系统可靠性原理习题及答案

系统可靠性原理习题及答案

1、元件可靠性的定义是什么？规定条件、规定时间、规定功能各是什么含义？ 解：元件的可靠性：元件在规定的时间内、规定条件下完成规定功能的能力。

规定时间：指保修期、使用期和贮存期。

规定条件：即使用条件，主要包括：环境条件、包装条件、贮存条件、维修条件，操作人员条件等。

规定功能：指元件/系统的用途。 2、元件的可靠度、故障率和平均寿命各是怎么定义的？

解：元件的可靠度：在规定条件下，在时刻t 以前正常工作的概率。

元件故障率：即故障率函数，元件在t 时刻以前正常工作，在t 时刻后单位时间内发生故障的（条件）概率。

平均寿命：即平均无故障工作时间，也称做首次故障平均时间，是寿命的期望值。 3、设某种元件的λ=0.001 / h ，试求解：

（1）由这种元件组成的二元件并联系统、两元件串联、2/3（G ）系统的平均寿命。

解：由题意可知，单个元件的可靠度为R i (t)=e -λt ，i=1，2，3。 A 、二元件并联： 系统的可靠度为:

R p (t)=1-(1-R 1(t))(1-R 2(t))=2e -λt -e -2λt 此时系统的平均寿命为

MTTF =∫R p (t )dt =∫2e −λt −e −2λt

dt ∞

∞0=32λ

由于λ=0.001 / h ，故MTTF=1500(h)

B 、二元件串联： 系统的可靠度为: R s (t)=R 1(t)R 2(t)=e -2λt

此时系统的平均寿命为

MTTF =∫R s (t )dt =∫e −2λt dt ∞

∞0=12λ 由于λ=0.001 / h ，故MTTF=500(h)

C 、2/3（G ）系统： 系统的可靠度为:

R G (t)=R 1(t)R 2(t)R 3(t)+(1-R 1(t))R 2(t)R 3(t)+R 1(t)(1-R 2(t))R 3(t)+R 1(t)R 2(t)(1-R 3(t))

=3e -2λt -2e -3λt

此时系统的平均寿命为

MTTF =∫R G (t )dt =∫3e

−2λt

−2e

−3λt

dt ∞

∞

=56λ

由于λ=0.001 / h ，故MTTF=2500/3 (h)

（2）t=100h, 500h,1000h 时，由这种元件组成的二元件并联系统、两元件串联、2/3（G ）系统的可靠度分别是多少？

解：将各t 值代入(1)中的各可靠度R(t)即可得结果。

4、两个相同元件组成的旁联系统，转换开关完全可靠，λ=0.001/h ，一个维修人员，μ=0.1/h ，求t=10h 系统的瞬时可用度和稳态可用度。 解：(1)串联的情况

转移率矩阵为： λ

̂=[−2λ2λμ−μ]，λ̂T =[−2λμ2λ−μ] 状态概率函数：

{ P 0(t )=μ2λ+μ+2λ

2λ+μ

e −(2λ+μ)t

P 1

(t )=2λ−2λe −(2λ+μ)t

系统的瞬时可用度： A s (t)=P 0(t )=50

51+1

50e −0.102t

A s (10)=P 0(10)=

50+1e −1.02

=0.9875 稳态可用度：A s (∞)=P 0(∞)=50

51=0.9804 (2)并联情况：

λ

̂T =[−2λμ02λ−λ−μμ0

λ

−μ

] 5、试计算图示系统可靠度。请使用全概率公式、布尔展开定理和结构函数法解决同一问题。设图示系统元件可靠度均为0.98。 解：(1)全概率公式： 选x 2，系统的可靠度为 Rs =P (s |x 2)P (x 2)+P (s |x ̅2)P (x ̅2) =P (x 2)P (x 4∪x 5)+P (x ̅2)P((x 1∪x 3)∩(x 4∪x 5))

=0.98×(2×0.98-0.98×0.98)+0.02×(2×0.98-0.98×0.98) (2×0.98-0.98×0.98) =0.9996

(2)布尔展开，选x 2进行分解： S=f(x 1,1, x 3, x 4, x 5) x 2+ f(x 1,0, x 3, x 4, x 5) x ̅2 =x 2(x 4∪x 5)⨁x ̅2((x 1∪x 3)∩(x 4∪x 5))

Rs=P(S)

= P (x 2)P (x 4∪x 5)+P (x ̅2)P((x 1∪x 3)∩(x 4∪x 5))

=0.98×(2×0.98-0.98×0.98)+0.02×(2×0.98-0.98×0.98) (2×0.98-0.98×0.98) =0.9996

(3)结构函数，选x 2，对系统有： f=x 2f 12+(1-x 2)f 02

f 12=x 4∪x 5= x 4+ x 5- x 4 x 5

f 02=(x 1∪x 3)∩(x 4∪x 5)=( x 1+ x 3- x 1 x 3)( x 4+ x 5- x 4 x 5) 则f= x 2( x 4+ x 5- x 4 x 5)+ (1-x 2) ( x 1+ x 3- x 1 x 3)( x 4+ x 5- x 4 x 5) Rs=P(f)

=0.98×(2×0.98-0.98×0.98)+0.02×(2×0.98-0.98×0.98) (2×0.98-0.98×0.98) =0.9996

6、试计算图示系统可靠度。请使用逻辑图简化法、最小路集法、最小割集法、故障树分析法、结构函数法解决同一问题。设图示系统元件可靠度均为0.98。

解：(1)设第i 个元件的可靠度为x i ,i=1,2,3,4,5

则系统的可靠度：

Rs= (x 1∪x 2∪x 3)∩(x 4∪x 5)

=0.98×(2×0.98-0.98×0.98)+0.02×(2×0.98-0.98×0.98) (2×0.98-0.98×0.98) =0.9996 (2) 逻辑图简化

设第i 个元件完好之事件为X i ,i=1,2,3,4,5。系统完好之事件为S 由图可得：S=(X 1∪X 2∪X 3)∩(X 4∪X 5) 则系统可靠度为

Rs=P(S)=P((X 1∪X 2∪X 3)∩(X 4∪X 5))

=0.98×(2×0.98-0.98×0.98)+0.02×(2×0.98-0.98×0.98) (2×0.98-0.98×0.98) =0.9996

(3) 最小路集法，设系统完好之事件为S ，将系统简化为如下逻辑图：

由图可得：

{a 131=e 1e 4+e 1e 5a 132=e 2e 4+e 2e 5a 133=e 3e 4+e 3e 5

这样可得①、③

之间的最小路集为