力学中的数学方法-张量-1

力学中的数学方法¾力学中的张量

¾复变函数技术

¾积分变换方法

¾变分法

第一章力学中的张量

i= 1

在三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某参考坐标系中，有三个分量；这三个分量的集合，规定了这个矢量；当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij σσσσσσσσσσ在力学中还有一些更复杂的量。例如受力

物体内一点的应力状态，有9个应力分量，

如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则

有：这9个分量的集合，规定了一点的应力状态，称为应力张量。当坐标变换时，应力张量的分量按一定的变换法则变换。

3. 张量

所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中—定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。

张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方法。采用张量记法表示的方程，在某一坐标系中成立，则在容许变换的其他坐标系中也成立，即张量方程具有不变性。

5. 应力状态

每个应力分量须用两个方向描述，

第一个方向为应力作用面的方向，

第二个方向为应力作用方向

112233i i

显然，指标i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。

双重求和

∑∑===31i 31j j i ij x x a S 简写成

j

i ij x x a S =展开式（9项）3

13321321131322322221221311321121111x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a S ++++++

++=三重求和（27项）333ijk i j i 1j 1k 1k S a x x x ====∑∑∑ijk i j k

a x x x =

注意：

i,j,……英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3，在该约定下，表达式后的说明(i,j=1，2，3)在以后的写法中将被略去

i

∂

7.

求和时注意的问题

3

1i i i i i i

i a b c a b c =∑是违约的，求和时要求保留求和号或特别标出

Ψ=α

i i

不参与求和，只在数值上等于

8. 自由指标

j

ij i x a x =′例如指标i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。一个自由指标每次可取整数1, 3, …, n ，与哑标一样，无特别说明总取n=3。

3132121111

x a x a x a x ++=′3232221212

x a x a x a x ++=′3332321313

x a x a x a x ++=′上式表示3个方程的缩写：

注意：

2. 自由指标仅表示为轮流取值，因此也可以

换标，但必须整个表达式换标

3.

1. 自由标个数表示张量表达式代表的方程数

j

ij i e e A =′3132121111

e e e e A A A ++=′i 为自由指标，j 为哑标

表示3232221212e e e e A A A ++=′3

332321313e e e e A A A ++=′

jk ik ij B A C =′1313121211111k 1k 11

B A B A B A B A

C ++==′i ，j 为自由指标，k 为哑标

表示？个方程：

2313221221112k 1k 12

B A B A B A B A

C ++==′3313321231113k 1k 13

B A B A B A B A

C ++==′1323122211211k 2k 21

B A B A B A B A

C ++==′3333323231313k 3k 33

B A B A B A B A

C ++==′……

例题：9个方程：

1.2 几个常用符号

转移符号(transformation symbol) 克罗内科尔符号δ(Kronecker)

置换符号εijk(Permutanion symbol) 纳布拉算子(Nabla operator)

值从一个坐标系转移到另一个坐标系

坐标系的变换关系

⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧′′′′′′′′′′′′321331313322212312111321e e e e e e L L L L L L L L L j

j i i e e ′′=L （对i 求和，i ’为自由指标）

2. Kronecker 符号一Kronecker 符号定义为：

⎩⎨⎧≠==j

i ,0j i ,1j i δ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001333231

232221131211δδδδδδδδδ其中i ，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此，

可确定一单位矩阵：

j i δδ

ij δ 的性质二

若j

i j i δ=⋅e e 321,,e e e 是相互垂直的单位矢量，则

i i ⋅=e e 3

332211i i =++=δδδδ而，故i i i i δ=⋅e e 例题1：

1122333⋅+⋅+⋅=e e e e e e