2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(附答案)(16)

加试模拟训练题（16）

1、已知圆心分别为12,O O 的圆12,ωω外切于点D ，并内切于圆ω，切点分别为,E F ，过点D 作12,ωω的公切线。设圆ω的直径AB 垂直于，使得1,,A E O 在的同侧，证明

12,,AO BO EF 三线交于一点。

（第47届IMO 预选题）

2、已知+∈R c b a ,,,且1≤abc ,求证:≥+++++b

a c a c

b

c b a )(2c b a ++

3、给定四个数a 、b 、c 、d ，按下列法则进行变换：前一个乘后一个，第四个乘第一个，得到一组新数ab 、bc 、cd 、da ．从这组新数出发，再按上述法则又得到一组新数，如此下去．证明：除a ＝b ＝c ＝d ＝1或0的特殊情况外，不会再出现原来的四个数．

4．若}100,,2,1{ n 且n 是其各位数字和的倍数，这样的n 有多少个？

加试模拟训练题（16）

1、已知圆心分别为12,O O 的圆12,ωω外切于点D ，并内切于圆ω，切点分别为,E F ，过点D 作12,ωω的公切线。设圆ω的直径AB 垂直于，使得1,,A E O 在的同侧，证明

12,,AO BO EF 三线交于一点。

（第47届IMO 预选题）

证明 设AB 的中点为O ，E 为圆ω与圆1ω的位似中心，由于半径1,OB O D 分别垂直于，所以OB ∥1O D ，且有,,E D B 三点共线。同理,,F D A 三点共线。

设,AE BF 交于点C ，由于,AF BC BE AC ⊥⊥，所以D 是ABC ∆的垂心，于是CD AB ⊥，这表明C 在直线上。

设EF 与直线交于点P ，下面证明点P 在直线1AO 上。设AC 与圆1ω的第二个交点为N ，则ND 是圆1ω的直径，由梅涅劳斯定理的逆定理，要证1,,A O P 三点共线，只要证111NO CA DP AN O D PC =。因为11NO O D =，所以只要证CA CP AN PD =。设与AB 交于点K ，则CA CK AN KD =，从而只要证CP CK PD KD

=，即证,,,C P D K 是调和点列。连AP 交BC 于点X ，则,,,C X F B 是调和点列，因此有,,,C P D K 是调和点列。

2、已知+∈R c b a ,,,且1≤abc ,求证:≥+++++b

a c a c

b

c b a )(2c b a ++ 证明:为书写简便,首先令333,,c z b y a x ===;

则原不等式可化为:≥+++++33

3333333y

x z x z y z y x )(2333z y x ++ 结合条件1≤xyz 知只需证齐次不等式:

≥+++++333333333y x z x z y z y x xyz

z y x )(2333++. 因为333333333y x z x z y z y x +++++=3111)(333333-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++z y x

z y x 313)(333-⋅++≥xyz z y x 3)]()(2[1333333-+++++=z y x z y x xyz 3]3)(2[1333-+++≥xyz z y x xyz =xyz

z y x )(2333++.所以原不等式得证. 3、给定四个数a 、b 、c 、d ，按下列法则进行变换：前一个乘后一个，第四个乘第一个，得到一组新数ab 、bc 、cd 、da ．从这组新数出发，再按上述法则又得到一组新数，如此下去．证明：除a ＝b ＝c ＝d ＝1或0的特殊情况外，不会再出现原来的四个数．

【证】:设在变换n 次后又出现原来4个数a 、b 、c 、d ．因为一次变换后4数之积为(abcd)2，…，第n 次变换后4数之积为(abcd)2n ，所以abcd ＝1或0．

若a 、b 、c 、d 中有一个为0，则易知两次变换后，所得数均为0．

设abcd ＝1，则三次变换后所得的数A ＝a 2b 2，B ＝b 2c 2，C ＝c 2d 2，D ＝d 2a 2都是正数，且满足AC ＝BD ＝1．

不妨设A 最大，经2n 次变换后，最大数为A 2n ．

由于经若干次变换后，A 、B 、C 、D 又重新出现，所以必有A ＝1，从而B ＝C ＝D ＝1．由此易知a ＝b ＝c ＝d ＝1．

4．若}100,,2,1{ ∈n 且n 是其各位数字和的倍数，这样的n 有多少个？解：（1）若n 为个位数字时，显然适合，这种情况共有9种；

（2）若n 为100时，也适合；

（3）若n 为二位数时，不妨设ab n =，则b a n +=10，由题意得)10(|)(b b a ++ 即

Z b a b a ∈++10即Z b

a a ∈+9也就是a

b a 9|)(+； 若0=b 显然适合，此种情况共有9种； 若0≠b ，则由a b a >+，故)(|3b a +

若9|)(b a +，则显然可以，此时共有2＋8＝10个；

若（b a +）9，则6=+b a 或12=+b a ，这样的数共有24,42,48,84共4个； 综上所述，共有9＋1＋9＋10＋4＝33个。