，错将其中的一个数据150输入为15，那么由此求出的平均值与实际平均值的差是（ ） A ．.72B ．.72-C ．3D ．0.3-2．设集合12{|log (1)2}A x x =+>-，2{|21}x x B x -=<，则AB 等于（ ）A ．{|0,13}x x x <<<或B ．{|3}x x >C ．{|10,13}x x x -<<<<或D ．{|01}x x << 3．已知sin sin αβ=，则α与β的关系是（ ） A ．αβ=或απβ=- B ．2,k k Z απβ=+∈ C ．(21),k k Z απβ=+-∈D ．(1),k k k Z απβ=+-∈4．下列函数中在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的是（ ）A ．21log sin 62y x π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦B ．21log sin 262y x π⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦C．y =D ．3sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．若()()()()sin50tan50sin50tan50yxxy--︒︒-︒≤-︒则（ ）A ．0x y +≥B ．0x y -≥C ．0x y +≤D ．0x y -≤6．函数()ln |1|3f x x x =--+的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．记O 为坐标原点，已知向量(3,2)OA =，(0,2)OB =-，又有点C ，满足52AC =，则ABC ∠ 的取值范围为（ ） A ．06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ． 02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ． 3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，6 8．已知k Z ∈，(2,2)AC =，(,2)AB k =，5AB ≤，则ABC ∆是直角三角形的概率是（ ）A ．19B ．29C ．18D ．142 / 49．设222221S x xy y x =++++，其中,x R y R ∈∈，则S 的最小值为（ ）A ．1B ． 1-C ．34-D ．010．点Q 在x 轴上，若存在过Q 的直线交函数2x y =的图象于,A B 两点，满足QA AB =，则称点Q 为“Ω点”，那么下列结论中正确的是 （ ）A ．x 轴上仅有有限个点是“Ω点”；B ．x 轴上所有的点都是“Ω点”；C ．x 轴上所有的点都不是“Ω点”；D ．x 轴上有无穷多个点（但不是所有的点）是“Ω点”．二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分．11．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现两个正面一个背面的概率是 ．12．如图执行右面的程序框图，那么输出的S 值为 ．13．函数[sin ]()3x f x =的值域是 ．（其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数）14. 已知定义域为R 的函数()y f x =对任意x R ∈都满足条件 4f x f x -（）+（）=0与22f x f x +--（）（）=0，则对函数()y f x =， 下列结论中必定正确的是 ．（填上所有正确结论的序号） ①()y f x =是奇函数； ②()y f x =是偶函数； ③()y f x =是周期函数； ④()y f x =的图象是轴对称的．15．若n 为整数，关于x 的方程2011(2011)()10x x n --+=有整数根，则n = ． 16．()y f x =是定义域为R 的函数，(1)5g x f x f x =++-（）（），若函数y g x =（）有且仅有4个不同的零点，则这4个零点之和为 ． 17．求值：sin6sin78sin222sin294︒+︒+︒+︒= ．(12题图)3 / 4三、解答题：本大题共3小题，共51分． 18．（本题满分16分） 已知函数2()sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．⑴求()f x 的最小正周期和()f x 的值域；⑵若0x x =002x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，求0(2)f x 的值．19．（本题满分17分）设函数2()3f x x bx =+-，对于给定的实数b ，()f x 在区间[]2,2b b -+上有最大值()M b 和最小值()m b ，记()()()g b M b m b =-． ⑴求()g b 的解析式；⑵问b 为何值时，()g b 有最小值？并求出()g b 的最小值．4 / 420. （本题满分18分）定义在正实数集上的函数()f x 满足下列条件：①存在常数a ）（10<<a ，使得1)(=a f ； ②对任意实数m , 当x R +∈时，有()()m f x mf x =． ⑴求证：对于任意正数,x y ，()()()f xy f x f y =+； ⑵证明：()f x 在正实数集上单调递减；⑶若不等式()()()28log 42log (4)3a a f x f x -+--≤恒成立，求实数a 的取值范围．。
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛答案
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛训练题（3）一、判断决策（本题20分）在我国，规定使用在水果或蔬菜上的农药必须低毒易挥发，在生活中我们在吃水果或蔬菜前一般都会先清洗上面的残留农药，假设我们把清洗前水果或蔬菜上的残留农药量记为1个单位，那么用x单位量的a≥）单水清洗一次以后，水果或蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量比是多少？现有a（2位量的水供清洗，可以一次，也可以平分水量两次清洗，你认为选择哪种方法更好呢？请说明理由．如果水能平均三次清洗，效果会如何？二、实践应用（本题20分）某市的公共汽车实行的是一票制（一次上车不管乘几站，票价都是一样的）．张先生所在的公司每月发80元的公交费，起初他是每次乘车用现金买票，则所发公交费的余额与乘车次数的函数图象如图中的一条线段；后来，他将每月的80元公交费买成公交公司的“IC”卡．按规定，打卡乘车比用现金买票乘车可优惠20%．这样，卡上的余额与乘车次数的函数图象就如下图中的另一条线段．（1）填空（填“Ⅰ”或“Ⅱ”）：每次乘车用现金买票时，余额与乘车次数的函数图象是________；买成IC卡后，余额与乘车次数的函数图象是________．（2）求出线段Ⅰ和线段Ⅱ所表示的函数关系式；（3）如果张先生每月平均乘坐公交车70次，则他用IC卡消费比用现金消费可以省下多少钱？三、动手操作（本题20分）手工课上有位小朋友想剪一个正三角形，可手上只有一张正方形的手工纸，若你是小朋友的手工课老师，你能帮助这位小朋友得到正三角形吗？请画出图形，写出操作过程，并说明理由．四、方案设计（本题20分）某汽车配件厂有工人300人，生产甲种配件，平均每人每年可创造利润m万元（m为大于零的常数），为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的乙种配件，根据预算，调配后继续生产甲种配件的工人平均每人每年创造利润可增加20%，生产乙种配件的工人平均每人每年可创造利润1.54m万元．（1）调配后，此汽车配件厂生产甲、乙两种配件的年利润分别为多少？（用含m，x的代数式表示）（2）如果调配后，生产甲种配件的年利润不小于调配前年利润的45，生产乙种配件的年利润大于调配前年利润的一半，应如何设计调配方案？哪种方案全年总利润最大？参考答案 一、解：（1）11x+． ·············································································· 2分 （2）①若选择一次清洗，则清洗后残留农药为：11a+． ································· 3分 ②若分两次清洗，则第一次清洗后残留农药为：12212a a =++． ······················· 6分 第二次清洗后残留农药为：224222422a a a a a +=++++． ···································· 9分 222221424442124(24)(1)(24)(1)a a a a a a a a a a a a a a ++----==+++++++++． ··················· 12分 ∵2a ≥，∴2140124a a a -+++≥． ····································································· 14分 ∴选择分两次的方法进行清洗，这样水果或蔬菜上的残留农药更少一些． ··········· 16分如果水能平分三次清洗，水果或蔬菜上的残留农药会更少． ··························· 20分二、（1）Ⅰ，Ⅱ；（2）设Ⅱ的函数关系式为y kx b =+，因（0，80）和（100，0）满足关系式，即800100.b k b =⎧⎨=+⎩，解得804.5b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴4805y x =-+（x 取整数）． ················ 10分 由图象Ⅱ知，用IC 卡，每次乘车实用金额为800.8100=（元）． 设每次用现金购买为z 元，则依题意知(120%)0.8z -=，1z =（元）．∴Ⅰ所代表的函数关系式为80y x =-+（x 取整数）． ································· 16分（3）(10.8)7014-⨯=（元）． ································································· 20分三、如下图，先对折正方形ABCD ，得到折线MN ；将重叠的两边AD 、BC 过C （D ）点向MN 方向折叠，使顶点B （和A ）落在MN 上的点E 处；然后再沿EC （ED ）折叠一次，展开后得到正三角形CDE ． ································································································ 8分。
2006年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(含解析)新人教A版
2006年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题2006年4月16日本卷满分为150分，考试时间为120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。
1、设Ａ到Ｂ的映射f ：x →y=(x －1)2,若集合2,1,0=A ，则集合B 不可．．能．是（▲） A 、{}1,0 B 、{}2,1,0 C 、{}2,1,0- D 、{}1,1,0- 2、若命题Ｐ：4)21(1<-x ；Ｑ：04log )1(<-x ，则命题⌝Ｐ是⌝Ｑ成立的（▲）条件Ａ、充分不必要 Ｂ、必要不充分 Ｃ、充要 Ｄ、既不充分也不必要 3、设a =-)2sin(π，则)22tan(-π的值为（▲）A 、21a a -B 、21aa-- C 、a a 21- D 、a a 21--4、将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形与一个圆形，则当它们的面积之积最大时，正方形与圆的周长之比为（▲）A 、1:1B 、4:πC 、π:4D 、π:25、设正整数集N *，已知集合{}*∈==N m m x x A ,3|，{}*∈-==N m m x x B ,13|，{}*∈-==N m m x x C ,23|，若,,B b A a ∈∈C c ∈，则下列结论中可能成立的是（▲） A 、c b a ++=2006 B 、abc =2006 C 、bc a +=2006 D 、)(2006c b a +=6、用“十四进制”表示数时，满十四进前一位。
若在“十四进制”中，把十四个数码从小到大依次记为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十，J ，Q ，K ；则在“十四进制”中的三位数JQK 化成“二进制”数时应为（▲）位数。
A 、13B 、12C 、11D 、107、设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f ,0,1)(，若)()(x g x xf ≤对于一切R x ∈都成立，则函数)(x g 可以是（▲）A 、x x g sin )(=B 、x x g =)(C 、2)(x x g =D 、xx g =)(8、如图，请观察杨辉三角（杨辉是我国南宋时期的数学家）中各数排列的特征,其中沿箭头所示的数依次组成一个锯齿形数列：1、1、2、3、3、6、4、10、5、……，设此数列的前n 项和为n S ,则2006200520042S S S +-等于（▲） A 、502501 B 、520502 C 、502503 D 、以上都不对二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛1. 明明和同学做游戏，用9条牙签，能摆出n等边三角形，则n的最大值为 ( c )A．3 B．4 C．5 D．62. 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至少可打（ B ）A．6折 B．7折 C．8折 D．9折3. 同学们购买的一副三角板里面会含有两种不同形状的三角形，那么利用这样一副三角板进行拼角，不可能拼出的角的度数为（ C ）A.75°B.120°C.145°D.165.°4. 某商场为了迎接元旦的到来，特意推出原价为a元的商品按9折出售，但是商家在活动前事先把所有的商品的标价提高了10%，这样一来，消费者去商场购买商品，购买价格与原价相比（ A ）A. 便宜了1% aB. 贵了1% aC.不贵也不便宜D.无法确定，与a有关5. 我们城市的道路上都有窨井盖存在，窨井盖通常都做成圆形，其主要原因是（ C ）A. 便于制作B. 便于安放C. 节省材料D. 美观6. 在手表6点至12点之间，时针和分针有几次呈现直角的位置（ B ）A. 10次B. 11次C. 12次D. 14次7. 小明和哥哥之间有这么一段对话.小明对哥哥说：等我长到你这么大年纪的时候，你就28岁了；哥哥也对小明说：我还是你这个年龄的时候，你才7岁。
根据以上对话，判断小明和哥哥今年分别几岁( D )A. 9 ,15B. 11 ,17C. 12 ,20D. 14 ,218. 有一次，一只猫抓了20只老鼠，排成一列，然后猫宣布它的决定，首先将站在奇数位上的老鼠吃掉，接着将剩下的老鼠重新按1,2,3,4,……编号，再吃掉所有站在奇数位上的老鼠，如此重复。
最后剩下的一只老鼠将被放生，一只聪明的老鼠听了，马上选了一个位置，最后剩下的果然是它，这只老鼠站的是第几个位置（ C ）A. 8B. 12C. 16D. 209. 如图，位于温州人民路AB段上有四处居民小区A、B、C、D，其中AC=CD=BD.现在要在AB段建一家超市，要求各居民区到超市的路程和最小，请你确定超市的位置在（ D ）A. C点B. 线段AB上的任意一点AC. 线段CD的中点D. 线段CD上的任意一点10. 贝贝、晶晶、欢欢三个人参加温州市的数学小论文比赛，他们是来自鹿城、永嘉、瑞安、的选手，并分别获得一、二、三等奖。
2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题范文
2011年温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷2011年4月10日本卷满分为150分，考试时间为120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．某同学使用计算器求50个数据的平均数时，错将其中的一个数据150输入为15，那么由此求出的平均值与实际平均值的差是（ ▲ ） A ．.72B ．.72-C ．3D ．0.3- 2．设集合12{|log (1)2}A x x =+>-，2{|21}x x B x -=<，则AB 等于（ ▲ ）A ．{|0,13}x x x <<<或B ．{|3}x x >C ．{|10,13}x x x -<<<<或D ．{|01}x x <<3．已知sin sin αβ=，则α与β的关系是（ ▲ ） A ．αβ=或απβ=- B ．2,k k Z απβ=+∈ C ．(21),k k Z απβ=+-∈D ．(1),k k k Z απβ=+-∈4．下列函数中在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的是（ ▲ ）A ．21log sin 62y x π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦B ．21log sin 262y x π⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦C ．yD ．3sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．若()()()()sin 50tan 50sin 50tan 50yxxy--︒︒-︒≤-︒则（ ▲ ）A ．0x y +≥B ．0x y -≥C ．0x y +≤D ．0x y -≤6．函数()ln |1|3f x x x =--+的零点个数为（ ▲ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．记O 为坐标原点，已知向量(3,2)OA =，(0,2)OB =-，又有点C ，满足52AC =，则ABC ∠2的取值范围为（ ▲ ）A ．06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ． 03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ． 02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ． 3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，68．已知k Z ∈，(2,2)AC =，(,2)AB k =，5AB ≤，则A B C ∆是直角三角形的概率是（ ▲ ）A ．19B ．29C ．18D ．149．设222221S x xy y x =++++，其中,x R y R ∈∈，则S 的最小值为（ ▲ ）A ．1B ． 1-C ．34-D ．010．点Q 在x 轴上，若存在过Q 的直线交函数2x y =的图象于,A B 两点，满足QA AB =，则称点Q 为“Ω点”，那么下列结论中正确的是 （ ▲ ）A ．x 轴上仅有有限个点是“Ω点”；B ．x 轴上所有的点都是“Ω点”；C ．x 轴上所有的点都不是“Ω点”；D ．x 轴上有无穷多个点（但不是所有的点）是“Ω点”．二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分．11．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现两个正面一个背面的概率是 ▲ ．12．如图执行右面的程序框图，那么输出的S 值为 ▲ ． 13．函数[sin ]()3x f x =的值域是 ▲ ．（其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数）14. 已知定义域为R 的函数()y f x =对任意x R ∈都满足条件 4f x f x -（）+（）=0与22f x f x +--（）（）=0，则对函数()y f x =，下列结论中必定正确的是 ▲ ．（填上所有正确结论的序号） ①()y f x =是奇函数； ②()y f x =是偶函数； ③()y f x =是周期函数； ④()y f x =的图象是轴对称的．15．若n 为整数，关于x 的方程2011(2011)()10x x n --+=有整数根，则n = ▲ ． 16．()y f x =是定义域为R 的函数，(1)5g x f x f x =++-（）（），若函数y g x =（）有且仅有4个不同的零点，则这4个零点之和为 ▲ ． 17．求值：sin 6sin 78sin 222sin 294︒+︒+︒+︒= ▲ ．(12题图)高一数学竞赛试卷第3页（共6页）2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛答题卷2011年4月10日本卷满分为150分，考试时间为120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．11．12．13．14．15．4高一数学竞赛试卷 第5页（共6页）16．17．三、解答题：本大题共3小题，共51分．18．（本题满分16分） 已知函数2()sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．⑴求()f x 的最小正周期和()f x 的值域；⑵若0x x =002x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，求0(2)f x 的值．619．（本题满分17分）设函数2()3f x x bx =+-，对于给定的实数b ，()f x 在区间[]2,2b b -+上有最大值()M b 和最小值()m b ，记()()()g b M b m b =-． ⑴求()g b 的解析式；⑵问b 为何值时，()g b 有最小值？并求出()g b 的最小值．高一数学竞赛试卷 第7页（共6页）20. （本题满分18分）定义在正实数集上的函数()f x 满足下列条件：①存在常数a ）（10<<a ，使得1)(=a f ；②对任意实数m , 当x R +∈时，有()()m f x mf x =． ⑴求证：对于任意正数,x y ，()()()f xy f x f y =+； ⑵证明：()f x 在正实数集上单调递减；⑶若不等式()()()28log 42log (4)3a a f x f x -+--≤恒成立，求实数a 的取值范围．。
2018 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷答案
f (x0 ) ax02 bx0 c 0 ，消去 a, c 得
0 ax02 bx0 c (1 b c)x02 bx0 c (1 b)x02 bx0 (1 x02 )c (1 b)x02 bx0 (1 x02 )
1
故b
4 ，即 b 5 ．
22
2
a 1
a 1
a2 6a 7
减， ( , 2) 递增，因为 f ( ) f (2)
0 ， f (2) f (a) ，所以要使
2
2
4
1
1
得 g(x) m 在 [2, 2] 上 有 6 个 互 不 相 同 的 解 ， 只 需 f (a) f (2) ， 解 得
2a 0
∴ 存 在 实 数 a (0,3 2 2) ， 使 得 f (x) 的 定 义 域 为 [m, n] ， 值 域 为
[1 loga n,1 loga m] ．
2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 2 页 共 2 页
p1
2p
12、（1） f (x) sin(2wx ) ，而周期T p ，所以 w 1，即
x 1
11、（1） b 1， f (x) loga
f (x) 的定义域为 (,1) (1,) ；
x 1
（2）假设存在实数 a ，使得 f (x) 的定义域为[m, n] ，值域为[1 loga n,1 loga m] ，
由 m n ，及1 loga n 1 loga m ，得 0 a 1，
∴ f (m) 1 loga m, f (n) 1 loga n ， ∴ m, n 是方程 f (x) 1 loga x 的两个根，
年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(含解析)新人教A版
年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题年4月16日本卷满分为150分，考试时间为120分钟题号 一 二 三总分 15 16 17 得分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 评卷人 答案1、设Ａ到Ｂ的映射f ：x →y=(x －1)2,若集合2,1,0=A ，则集合B 不可能．．．是（▲） A 、{}1,0 B 、{}2,1,0 C 、{}2,1,0- D 、{}1,1,0-2、若命题Ｐ：4)21(1<-x ；Ｑ：04log )1(<-x ，则命题⌝Ｐ是⌝Ｑ成立的（▲）条件Ａ、充分不必要 Ｂ、必要不充分 Ｃ、充要 Ｄ、既不充分也不必要 3、设a =-)2sin(π，则)22tan(-π的值为（▲）A 、21a a- B 、21aa-- C 、a a 21- D 、a a 21--4、将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形与一个圆形，则当它们的面积之积最大时，正方形与圆的周长之比为（▲）A 、1:1B 、4:πC 、π:4D 、π:2 5、设正整数集N *，已知集合{}*∈==Nm m x x A ,3|，{}*∈-==N m m x x B ,13|，{}*∈-==N m m x x C ,23|，若,,B b A a ∈∈C c ∈，则下列结论中可能成立的是（▲）A 、c b a ++=2006B 、abc =2006C 、bc a +=2006D 、)(2006c b a +=6、用“十四进制”表示数时，满十四进前一位。
若在“十四进制”中，把十四个数码从小到大依次记为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十，J ，Q ，K ；则在“十四进制”中的三位数JQK 化成“二进制”数时应为（▲）位数。
A 、13B 、12C 、11D 、107、设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f ,0,1)(，若)()(x g x xf ≤对于一切R x ∈都成立，则函数)(x g 可以是（▲）A 、x x g sin )(=B 、x x g =)(C 、2)(x x g = D 、xx g =)(8、如图，请观察杨辉三角（杨辉是我国南宋时期的数学家）中各数排列的特征,其中沿箭头所示的数依次组成一个锯齿形数列：1、1、2、3、3、6、4、10、5、……，设此数列的前n 项和为n S ,则2006200520042S S S +-等于（▲） A 、502501 B 、520502 C 、502503 D 、以上都不对二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。
2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题
∴ ……8分
设
∵
当 时， ，必有
当 时，∵
∴
……13分
（3）∵ ，∴
令： ，则
= ……18分
∴
……20分
多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6,
CC1=3.则这个多面体的体积为48.
【分析】从三视图看，顶点 已被截去，所以这个多面体如上图，其体积为
。
12．把一根长为7米的铁丝截下两段（也可以直接截成
两段），这两段的长度差不超过1米，分别以这两段为圆
的周长围成两个圆，则这两个圆的面积之和的最大值为
（1）求证：数列 是等比数列，并求数列
的通项公式；
（2）设数列 的各项为正，且满足
，
得分
评卷人
求证：
【解】（1）点列 …， 必在射线 ，∴ 为⊙ 的半径，
∵⊙ 与⊙ 外切，∴ ①
……3分
化简①式得： ，解得： 或 ，
∵ ，∴ ，∴数列 是等比数列，∵ ，则 ……5分
（2） ，而 ，∴ ，∴ ，∵ ，
（）
A． B． C． D．
8．使 为完全平方数的正整数 有（）
A．2个B．3个C．4个D．无数个
二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。
得分
评卷人
9．已知向量 满足 ，若 ，则 __________.
10．若数列 中任意连续三项和都为正数，任意连续四项和都为负数，则
项数 的最大值为.
11．如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去几个角后的
A．2B．4C．6D．8
2．设 为△ 的边 的中点， 为△ 内一点，且满足, ，则 （）
A. B. C. D.
3．在点O处测得远处质点P作匀速直线运动，开始位置在A点，一分钟后到达B点，再过一分钟到达C点，测得 ，则 （ ）
2007年温州市摇篮杯高一数学竞赛试题及标准答案
2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（2００7年4月１5日）１、已知集合{}|1,A x x x R =≠∈，A B R =,则集合B 不可能．．．是 ﻩ（ ） A 、{}|1,x x x R >-∈ Ｂ、{}|1,x x x R <-∈ C 、{}|1,x x x R ≠-∈D 、{}0,1 ２、已知sin36a ︒=，则sin108︒等于ﻩﻩ ( ）A 、3aB 、334a a -ﻩC 、334a a +D 、2-３、已知c b a ,,均为正数，且都不等于1,若实数z y x ,,满足0111,=++==zy x c b a zyx,则abc 的值等于 ﻩ( )A 、1B 、2Ｃ、3ﻩD 、44、将正整数中所有被7整除的数删去,剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则100a 等于ﻩﻩﻩ（ ） Ａ、114ﻩB 、1１5C 、１１６D 、117５、今有一组实验数据如下:最能近似地表达这些数据规律的函数模型是 ﻩ( ） A 、x y b a =•ﻩＢ、21y bx ax =++C 、2()y x x a b =-+ﻩﻩD 、sin()y A x B ωϕ=++6、已知函数()2f x x bx c =++,若方程()f x x =无实根，则ﻩﻩ（ ) A 、对一切实数x ，不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦都成立 Ｂ、对一切实数x ,不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦都成立C 、存在实数b 和c ,使得不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切实数x 都成立 Ｄ、不存在实数b 和c ，使得不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦对一切实数x 都成立 7、某流程如右图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是ﻩﻩ( ) A 、2()f x x =B 、()1sin f x x =+C 、()ln 26f x x x =+-D 、2()lg(1)f x x x =+8、已知点O 是ABC ∆所在平面内的一点，3260OA OB OC +-=且::5:4:3AB BC CA =，下列结论错误．．的是 （ ）A 、点O 在ABC ∆外;B 、::6:3:2AOB BOC COA S S S ∆∆∆=C 、点O 到,,AB BC CA 距离的比是72:45:40D 、,,,O A B C 四点共圆；二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。
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2010年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题2010年4月11日本卷满分为150分，考试时间为120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．设集合22{|1|},{|10|}A y y a a N B y y b b N ==+∈==+∈，则AB 中元素的个数为（ ▲ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．大于3个2．某次数学测试分为选择题与非选择题两部分，右边的散 点图中每个点(,)X Y 表示一位学生在这两部分的得分， 其中X 表示该生选择题得分，Y 表示该生非选择题得 分，设Z X Y =+表示该生的总分，现有11位学生的得 分数据，根据散点图，下列判断正确的是（ ▲ ） A ．X 的方差<Y 的方差 B ．X 的中位数>Y 的中位数C ．X 的众数<Y 的众数D ．Z 的中位数=X 的中位数+Y 的中位数3．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.13=，若0x 是方程[]8xx =的实数根，则（ ▲ ）A ．001x <<B ．012x <<C ．023x <<D ．034x <<4．已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点 的横坐标分别是2，4，8，则()f x 的单调递减区间是（ ▲ ）A ．[]6,63,k k k Z ππ+∈B ．[]63,6,k k k Z -∈C ．[]6,63,k k k Z +∈D ．[]63,6,k k k Z ππ-∈5．若映射{}{}:1,2,3,....1,2,3,....f →，满足：(1)(2)(3)....()f f f f n <<<<且(())3f f x x =， 那么(1)f 的值为（ ▲ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知四边形ABCD ，AC 是BD 的垂直平分线，垂足为E ，O 为直线BD 外一点．设向量 5OB =，3OD =，则()()OA OC OB OD +-的值是（ ▲ ） A ．8 B ．16 C ．8-D ．16-7．a 是一个常数，函数42421()1x ax f x x x ++=++的值域不可能．．．是（ ▲ ）A. {}1B. 1(2),13a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C. 11,(2)3a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D. 12,(2)3a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦8．若(0,)4πα∈，222log sin log cos log cos (cos ),(cos ),(sin )m n p αααααα===，则,,m n p 的大小关系为（ ▲ ）A ．m p n => B ．m p n =< C ．m p n >> D ．m n p >>9．求：cos1cos2cos3cos89...sin 46sin 47sin 48sin134++++= （ ▲ ） A ．892 B ．892 C ．902 D ．90210．若函数2()f x x ax b =++有两个不同的零点12,x x ，1234x x <<<,那么在(3),(4)f f 两个函数值中 （ ▲ ）A ．只有一个小于14B ．至少有一个小于14C ．都小于14D ．可能都大于14二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分。
11．已知集合{}|11A x x =-≤<，{}|0B x x a =->，若A B ⋂=∅,则实数a 的取值范围是 ▲ .12．设220()log 0x x f x xx -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则1(())2f f = ▲ . 13．如图执行右面的程序框图，那么输出的S 值为 ▲ . 14．在标有数字1,2,3...,10,11,12的12张大小相同的卡片中，依次取出不同的三张卡片它们的数字和恰好是3的倍 数的概率是 ▲ .15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量(1,2)OA =， (2,1)OB =-，若OP xOA yOB =+且12x y ≤≤≤，则点P所有可能的位置所构成的区域面积是 ▲ .16．某学生对函数()2cos f x x x =⋅的性质进行研究，得出如下的结论：①函数()f x 在[],0π-上单调递增，在[]0,π上单调递减； ②点,02π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图像的一个对称中心；③函数()y f x = 图像关于直线x π=对称；④存在常数0M >，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立．其中正确的结论是 ▲ . 17．已知数据12310,,,...,x x x x 的平均数为6，标准差为2，则数据125,,...,x x x 的平均数的取值范围是 ▲ .得分 评卷人三、解答题：本大题共3小题，共51分。
18．（本题满分15分） 已知向量9(sin ,1),(sin ,cos )8a xb x x ==-，设函数()f x a b =，[]0,x π∈（1）求()f x 的单调区间；（2）若()0f x =在区间[]0,π上有两个不同的根,αβ，求cos()αβ+的值.19．（本题满分16分）已知正实数,x y ，设a x y =+，b .（1）当1y =时，求ba的取值范围；（2）若以,a b 为三角形的两边，第三条边长为c 构成三角形，求2c xy的取值范围.20．（本题满分20分）设()f x 是定义在实数R 上的函数，()g x 是定义在正整数*N 上的函数，同时满足下列条件：（1）任意,x y R ∈，有()()()f x y f x f y +=，当0x <时，()1f x >且(1)f -= （2）(1)(0),(2)(2)g f g f ==-； （3）[][][](3)(1)(2)(2)()f n g n f g n f n g n +++=+，*n N ∈试求：（1）证明：任意,x y R ∈， x y ≠，都有()()0f x f y x y-<-；（2）是否存在正整数n ，使得()g n 是25的倍数，若存在，求出所有自然数n ；若不存在说明理由. （阶乘定义：!123...n n =⨯⨯⨯⨯）高一数学竞赛试卷 第1页（共6页）2009年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．B 解：22110,()()9913319a b a b a b +=++-==⨯=⨯=⨯，得：5,4;3,0a b a b ==== 共2组，选B2．B 解：根据图像可知X 中位数为40，Y 的中位数大概在34左右，选B 3．C 解：由0x 是方程[]8xx =的实数根，易得00x >令函数[]()xg x x =，则函数在()0,+∞上是增函数（不是严格增函数）当[]0x =时，则01x << ， ()1g x = ， 当[]1x =时，则12x ≤< ， 1()2g x ≤<， 当[]2x =时, 则23x ≤< ， 4()9g x ≤< , 当[]3x =时, 则34x ≤< ， 27()64g x ≤< , 选C4．B 解：相邻交点的中点的横坐标分别为3，6，则周期6T =，3πω=()sin()3f x A x πϕ∴=+，又(2)(4)0f f =>，∴当3x =时，()f x 取最大值，即 (3)sin()f A A πϕ=+=，2,2k k Z πϕπ=-+∈，3()sin()32f x A x ππ=+∴()f x 的单调递减区间为[63,6],k k k Z -∈ 选B 5．B 解：由((1))3f f =，可知1(1)3f ≤≤若(1)1f =，则((1))(1)1f f f ==，与((1))3f f =矛盾，不可能； 若(1)2f =，则((1))(2)3f f f ==若(1)3f =，则(2)4,(3)5f f ≥≥与3((1))(3)5f f f ==≥矛盾，不可能。
选B6．B 解：()()OA OC OB OD +- ()()OE EA OE EC OB OD =+++- 2()()OE OB OD EA EC DB =-++ ()()16OB OD OB OD =+-= 选B7．D 解：42242421(1)()111x ax a x f x x x x x ++-==+++++，2421013x x x ≤≤++ 当1a =时，()1f x =；当1a <时，1(2)()13a f x +≤≤当1a >时，11()(2)3f x a ≤≤+; 选D高一数学竞赛试卷 第2页（共6页）8．A 解：222log log cos log sin m αα=⋅，222log log cos log cos n αα=⋅222log log sin log cos p αα=⋅又由(0,)4πα∈，得0sin cos 1αα<<<，22log sin log cos 0αα<<222log log log m p n => ,m p n => 选A 9．A 解：cos cos cos((45)45)2245)sin(45)cos(45)cos(45)ααααααα-+===--+--∴cos1cos2cos3cos89...46sin 47sin 48sin134++++8944)tan(43)...tan 44)-+-++， 选A 另解：（利用诱导公式配对求和）0cos cos(90)cos sin sin(45)sin(135)sin(45)sin(45)αααααααα-+=++-++sin cos sin(45)ααα+=+cos1cos2cos3cos89...sin 46sin 47sin 48sin134++++cos1cos89cos44cos46cos4589()...()2sin 46sin134sin89sin91sin902=+++++= 10．B 解：（用特殊值来排除）令1103x =，2113x =，则21(3)(4)94f f ==<；令1103x =，272x =，则21(3)94f =<，11(4)34f =>．选B另解：设12()()()f x x x x x =--，则12(3)(3)(3)0f x x =-->，12(4)(4)(4)0f x x =-->1212(3)(4)(3)(3)(4)(4)f f x x x x =----1122(3)(4)(3)(4)x x x x =---- 22112234341()()2216x x x x -+--+-<=，所以，至少有一个小于14．选B二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分。