高中数学二项式定理全章复习

合集下载

高中数学二项式定理知识点总结（精选4篇）

高中数学二项式定理知识点总结（精选4篇）高中数学二项式定理知识点总结（精选4篇）每个人都可以通过不断学习、积累知识来提高自己的竞争力和创造力。

拥有广博的知识储备可以为人生带来更多的选择和机会。

下面就让小编给大家带来高中数学二项式定理知识点总结，希望大家喜欢!高中数学二项式定理知识点总结篇1空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

高中数学二项式定理知识点总结篇21、求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数yf(x)在区间(a，b)内可导，(1)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a，b)上为增函数;(2)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a，b)上为减函数;(3)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a，b)上为常数函数。

利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数yf(x)的定义域;②求导数f(x);③解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。

反过来，也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围)：设函数yf(x)在区间(a，b)内可导，(1)如果函数yf(x)在区间(a，b)上为增函数，则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间);(2)如果函数yf(x)在区间(a，b)上为减函数，则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间);(3)如果函数yf(x)在区间(a，b)上为常数函数，则f(x)0恒成立。

高三复习：二项式定理知识点、题型方法归纳

绵阳市开元中学高2014级高三复习《二项式定理》知识点、题型与方法归纳制卷：王小凤学生姓名：___________一．知识梳理1．二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式．其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数．式中的C r n a n －r b r 叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n an －r b r . 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即r n rn n C C -=(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1122n n nnCC-+=取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n；C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 一个防范运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n an －r b r ，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二．题型示例【题型一】求()n x y +展开特定项例1：(1＋3x )n (其中n ∈N *且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )A.6B.7C.8D.9解：由条件得C 5n 35＝C 6n 36，∴n ！5！（n －5）！＝n ！6！（n －6）！×3，∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选B.例2：(2014·大纲)⎝ ⎛⎭⎪⎫xy－y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________.(用数字作答)解：⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －y x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 8－r ⎝⎛⎭⎪⎫－y x r ＝()33842281r r r r C x y ---，令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时32r －4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70.故填70.【题型二】求()()m n a b x y +++展开特定项例1：在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．74B ．121C ．－74D ．－121解析展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.【题型三】求()()m n a b x y +⋅+展开特定项例1：(2013·全国课标卷Ⅱ)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1解：(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝10x 2＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.∵x 2的系数为5， ∴10＋5a ＝5，a ＝－1.故选D.例2：(2014·浙江卷)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( ) A ．45B ．60C ．120D ．210解析在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120，故选C.例3：已知数列{}n a 是等差数列，且6710a a +=，则在1212()()()x a x a x a ---的展开式中，11x 的系数为_______.解：11x 的系数为121267()6()60a a a a a -+++=-+=-。

高考数学一轮复习---二项式定理知识点与题型复习精选全文

可编辑修改精选全文完整版二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a＋b)＋c]n的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a＋b)n－r的展开式中的哪些项和c r相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.跟踪训练1.在(1－x3)(2＋x)6的展开式中，x5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++xx(x＞0)的展开式中的常数项为________.考点二二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是()A.63x B.4xC.4x6x D.4x或4x6x(2)若nxx⎪⎭⎫⎝⎛-12的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则a1＋a2＋…＋a n的值为________.(3)若(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立.因此，可将x，y设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可.(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则f(x)的展开式中(1)各项系数之和为f(1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( ) A.1 B.243 C.121 D.1222.若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________.3.已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三二项展开式的应用例、设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0 B.1 C.11 D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1能被5整除的最小自然数x 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列.(1)求n；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。

《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)

二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一二项式定理例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二二项展开式通项公式例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。

二项式定理-高考数学复习

＝59.
目录
解题技法
赋值法的应用
（1）对形如（ ax ＋ b ） n ，（ ax 2 ＋ bx ＋ c ） m （ a ， b ， c
∈R， m ， n ∈N * ）的式子求其展开式的各项系数之和，只
需令 x ＝1即可；
（2）对（ ax ＋ by ） n （ a ， b ∈R， n ∈N*）的式子求其展开式各项
n ）， g （ r ）≠0，则：
（1） h （ r ）＝0⇔ Tr ＋1是常数项；
（2） h （ r ）是非负整数⇔ Tr ＋1是整式项；
（3） h （ r ）是负整数⇔ Tr ＋1是分式项；
（4） h （ r ）是整数⇔ Tr ＋1是有理项.
目录
2. 两个常用公式
（1） C0 ＋ C1 ＋ C2 ＋…＋ C ＝2 n ；
PART
2
目录
二项式中的特定项及系数问题
【例1】
1
（1）（2 x －）5的展开式中 x 的系数是（

A. －40
B. 40
C. －80
D. 80
）
1
解析：（1）（2 x －）5展开式的通项公式为 Tr ＋1＝ 5 （2 x ）5

－ r （－ 1 ） r ＝（－1） r 25－ r x 5－2 r （ r ＝0，1，…，5），令5
理数的项的个数是
16 2
，系数为有
5 .
⁠
解析：由二项展开式的通项公式可知 Tr ＋1＝ C9 ·
（ 2 ）9－ r ·xr ， r
∈N，0≤ r ≤9，当项为常数项时， r ＝0， T 1＝ C90 ·
（ 2 ）9·x 0＝
（ 2 ）9＝16 2 .当项的系数为有理数时，9－ r 为偶数，可得 r ＝

2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt

3．二项式系数二项展开式中各项的系数___C_nk__(k∈{0，1，…，n})叫做二项式系数．
高考一轮总复习•数学
第6页
二二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
高考一轮总复习•数学
第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
高考一轮总复习•数学
第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取有理项的求法．

高中数学二项式定理高考复习

课题：二项式定理一、知识要点1.二项式定理一般地,对于任意整数n ,都有n n n n n n n n b C b a C a C b a ++=+-110)(,这个公式叫做二项式定理.【注意】⑴等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式;⑵),2,1,0(n r C r n =叫做二项式系数,它与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数r n C 一定为正,而项的系数与b a , 的系数有关,正负不能确定.⑶公式右边共有1+n 项,比二项式的次数n 大1.⑷各项的次数都等于二项式的幂指数n ;字母a 按降幂排列,次数由n 递减到0,字母b 按升幂排列,次数由0递增到n .⑸二项式定理表示一个恒等式,对于任意的b a ,,该等式都成立.通过对b a ,取不同的特殊值,可给某些问题的解决带来方便. 令x b a==,1,则得到一个比较常用的公式: n n n n n n x C x C x C x ++++=+ 2211)1(；（若令1,1==b a,则得到一个组合数恒等式: n n n n n n C C C C ++++= 2102； 2.二项展开式的通项二项展开式的第1+r 项),2,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+叫做二项展开式的通项.【注意】⑴它表示二项式展开的第1+r 项,该项的二项式系数是r n C ,而不是1+r n C ;⑵字母b 的次数和组合数的上标相同;⑶a 与b 的次数之和为n ;⑷n 是常量,n r ,,2,1,0 =是变量;⑸公式中第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒;⑹整理通项时,一般要将通项中的系数和字母分开整理;⑺它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用.# 3.二项式系数的性质一般地, n b a )(+展开式的二项式系数nn n n n C C C C 210,,有以下性质⑴r n n r n C C -=;⑵r n r n r n C C C 11+-=+; ⑶当21-<n r 时, 1+<r n r n C C ;当21->n r ,r n r n C C <+1,即当n 为偶数时,二项式系数中, 2n n C 最大;当n 为奇数时, 二项式系数中, 21-n n C 和21+n nC （两者相等）最大. ⑷n n n n n n C C C C 2210=++++ ；⑸131202-=++=++n n n n n C C C C ,即二项式展开式奇数项系数的和等于偶数项系数的和,二、金典题型题型一:通项公式的应用求二项式展开式中的有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的未知数的指数恰好都是整数的项,解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据整数的整除性求解.若求二项展开式中的整式项,则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.【☞例1】已知在n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3321的展开式中,第6项为常数项. （⑴求n ;⑵求含2x 的项的系数;⑶求展开式中所有的有理项.点评:解此类问题可以分两步完成:第一,根据所给出的条件（待定项）和通项公式,建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件（n ,r 均为非负整数,r n ≥））;第二,根据所求的指数,再求所求解的项.【☞例2】若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为（）.题型二:系数最大值问题在求展开式中系数最大项时,可设第1+r 项的系数为1+r t 最大,则利用⎩⎨⎧≥≥+++211r r r r t t t t ,解不等式组即可得出. 【☞例3】已知()nx x 2323+展开式各项系数和比它的二项式系数和大992. ⑴求展开式中二项式系数最大项; ⑵求展开式中系数最大项.点评:应注意区分项的系数和二项式系数两个概念.在求项的系数和时,常采用赋值法,求项的系数时,用1+r T 来求,而二项式系数能直接写出.】【变式训练】 1. ()n x 21+的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.题型三:赋值法的应用对形如()nb ax +、()mc bx ax ++2),,(R c b a ∈的式子求其展开式的各项系数之和,常采用赋值法, 只需令1=x 即可;对()n by ax +),(R b a ∈的式子求其展开式各项系数之和,只需令1==y x 即可.【☞例4】已知()772210721x a x a x a a x ++++=- . '⑴求721a a a +++ ;⑵7531a a a a +++;⑶6420a a a a +++;⑷||||||||7210a a a a ++++ .【变式训练】2.对于12212⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式,求⑴求各项系数之和;⑵奇数项系数之和;⑶偶数项系数之和. 三、基础落实1.二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 展开式中,x 的系数为（） 2.如果n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2323的展开式中含有非零常数项,则正整数n 可能是（） 3.已知n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于（）、4.若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-13展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为（） 5.在n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-312的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为（） 6.在n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2的二项展开式中,若常数项为60,则n 等于（） D12 7. 61⎪⎭⎫ ⎝⎛-x mx 的展开式中3x 的系数为15.则m 的值为 . 8.若)(*6271327N n C C n n ∈=++,则n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32的展开式中的常数项是 .（用数字作答） 9.已知92⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a 的展开式中,3x 的系数为94,则常数a 的值为 . 10.6)21(x -展开式中,所有项的系数之和为 ;63)21)(1(x x -+展开式中5x 的系数为 . 四、课堂小结与作业1.“各项的二项式系数”是指),,2,1,0(n i C i n =,而“某项的系数”是指这一项的所有的系数;只有当字母的系数为1时,某项的二项式系数与某项的系数才是相等的.2.二项式系数之和为n n n n n n C C C C ++++= 2102;各项系数之和是每项的所有系数之和.3.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意给字母赋值是求解的重要方法之一.4.注意r r n r n r b a C T -+=1表示的是二项式展开式中的第1+r 项,而非第r 项,此式为二次展开式的通项.【作业】见复印件。

(完整版)高中数学二项式定理全章复习(题型完美版)

）
A．1
B．2
C． -1
【例 9】（ 2018 ?信阳二模） (x 2 1)( 1 2)5 的展开式的常数项是（ x
A．5
B． -10
C． -32
D ． -2 ）
D ． -42
第 3页共 6页
【例 10】（ 2018 ? 泉州模拟） ( x 1) 4(1 1 )4 的展开式中，常数项是 _______ ． x
A．3
B．5
【变式 2】（ 2018?湖北模拟）在 (3 x
常数项等于 _______．
C．6 2) n 的二项展开式中，只有第 x
D．7 5 项的二项式系数最大，则二项展开式
【变式 3】（2018?芜湖模拟）已知 (1 2 x) n 展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，则开式中常数项为 _______．
C． 12x 4
D ． 12x 4
【变式 4】（2018?四川模拟） (x 1 )6 展开式中的常数项为（
）
x
A ． -20
B． -15
C． 15
D ． 20
【变式 5】 (2016 ·全国卷 Ⅰ )(2x＋ x)5 的展开式中， x3 的系数是 ________．(用数字填写答案 )
【例 3】（ 2018? 唐山一模） (2 x 1)6 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是 _______ ．
【例 4】（ 2018 ?马鞍山二模）二项式 ( 3x
1 3x
)n
的
展
开
式
中
只

完整版)二项式定理知识点及典型题型总结

完整版)二项式定理知识点及典型题型总结二项式定理一、基本知识点1、二项式定理：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b +。

+ C(n,n)b^n (n∈N*)2、几个基本概念1）二项展开式：右边的多项式叫做(a+b)^n的二项展开式2）项数：二项展开式中共有n+1项3）二项式系数：C(n,r) = n!/r!(n-r)!4）通项：展开式的第r+1项，即T(r+1) = C(n,r) * a^(n-r) * b^r3、展开式的特点1）系数都是组合数,依次为C(n,1)。

C(n,2)。

…。

C(n,n)2)指数的特点①a的指数由n到0(降幂)。

②b的指数由0到n（升幂）。

XXX和b的指数和为n。

3)展开式是一个恒等式，a，b可取任意的复数，n为任意的自然数。

4、二项式系数的性质：1）对称性: 在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.2）增减性与最值: 二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n是偶数时，中间一项取得最大值C(n,n/2)当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值C(n,(n-1)/2)C(n-1.m) = C(n。

m) + C(n。

m-1)C(n,0) + C(n,1) +。

+ C(n,n) = 2^n3）二项式系数的和：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 C(n,0) - C(n,2) + C(n,4) -。

= 2^(n-1)二项式定理的常见题型一、求二项展开式1．“(a+b)^n”型的展开式例1．求(3x+2y)^42．“(a-b)^n”型的展开式例2．求(3x-2y)^43．二项式展开式的“逆用”例3．计算1-3C(n,1) + 9C(n,2) - 27C(n,3) +。

+(-1)^n*3nC(n,n)二、通项公式的应用1．确定二项式中的有关元素例4．已知((-ax)/(9x^2+1))^9的展开式中x^3的系数为9，常数a的值为1/32．确定二项展开式的常数项例5．(x-3/x)^10展开式中的常数项是2433．求单一二项式指定幂的系数例6．(x^2-3y)^6中x^3y^3的系数为-540三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．(x-1)^-1(x-1)^2(x-1)^3(x-1)^4(x-1)^5的展开式中，x^2的系数等于-101.展开式中，求(x-2)(x^2+1)^7展开式中x^3的系数。

高三一轮复习课件：二项式定理

x－1{1－[－x－1]5} (2)解法一：原式＝ 1－[－x－1] x－1＋x－16 ＝ x ∴展开式中 x2 的系数为 C63(－1)3＝－20.
高考总复习数学
第十四章
计数原理（选修· 理科）
解法二：展开式中 x2 的系数为－C20＋C31(－1)1－C42(－ 1)2＋C53(－1)3＝－20. (3)由 Cnm＝Cnn－m 知 C211＋C212＋C213＋…＋C2110＝C2120 ＋C2119＋C2118＋…＋C2112＋C2111，而 C210＋C211＋C212＋…＋ C2110＋C2111＋…＋C2121＝221 221－2 20 ∴C211＋C212＋C213＋…＋C2110＝＝2 －1. 2
A．－1
[解析]
展开式的通项公式 Tr＋1＝C8r·8－r· x)r，则含 2 (－
x4 项的系数为 1， x＝1，令得展开式所有项系数和为(2－ 1)8 ＝1，因此展开式中不含 x4 项的系数的和为 1－1＝0，故选 B.
[答案] B
高考总复习数学
第十四章
计数原理（选修· 理科）
高考总复习数学
第十四章
计数原理（选修· 理科）
高考总复习数学
第十四章
计数原理（选修· 理科）
高考总复习数学
第十四章
计数原理（选修· 理科）
1．二项式定理 (a＋b)n ＝Cn0an ＋Cn1an－1b＋Cn2an－2b2 ＋…＋Cnran－rbr ＋… ＋Cnnbn.(n∈N＋) 通项公式：Tr＋1＝Cnran－rbr，(r＝0,1,2，…，n)．
＋…＋a2n＝________，a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝________；
(4)(1－x)4＋(1－x)5＋(1－x)6＋…＋(1－x)37的展开式中x3的

高三一轮复习二项式定理.pptx

＝15.
(2)含 x4 的项为 C38x5( a )3＝C38a3x4， 3 x
∴C38a3＝7，∴a＝12.
第10页/共43页
(3)a＝∫π20(sin2x2－12)dx＝∫π20(1－c2os x－12)dx
＝∫π20(－co2s x)dx＝－12.此时二项式的展开式的通项为 Tr＋1＝
Cr9(－12x)9－r(－
第33页/共43页
考点二
二项式系数或各项系数和
【例2】 (1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋ y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b。若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)在二项式 x2－1x n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为( )
第23页/共43页
3．求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．
【证明】因为 n∈N*，且 n>2，
所以 3n＝(2＋1)n 展开后至少有 4 项．
(2
＋
1)n
＝
2n
＋
C
1 n
·2n
－
1
＋
…＋
Cnn－1
·2 ＋
1≥2n
＋
n·2n
－
1
＋
2n
＋
1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，
所以 T4＝C36x3(－2)3＝－160x3，所以 x3 项的系数为－160.
第29页/共43页
第30页/共43页
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
第31页/共43页
2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )

高中数学《二项式定理》复习小结与训练

§6.3 二项式定理（第一课时二项式定理）【学习目标】1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【知识梳理】知识点一二项式定理(a ＋b)n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n∈N *)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b)n 的二项展开式，展开式中一共有n ＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C k n (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．知识点二二项展开式的通项(a ＋b)n 展开式的第k ＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝C k n an －k b k . 思考二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗？答案一般不同．前者仅为C k n ，而后者是字母前的系数，故可能不同．【判断正误】1．(a ＋b)n 展开式中共有n 项．( × )2．在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．( × )3．C k n an －k b k 是(a ＋b)n 展开式中的第k 项．( × ) 4．(a －b)n 与(a ＋b)n 的二项展开式的二项式系数相同．( √ ) 5．二项式(a ＋b)n 与(b ＋a)n 的展开式中第k ＋1项相同．( × ) 【题型探究】一、二项式定理的正用、逆用例1 (1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式．解方法一 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x)4＋C 14(3x)3·1x＋C 24(3x)2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.方法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x)4＝1x 2·[1＋C 14·3x＋C 24(3x)2＋C 34(3x)3＋C 44(3x)4]＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C n n .解原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k ＋…＋C n n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n .延伸探究若(1＋3)4＝a ＋b 3(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝________. 答案 44解析 ∵(1＋3)4＝1＋C 14×(3)1＋C 24×(3)2＋C 34×(3)3＋C 44×(3)4＝1＋43＋18＋123＋9＝28＋163，∴a＝28，b ＝16，∴a＋b ＝28＋16＝44. 反思感悟 (1)(a ＋b)n 的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．跟踪训练1 化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．解原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x 5－1. 二、二项展开式的通项的应用例2 若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项系数成等差数列，求： (1)展开式中含x 的一次项； (2)展开式中所有的有理项．解 (1)由已知可得C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去)． T k ＋1＝C k 8(x)8－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x k ＝C k 8·2－k ·344k x -，令4－34k ＝1，解得k ＝4.所以含x 的一次项为T 5＝C 482－4x ＝358x. (2)令4－34k∈Z ，且0≤k≤8，则k ＝0,4,8，所以含x 的有理项分别为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.反思感悟求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．跟踪训练2 在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．解 (1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x)4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝240x ，所以第3项的系数为240. (2)T k ＋1＝C k 6(2x)6－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k 26－k C k 6x3－k，令3－k ＝2，解得k ＝1，所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2. 三、求两个多项式积的特定项例3 (1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于( )A．－4 B．－3 C．－2 D．－1(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为( )A．10 B．－10 C．2 D．－2答案(1)D (2)C解析(1)由二项式定理得(1＋x)5的展开式的通项为Tk＋1＝C k5·x k，所以(1＋ax)(1＋x)5的展开式中含x2的项的系数为C25＋C15·a＝5，所以a＝－1，故选D.(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为C0 3·(2x)0·C14·(－x)1＋C13·(2x)1·C04·14·(－x)0，其系数为C03×C14×(－1)＋C1 3×2×C04＝－4＋6＝2.反思感悟求多项式积的特定项的方法——“双通法”所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝C kna n－k(bx)k·C rms m－r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况．跟踪训练3 (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字作答) 答案－20解析由二项展开式的通项公式可知，含x2y7的项可表示为x·C78xy7－y·C68x2y6，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为C78－C68＝8－28＝－20.四、二项式定理的应用例4 (1)试求2 01910除以8的余数；(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．(1)解 2 01910＝(8×252＋3)10.∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，∴2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同．又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，∴310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1.(2)证明32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n ＋1n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182＋(n ＋1)×8＋1－8n －9 ＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182.①①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除．反思感悟利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．跟踪训练4 (1)已知n∈N *，求证：1＋2＋22＋…＋25n －1能被31整除．证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n －1＝1－25n1－2＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝31n ＋C 1n×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋1－1＝31×(31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n)，显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除． (2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001.解 0.9986＝(1－0.002)6＝1＋C 16·(－0.002)＋C 26·(－0.002)2＋…＋C 66·(－0.002)6.由题意知T 3＝C 26(－0.002)2＝15×0.0022＝0.000 06<0.001，且第3项以后(包括第3项)的项的绝对值都远小于0.001，故0.9986＝(1－0.002)6≈1－6×0.002＝0.988. 【跟踪训练】1.⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 5的展开式中含x 3项的二项式系数为( ) A ．－10 B ．10 C ．－5 D ．5 答案 D2.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35的展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40 答案 C3．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( ) A ．x 3 B ．－x 3 C ．(1－x)3 D ．(x －1)3 答案 A4．若(x ＋2)n 的展开式共有12项，则n ＝________. 答案 115．C 0n ·2n ＋C 1n ·2n －1＋…＋C k n ·2n －k＋…＋C n n ＝________.答案 3n解析原式＝(2＋1)n ＝3n . 【课堂小结】 1．知识清单： (1)二项式定理．(2)二项展开式的通项公式． 2．方法归纳：转化化归．3．常见误区：二项式系数与系数的区别，C k n a n －kb k是展开式的第k ＋1项．【同步练习】1．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C n n 等于( )A ．1B ．－1C ．(－1)nD ．3n 答案 C解析原式＝(1－2)n ＝(－1)n .2.⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中的常数项为( )A ．60B ．－60C ．250D ．－250 答案 A解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中的常数项为C 26(x)4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＝60. 3.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 9的展开式中的第4项是( )A ．56x 3B ．84x 3C ．56x 4D ．84x 4 答案 B解析由通项知T 4＝C 39x 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＝84x 3.4．(x －2y)10的展开式中x 6y 4的系数是( ) A ．840 B ．－840 C ．210 D ．－210 答案 A解析在通项T k ＋1＝C k 10(－2y)k x 10－k 中，令k ＝4，即得(x －2y)10的展开式中x 6y 4项的系数为C 410×(－2)4＝840. 5．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．10 答案 D解析 (1－x)5中x 3的系数为－C 35＝－10，－(1－x)6中x 3的系数为－C 36·(－1)3＝20，故(1－x)5－(1－x)6的展开式中x 3的系数为10.6．若(x ＋a)10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案) 答案12解析二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 10x 10－k a k，当10－k ＝7时，k ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12.7．如果⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 的展开式中，x 2项为第3项，则自然数n ＝________，其x 2项的系数为________．答案 8 28 解析 T k ＋1＝C k n(3x 2)n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C kn 253n kx -，由题意知，k ＝2时，2n －5k 3＝2，∴n＝8，此时该项的系数为C 28＝28.8．在⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1(x ＋1)5的展开式中常数项等于________．答案 9解析二项式(x ＋1)5的展开式的通项为 T k ＋1＝C k 5(x)5－k＝C k 552k x -(k ＝0,1,2，…，5)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1(x ＋1)5展开式中的常数项为C 35＋(－1)×C 55＝10－1＝9. 9．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162. (1)求n 的值；(2)求展开式中含x 3的项，并指出该项的二项式系数．解 (1)因为T 3＝C 2n(x)n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＝4C 2n 62n x -， T 2＝C 1n(x)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝－2C 1n 32n x -，依题意得4C 2n ＋2C 1n ＝162，所以2C 2n ＋C 1n ＝81，所以n 2＝81，又n∈N *，故n ＝9. (2)设第k ＋1项含x 3项，则T k ＋1＝C k9(x)9－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k9932kx -，所以9－3k 2＝3，k ＝1，所以含x 3的项为T 2＝－2C 19x 3＝－18x 3.二项式系数为C 19＝9.10．已知m ，n∈N *，f(x)＝(1＋x)m ＋(1＋x)n 的展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．解由题设知，m ＋n ＝19，又m ，n∈N *，∴1≤m≤18. x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m)＋12(n 2－n)＝m 2－19m ＋171.∴当m ＝9或10时，x 2的系数有最小值为81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156.11．(多选)对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n (n∈N *)，下列判断正确的有( )A ．存在n∈N *，展开式中有常数项B ．对任意n∈N *，展开式中没有常数项C ．对任意n∈N *，展开式中没有x 的一次项D ．存在n∈N *，展开式中有一次项答案 AD解析二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n x 4k －n，由通项公式可知，当n ＝4k(k∈N *)和n ＝4k －1(k∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项，故选AD.12．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 C解析由于2×1010＋a ＝2×(11－1)10＋a,2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，又根据二项展开式可知，2×(11－1)10被11除的余数为2，从而可知2＋a 能被11整除，可知a ＝9.13．(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3 答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25－k ·(－1)k ＝(－1)k C k51x 10－2k .令10－2k ＝2或10－2k ＝0，解得k ＝4或k ＝5. 故(x 2＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是(－1)4×C 45＋2×(－1)5×C 55＝3.14．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－1x n的展开式中，第9项为常数项，则：(1)n 的值为________；(2)含x 的整数次幂的项有________个．答案 (1)10 (2)6解析二项展开式的通项为T k ＋1＝C kn⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2n －k ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －k C kn 522n k x -.(1)因为第9项为常数项，所以当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10.(2)要使20－52k 为整数，需k 为偶数，由于k ＝0，1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．15．(a ＋b ＋c)n (n∈N *)的展开式中的项数为________．答案n ＋2n ＋12解析(a＋b＋c)n＝C0n (a＋b)n＋C1n(a＋b)n－1c＋…＋C nnc n，所以，其展开式中的项数为(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋2＋1＝n＋2n＋12.16．已知数列{an }(n为正整数)是首项为a1，公比为q的等比数列．(1)求和：a1C02－a2C12＋a3C22，a1C03－a2C13＋a3C23－a4C33；(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．解(1)a1C02－a2C12＋a3C22＝a1－2a1q＋a1q2＝a1(1－q)2，a 1C03－a2C13＋a3C23－a4C33＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3＝a1(1－q)3.(2)归纳概括的结论为：若数列{an }是首项为a1，公比为q的等比数列，则a 1C0n－a2C1n＋a3C2n－a4C3n＋…＋(－1)n an＋1·C nn＝a1(1－q)n，n为正整数．证明：a1C0n－a2C1n＋a3C2n－a4C3n＋…＋(－1)n an＋1·C nn＝a1C0n－a1qC1n＋a1q2C2n－a1q3C3n＋…＋(－1)n a1q n C nn＝a1[C0n－qC1n＋q2C2n－q3C3n＋…＋(－1)n q n C nn]＝a1(1－q)n.§6.3二项式定理（第二课时二项式系数的性质）【学习目标】1.理解二项式系数的性质.2.会用赋值法求展开式系数的和．【知识梳理】知识点二项式系数的性质对称性在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C mn＝C n－mn增减性与最增减性：当k<n＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k>n＋12思考若(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为多少？答案n＝7或8或9.【判断正误】1．令f(r)＝C rn (0≤r≤n，且r∈N)，则f(r)的图象关于直线r＝n2对称．( √)2．二项展开式中各项系数和等于二项式系数和．( ×)3．二项展开式的二项式系数和为C1n ＋C2n＋…＋C nn.( ×)4．二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( ×) 【题型探究】一、二项展开式的系数和问题例1 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；(3)a1＋a3＋a5.解(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.由(2x－1)5的通项Tk＋1＝C k5(－1)k·25－k·x5－k，知a1，a3，a5为负值，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.(3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，所以a1＋a3＋a5＝1－352＝－121.延伸探究在本例条件下，求下列各式的值：(1)a0＋a2＋a4；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.解(1)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.所以a0＋a2＋a4＝1＋352＝122.(2)因为a是(2x－1)5的展开式中x5的系数，所以a＝25＝32.又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.(3)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，所以两边求导数得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.令x＝1得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.反思感悟二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anx n，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.跟踪训练1 已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.(1)求a2的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．解∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.(1)a2＝C910(－4)9＝－49×10.(2)令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0.(3)由(2)得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.二、二项式系数性质的应用例2 已知f(x)＝(3x2＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝C25(23x)3·(3x2)2＝90x6，T 4＝C35(23x)2·(3x2)3＝223270x.(2)展开式的通项公式为Tk＋1＝C k5·3k·2(52)3kx+，假设Tk＋1项系数最大，则有⎩⎨⎧C k53k≥C k－153k－1，C k53k≥C k＋153k＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！5－k ！k ！×3≥5！6－k ！k －1！，5！5－k ！k ！≥5！4－k！k ＋1！×3，即⎩⎪⎨⎪⎧3k ≥16－k ，15－k ≥3k ＋1，∴72≤k≤92， ∵k∈N ，∴k＝4，∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 4523x (3x 2)4＝263405x . 反思感悟 (1)二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b)n 中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx)n (a ，b∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项．跟踪训练2 已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n (n∈N *)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含32x 的项；(3)求展开式中系数的绝对值最大的项．解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n 的展开式的通项是T k ＋1＝C k n (x)n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2k ＝(－2)k C kn 52n kx -(0≤k≤n，k∈N )， ∴T 5＝T 4＋1＝24C 4n102n x-，T 3＝T 2＋1＝22C 2n52n x-.∵24C 4n22C 2n ＝101， ∴n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)． (1)令x ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 28＝(1－2)8＝1，即所求各项系数的和为1. (2)展开式的通项为T k ＋1＝(－2)k C k 8852k x -(0≤k≤8，k∈N )．令8－5k 2＝32，解得k ＝1，∴展开式中含32x 的项为 T 2＝T 1＋1＝(－2)1C 1832x ＝3216x -.(3)展开式的第k 项、第k ＋1项、第k ＋2项的系数的绝对值分别为C k －182k －1，C k 82k ，C k ＋182k ＋1. 若第k ＋1项的系数绝对值最大，则有⎩⎨⎧C k －182k －1≤C k 82k ，C k 82k≥C k ＋182k ＋1，解得5≤k≤6，故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项，即T 6＝－1 792172x -，T 7＝1 792x －11.【跟踪训练】1．已知(ax ＋1)n 的展开式中，二项式系数的和为32，则n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 A2．(多选)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项答案 BC解析由于n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．3．设(2－x)6＝a 0＋a 1(1＋x)＋a 2(1＋x)2＋…＋a 6(1＋x)6，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6等于( )A ．4B ．－71C ．64D ．199 答案 C解析 ∵(2－x)6＝a 0＋a 1(1＋x)＋a 2(1＋x)2＋…＋a 6(1＋x)6，令x ＝0，∴a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝26＝64.4.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 10的展开式的各项系数的和为________．答案 05．(2x －1)6的展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数的和为________．答案 1 64解析令x ＝1，得各项系数的和为1；各二项式系数之和为26＝64. 【课堂小结】 1．知识清单：(1)二项式系数的性质． (2)赋值法求各项系数的和．2．方法归纳：一般与特殊、函数与方程．3．常见误区：赋值时应注意展开式中项的形式，杜绝漏项．【同步练习】1．在(a ＋b)n 的二项展开式中，与第k 项的二项式系数相同的项是( ) A ．第n －k 项 B ．第n －k －1项 C ．第n －k ＋1项 D ．第n －k ＋2项答案 D解析第k 项的二项式系数是C k －1n ，由于C k －1n ＝C n －k ＋1n，故第n －k ＋2项的二项式系数与第k 项的二项式系数相同．2．已知(1＋x)n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为( ) A ．212 B ．211 C ．210 D ．29答案 D解析 ∵展开式中只有第6项的二项式系数最大， ∴n＝10，∵奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和， ∴展开式中奇数项的二项式系数之和为2102＝29.3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n 的展开式中各项系数之和为( ) A ．2n ＋1 B ．2n －1 C ．2n ＋1－1 D ．2n ＋1－2答案 D解析令x ＝1，则2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2.4．(x －1)11的展开式中x 的偶次项系数之和是( ) A ．－2 048 B ．－1 023 C ．1 024 D ．－1 024 答案 D解析 (x －1)11＝C 011x 11＋C 111x 10·(－1)＋C 211x 9·(－1)2＋…＋C 1111(－1)11，x 的偶次项系数为负数，其和为－210＝－1 024. 5．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋51x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是( )A ．330B ．462C ．682D ．792 答案 B解析 ∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n ，而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等，故由题意得2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第6项、第7项，其系数为C 511＝C 611＝462.6．若(x ＋3y)n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．答案 5解析 (7a ＋b)10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y)n 中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.7．(2x－1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为______．答案1－310 2解析设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝1－3102.8．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．答案－256解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，两式相加可得2(a0＋a2＋a4)＝32，两式相减可得2(a1＋a3＋a5)＝－32，则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.9．在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．解设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)令x＝1，y＝－1，可得a 0－a1＋a2－…－a9＝59，又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－12，即所有奇数项系数之和为59－12.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n .(1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，即n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14.当n ＝7时展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项， ∵T 4＝C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫124(2x)3＝352x 3，T 5＝C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫123(2x)4＝70x 4，∴第4项的系数是352，第5项的系数是70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第8项，它的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫127×27＝3 432.(2)由已知得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，即n 2＋n －156＝0. 解得n ＝－13(舍去)或n ＝12. 设T k ＋1项的系数最大， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x)12，由⎩⎨⎧C k 12·4k ≥C k －112·4k －1，C k12·4k ≥C k ＋112·4k ＋1，解得9.4≤k≤10.4.又∵0≤k≤n，k∈N ，∴k＝10. ∴展开式中系数最大的项是第11项，即T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·C 1012·410·x 10＝16 896x 10.11．(1＋3x)n 的展开式中x 5与x 6的系数相等，则含x 4项的二项式系数为( )A ．21B ．35C ．45D ．28 答案 B解析 ∵T k ＋1＝C k n (3x)k ＝3k C k n x k ，又由已知得35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n ，∴n＝7，因此，含x 4项的二项式系数为C 47＝35，故选B.12．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x 4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( ) A ．第11项 B ．第13项 C ．第18项 D ．第20项答案 D解析 (1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x 4的系数为C 45＋C 46＋C 47＝C 15＋C 26＋C 37＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，令a n ＝55，即3n －5＝55，解得n ＝20.13．(多选)设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n的展开式中第5项是含x 的一次项，那么这个展开式中系数最大的项是( ) A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项答案 CD解析因为展开式的第5项为T 5＝C 4n443n x--，所以令n －43－4＝1，解得n ＝19.所以展开式中系数最大的项是第10项和第11项．故选CD.14．设m 为正整数，(x ＋y)2m 的展开式中二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m ＋1的展开式中二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝________. 答案 6解析 (x ＋y)2m 的展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，∴a＝C m 2m .同理，b ＝C m ＋12m ＋1. ∵13a＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1.∴13·2m ！m ！m ！＝7·2m ＋1！m ＋1！m ！.∴m＝6.15．(多选)(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243，不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为( )A．a＝1，b＝2，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝－1，b＝－2，n＝5答案AD解析只要令x＝0，y＝1，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的和为(1＋b)n，令x＝1，y＝0，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的和为(1＋a)n.如果a，b是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a，b中有负值，相应地，分别令y＝－1，x＝0；x＝－1，y＝0.此时的和式分别为(1－b)n，(1－a)n，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b|)n，(1＋|a|)n.根据题意得，(1＋|b|)n＝243＝35，(1＋|a|)n＝32＝25，因此n＝5，|a|＝1，|b|＝2.故选AD.16．已知(1＋m x)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112.(1)求m，n的值；(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；(3)求(1＋m x)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．解(1)由题意可得2n＝256，解得n＝8，∴展开式的通项为Tk＋1＝C k8m k2kx，∴含x项的系数为C28m2＝112，解得m＝2或m＝－2(舍去)．故m，n的值分别为2,8.(2)展开式中偶数项的二项式系数之和为C18＋C38＋C58＋C78＝28－1＝128.(3)∵(1＋2x)8(1－x)＝(1＋2x)8－x(1＋2x)8，∴含x2项的系数为C4824－C2822＝1 008.。

2023版高考数学一轮总复习10-2二项式定理课件

解析 (1)n=6时,(1+2x)6的展开式中有7项,中间一项的二项式系数最大,此
项为C36 (2x)3=160x3.又Tr+1=C6r (2x)r=2rC6r xr,设第k+1项的系数最大,则
CC66kk
2k 2k
Ck 1 6
Ck 1 6
2k 2k
1, 1 ,
解得
11 3
≤k≤
14 3
,∴k=4,即第5项系数最大,第5项为
C64
(2x)4
=240x4.
所以二项式系数最大的项是第4项,为160x3,系数最大的项是第5项,为240x
4.
(2)令x=0,得a0=1,记f(x)=(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n≥6,n为偶数), 则f(1)=3n=a0+a1+a2+…+an, f(-1)=(-1)n=a0-a1+a2-a3+…-an-1+an,
所以a0+a2+a4+…+an= f (1) f (1) = 3n (1)n = 3n 1 ,
2
2
2
所以a2+a4+…+an=
3n
2
1
-1=
3n
2
1
.
专题十计数原理
10.2 二项式定理
1.二项式定理
考点二项式定理
1)公式(a+b)n=
C0n
an+
C1n
an-1b1+…+
Ckn
an-kbk+…+
C
n n

高中数学二项式定理知识梳理与题型归纳

高中数学二项式定理知识梳理与题型归纳知识点梳理一、定理内容二、基本概念①二项式展开式：等式右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式②二项式系数：展开式中各项的系数中的③项数：展开式第r+1项，是关于a,b的齐次多项式.④通项：展开式的第r+1项，记作三、几个提醒①项数：展开式共有n+1项.②顺序：注意正确选择a与b，其顺序不能更改，即：(a+b)n和(b+a)n是不同的.③指数：a的指数从n到0, 降幂排列；b的指数从0到n,升幂排列。

各项中a，b的指数之和始终为n.④系数：正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数指各项前面的组合数；项的系数指各项中除去变量的部分（含二项式系数）。

⑤通项：通项是指展开式的第r+1项.四、常用结论由此可得贝努力不等式。

当x>-1时，有：n≥1时，(1+x)n≥1+nx;0≤n≤1时，(1+x)n≤1+nx.（贝努力不等式常用于函数不等式证明中的放缩）五、几个性质①二项式系数对称性：展开式中，与首末两项等距的任意两项二项式系数相等。

②二项式系数最大值：展开式的二项式系数中，最中间那一项（或最中间两项）的二项式系数最大。

即：③二项式系数和：二项展开式中，所有二项式系数和等于，即：奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即：（注：凡系数和问题均用赋值法处理）④杨辉三角中的二项式系数：题型归纳一、求二项展开式二、求展开式的指定项在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式，然后依据条件先确定r的值，进而求出指定的项。

说明：凡二项展开式中指定项的问题，均直接使用通项公式处理.说明：对于位置指定的展开项问题，要注意用原式，底数中项的顺序不得随意调整。

说明：积的展开式问题，一般分别计算两个因式的通项。

练习：1. 求常数项1、已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（）A. －45i B. 45i C. －45 D. 45解析：第三项、第五项的系数分别为，由题意有整理得解得n=10设常数项为则有得r=8故常数项为，选D。

高中数学高考总复习----二项式定理知识讲解及考点梳理

∴
即
.
∴x=10 或
.
类型三、多项式转化为二项式的问题
【例 4】试求下列二项展开式中指定项的系数.
（1）
的展开式中项的系数；
（2）（3）
的展开式中项的系数；的展开式中项的系数；
（4）
的展开式中 x 项的系数；
（5）
的展开式中项的系数；
【解析】
（1）借助“配方转化”：原式
∴原展开式中项的系数，即
（ 1）展开式的通项：
，
故展开式中二项式系数最大的项为：（2）设第项的系数最大，
7
则
，化简得
，
解得:
，∴ ，
故所求展开式中系数最大的项为：
【变式 2】已知
展开式中，末三项的二项式系数和等于 22，二项式系数
最大项为 20000，求 x 的值.
【解析】由题意
，
即
，∴n=6.
∴第 4 项的二项式系数最大.
高中数学高考总复习----二项式定理知识讲解及考点梳理
例 1（2015 春微山县校级期末）已知在（ ﹣ ）n 的展开式中，第 6 项为常数
项．（1）求 n；（2）求含 x2 项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【思路点拨】利用展开式的通项公式求解。【解析】：（1）根据题意，可得（ ﹣ ）n 的展开式的通项为
高考总复习：二项式定理
【考纲要求】 1．能用计数原理证明二项式定理； 2．掌握二项展开式系数的性质及计算的问题； 3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
【知识网络】
【考点梳理】要点一、二项式定理
公式
定理。其中
项，它表示第其中：

第02讲二项式定理讲义-2024届高三数学一轮复习

第02讲二项式定理【必备知识】1．二项式定理二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n b 0＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *) 二项展开式的通项公式：T r ＋1＝C r n a n －r b r ，它表示第r ＋1项 2．二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －m n （2）增减性：二项式系数C k n ，当k <n ＋12(n ∈N *)时，是递增的，当k >n ＋12(n ∈N *)时，是递减的（3）最大值：当n 为偶数时，中间的一项2n n C 取得最大值当n 为奇数时，中间的两项21-n n C 和21+n nC 取得最大值；（4）各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n特别提醒：1．二项式定理中，通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k 是展开式的第k ＋1项，不是第k 项． 2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在T k ＋1＝C k n a n －k b k 中，C k n 是该项的二项式系数，该项的系数还与a ，b 有关．(2)二项式系数的最值和增减性与指数n 的奇偶性有关．当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．考点05二项展开式中的项【常用方法】求二项展开式中的特定项或其系数，一般是写出通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r ，代回通项公式即可．【典例分析05】角度01 求二项展开式中的特定项或特定项的系数1、62)2(x x +的展开式中常数项是____(用数字作答)．2、(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．243、(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( )A ．10B ．20C ．30D ．60角度02 二项展开式中的含参问题4、若52)1(xax +的展开式中的常数项为－52，则实数a 的值为__ __.5、5)12(x x -的展开式中x 3的系数为－80，则a ＝__ __.6、已知二项式n xx )12(-的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x 3的系数为__ __. 考点06 二项展开式中的系数和问题【常用方法】赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a 、b 、c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2. *又f ′(x )＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋na n x n －1，所以a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f ′(1)．【典例分析06】1、在n xx )3(+的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( ) A ．15 B ．45 C ．135 D ．4052、若(1－2x )2 021＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 2 021x 2 021(x ∈R )，则下列结论中正确的个数为( )①a 0＝1 ②a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 021＝32 021＋12③a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2 020＝32 021－12 ④a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 02122 021＝－1 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4考点07 二项展开式中的系数最值问题【常用方法】二项式系数最大项的确定方法：当n 为偶数时，展开式中第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为2n n C ；当n 为奇数时，展开式中第n ＋12 项和第n ＋32 项的二项式系数最大，最大值为21-n n C 或21+n n C ．【典例分析07】1、在(1－2x )n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式二项式系数最大的项为________．2、已知n x x )21( 的展开式中前三项的系数成等差数列．①求n 的值；②求展开式中系数最大的项．。

(完整word版)高中数学知识点总结---二项式定理精选全文

可编辑修改精选全文完整版高中数学知识点总结---二项式定理1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n 是偶数时，中间项是第12+n 项，它的二项式系数2nn C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n n n n C C 最大.③系数和：1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C附：一般来说b a by ax n ,()(+为常数）在求系数最大的项或最小的项．．．．．．．．．．．时均可直接根据性质二求解. 当11≠≠b a 或时，一般采用解不等式组11111(,+-+-+⎩⎨⎧≤≤⎩⎨⎧≥≥k k k k k k k k k k T A A A A A A A A A 为或的系数或系数的绝对值）的办法来求解.⑷如何来求n c b a )(++展开式中含r q p c b a 的系数呢？其中,,,N r q p ∈且n r q p =++把n n c b a c b a ])[()(++=++视为二项式，先找出含有r C 的项r r n r n C b a C -+)(，另一方面在r n b a -+)(中含有q b 的项为q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=，故在n c b a )(++中含r q p c b a 的项为r q p q r n r n c b a C C -.其系数为r r q p n p n q r n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --==---⋅-=!!!!)!(!)!()!(!!. 2. 近似计算的处理方法.当a 的绝对值与1相比很小且n 不大时，常用近似公式na a n +≈+1)1(，因为这时展开式的后面部分n n n n na C a C a C +++ 3322很小，可以忽略不计。