高中数学 苏教版必修一 函数的表示方法(一)

缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值．
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例 1 购买某种饮料 x 听，所需钱数为 y 元．若每听 2 元，试分
别用解析法、列表法、图象法将 y 表示成 x(x∈{1,2,3,4})的函
数，并指出该函数的值域．
解 (1)解析法：y＝2x，x∈{1,2,3,4}．
年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999
本
人口数/百万 542 603 672 705 807 909 975 1 035 1 107 1 177 1 246
课 时
答 能构成函数关系，因为这两组数据构成两个数集，对于年
栏 目
份数据构成的集合中的每一个元素在另一个集合中都有唯一的
则有kkb2＝＋4b＝－1 ⇒k2＝ b＋2b＝－1
目 开 关
或k－＝2－ b＋2 b＝－1
k＝2 ⇒b＝－13
或kb＝ ＝－ 1. 2，
∴f(x)＝2x－13或 f(x)＝－2x＋1.
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求函数的解析式的关键是理解对应法则 f 的本质与特点(对应法
是相应时刻的气温．
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问题 5 时刻 t0 与气温 θ 构成的关系是函数关系吗？为什么？ 答 是函数关系，因为由时刻及气温构成的集合是两个数集， 并且对于每一个时刻都有唯一的气温与之对应，符合函数的 概念．
本
课 小结 这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图
课 时
(2)用列表法表示函数关系．优点：对于表中自变量的每一个
栏 值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便；
目
开 缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而
关
且从表中看不出变量间的对应规律．
(3)用图象法表示函数关系．优点：形象直观．可以形象地反应
出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化；
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探究点二 换元法求函数的解析式 问题 已知函数 f(g(x))的解析式求 f(x)的解析式通常用什么方法？
答 通常用换元法．即令 g(x)＝t，反解出 x，然后代入 f(g(x)) 中求出 f(t)，即求出了 f(x)．
本 课 时 栏 目 开 关
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2.1.2 函数的表示方法(一)
【学习要求】
1．了解函数的三种表示法的各自优点，掌握用三种不同形式表
本
示函数；
课 时
2．提高在不同情境中用不同形式表示函数的能力．
栏 目
【学法指导】
开 关
学习函数的表示形式，不仅是为了研究函数的性质和应用的需
要，而且是为加深对函数概念的理解，以便使我们感受到学习
课
时 小结 这种用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为
栏
目 解析法．
开 关
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问题 4 下图为某市一天 24 小时的气温变化图．给你一天中任意 时刻 t0，你能找出相应时刻的气温 θ 吗？如何找？
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本
课
时
栏
目
开 关
答 能够找出．作直线 t＝t0，直线 t＝t0 与图象交点的纵坐标就
∴f(x)＝ax2＋bx.
本 又 f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
课 时
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.
栏 即：ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1.
目 开 关
故 2a＋b＝b＋1 且 a＋b＝1，解得 a＝12，b＝12，
∴f(x)＝12x2＋12x.
练一练•当堂检测、目标达成落实处
时 栏
么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？
目
开
关
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探究点一 函数的表示方法 问题 1 在初中学习的函数有哪几种常用的表示法？
答 列表法、解析法、图象法．
本 课 时 栏 目 开 关
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问题 2 估计人口数量变化趋势是我国制定一系列相关政策的依 据．从人口统计年鉴中可以查得我国从 1949 年至 1999 年人口数 据资料如表所示．表中的两组数据能构成函数关系吗？为什么？
函数表示的必要性，能根据不同的需要选择恰当的方法表示函
数，从而提高分析问题与解决问题的能力.
填一填·知识要点、记下疑难点
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1．列表法：用___列__表___来表示两个变量之间函数关系的方法称为
列表法．
本 2．用__等__式____来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法．
课 时
本 能用解析法表示的一般也能用另两种方法表示，能用列表法或
课 时
图象法表示的不一定能用解析法表示，也就是说有些函数的关
栏 目
系找不到一个等式来表示．
开
关
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跟踪训练 1 某种笔记本的单价是 5 元，买 x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记
本需要 y 元．试用函数的三种表示法表示函数 y＝f(x)．
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1．如果二次函数 f(x)＝(x－a)2＋b 的图象关于直线 x＝1 对称，
且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为_f_(_x_)＝__(_x_－__1)_2_－__1_．
本 课
解析 由二次函数 f(x)＝(x－a)2＋b 的图象关于直线 x＝1 对称，
时 栏
得解析式为 y＝(x－1)2＋b；又图象过点(0,0)，则 0＝(0－1)2＋b，
例 2 已知 f(x2－1)＝x4－x2＋1，求 f(x)． 解 因为 f(x2－1)＝x4－x2＋1＝(x2－1)2＋(x2－1)＋1， 所以 f(x)＝x2＋x＋1(x≥－1)． 小结 此法是把所给函数的解析式，通过配方、凑项等方法
本
课 使之变形为关于“自变量”的表示式，然后以 x 代替“自变
时
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
时
栏 象法．
目 开 关
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问题 6 你能比较出三种函数的表示方法的优缺点吗？ 答 (1)用解析法表示函数关系．优点：简捷明了．能从解析 式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合于进行
理论分析和推导计算；缺点：在求对应值时，有时要做较复
本 杂的计算．
本 (2)列表法：
课 时
x/听
1234
栏 目
y/元
2468
开 (3)图象法：
关 图象由点(1,2)，(2,4)，(3,6)，(4,8)组成，函数的值域是{2,4,6,8}．
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小结 本例题的两个变量之间的函数关系用解析法、列表法、
图象法都能表示，但并不是所有的函数都能用三种方法表示，
开 关
一个值与之对应．
小结 这种用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列
表法．
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问题 3 一物体从静止开始下落，下落的距离 y(m)与下落时间 x(s)之间近似地满足关系式 y＝4.9x2.这个关系式是否为函数关 系？为什么？
答 是函数关系，因为对任意一个物体下落时间 x，通过这 本 个关系式都能计算出唯一的下落距离 y 的值．
解 这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}．用解析法可将函数
y＝f(x)表示为 y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．
本 课
用列表法可将函数 y＝f(x)表示为：
时 栏
笔记本数 x
12 3
4
5
目 开
钱数 y
5 10 15 20 25
关 用图象法可将函数 y＝f(x)表示为下图：
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栏 量”，即得所求函数解析式．
目 开 关
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跟踪训练 2 已知 f( x－1)＝3－x，求 f(x)的解析式． 解 令 x－1＝t，则 t≥0，且 x＝t2＋1， 所以 f(t)＝3－(t2＋1)＝2－t2，
本 即 f(x)＝2－x2(x≥0)．
课 时 栏 目 开 关
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小结 我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析
式，设法求出其系数即可得到结果．类似的已知 f(x)为一次函数时，
本 可设 f(x)＝ax＋b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设 f(x)＝kx(k≠0)；
课 时
f(x)为二次函数时，根据条件可设①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
本 课 时 栏 目 开 关
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3．已知 f(x)是一次函数，且 f[f(x)]＝4x－1，求 f(x)的解析式．
解 设 f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则 f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b
＝k2x＋kb＋b＝4x－1，
本 课 时 栏
数图象关于直线 x＝2 对称，
本 课 时
∴－2ba＝2，即 b＝－4a
①
栏 目
又图象过点(0,3)，∴c＝3
②
开 关
由方程 f(x)＝0 的两实根平方和为 10，即 x21＋x22＝(x1＋x2)2
－2x1x2＝10.
即 b2－2ac＝10a2
③
由①②③解得 a＝1，b＝－4，c＝3.∴f(x)＝x2－4x＋3.
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探究点三 待定系数法求函数解析式
问题 1 若已知函数的类型，求函数的解析式通常用什么方法？
答 若已知函数的类型，可用待定系数法求解．
本 问题 2 用待定系数法求函数解析式的一般思路是怎样的？
课 时
答 由函数类型设出函数解析式，再根据条件列出方程(或方程
则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示
本 课
无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方
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时 栏
法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．
目
开
关
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
栏 目
②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，③双根式：f(x)＝a(x－x1)(x－
开 关
x2)(a≠0)．
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跟踪训练 3 已知 f(x)是二次函数，若 f(0)＝0，且 f(x＋1)＝f(x)＋x＋
1，求函数 f(x)的解析式．
解 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由 f(0)＝0 知 c＝0.
3．用__图__象____表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法．
栏
目
开
关
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[问题情境] 语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又
有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”
本 课
用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday! …， 那
栏 组)，通过解方程(组)求出待定的系数，进而求出函数解析式．
目
开
关
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例 3 设二次函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(2－x)，且 f(x)＝0 的两实根平 方和为 10，图象过点(0,3)，求 f(x)的解析式．
解 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由 f(x＋2)＝f(2－x)可知，该函
目 所以 b＝－1，所以解析式为 f(x)＝(x－1)2－1.
开
关
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2．已知 f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则 g(x)＝____2_x_－__1______.
解析 由已知得：g(x＋2)＝2x＋3，令 t＝x＋2，则 x＝t－2，代 入 g(x＋2)＝2x＋3，则有 g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1. 所以 g(x)＝2x－1.