理论力学 第八章课件
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理论力学 第八章
x o ' = x o ' (t ) 牵连运动方程 y o ' = y o ' ( t ) = ( t )
动系与定系之间的坐标变换关系
x = xO′ + x′ cos y′sin y = yO′ + x′ sin + y′ cos
沿半径为r的圆 例8-1 点M相对于动系 Ox′y′ 沿半径为 的圆 相对于动系 周以速度v作匀速圆周运动 圆心为O 作匀速圆周运动(圆心为 周以速度 作匀速圆周运动 圆心为 1 ） ，动系x′y′ O Oxy 以匀角速度ω绕点 作定轴转动， 相对于定系 以匀角速度 绕点O作定轴转动， 绕点 作定轴转动 如图所示。 重合， 重合。 如图所示。初始时x′y′ 与 与 重合 O Oxy 重合，点M与O重合。 的绝对运动方程。 求：点M的绝对运动方程。 的绝对运动方程
. 已知: 已知 ω, OA, = r, OO1 = l, OA水平 求: ω1 = ?
解:
1．动点：滑块A ． 动系：摇杆AB 2. 运动分析 绝对运动:绕O点的圆周运动
相对运动:沿O1B的直线运动 牵连运动:绕O1轴定轴转动
√ √ √
3.
ve = va sin = ωr
r
2 2
l +r ve r2ω ∴ω1 = = 2 2 O A l +r 1
4. 绝对运动方程 vt vt x = x′ cos y′ sin = r1 cos r cosωt r sin r sin ωt y = x′ sin + y′ cos = r1 cos vt sin ωt + r sin vt co-3 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖 M沿水平轴 作往复运动，如图所示。设oxy为定坐 沿水平轴x作往复运动 沿水平轴 作往复运动，如图所示。 为定坐 标系，刀尖的运动方程为 x = bsin (ωt ) 。工件以 标系， 逆时针转向转动。 等角速度 ω逆时针转向转动。 求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。 车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
理论力学第八章虚位移原理课件
只滚不滑？
教材：
若轮子又滚又滑，则滑动中轮与 支承面相互的动滑动摩擦力的元 功有：
δW Fdds fd FNds
ds vI dt
δW Fdds fd FNvI dt
10
>> 力的功
8.1.5 几种常见力的功 5、摩擦力的功
轮滚动时，滚动摩阻力 偶也作功，设最大滚动摩阻 力偶矩为Mr,max，滚过的圆
δW Fxdx Fydy Fzdz
2015/10/27
教材：
2
>> 力的功
8.1.2 变力在质点任意曲线路程中的功 2、变力在质点全路程上所作的功
W M2 F dr M2 F tds
M1
M1
W
M2 M1
(
Fxdx
Fy
dy
Fzdz
)
2015/10/27
教材：
3
>> 力的功
8.1.3 合力的功
教材：
17
>> 虚位移的概念与分析方法
8.2 虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分析方法
1．几何法
在完整定常约束条件下，微小的实位移是虚位移之一。 因此，可以用质点间实位移的关系来给出质点间虚位移的关 系。
由运动学知，质点无限小实位移与该点的速度正成比， ，所以可用分析速度的方法来建立质点间虚位移的关系。
教材：
24
>> 虚位移的概念与分析方法
8.2 虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分析方法
2．解析法
xA l sin
yA xB
l cos l sin
l
s in
yB l cos l cos
δxA
教材：
若轮子又滚又滑，则滑动中轮与 支承面相互的动滑动摩擦力的元 功有：
δW Fdds fd FNds
ds vI dt
δW Fdds fd FNvI dt
10
>> 力的功
8.1.5 几种常见力的功 5、摩擦力的功
轮滚动时，滚动摩阻力 偶也作功，设最大滚动摩阻 力偶矩为Mr,max，滚过的圆
δW Fxdx Fydy Fzdz
2015/10/27
教材：
2
>> 力的功
8.1.2 变力在质点任意曲线路程中的功 2、变力在质点全路程上所作的功
W M2 F dr M2 F tds
M1
M1
W
M2 M1
(
Fxdx
Fy
dy
Fzdz
)
2015/10/27
教材：
3
>> 力的功
8.1.3 合力的功
教材：
17
>> 虚位移的概念与分析方法
8.2 虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分析方法
1．几何法
在完整定常约束条件下，微小的实位移是虚位移之一。 因此，可以用质点间实位移的关系来给出质点间虚位移的关 系。
由运动学知，质点无限小实位移与该点的速度正成比， ，所以可用分析速度的方法来建立质点间虚位移的关系。
教材：
24
>> 虚位移的概念与分析方法
8.2 虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分析方法
2．解析法
xA l sin
yA xB
l cos l sin
l
s in
yB l cos l cos
δxA
08-理论力学-第二部分运动学第八章刚体的平面运动
形S在该瞬时的位置也就确定了。
88
运动学/刚体的平面运动
四、平面运动的分解 ——平移和转动
当图形Ｓ上Ａ点不动时，则
刚体作定轴转动 。
当图形Ｓ上 角不变时，
则刚体作平移。
故刚体平面运动可以看成是 平移和转动的合成运动。
例如：车轮的平面运动可以看成: 车轮随同车厢的平移 和相对车厢的转动的合成。
99
2121
如图示平面图形，某瞬时速度瞬心为P点， 该瞬时平面图形内任一点B速度大小
vB vP vBP vBP
B
大小：vB BP
方向：BP，指向与 转向相一致。
vB
S
vA
C
vC
同理:vA=ω·AP, vC=ω·CP
由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心 位置和角速度 ，就可求出该瞬时图形上各点的速度。
的平面Ⅱ内的运动。
66
运动学/刚体的平面运动
二、平面运动的简化 刚体的平面运动可以简化为
平面图形S在其自身平面内的运动。 即在研究平面运动时，不需考虑 刚体的形状和尺寸，只需研究平 面图形的运动，确定平面图形上 各点的速度和加速度。
三、平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的
平面图形的位置，我们只需确定平 面图形内任意一条线段的位置。
vBA
s
B
vB vA
A
vA
方向： AB, 指向与 转向一致。
即：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随
平面图形绕基点转动的速度的矢量和。 ——基点法
基点法是求解平面图形内一点速度的基本方法。 1414
运动学/刚体的平面运动
二、速度投影法
由于A, B点是任意的，因此
3理论力学 第八章点的合成运动解析
? ? tg ?1 v?
v平
[例8-2] 曲柄摆杆机构
φ
已知：OA= r , ? , OO1=l 图示瞬时OA? O
求：摆杆O1B角速度? 1
解：取套筒A点为动点，摆杆O1B为动系.基座为静系。
绝对速度va = r ?
相对速度vr = ?
方向? OA 方向//O1B
牵连速度ve = ?
方向? O1B
由速度合成定理 va ? vr ? ve 作出速度平行四边形 如图示。
r
ve ? va sin? ? r? ?
r2? l2
又?ve ? O1 A?? 1,
? ? 1 ? Ov1eA?
1? r 2 ?l2
r 2?
r2?
l2
?
r
r 2?
2 ? l2
（
）
[例8-3]圆盘凸轮机构
已知：OC＝e , R ? 3e , ? （匀角速度）
vr
va
A veva
B
aa
ar
va
A
Baen
ae?
练习三
解:
A
?
?
o
B
A
? ?
o
ve ? OB??
va
B
vr
动系:OA杆； 动点:滑块B
A
? ?
arn
o
aen ? OB?? 2
ar?
B
aa
a?e ? OB??
[例8-1] 桥式吊车。 已知：小 车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v? 。求物块A的运 行速度。
一、实例 : M点运动
地面: 摆线， 车箱: 圆。
二、复合运动的一般模型
理论力学哈工大第七版第8章精品
C
一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地存在一 个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。
2.平面图形内各点的速度分布
基点：C
vM vMC CM
平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速 度中心转动的速度。
3.速度瞬心的确定方法
已知 vA , vB的方向，
且
vA不平行于
0
vB 0
90
vB vA r, vBA 0
例8-4 已知：如图所示的行星轮系中，大齿轮Ⅰ固定，半
径为r1 ，行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动，半径为r2。
系杆OA角速度为 O 。
求：轮Ⅱ的角速度ωⅡ及其上B，C 两点的速度。
解: 1.轮Ⅱ作平面运动 基点：A
2.vD vA vDA 0
第八章 刚体的平面运动
§ 8-1 刚体平面运动的概述和运动分解
1.平面运动
刚体平面运动：行星齿轮
刚体平面运动：车轮运动情况
在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相 等的距离，这种运动称为平面运动。
平面运动
平面图形的运动
刚体平面运动的简化
2.运动方程
xO f1 t
yO
方向垂直于 AB ，指向同
平面图形内任一点的速度等于基点的速 度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
例8-1 已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示，AB=l。
求：B端的速度以及尺AB的角速度。
解： 1. AB作平面运动
2. vB vA vBA 大小 ？ vA ? 方向
f2 t
f3 t
《理论力学》第八章刚体的平面运动
刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有 连续性，即刚体上任 意一点的运动轨迹都 是连续的。
刚体的平面运动具有 周期性，即刚体的运 动轨迹可以是周期性 的。
刚体的平面运动具有 对称性，即刚体的运 动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例 如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能 转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在 纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位 于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任 意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个固定的圆 周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个变化的圆 周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的 减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。
理论力学8
摇杆绕固定轴O1来回摆动。设曲柄长OA=r，两轴间距离OO1 l
求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相
对摇杆O1B的相对速度。
运动学/点的合成运动
解：
选取动点： OA 上的A点 动系： O1B 定系： 基座
运 绝对运动：圆周运动 动 分 相对运动：直线运动 析 牵连运动：定轴转动 ：
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上
的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和
研究物体的运动。下面先看几个例子。
沿直线轨道纯滚动 的圆轮，研究轮缘上A 点的运动，对于地面上 的观察者，是旋轮线轨 迹，对站在轮心上的观 察者是圆。
A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。
运动学/点的合成运动
MM MM1 M1M 将上式两边同时除以t并取 t0得
lim MM lim MM1 t 0 t t 0 t
lim
M1M
t 0 t
va ve vr
即：在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速
度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。
运动学/点的合成运动
例如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小球M
以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。 将动坐标系固结在OB管上，以小球M为动点。随着动 点M的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。 设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置，则动点的 牵连速度分别为
ve1 OM1
运动学/点的合成运动
第八章
点的合成运动
在前两章中研究点和刚体的运动时，认为地球（ 参考体）固定不动,将坐标系（参考系）固连于地面。 因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。
求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相
对摇杆O1B的相对速度。
运动学/点的合成运动
解：
选取动点： OA 上的A点 动系： O1B 定系： 基座
运 绝对运动：圆周运动 动 分 相对运动：直线运动 析 牵连运动：定轴转动 ：
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上
的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和
研究物体的运动。下面先看几个例子。
沿直线轨道纯滚动 的圆轮，研究轮缘上A 点的运动，对于地面上 的观察者，是旋轮线轨 迹，对站在轮心上的观 察者是圆。
A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。
运动学/点的合成运动
MM MM1 M1M 将上式两边同时除以t并取 t0得
lim MM lim MM1 t 0 t t 0 t
lim
M1M
t 0 t
va ve vr
即：在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速
度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。
运动学/点的合成运动
例如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小球M
以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。 将动坐标系固结在OB管上，以小球M为动点。随着动 点M的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。 设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置，则动点的 牵连速度分别为
ve1 OM1
运动学/点的合成运动
第八章
点的合成运动
在前两章中研究点和刚体的运动时，认为地球（ 参考体）固定不动,将坐标系（参考系）固连于地面。 因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。
理论力学第八章
？
几个有意义的实际问题
偏心转子 为什么要 固定，如 果不固定 会怎样
几个有意义的实际问题
偏心转子 电动机工作 时为什么会 左右运动；
这种运动有 什么规律； 会不会上 下跳动； 利弊得失。
？
几个有意义的实际问题
偏心转子 没有跳起 时，质心 运动情况
几个有意义的实际问题
偏心转子 有跳起时， 质心运动 情况
工程实际中的动力学问题
v1
F
v2
棒球在被球棒 击打后，其速度 的大小和方向发 生了变化。如果 已知这种变化即 可确定球与棒的 相互作用力。
工程实际中的动力学问题
载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A
工程实际中的动力学问题
航空航天器 的姿态控制
工程实际中的动力学问题
高速列车的振动问题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
工程实际中的动力学问题
1. 直角坐标系投影式
z
ma F
O x
M
r z y
a
y
x
v
F
d r m 2 dt
2
F
直角坐标形式
d2x m 2 Fx ma x m x dt d2y m 2 Fy ma y m y dt d 2z m 2 Fz ma z m z dt
牛顿及其在力学发展中的贡献
牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。 在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了， 他不得不靠他的外祖母养大。
1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年获文 学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数学和光 学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，学校暂 时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二项式定律， 开始了光学中的颜色实验，即白光由7种色光构成的实 验，而且由于一次躺在树下看到苹果落地开始思索地心 引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇家学会的会员，这 是当时英国最高科学荣誉。
理论力学哈工大第七版第8章
动能和守恒
动能
通过动能的概念，我们可以 明确物体在运动中所具有的 能量。
势能
势能是指物体在某一位置上 存储的能量，常用于分析引 力场和弹性力场。
动能守恒定理
动能守恒定理可以方便地分 析物理系统的动态过程，并 预测它的相对变化。
中心力场和二体问题
中心力场
中心力场的研究对于物理学家来 说是一个非常重要的课题。我们 将会讨论它的基本概念和如何计 算。
符号
m L t
量纲
[M] [L] [T]
单位
kg m s
力学题目课与习题
题目课
题目课设定了一部分难度适宜且涵盖了重点难点的例题。可以帮助学生深入理解物理学的核 心知识。
习题
习题是结合教学实际编写的设计，内容齐全，涵盖了力学的基础知识，具有很强的启发性和 实际应用性。
学习力学的知识有助于解 决各种实际问题和工程项 目。
本章的学习深入挖掘了物 理学的知识，使我们进一 步认识和探索这个领域。
维度和量纲
维度
维度是指物理量的基本种类。力学的基本维度是质 量、长度和时间。
量纲
量纲是指物理量所具有的简化属性描述，通常用方 括号来表示。
牛顿万有引力定律的前置知识
物理量
质量 长度 时间
探索理论力学第七版第8 章
在本章中，我们将探讨关于牛顿定律、动能和守恒、二体问题等的基础概念， 深入研究纯理论的力学。
牛顿定律
1
牛顿第一定律
物体将保持静止或匀速直线运动，除非有外力作用于它。
2
牛顿第二定律
物体的加速度与施加在它上面的力成正比，与它的质量成反比。
3
牛顿第三定律
任何两个物体之间都会有相等且反向的反作用力。
理论力学课件第8章2
w
A
vA
Part C 速度瞬心
定义
点 I :瞬心 点 M : 刚体上的任意一点
M
v M MI w
注意：
I
vM
1 不同瞬时，瞬心的位置是不同的。
2 虽然速度瞬心的速度等于零，但并 不代表速度瞬心的加速度也等于零。
w
一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地存在一 个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。
Part A 平面运动概述和分解
1. 平面运动的概述 在工程问题中，经常可以遇到这样一类问题，运动刚体上的 每一个点距离一个固定平面保持恒定的距离。 这类问题，刚体上每个点的运动轨迹和这个固定平面都保持 平行，这样的刚体的运动被称为”平面运动”.
y'
y
刚体的平面运动可以通过刚 体向固定平面投影得到的平 面图形的运动来加以描述。
O y
B
x 绕 B点的定轴转动
B
j1
A
平移
2
Part A 平面运动概述和分解
2. 平面运动的分解
y'
y'
y
B
B
B
j1
A A
x'
j
xA yA O x A
x'
点 A:基点
固连在基点上的动参考系的平移 + 绕基点的定轴转动
平面运动
Part A 平面运动概述和分解
2. 平面运动的分解
速度瞬心的位置
6)若轮子沿着固定的轨道只滚 不滑，那么轮子和轨道接触 点在瞬时处于静止，因此该 点即为此瞬时的速度瞬心。
w
vA
A
vB
B
I
Part C 速度瞬心
哈尔滨工业大学理论力学第八章
3、速度瞬心的确定方法
(1)无滑动的滚动 瞬心：接触点
每一瞬时相应有一瞬心，不同瞬时，瞬心位置不同。 (2)已知：vA,vB 的方向，且vA不平行于 vB 。 瞬心：速度垂线交点
(3)已知：vA，vB 的方向，且vA平行于 vB 。
(a) 同向
(b) 反向
C
瞬心：速度矢量末端连线与AB交点
(a)
解: 1、A 点速度由系杆转动求得
vA O OA O (r1 r2 )
2、轮Ⅱ作平面运动 基点：A
基点A的速度已求出，但轮Ⅱ作平面 运动的角速度未知，待求。
3、vD vA vDA 0
(接触处滚而不滑)
vDA vA O (r1 r2 )
Ⅱ
vDA DA
解：1 、 BD作平面运动 基点：B
2、 vD vB vDB
大小 ？ l ?
方向
vD vDB vB l
DE
vD DE
vB l
5rad
s
BD
vDB BD
vB l
5rad
s
已知：AB BD DE l 300mm, BD // AE, AB 5rad s。 求：DE，vC
2、平面图形内各点的速度分布
基点：选取速度为零的点C 为基点
vA vC vAC CA vB vBC CB vD vDC CD
平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心 转动的速度。
与图形绕定轴转动时的速度分布情况类似。图(b)
每一瞬时相应有一瞬心，不同瞬时，瞬心位置不同。 若已知某一瞬时的速度瞬心位置和角速度，则在该瞬时， 任一点的速度都可以完全确定。
理论力学课件 第8章PPT精品文档52页
▪ 1. 点的速度合成的矢量法 ▪ 动点沿曲线轨道AB运动，轨道对于固定坐
标Oxy发生运动。 ▪ 动点沿AB的运动为相对运动。 ▪ 在静坐标上观察到的动点运动为绝对运动。
▪ t 时刻，动点在轨道AB的M1点。t+△t，轨
道运动到A’B’，动点运动到A’B’的M’2。 ▪ M1 M’2是绝对位移。 ▪ M1 M2是相对位移。 ▪ M1 M’1是动点在M处的牵连位移。
▪ 站在地面观察到动 点（滑块）的速度 为绝对速度：
va=rω
▪ 相对速度：滑块对于 摇杆的速度
▪ 站在动系（摇杆AB) 看到动点（滑块）沿 着AB运动，其相对速
度为vr，方向沿AB方
向。
▪ 牵连速度：牵连速度 是摇杆上与滑块重合 的点A’的速度，
▪ ve=O1Aω1,
▪ 速度合成：
▪va=ve+ vr ， ▪ 未知：ve的大小，
va ve vr
▪ 例8-1 曲柄OA的O为固 定铰接。A端与滑块铰 接。滑块则可以在摇杆 O1B上滑动。摇杆的O1 端与地面铰接。已知 OA=r，O1O=l，曲柄 OA的角速度为ω，求曲 柄在水平位置时摇杆的 角速度ω1 。
▪ 解：AB为动系。 滑块为动点。
▪ 绝对速度：滑块对 于地面的速度。
▪ §8-1 相对运动、牵连运动、绝对运动
▪ 坐标系：
▪ 1.静坐标系（定参考系）：固结于地面 上的坐标系。
▪ 2.动坐标系（动参考系）：固结于运动 刚体上的坐标系。
▪ 运动分类 ▪ 绝对运动：动点相对于静坐标系的运动。
▪ 相对运动：动点相对于动坐标系的运动。
▪ 牵连运动：动坐标系相对于静坐标系的运 动。
▪ 速度合成： va = ve+ vr ， ▪ 未知量： va和vr的大小 ▪ 半径CA方向的投影式：
标Oxy发生运动。 ▪ 动点沿AB的运动为相对运动。 ▪ 在静坐标上观察到的动点运动为绝对运动。
▪ t 时刻，动点在轨道AB的M1点。t+△t，轨
道运动到A’B’，动点运动到A’B’的M’2。 ▪ M1 M’2是绝对位移。 ▪ M1 M2是相对位移。 ▪ M1 M’1是动点在M处的牵连位移。
▪ 站在地面观察到动 点（滑块）的速度 为绝对速度：
va=rω
▪ 相对速度：滑块对于 摇杆的速度
▪ 站在动系（摇杆AB) 看到动点（滑块）沿 着AB运动，其相对速
度为vr，方向沿AB方
向。
▪ 牵连速度：牵连速度 是摇杆上与滑块重合 的点A’的速度，
▪ ve=O1Aω1,
▪ 速度合成：
▪va=ve+ vr ， ▪ 未知：ve的大小，
va ve vr
▪ 例8-1 曲柄OA的O为固 定铰接。A端与滑块铰 接。滑块则可以在摇杆 O1B上滑动。摇杆的O1 端与地面铰接。已知 OA=r，O1O=l，曲柄 OA的角速度为ω，求曲 柄在水平位置时摇杆的 角速度ω1 。
▪ 解：AB为动系。 滑块为动点。
▪ 绝对速度：滑块对 于地面的速度。
▪ §8-1 相对运动、牵连运动、绝对运动
▪ 坐标系：
▪ 1.静坐标系（定参考系）：固结于地面 上的坐标系。
▪ 2.动坐标系（动参考系）：固结于运动 刚体上的坐标系。
▪ 运动分类 ▪ 绝对运动：动点相对于静坐标系的运动。
▪ 相对运动：动点相对于动坐标系的运动。
▪ 牵连运动：动坐标系相对于静坐标系的运 动。
▪ 速度合成： va = ve+ vr ， ▪ 未知量： va和vr的大小 ▪ 半径CA方向的投影式：
理论力学第7版第八章刚体的平面运动
根据 va ve vr 做速度平行四边形
ve va cos r1 sin( ),
2
ve O2 A
sin( )sin cos
1
vr va sin r1 cos( )
ac
2 2 v r
si
n
(2 cos
2
)
1
2
r
方向：与 v e相23同。
aa ae ar aC
——点的加速度合成定理 a a an
[例2] 曲柄滑杆机构
已知: OA＝l, =45o 时，,;
求：小车的速度与加速度．
解：动点：OA杆上 A点;
动系：固结在滑杆上;
绝对运动：圆周运动， 相对运动：直线运动，
牵连运动：平动；
va ve vr
大小 l ? ?
方向 √ √ √
ve va cos l cos45
2 l()
2
小车的速度： v ve
为牵连点。若二者不重合，动
系应扩大到参考体之外。此时
桥式吊车
，牵连点就不是动参考体上的
点，而是动系上的点。
动点: 物块A
相对运动: 直线
动系: 固结于小车 牵连运动: 平动
牵连点:A’
绝对运动: 曲线
8
绝对速度 ：va ——绝对运动中,动点的速度 相对速度 ：vr ——相对运动中,动点的速度
牵连速度 ：ve ——牵连运动中,牵连点的速度
4
动点：AB杆上A点 动系：固结于凸轮Ｏ'上
定系：固结在地面上 绝对运动： 沿AB的直线运动 相对运动： 曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平动
5
分析动点、动系改变，对运动分析的影响:
动点：A(在AB杆上) 动系：偏心轮 静系：地面
ve va cos r1 sin( ),
2
ve O2 A
sin( )sin cos
1
vr va sin r1 cos( )
ac
2 2 v r
si
n
(2 cos
2
)
1
2
r
方向：与 v e相23同。
aa ae ar aC
——点的加速度合成定理 a a an
[例2] 曲柄滑杆机构
已知: OA＝l, =45o 时，,;
求：小车的速度与加速度．
解：动点：OA杆上 A点;
动系：固结在滑杆上;
绝对运动：圆周运动， 相对运动：直线运动，
牵连运动：平动；
va ve vr
大小 l ? ?
方向 √ √ √
ve va cos l cos45
2 l()
2
小车的速度： v ve
为牵连点。若二者不重合，动
系应扩大到参考体之外。此时
桥式吊车
，牵连点就不是动参考体上的
点，而是动系上的点。
动点: 物块A
相对运动: 直线
动系: 固结于小车 牵连运动: 平动
牵连点:A’
绝对运动: 曲线
8
绝对速度 ：va ——绝对运动中,动点的速度 相对速度 ：vr ——相对运动中,动点的速度
牵连速度 ：ve ——牵连运动中,牵连点的速度
4
动点：AB杆上A点 动系：固结于凸轮Ｏ'上
定系：固结在地面上 绝对运动： 沿AB的直线运动 相对运动： 曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平动
5
分析动点、动系改变，对运动分析的影响:
动点：A(在AB杆上) 动系：偏心轮 静系：地面
哈工大理论力学 第八章课件
各点的速度方向分别为各点 与A1点连线的垂线方向，转向与 相同，由此可见车轮顶点的速 度最快，最下面点的速度为零。
vA1 0
vA3
A2
A4
vA4
O
vO
vA2
A1
vA2 vA4 2r 2v
vA3 2r 2v
理论力学
中南大学土木建筑学院
22
[例2] 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l， 取柄OA以匀 转动。求：当 =45º 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。
理论力学
）
23
中南大学土木建筑学院
速度投影法 研究AB, v A ,l 方向OA, v B方向沿BO直线 根据速度投影定理 vB AB v A AB v A v B cos v B v A /cos
l /cos45 2l () 不能求出 AB 速度瞬心法 研究AB，已知 v A , vB 的方向，因此 可确定出P点为速度瞬心
。
轮A作纯滚动，轮O不动。
求 vM 1 , vM 2 。 解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点
v A ( R r ) o r Rr o r
(
）
v M 1 PM 1 2r v M 2 PM 2 2r
Rr 2 ( R r )o , r o
理论力学
中南大学土木建筑学院
2
例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动， A点作圆周运动，B点作直线运动，因此， AB 杆的运动既不是平移也不是定轴转动， 而是平面运动。
理论力学
中南大学土木建筑学院
3
理论力学
中南大学土木建筑学院
4
二、平面运动的简化 刚体的平面运动 到固定平面 Ⅰ的距离不变
vA1 0
vA3
A2
A4
vA4
O
vO
vA2
A1
vA2 vA4 2r 2v
vA3 2r 2v
理论力学
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22
[例2] 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l， 取柄OA以匀 转动。求：当 =45º 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。
理论力学
）
23
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速度投影法 研究AB, v A ,l 方向OA, v B方向沿BO直线 根据速度投影定理 vB AB v A AB v A v B cos v B v A /cos
l /cos45 2l () 不能求出 AB 速度瞬心法 研究AB，已知 v A , vB 的方向，因此 可确定出P点为速度瞬心
。
轮A作纯滚动，轮O不动。
求 vM 1 , vM 2 。 解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点
v A ( R r ) o r Rr o r
(
）
v M 1 PM 1 2r v M 2 PM 2 2r
Rr 2 ( R r )o , r o
理论力学
中南大学土木建筑学院
2
例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动， A点作圆周运动，B点作直线运动，因此， AB 杆的运动既不是平移也不是定轴转动， 而是平面运动。
理论力学
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3
理论力学
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4
二、平面运动的简化 刚体的平面运动 到固定平面 Ⅰ的距离不变
理论力学课件-第八章
已知： 常数,O, A, B共线,OA l, A A, CAO 。
求：vAB , aAB。
解：1、动点（AB杆上A点） 动系 ：凸轮O
绝对运动 ：直线运动（AB） 相对运动 ：曲线运动（凸轮外边缘） 牵连运动 ：定轴转动（O轴）
2、 速度
大小 方向
va ve vr
? l ?
√√ √
理论力学课件-第八章
aa
2l1
A clo理s论3力学课c件o-第s22八章
例8-11 圆盘半径R=50mm，以匀角速度ω1绕 水平轴CD转动。同时框架和CD轴一起以匀角速 度ω2绕通过圆盘中心O的铅直轴AB转动，如图所 示。如ω1=5rad/s, ω2=3rad/s。
。
BD
解：1、动点：滑块A 动系：BC杆
绝对运动：圆周运动（O点） 相对运动：直线运动（BC） 牵连运动：平移
2、速度
va ve vr
大小 rO ? ?
方向 √ √ √
vrvevarO
BD
ve BD
rO
l 理论力学课件-第八章
已知：OA O 常数,OA r, BC DE, BD CE l。
度为 v1 4ms，方向与铅直线成300角。已知 传送带B水平传动速度 v2 3ms 。
求：矿砂相对于传送带B的速度。
理论力学课件-第八章
已知： v1 4m s , v2 3m s。求：vr。
解：1、动点：矿砂M 动系：传送带B
2、绝对运动：直线运动（v 1）
牵连运动：平移（v 2）
相对运动：未知
va ve vr
r ? ?
√√√
理论力学课件-第八章
已知：OA 常数 , OA r , OO1 l , OA水平。求：1。
理论力学第八章2.ppt
说明:1、对任何运动的刚体,上述结论都适用;
2、C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立;
3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
质点和质点系的动能
1、质点的动能
T 1 m 2
2
单位：J（焦耳）
2、质点系的动能
T
1 2
mii
2
（1）平移刚体的动能
T
1 2
mvC2
2 g st
Fmax k st k st 1
2 g st
mg1
g
k m
16.9kN
弹性力 F k(r l0 )er
弹性力的功为
W12
k 2
(12
2 2
)
式中 1 r1 l0,2 r2 l0
弹性力的功也与路径无关
3. 定轴转动刚物体上作用力的功
从角 1转动到角 2过程中力 F 的功为
若 M z 常量
则 W12 M z (2 1)
（2）定轴转动刚体的动能
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心为P
T
1 2
J
p 2
1 2
(JC
md 2 ) 2
得
T
1 2
mvC2
1 2
JC 2
即:平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 与绕质心转动的动能之和.
上面结论也适用于刚体的任意运动.
动能定理
1、质点的动能定理
统称保守系统
理论力学第8章动力学普遍定理3
W 得
i
2Q 9 P 2 2 l 0 M 12 g
——（*）
2 l
3 gM 2Q 9 P
将（*）式对t 求导数，得
2Q 9 P 12 g l 2
2
d dt
M
d dt
d dt
T 1 2 mv
2
1 2
J A
2
1 2
mv
2
JA
1 2
mr , v r
2
T
5 4
mv
2
当圆盘A质心沿斜面向下运动dS时：
δW
5 4
i
2 mg d S sin f mg d S cos mg d S ( 2 sin f cos )
由动能定理的微分形式dT=∑Wi得：
δ W F d s F r d m z ( F ) d
2
W
1
m z ( F )d
若 m z ( F ) 常量，则
W m z ( F )( 2 1 )
7
如果作用力偶m , 且力偶的作用面垂直转轴，则
W md
1 2
W 若m = 常量, 则 注意：功的符号的确定。
注意：圆轮作纯滚动时摩擦力F不做功
( d r 0 )
(2) 滚动摩擦阻力偶m的功 若m = 常量则 6．约束反力的功 约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。
W m m s R
即：理想约束的约束反力做功为零。
9
（1）光滑支承面
N dr δW N dr 0
2
——质点动能定理的微分形式
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1
第八章刚体的平面运动
§8–1 刚体平面运动概述
§8–2 平面运动分解为平动和转动·
刚体的平面运动方程
§8–3 平面图形内各点的速度
§8–4 平面图形内各点的加速度·
加速度瞬心的概念
习题课
2
车轮的平面运动
随基点A的平动绕基点A'的转动
为基点: 随基点A平动到A'B''后, 绕基点转
13
点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动
所以
，
17
(a)
(b)
方向如图示。
22
23
1212
(b)
v
B
P
2
3
3
5.
1312←
(
)
cm/s
41[例1]如图所示机构，
已知:OA =0.15m,n =300 rpm,AB =0.76m,
BC =BD =0.53m. 图示位置时, AB 水平.
求该位置时的，
及AB BD ωω D v 解：OA ,BC 作定轴转动,
AB ,BD 均作平面运动
根据题意：研究AB , P １为其速度瞬心
rad/s 1030
30030πππω===n m/s 5.11015.0ππω=×=⋅=OA v A （）rad/s 16.7376.025.160sin 5.11=××===∴ππωo AB AP v A AB m/s
72.216.75.076.016.760cos 1=××=×=⋅=o AB BP v AB B ω研究BD ,P 2为其速度瞬心, ΔBDP 2为等边三角形DP 2=BP 2=BD
rad/s 13.553
.073.22===∴BP v B BD ω)(m/s 72.213.553.02↓=×=⋅=BD D DP v ω（）
=12cm/s ;
rad/s）
(
这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论。