2010年温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷及答案

2010年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题

2010年4月11日

本卷满分为150分，考试时间为120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．设集合22{|1|},{|10|}A y y a a N B y y b b N ==+∈==+∈，则A

B 中元素的个数为（ ▲ ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．大于3个

2．某次数学测试分为选择题与非选择题两部分，右边的散 点图中每个点(,)X Y 表示一位学生在这两部分的得分， 其中X 表示该生选择题得分，Y 表示该生非选择题得 分，设Z X Y =+表示该生的总分，现有11位学生的得 分数据，根据散点图，下列判断正确的是（ ▲ ） A ．X 的方差Y 的中

位数

C ．X 的众数

D ．Z 的中位数=X 的中位数+Y 的中位数

3．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.13=，若0x 是方程[]8x

x =的实数根，则（ ▲ ）

A ．001x <<

B ．012x <<

C ．023x <<

D ．034x <<

4．已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点 的横坐标分别是2，4，8，则()f x 的单调递减区间是

（ ▲ ）

A ．[]6,63,k k k Z ππ+∈

B ．[]63,6,k k k Z -∈

C ．[]6,63,k k k Z +∈

D ．[]63,6,k k k Z ππ-∈

5．若映射{}{}:1,2,3,....1,2,3,....f →，满足：(1)(2)(3)....()f f f f n <<<<且(())3f f x x =， 那么(1)f 的值为

（ ▲ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6．已知四边形ABCD ，AC 是BD 的垂直平分线，垂足为E ，O 为直线BD 外一点．设向量 5OB =，3OD =，则()()OA OC OB OD +-的值是（ ▲ ） A ．8 B ．16 C ．8-

D ．16-

7．a 是一个常数，函数42421

()1

x ax f x x x ++=++的值域不可能．．．是

（ ▲ ）

A. {}1

B. 1(2),13a ⎡⎤

+⎢⎥⎣⎦

C. 11,(2)3a ⎡⎤

+⎢⎥⎣⎦

D. 12,(2)3a a ⎡⎤

-+⎢⎥⎣⎦

8．若(0,)4

π

α∈，222log sin log cos log cos (cos ),(cos ),(sin )m n p αααααα===，则,,m n p 的大小关系为

（ ▲ ）

A ．m p n =

> B ．m p n =< C ．m p n >> D ．m n p >>

9．求：

cos1cos2cos3cos89

...sin 46sin 47sin 48sin134++++

= （ ▲ ） A ．892 B ．892 C ．902 D ．902

10．若函数2()f x x ax b =++有两个不同的零点12,x x ，1234x x <<<,那么在(3),(4)f f 两个

函数值中 （ ▲ ）

A ．只有一个小于14

B ．至少有一个小于14

C ．都小于14

D ．可能都大于1

4

二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分。

11．已知集合{}|11A x x =-≤<，{}|0B x x a =->，若

A B ⋂=∅,则实数a 的取值范围是 ▲ .

12．设220()log 0x x f x x

x -⎧≤⎪

=⎨

>⎪⎩，则1

(())2

f f = ▲ . 13．如图执行右面的程序框图，那么输出的S 值为 ▲ . 14．在标有数字1,2,3...,10,11,12的12张大小相同的卡片中，

依次取出不同的三张卡片它们的数字和恰好是3的倍 数的概率是 ▲ .

15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，

设向量(1,2)OA =， (2,1)OB =-，若OP xOA yOB =+且12x y ≤≤≤，则点P

所有可能的位置所构成的区域面积是 ▲ .

16．某学生对函数()2cos f x x x =⋅的性质进行研究，得出如下的结论：

①函数()f x 在[],0π-上单调递增，在[]0,π上单调递减； ②点,02π⎛⎫

⎪⎝⎭

是函数()y f x =图像的一个对称中心；

③函数()y f x = 图像关于直线x π=对称；

④存在常数0M >，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立．其中正确的结论是 ▲ . 17．已知数据12310,,,...,x x x x 的平均数为6，标准差为2，则数据125,,...,x x x 的平均数的取值

范围是 ▲ .

得分 评卷人

三、解答题：本大题共3小题，共51分。

18．（本题满分15分） 已知向量9

(sin ,1),(sin ,cos )8

a x

b x x ==-，设函数()f x a b =，[]0,x π∈

（1）求()f x 的单调区间；

（2）若()0f x =在区间[]0,π上有两个不同的根,αβ，求cos()αβ+的值.

19．（本题满分16分）已知正实数,x y ，设a x y =+

，b .

（1）当1y =时，求b

a

的取值范围；

（2）若以,a b 为三角形的两边，第三条边长为c 构成三角形，求2

c xy

的取值范围.